La función de transferencia de sistemas lineales Departamento de Control, División de Ingeniería...
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La función de transferencia de sistemas lineales Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería UNAM México D.F. a 21 de Agosto de 2006
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La función de transferencia de sistemas lineales
Departamento de Control, División de Ingeniería EléctricaFacultad de Ingeniería UNAM
México D.F. a 21 de Agosto de 2006
La función de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
La función de transferencia:
•Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.•Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.
•No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema
•Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada
La función de transferencia
)()(trtc
ciatransferendeFunciónLL entradatr
salidatc
)(
)(
ceroinicialesscondicionecon
La función de transferencia
Ejemplos de funciones de transferencia:
1.- Circuito RL
L
R
)(ti
)(tvUtilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:
dt
diLtRitv )()(
Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:
)()()( sLsIsRIsV
la relación corriente voltaje en Laplace, queda:
1
1
)()(
sRLR
sVsI
Figura 1. Circuito RL
La función de transferencia
2.- Sistema masa amortiguador resorte
m
b
k
y(t)
r(t)
)()(2
2
trtkydtdy
bdt
ydm
Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa, k es la constante del resorte,
)()()0()()0()0()( '2 sRsKYyssYbysysYsM
,0)0(,0)0(' yy
)()()()(2 sRsKYsbsYsYMs
KbsMssRsY
2
1)()(
)(ty es el desplazamiento y )(tres la fuerza aplicada. Su transformada de Laplace es:
considerando:
La función de transferencia es:
Figura 1. Sistema masaAmortiguador resorte.
La función de transferencia
2b.- Sistema masa amortiguador resorte con desplazamiento inicial
Considérese ahora que existe un desplazamiento inicial 0y . Entonces para
)()()0()()0()0()( '2 sRsKYyssYbysysYsM
conservar la condición una entrada una salida se hace 0)( tr
,)0(,0)0(,0)( 0' yyytr
condiciones iniciales
KbsMs
bMsysY
2
0 )()(
Ahora el desplazamiento solo depende de la posición inicial y los parámetros del sistema.
La función de transferencia es:
La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Tipo deelemento
Elementofísico
Ecuaciónrepresentativa
Símbolo
Inductancia
Inductanciaeléctrica
Resortetraslacional
Resorterotacional
dtdi
Lv 21
dtdf
kv
121
dtdT
k1
21
1v 2v
i L
1v 2v
ff
1T
12
2T
La función de transferenciaResumen de las leyes de elementos
Capacitancia
Capacitanciaeléctrica
Masa
Inercia
dtdv
Ci 21
dtdv
mf
dtdjT
Capacitanciafluídica
dtdp
Cq f21
21
Capacitanciatérmica
1v 2v
i
C
mv
f
jT
1q 2q2p
1p
fC
qT tCdt
dTCq t
La función de transferenciaResumen de las leyes de elementos
Resistencia
Resistenciaeléctrica
Amortiguadortraslacional
211v
Ri
bvf
21bT
Resistenciafluídica 21
1p
Rq
f
Resistenciatérmica
b
T
1
q
2p1p
fRq
1TtR
211T
Rq
t
Amortiguadorrotacional
1v 2v
i
R
21vff b
2
T
2T
Diagramas de bloques
La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite representar las relaciones de un sistema por medios diagramáticos.
Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.
Diagrama a bloques
• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema.• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. • No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.
Consideraciones:
Diagramas de bloques
Elementos de un diagrama a bloques
Función de transferencia
)(sG
Variablede entrada
Variablede salida
Flecha:
Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la direccióndel flujo de señales.
Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.
Diagramas de bloques
Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado
)(sG+-
punto de sumapunto de bifurcación
)(sH
)(sR )(sE )(sC
)(sB
Función de transferencia en lazo abierto )()()()(
sHsGsEsB
Función de transferencia trayectoria directa )()()(
sGsEsC
Función de transferencia lazo cerrado )()(1)(
)()(
sHsGsG
sRsC
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en serie
)(1 sG)(sR )(sC)(sD
)(2 sG )()( 21 sGsG)(sR )(sC
Por elementos en paralelo
)(1 sG)(sR
)(1 sG
+
+
)(sC
)()( 21 sGsG )(sR )(sC
)(sG+-
)(sH
)(sR )(sE )(sC
)(sB
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en lazo cerrado
)()(1)(
sHsGsG
)(sR )(sC
La simplificación de un diagrama de bloques complicado se realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloques utilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.
Diagramas de bloquesReducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
G +-
A AG BAG
B
+-
A
B
G
G1G
B
GB
A BAG
GA AG
AG
AG
GAG
AG
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente
Diagramas de bloquesReducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
GA AG
A
AG
G1 A
AG
+-
A B1G
2G
+-
A B2G 1G
2
1G
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente
