• Ondas longitudinales: Una onda longitudinal es aquella en la que el movimiento de oscilación de las partículas del medio es paralelo a la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales reciben también el nombre de ondas de presión u ondas de compresión. El sonido en el aire es un ejemplo de una onda longitudinal.

• Ondas no dispersivas:

• Por ejemplo en el aire todas las frecuencias viajan a la misma velocidad, la velocidad del sonido.

La comunicación hablada y el disfrute de música seria imposible si en el aire cada frecuencia tuviese una velocidad diferente.

• En ondas dispersivas las frecuencias viajan a diferentes velocidades: Estas ondas se dan en solidos y un ejemplo de estas son las ondas trasversales en barras.

¿Qué tipo de ondas existen en gases?

• Las ondas acústicas en gases son no dispersivas ya que todas las frecuencias viajan a la misma velocidad.

La ecuación de onda en gases: temas

2. Desarrollo de la ecuación de onda en una dimensión – onda plana

3. Solución de la ecuación de onda plana: • Comprobaciones y conclusiones fundamentales:

a)𝑍𝑜 = 𝑝𝑢

= 𝜌𝜌 donde: p = presión acústica y u = velocidad de la partícula

b) 𝑝 𝑦 𝑢 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑓𝑒𝜌𝑒

6. Solución de la onda tridimensional – onda esférica • Comprobaciones y conclusiones importantes:

c) En campo cercano a la fuente 𝑍𝑒 ≠ 𝑍𝑜

d) En campo alejado a la fuente 𝑍𝑒 ≈ 𝑍𝑜

5. La onda tridimensional – onda esférica

1. La onda en una dimensión – onda plana – representación grafica

4. Intensidad y energía acústica en ondas planas

Intensidad acústica = 𝐼 = 𝑃2

𝜌𝑐 Densidad de energía 𝐷 = 𝐼

𝐶

1. 1 ¿Qué es y cómo se produce el sonido en el aire?

• Subjetivamente el sonido es algo que escuchamos debido a la vibración del aire.

• Estas vibraciones causan pequeñas fluctuaciones en la presión atmosférica. - Vibraciones generalmente están asociadas con sistemas mecánicos - El aire también tiene masa y rigidez ( resistencia a ser comprimido)

1. La onda en una dimensión – onda plana – representación grafica

• Cuando la onda pasa atreves de una región de aire este es localmente comprimido y expandido. El aire trata de regresar a su estado de equilibrio y al hacer esto pasa energía a la región adyacente y la onda se propaga.

Longitud de onda Presión acústica

Región en compresión

Región en rarefacción

1.2 ¿Qué es y cómo se forma una onda plana?

1 2 3 4 5

Una onda plana es una onda longitudinal que se propaga en una sola dirección a lo largo del espacio.

Aire comprimido por el pistón _ región en compresión

La onda comienza a desplazarse

Región en rarefacción

Tubo sin fin con gas/aire dentro _ el pistón esta estacionario__no ondas sonoras

Al termino del ciclo de giro del pistón tenemos una onda plana completa

• En una onda plana los frentes de ondas son planos paralelos de amplitud constante normales a la dirección de propagación.

Dirección de propagación

• Una onda longitudinal es aquella en la que el movimiento de oscilación de las partículas del medio es paralelo a la dirección de propagación de la onda

2. Desarrollo de la ecuación de onda en una dimensión – onda plana

2.2 Supociones para el desarrollo de la ecuación de onda:

2.1 ¿Qué es la ecuación de onda? Es una ecuación diferencial que define el comportamiento de la presión, densidad y otras variables en espacio y tiempo.

• El gas/fluido es:

- isotrópico: es decir sus propiedades son iguales en todas las direcciones

• Solo para amplitudes de onda pequeñas

• El gas/fluido se comporta de acuerdo a:

- La ecuación de continuidad – conservación de masa

- La ecuación de estado del gas ideal

• No existe disipación de energía

Dirección de la onda

2.3 la ecuación de onda unidimensional – onda plana • Para derivar la ecuación de onda analizamos sola una pequeña sección del volumen

del gas.

• El volumen original de la sección es: V = 𝑆𝑆𝑆

• Cuando la onda atraviesa la sección ABCD esta se mueve en una dimensión, en este caso hacia la derecha (en el plano 𝑆) y tiene una nueva posición A’B’C’D’. • Como sabemos que la onda expande o comprime el volumen V entonces en la nueva

posición A’B’C’D’ el volumen debe ser distinto. Este nuevo volumen puede ser escrito como:

(i)

(ii) (iv)

(iii)

• ξ= desplazamiento causado por la onda

𝑉 + 𝑆𝑉 = 𝑆𝑆𝑆 + 𝑆𝑆𝑆𝜕ξ𝜕𝑆 𝐷𝐷𝑒𝑆𝑒 𝑙𝑒 𝑣𝑒𝑣𝑣𝑒𝜌𝑣𝐷𝑒 𝑆𝑒 𝑣𝐷𝑙𝑢𝑣𝑒𝑒 𝑒𝑒: 𝑆𝑉 = 𝑆𝑆𝑆 𝜕ξ

𝜕𝜕 (1.1)

• 2.3.1 Modulo de Bulk:

• Define la Resistencia a la compresión de un fluido o gas. Se refiere a la presión necesaria que se debe aplicar a un liquido/gas para generar una perdida del volumen.

• Se puede pensar como la medida de la

elasticidad del gas/fluido, algo así como el modulo de Young en solidos.

• Formula general del modulo de Bulk: 𝐵 = −𝑉 𝑑𝑃𝑑𝑑

(1.2)

• En términos de presión acústica: 𝑝 = −𝐵 𝑑𝑑𝑑

(1.3)

Relacionando (1.3) con nuestro análisis es fácil ver que la única presión que deforma la sección de volumen 𝑆𝑆𝑆 es la presión de la onda acústica.

Reemplazando (1.1) y (i) en (1.3) tenemos: 𝑝𝑣𝑒𝑒𝑣𝐷𝑒 𝑒𝜌𝑢𝑒𝑒𝑣𝜌𝑒 = 𝑝 = −𝐵 𝜕ξ𝜕𝜕

(1.4)

Como: 𝑆𝑉 = 𝑆𝑆𝑆 𝜕ξ𝜕𝜕

(1.1) y como sabemos que V = 𝑆𝑆𝑆 (i)

• 2.3.2 La segunda ley de Newton y la ecuación de Euler

El movimiento de la sección de volumen puede ser descrito por la segunda ley de Newton

Fuerza = Área x Presión = Masa x Aceleración (i)

La presión que actúa en la sección de volumen puede escribirse como:

− 𝜕𝑝𝜕𝜕𝑆𝑆 (ii)

Usando (i) (ii) y desplazamiento ξ tenemos que:

−𝑆 𝜕𝑝𝜕𝜕𝑆𝑆 = 𝜌𝑜𝑆𝑆𝑆

𝜕2ξ𝜕𝑡2

(1.5) donde 𝜌𝑜= densidad del gas

Simplificando (1.5) tenemos: −𝜕𝑝𝜕𝜕

= 𝜌𝑜𝜕2ξ𝜕𝑡2

(1.6) Ecuación de Euler 1

Podemos escribir (1.6) como: −𝜕𝑝𝜕𝜕

= 𝜌𝑜𝜕𝑢𝜕𝑡

(1.7) Ecuación de Euler 2 (𝑢= velocidad de partícula)

Integrando (1.7) con respecto al tiempo tenemos:

𝑢 = −(1/𝜌𝑜)∫ 𝜕𝑝𝜕𝜕𝑆𝑒 (1.8) velocidad de la partícula en términos de presión acústica

2.3.4 La ecuación de onda unidimensional – onda plana

Reemplazando (1.4) en (1.6) finalmente encontramos la ecuación de onda plana:

𝜕2ξ𝜕𝑒2 =

𝐵𝜌𝑜

𝜕2ξ𝜕𝑆2

𝜕2ξ𝜕𝜕2

= 1𝑐2

𝜕2ξ𝜕𝑡2

(1.9) Que es igual a:

Ec. (1.9) es la ecuación de onda en términos del desplazamiento ξ

• Para obtener la ecuación de onda en términos de la presión acústica solo diferenciamos (1.4) dos veces con respecto al tiempo (𝑒) y (1.6) una sola vez con respecto a 𝑆. Luego sumamos los resultados y listo obtenemos:

𝜕2𝑝𝜕𝜕2

= 1𝑐2

𝜕2𝑝𝜕𝑡2

(1.10)

Ec. (1.10) es la ecuación de onda en términos de la presión acústica

Documento elaborado por: M Argoti Ingeniero en Acústica y Vibración