LA FUNCIÓN EXPONENCIAL€¦ · Web viewRepresentar las gráficas de las funciones exponenciales,...

IES “INCA GARCILASO”Departamento de Matemáticas

Matemáticas 4º ESO

La función exponencial y logarítmica

La función exponencial

El crecimiento exponencial. Actividades de introducción. La curva exponencial: diversos ejemplos.- Gráfica y

propiedades. Ecuaciones exponenciales.

La función logarítmica

Definición de logaritmo. Propiedades. La función logarítmica. Gráfica. Ecuaciones sencillas logarítmicas.


Funciones exponenciales y logarítmicas

Programación de la unidad

Objetivos

Interpretar matemáticamente a partir de una función exponencial de base adecuada situaciones que en el lenguaje ordinario suelen utilizarse para expresar crecimiento o decrecimiento exponencial, y apreciar la magnitud real de las mismas.

Traducir del lenguaje algebraico al gráfico ecuaciones sencillas de funciones exponenciales mediante la construcción de una tabla de valores con la ayuda de la calculadora.

Describir e interpretar gráficamente las propiedades características de las funciones exponenciales.

Utilizar la calculadora científica para valorar y convertir datos relativos a funciones exponenciales.

Resolver sencillas ecuaciones exponenciales transformándolas en ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado.

Resolver problemas de la vida cotidiana relacionados con el conocimiento científico del alumnado, que puedan interpretarse en términos de ecuaciones exponenciales.

Contenidos

Conceptos

Crecimiento y decrecimiento exponencial. Funciones exponenciales. Ecuaciones exponenciales. Definición de logaritmo. Propiedades. Funciones logarítmicas. Ecuaciones logarítmicas sencillas.

Procedimientos

Utilización de la calculadora científica en los cálculos exponenciales y logarítmicos que no se puedan resolver directamente por técnicas sencillas de descomposición numérica.

Construcción de la gráfica de una función exponencial de ecuación y = ax a>0. Resolución de algunos tipos clásicos de funciones exponenciales por conversión a

ecuaciones polinómicas de primer o segundo grado. Como consecuencia de resolver por tanteo algunas ecuaciones exponenciales,

introducción del concepto de logaritmo.

Actitudes

Reconocimiento y valoración crítica de la utilidad de la calculadora y de otros instrumentos para realizar cálculos con funciones exponenciales y logarítmicas.

Confianza en las propias capacidades para afrontar la solución de problemas susceptibles de ser interpretados en términos exponenciales o logarítmicos.

Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones de problemas numéricos susceptibles de ser interpretados por medio de potencias.

Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas numéricos y algebraicos que involucren cálculos con potencias y que sean distintas de las propias.

Criterios de evaluación

Detectar e interpretar situaciones de crecimiento y decrecimiento exponencial a partir de ejemplos extraídos de los medios de comunicación y relacionados con la vida cotidiana o el entorno científico de los estudiantes.

Representar las gráficas de las funciones exponenciales, en sus casos más elementales, estableciendo comparaciones entre ellas y razonando sobre sus analogías y diferencias.

Reconocer determinadas propiedades funcionales (dominio, rango, crecimiento, valores extremos, continuidad...) a partir del análisis de la gráfica de una función exponencial.

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Distinguir en una gráfica el tipo de función exponencial que representa. Manejar adecuadamente la calculadora científica en las operaciones y cálculos con

potencias de base y exponente real. Manejar con soltura los criterios y algoritmos asociados al cálculo exponencial en un

contexto de resolución de problemas. Resolver sencillas ecuaciones exponenciales mediante su conversión en ecuaciones

polinómicas de primer o segundo grado. Conocer el concepto de logaritmo. Relación existente entre la función exponencial y logarítmica

Temas transversales

Educación ambiental

Se puede mostrar el aspecto instrumental de las Matemáticas relacionando los contenidos de la unidad con el estudio del crecimiento de poblaciones de seres vivos y de la descomposición de sustancias radiactivas y su influencia en el medio ambiente, así como con las aplicaciones técnicas de dichas funciones.

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Introducción

EL PRECIO DE UN CABALLO

En una de las pocas situaciones de acercamiento entre el guerrero indio Toro Sentado y el General Trust se dio la siguiente circunstancia:

El General Trust admiraba el caballo de Toro Sentado y le propuso que se lo vendiera.

Toro Sentado acepta con esta condición:

Me ha de pagar un céntimo de euro por el primer clavo de la herradura del caballo, dos céntimos

por el segundo, cuatro por el tercer clavo y así duplicando sucesivamente hasta el último de los 32 clavos de las herraduras.

En principio al General Trust le pareció justa la propuesta, pero cuando hubo de efectuar el pago...

Tenía que pagar por el caballo (más las cantidades anteriores) la nada despreciable cantidad de:

céntimos, o sea: 21.474.836 euros (Más de 21 millones de euros) más las cantidades anteriores

Conclusiones:- No era tan valioso el caballo de Toro Sentado.- Con ese dinero podía haber comprado todos los

caballos de la tribu india.- El General Trust no era tan rico.- Toro Sentado se reveló como un muy buen matemático.- No consta que el General Trust y Toro Sentado

ultimaran el trato.- A partir de esta circunstancia no volvieron a fumar la pipa de la paz.

LA VUELTA CICLISTAEn una vuelta ciclista con un recorrido de 100 km. El premio asignado al

campeón es de doce mil euros, pero el favorito consciente de su categoría de líder, propone a los organizadores que como cada kilómetro pedaleado va

siendo cada vez más duro de superar, el premio consista en un céntimo por el primer kilómetro, dos céntimos por el segundo, cuatro céntimos por el tercero, y así sucesivamente, doblando la cantidad por cada nuevo kilómetro conseguido.

Los organizadores acceden a la petición, pero al acabar la prueba y entregar el premio al campeón se llevan la gran sorpresa. ¿Por qué?

RECORDANDO :Página 3


Potencia de exponente natural. Si tiramos una moneda al aire tres veces, ¿cuántos resultados distintos podemos obtener?Como en cada lanzamiento hay dos resultados posibles, al efectuar tres lanzamientos, obtenemos: , resultados posibles.

Potencias de exponente entero. Si en una calculadora pulsas 5 y a continuación la tecla x -1 obtienes 0’2, ya que . Del mismo modo .

Potencias de exponente fraccionario. Si en una calculadora hallas y por otro lado hallas obtendrás el mismo resultado; luego .

Potencias de exponente real. Si quieres calcular no tienes más procedimiento que utilizar una calculadora científica. La secuencia de teclas será: 5 xy y obtienes 156’9925...

En resumen: Si n y m son números naturales y a 0, se tiene:

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Las propiedades de las potencias son:

,


Distintas formas de crecer Crecimiento lineal

1. El precio de las naranjas en el mercado es de 1’20 € por kilo. Naturalmente, si se compran dos kilos el precio se duplica, y así sucesivamente.Las magnitudes peso y precio son directamente proporcionales. Si el peso lo representamos por x y el precio por y, se verifica que y = 1’2 x.Si representamos en una gráfica la función anterior obtenemos una recta que pasa por el origen.

1. Por el alquiler de un coche cobran 90 € diarios más 10 céntimos por kilómetro.

Kms Precio por día0 901 90+ 1.0’10 = 90’102 90 + 2.0’10 = 90’203 90 + 3.0’10 = 90’30... ...100 90 + 100 . 0’10 = 100

... ...200 90 + 200 . 0’10 = 110... ....x 90 + x . 0’10

La representación gráfica de la función anterior es una recta que no pasa por el origen. Represéntala.

2. Se sabe que al excavar hacia el interior de la tierra, la temperatura aumenta 0'01ºC por metro. Si la temperatura en el exterior es de 26º, y representamos por “x” los metros descendidos y por “y” la temperatura, se verifica la relación y = El aumento es 0’01ºC por cada metro que descendemos. Representa gráficamente la función anterior.

3. La relación entre los lados de un rectángulo de perímetro fijo viene dada por: P = 2.x + 2.y de donde y=(P-2.x)/2 y simplificando: y=P/2 - x . Si el valor del perímetro fuese de 10 unidades, por ejemplo, la relación entre los lados sería: y=5-x

“Siempre que el lado x aumente 1 unidad, el lado y disminuye 1 unidad”Todos los ejemplos estudiados anteriormente son ejemplos de crecimiento lineal; a una misma variación de la variable independiente “x” le corresponde siempre la misma variación de la variable dependiente “y”

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Aumento constante: 10 céntimos por kilómetro.

Si representamos por “x” los kilómetros recorridos y el precio por “y”, se verifica:

y = 90 + 0’10.x


Crecimiento exponencialEl crecimiento o decrecimiento exponencial se suele utilizar en el lenguaje ordinario, sin tener, en muchos casos, una idea clara de su significado matemático, para describir situaciones como las siguientes:

¡Si la población mundial aumenta de forma exponencial, en unos años las grandes ciudades serán incapaces de absorber el crecimiento demográfico!

¡Si las reservas de agua decrecen de forma exponencial, en un breve lapso de tiempo no podremos disponer de agua potable para el consumo humano!

¡Existe la opinión generalizada de que mientras la población aumenta de forma exponencial (en progresión geométrica), los alimentos lo hacen de forma lineal (en progresión aritmética)! ¿Qué ocurrirá en el futuro si esto es cierto?

Aunque son muchas las situaciones que describen un crecimiento exponencial, está íntimamente ligado al crecimiento de las poblaciones (ya sean de personas, animales, bacterias, árboles, ...) en las que el crecimiento de la población depende del número de individuos que la componen.El crecimiento exponencial también está ligado problemas relacionados con el interés producido por un capital y con situaciones de desintegración radiactiva. Estos casos los estudiaremos más adelante.

Ejemplo 1: Una población crece a un ritmo del 2% anual. Estudia la expresión que relaciona el número habitantes con el tiempo transcurrido.

Supongamos una población de N habitantes:

Inicialmente hay N habitantes. Al cabo de un año habrá N +2% de N =

N + 0’02 . N = N. (1 + 0’02) = 1’02 . N Al cabo de dos años habrá:

1’02N + 2% de 1’02N = 1’02.N + 0’02.1’02.N = 1’02.N(1+0’02) = 1’02.N.1’02 = N x 1’022

Para los años sucesivos formamos la siguiente tabla:

Tiempo transcurri

do

Población

0 N 1 N + 2%N = N + 0’02.N = (1+0’02)N = 1’02.N 2 1’02.N + 2%(1’02N) = 1’02.N + 0’02.1’02.N = (1+0’02).1’02.N =

1’022.N3 1’022.N + 2%(1’022N) = 1’022.N + 0’02.1’022.N = (1+0’02).1’022.N

= 1’023.N... ...10 1'0210 .N ... ...x 1'02x.N

Así, la expresión buscada es: Población = 1'02x . N

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Los valores de la población correspondientes a cada uno de los años se obtienen multiplicando por un factor constante (1’02 en este caso) los valores de la población correspondientes a cada uno de los años anteriores.

Ejemplo 2: Se sabe que la superficie cubierta por un nenúfar en un lago se duplica cada día, creciendo gradualmente durante todo el día. Si en el momento de empezar el estudio el nenúfar ocupa una superficie de 1 m2, ¿qué superficie ocupará dentro de 10 días?

a) Haz una tabla que exprese este crecimientob) Halla la función que relaciona las variables número de

días y superficie ocupada.c) Representa dicha función.

b) La función viene dada por la ecuación: y = 2x.

Este tipo de crecimiento se llama exponencialLas funciones del tipo y = ax se llaman funciones

exponenciales.

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Tabla de crecimiento

Nº de díasSuperficie ocupada (m2)0112222 = 4323 = 8424 = 16525 =

32626 = 64727 = 128......10210 = 1024......x2x

c) Representación:


Estudio general de la Función Exponencial1. La función exponencial y = ax con a>1

La siguiente tabla muestra las potencias de 2 tomando como exponentes números

negativos y positivos. Representamos los pares de puntos obtenidosCon una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, por ejemplo 20,75 = 1,681..., por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos.La gráfica obtenida es la de la función exponencial de ecuación y = 2x .

Procediendo de igual forma, representamos las siguientes funciones:

y = 3x

y = 5x

y = 10x

En las funciones exponenciales de ecuación: y=ax se verifica que a cada número real x (exponente) le corresponde un único número y (potencia).Leyendo las gráficas de estas funciones se observa que, funciones de la forma y = ax, con a > 1, tienen las siguientes propiedades:

Su dominio es toda la recta real. Su recorrido son los números reales positivos. Son crecientes y continuas en todo su dominio. Cuando x tiende a - , se verifica que y tiende a

cero. Cuando x tiende a + , se verifica que y tiende a +.

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xy = 2x......-41/16-31/8-21/4-

11/201122438416......

y = 3x

y = 5x

y = 10x


2. La función exponencial y = ax (0 < a < 1).

La tabla siguiente muestra las potencias de tomando como exponentes números negativos y positivos.

Con una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, como por ejemplo , por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos. La gráfica obtenida

es la de la función . Esta función se puede asociar, por ejemplo, a un fenómeno químico como la desintegración de una sustancia radiactiva. El radio es un compuesto químico radiactivo que, aproximadamente cada 1600 años, se reduce a la mitad. Este número de años se llama periodo de semidesintegración del radio. El valor de “y” podría representar, entonces, los gramos residuales que provienen de 1 gr. inicial de radio, cuando han transcurrido “x” períodos, es decir, 1600.x años.Procediendo de forma análoga, representamos en el mismo gráfico las siguientes funciones:

Leyendo las gráficas se observa que, funciones de la forma y = ax, con 0 < a < 1, tienen las siguientes propiedades:

Su dominio es toda la recta real. Su recorrido son los números reales positivos. Son decrecientes y continuas en todo su

dominio. Cuando x tiende a - , se verifica que y tiende a +. Cuando x tiende a + , se verifica que y tiende a

0.

Observa que . Por tanto, la función y = a-x es igual que la función .

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X y = (1/2)x

... ...-4 16-3 8-2 4-1 20 11 1/22 1/43 1/84 1/16... ...

y = (1/3)x

y = (1/5)x

y = (1/10)x


3. Estudio de algunas situaciones en las que se produce un crecimiento exponencial

a) Interés compuestoAl nacer Juan, su padre depositó 3.000 € al 12%. Si no retira el dinero ni los intereses, ¿qué capital tendrá al año, a los dos años, etc.? ¿Qué capital tendrá cuando cumpla 18 años?Al año tendrá:

Para los años sucesivos formamos la siguiente tabla:

Años transcurridos Capital formado0 30001 3000(1’12)=33602 3360(1’12)=3000(1’12)2=3763’23 3763’2(1’12)=3000(1’12)3=4214’844 4214’84(1’12)=3000(1’12)4=4720’55...18 3000(1’12)18=23069’89...x 3000(1’12)x

Si colocamos un capital de C ptas. al r%, ¿qué capital se habrá formado al cabo de t años? Si , entonces se verifica que: Al final del primer año : F1 = C + C i = C(1+i)

Al final del segundo año : F2 = F1 + F1 i = C(1+i)2

Al final del tercer año : F3 = F2 + F2 i = C(1+i)3

...Al final del año-enésimo : Fn = C(1+i)n.

Interés compuesto es una ley de capitalización tal que los intereses obtenidos al final de cada período se acumulan al capital para producir nuevos intereses en el período siguiente.Un capital de C ptas. al r% al cabo de t años se convierte en Ft = C(1+i)t.

Observa que la función que da el capital final es una función exponencial de base (1+i).

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b) Crecimiento de una población

Una población crece a un ritmo del 2% anual. Estudia la situación y determina el tiempo que tardará en duplicarse la población manteniendo la misma tasa de crecimiento. Esta situación ha sido estudiada anteriormente y la función que relaciona el número de individuos de la población con el tiempo transcurrido es:

Población = N . 1'02x

¿Qué tiempo tardará en duplicarse la población?Si la población se duplica, la expresión queda: 2N = N . 1'02x ; de donde, 2 = 1'02x ; por lo que se trata de buscar el número al que hay que elevar 1'02 para obtener 2. Procedemos con la calculadora:1'0230=1'81; 1'0233=1'92; 1'0234=1'96; 1'0235=1'9999; 1'0236=2'03Por lo que la población se duplicaría a los 35 años.

Si el número de habitantes de una ciudad que tiene una tasa de crecimiento anual del 2% es de 10.000, ¿cuántos habitantes tendrá dentro de 20 años?

En esta caso, la relación existente entre el número de habitantes y el de años transcurridos es:Población = 10.000 x 1’02x cuya representación gráfica es

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Al cabo de 20 años, habrá:

P=10.000 x 1’0220=14.859


Desplazamientos de la exponencial

Análogamente a lo estudiado anteriormente, podemos desplazar la función exponencial horizontalmente “p” unidades poniendo “x-p” en lugar de “x” en su expresión analítica, es decir:

es un desplazamiento horizontal de la función de “p” unidades

donde Ejemplos:

También podemos desplazar la función exponencial verticalmente “q” de la siguiente forma: es un desplazamiento vertical de “q” unidades donde

Ejemplos

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y = 2x y = 2x - 6y = 2x + 5

y = 2x

y = 2x - 2

y = 2x + 3

¡ vale !


Finalmente los desplazamientos horizontales y verticales: es un desplazamiento de la función de la siguiente forma:

Ejemplo:

Ejercicios para entrenarse.1. Calcula los valores que toman las siguientes funciones para x = -2, -1, 0, 1, 2

a) f(x) = 3x b) g(x) = 3-x c) h(x) = (1/3)x d) k(x) = (1/3)-x

2. Calcula los valores que toman las siguientes funciones para x = -2, -1, 0, 1, 2

3. A partir de la gráfica de la función f(x) = 2x, dibuja las gráficas de las siguientes funciones:

4. A partir de la gráfica de la función f(x) = 3x, dibuja las gráficas de las funciones siguientes:

5. Representa las siguientes funciones:

6. Representa las siguientes funciones:

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a)

y = 2x

y = 2x - 1 - 2

y = 2x + 4 + 3


7. ¿Cuántos años tardará un capital de C ptas. en duplicarse al 10% anual? ¿Dependerá del capital inicial?

Años Capital final0 C1 C.1’1

2 C.1’12 = C.1’213 C.1’13 = C.1’3314 C.1’14 = C.1’46415 C.1’15 = C.1’61056 C.1’16 = C.1’77157 C.1’17 = C.1’9487... ...

Y en general, si el interés es pequeño, se cumple aproximadamente la ley:Años para que se duplique por interés = 70Es decir: t . r = 70

1. Una población tiene una tasa de crecimiento anual del 2%. Se pide:a) La función exponencial del crecimiento.b) Si se mantiene ese ritmo de crecimiento, ¿cuánto tiempo

tardará en duplicarse la población?

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Observa que el doble no depende del capital inicial C; se duplicará aproximadamente a los 7 años. Si el interés es menor, por ejemplo 5%, se puede formar una tabla análoga y ver que se duplica aproximadamente a los 14 años.


2. Se coloca un 6.000 euros al 12% de interés.a) ¿Cuánto dinero se tendrá al cabo de 10 años?b) ¿En cuánto tiempo se duplicará?

3. Se calcula que un bosque tiene 24000 m3 de madera y que aumenta un 3’5 % al año. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la cantidad de madera si sigue creciendo en estas condiciones? Otro bosque tiene 50000 m3 y la misma tasa de crecimiento. ¿Tardará el mismo tiempo en duplicarse? ¿Depende el tiempo de duplicación de la cantidad de madera inicial?

4. Se cuenta que en 1626 Peter Minuit compró la isla de Manhattan a los indios por 24 dólares. Imagínate que Minuit hubiera puesto en el Banco los 24 dólares al 6% de interés compuesto ¿Cuánto dinero tendría en 1998? Sería interesante comparar este resultado con el precio actual de la isla de Manhattan.

5. Pedro y Luis se han inventado una mentira a las diez de la mañana. Al cuarto de hora, cada uno de ellos se la ha contado a tres amigos. Al cabo de otro cuarto de hora, cada uno de cuales comunica la mentira a otros tres amigos, los cuales continúan extendiéndola de igual modo. ¿Cuántas personas conocerán la mentira a las dos de la tarde?

6. Tres países, A, B y C, tienen cada uno una población de un millón de personas.La población del país A crece uniformemente un millón cada período de 10 años. La población del país B crece uniformemente dos millones cada período de 10 años. La población del país C se multiplica por 1,5 a lo largo de cada período de 10 años.a) Dibuja en unos mismos ejes las gráficas de las tres poblaciones.b) ¿En qué período alcanza la población C a la población A? ¿Y a la población B?

7. La presión atmosférica disminuye a medida que se asciende. Aproximadamente, al ascender 1 km la presión atmosférica es 0’9 veces la existente 1 km más abajo. Al nivel del mar la presión atmosférica es de una atmósfera. Si un montañero desciende de 1000 m al nivel del mar y otro desciende desde una latitud de 5000 m a 4000 m ¿aumentará su presión lo mismo? ¿Sus organismos lo sentirán de la misma forma?

8. Parece ser que los piojos del cabello se reproducen duplicando su número cada 4 días. Si un niño tiene un piojo en su cabeza, y considerando que todos viven:

a) ¿Cuántos piojos tendrá dentro de 12 días ¿Y de 20 días?b) Escribe la función y represéntala.c) Tiene sentido unir los puntos.d) Si en el momento inicial el niño tenía 10 piojos, contesta

nuevamente a los apartados a y b.

9. Se administran 50 mg de anestesia a un paciente al principio de la operación. Sabiendo que la concentración en la sangre humana

disminuye exponencialmente con arreglo a la función f(x) = k.0’95x , donde k es la cantidad inicial y x el tiempo en minutos que ha transcurrido desde su administración. Haz un

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calcula

Aunque pique


estudio de dicha función. ¿Cuántos miligramos de anestesia quedan en la sangre del paciente a la hora y media de su administración?

10. ¿Tienen las gráficas de las funciones f(x) = 2x, g(x) = 3x, h(x) = 10x, algún punto en común?

11. Se calcula que la población mundial del año 2033 será el doble que la población de 1993. ¿Cuál es la tasa de crecimiento anual?

12. Un fabricante de cubitos de hielo aumenta el precio de sus productos según el IPC, que en los últimos años ha tenido un crecimiento anual medio del 6%. ¿Cuál es el precio actual de un producto que hace 10 años costaba 150 € ?

13. ¿Qué relación existe entre las gráficas de las funciones f(x) = 3x y g(x) = 3-x. Dibuja la gráfica de esta última sabiendo que la gráfica de f(x) es la siguiente:

14. Si el precio de un producto puede crecer con arreglo a las siguientes funciones: y = 3x o

y = 3x, ¿cuál de las dos funciones prefieres si eres comprador?

15. Si el precio de un producto puede crecer con arreglo a las siguientes funciones:

, ¿cuál de las dos funciones prefieres si eres comprador?

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Actividades Complementarias

La matemática y la arqueología. El método del carbono-14 de datación de fósiles

Datación con carbono 14

En el dióxido de carbono presente en el aire, existen dos isótopos del carbono: el C12, mucho más abundante, y el C14, también llamado radiocarbono. Ambos son absorbidos por los seres vivos en la misma proporción con la que aparecen en el aire.

Cuando un ser vivo muere, el C12 permanece inalterable, mientras que el C14 se desintegra lentamente a causa de su radiactividad. Es decir, la proporción deC14 respecto del carbono total presente en el ser vivo, que es un dato conocido, va disminuyendo cuando éste muere de manera progresiva y de forma proporcional a la masa de C14 que aún reste.

Desde el punto de vista matemático, esto significa que la expresión que da la cantidad de C14 en función del tiempo es una función exponencial de exponente negativo, es decir, con gráfica decreciente.

Se sabe que, cada 5 700 años, la proporción de radiocarbono en los restos de materia orgánica, por ejemplo, en un fósil, se reduce a la mitad; a los 11 400 años se reduce a la cuarta parte, y así sucesivamente.

Para medir la cantidad de carbono 14 restante en un fósil, los científicos incineran un fragmento pequeño para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación (contadores Geiger) para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil.

Este método, desarrollado por el químico norteamericano Willard Frank Libby, ha permitido datar restos orgánicos con una antigüedad inferior a 50000 años.

La función matemática que permite calcular a partir de la antigüedad (expresada en años) la proporción de C14, considerando que 1’000 es la inicial, es decir la que corresponde a un ser vivo, es la siguiente:

Proporción=e-0’0001216.t (e es un número irracional cuyo valor es 2’718281...)

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Se trata de una función exponencial decreciente, cuya gráfica aparece dibujada. Los valores para tiempos comprendidos entre 0 y 50000 años (de 1000 en 1000 años) se muestran en la tabla.

Años (miles)

Proporción

Años (miles)

Proporción

0 1,0001 0,886 26 0,0422 0,784 27 0,0383 0,694 28 0,0334 0,615 29 0,0295 0,544 30 0,0266 0,482 31 0,0237 0,427 32 0,0208 0,378 33 0,0189 0,335 34 0,01610 0,296 35 0,01411 0,262 36 0,01312 0,232 37 0,01113 0,206 38 0,01014 0,182 39 0,00915 0,161 40 0,00816 0,143 41 0,00717 0,127 42 0,00618 0,112 43 0,00519 0,099 44 0,00520 0,088 45 0,00421 0,078 46 0,00422 0,069 47 0,00323 0,061 48 0,00324 0,054 49 0,00325 0,048 50 0,002

Averigua ¿Cuántos años tiene un fósil cuya proporción de C14, respecto de la inicial, es 0’3?¿Y

cuántos si la proporción es 0’03? Se sabe que un fósil tiene, aproximadamente, 32000 años. ¿Qué proporción de C14

cabe esperar que presente respecto a la que tiene un ser vivo? Dos restos humanos tienen una proporción de C14 cifrada en 0’03 y 0’013,

respectivamente. ¿Cuál de los dos restos es mas antiguo? ¿En cuántos años?

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En una excavación se encuentran unos huesos de un animal que contienen la octava parte de C14 que contenían cuando el animal estaba vivo. Determina la antigüedad de dichos huesos, sabiendo que el periodo de semidesintegración del C14 es de 5700 años.

Nota: Estas tres primeras cuestiones pueden se contestadas partiendo de la fórmula, la tabla o la gráfica. Usa los tres métodos y comprueba que conducen al mismo resultado

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Ecuaciones exponenciales

Ecuaciones exponenciales Son aquellas en las que la incógnita aparece en el exponente de una potencia. Para resolverlas, primeramente se transforman en otras equivalentes, más sencillas, y luego se comprueba la validez de las soluciones obtenidas en la ecuación inicial.Veamos algunos de los casos que pueden presentarse:

Caso Procedimiento Ejemplo1º Si la ecuación se puede reducir a

una igualdad de potencias de la misma base, se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación resultante

2º A veces, la ecuación se puede transformar en otra cuya solución se ajusta a un procedimiento ya conocido

1º) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

Página 20


2º) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

Página

Sol=-3 Sol=5/6Sol=

Sol= no existe Sol=-1/2 Sol=3

Sol=-3 Sol=2 Sol = -1

Sol = 2 ; 1 Sol = 1 Sol = 0

Sol = 1/2 Sol = 1/2 Sol = no existe

Sol = 1/2 Sol = 1 Sol = 3

Sol = 1 Sol = 2/3 Sol = 0 ; 6

Sol = 2 Sol = -12/7 Sol = 1

Sol = 11 Sol = -2 ; 1 Sol=5/6

21


Introducción del logaritmo

Cálculo aproximado de la solución de la ecuación de 2 x = 5

Al contrario de las ecuaciones de la actividad anterior, en este caso no es posible poner 5 como potencia entera de 2, por este motivo no es posible calcular directamente el valor de x. A continuación, se calcula el valor de x de una manera, pero no es la única forma de hacerlo.

En primer lugar, se sitúa la potencia 2x = 5 dentro de las potencias enteras de 2, es decir:

... 2-2 2-1 20 21 22 2x 23 24 ...... 0’25 0’5 1 2 4 5 8 16 ...

Esta tabla proporciona una primera aproximación a la respuesta: x tiene que estar entre 2 y 3 puesto que 5 lo está entre 4 y 8. Por lo tanto, se tendrá que buscar las cifras decimales a, b, c, etc del número x = 2’abcdef.....

Para encontrar las cifras decimales, una opción es ir probando distintas cifras hasta dar con la buscada. Para obtener la cifra a; se puede, por ejemplo, comenzar a probar a partir de 2’5:

22’5 = 5’656854... ; 22’4 = 5’278031... ; 22’3 = 4’924577...Ya está, la cifra a tiene que ser 3. Claro, si 22’3 es menor que 5 pero 22’4 es mayor que 5 habrá que deducir que x vale 2’3bcdef...

Ahora para calcular la cifra b, se procede de modo análogo:22’31 = 4’958830...; 22’32 = 4’993322...; 22’33 = 5,028053...

por lo tanto, la cifra b es 2.

A continuación, se busca la cifra c: 22’321 = 4,998784...; 22’322 = 5’000249...

de donde deducimos que la cifra c es 1.

Ya se tiene que x = 2’321...; el procedimiento anterior se puede reiterar las veces que se necesite para lograr la precisión que se desee alcanzar.

1. Logaritmo de un número

Página 22

,


La presión atmosférica disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Al nivel del mar es de 1 atmósfera, pero, aproximadamente, por cada kilómetro que se asciende su valor es 0’9 veces la existente un kilómetro más abajo.

Forma una tabla de valores que exprese esta situación.

Altura sobre el nivel del mar (km)

Presión atmosférica (atmósferas)

Al nivel del mar 11 0,92 0’92 = 0,813 0’93 = 0,7294 0’94 = 0,6565 0’95 = 0,5906 0’96 = 0,531... ...x 0’9x

Veamos ahora el problema inverso: ¿A qué altura se encontrará un globo sonda que marca en un barómetro 0’325 atmósferas?

Si representamos por x la altura, tendremos que resolver la ecuación: 0’325 = 0’9x.Para obtener una solución aproximada podemos prolongar la tabla y vemos que el globo se encontrará entre 10 y 11 km sobre el nivel del mar.

El valor exacto de x se define como el logaritmo en base 0’9 de 0’325, lo que escribimos del siguiente modo: De lo anterior se deduce que: La extraña palabra logaritmo fue introducida a finales del siglo XVI por el matemático inglés John Naiper (1550-1617).

Logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número:

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Altura sobre el nivel del mar (km)Presión atmosférica (atmósferas)80’98 =

0’4304790’99 = 0’38742100’910 = 0’34868110’911 = 0’31381120’912 =

0’28243


Cuan do la base a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan simplemente por log en vez de log10Cuando la base ”a = número e” , se llaman logaritmos neperianos y se expresan simplemente por “ln” en vez de loge

2. Propiedades de los logaritmos De la definición de logaritmo se deduce que :

El logaritmo de 1 es 0: loga1 = 0 , ya que ao = 1.

El logaritmo de la base es 1: loga a = 1 , ya que a1 = a.

Logaritmo de un producto

Con la calculadora científica, sigue este esquema:

2 log 0’301...por mas7 log 0’845...

14 log 1’146...

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Logaritmo de un cociente


75 log 1’875...entre Menos

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De una forma general se tiene:N = ax x = loga NM= ay y = loga M

N.M = ax+y x + y = loga (N.M)

Loga N + loga M = loga (N.M)

De una forma general se tiene:N = ax x = loga NM= ay y = loga M

N/M = ax-y x - y = loga (N/M)

Loga N – loga M = loga (N/M)


25 Log 1’398...

3 Log 0’477...

El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.

Logaritmo de una potencia


2 Log 0’301...elevad

oPor

5 Exponente

5

32 Log 1,505...

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

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De una forma general se tiene:N = ax x = loga N

Nm = axm = amx mx = loga Nm

m Loga N = loga Nm


Cambio de base de un logaritmo

Como en las calculadoras científicas las teclas que hay para calcular logaritmos son de base 10 o base el número e , vamos a dar una fórmula que nos permita calcular cualquier logaritmo con la calculadora :

En nuestro caso cambiaremos a base 10 ó e :

Así por ejemplo

ó

3. La función logarítmica y = log xPara calcular logaritmos en base 10, o logaritmos decimales con la calculadora

científica, pulsa la tecla log .Formamos la tabla de valores y representamos la gráfica de la función y = log x.

Leyendo la gráfica, se tiene que la función logarítmica y = log x tiene las siguientes propiedades:

Su dominio es el conjunto de los números reales positivos. Su recorrido son todos los números reales. Es creciente y continua en todo su dominio. Cuando x tiente a 0+, se verifica que y tiende a : (x 0+ y ) Cuando x tiente a +, se verifica que y tiende a +: (x + y )

¿Qué relación existe entre la función exponencial y la función logarítmica?

Si introduces un número cualquiera en tu calculadora y pulsas la tecla 10x y a continuación la tecla log , ¿qué obtienes?

Por ejemplo: 2’3 10x 199’52623 log 2’3

Esto quiere decir que la composición de las funciones y = 10x e y = log x es igual a la función identidad [i(x) = x]. Entonces las funciones y = 10x e y = log x son inversas o recíprocas y sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Página 26

xlog x-1error0error0’1-

11020’301031011002

loga x =log a

ln xln a

=log x


Por ello se puede obtener la gráfica de una función logarítmica de cualquier base por simetría con la bisectriz del 1er cuadrante con la exponencial de la misma base.

4. Función logarítmica de base a > 1Como la función es inversa de la función . Cuando la base es :

5. Función logarítmica de base 0 < a < 1Analogamente cuando la base 0 < a <1 :

6. Ejercicios1. A partir de la definición de logaritmo, y sin usar la calculadora, halla los siguiente

logaritmos:

2. Calcula los siguientes logaritmos:

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y = 2x

y = log2 x

y = (1/2)x

y = log1/2 x

Propiedades de y = loga x con a > 1 :

Dominio : Recorrido : Creciente en su dominio Continua en su dominio Asíntota vertical “x = 0” a la derecha

de 0

Propiedades de y = loga x con 0 < a < 1 :

Dominio : Recorrido : Decreciente en su dominio Continua en su dominio Asíntota vertical “x = 0” a la derecha

de 0

y = logax

y = ax

a>1

1

1

y=logax

y=ax

0 < a < 1

11


3. Halla con la calculadora los logaritmos decimales de los números 2, 20, 200, 2000. ¿Encuentras alguna relación entre ellos?

4. Si el log 5 = 0’699, ¿cuál será el logaritmo de 500?¿Y el de 0’5?

5. Halla con la calculadora los valores de x en las siguientes ecuaciones:a) 3’24 = 10x c) 1’37 = 3x

b) 0’26 = 2x d) 4’28 = 12x.

6. ¿Verdadero o falso? ¿Por qué?a) log 2 + log 3 = log 5b) log 2 + log 3 =log 6c) log 15 – log 5 = log 10d) log 15 – log 5 = log 3e) log 23 = (log 2)3

f) log 23 = 3 log 2

7. Reemplaza la interrogación por el valor que proceda :

8. Calcula la base de cada uno de los logaritmos siguientes de forma que sea válida la igualdad :

9. Comprueba las igualdades siguientes :

10. Expresa en función de log2 a las expresiones siguientes:

11. Sabiendo que log 5 = 0’6990, calcula :

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12. Calcula :

13. Calcula el valor de A sabiendo que :

14. Sabiendo que log 2 = 0’30103, calcula los logaritmos decimales de cada uno de los números siguientes :

15. Representa gráficamente la función logarítmica dada por la fórmula Halla las imágenes de los números: 8/27; 4/9; 2/3; 9/4; 27/8.

16. Dada la función . Se pide :a) Halla la imagen de 1/9; 1/3; 1; 3 y 9.

b) Representa gráficamente la función f(x)

c) A partir de la gráfica del apartado anterior dibuja la gráfica de la función g(x)=3x

17. Recordando que logaritmo de un número en cualquier base no está definido a no ser que el número sea positivo, calcula el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Ecuaciones logarítmicas

Son aquellas en las que la incógnita aparece en la base o argumento de un logaritmo. En general, se intentará sustituir la ecuación dada por otra equivalente, cuyas soluciones se comprobarán con la ecuación inicial.

Procedimiento Ejemplos

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Si la incógnita aparece en el argumento, la ecuación se reduce a una igualdad de la misma base, se igualan los argumentos y se resuelve la ecuación resultanteEs sumamente importante comprobar que las soluciones halladas hacen positivos los argumentos de la ecuación inicial, ya que, en caso contrario, no serían soluciones de estas.

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Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

AL TERMINAR EL TEMA SOBRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA DEBERÁS SABER

1.Representar gráficamente las funciones exponenciales del tipo: y = ax e y = a-x.

2.Conocer las propiedades más importantes de la función exponencial.

3.Reconocer funciones exponenciales en tablas, gráficas y enunciados.

4.Comprender la definición de logaritmo y saber calcular cualquiera de los elementos que intervienen en ella.

5.Conocer y aplicar las propiedades de los logaritmos.

6.Manejar adecuadamente la calculadora científica en las operaciones y cálculos con potencias de base y exponente real y con logaritmos.

7.Representar la función logarítmica y conocer sus propiedades más importantes.

8.Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

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Texto: “El logaritmo en la literatura”

La novela “Nubosidad variable”, de Carmen Martín Gaite, narra el encuentro de dos mujeres adultas que fueron muy amigas en su época de estudiantes y que han dejado de verse. Una de ellas recuerda a su amiga, al encontrar una foto suya de la época, y sus actitudes ante las palabras y las matemáticas. Este es el relato.

«Seguro que esa niña de trenzas rubias y cara de interrogación en algún momento supo resolver problemas de Matemáticas; si no, no la habrían aprobado. Pero ella no entendía de números. Los números eran un mero dibujo inalterable y los nombres que los designaban no daban pie a la fantasía. (...) A ella le gustaba inventar palabras y desmontar las que oía por primera vez, hacer combinaciones con las piezas resultantes, separar y poner juntas las que se repetían. (...) Algunos corpiños como 'filo', que quería decir amistad, y 'logos', que quería decir palabra, abrigaban mucho y permitían variaciones muy interesantes. Ella un día los puso juntos y resultó un personaje francamente seductor: el filólogo o amigo de las palabras. Lo dibujó en el cuaderno tal y como se lo imaginaba, con gafas color malva, un sombrero puntiagudo y en la mano un cazamariposas grande por donde entraban frases en espiral a las que pintó alas. Luego vino a saber que la palabra filólogo ya existía, que no la había inventado ella. – Pero da igual, lo que ha hecho usted es entenderla y aplicársela – le dijo don Pedro Larroque, el profesor de Literatura –. No deje nunca el cazamariposas. Es uno de los entretenimientos más sanos: atrapar palabras y jugar con ellas. (...) Al profesor de Matemáticas, en cambio, no le divertían nada estos juegos de palabras, le parecían una desatención a los problemas mas serios, una manipulación peligrosa del dos y dos son cuatro, una pérdida de tiempo. Cuando un buen día, sin más preámbulo, empezó a hablar de logaritmos, hubo en clase una interrupción inesperada y un tanto escandalosa. La niña del cazamariposas se habla puesto de pie para preguntar si aquello, que oía por primera vez, podía significar una mezcla de palabra y ritmo. Las demás alumnas se quedaron con la boca abierta y el profesor se enfadó. – No hace al caso, señorita Montalvo. Está usted siempre en las nubes – dijo con gesto severo –. Le traería más cuenta atender. La niña rubia, que ya estaba empezando a pactar con la realidad y a enterarse de que las cosas que traen cuenta para unos no la traen para otros, se sentó sin decir nada y apuntó en su cuaderno: "Logaritmo: palabra sin ritmo y sin alas. No trae cuenta". (...) Pero ¿cómo se imaginaba los logaritmos? ¿Cómo se las arregló para lidiar con ellos sin saber lo que eran. No queda el menor rastro. Yo ahora, si digo logaritmo, guarismo, raíz cuadrada o ecuación, veo bastoncitos grises y articulados que reptan por la alfombra como una procesión de gusanos”

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