La derivada por_definicion (1)
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Unidad 2. LA DERIVADA MATEMATICAS II 1 2.1 LA DERIVADA. Si ( 0 0 , y x P es un punto de una gráfica de una función f, entonces la recta tangente a la gráfica de f en P se define como la recta que pasa por P y tiene pendiente ( ( 0 0 tan lim f x h f x m h h o + - = → Siempre que exista el límite. DEFINICION: La derivada de una función f es la función ' f definida por: El dominio de f está formado por todas las x en las que exista este límite. NOTA: El símbolo ' f se lee “ f prima de x” Si 0 x esta en el dominio de ' f , entonces se dice que f es diferenciable o derivable en 0 x . Luego se sigue que si f es diferenciable en 0 x , el valor de la derivada en 0 x es ( 29 ( ( tan 0 0 0 m h x f h x f x f' lim o h = - + = → Es decir, la derivada de f es una función cuyo valor en 0 x x = es la pendiente de la recta tangente a f ) x ( y = en 0 x x = . Al proceso de determinar la derivada se le denomina diferenciación o derivación . La tangente a la gráfica de ( x f y = en el punto ( f x ) 0 (x 0, es la línea que pasa por este punto con pendiente ( 0 ' x f . Usando la forma punto- pendiente de la ecuación de una recta con ( 0 0 x f y = ; = m ( 0 ' x f , obtenemos la ecuación de la recta tangente en la forma (29 ( ( h x f h x f lim o h x f' - → =
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Unidad 2. LA DERIVADA
MATEMATICAS II
1
2.1 LA DERIVADA.
Si ( )00 , yxP es un punto de una gráfica de una función f, entonces la recta tangente a la
gráfica de f en P se define como la recta que pasa por P y tiene pendiente
( ) ( )0 0tan lim
f x h f xm
hh o
+ −=
→
Siempre que exista el límite.
DEFINICION:
La derivada de una función f es la función 'f definida por:
El dominio de f está formado por todas las x en las que exista este límite.
NOTA: El símbolo 'f se lee “ f prima de x”
Si 0x esta en el dominio de 'f , entonces se dice que f es diferenciable o derivable en 0x .
Luego se sigue que si f es diferenciable en 0x , el valor de la derivada en 0x es
( ) ( ) ( )tan
000 m
hxfhxf
xf' limoh
=−+=→
Es decir, la derivada de f es una función cuyo valor en 0xx = es la pendiente de la recta
tangente a f )x(y = en 0xx = .
Al proceso de determinar la derivada se le denomina diferenciación o derivación .
La tangente a la gráfica de ( )xfy = en el punto ( )fx )0(x0, es la línea que pasa por este
punto con pendiente ( )0' xf .
Usando la forma punto- pendiente de la ecuación de una recta con ( )00 xfy = ;
=m ( )0' xf , obtenemos la ecuación de la recta tangente en la forma
( ) ( ) ( )h
xfhxflimoh
xf'−+
→=
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( ) ( )( )000 ' xxxfxfy −=−
La recta que pasa por ( )fx )0(x0, perpendicular a la tangente se llama normal a la gráfica en
ese punto.
Como las rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es –1, la pendiente de la
normal es
( )0N xf'
1m −=
La ecuación de la normal es
( )0N0 xxyy m −=−
Con tal de que ( ) 0' 0 ≠xf . Si ( ) 0' 0 =xf , la normal es vertical.
Su ecuación se lee: 0xx = .
Ejemplo 1.
Encontrar la derivada de ( ) 12 += xxf
Solución:
tangente
( )xfy =
P
y
x
0x
normal
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Ejemplo 2.
Calcular ( )2'f para ( ) xxxf 3 −= y hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva
dada en el punto ( )6,2
Solución:
Tenemos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 116112' 2
0lim
32611
lim0
28232
6128
lim0
2'
2322
32
lim0
22
lim0
2'
=++=→
++
→=
−−−−+++
→=
−−+−+
→=
−+
→=
hhfh
h
hhh
hh
hhhh
h
f
h
hh
hh
fhf
h
f
En el punto (2,6), la pendiente de la tangente es ( ) 112' =f .
La pendiente de la normal es ( ) 11
1
2'
1 −=−f
( ) ( ) ( )
( )( ) [ ]
( )
( ) ( )
( ) ( ) xhx
h
xf
h
hxh
hh
hxh
h
xf
h
xhxhx
h
xf
h
xhx
h
xf
h
xfhxf
h
xf
22lim0
'
2
lim0
22
lim0
'
12
12
22
lim0
'
12
122
lim0
'
lim0
'
=+→
=
+
→=
+
→=
−−+++
→=
+−++
→=
−+
→=
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La ecuación de la tangente se obtiene por la fórmula punto- pendiente
( ) ( )( )000 ' xxxfxfy −=− , con 20 =x , 60 =y , ( ) 11' 0 =xf .
Obtenemos:
( )2116 −=− xy
La ecuación de la normal se obtiene de la fórmula punto- pendiente ( con 11
1−=m ).
Se lee:
( )211
16 −−=− xy .
Ejemplo 3.
Hallar la ecuación de la normal a la curva ( ) 13 3 −== xxfy en el punto (0,-1)
Solución:
Primero hallamos la pendiente de la tangente:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) 030' 2
0lim
113
3
lim0
0'
113
30'
00
lim0
0'
==→
+−
→=
−−−=
−+
→=
hfh
h
h
h
f
h
hf
h
fhf
h
f
Puesto que ( ) 00' =f , la tangente es horizontal. Su ecuación es 0=y .
La normal es vertical.
La fórmula ( ) ( )000'
1xx
fyy −−=− no es aplicable en este caso.
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Ejemplo 4.
En el ejemplo 1 se encontró que la derivada de ( ) 12 += xxf es ( ) xxf 2' = . Por lo tanto,
la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto 0xx = es
( ) 00 2' xxf =
Por ejemplo, la pendiente de la recta tangente a 12 += xy en 2=x es
( ) ( ) 4222' ==f
La pendiente en 1−=x es
( ) ( ) 2121' −=−=−f .
Y la pendiente en 0=x es
( ) ( ) 0020' ==f
Ejemplo 5.
Encontrar ( )xf ' si ( )x
xf1=
Solución.
Por la definición
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) 2
11lim
0
'
lim0
'
lim0
'
11
lim0
'
lim0
'
xhxxh
xf
hxhx
h
h
xf
h
hxx
hxx
h
xf
h
xhx
h
xf
h
xfhxf
h
xf
−=+
−
→=
+
−
→=
+
+−
→=
−+
→=
−+
→=
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Además de ( )xf ' , otras notaciones para la derivada de ( )xfy = en x son:
EJERCICIOS:
dx
dy ( derivada de y respecto a x)
( )[ ]xfdx
d ( derivada de ( )xf respecto a x)
'y ( “y” prima)
yDx ( derivada respecto a x de y)
( )[ ]xfDx ( derivada respecto a x de ( )xf )
I- Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto y curva dada.
= +
=
=+
2 1) f(x) 3x 1 En P(1,4)
3 2) f(x) 2 - x En P(2,-6)
3 3) f(x)
X 5 En P(4,1)
II- Utilizando la definición, encuentre la derivada de f respecto a x, de cada una de las siguientes funciones:
=
= +
= +
2 1) f(x) 3 - x
1 33 2 2) f(x) x X 3 2
3) f(x) 3 x
