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LA DIDÁCTICA DE LA FÍSICA CUÁNTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA Y

LA CONSTRUCCIÓN DE PENSAMIENTO TEÓRICO

Alberto Stefanel, Marisa Michelini

Grupo de Investigación en Didactica de la Fisica

Universidad de Udine, Italia

ABSTRACT

La meccanica quantistica costituisce il nuovo paradigma con cui si studia il mondo

microscopico. Per introdurre nella scuola secondaria i suoi aspetti metodologici fondanti,

come contributo alla formazione culturale del cittadino medio, diverse ricerche si sono

rivolte all'approccio formale alla Dirac, che avvia direttamente ai concetti nodali della

teoria e in particolare al principio di sovrapposizione. In questo filone è stata messa a punto

una proposta didattica che introduce immediatamente alle idee che costituiscono “il modo

di pensare quantistico”, in una palestra concettuale, in cui si esplorano esperimenti ideali di

ottica fisica relativi all‟interazione di fotoni con polaroid e cristalli birifrangenti. Si passa,

per successivi gradi di formalizzazione, da una rappresentazione iconografica di proprietà

dei fotoni che ne caratterizzano lo stato, ad una in cui si formalizza lo stato dei fotoni con

un vettore e le osservabili fisiche con operatori lineari.

Sperimentazioni in classe hanno indicato, che la transizione da concezioni e idee classiche,

a quelle quantistiche avviene quando si è guadagnata padronanza della fenomelogia a

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partire dal coivokgemento diretto nella conduzione di esperimenti reali e si è riconosciuto

per esplorazione concettuale diretta, che non è possibile descrivere tutta la fenomenologia

con ipotesi teoriche che implicano elementi di realismo locale.

RESUMEN

La mecánica cuántica juega el papel de nuevo paradigma en la descripción científica del

mundo microscópico. Para introducir en la escuela secundaria sus aspectos metodológicos

fundantes, como contribución a la formación cultural del ciudadano común, diferentes

investigaciones están dirigidas al enfoque formal de Dirac, que empieza por los conceptos

fundamentales de la teoría, en particular, el principio de superposición de estados. Dentro

de esta corriente, hemos desarrollado una propuesta didáctica para introducir

inmediatamente la modalidad mecánico-cuántica de pensar. Trabajamos en laboratorios de

experimentos ideales de óptica física: exploración de fotones que interactúan con filtros

Polaroid y cristales birrefringentes (espato de Islandia). En grados sucesivos de

formalización, se pasa de una representación iconográfica de las propiedades de los fotones

que caracterizan su estado a la representación formalizada de los estados de los fotones a

través de vectores y de los observables físicos por medio de operadores lineales. De las

experiencias en la escuela, resulta que la transición desde concepciones e ideas clásicas a

concepciones e ideas cuánticas necesita del conocimiento directo de la fenomenología

construido sobre la participación personal en experimentos realmente efectuados. Resulta

también que no es posible describir toda la fenomenología por medio de conjeturas que

implican elementos de realidad local en la descripción de un sistema cuántico.

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Introduzione

La meccanica quantistica costituisce uno tra i contributi culturali più significativi, che la

scienza ha prodotto nel XX secolo, sia per il ruolo che riveste nell'attuale descrizione del

mondo microscopico, sia per il modo di pensare che introduce un nuovo paradigma per il

pensiero teoretico. È culturalmente irrinunciabile pertanto, che i suoi aspetti metodologici

fondanti entrino a far parte in modo non marginale della formazione dei cittadini di media

cultura (Ghirardi, 1997; Pospiech, 1999; Hadzidaki et al., 2000; Zollman 2000). Alcune

considerazioni ne sottolineano i motivi.

Si caratterizza come teoria compatta, che si discosta in modo drastico dalla fisica classica

per molti aspetti: i principi su cui si fonda, la logica sottesa, il formalismo messo in gioco

ed il ruolo ad esso attribuito, le grandezze fisiche coinvolte (Dirac, 1958; D‟Espagnat,

1976; Sakurai, 1985; Ghirardi, 1997). Sarebbe un grave errore ridurla sul piano didattico ad

una evoluzione dalla “fisica dei quanti”, sviluppata nei primi venti anni del „900. Pur

inglobandone i risultati la meccanica quantistica la supera e rende obsoleta, fondando un

nuovo modo di pensare organico (Bellone, 1990; Fishler, 2000; Pospiech, 2000).

Le sue caratteristiche concettuali, le principali idee e le conseguenze che ne derivano

emergono in modo chiaro considerando quegli aspetti, che non hanno corrispettivo classico,

come ad esempio lo spin, per il quale non esiste una corrispondente osservabile classica

(Baym, 1969; Feynman, 1985; Sakurai, 1985; Bell, 1987; Levy Leblond, Balibar, 1990).

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Gli elementi di continuità tra fisica classica e fisica quantistica, che pure esistono e trovano

sintesi formale nel principio di corrispondenza e nel teorema di Ehrenfest per i valori medi,

non hanno valore fondate, ma solo quello di principi euristici. Si possono riguardare come

sistemi di controllo: garanzie e vincoli a cui deve soddisfare la teoria quantistica per fornire

(e fornisce) risposte analoghe a quelle della fisica classica in ben definiti contesti, visto che

è “impossibile descrivere rigorosamente in termini strettamente classici l‟evoluzione

temporale di grandezze quantizzate” (Messiah, 1961).

Dopo oltre 70 anni dalla sua formulazione e dal suo impiego sempre più vasto nella ricerca

scientifica, solo negli ultimi due decenni si è cominciata ad introdurre la fisica quantistica

nell'insegnamento secondario1 (Phys. Educ., 2000; Zollman, 2000; Am. J. Phys., 2002),

benché alcune buone sperimentazioni parziali abbiano precorso i tempi (Boffi e D‟Anna,

1996; Lawrence, 1996; Stefanel, 1996; Giliberti e Marioni, 1997; Niedderer e Deylitz,

2000).

Il quadro che emerge dalla letteratura in merito all'impostazione è estremamente

diversificato nei modi, nei piani di analisi e nei contenuti. Le inevitabili difficoltà sul piano

concettuale e su quello formale, necessarie per rendere conto del profondo cambiamento

con cui viene interpretata la fenomenologia, hanno determinato la rinuncia alla

completezza, a favore della trattazione di selezionati aspetti che caratterizzano la nuova

1 Qui come nel seguito, quando si parla di Scuola Superiore Superiore (SSS) si fa riferimento al livello pre-

universitario di studi, per studenti di 16-19 anni di età.

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meccanica, scelti, tuttavia, in base a non condivisi criteri di importanza e novità che essi

introducono (Phys. Educ., 2000; Zollman, 2000; Greca e Moriera, 2001; Am. J. Phys.,

2002).

Il nostro lavoro ha avuto come riferimento l'impostazione tracciata da Dirac (1958). Viene

qui collocata nel panorama della ricerche sull‟insegnamento della meccanica quantistica

nella scuola secondaria e presentata nelle sue linee principali. Un sintetico riepilogo dei

risultati delle sperimentazioni effettuate fino ad ora fornisce una quadro delle sue

potenzialità e dei suoi limiti.

Diversi approcci didattici

L‟insegnamento della fisica dell‟ultimo secolo, è previsto da almeno due decenni nei

curricula delle scuole superiori di molti paesi2. Nonostante questo, non è maturata alcuna

tradizione di insegnamento in questo ambito. Molti lavori di ricerca sono stati fatti in

materia, ma non esiste a tutt‟oggi un‟opinione condivisa quanto ad aspetti da trattare e

impostazione da adottare (Phys. Educ., 2000; Greca e Moreira, 2001; Am. J. Phys., 2002).

Diverse scelte di quali temi considerare irrinunciabili e di quale formalismo adottare, che si

intrecciano spesso con divergenze di carattere epistemologico, hanno prodotto un ventaglio

di proposte per l‟insegnamento della MQ, che sono quasi più numerose di quante se ne

trovino per la fisica classica (Cataloglu e Robinett, 2002).

2 Per un panorama in particolare sui curricula dei paesi europei e degli Statu Uniti:

http://teachers.web.cern.ch/teachers/archiv/HST2001/syllabus/syllabus.htm

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La più diffusa, probabilmente mediata da approcci divulgativi, prevede l'introduzione della

quantizzazione delle principali grandezze descrittive degli stati stazionari dei sistemi

microscopici, mediante un'analisi dei problemi irrisolti, degli esperimenti o degli aspetti

classicamente non spiegabili, come ad esempio lo spettro del corpo nero, l‟effetto

fotoelettrico, l‟effetto Compton, l‟esperimento di Franck e Hertz3 (Born, 1953).

Consiste, in breve, nella ricostruzione razionale, spesso in chiave storica, delle idee, che

hanno portato alla cosiddetta fisica dei quanti. È bene rappresentata da quei testi

universitari che la utilizzano come introduzione alla trattazione rigorosa della teoria

quantistica (Born, 1953; Messiah, 1961) e da alcune proposte di ricerca anche recenti

(Stefanel, 1996; Giliberti, Marioni, 1997; Stavrou et al., 1999; Hadzidaki et al., 2000).

Trova traduzione didattica in molti libri di testo per le scuole superiori, in cui: la trattazione

è prevalentemente di tipo narrativo, agli elementi quantistici di volta in volta introdotti si

attribuisce solo carattere di ipotesi ad hoc, rinunciando a priori a darne motivazione per le

richiamate difficoltà formali; gli esiti degli esperimenti cruciali sono in genere proposti in

modo dichiarativo e assertivo come conferme a posteriori delle ipotesi formulate e non

discussi sulla base di un'analisi dati.

Ha valenze sul piano culturale e motivazionale, ma anche limiti contingenti difficilmente

3 Per una presentazione degli esperimenti cruciali si possono vedere i siti qui citati con: URDF 2002, dove

sono reperibili i materiali sviluppati a Udine sulla fisica quantistica; PERG 2004, dove sono reperibili i

materiali realizzati presso l'Università del Kansas.

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superabili legati da un lato alle difficoltà formali, per una sua proposta rigorosa, dall'altro

all'eccessivo tempo, necessario per integrarla con una presentazione delle principali idee e

di essenziali aspetti formali su cui si fonda la meccanica quantistica moderna (Stefanel

1996; Giliberti, Marioni, 1997; Olsen, 2001). Tale integrazione non risolve comunque il

nodo della incoerenza intrinseca ed estrinseca della fisica dei quanti. Essa è essenzialmente

basata sulla regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld per le variabili cicliche di un

sistema, estranea sia alla fisica classica, all'interno della quale comunque viene utilizzata

per selezionare le orbite possibili del sistema stesso, sia alla fisica quantistica, in cui non

trova posto se non come esito del calcolo del valore di aspettazione di misure di

localizzazione del sistema.

Diversi ricercatori, anche per superare i limiti indicati di un approccio alla fisica dei quanti,

hanno utilizzato un approccio ondulatorio. Le proposte sviluppate sono incentrate sul

concetto di funzione d‟onda come descrittore dello stato di un sistema, introdotta per lo più

in modo assiomatico. Hanno il duplice scopo di far riconoscere da un lato alcuni elementi

peculiari della fisica quantistica, come l'indeterminismo, la incompatibilità di alcune

grandezze (Haber-Shaum, 1975; Giliberti, Marioni 1997; Dobson et al., 2000), dall‟altro le

potenzialtà esplicative della nuova meccanica, in particolare in relazione alla struttura

atomica (Lawrence, 1996; Loria et al., 1979). Utilizzano quindi un formalismo, quello

dell‟analisi matematica, che ha almeno sulla carta una base familiare agli studenti di SSS.

Di fatto anche in questo caso, come nel precedente, il superamento di una trattazione

qualitativa o semiqualitativa richiede, anche per gli aspetti più semplici, l‟impiego di

strumenti formali, difficilmente gestibili dai ragazzi.

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Solo recentemente il computer ha permesso di superare, in gran parte le difficoltà formali

nella gestione operativa della funzione d'onda, lasciando aperto tuttavia il nodo di come

costruirla in termini di descrittore dello stato di un sistema quantistico (Bao et al., 1998).

Per il livello dei college statunitensi, sono state proposte strategie mirate a recuperare

l‟intuito nella comprensione dei fatti quantistici, attraverso l'utilizzo di applet che

permettono la rappresentazione della funzione d'onda e delle grandezze ad essa correlate,

rendendo esplicito come essa dipende e si modifica in relazione ai parametri del sistema di

cui essa descrive lo stato (Cataloglu e Robinett, 2002; UMPERG, 2003; Bao e Redish,

2002).

Una proposta con un approccio non formale alla fisica quantistica nella scuola superiore,

che fa riferimento comunque all‟approccio ondulatorio, utilizza applet di simulazioni

disponibili in rete per visualizzare aspetti sperimentali e concetti (Zollman et al., 2002;

PERG, 2004). Essa si qualifica per la struttura modulare, che permette di utilizzare i singoli

applet, proposti come pacchetti autosufficienti, in contesti differenziati, inserendoli in

percorsi basati su impostazioni anche profondamente differenti. Nello stesso filone si

collocano numerose proposte di visualizzazione della fisica quantistica e in particolare dei

modelli atomici che possono essere ora raffigurati con strumenti informatici. Recenti studi

hanno evidenziato numerose difficoltà di studenti nel collegare concetti quantistici e tali

rappresentazioni (Dimopoulos e Kalkanis, 2005). Un'interessante proposta è quella

sviluppata dal gruppo di Karlsruhe, in cui l'atomo quantistico viene rappresentato con il

modello a densità di carica o a densità di corrente elettrica. È un modello dinamico che si

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caratterizza per la possibilità di visualizzare in tre dimensioni il modello di atomo

quantistico quando si trova in stati stazionari e quando transisce tra due di detti stati.

(Hermann, 2004; Kahrlsruhe, 2002).

Anche se con caratteristiche molto diverse si possono collocare qui anche gli approcci

qualitativi alla fisica quantistica, come quelli che propongono semplici attività sperimentali

per il grande pubblico (Johansson e Nilsson, 2000).

Le nuove opportunità offerte dal computer hanno consentito anche di superare le notevoli

difficoltà formali di un approccio didattico alla teoria quantistica basata sul metodo della

somma sui cammini alla Feynman, valorizzandone al tempo stesso gli aspetti più intuitivi

(Taylor et al., 1998). Uno dei punti di forza di tale approccio, risiede nella possibilità di

determinare l‟evoluzione temporale della funzione d‟onda in modo semplice, almeno nelle

situazioni in cui si trattano sistemi liberi. I due seguenti nodi richiedono, invece, ancora un

approfondito lavoro di ricerca.

In primo luogo, l‟approccio alle “regole” del metodo, che viene in genere impiegato

(Lawrence, 1996; Fabri, 1996; Taylor et al., 1998) e che Feynman stesso aveva

originariamente adottato nelle sue opere divulgative (Feynman, 1985), è di tipo

assiomatico. Si consente in questo modo un raccordo solo a posteriori con i fatti e la realtà,

impedendo la possibilità di costruire per gradi i concetti.

In secondo luogo, con il metodo di Feynman si determina l‟evoluzione temporale di una

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particella quantistica, quando per esempio viene emessa in un punto A e rivelata in un altro

punto B, determinando la funzione d‟onda che la rappresenta, come somma dei contributi

associati a tutti i possibili cammini (classici), che il sistema stesso potrebbe impiegare per

portarsi da A a B. In questo modo, partendo dalle possibili traiettorie classiche percorribili,

si fonda l'impossibilità di associare una traiettoria ad una particella quantistica, fatto

implicito nel concetto stesso di funzione d'onda. Pur essendo questo un circolo solo

apparentemente vizioso dal punto di vista concettuale, fa emergere comunque un serio

problema metodologico-didattico (Ghirardi, 2000).

Un ulteriore filone, emerso dalla ricerca didattica, comprende proposte sull‟insegnamento

della fisica quantistica nella SSS con un‟impostazione alla Dirac, basate sulla descrizione

vettoriale (astratta) degli stati quantistici, imperniate sulla discussione del principio di

sovrapposizione lineare quantistico, come principio fondante della nuova teoria e quindi

contenuto irrinunciabile ad ogni livello. Tali proposte mirano a fornire i contenuti culturali

della teoria quantistica, mostrandone le potenzialità nell‟unificare la visione dei fenomeni

microscopici, puntando l‟attenzione sul ruolo giocato dal formalismo nell‟attribuire

significato agli enti fisici. In genere analizzano specifiche situazioni come quelle offerte

dall‟ottica fisica, con l‟utilizzo di minimi apparati matematici acccessibili a studenti della

scuola superiore, in grado tuttavia di far apprezzare novità e aspetti peculiari della teoria

quantistica (French, 1975; Toraldo di Francia, 1975; Ghirardi et al., 1995, 1996, 1997;

Pospiech, 1999, 2000; Dobson et al., 2000; Holbrow et al., 2002; Schneider e LaPuma,

2002).

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Il nostro lavoro di ricerca sull'introduzione della fisica quantistica nella scuola secondaria fa

riferimento a tale impostazione e si inserisce in questo filone.

Le idee degli studenti: tra fisica classica e fisica quantisica

Le ricerche sui problemi di apprendimento della meccanica quantistica sono state

sviluppate solo di recente con una certa sistematicità (McDermott e Redish, 1999; Greca e

Moreira, 2001).

Ne emerge un quadro abbastanza ampio su come gli studenti universitari apprendono i

concetti e il formalismo della meccanica quantistica (Johnston et al., 1998; Steiberg et al.,

2000; Singh, 2001; Bao e Redish, 2002; Cataloglu e Robinett, 2002). Qui si fa riferimento

solo agli aspetti relativi al concetto di stato quantico e alla relazione tra fisica classica e

quantistica.

Vi sono indicazioni in merito alle difficoltà a distinguere tra lo stato di un sistema, le

proprietà che lo caratterizzano, la sua rappresentazione formale (Singh, 2001). Il significato

fisico di tale rappresentazione costituisce un ulteriore problema frequentemente rilevato in

letteratura sotto diverse forme. Per esempio gli studenti attribuiscono indifferentemente alla

funzione d'onda il significato di ampiezza di probabilità, probabilità, distribuzione di

probabilità (Bao et al., 1998; Rebello e Zollman, 2000; Singh, 2001). Se la immaginano

come un ente fisico che vive in uno spazio reale, non la identificano chiaramente con un

ente formale definito in uno spazio astratto (Niedderer e Deylitz, 2000; Steinberg et al.,

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2000). Hanno difficoltà nel capire come evolva nel tempo, sia quando non vengono

effettuate misure, sia quando in seguito ad un processo di misura collassa su un ben definito

stato. Ad esempio il collasso della funzione d‟onda viene associato a volte alla sparizione

(annichilazione?) del sistema (Cabral, 2004).

Per quel che riguarda i ragazzi della scuola superiore i risultati sono meno dettagliati, e per

lo più legati a elementi di contesto, in quanto le poche indagini svolte mirano più a

confrontare l'impatto sugli studenti delle scelte di impostazione e strategia adottate, con

quello di un non meglio definito standard della didattica tradizionale (Zollman, 2000).

In particolare le ricerche in cui si adotta una linea di continuità tra fisica classica e fisica

quantistica, non hanno chiarito quali idee vengano generate negli studenti quando si

accostano concetti che sono irrimediabilmente inconciliabili come quelli classici e

quantistici; se un tale accostamento, consenta poi di riconoscere le differenze e i concetti

peculiarmente non classici dei sistemi quantistici. Hanno invece messo in evidenza quelle

difficoltà di apprendimento che si manifestano nella interpretazione di una situazione

quantistica, in conseguenza di difficoltà relative alla comprensione dell‟analoga situazione

classica. Ne sono esempi le indagini sulle difficoltà nell'utilizzo del concetto di energia, a

causa della mancata comprensione del concetto di conservazione di energia in fisica

classica, o quelle che evidenziano una forte correlazione tra le difficoltà a determinare le

regioni di maggiore probabilità di localizzazione di un sistema quantistico e dell'analogo

classico (oscillatore armonico) (Bao et al., 1998; Rebello e Zollman, 2000; Steinberg et al.,

2000; Bao e Redish, 2002; Cataloglu e Robinett, 2002).

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D‟altro canto, le positive valutazioni sull‟acquisizione di concetti come la

complementarietà, il principio di sovrapposizione, il concetto di stato, emerse in relazione

all‟impatto di proposte che puntano sugli elementi di rottura tra fisica classica e quantistica,

non sono ancora supportate da un numero sufficiente di sperimentazioni per capire se esse

siano effettivamente generalizzabili (Stefanel, 2001; Fishler, 2000; Pospiech, 2000a;

Michelini et al., 2001).

Pochi elementi emergono inoltre sulla natura strutturale dei problemi di apprendimento

rilevati e su come le concezioni quantistiche si strutturano in relazione a quelle classiche.

Il retroterra di conoscenze e soprattutto concettuale (background), con cui i ragazzi

affrontano idee o contesti quantistici, così come emerge in modo più o meno indiretto dagli

esiti di ricerca, può essere in breve sintetizzato nei seguenti punti.

- Conoscenza. Gli studenti manifestano uno conoscenza di concetti e contenuti: non

sistematica, non organica e non generalizzata di alcuni dei fenomeni non interpretabili

in termini unicamente classici (Olsen, 2001; Kalkanis et al., 2003); scarsa o nulla in

merito alla portata culturale della teoria e di quali sono i suoi concetti cardine

(Pospiech, 2000a; Müller e Wiesner, 2002); manualesca del modello di Bohr e a volte

del concetto di orbitale (Giliberti e Marioni, 1997; Rebello e Zollman, 2000; Müller e

Wiesner, 2000; Fischler, 2000); piuttosto confusa o assente del dualismo onda-

corpuscolo (Olsen, 2002); assente in merito ai fenomeni o aspetti della quotidianità

rivelatrici della natura quantistica dei fenomeni microscopici (Stefanel et al., 2004).

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- Idee classiche e idee quantistiche. Gli studenti tendono a: utilizzare concetti classici,

come ad esempio quelli di traiettoria (Niedderer, 1987), e posizione (Müller e Wiesner,

2000, 2002; Fishler, 1999; Kalkanis et al., 2003; Mashadi, 1996), attibuire proprietà

classiche a sistemi quantistici (Olsen, 2002); generalizzare i risultati, in particolare

laddove si riconosca la similitudine dei casi classici e quantistici corrispondenti

(Fishler, 2000; Bao e Redish, 2002).

Dalla letteratura emergono chiare indicazioni solo in merito alla negatività di determinati

approcci. Per esempio l‟insegnamento di modelli semiclassici, producono sistematiche e

generalizzabili difficoltà nell‟acquisizione di concetti genuinamente quantistici. Alla base

di tali difficoltà vi sono sicuramente complessi problemi di natura concettuale nascosti in

tali modelli, come in particolare quelli che caratterizzano la vecchia fisica dei quanti e ben

rappresentati dall‟atomo di Bohr: quali aspetti restano quantistici e quali possono essere

assunti come classici? quali considerazioni motivano le ipotesi di quantizzazione? quali

sono portata e limiti di ciascun modello? Una volta appresi e riconosciutane la capacità

esplicativa, non solo sono profondamente difficili da superare, ma anche vengono assunti

come paradigmi che attivano idee non coerenti con i principi della teoria quantistica

(Rebello e Zollman, 2000; Müller e Wiesner, 2000; Fishler, 2000). Diventano quindi non

solo causa di difficoltà di apprendimento, ma proprio inibiscono la costruzione di concetti

più generali (Giliberti e Marioni, 1997; Stefanel, 1997; Müller e Wiesner, 2000; Olsen,

2001).

Ad analoga conclusione si può giungere, in merito ad approcci didattici che enfatizzano

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l‟analisi di situazioni in cui la fisica classica e la fisica quantistica forniscono risposte

simili, come nel caso di stati atomici con grande numero quantico. Senza una profonda (e

dispendiosa in termini di tempo) discussione di quali sono le condizioni in cui ciò si

realizza e come, ossia per quali aspetti, ciò si realizza, portano a erronee generalizzazioni di

questi risultati o all‟attribuzione di comportamenti quantistici anche a sistemi classici,

ovvero di andamenti classici a sistemi quantistici (Fishler, 2000; Bao e Redish, 2002;

Stefanel et al., 2004). Processi e concetti, che in meccanica quantistica subiscono una

profonda critica e revisione, come il processo di misura e il concetto di disturbo che essa

produce su un sistema, se non vi è una specifica e profonda analisi critica in contesto,

vengono riproposti in termini classici (Müller e Wiesner, 2000, 2002; Singh, 2001).

Sono da ricordare qui infine alcune indicazioni in merito a difficoltà nel correlare fatti e

teoria in questo specifico ambito (Fletcher e Johnston, 2000) e all‟importanza, che anche in

questo campo apparentemente astratto e lontano da fatti immediatamente accessibili

l‟operare pratico e concettuale (hands-on, minds-on), giochino un ruolo molto importante

nell'attivare la concettualizzazione (Lawrence, 1996; Stefanel, 1996; Rebello, Zollman

2000).

Le nostre scelte di fondo

Il nostro lavoro di ricerca si è sviluppato a partire dall'inquadramento organico che Dirac ha

dato della meccanica quantistica (1958), ripreso e attualizzato da altri autori di testi

universitari (Sakurai, 1985; Levy Leblond, Balibar, 1990; Townsend, 1992; Gottfried,

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1996). Punta a discutere fin dall'inizio i concetti fondanti, la loro rappresentazione formale,

il significato fisico di tale rappresentazione. Si è avvalso del lavoro di rianalisi critica dei

fondamenti teorici sviluppatosi nella seconda metà del secolo scorso (Baym, 1969;

D‟Espagnat, 1976; Bell, 1987; Ghirardi, 1997, Ghirardi, Rimini, Weber, 1986; Sonego,

1992) e supportato dalla realizzazione di esperimenti inizialmente concepiti solo come

ideali (Aspect, Dalibard, Rogers, 1982; Go, 2003).

Si è concretizzato in una proposta didattica, in cui si affronta il significato fisico del

principio di sovrapposizione e le conseguenze che da esso derivano, scegliendo semplici

contesti fenomenologici, come quello della polarizzazione. Per livelli successivi vengono

introdotti i concetti (Ghirardi et al., 1995, 1996, 1997) e la loro rappresentazione formale

(Michelini et al., 2000, 2001, 2003; Stefanel et al., 2003). Diversi strumenti, come schede

per studenti, simulazioni applet java, e materiali anche disponibili in web, supportano la

formazione insegnanti, la loro attività di progettazione e sperimentazione (Michelini et al.,

2002; Michelini e Stefanel, 2004). È stata sperimentata per ora in classi e progetti pilota

(Stefanel, 2001; Michelini et al., 2001, 2004a) e nella formazione iniziale degli insegnanti

di fisica (Michelini et al., 2004; Stefanel et al., 2004).

L’approccio

L'approccio scelto propone un‟analisi di contesti reali, per ricavare leggi empiriche che li

descrivono, per poi interpretare tali leggi direttamente secondo un riferimento concettuale

quantistico. L‟assunto che ci siamo posti come obiettivo nello sviluppo della nostra

proposta didattica è stato quello di interpretata la fenomenologia, in particolare quella

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dell‟ottica fisica, direttamente in termini quantistici.

Si affronta il nucleo della teoria a partire dal principio di sovrapposizione: la polarizzazione

come proprietà quantistica della luce, analizzata fenomenologicamente mediante semplici

esperimenti reali di interazione dei singoli fotoni con polaroid e materiali birifrangenti, è il

contesto in cui esplorare ipotesi interpretative in una palestra concettuale di esperimenti

ideali.

L'impostazione

L'esame degli esiti dell'interazione di fotoni con polaroid fa rivisitare la legge di Malus

nella prospettiva di preparazione ovvero di misura di una certa proprietà di un sistema

fisico (la polarizzazione come proprietà della luce). Il riconoscimento di uno stato associato

ad una proprietà fisica della luce (la polarizzazione) è il preludio all'individuazione di

proprietà mutuamente esclusive prima, ciascuna delle quali risulta incompatibile con

qualsiasi altra proprietà (di polarizzazione). Il principio di indeterminazione e

l'indeterminismo quantistico vengono riconosciuti dal comportamento di fotoni polarizzati

linearmente nell'interazione con polaroid. Mediante l'analisi del comportamento di fotoni

quando interagiscono con cristalli birifrangenti, viene discusso come lo stato di

polarizzazione secondo una certa direzione sia associato al vettore somma di stati

ortogonali componenti e non possa essere considerato una loro miscela statistica, né i

risultati sperimentali possano essere previsti sulla base di informazioni definite a priori e

trasportate dai fotoni stessi. Una conseguenza di questo risultato è la impossibilità di

associare una traiettoria ad un sistema quantistico, come si può riconoscere nell'interazione

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di fasci di fotoni polarizzati con un sistema di due cristalli birifrangenti, uno diretto e uno

inverso allineati.

Nello stesso contesto si discutono il problema della teoria quantistica della misura, della

descrizione dei macroggetti (Ghirardi et al., 1995, 1996, 1997).

La fenomenologia trattata è così semplice, che consente anche lo sviluppo del formalismo

in modo accessibile a studenti di scuola superiore. Risulta infatti immediato mostrare come

lo stato di un fotone polarizzato linearmente possa essere descritto da un vettore

appartenente ad uno spazio vettoriale astratto. Si introducono gli operatori di proiezione,

come descrittori di apparati di misura che selezionano lo stato del sistema (nello specifico

dei polaroid come selettori di stato di polarizzazione). Mentre si attribuisce significato

fisico ad operatori lineari più generali, costruiti come combinazioni lineari di proiettori, in

modo estremamente diretto, calcolando il valore di aspettazione delle possibili osservabili

associate ad un fotone linearmente polarizzato (Michelini et al., 2000, 2001, 2003).

La discussione di ulteriori contesti, apre la strada alla generalizzazione di risultati. In

particolare l‟introduzione dell‟operatore impulso porta alla individuazione dei suoi autostati

e quindi alla possibilità di considerare situazioni in cui fotoni si propagano senza interagire

con la materia, come si ha nei fenomeni di diffrazione.

L'entanglement di sistemi quantistici correlati viene proposto con un'analisi

fenomenologica dell'esperimento tipo EPR proposto da Mermin (1990). Pur senza l'utilizzo

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del formalismo emergono la potenza predittiva del principio di sovrapposizione e il

carattere non locale della teoria quantistica (Michelini et al., 2004a).

Gli strumenti didattici

Per la conduzione delle attività con i ragazzi sono state progettate apposite schede che

costituiscono parte integrante della proposta sull'insegnamento della meccanica quantistica.

Attivano strategie di tipo PEC (Previsione-Esperimento-Confronto) (Martongelli et al.,

2001; Michelini, Santi, Sperandeo, 2002) e sono basate sull‟inquiring methods (McDermott

et al., 2000). Sono di due tipi: a) Schede esperimenti, (tre relative al punto 1 dell'appendice)

strutturate con domande di previsione degli esiti sperimentali, raccolta ed elaborazione dati

sperimentali, confronto con le ipotesi, costruzione delle leggi fenomenologiche; b) Schede

concettuali, (sette relative ai punti 2-4, 5-8, 10, 11, 12, 13-15) strutturate con domande-

stimolo per la esplorazione di ipotesi interpretative ipotesi in merito allo specifico contesto

considerato (Michelini et al., 2004a).

Una rappresentazione

iconografica delle

proprietà di un fotone

(figura 1) è stata usata

come strumento

didattico, con cui

favorire il passaggio da idee qualitative alla loro formalizzazione. Essa è fondata sull'idea

che sia possibile, almeno operativamente, associare una proprietà ad un sistema quantistico

Rappresentazione Formalizzazione

fotoni con proprietà * stato rappresentato dal versore H’

fotoni con proprietà stato rappresentato dal versore V’

probabilità di transizione H’V’: P(H’V’)=( H’ • V’)=0 H’ V’

proprietà mutuamente esclusive:

* e

vettori di stato mutuamente

ortogonali: H’ V’

proprietà incompatibili: e * ( stato sovrapposizione:

u45 zz(1/√2) (H’+V’)

Figura 1. Formalizzazione dei concetti: con la rappresentazione

iconografica delle proprietà attribuite ai fotoni; con la rappresentazione

vettoriale degli stati dei fotoni.

20

quando si effettuano misure ripetute della stessa grandezza fisica, sufficientemente vicine

spazialmente e temporalmente (Einstein et al., 1935; D‟Espagnat, 1976; Hughes, 1989).

Alcuni risultati

Ad oggi la proposta, di cui si è delineata l'impostazione e il cui percorso di riferimento è

riepilogato a punti in appendice, è stata discussa in diverse attività di formazione insegnanti

(Michelini et al., 2004; Stefanel et al., 2004) e sperimentata in classe, da circa 300 studenti

di 17-19 anni tutti di quinta liceo scientifico in contesti differenziati in:

A) sperimentazioni con classi pilota

B) sperimentazioni nelle classi/scuole in cui si sono svolti i tirocini dei docenti in prima

formazione formati di cui si è accennato

C) attività pomeridiane di discussione con studenti volontari (Michelini et al., 2004a)

Si sintetizzano qui i risultati relativi a sperimentazioni realizzate nei tre differenti contesti

indicati e realizzate con circa 200 studenti, con la precisazione che quelli relativi ai contesti

B) hanno una sufficiente base numerica per essere significativi sul piano statistico, mentre

gli altri vanno considerati come esito di case study.

Sperimentazioni in classe

A) Sperimentazioni in classi pilota. Una preliminare sperimentazione è stata condotta in

una classe pilota di 21 alunni, come test di fattibilità della nostra proposta (Stefanel, 1999;

21

Michelini et al., 2001).

Ha fornito positive indicazioni in questo senso in merito ai seguenti aspetti. La

fenomenologia indagata è alla portata dei ragazzi e può essere esplorata in classe con

strumentazioni commerciali. 18 ragazzi hanno evidenziato buona padronanza della

fenomenologia, 3 hanno evidenziato insicurezza nel padroneggiare la legge di Malus e la

fenomenologia della birifrangenza.

L'80% dei ragazzi, ha saputo interpretare e distinguere situazioni ideali e reali. Gli elementi

che hanno prodotto questo risultato sono stati: l'aver preparato il passaggio

dall‟esperimento reale, a quello ideale con un'ampia esplorazione di contesti reali; favorire

tale passaggio con una analisi di casi e simulazioni realizzate con mirati tools informatici,

che consentono di esplicitare e riconoscere gli aspetti reali che sono modellizzati

dettagliatamente e quelli che invece vengono eliminati nel modello. In altro senso gli

studenti sono in grado di passare da situazioni reali a quelle ideali avendo chiarezza su

quale parte di realtà il modello simulato riproduce.

L‟uso di rappresentazioni simboliche, iconografiche favorisce, almeno nell'70% dei casi, la

formulazione di ipotesi e la esplicitazione di idee e sembra uno strumento catalizzatore del

passaggio da una lettura qualitativa della fenomenologia alla sua formulazione.

In merito agli apprendimenti dei ragazzi e alle modalità con cui avvengono si può

sintetizzare quanto segue. Il possesso della fenomenologia, maturato per esperienza diretta,

22

legge di Malus e fenomenlogica quantitativa della polarizzazione 4/6

Fenomenologia birifrangenza 5/6

Link esperimento reale /ideale 3/6

Interpretazione probabilitistica legge Malus 6/6

Associazione stato-proprietà 5/6

Proprietà mutuamente esclusive/incompatibili 6/6

Impossibilità associazione cammino al fotone 3/6

Indeterminismo e principio indeterminazione 3/6

Associazione stato vettore e formalizzazione principio

sovrapposizione

6/6

Probabilità di transizione 6/6

Tabella 1. Contenuti disciplinari indagati nel test di uscita per gli studenti

condiziona in modo decisivo la fase di concettualizzazione, il 20% dei ragazzi che ha

padroneggiato la fenomenologia, è quello stesso che non ha manifestato particolare

progresso cognitivo; l‟interpretazione dei dati sperimentali, una volta che il primo passo è

garantito, in termini di probabilità di trasmissione del singolo fotone non è problematica

(per oltre l'80%). I ragazzi hanno dimostrato nella maggior parte dei casi di essere in grado

di comprendere concetti quali l‟incompatibilità (62%), l‟indeterminismo e il concetto di

stato quantico (70%), seppure con modi differenziati e con diversa consapevolezza.

B) Sperimentazioni nei tirocini (Michelini et al., 2004). Nella tabella 1 sono presentati gli

aspetti indagati nei test che

sono stati proposti in 6 classi

ad un totale di 143 studenti

dagli insegnanti in

formazione della Scuola di

Specalizzazione

all'Insegnamento Secondario.

Gli esiti generali sono i seguenti: la fenomenologia dell‟interazione di fotoni con polaroid è

stata compresa e padroneggiata da una larga maggiornza di ragazzi (da 70 a 90 %). Meno

sicura invece è la padronanza del contesto fenomenologico della birifrangenza (circa 70%)

La quasi totalità dei ragazzi ha compreso il significato di proprietà mutuamente esclusive,

mentre non da tutti é stata raggiunta la comprensione del concetto di proprietà incompatibili

(55%). Il ruolo giocato dal formalismo, almeno ad un primo livello, è stato ampiamente

23

riconosciuto (70% almeno). In modo indiretto e non completamente quantificabile

emergono difficoltà a superare il contesto fenomenologico specifico affrontato.

C) Attività pomeridiane. Per approfondire i punti critici, che producono le discusse

difficoltà nell‟apprendimento della MQ è stato messo a punto uno studio condotto in

un‟attività pilota di discussione concettuale realizzata con 17 studenti dei Licei Scientifici

cittadini con i seguenti obiettivi:

ruolo nell‟apprendimento dei ragazzi giocato dal raccordo con il contesto esplorato

modalità con cui i ragazzi passano da interpretazioni classiche a idee quantistiche

ruolo giocato dal formalismo nell‟apprendimento

I risultati emersi si possono sintetizzare come segue.

La costruzione di ipotesi e il riconoscimento delle conseguenze che coerentemente ne

derivano producono il superamento della crisi cognitiva attivata nel confronto di previsioni

e risultati sperimentali. Tale competenza viene manifestata dai ragazzi, ancorando il proprio

ragionamento a un contesto fenomenologico specifico conosciuto operativamente e non

solo in relazione agli esiti sperimentali, come era emerso nella sperimentazione preliminare

(Stefanel, 1999). L„uso di simulazioni può aiutare alla costruzione del quadro

fenomenologico di riferimento, ma non la può sostituire.

L'acquisizione del quadro concettuale è in genere dipendente dal contesto esaminato.

24

Le maggiori difficoltà di apprendimento in merito al concetto di stato quantico sono legate

a quello di incompatibilità. Esse si manifestano nella difficoltà ad abbandonare l‟idea

(classica) profondamente radicata di poter prevedere l‟esito di una misura in base a

proprietà preesistenti del sistema misurato.

Le idee quantistiche vanno a giustapporsi a quelle classiche. Non si é manifestato un

cambiamento concettuale, ma piuttosto l‟utilizzo in alternativa di schemi teorici diversi.

Dalla esperienza maturata, il formalismo sviluppato ad un primo livello e limitatamente agli

specifici contesti indagati viene gestito ad un primo livello (almeno da ¾ dei ragazzi). Esso

non è risultato un ostacolo all‟apprendimento, ma al contrario lo ha favorito. Il limitarsi al

campo reale e a sistemi a due stati non esaurisce le problematiche fondanti della teoria

quantistica, ma certamente consente di analizzare a fondo gli aspetti peculiari della teoria

quantistica.

Indicazioni sono emerse inoltre nella capacità di gestione operativa di parti del formalismo,

ma senza chiarezza sul suo significato nei ragazzi che non padroneggiavano il quadro

fenomenologico, come è ben noto in molti altri ambiti della fisica.

Sono state infine confermati i risultati preliminari in merito alla potenzialità della

rappresentazione iconografica nel favorire la costruzione di ipotesi e il passaggio dal piano

descrittivo delle fenomenologie indagate a quello della formalizzazione dei concetti. Le

25

schede di lavoro basate sulla strategia PEC, sono un importante strumento per fissare le

idee e favorire l'analisi di coerenza delle diverse ipotesi esplorate.

Conclusioni

É oramai riconosciuto a tutti livelli, che la teoria quantistica riveste un ruolo

particolarmente importante nella cultura del XX secolo e pertanto deve contribuire al

bagaglio formativo dei cittadini. Nell'ampio e differenziato panorama di proposte che sono

state sviluppate per l'insegnamento di questo tema nella scuola secondaria, ci siamo inseriti

nel filone che mira a formare alle metodologie proprie della meccanica quantistica, come

vengono caratterizzate nell'approccio alla Dirac. Con l‟obiettivo di formare al pensiero

teoretico, essa si basa sullo sviluppo delle idee quantistiche in una palestra concettuale sulla

fenomenologia della polarizzazione. Si focalizza sui concetti fornendo plausibilità alle

modalità con cui la fisica quantistica rende conto dei fenomeni. Sviluppa il formalismo di

base prima in spazi bidimensionali per poi generalizzarlo a spazi di dimensione arbitraria.

Esplora gli aspetti peculiari della fenomenologia quantistica, come l'indeterminismo non

espistemico e l'incompatibilità, mostrando come il loro significato fisico emerga dal

formalismo. Fornisce elementi sulle potenzialità esplicative della teoria, proponendo gli

aspetti che la caratterizzano come l'entanglement e la non località.

Dalle sperimentazioni effettuate in contesti diversi con studenti degli ultimi anni della

scuola superiore emergono chiare indicazioni di fattibilità. Sono state inoltre documentate

le modalità con cui i ragazzi apprendono e utilizzano i concetti quantistici.

26

Un ruolo centrale viene giocato dalla conoscenza diretta e operativa del contesto

fenomenologico di riferimento per la comprensione dell'interpretazione probabilistica dei

processi, del concetto di incompatibilità e di sovrapposizione e del significato fisico del

formalismo. Il coinvolgimento operativo degli studenti ha un ruolo importante anche nel

modo in cui strutturano i concetti quantistici su piani paralleli a quelli su cui si collocano i

concetti classici. L'apprendimento delle idee quantistiche non si configura, quindi, come un

cambiamento concettuale in cui le nuove idee sostituiscono o si integrano con le precedenti,

ma come una giustapposizione di tali differenti piani di idee. Laddove tale strutturazione

non avviene si assiste alla fusione di idee classiche e quantistiche e alla incapacità di

differenziare contesti e concetti classici da quelli quantistici. Tale fusione viene favorita e

spesso irrimediabilmente strutturata dall'affrontare modelli semiclassici. Dalle ricerche sui

problemi di apprendimento emergono indicazioni indirette, che analogo esito possano

produrre anche gli approcci che privilegiano una linea di continuità tra fisica classica e

quantistica.

L'acquisizione del concetto di stato quantico passa necessariamente, attraverso la

comprensione del concetto di incompatibilità, che risulta il nodo centrale e più difficile da

superare. Per questo è necessario esplorare sino in fondo e con rigore le conseguenze a cui

si giunge nel tentare di attribuire elementi di realismo (ingenuo) ai sistemi quantistici.

Il formalismo è accessibile, almeno nella sua forma più semplice in spazi bidimensionali,

anche a studenti di scuola superiore. Favorisce e potenzia la comprensione e costruzione dei

concetti, solo se è avvenuta la strutturazione in piani paralleli dei concetti classici e

27

quantistici poc'anzi delineata.

Lo strumento metodologico, che è la chiave della positiva acquisizione della meccanica

quantistica da parte degli studenti e costituisce al tempo stesso il valore qualificante della

nostra proposta, è l'analisi coerente di specifiche fenomenologie mantenendosi all‟interno

di un unico quadro teorico. Questo costituisce un elemento a favore di approcci didattici

focalizzati sugli aspetti caratteristici e peculiari della teoria quantistica, in grado di

stimolare lo sviluppo del pensiero teoretico, di abilità argomentative e di generalizzazione.

Appendice: passi del percorso didattico

1. Con semplici esperimenti di interazione dei singoli fotoni con polaroid e materiali

birifrangenti, si costruisce l‟idea di polarizzazione come proprietà della luce. Le leggi

fenomenologiche di Malus e della trasmittività attraverso l‟uso di sensori di luce on-line

consentono di dare una descrizione empirica completa del contesto considerato.

2. Tale descrizione consente di riconoscere in che cosa consista operare con polaroid

ideali (coeffiente di trasmissione e grado di polarizzazione unitari).

3. Con l‟utilizzo di tools informatici implementati su fogli elettronico e in applet java si

passa dalle situazioni reali a quelle in cui la luce interagisce con polaroid ideali, da

sistuazioni a molti fotoni a quelle a singolo fotone.

4. Si reinterpreta la legge di Malus in termini probabilistici

5. Si definisce operativamente in quali situazioni è lecito assegnare proprietà definite ad

un sistema: fotoni filtrari da un primo polaroid vengono sempre trasmessi da polaroid

28

con assi di trasmissione paralleli a quello del primo polaroid; tale caso certo può essere

(operativamente) ricondotto al fatto che i fotoni prima della misura possedevano una

proprietà. Si rappresenta tale proprietà in modo simbolico/grafico.

6. Con l‟uso di polaroid incrociati si riconosce che esistono proprietà mutuamente

exclusive, che corrispondono a quelle in cui il sistema può trovarsi in seguito al

processo di misura.

7. L‟analisi dell‟interazione di fotoni polarizzati a 45° su polaroid orizzontali, ovvero

verticali porta a riconoscere l‟esistenza di proprietà incompatibili (associate a fotoni

polarizzati verticalmente/orizzontalmente e obliquamente)

8. Il fatto che esistano tali proprietà incompatibili, comporta l‟indeterminismo quantistico.

Viene discusso con l‟utilizzo di due cristalli birifrangenti, uno diretto e uno inverso, che

ciò comporta l‟impossibilità, di principio, di associare una traiettoria alle particelle

quantistiche

9. L‟analisi dell‟interazione di fotoni polarizzati a 45° su polaroid verticali/orizzontali può

essere proposta anche in merito alla ipotesi che lo stato a 45° sia una miscela statistica

degli stati componente, ossia che gli esiti dell‟interazione siano prevedibili in base a

proprietà definite e preesistenti la misura. Se si attribuisce un ruolo passivo ai polaroid è

facile vedere che ciò è inconsistente con gli esperimenti. Nel momento in cui si

riconosce il ruolo attivo dei polaroid si vede che i risultati sperimentali possono ancora

essere coerentemente spiegati. Parallelamente si avvia alla costruzione del concetto di

stato quantico.

10. L‟interazione di fotoni con due cristalli birifrangenti diretti, uno dei quali ruotato di 45°

intorno alla direzione di propagazione della luce (Pospiech, 2000a), che chiarisce

29

l‟impossibilità di attribuire proprietà preesistenti ai sistemi quantistici, ovvero

l‟impossibilità di elementi di realismo ingenuo nella descrizione dei sistemi quantistici.

11. Si può vedere che tale ipotesi ha una conseguenza particolarmente sorprendente nel

momento in cui si analizzano sistemi correlati. Emergono: l‟entanglement dei sistemi

correlati; la non località della teoria quantistica (Mermin, 1990); l‟impossibilità di

attribuire proprietà oggettive e locali ai sistemi quantistici.

12. La semplice geometria dei polaroid porta a riconoscere semplicemente la possibilità di

descrivere lo stato di polarizzazione con un vettore. Tale descrizione risulta completa in

quanto è sufficiente a riprodurre il comportamento statistico dei fotoni, ossia la

fenomenologia, attraverso la legge di Malus.

13. Si riconosce che l‟azione di un polaroid sullo stato dei fotoni è strutturalmente analoga

a quella di un proiettore su un vettore di stato.

14. Si considerano operatori più generali, combinazione lineare di proiettori, e si esplora

come operano su vettori generici e sui vettori base dello spazio dei vettori di stato

15. Si riconosce il significato fisico di un operatore, collegandolo al valore di aspettazione

di una osservabile. Si determina il valore di aspettazione dell‟osservabile polarizzazione

di fotoni polarizzati a 45° che incidono su un cristallo birifrangente e vengono rivelati

da due rivelatori posti all‟uscita del fascio ordinario e di quello straordinario. Si

riconosce il ruolo degli autostati e il significato degli autovalori.

16. Si generalizzano i risultati a osservabili qualsiasi. In particolare si introduce l‟operatore

impulso e lo si caratterizza in termini operatoriali e attraverso i suoi autovettori.

17. Si discute il significato di sovrapposizione in un caso generale (es. degli stati di energia)

18. Si generalizzano i risultati agli operatori in particolare riconoscendo la non

30

commutatività della loro algebra e la sua correlazione con le relazioni di Heisenberg

Un diciannovesimo punto, attualmente allo studio, riguarda semplici esemplificazioni di

situazioni (l‟elettrone in una scatola, l‟oscillatore armonico)

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