La Helena de la Geometría

La Cicloide

Hagamos rodar un círculo sobre una superficie plana y observemos la trayectoria que describe un punto cualquiera del mismo.

La curva descrita por el punto en cuestión, que se repite tanto como sigamos haciendo girar el círculo, se llama cicloide.

La cicloide es una curva tan particular, que fue estudiada por

todos los matemáticos importantes, en todas las épocas. Provocó tantas querellas, guerras, peleas y reyertas entre ellos, que se la conoce como la "Helena" de

los geómetras.

Es interesante comprobar que el área bajo el arco de la cicloide es tres veces la del círculo que rueda para generar la cicloide.

En 1658, Christopher Wren demostró que la longitud de la cicloide es igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia generatriz.

En cuanto a las propiedades avanzadas digamos que esta curva es la solución de dos

antiguos problemas de física: el de la braquistócrona y el de

la tautócrona. 

BraquistócronaUna partícula tomará el menor tiempo posible al deslizarse desde un punto A hasta un punto más bajo B, bajo la influencia de la gravedad, si sigue en su trayectoria la forma de un arco invertido de cicloide.

Tautócrona.Las cicloides son "tautócronas", es decir que el tiempo que una partícula tarda en recorrer la distancia desde cualquier punto de la cicloide hasta el punto más bajo de la curva es siempre el mismo, no importa si lo iniciamos en la parte más alta de la curva, en la mitad o desde un punto muy cercano a la base.

Un péndulo que tenga por límites una curva cicloide es isócrono y el centro de gravedad del péndulo describe a su vez una cicloide.