La fórmula cuadrática - MATE 3001 -UPRA -Prof. … · 2012-12-09 · x 12 1 7 x 12 8 x 3 2 x ó...
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Ecuaciones cuadráticas
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico - Arecibo
La fórmula cuadrática
Fórmula cuadrática
Dada una ecuación cuadrática en su forma
general:
ax2 + bx + c = 0,
donde a, b,c son valores reales y a≠0,
la fórmula cuadrática establece que sus
soluciones están dadas por:
x b b2 4ac
2a
Raiz Cuadrada
El opuesto de cuadrar es tomar la raiz
cuadrada de un número.
Un número b es una raiz cuadrada de
otro número a, si b2 = a.
93porque39 2
648porque864 2
La raiz cuadrada principal (positiva) se
denota a
La raiz cuadrada negativa se denota
a
Raiz Cuadrada Principal
9 de negativa cuadrada raiz la es39
Raiz Cuadrada Principal
NOTA:
NO es un número real porque no existe ningún número tal que al cuadrarlo de -9. Por eso decimos en general que
9
a
existe en los reales si a > 0.
49 7
16
25
4
5
4 2
Ejemplos
1009 109 1
3
12120
3
1120
3
93
Simplificación de radicales
Al simplificar radicales surgen varias situaciones:
Raíces
racionales
Ráices
irracionales
Raíces de
números
compuestos
que tienen
algún factor
con una raiz
perfecta
Propiedad de raíces cuadradas:
Si Ra y Rb entonces,
baba
12 = 1 112 = 121
22 = 4 122 = 144
32 = 9 132 = 169
42 = 16 142 = 196
52 = 25 152 = 225
62 = 36 162 = 256
72 = 49 172 = 289
82 = 64 182 = 324
92 = 81 192 = 361
102 = 100 202 = 400
Cuadrados perfectos Cubos perfectos
Simplificación de radicales
Si un número compuesto NO es un cuadrado
perfecto pero tiene un factor que es cuadrado
perfecto, entonces su raiz cuadrada se puede
simplificar usando la propiedad anterior.
Ejemplo: Simplificar 27
Solución:
Como 27 = 9 ∙ 3 podemos decir que
27 = 9 ∙ 3 y por la propiedad anterior
= 9 3 = 3 3
Simplificación de radicales Ejemplo: Simplificar 90
Solución:
Como 90 = 9 ∙ 10 podemos decir que
90 = 9 ∙ 10 y por la propiedad anterior
= 9 ∙ 10
Ejemplo: Simplificar 200
Solución:
Como 200 = 100 ∙ 2 podemos decir que
200 = 100 ∙ 2 y por la propiedad anterior
= 100 2
= 9 10 = 3 10
= 10 2
Resolver: 6x2 + x = 2
Primeramente debemos escribir la ecuación en
forma general:
6x2 + x - 2 = 0
Debemos identificar los coeficientes a, b y c:
a = 6
b = 1
c = - 2
Aplicar la fórmula cuadrática
aplicamos a la fórmula cuadrática.
Con a = 6, b = 1, y c = -2
)(
))((x
62
26411 2
12
4811 x
12
491x
x b b2 4ac
2a
Ejemplo-continuación
El conjunto solución de
la ecuación es: 12
491x
2
1
3
2,
12
71x
12
71x
12
6x
2
1x
12
71x
12
8x
3
2x
ó Las soluciones son
racionales.
Esto implica que la
ecuación original se pudo
haber resuelto usando la
factorización por binomios.
Resolver: x2 - 5x = 8
Primeramente debemos escribir la ecuación en
forma general:
x2 - 5x - 8 = 0
Notemos que no existen factores de -8 que
sumen -5, por lo tanto, NO factoriza como el
producto de 2 binomio lineales.
Identificar los coeficientes a, b y c:
a = 1
b = -5
c = -8
Aplicar la fórmula cuadrática
aplicamos a la fórmula cuadrática.
El conjunto solución de
la ecuación es:
Con a = 1, b = - 5, y c = - 8
)(
))(()()(x
12
81455 2
2
32255 x
2
575x
2
575
2
575,
x b b2 4ac
2a
Resolver: x2 – 3x + 6 = 0
Notemos que no existen factores de -6 que
sumen -3, por lo tanto, NO factoriza como el
producto de 2 binomio lineales.
Para resolver usaremos la fórmula cuadrática.
Identificar los coeficientes a, b y c:
a = 1
b = -3
c = 6
Aplicar la fórmula cuadrática
aplicamos a la fórmula cuadrática.
OJO!! El radicando es
negativo y la raiz
cuadrada de un
número negativo NO
está definida para los
números reales.
Por lo tanto, la
ecuación NO tiene
soluciones reales.
Con a = 1, b = - 3, y c = 6
)(
))(()()(x
12
61433 2
2
2499 x
2
159 x
x b b2 4ac
2a
Cuidado
Es común equivocarse con el signo de
“-b”.
Puede ser de ayuda si interpretamos “-
b” como el opuesto de b. De esta
forma:
• si b es positivo, -b será negativo
• si b es negativo, -b será positivo.
El discriminante
Podemos utilizar el discriminante para
determinar cuántas soluciones reales tiene una
ecuación cuadrática.
x b b2 4ac
2a
• Si b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales.
• Si b2 - 4ac = 0, la ecuación tiene 1 solución real.
• Si b2 - 4ac < 0, la ecuación NO tiene soluciones reales.
¿Cuántas soluciones reales?
Ejemplos: Determine cuántas soluciones reales
tienen las siguientes ecuaciones cuadráticas:
(a) 2x2 - 5x + 3 = 0
Identificar los coeficientes a, b y c:
(-5)2 - 4(2)(3)
= 25-24
= 1>0 ==> tiene 2 soluciones reales
b2 - 4ac =
a=2, b= -5, c= 3,
¿Cuántas soluciones reales?
(b) 3x2 + 4x + 5 = 0
42 - 4(3)(5)
= -44<0 --> tiene 0 soluciones reales
(c) -9 + 6x - x2 = 0
62 - 4(-1)(-9)
= 36-36
= 0 --> tiene 1 solución real
a=3, b= 4, c= 5,
a= -1, b= 6, c= -9,
b2 - 4ac =
b2 - 4ac =
=16 - 60
Ejercicios
Resuelva:
1) x2 - 5x + 4 = 0
2) 2y2 + 7y = 3
3) 3w2 + 4w - 3 = 0
4) 4y + 5y2 = 4
5) (x+2)2 = 10
6) 3(y-4)2 + 4 = 6
Soluciones
1) {4, 1}
2)
3)
7 73
4,7 73
4
2 13
3,2 13
3
2 2 6
5,22 6
5
{ 10 2, 10 2}
2
3 4,
2
3 4
4)
5)
6)