La Nueva Ciencia Tartaglia

En 1537 aparece publicada La Nova Scientia y en ella suautor pretende anunciar la invenci6n de una ciencia: la balistica.Escrita por Nicolo Fontana, detto Tartaglia, dicha obra se proponeresponder a las nuevas interrogantes de quie~es se ocupaban demanejar las piezas de artilleria cuyas descargas sembraban el terroren los campos de batalla del Renacimiento. Inscrita en el senode las disciplinas matematicas, la balistica reconocia la existenciade un problema fundamental: la determinacion de la forma adop-tada por la trayectoria de una bala de canon,

El interes por el movimiento de proyectiles no era nuevo.Esta presente desde que Arist6teles 10 introdujo en la Flsica yel De Caelo como parte de sus argumentos sobre el movimiento.Por su parte, La.Nueva Ciencia no es un tratado de movimientoen el sentido medieval, es decir, no discute la naturaleza delmovimiento. Se ocupa exclusivamente del movimiento de 109cuerpos que llama "igualmente graves" y 10 hace siguiendo el"modo geometrico", el que dicta el modelo euc1idiano: definicio-nes, suposiciones, nociones comunes y teoremas. En sus paginasse encuentran dos elementos que le aseguran un lugar en la his-toria: uno es que el maximo alcance para una bala se lograinclinando el canon a 45° sobre la horizontal, y el otro esu afmnaci6n de que la trayectoria incluia una curva.

A pesar de sus deficiencias, La Nueva Ciencia alcanz6 unexito considerable. Para 1583 el texto en italiano contaba consiete ediciones y habia sido traducido a todas las lenguas im-portantes. Sin embargo, su autor no se engail.6 respecto de laforta1eza de sus tesis, y mas adelante, en los Quesiti (1546), en-mendaria algunos de sus equivocos. Con todo, La Nueva Cienciqueda como uno de los testamentos de las nuevas corrientes qua 10largo de los siglos XV y XVI producirian artistas que muchotenian de ingenieros, de cientificos y de aitesanos, y para quiene1~.teoria'YJa practica, d c0I}0Cllnielltoy su ~plicaci6n, en ..,

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Nicolo Tartaglia

La Nueva Ciencia

UNAM

FAC. DE CIENCIASBIBLIOTECA

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Colecci6n MATHEMATftulos publicados:

Las Paradojas del InfinitoBernard Balzano

Metodo Axiomatico y FormalismoJean Cavailles

Fundamentos de las MatematicasDavid Hilbert

EI Juego de las EsferasNicolas de Cusa

Obras MaternaticasBlaise Pascal

Curso de AnalisisAugustin Louis Cauchy

De la PinturaLeon Battista Alberti

Analisis de los InfinitamentePequefios para el Estudio

de las Lfneas CurvasMarquis de l' Hospital

Volumenes en preparaci6n:

El Prefacio Matematico a losElementos de Euclides

John Dee

El Metodo de las Fluxionesy Series Infinitas

Isaac Newton

Fundamentos para unaTeoria General de 10sConjuntos

George Cantor

Colecci6n MATHEMA

Con el patrocinio de:

Facultad de Ciencias, UNAMDircccion General de Asuntos del Personal Academico, llNAM

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Nicolo Tartaglia

La Nueva Ciencia

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Nicolo Fontana, TartagliaPortada de Quesiti et Inventioni Diverse

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MATHEMA

Coleccion dirigida por:Carlos Alvarez - Rafael Martinez

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Nicolo L!artaglia

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Estudio Introductorio,traduccion directa del italiano y notas

J. Rafael Martinez-E. y J. Cesar Guevara Bravo

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Titulo original: La Nova ScientiaAutor: Nicolo Tartaglia

Titulo: La Nueva Ciencia

Estudio introductorio, traducci6n y notas:.I. Rafael Martinez-E. y 1. Cesar Guevara Bravo

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Primera edici6n en espafiol 1998·l=·c.[:J /..1 J((1Impresi6n Tipografica: Ediciones S y G SA de CV

Agradecimientos

© Primera Edici6n en espafiolServicios Editoriales de la Facultad de Ciencias, UNAMCiudad Universitaria, 04510, Mexico D. F.

Los directores de la colecci6n MATHEMA desean expresarsu agradecimiento a la Direcci6n General de Asuntos del Per-sonal Academico de la UNAM por el apoyo brindado parala publicaci6n de este texto, La Nueva Ciencia, a traves delproyecto IN-400495.

Asimisrno manifiestan un reconocimiento al apoyo prestadopor Antonieta Fregoso Miranda en la captura de los textosde Euclides y a Antonio Lazcano en la obtenci6n de mater ialbibliografico

ISBN 968-36-6620-5ISBN 968-36-\887-1 (Colecci6n MATHEMA)

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Genesis de una nueva ciencia

Parecian bello/as metdlicas, despedidas por una llamaradaacompahada de un horrisono trueno ... no era sujiciente que hastaahora el encolerizado Dios enviase sus rayos desde el cielo, no: el

hombrecillo debe tronar tambien desde la tierra. Su ira impura imitael rayo, y el horror que hasta ahora se abatia desde las nubes

divinamente sobre el hombre tcmbloroso, 10 lanza ahara el guerreromismo a traves de un tuba hacia otros guerreros. Esta peste era

hasta hace poco tan rara que se la miraba como un prodigio; peroahora parece haberse generalizado tanto y haberse hecho tan

corriente como cualquier otra clase de armas.

Petrarca

En 1537 aparece publicada La Nova Scientia y, como 10 indicasu titulo, quien 10 escribe pretende anunciar la invenci6n deuna nueva ciencia: la balistica. Inscrita en el seno de las dis-ciplinas maternaticas, la balistica se propone como tarearesponder a las nuevas interrogantes y preocupaciones que SUf-

gian en los circulos de quienes eran los responsables de mane-jar las piezas de artilleria que servirian para lanzar proyectilesa grandes distancias. Nicolo Fontana (1499/50-1557), dettoTartaglia;' autor de La Nueva Ciencia, reconoce en particularla existencia de un problema fundamental que, soslayado porla tradici6n filos6fica, requiere de una pronta soluci6n: la de-terminaci6n de la forma que adopta la trayectoria de una balade cation.

I. Tartalea en el original, que literal mente significa tartamudo.

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2 Estudio preliminar

Educado en los talleres de donde surgian los artistas quemucho tenian de cientificos y de artesanos, Tartaglia participode esa cultura en la que el ideal se alcanza en la figura de Ar-quimedes, para quien la teoria y la practica, el conocimiento ysu aplicacion, son momentos de un afan que es el conocimientocientifico, Asi, Tartaglia encarna la imagen misma del ingeniero-matematico que aparece en Italia en el Cinquecento, y que ligadoa los arsenales tiene como razon de ser "resolver los problemasde su profesion y de cultivar el arte de inventar con el finde asegurar... su gloria" (Moscovici, Essai sur ...).

EI interes por el movimiento de proyectiles no era nuevo.Habia estado presente desde que Arist6teles 10 introdujo comoparte de sus argumentos acerca del movimiento 0 el cambioen general iFisica, Libros IV y VII; De caelo, Libro III). Estasdiscusiones fueron moduladas y enriquecidas durante los siglossubsiguientes, en particular en las postrimerias de la Edad Media,donde se integraron al cuerpo de la escolastica y de sus proycc-ciones hacia el Renacimiento. Comprender y valorar los trabajosde la ciencia que se despliega en el siglo XVI requiere, por con-siguiente, considerar el clima intelectual en el que se educaron susautores y frente al cual debieron estes enfrentar sus argumentos.Presentar un panorama completo de los esquemas explicativos so-bre el movimiento, desde Aristoteles hasta la aparicion de La NuevaCiencia, e insertar en dicha tram a el problema del lanzamientode proyectiles, es algo que rebasa nuestras intenciones. Sin em-bargo, 10 que sf nos proponemos es recuperar algunas de las mo-tivaciones y dificultades que acompaiiaron a quienes a traves dela observacion y el analisis 0 descornposicion del movimiento bus-caron arran car de la naturaleza ese rostro 0 imagen de la trayectoriade una bala que, con teoria 0 sin ella, ya sembraba el terroren los campos de batalla del Renacimiento.

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ii,2. Su tarea era gencrar nuevas y mas poderosas rnaquinas de guerra y, paradojicamcntc,tambien la de discnar las fortificacioncs que anularian el descmpcno de aqucllas yde otras maquinas disenadas con el mismo proposito.

La nueva ciencia 3

La nueva imagen de las disciplinasmatematicas

EI frontispicio de La Nueva Ciencia ilustra las ambiciones decorte humanista de ingenieros que, al igual que Tartaglia, as-piraban a recibir la misma clase de honores otorgada a losfilosofos que navegaban sobre las venerables aguas de latradicion clasica (fig. I). Inspirado en una alegoria platonica,el grabado muestra dos santuarios: uno, el mas alto, presididopor Filosofia, la reina de las artes liberales, quien a su vez

Figura 1 Frontispicio de La Nueva Ciencia

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esta flanqueada por Platon y Aristoteles, maestros indiscutiblesde los dos principales filones del saber de los antiguos. EI espa-cio inferior corresponde al otro santuario, donde se desplazauna selecta corte que incluye alas damas del cuadrivium -Musica, Aritrnetica, Geometria y Astronomia- y junto a ellas,para cerrar el circulo, aparece la Perspectiva, de reciente acep-tacion en tan selecto grupo. En el centro aparece nada rnenosque Tartaglia, fungiendo como maestro de ceremonias en unescenario don de se presentan, a la vista de todos, los principiosde la ciencia que constituyen la balistica.

Quienes deseen entrar en este sancta sanctorum del cono-cimiento deben cruzar la puerta cuyo paso esta resguardadopor Euclides. Aquellos que sin toparse con Euclides busqueningresar a los espacios donde se mueven las senoras de lasabiduria estaran condenados al fracaso, como 10 ilustra el ig-norante que a la izquierda intenta saltar la muralla apoyandoseen una escalera tan corta que ni siquiera alcanzara a atisbar10 que ocurre en el interior.

Para el Cinquecento los Elementos constituian no solo el fun-damento, sino el paradigma 0 forma de acceso de toda sapienciacierta, caracteristica que separaba alas lIamadas disciplinasrnatematicas de cualquier otro tipo de conocimiento. Educadobajo estos supuestos, Tartaglia publico para sus colegas menosinstruidos -sobre todo quienes no leian en latin- la primeratraduccion a lengua vernacula de los Elementos' (1543). Concomentarios del propio Tartaglia, esta edicion pretendia que"cualquier inteligencia mediocre pudiera entenderla, aun sinel conocimiento de alguna otra ciencia". La razon de ello radi-caba en que las disciplinas rnatematicas, en particular laGeornetria y la Aritmetica, que son las puras,

par si mismas se sostienen, par si mismas se vcrifican, por si mismasse aprueban, y no por el [peso] de la autoridad 0 la opinion de los hom-

3. Publicado en Venecia.

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La nueva ciencia

bres, eomo ocurre con otras ciencias, sino par dernostracion (edicionde 1565).

La cuestion de cuales disciplinas eran matematicas, y por 10tanto dignas de toda confianza en cuanto a sus resultados, era porentonces motivo de debate. En el prefacio a su edicion de los Ele-mentos, Tartaglia resume 10 que a su entender parece evidente:

Las Ciencias, Artes 0 Disciplinas Matematicas son muchas, segim elvulgo, ... Aritrnetica, Geometria, Musica, Astronomia, Astrologia, Cos-mografia, Corografla", Pcrspectiva, Espccularia, la ciencia de los pe-sos, Arquitectura y muchas mas. Sin embargo, Ma. Bovetio Severino yGiorgio Valla, tomando las opiniones de algunos griegos insistcn enque las disciplinas Matcmaticas scan solo cuatro, Aritmctica,Gcometria, Musica y Astronomia, y que las demas scan subalternas, esdccir, dcpcndientes de las susodichas euatro. Pero Fra Luca dal BorgoSan Scpulchro ' quiere que las mencionadas disciplinas mntcmaticasscan cinco (agrcgando la Perspcctiva alas cuatro anteriorcs) 0 trcs, ex-cluycndo a la Musica ... y Pietro, Cardenal de Aliaco, quicn en suprimera cuesti6n sobre Juan de Sacrobosco eonc1uye que la Musica, lai\stronomia e igualmente la Pcrspectiva no son Maternaticas puras(como cs cicrto), sino intermedius entre las Matematicas y la cicncianatura!...Concluircrnos cntonccs que s610 la Aritmetica y la Geomctria, de lasque se ocupa cspeculativamcnte nuestro Euclidcs, son las disciplinasMatcmaticas puras, (Tartaglia, Euclide Megarense, f. 5v-6r)

De 10 anterior se desprende la importancia que habianvenido adquiriendo las disciplinas rnatematicas por si rnismas,por sus usos practicos y por su valor propedeutico en estudiostan aparentemente ajenos como podrian parecer la Teologtay el Derecho. Asi, mas y mas disciplinas se inscribieron entrelas que guardaban una estricta dependencia de las maternaticaspuras. Tal fue el caso de varias areas de estudio que tipi-camente se ensefiaban en las bothegue 0 escuelas de oficios

4. Topografla.5. Luca Pacioli (1445-1514 c.), el mas celebre maternatico de SlI ticmpo, autor deuna Summa de aritmetica y geometria te6rica y practica publicada en Venecia en1494, y de La Divina Proporcion (1509), obra a la que dcbe SlI fama.

G Estudio preliminar

donde se aprendia Topografia, Gnornonica, Geografia, Opticay Perspectiva. Las divisiones 0 subdivisiones a las que diolugar tal profusion de actividades que se apoyaban en lasmatematicas llevo a que gentes de la talla de Tartaglia, FederigoCommandino (1509-1575) -a quien Tartaglia calificara de'perittisimo mathematico' - y Cristoforo Clavio (0 Clavius)(1523 -161 0)6 aportaran razones poderosas para defender una 1I

otro alternativa de clasificacion. Es el caso, por ejemplo, queCommandino incluyera actividades cuyo desarrollo todavia noera espectacular pero que ya permitian establecer diferencias:

Heeha otra division, dccirnos que las facultadcs matematicas se ocupande las casas intclcgiblcs 0 de las scnsibles: de Ias intelegiblcs al refcrirsea todas aquellas consideracioncs que el alma por sf misrna suck exeitardespojandose de las lormas matcrialcs, y de cste gcnero de rnatcmaticastenemos dos cspccics principalcs... la Gcomctria y Ia Aritmctica Encuanto al otro gcncro, que haec pro lesion de ocuparsc de las cosas queafcctan los scntidos, sc divide en scis partes: cl artc de las maquinas, As-trologia, Optica, Gcodcsia, Canonica o Musica y aquclla que sc ocupade haccr cucntas (Prolcgorncnos a los Elementos'[.

Si se pasa alas subdivisioncs se tiene que la Astronomiaa su vez se subdivide en Gnornonica, MeteoroscopicaTiiop-trica'', Optica 0 Perspccti~a, que a su vez se divide en Optica,C tc t . E' I') E f' 10a op nca 0' specu ana y scenograria .

Este tipo de subdivisiones es aceptable para Clavio, quien solosustituye eI 'arte de las maquinas' por la 'Mechanica'. A estaultima la subdivide, segun su actividad, en areas que se ocupan

6. Hombre clave en la educaciou cicntlfica de los colcgios jesuitas, para los cualesescribi6 tcxtos sobrc las difcrcntcs diseiplinas matematicas adaptados a los lineamien-tos filosofico-pcdagogicos de la orden.7. "Se ocupa de las difercncias entre las clcvacioncs y las distancias de las estrellasy ensefla otros teorcrnas que pertcncccn a la Astrologfa".8. Par medic de instrumentos investiga las distancias del sol y de la luna y de otrascstrellas.9. Estudia las lcycs de rerlexion de la luz sabre espejos.10. Proporciona reglas practicas para enganar al ojo de un espectador creando la ilusi6nde tridirnensioualidad en eI dccorado de un leatro.

La nueva cicncia 7

ya sea de la construcci6n de 'ingenios' 0 maquinas, 0 de laconstruccion de elementos bel icos, de automatas, y tam biende estudios sobre el movimiento y el equilibrio de los pesos.

Un problema medieval de movimiento

Desde mediados del siglo Xlll la p61vora era conocida enEuropa, pero fue solo hasta bien entrado el Renacimiento quela tecnologia militar pudo utilizarla de rnanera que resultaramas peligrosa para el enemigo que para el propio artillero. Pre-vio a esto, el uso de bombardas, morteros y canones no habiajugado un papel decisivo en el resultado de las guerras,sirviendo mas para infundir panico entre 10s habitantesde una ciudad bajo sitio que para efectivarnente derribar mu-rallas y dispersar ejercitos. La creciente importancia que fueronadquiriendo las armas de fuego al aumentar su poder destruc-tivo y su precision para dar en el blanco se puede constataren la forma como son presentadas en grabados j' pinturas dela epoca, siendo usual que a mediados del siglo XV aparecierancomo elementos decorativos en pianos posteriores 0 a loscostados de las ilustraciones (fig. 2), en tanto que cincuentaafios mas tarde lIegaron a ocupar posiciones centrales en 10scuadros donde se celebraban las gran des batallas (fig. 3).

Conforme se avanzo en el conocirniento de todo aquelloque circundaba al uso de la artilleria, las discusiones sobrela trayectoria de las balas salieron del ambito universitario yde la escolastica y pasaron a ser parte de una cuestion conmultiples facetas: practicas, estrategicas, matematicas, fisicasy filos6ficas. Lo que se discutia era algo de tal profundidady riqueza intelectual que el problema del movimiento 0 trayec-tori a de un proyectil paso a ser una de las cuestiones defi-nitorias de la transici6n que ocurrio en la mentalidad de laepoca,

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8 Estudio prciiminar

Figura 2 Alegoria de fa Guerra y fa Paz. Grabado de autoran6nimo, 1459.

EI principal problema que se presentaba al analizar elmovimiento de una bala de canon es que a(1I1persistian ideasbastante confusas respecto de 10 que ocurria una vez que labala estaba en el aire. Para intentar resolver esta problematicay aclarar el panorama, dos clerigos franceses, Jean Buridany Nicole Oresme, habian introducido en la discusion la nocionde impetu, enrnarcandola en las doctrinas aristotelicas com un-mente aceptadas en el siglo XVI. Sin embargo estas ideas soloapuntaban a resolver cuestiones del orden cualitativo y pocoayudaban a responder las preguntas basicas de un artillero:(,que tanto hay que levantar sobre el horizonte un canon paraque la bala acierte sobre un blanco colocado a una determinada

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La nueva ciencia 9

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10 Estudio prcliminar

distancia?, (,con que inclinaci6n se debe disparar una bala paraque su alcance sea maximo? Estas y otras preguntas semejantesbullian en las cabezas de los ingenieros rnilitares que sabian elpoder que alcanzarian los ejercitos que poseyeran estos cono-cirn ientos. Era evidente que las doctrinas que se ocupaban delmovimiento deberian dar el siguiente paso y responder cuan-titativamente a estas demandas.

Cosa curiosa, las primeras respuestas a dichas interrogantesvinieron de los claustros universitarios y fueron emitidas pre-cisarnentc par Tartaglia, profesor de matematicas en la uni-versidad de Venecia pero que siempre mostr6 un gran interespar los asuntos del orden practice. Como ya se rnenciono, losresultados iniciales los presento en La Nueva Ciencia (1537).En sus paginas sc encucntran dos casas que 10 han hecho pasara la historia. Una es la afirrnacion de que el maximo alcancepara cl disparo de una bala se logra inclinando el canon a 45"sobre Ia horizontal, en tanto que la otra fue alga que impactoa Ios sabios y Iilosofos de fa epoca, pues afirmaba que latraycctoria que seguia la bala en el airc incluia una parte curva,con 10 cual cstaba hacienda caso omiso de uno de los puntasccntraies de la doctrina aristotel ica del movimiento. Segun estecanon, cl movimiento que debcrfa seguir la bala al salir delcanon era a 10 largo de una recta y asi se mantendria hastaalcanzar su maxima altura. Acto seguido la bala caeria, tambiensiguiendo una trayectoria recti linea, en direccion del centro dela tierra (fig. 4). Era imposible, por 10 tanto, que el movimientocurvo del que hablaba Tartaglia ocurriera aqui en la tierra; di-cho rnovimiento estaba rcservado unicamente para los objetoscelestes, es decir, aqucllos que sc 11111eyenmas alia de la esferalunar y que se somcten por consiguiente a leyes diferentes delas terrena Ies.

La historia de la transicion de los modos de pensar me-dievales a los que constituyen !os inicios de la Hamada cienciamoderna -·--la que surge en el siglo XVI y alcanza su cima

La nueva cicncia 11

Figura 4, Daniel Santbech. l'roblcmatum Astronomicorum,Basilca, 1561.

en el XVII con figuras de la talla de Descartes, Newton y Leibniz-cs muy amplia y con multiples vertientcs. Por ello en las lineasque siguen solo se esbozaran algunas de las cuestiones mas rele-vantes y que a su vez inciden directamente sobre el marco detrabajo que define Tartaglia en el seno de La Nueva Ciencia.

Los antecedentes teoricos que se someten a discusion enLa Nueva Ciencia se remontan a las ideas aristotelicas sobremovirniento que habian atravesado el Medievo latino, ganandoen sofisticacion y propiciando la acumulacion y asimilacionde nuevos conceptos que buscaban mantener Ia suprernacia delos viejos esquemas explicativos del mundo fisico.

Para entender mejor la importancia del trabajo de Tartagliaes necesario presentar algunos aspectos de 10 que era la cienciadel movimiento que vino a revolucionar, iniciando por analizar

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10 que aparentemente en nuestros dias es facil intuir y, masfacil aun, describir y controlar, pero que todavia en los tiemposcopernicanos estaba rodeado de nociones diffciles de entendery manejar. Lo primero que hay que tomar en cuenta es quepara el Medievo el movimiento era algo que podia ocurrir enuna de las siguientes cuatro categorias: en la de lugar, y seIe lIamaba entonces 'locomoci6n' 0 'movimiento local" en la,de cualidad, y se lIamaba 'alteraci6n', como cuando un cuerpose enfria 0 se calienta; en la de cantidad, y correspondia a lade aumento 0 disminuci6n, como sucede en el caso de un cuerpoque crece 0 disminuye de tamafio y, por ultimo, en la de sus-tancia, refiriendose a cuando ocurre generacion 0 corrupci6nde una porci6n de materia.

Las discusiones sobre aspectos relacionados con movimientoalcanzaron altos niveles de complejidad, en ocasiones por ra-zones tan sutiles como la distincion entre cambio ymovimicnto, el primero siendo algo que uno deduce medianteel raciocinio -como cuando se comparan las sensaciones ex-perimentadas en dos instantes diferentes y, dandose uno cuentaque no son las mismas, se dice que ocurrio un cambio-, entanto que el segundo, el movimiento, es en esencia algo quese muestra ante los sentidos, siendo algo fenomenico. Perci-birnos el movimiento cuando esta ocurriendo, pero deducimosque algo ha cambiado solo despues de ocurrido el hecho. Sepod ria decir que el cambio es la diferencia entre estadossucesivos, como por ejemplo el cambio de posiciones de al-guien que de estar dentro de una habitacion pasa a estar fuera.

Es evidente que cualquier objeto en movimiento local sufreun cambio en su posicion. Por ello se dice que cambia ymovimiento parecen ser cosas distintas, si bien ocurren demanera conjunta. Siguiendo un analisis que presenta EdithSy\1a diremos que el movimiento es un fenomeno sensorialclaramente detenninado y que corresponde a un concepto 0

idea bien determinado. Por su parte, el cambio puede parecer

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La nueva cicncia 13

indeterminado para los sentidos pero corresponde a una ideamental rnuy clara. Lo usual entonces es que se busque estable-cer una imagen mental del movimiento en terminos del cambio(Sylla, Oxford Calculators, 275-277).

Desde esta perspectiva es cornun seiialar que el analisis delmovimiento en los primeros siglos de este milenio interpretabaun movimiento completo como un cambio, considerando uni-tariamente al primero en tcrminos del m6vil y de los puntoscorrespondientes al inicio y el termino del movimiento (10 cualaporta una especie de imagen del movimiento), si bien aco-tando que de hecho el movil no se encuentra fijo --en reposo-sino que esta realizando la transicion entre los dos puntos ex-tremos. Esta interpretaci6n concibe al movimiento como unflujo, y no corresponde, por tanto, a la misma categoria delos elementos que constituyen los extremos del movimiento(lugares), es decir, el movimiento consiste en el pasaje 0 tran-sito de un algo hacia otro algo en la categoria de lugar y noes, por si mismo, elemento de esta categoria. De estas teoriaso maneras de concebir el movimiento se dice que son platoni-cas, ya que unicamente consideran dos formas distinguibles--el principio y el fin del movimiento-, y solo permiten quelos puntos intermedios correspond an vagamente a prefigura-ciones del elemento final del rnovimiento. Segun esta visionexiste primero un estado de lIegar a ser -flujo-- y luego elpunto final 0 termino del movimiento (el productum esse.foe-turn esse, motum esse, para seguir la terminologia utilizada porSanto Tomas en la quaestione 3, articulo 2 de su Quodlibet).

Segun otra tradicion -que se desarrolla hacia el crepusculodel Medievo-, habia que ocuparse no solo del principio ydel fin -Ios extremos- del movimiento, sino de todos los pun-tos intermedios. Es un hecho que ya desde mediados del sigloXIV quienes se ocupaban de estos problemas consideraban almovimiento en terminos de los lugares y magnitudes de lascualidades -ya las escuelas de Oxford y de Paris habian


mostrado grandes y sugerentes avances en estos estudios-ocupadas, adquiridas 0 transitadas par el m6vil en cada instantedel movimiento. A este enfoque se Ie ha calificado de aris-totelico en tanto que se ocupa de las form as que de hechoconsidera inherentes al m6vil y no de aproxirnaciones 0 sorn-bras imperfectas de los extremos. Para quienes se encontrabaninmersos en esta corriente, el movirniento estaba confonnadopor el m6vil y una serie de lugares, cualidades y cantidadesbien diferenciadas que dicho m6vil poseia en cada instante del'recorrido'. Estas fonnas eran conocidas en 10 general como

forma fluens y, en el easo del movimiento local, como ubifluens (Murdoch, The Science of Motion, 215; Wallace, Cau-sality, 55-58).

Entender en que eonsistia el movunrento provocaba multi-pies debates, y frente a este marco de referencia los seguidoresde Guillermo de Occam (c. 1300-c. 1349) sostcnian que lanocion de 'rnovimicnto" se referfa unica y exclusivamcntc almovil y a los lugares, grados de cualidad 0 cantidades queaqucl adquiria de rnanera succsiva. Esta opinion era defcndidapor un grupo bastante amplio de los Calculatores (Brad-wardine, Hcytcsbury y Richard Swinehead). Pero tambicnhabia quienes sostenian que tal manera de concebir elmovimiento era inadecuada y que deberia haber algo mas quetomar en cuenta si se queria realmente aprehender su esencia.Este algo resulto ser lIamado el fluxus y uno de sus defensoresmas connotados fue Walter Burley, otro miembro del grupode los Calculatores de Oxford (Maier, Studien, 106-1 17).

Burley presenta una teoria del cambio cualitativo en ter-minos de 10 que 6111amo 'Ia sucesion de las forrnas' y mediantelas cuales concebia al movimiento en forma global y no soloen terrninos de los puntos de inicio y de fin del proceso. Seg(JI1esta teoria no existe un punto final 0 terminus del movimientosino un numero infinito de estes, correspondiendo cada unoa cada instante del movimiento. Lo anterior conducia a que

La nueva ciencia 15

no se tuviera un solo movimiento 0 punto final alcanzado, sinoque ahora se tendria un numero infinito de transformacioneso cambios seguidos de un infinito de puntos finales a\canzados.Con esto Burley lograba una descripci6n mas detallada de 10que seria el movimiento. Sin embargo el problema de la con-tinuidad seguia vigente. Si nos atenemos a 10 expresado porBurley, resulta que nunca ocurre que dos formas adquiridassean inmediatas una de la otra, y si bien en numero son in-finitas esto no permite concluir que la trayectoria forme Ull

continuo. Solo si se perm itia agregar la nocion de flujo a estavision era posible sostener la idea de continuidad como algosustantivo para el movimiento. Es evidente que las antiguasdiscusiones sobre la naturaleza del continuo habian transm itidosu falta de claridad al ambito de la conccptualizacion delmovimiento. De cualquicr rnanera, el hccho de habcr planteadouna reformulaci6n del problema de la naturalcza delmovimicnto y de las vias 111[IS adccuadas para su dcscripcion-en las que se ponia especial cnfasis cn los fucrtes lazos quelas d iversas teorias mantenian con las maternaticas, en par-ticular por el hecho de que muchas de las discusiones rcrnitiana imagenes de corte geomctrico -; era Ull paso mas en la di-reccion que resultaria hegemonica en el siglo XVII. Era, nimas ni rnenos, sostener que las maternaticas y cl mundo realestaban intimamente enlazados, 10 cual a fines de la Edad Me-dia todavia era algo extrafio para el sentido comun y sostcn iblesolo en el mundo plat6nico de 10 que siempre es y que porende nunca sufre del dolor que acompafia al lIegar a ser.

Quien penetre en aquellos mundos tan lejanos no dejara denotar que el poder de las rnaternaticas como lenguaje que exhibeo expliea al mundo externo distaba todavia de alcanzar la clari-dad que cuatro siglos de triunfos sucesivos nos han hecho acep-tar como evidente.

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De la causa y cuantificaci6n del movimiento

Las ideas que de manera explosiva irrumpieron en la culturaeuropea de mediados del siglo XIV, y que en forma naturalllevaron a vestir al movimiento con los velos de las matematicas,pronto se perdieron en los laberintos de las viejas discusionessobre el continuo matematico y los desbordes imaginativos dela teoria de las latitudes, debicndo esperar otros tiempos parasu resurgimiento. Lo que siguio siendo discutido en los circulosintelectuales fue la idea de movimiento y de sus causas y, comoera de esperarse, Arist6teles era el punto de partida que guiabatoda discusi6n (Lindberg, Western Science, 290-307; Murdoch,The Science of Motion, 206--264)_

En cuanto a la modelaci6n del mundo habia algo peculiaren el enfoque aristotelico, y es que tenia en muy alta estimaa la raz6n humana y no confiaba mucho en los datos que pu-dieran surgir de mediciones, pues en estas participaban loscinco sentidos y habia muchos argumentos que demostrabansu falta de objetividad. Sobre este hecho Platon decia quecuando el alma depende de los sentidos para obtener infor-maci6n "es arrastrada hacia el reino de 10 variable, y con-fundida y mareada, pierde el camino" (Dialogues, 62).Arist6teles, por su parte, afirmaba que el rnaternatico realizamediciones s610 despues de "haber despojado [at objeto] detoda cualidad sensible, tal como peso, dureza.... calor, frio yotros contrarios que se aprecian con los sentidos" (Works', 8,1061 a.), Heredera de estas ideas, la Edad Media considerabaala descripcion y al analisis mas util en los asuntos cualitativosque en los cuantitativos. No sorprende, entonces, que el analisismedieval del movimiento se ocupara mas de cuestiones cuali-tativas que de las cuantitativas que en el siglo XVI se pondriana la vanguardia de la discusion. Habia tambien cierta reticenciapara ocuparse de las cuestiones cuantitativas dado que, segunGuillermo de Occam, nominalista por excelencia, estas sirn-

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La nueva cicncia 17

plemente no existfan. Las (micas realidades existentes eran lasres absolutae, a saber, las sustancias -() materia- y las cuali-dades --color, calor, forma y pesantez-, todas ellas casas ab-solutas con capacidad de existir de manera independiente,

La palabra 'cantidad' era considerada por Occam como unnombre abstracto, ya que no existe por si rnisrna. Puede aumen-tar 0 disminuir y hasta desaparecer si Dios asi 10 desea, y todoello sin afectar la sustancia 0 sus cualidades. Esto es evidenteen el fen6meno de la condensaci6n, donde el volumen ocupadopor un cuerpo cambia sin que ello conlleve un cambio en [acantidad de materia, forma sustancial 0 cualquiera de las cuali-dades absolutas, Llevado al extremo, Dios puede condensartodo el universo, eliminando toda extensi6n, es decir, reducirloa unpunto en el espacio. Segun Occam, algo semejante ocurrecon el misterio de la Eucaristia, donde las distintas partes queintegran el cuerpo, la sangre y la forma de Cristo, se mantienena pesar de no poseer extension espacial. Este modo de discurrir10 liev6 a reducir todos los problemas vinculados con canti-dades fisicas a problemas de logica 0 de grarnatica.

Refiriendose al movimiento, Occam concluye que terrninoscomo movimiento, cambio, crecimiento, condensacion y otrosrelacionados con estos, corresponden a ficciones que designanno otra cosa sino la materia individual, la forma 0 la cualidad.Segun el, el concepto de movimiento se construye de dos ele-mentos, uno positivo y otro negativo. EI primero es el cuerpoo cualidad al que se refiere Aristoteles al hablar del 'cuerpoen acto'. EI elemento negativo corresponde a la negaci6n delreposo, y esta irnplicito cuando se habla del cuerpo 'en po-tencia'. Esto ultimo no puede existir fuera de la mente, yaque s610 el cuerpo como individuo ya acabado y en reposopuede ser considerado como real. De ahi que por 'movimiento'se entienda a un cuerpo del que se dice no estar en reposo.Aceptado esto, bastaba un paso para que Occam considerarasuperfluo hablar de [as causas del movimiento, pues nada po-

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dria estar par encima del cuerpo en tanto que ente fisico, esdecir, dotado de existencia. Seguir esta linea de pensamientoobviamente lIevaba a un callej6n sin salida. Afortunadamenteel occarnisrno no goz6 de mucha fortuna entre los fil6sofosnaturales, ya que en dicho contexto nadie veria la necesidadde proponer teoria alguna para explicar el movimiento de unproyectil por ser este una ficci6n que por consiguiente no re-queria una explicacion causal.

Sigu iendo a Arist6teles, cuando se d iscutia acerca delrnovim iento se buscaba identificar sus causas, sus formas de ac-tuar y las relaciones que se podian establecer entre la fuerza morriz,eI peso del movil, la distancia recorrida y el tiernpo transcurrido.Aristoteles distingue dos tipos basicos de movimiento: cI naturaly el violento 0 forzado. En ambos casos se requeria, a 10 largodel movirniento, que a este 10 mantuviera un agente que actuarade rnanera continua. Si se trata del movirniento natural el agentcera la propia naturalcza del cuerpo. As! ocurria en el mundo su-pralunar, en el que los astros y !os planetas estan animados porun movimiento natural y circular alrededor del centro de la tierra.Por el contrario, dentro de la esfera de la luna los objetos tiendenunos hacia cl centro de la tierra -a los que se denomina graves-y otros en dirccci6n opuesta --conocidos como ligeros-, siem-pre hacia 10 que seria su lugar natural. Asi, la caida de cuerposgraves 0 pesados es natural en vista de que el lugar natural quele corresponde a los graves es el centro del mundo, en tanto queel de los ligeros es la superficie interna de la esfera sobrela que se mueve la luna. Se tenia por cierto que confonnese acercaba el cuerpo grave a su lugar natural mayor seriasu velocidad; esto por la alegria que Ie provocaba aproxi-marse al sitio que su naturaleza Ie reservaba como propio.

EI otro caso, el del movimiento violento, esta tfpicamenterepresentado por ellanzamiento de un proyectil, donde la causadel movimiento es tanto la mana 0 instrumento que 10 lanzacomo el aire que 10 empuja y que por consiguiente sostiene

La nueva cicncia 19

el movimiento. Es evidente que en esta situaci6n la causa delmovimiento era una causa extern a al m6vil. Segun Duhem(Etudes sur Leonardo, 3), Arist6teles presentaba dos posiblesexplicaciones, la de aV1:lTCEplCrra<JlS, que sostenia que el airedesplazado al frente por el proyectil se rnovia hacia la parteposterior del m ismo para llenar 10 que pod ria quedar vaciosi nada 10 ocupara. La otra posibilidad era a la que apostabaAristoteles, para quien era el propio rnedio, en este caso elaire, el que poseia la capacidad 0 poder de mover ytransportarel proyectil hasta que dicha capacidad era agotada. Esto COIl-

llevaba una especie de contradicci6n pues planteaba que cl aireactuaba tanto como motor del movimiento como de agcnte quegenera resistencia al mismo. Asumir la contradicci6n 0 buscar unasoluci6n alterna era motivo de debate yfinalmente fue la segundaposicion la que prevaleci6 en las tcorias del impetu que a me-diados del siglo XIV surgirian craton, Histoire, Vol I).

Otro elernento que intcrvino en la discusi6n fue la regiadel paralelogramo para componer movimientos, utilizada porAristotcles al afirmar que si un m6vil se desplaza con dosmovimientos simultaneos tales que las distancias recorridas enun mismo tiernpo guardan una relacion invariable, dicho m6vilse desplaza siguiendo la diagonal de un paralelogramo quetiene por lados dos lineas cuyas longitudes guardan la rnismarelacion. En cl contexto del Renacimiento esta regia permitiapocas posibilidades para el desarrollo de una via de estudiocuantitativa del movirniento de proycctiles, ya que entraiiabala posibilidad, hasta entonces no justificada, de componer unmovimiento natural con uno violento.

Una manera de resolver una cuesti6n entre teorias 0 puntosde vista que no alcanzan a convencer ni tampoco a destruir10 que se les opone es proponer una teoria nueva que expl iquetodo 10 que comprendian las anteriores, y que las supere enaquello que no lograban someter de manera coherente a susistema. En este caso tal teoria fue la del impetu, presentada

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20 Estudio prelirninar

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alrededor de 1340 por Jean Buridan (c. BOO-c. 1358), quienfuera rector de la Universidad de Paris (Clagett, Mechanics, 521-522), Y que aparentemente fue sugerida poco antes por Franciscode Marchia (1319) (Weisheipl, Motion, 31), Y ya desde el sigloVI d.C. por Juan Filopon (Sorabji, Motion, 227-248). Aunquees casi unanime la opinion de que los trabajos de este ultimono pasaron al Occidente medieval (Maier, Zwei Grundprobleme,127-133), 10 cierto es que sus argumentos para refutar la teoriadel movimiento de Aristoteles en 10 que concierne al agente quemantiene al movil en movimiento violento son muy semejantesa los presentados por Buridan, Oresme y el resto de sus seguidores.

Filopon sostiene que el medio no puede ser la causa delmovirn iento de una piedra 0 proyectil, ya que si asi fuera, GPorque haria falta que la mana tocara la piedra? Uno puedegolpear 0 desplazar al aire con vigor y no por ello se moverala piedra. Tarnbien ocurre que una piedra relativamente pesadapuede ser lanzada mas lejos que una mas ligera, 10 cual deberiaocurrir al contrario si el aire fuera el responsable delmovimiento. Mas aun, todo medio, incluido el aire, ofrece re-sistencia al movimiento, de manera que en lugar de ser unacausa resulta ser un irnpedimento. Todo esto 10 Ileva a concluirque la teorla aristotelica no puede explicar el movirniento vio-lento: " ... por el contrario, es necesario que un cierto podermotriz incorporeo sea transmitido al proyectil mediante el actodel lanzamiento". (Citado por Weisheipl, Motion, 29). Estepoder 0 £V£pYElU solo es tornado como algo prestado y decrececomo consecuencia de las tendencias naturales del objeto yde la resistencia del medio.

Cuando Duhern descubrio la teoria del impetu en los escritosde Jean Buridan y de sus seguidores penso que por fin habiaencontrado a los precursores parisinos a los que Galileo hizoreferencia en sus primeros escritos, a los que A. Favaro bautizocomo Juvenilia (Galileo, Opere, Vol. 1). Duhem sostuvo que elprincipio de inercia fue el producto natural de la derrota que su-

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frio la distinci6n aristotelica entre movimiento natural ymovimiento violento de manos de la teoria del impetu. Estaopinion no es cornpartida por much os, Anneliese Maier entreellos, al considerar que Duhem exagero la importancia del conceptode frnpetu, ademas de concebir err6nearnente el problema historico. SegunMaier, la teoria del impetu surge como un desarrollo natural de ladoctrina aristotelica y resulta un tanto ajena al principio de inerciaque aparecera en el siglo XVII (Maier, Zwei Grundprobleme, 113-114).

La nueva ciencia del movimiento. Vidasparalelas: teoria y practica

EI problema del movimiento compuesto 0 rnixto fue retomadocouseriedad par Leonardo da Vinci. Heredero de una largatradici6n que integraba !os conocimientos de ingenieros, artistasy artesanos, todos ellos usuarios de saberes al servicio de cues-tiones practicas, Leonardo aprende a pensar y a trabajar con en-granes, poleas, ruedas, balanzas, molinos, barcos y pianosinclinados. Se outre de la tradicion arquimediana y de los trabajoste6ricos de Swinehead y de Buridan, posiblemente a traves deAlberto de Sajonia y de Nicolas de Cusa (Dugas, Histoire defa Mecanique, 47-82), por 10 que el estudio de los fen6menostal y como ocurren en la naturaleza 10 realiza frente a esta yno a traves de los tratados de la escolastica. Esto Ie lIeva a analizarel movimiento de un cuerpo grave que se desliza sobre un planoinclinado y a enunciar como resultado de sus experimentos quetodo cuerpo grave desea caer hacia el centro de la tierra y laoposicion que Ie resulta mas oblicua Ie produce la menor de lasresistencias. Al referirse a la nocion de impetu de la que, comose ha mencionado, ya se habia ocupado Buridan, la trata comouna virtud creada por el movimiento y transmitida por el motoral rnovil (Barbin, Mathematiques, Art, 53).

Con respecto a la caida de los graves concluye que la velo-cidad que adquiere el cuerpo que cae es proporcional al tiempo

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que ha transcurrido durante la caida (Notebooks, 67). Estosplanteamientos muestran el afan de abstraer de la realidad loscomportamientos regulares y de encuadrarios en enunciadosque facilrnente pueden ser traducidos como proposicionesmatematicas, convencido de que no existe certidumbre algunaahi donde no penetran las ciencias matematicas 0 aquellas cuyosustento rernite alas matematicas (Notebooks, 7).

Sin mayores reticencias en cuanto a considerar situaciones queaparentemente escapan al aristotelismo medieval, Leonardo seatrevio a no desdefiar la posibilidad de que existiera un ciertotipo de movimiento compuesto pOl' un rnovimiento natural y otroviolento, dando lugar a 10 que seria un rnovirnicnto mixto. Sinduda sus preocupacioncs teoricas se enlazan con el valor prac-tico de recabar ciertos conocimientos sobre el rnovimiento realde objetos que en el marco tcorico de la epoca podrian con-siderarse sometidos a ciertas etapas de movim iento natural ya otras de movimiento violento. SlIS ilustraciones sobre dis-paros de bombardas 0 de fuentes de agua rnuestran un fuertesentido critico y su inmensa capacidacl de representar fielrncntc10 que se mostraba ante SllS ojos (fig. 5 y 6). En ambas ilus-traciones dificilrnente podria uno reconocer sernejanza alguna

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Figura 5 Leonardo. Codice Atlantica, fol. 9 v.A., BibliotecaAmbrosiana.

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La nueva ciencia 23

Leonardo se pregunta cual deestas caldas de agua poseemayor potcncia a poder depercusion para mover unarueda. Argumentando que seda un balance entre el poderde pcrcusion y el 'peso delagua', concluyc que todasposccn la rnisma potencia.

Figura 6 Leonardo. Codice Madrid I, 134v.

con fos diagramas contemporaneos de como se comportabanlos objetos lanzados al aire en trayectorias oblicuas.

Mas impactante aun es la ilustracion donde a la manera desurtidor de agua Leonardo muestra la trayectoria de balas dis-paradas por morteros (fig. 7). Esto situa a Leonardo al lado de

Figura 7 Leonardo. Cuatro morteros lanzando piedras sobre el patiode una fortaleza. Windsor, Leoni, 12275.

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muchos artistas que supieronobservar que la ruta seguidapor un objeto lanzado en di-recci6n oblicua es una curva(fig. 8)

Lo que hay de inquie-tante en el analisis quehace Leonardo sobre estetipo de trayectorias es que lasconcibe como movimientosque se pueden descom-poner en tres partes: unaprimera en la que elmovimiento es estric-tamente 'violento', bajoel efecto solitario del im-petu inicial, una terceraetapa en la que elmovimiento es s610 natu-ral, afectado unicamente por aquello que 10 hace dirigirse haciael centro de la tierra. Y, como algo novedoso, la etapa in-termedia del movimiento que enlaza a los otros dos, y quees tenida por Leonardo como sometida a un 'Impetu com-puesto', 10 cual hace que esta etapa sea considerada unmovirniento mixto. Este nuevo tipo de impetu requiere uncomentario en cuanto a su significado. Para Leonardo, impetucompuesto es aquel en el que participan tanto el impetu delmotor como el impetu del m6vil, y de ahi que movimientomixto sea el que se sostiene gracias a la participaci6n de ambosimpetus.

Estas ideas parecian prefigurar los trabajos de Tartaglia,pero a pesar de la fama de Leonardo sus escritos sobremecanica no recibieron una amplia difusi6n, por 10 que losestudios sobre el lanzamiento de proyectiles de la primera rni-

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Figura 8 Miniatura de autor anonirno(ca. 1170-1200). Ms. Harley 1585,

Museo Britanico.

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La nueva cicncia 25

tad ~el si?lo XVI partieron una vez mas de un esfuerzo poranalizar dicho movimiento en terrninos aristotelicos. Esta lineade argUl~entaci6n gener6 dos casos que tuvieron una gran tras-cendencia: el de Copernico, al reconocer que una piedra quecae se ve afectada por un movimiento rectilfneo y otro circulary el de Tartaglia, al estudiar el gran problema de los artilleros:la bala que al ser lanzada considera sometida a los dosmovimientos seiialados por Copernico.

EI empirismo del artillero

Las referencias de Petrarca alas nuevas arm as que comenzabana invadir los campos de batalla de rncdiados del siglo XIVe~ un. testimonio confiable de 10 extendido que era su manejo.Sin embargo, a pesar de 10 espectacular que podria parecerel estallido de un canon, 10 cierto es que su uso era aunproblematico Muchos eran los factores que se sumaban parahacer que las armas de fuego no fueran el recurso maravillosoque reportaria victorias inmediatas (fig. 9). A pesar de queRoger Bacon ya conociera el secreto de c6mo provocar eseefecto 'mas fuerte que una tempestad' que se obtiene de

Figura 9 Konrad Kyesser. Bellifortes (ca. 1400-1405). Ed. de G.Quarg, DUsseldorf, 1967.

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mezclar azufre, salitre y una 'tercera fuerza' cuya identidadomitia mencionar 'para preservar a la humanidad', pero querevelaba mediante enigmas en forma de anagramas en su Epis-tolae de secretis operibus artis et naturae et de nullitatemagiae (1260), es un hecho que inicialmente los efectos dela p61vora eran poco controlables (Frischler, ArmasProdigiosas, 216). Tambien estaba el problema de la falta depredictibilidad en cuanto a c6mo y cuando se produciria elestallido de la polvora, por depender este en parte de la velo-cidad con que Ie llegara el oxigeno al receptaculo que la al-macenaba. POl' su parte, e\ procedimiento para efectuar eldisparo requeria de dos hombres para manejar el cation, unoque apuntara -y que debia agacharse enseguida 'cncomen-dando su alma a Dios'- y otro que accrcara la mecha a lap6lvora. Estos y otros problemas presentaban obstaculos queirnpulsaron a numerosos hombres de genio a ocuparse denuevas y variadas ramas tecnicas: unas relacionadas con lametalurgia, y otras con el diseiio y la producci6n en serie tantode las armas como de las balas pues, como se ha de suponer,se requeria de una precisi6n 'casi matematica' para que entrecl diarnetro del proyectil y cI canon del arma hubiera el ajustedel cual dependia la fuerza del disparo.

Llegando a la mitad de este milenio los proyectiles eranfabricados con hierro forjado y calibrados segun sus pesos, cui-dando adernas que su forma fuera la mas cercana a la de unaesfera -situaci6n a la que Tartaglia se refiere en La NuevaCiencia cuando habla de cuerpos 'igualmente graves'-.Aumentar la potencia destructiva era uno de los prop6sitosdequienes fabricaban proyectiles, y al principio esto dependia deltamaiio y peso de la bala, asi como de la explosi6n que pro-porcionaba el impetu con que esta era disparada. En 1452, du-rante el sitio de Bordeaux (Barbin, Mathematiques, Art, 55)aparece 10 que seria uno de los grandes adelantos belicos: labomba, es decir, un proyectil cargado con p61vora que explo-

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La nueva cicncia

taba en el momento del impacto, provocando un efecto queiba mucho mas alia del que producia el mero impetu que poseiala bala.

Con todo, habia un elemento al que se Ie habia dado pocaimportancia, y este era el c6mo apuntar hacia un objetivo sobreel que se deseara hacer blanco. Durante el primer par de siglos

. de uso del cafion la idea era lanzar los proyectiles e ir ajus-tando, por ensayo y error, la posici6n del canon, las mas delas veces limitandose a realizar disparos con un angulo apenaspor encima de la horizontal. Sin embargo, los avances encuanto a la posibilidad de controlar la potencia del disparo,de hacer mas confiable la supuesta relaci6n entre la situacioninicial -peso de la bala, inclinaci6n del tubo del cafion, can-tidad de polvora, etc.- y el sitio donde caia el proyectil,hicieron que adquiriera sentido el estudio de las trayectoriasde los proyectiles. Que este no era asunto sencillo queda demanifiesto en L 'art dejeter les bombes (1699), donde su autorBlondel critica a los fil6sofos de antafio porque a pesar detanto haber discurrido sabre la esencia del rnovimiento naturaly del violento, "no dicen absolutamente nada sobre 10 que fi-nalmente es el efecto de este movimiento, [refiriendose conello a] la trayectoria del proyectil". Segun Blondel

no exisua eonoeimiento alguno ni de Ias matematicas ni de ningunaotra cicncia que pudiera enscfiar [a los artillcros] la naturalcza delmovimicnto de las bombas y de la linea curva que cstas dcscribian encl aire ... , 0 de la diferencia en su alcancc dependiendo de las difercn-cias en la elevacion [del tubo del canon] ... y por ello se quejaban delpcligro de que las bornbas que sc pensaba lanzar sobre la plaza pasarande largo

y fueran a matar a quienes de sus propios ejercitos estabanen las trincheras del otro lado de la fortificacion (Barbin,Mathematiques, Art, 4-5).

Extraer de entre toda esta marana de ideas el conjunto deexperiencias, datos y principios que dieran cuerpo a una teoria

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del movimiento que explicara y describiera la forma de latrayectoria de un proyectil con movimiento oblicuo no era tareasencilla. Tan es as! que todavia en 1613 se publica un Tratadode Artilleria en el que su autor, Diego Ufano, capitan espafiolcon fama de experto artillero, sigue considerando que son treslos movimientos que participan en la determinaci6n de la rutaseguida por una bala:

... estes tiros sc producian primcramente como un movimiento violentoo recto, luego como un movimiento mezclado en cl que la bala dec,lmadc la linea recta con la que sali6 del mortero Y sigue un arco 0 lineacurva: linalmcntc, cuando ya perdi6 toda su fuerza, sigue cImovimicnto natural buscando cl centro [de la tierra] de arriba haciaabajo, como aparece en la figura .... (fig. 10) (Barbin, Mathematiques,Art, ).

Seglll1 esto un cation colocado sobre una torre tiene mayor alc~nceque el situado en la base de dicha torre. En la figura correspondientela tercera parte de la trayectoria esta muy cercana a la direcci6nvertical que defiende en el texto (fig. 11). Lo que resulta

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La nueva cicncia 29

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Figura 11 Diego Ufano. Tratado de artillerla. Bruselas, 1613.

evidente es que aun a principios del siglo XVII no existia clari-dad en cuanto a la forma ni a los elementos participantes enla trayectoria de una bala disparada obi icuamente.

Pareciera como si toda la ciencia, todas las busquedas deconocimiento, se hubieran ocupado tan solo de aquel\os as-pectos en los que participaba la mana del hombre -fabricaciondel canon y fabricaci6n de la p6lvora- 0 de sus efectos deprimera instancia -Ia explosion=-, dejando que la naturalezase encargara de gobernar todo 10 que ocurria despues, Hastaentonces s610 se habian emprendido acciones de caracter em-pirico para 'conocer' el cornportamiento de un canon, born-barda 0 cualquier arma de fuego en cuanto a su alcance conrelaci6n alas diferentes inclinaciones con las que se efectuabael disparo. Esta problematica correspondia a otra vision delproblema, una que se habria venido incubando en otros ambitosy que tenia sus raices en la pintura, la optica, las tecnicas derepresentacion (Edgerton, Science; Cardano, Liber prinius,394) y el afan de cuantificar que surge a fines del Medievo(Crosby, Measure, 129-137). Es frente a una necesidad y con

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una nueva panoramica que el artillero se pregunta sobre la re-laci6n que existe entre el alcance de un disparo y el angulode tiro, y sobre la forma y las medidas de la trayectoria delproyectil. EI merito de Tartaglia radica en haber sido el primeroen buscar respuestas a estas demandas del espiritu practice,si bien sus logros no alcanzan inicialmente a colmar sus am-biciones. Es evidente que la ciencia que pretende estar inaugu-rando s610 esta emitiendo sus primeros balbuceos.

La balistica de Nicolo Tartaglia

La Nueva Ciencia no es un tratado de movimiento en el sentidomedieval, es decir, no discute la naturaleza del movimiento.Se ocupa exclusivamente del movimiento de los cuerpos quelIama'igualmente graves', que son aquellos que por su forma-esferica- y su materia no encuentran una oposici6n sensiblepor parte del aire. Y la manera de ocuparse del movirniento.es el 'modo geometrico": siguiendo el modelo euclidiano,primero presenta definiciones, seguidas de suposiciones y no-ciones comunes para luego pasar a deducir los que sedan losteoremas de su nueva ciencia. Y tan era una ciencia enconstruccion, y por ende aun en busqueda de respuestas paramuchas de las cuestiones mas inmediatas, que Tartaglia nolIega a establecer, a pesar de haberlo prometido al Duque deU rbino en Sll prefacio, la relaci6n entre el angulo de tiro yel alcance de los disparos.

Por otra parte, el texto de Tartaglia tam poco se acomodaa los manuales producidos por los constructores de canonesdonde s610 aparecen recetas y esfuerzos tempranos por estabJe-cer principios que gobiernen su arte. Dichos principios distanmucho de formar parte de una concepci6n mas general de 10real. Mas ambicioso que los artilleros y los constructores decanones, Tartaglia si pretende esbozar una teoria que sustenteque La Nueva Ciencia sea precisamente eso, una ciencia.

La nueva ciencia 31

Dadas las circunstancias, esta ciencia no alcanza a despren-derse del discurso que tradicionalmente se habia ocupado delproblema del movimiento. Con todo, Tartaglia esta intro-duciendo nuevos moldes que eventualmente servirian paratransformar la identidad de la naturaleza que expresaban.

Es evidente que en las definiciones que presenta Tartagliano busca introducir ninguna novedad en el cuerpo aristotelicode ideas que se ocupan del movimiento. Por ello, cuando diceen La Nueva Ciencia que se ocupara de estudiar el movimientode un proyectil disparado por un cation, se refiere a que es-tudiara el movimiento provocado por una potencia, definidaesta como cualquier tipo de "rnaquina artificial 0 materia quesea apta para empujar 0 lanzar un cuerpo igualmente graveviolentamente por el aire" (Definicion XIII). Este hechomerece por Sl mismo aJgo de atenci6n, pues impone un giroa la forma en que la escolastica enmarcaba un problema demovirniento. Para quien discurr ia desde cste marco dereferencia, la acci6n de una rnaquina no seria sino un cJementoincidental en un ejemplo donde se analiza el movimiento, nopudiendo de rnanera alguna formar parte constitutiva de lateoria. En oposicion a este planteamiento, Tartaglia adopta unaaetitud mas acorde con el fen6meno que estudia e incluye ala maquina artificial como parte del marco teorico, surnandosccon ello a quienes habian mantenido viva la tradicion arquime-dianall en el estudio del mundo natural. Esta corriente hahiavenido adquiriendo fuerza desde mediados del siglo XV, y susadherentes eran ingenieros y quienes se habian forrnado en los

II. Tartaglia era un cntusiasta scguidor de 105 razonamicntos hcuristicos de Ar-quimcdcs. En 1543 publico en latin cl tratado de Arquimcdcs sobrc cl cornportamicntode cuerpos sumcrgidos en agua y que incluye la anccdota del grito "j Eureka!". Algorclcvanic en estc cscrito es que su autor muestra como sc pucdcn anal izar cicrtascaracteristicas de los cuerpos sumcrgidos en diversos medics rccurricndo a cantidadcsmcdiblcs como son los puntas de equilibrio, cl peso, los brazos de palanca, etc. Estoapuntaba a que sc podrian cxplicar los tcnomenos apclando alas hcrramicntas detipo geomctrico y olvidarsc de los argumentos que recurrian a conceptos (an ambiguoscomo cl de las cualidadcs ocultas.

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32 Estudio prel iminar

talleres de artesanos del norte de Italia y en sitios similaresde Alemania y de la entonces poderosa Liga Hanseatica. Eraesta la epoca del surgimiento de la rnaquina y de sus artificioscomo via para investigar el mundo. Podria decirse que LaNueva Ciencia es una de las obras clave para el reemplazodel filosofo natural por el filosofo mecanicista.

Como ya se dijo antes, aunque se trata de estudiar elmovimiento de proyectiles lanzados por un canon, Tartagliano busca penetrar en la esencia de 10 que es el movirniento.Las definiciones que ofrece no son sino una puntualizacionpara el caso que Ie interesa de 10 ya establecido por la filosofianatural, y ni siquiera intenta distinguir el movimiento naturaldel violento en terrninos de las causas teleol6gicas de uno yde otro. Lo que pretende al explicitar ciertos conceptos es plan-tear un lenguaje en el que resulte claro 10 que se esta diciendoy que circunscriba la nocion de movimiento natural a la caidade cuerpos graves y la de movimiento violento al resultadode proyectar los cuerpos mediante una maquina cuyo elementorepresentativo es un canon. Esta ultima sustituye 0 hace lasveces de la potencia aristotelica que provocaba el movimientoviolento.

Despues de sefialar -inspirado sin duda en el modelo eu-clidiano de los Elementos- 10 que entiende por "cuerposigualmente graves" y por instante, hace explfcito que unamedida del movimiento se puede establecer en terrninos deltiempo. Finalmente, en la Definici6n V, y sin olvidar queAristoteles ya hablaba en la Fisica de hasta seis clases demovimientos, se queda con s610 una de ell as al definir almovimiento como "aquella transmutaci6n que se realiza de unlugar a otro ... ", tomando como casos particulares almovimiento natural y al violento. AI tratar al primero comoel "que se realiza de un lugar superior a otro inferior, per-pendicularmente y sin violencia alguna", reduce el movimientonatural al caso exclusivo de la caida librede cuerpos graves.

La nueva ciencia 33

Igualmente, la definicion que da de movimiento violento limitaa este al caso de proyectiles lanzados por un cafion.

Despues de plantear varias suposiciones y sentencias comu-nes sobre los efectos que producen 105 moviles dependiendode sus velocidades, pasa alas proposiciones donde estableceuna simetria en el comportamiento de cualquier movil igual-mente grave segun se mueve este con un movimiento naturalo con uno violento. Para el primer caso -Proposici6n J- ar-gumenta que el m6vil va mas rapido conforme se aleja del iniciodel movimiento 0 conforme se acerca al punto de destino. Actoseguido, en la Proposici6n II, establece que si dos cuerpos igual-mente graves parten con movimientos naturales a la misma velo-cidad, el que recorriese una mayor distancia iria mas veloz, sinque ello significase una proporcionalidad entre la velocidad yel espacio recorrido. Lo que para el siglo XVI seria la preguntainmediata, a saber, si el aumento en velocidad del cuerpo quecae es proporcional a la distancia recorrida 0 al tiempotranscurrido -pues sedan las suposiciones mas faciles demanejar matematicamente-, no es planteada por Tartaglia.Aparentemente 10 que logra con la Proposici6n II es darle unrodeo a la pregunta a traves de establecer la cornparacion entrelos movimientos relativos entre dos cuerpos. Habria que esperarcasi un siglo para que Galileol2 diera la respuesta correcta, es-tableciendo que al desplazarse en caida libre un cuerpo au mentasu velocidad en proporci6n del tiempo transcurrido (Cohen, Eldescubrimiento, 95-109; Drake, Pioneer Scientist, 9-31).

Como corolario de la Proposicion III, misma que estableceque en un movimiento violento elm6vil se desplaza mas len-tamente conforme se aleja del principio 0 se ace rea alfinal del movimiento, Tartaglia concluye que no existe unaaceleracion en la primera parte del movimiento violento y 10reafirma con el hecho de que no aumenta en este caso la po-

12. Los escritos de Galileo sobre movimiento abarcan eI pcriodo 1602-1637, desdeel De Motu hasta los Discursos sabre las Dos Nuevas Ciencias.

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tencia del choque con el alejamiento del m6vil de su puntode lanzamiento. Con base en los mismos argumentos concluyeque un proyectil que se desplaza con movimiento violentoesta impedido de tener una misma velocidad en dos mornen-tos diferentes. Adernas, como 10 sefiala Koyre, de 10 dicho porTartaglia se sigue que "todos los cuerpos igualmente graves,semejantes e iguales, [Ianzados con movimiento violentoJ iranal final de su movimiento con igual velocidad, cualquiera quehaya sido la que tenian al principio" tEstudios de Historia,107-108). Esto tiene una consecuencia muy interesante encuanto a la forma de las trayectorias de los proyectiles, puessin haber establecido cuales sedan dichas formas, con iaProposici6n IV enfrenta al lector al dibujo de las trayec-torias, que si bien es algo eminentemente cualitativo sfse aparta de 10 establecido por el pensamiento aristotelicoal incluir una seccion curva en la parte intermedia de la trayec-toria (fig. 12).

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Figura 12 Tartaglia. La Nueva Ciencia, 1558

La Proposicion V juega un papel crucial como impedimentopara la comprensi6n de c6mo se podria configurar la trayec-toria curvilinea de un proyectil lanzado al aire en direcci6n

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oblicua. Al negar la posibilidad de que un m6vil pudiera "re-correr algun espacio de tiernpo 0 de lugar, con movimientonatural y movimiento violento en forma sirnultanea", can-celaba la posibilidad de que se diera un movimiento mixtoo compuesto, Esto se podia entender en elmarco de referenciaaristotelico en el que seria absurdo pensar que un cuerpo, al estarsometido a los dos tipos de movimiento ya mencionados, estu-viera disminuyendo y aumentando su velocidad sirnultaneamente.Esta manera de concebir el fen6meno segun la cual las causasse debian sumar y su efecto manifestarse en acto, no correspon-deria cualitativamente ala generacion de un efecto que se produciriacomo resultado de la composici6n de dos desplazamientos. En estaultima situacion Sl era evidente que se podria hablar de un des-plazamicnto rcsultantc que era equivalente a la composici6nde otros movimientos.

EI hccho de sustituir por otra una situaci6n como laplanteada en el parrafo anterior no era algo del todo nuevo,ten icndo como antecedente inmediato el llarnado teorema delColcgio Merton, mismo que se ocupaba del caso en que un m6vilse desplaza con aceleraci6n con stante y para eI cual se demuestraque un desplazamiento con estas caracteristicas es equivalente,en cuanto a distancia recorrida, a uno que se realiza duranteel mismo intervale temporal COil una velocidad igual a la mediaaritmetica de las velocidades inicial y final del movimientoacelerado (Lindberg, Western Science, 300).

Lo que sugiere la 16gica es que la Proposici6n V lIevariaa que la trayectoria del proyectil lanzado por un canon estariacompuesta por dos partes: una recta inclinada u oblicua quese mantienc hasta que se agota 0 cesa el movirniento violento,y luego una recta vertical que corresponderia al movimientonatural. Sin embargo, 10 que plantea Tartaglia en la discusi6nque sigue a la Proposici6n V es que la trayectoria en cuesti6nse compone de tres partes: una recti linea que corresponde ala etapa en que el movimiento violento se mantiene pure; Ie


sigue una segunda seccion donde ocurre que se desvanece elmovimiento violento y "entra en cont1icto con el movimientonatural", pues "una parte es de movimiento violento puro y laotra de movimiento natural puro". No 10 dice, pero el movimientoen esta etapa es circular, ya que asi 10 ilustra en el texto (Goseria esta una pequefia libertad que se tomo el ilustrador?).

Mas adelante, en el Libro II, aparecen las definiciones ysuposiciones que enriquecen el formato cientifico de la obra.En particular, la Suposicion III especifica que el transito demovimiento violento a natural se realiza al finalizar la curvade manera contingente -con 10 cual quiere decir tangente=-,es decir, de manera continua y sin brusquedad en el cambiode la curva a la recta vertical que corresponde al movimientonatural y que constituye la tercera de las tres partes a las quese hace mencion Iineas atras.

Estas consideraciones Ie permiten a Tartaglia dejar de ladola posibilidad de una trayectoria que cambie de orientaci6nde manera abrupta y coincidir as! con los testimonios de losartilleros. A pesar de ello, la trayectoria que se integra condos segmentos rectos y uno curvilineo (una seccion de circulo,argumentara Tartaglia en el Libro If) que los une, plantea unproblema de origen: Gen que momento Y por que razones iniciala etapa curva de la trayectoria? La respuesta que ofreceTartaglia como Suposicion II (Libro II) en cierto modo con-tradice 10 expresado en la Proposicion V del Libro I, pero 10suaviza diciendo que la trayectoria en cuestion no posee nin-guna parte perfectamente recta debido a la "gravedad que seencuentra en tal cuerpo, la cual continuamente 10 va ...dirigiendo en direccion del centro delmundo". Pero como encierta etapa la trayectoria es insensiblemente curva cabe en-tonces suponerla recta, y 10 mismo se hace con la porcion curvaa la cual se supone como parte de la circunferencia de un cir-culo por no apartarse sensiblemente de ella.

La nueva ciencia 37

Lo curio so de la ultima aseveracion es que el frontispiciode La Nueva Ciencia muestra una bombard a lanzando un proyec-til en una trayectoria que evidentemente es curva y que dificil-mente podria ser tomada como cercana a una circunferencia.Si se observa el otro canon, la bala que dispara sigue unatrayectoria mas cercana a la horizontal, mas no horizontal, dedonde se concluye que Tartaglia no considera que haya un des-plazamiento rectilineo en ninguna porcion de las trayectorias (fig.13). Con todo, no ofrece ninguna evidencia de precupaci6n porconocer con certeza la forma geometrica a la que se constrifiela trayectoria del obus, Esto podria ser un indicio de que la pocadifusion del conocimiento geometrico de las curvas construiblessistematicamente no permitia vislumbrar la posibilidad de quela naturaleza Ilevase a cabo sus actos de manera que siempresc acomodaran alas abstracciones estudiadas por Euclides,Apolonio, Proclo y dernas geometras gnegos.

Figura 13 Tartaglia. La Nueva Ciencia, 1558


Esta falta de conocimiento 0 de consistencia en el discursovisual no sorprende. En un grabado que ilustra el intento delos moros por reconquistar la ciudad de Ceuta -primera mitaddel siglo XV-, las trayectorias de los disparos efectuados porlos tres canones de la izquierda son muy semejantes, no asi ladel canon situado en el extremo derecho. La diferencia no obe-dece a una mera cuesti6n de perspectiva y claramente se veuna trayectoria circular despues del fin de una recta (fig. 14).

Figura 14 Grabado de Ceuta (s. XV). Oficina Portuguesa deComercio. Londres.

Si retomamos el desarrollo de las ideas del bresciano en-,contramos que nueve afios mas tarde la situaci6n seria otra,pues en los Quesiti et inventioni diverse (1546) demuestra,ahora sf, que la trayectoria de una bala disparada horizontal-

La nueva ciencia 39

mente no posee ningun segmento rectilfneo. Segun 10 revelaen los Quesiti, (i,habrfa que creerle?), no 10 plante6 asi en LaNueva Ciencia en un afan por ser comprensible para el vulgo.

EI siguiente punto que a Tartaglia Ie importa tocar en elLibro II de su primer tratado de balistica es el alcance deldisparo. Por razones obvias este consiste en la distancia hori-

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Figura 15 Tartaglia. La Nueva Ciencia, ]558

zontal que existe entre el punto A de partida y el punto Bdonde se 'agota' el movimiento violento y donde por endesu velocidad es minima (Suposici6n III) (fig. 15). EI puntoB es, precisamente, don de inicia el movimiento natural, esdecir, el movimiento vertical de caida del proyectil. EI alcancemaximo, el llamado "efecto mas lejano" (Suposici6n IV) [paraun disparo hecho con un angulo dado sobre la horizontal] semide por la distancia entre el punta de partida y el punto deinicio de la caida vertical, proyectado este ultimo sobre unplano escogido arbitrariamente, tal y como se observa en lafig. 16. En dicho caso, y tomando como linea de referencia laque va de a a c, pasando por d, se dira que en d ocurre el efectomas lejano para la trayectoria .aedb., y que en g se producirael correspondiente efecto mas lejano de la trayectoria .afgb.

Ahora, hilando los contenidos de las Proposiciones IV, Vy VI, Tartaglia deduce que

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BBBFigura 16 Tartaglia, La Nueva Ciencia, 1558

.i.Iodos los movimientos violentos de cuerpos igualmcntc graves quetcngan iguales clevacioncs.i.son sirnilarcs entre ellos, y como con-sccucncia son proporcionalcs y similarcs las distancias entre cllos(Proposicion VII, I.ibro II).

Con ello concluye que las relaciones entre las distancias re-corridas no dependen mas que de las proporciones entre lasvelocidades iniciales.

Los resultados anteriores 10 lIevan a culminar el Libro IIconcluyendo que el alcance mayor corresponde a una trayec-toria que inicia con un angulo de 45° sobre la horizontal, yque el alcance de este disparo es diez veces la parte recta deltiro horizontal. Para los artilleros este resultado era un tantomaravilloso y a la vez sorpresivo, pues discrepaba de 10 quepor largo tiempo habian tenido como cierto, a saber, que losdisparos efectuados con una inclinaci6n sobre la horizontal in-ferior a 45° alcanzarian distancias mayores que el efectuadoa 45°, a la mitad entre el tiro horizontal y el vertical. Blondel,en su libro de artilleria, concede a Tartaglia el merito de serel primero en anunciar tan util resultado.

La nueva ciencia 41

Con to do el peso que esta revelaci6n pudiera tener, queda lasensaci6n de que Tartaglia tenia mas que ofrecer, tal y como 10habia mencionado en la epistola donde presume haber elaboradouna teoria que permitia calcular el alcance de los disparos de canonen funci6n de los angulos que formaran con la direcci6n horizontal.Dicha teoria nunca fue publicada y 10 que nos resta suponer esque esta era la materia de los capitulos IV y V de La Nueva Cienciaque, aunque mencionados, no fueron impresos.

En cierto sentido, y a pesar de sus deficiencias, La NuevaCiencia alcanz6 un exito considerable. Para 1583 el texto enel italiano de Tartaglia habia alcanzado siete ediciones y habiasido traducido a todas las lenguas importantes. Pero su autorno se engafiaba con respecto a la fortaleza de sus tesis y sigui6ocupandose del problema del movimiento de un proyecti I, engranjnedida forzado por los problemas conceptuales queemanaban de recurrir a una curva que se conectaba Con lasrectas correspondientes al principio y al final del movimiento.Como ya se ha dicho, este seria uno de los temas de los Quesiti.

Con la historia como testigo pareceria que Tartaglia se habiaadelantado a su tiempo al atacar el problema de la trayectoriade un proyecti I. Nisus adversarios como matematico nisussucesores directos 0 indirectos --G. B. Benedetti, Cardano,Baldi, miembros de una supuesta 'escuela italiana' -, niquienes trabajaban en otras tierras -Domingo de Soto-, sepreocuparon por la cuesti6n de la forma geometries trazadaen el aire por un cuerpo en movimiento. Pareciera ser que elbagaje maternatico y las practicas experimentales de la epocano habian alcanzado el grado de desarrollo que permitiera plan-tear seriarnente la pregunta. No se puede culpar a quienes enlugar de ocuparse de esta cuesti6n --que no pasaria de seruna inquietud intelectual, aprerniante s610 para los artillerosy la rnilicia en general- se concentraron en discutir las no-ciones de impetu en boga a rnediados del siglo XVI.

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Queda la sensaci6n de que, no habiendo valorado las ideasmas avanzadas que sobre el tema present6 Tartaglia en losQuesiti, los fil6sofos naturales, los artilleros y los artistas porigual habrian aceptado por un tiempo -quedaria por investigarlas razones particulares que dieron lugar a dicha situaci6n-la cualidad tripartita de la trayectoria de un proyectil y, con-formes con ella, dejaron pasar casi cincuenta afios para some-terla una vez mas al escrutinio de la raz6n y de la evidencia.EI estudio flsico-matematico del movim iento tend ria su propio"renacimiento" en la misma Italia, en el marco de unamecanica de corte matematico inspirada en la tradici6n ar-quimediana que Tartaglia ayudara a introducir en Europa conla traducci6n al italiano de los Elementos de Euclides (1543)Y de Cuerpos en el agua de Arquimedes (1551). La figuracentral de esta renovaci6n de la mecanica fuc Galileo, quienretomaria en el De Motu (c. 1590) algunas de las preocupa-cioncs que sabre el movimiento habian quedado inconclusasen el pensamicnto del brcsciano, para luego lIevarias a su cul-minacion en los Discursos y demostraciones sobre dos nuevasciencias, publicados en 1638 (Galilee, Two New Sciences; Da-merow, Prcclassical Mechanics, 126-268).

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Segun Clavio, (1573-1612), la Mecanica es la disciplina en laque la maternatica entra en contacto con la materia (Opera Mathe-matica, Vol. 1,4). Considerada entre las disciplinas matematicas,se Ie tiene sobre todo como la ciencia de las maquinas, es decir,su oficio es, en primera instancia, el estudio geometrico delas propiedades de los instrurnentos construidos por el hombre.EI exito alcanzado por esta empresa rebas6 el ambito de susprop6sitos, alcanzando uno mas amplio que se relacionaba conla posibilidad de establecer vinculos mas estrechos entre el sa-ber maternatico y el conocimiento del mundo fisico.

La nueva ciencia 43

Durante csta etapa del Renacimiento en el que las artesplasticas y las humanidades ya habian alcanzado el esplendor,tocaba ahora alas ciencias que se ocupaban del mundo naturalacelerar el paso y reclamar un nuevo imperio, regido por unanueva forma de entender el mundo y sus ordenamientos y ellenguaje en que estes se expresaban. En este proceso se puedenidentificar, grosso modo, dos vertientes: una que ligada al aris-totelismo concierne a la posibilidad de matematizar los fen6menoscontingentes propios de la materia, es decir, la mutabilidad contin-gente e irreducible de la materia, misma que por su naturalezadesalentaba cualquier esfuerzo par establecer un vinculo sistematicoy repetible entre los procesos fisicos y los calculos matematicos.La otra vertiente se sustentaba sobre una clase muy amplia de apli-caciones a la mecanica, la 6ptica, la cartografla, etc., en las cualesocurria una concordancia entre 'teoria' y 'practica' y entre 'de-mostraciones' y 'experiencia' que contribuia a fortalecer el op-timismo en el poder del razonamiento matematico,

Quienes optaban poria segunda opci6n en el siglo XVI fueronlos pioneros en sembrar esa seguridad intima que desemboc6en la estrategia galileana de conocer y dcscribir los fen6menosnaturales a traves del lenguaje maternatico, en particular delgeometrico. Para ello, la tarea del nuevo fil6sofo natural eradescubrir 0 individualizar tanto los entes fisicos susceptiblesde ser cuantificados como la estructura maternatica que se adecuabaa los fen6menos.

La primera opci6n suponia en la practica la existencia deun abismo entre las "razones y argumentos naturales" y las"razones y argumentos Mathematicos" (Tartaglia, Quesiti, f.78r.). De esta oposici6n sur~en esfuerzos como el de FedericoCommandino (1509-1575)1 para distinguir entre cantidadesmedibles ---cuantificables- y cantidades no medibles:

13. Entre otras cosas, la importancia de Commandino reside en habcrse ocupado detraducir y anotar algunas de las principales obras matematicas de la antiguedad clasica,formando parte, en el terreno rnatematico, del filon humantstico que dio pie a queA. Chaste) calificara a la ciudad de Urbino -sede de la epoca mas productiva

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Aquellas cosas que se encuentran en un cuerpo natural, y que de cl nose pueden separar, son de dos tipos: algunas que ni en la practica nicon cl pensamiento se puedcn separar del euerpo, como es 10 caliente,10 frio, 10 seco, eosas que el cuerpo retiene en si por ser 10 natural.Otras, que de hccho no se pueden separar, si al menos se puede fingirque estan separadas, pues estan en los cuerpos no como parte de susnaturalezas sino como aceidentes, como 10 eurvo, 10 recto, el estardoblado. Y asi el estudio del Mathematico sc coneentra en la cantidado en la forma, separandolas de la materia con el pensamiento, y deellas ofrccc dcfiniciones sill que para clio toque a la materia (Baldi, D!Erone Alessandrino, Prolcgomcnos).

Para entender esta propuesta se puede tomar el problemade la balanza, ya bastante estudiada desde los tiempos de Ar-quimedes, yen particular la cuesti6n de la sensibilidad de dichoinstrumento. Tartaglia, participe al igual que Cornmandino deesta renovacion en el pensamiento matematico, distingue entrebalanza real y balanza ideal. Esta ultima proviene de lageometrizaci6n de la balanza real (los brazos pasan a ser lineasy el eje de rotaci6n se convierte en un punto geornetrico) yes considerada por el "Mathematico" segun los "principiosy demostraciones de la ciencia". Las balanzas reales puedenser pequeiias, como las utilizadas por banqueros, joyeros y or-febres, 0 gran des, como las que se requieren para pesar especies,azucar, canela y cosas similares, y vienen a ser consideradas"como entes naturales, rnanejables por la fuerza Y la autoridaddel senti do de la vista", POl' su parte, las balanzas idealesapoyarian el discurso de los aristotelicos. Frente a esta disyuntivaplanteada poria questione aristotelica, Tartaglia busca medial'considerando alas ideales como casos limite de las reales:

de Commandino- como cI principal polo del "hurnanismo matematico" en Italia(Chastel, J centri del Rinacimento, 4 I Y 46-50), Su versi6n de los Elementos de Eu-elides, de las Conicas de Apolonio y de tcxtos de Arquimcdes se considcran bastionesde Ius cicncias matematicas del Rcnacirniento.

La nueva ciencia

"Y porque las partes 0 miembros de las bilancette que utili-zan banqueros y joyeros se aproximan mas ... a las partes 0

miembros de sus idealizaciones, que como 10 hacen las parteso miembros de las. .. balanzas mayores que usan quienes seocupan de las especies .., ya que los brazos de las bilancetteson muy delgados ... y se asemejan alas Iineas .. , 105 de lasbalanzas mayores son gruesos Y corpulentos.. y esta es la prin-cipal raz6n de que las baianzas pequefias 0 librette se muestrenante los sentidos con mas precision que las mayores, cosa to-talmente contraria a 10 que propone la questione aristotelica.

Casi 60 anos despues la misma questione es retomada porGiovanni Battista Benedetti (1530-1590), quicn al hablar demateria la despoja de su contingencia (Benedetti" DiversarumSpeculationum, 153), Aparentemente 10 que hace es borrar ladistincion entre el caso maternatico Y el caso material, re-duciendo la contingencia a la friccion, la cual es presentadacomo una 'resistencia' medible que Benedetti supone es igualpara ambas balanzas.

Posteriormente la mecanica precisaria mas sus nociones y10 que en cierto contexto se enmarcaba como contingencia pasoa ser definida, segun el caso, como friccion 0 como momentode inercia. Esta postura geometrizante frente a los fen6menosnaturales paradojicarnente impidi6 durante cierto tiempo en-tender plenamente la manera como ocurrian los fen6menos,siendo el principal obstaculo para ello el no identificar -porculpa de una especie de reduccionismo exagerado- plena-mente los factores que modulaban los procesos mecanicos. Enparticular esto es muy cierto en el caso de una mecanica quea mediados del siglo XVI no alcanzaba a identificar satisfac-toriamente las propiedades inerciales de la materia y los modosde actuar de la fricci6n. No sorprende que al referirse a estaetapa de la evolucion de la mecanica algunos historiadoreshablen de estar frente a una mecanica matematica 0 de unpunta de vista cinematico antes que de uno dinamico. Sobre

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esto el propio Benedetti hablaba de erigrr una filosofiamatematica de la naturaleza (Koyre, Estudios de Historia, 125)

Un ejemplo que ilustra los impedimentos epistemol6gicosa los que conducia esta visi6n es la falta de comprensi6n plenade la importancia del baricentro, al cLlalconsidera como puntogeometrico dotado de ciertas propiedades estaticas de equili-brio y se olvida de tomarlo tambien como un punto dotadode masa. Igualmente ilustrativo resulta el caso del trompo enrotaci6n, del cual se dice que no posee un movimiento natural-pOl'que si 10 fuera seguiria girando eternamente- por serei de rotaci6n un movimiento curvo y porque las particulasque componen al trompo estan obligadas a seguir la curva encontra de su tendencia natural a seguir su movimiento en linearecta. SegLIIlBenedetti, esto explicaria porque entre mayor esel diametro del trompo mayor es el impetu de las particulasque 10 integran, ya que al aumentar el diametro de la circun-ferencia disminuye su curvatura y las particulas se aproximanmas a seguir la trayectoria recti linea. Por consiguiente, estaIinca de pensamiento conduce a que un hecho geometrico -Iacurvatura- oculte un aspecto fisico -Ia masa- y a que seafirme que las propiedades mecanicas de las particulas estandeterminadas exclusivamente por la curvatura de sus trayec-torias. Esta posici6n prefiguraba el cosmos reducido ageometria que se imponia a fines del siglo XVII.

En tanto que ciencia en construcci6n, la mecanica requeriaaun muchas aclaraciones antes de !legar a la situaci6n en quela encuentra Galileo, y muchas de ellas se centran en discusio-nes sobre la capacidad de las matematicas para describir losfen6menos del mundo material. En esta etapa el universo dedicho dicurso es muy amplio y salpicado de multiples incon-sistencias, ambigtiedades y propuestas ingeniosas. Como ejem-plo de esto ultimo esta la obra de Guidobaldo del Monte(1545-1607), quien en busca de la seguridad que ofrecen lasrnatematicas, pero consciente de las dificultades propias de

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tratar con la materia 0 con maquinas en rnovunrento -si nose mueve i,de que sirven?, se preguntaria uno-, 10 cual con-lIeva el problema de la contingencia, opta por ocuparse decuestiones de estatica, es decir, de maquinas en equilibrio, con10 que de paso muestra su visi6n de que el movimiento desistemas mecanicos se debe entender como ruptura del equili-brio de las partes que los integran.

Bajo la restricci6n de ocuparse uuicamente del caso estaticoGuidobaldo es capaz de afirrnar que es muy cierto que la prac-tica y la teoria van siempre de la mano. Cuando se trata dela materia en movimiento la situacion cambia y coincide conGalileo en que "cuando se com ienza a conocer la materia,por su contingencia se comienzan a alterar las proposicionesabstractas del ge6metra. De las casas asi pcrturbadas no esposible enseiiar ciencia cierta y par ello de estas considera-ciones queda absuelto el matematico." (Carta de Galileo a Gui-dobaldo del Monte, Nov. 1602).

La mecanica del Cinquecento se puede calificar como unaciencia de las maquinas. Durante este periodo el interes parel estudio 0 analisis te6rico del funcionamiento de las maquinasy de los efectos que estas producen dorn ina sobre otros temasde investigaci6n en el campo de la mecanica. La razon es sim-ple, y descansa en la facilidad con que se puede utilizar lageometria para realizar estos estudios y a la posibilidad de ini-ciar el analisis a partir de la situaci6n en que los cornponentesde la maquina estan en equilibrio. Cabe aclarar que las maqui-nas de las que se esta hablando en este caso son las sencillas-y no algunas mas complicadas que las utilizadas desde haciasiglo y rnedio, principalmente en el ramo de la construcci6n-como la balanza, la palanca, la polea, el borriquete y algunoselementos auxiliares como el tornillo, la cufia y, sobre todo,el plano inclinado. Gran parte de los artefactos en uso en laepoca podian ser reducidos a montajes de los elementos quese han mencionado y, en ocasiones, dichos artefactos partici-

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paban en la discusi6n de los problemas que segun una ampliamayoria de los historiadores de la ciencia dominaban -y quepor consiguiente determinarian- la atm6sfera cientifica de lafisica del siglo, siendo estes, como ya se dijo, la caida de loscuerpos pesados y el lanzamiento de proyectiles.

Sin embargo no se debe perder de vista que es en el terrenode las maquinas donde se logra una teoria flsico-matematicaque explica y concuerda con la practica, Estos resultados erantenidos en tan alta estima que no resultaba extrafio que segeneraran visiones maquinistas del funcionamiento del mundoy hasta del reino animal. Para citar un ejemplo basta leer aB. Baldi, quien en las primeras paginas de su obra sobre Heronse refiere a los animales, " ...cuya alma data de movimientoa los miembros, a la manera como ocurre en las MaquinasScmovicntcs", en las que "el fierro, cl lefio y la cuerda[poscen] en cierto modo [Ia misma funci6n] como la que enlos animales desernpefian los huesos y los nervios". Baldi,inspirandose en dos textos aristotelicos, el De Mundo y el Deincessu animalium, sefiala que estos animales se mueven enun mundo rnecanico en el que "Dios, estando en el cielo,mueve las partes del universo, como 10 hace el Maestro conlos aut6matas ... " (Baldi, Erone Alessandrino, ff. 6r, 7r)

Retomando el as unto de la utilidad de las rnaquinas paraanalizar el problema del rnovimiento, encontramos que en elDe Motu Galileo recurre a la balanza para mostrar que el as-censo y descenso de cuerpos en movimiento no se debe a una

d dl4 I· . . I d .grave a 0 igereza prop ias, y en particu ar pone e rnaru-fiesto la falsedad de la afirmaci6n aristotelica de que m6vilesdel mismo genero caen con velocidades proporcionales a sus pe-sos. De manera semejante, Guidobaldo aproxima el movimientodel pendulo al de un m6vil que se desplaza sobre un plano

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14, Propicdad que haee -en el esquema aristotelico-> que la tcndencia de un cuerpoque se desplaza con movimiento natural -el que a su sustancia Ie eorrespondc-sea la de moverse hacia abajo, es decir, hacia el centro de la tierra,

La nueva ciencia 49

inclinado curvo. En este caso era posible notar que la velocidadde descenso a 10 largo del plano inclinado era independientedel peso del movil, y que conforme se aumentaba la inclinaci6ndel plano mas se aproximaba la situaci6n al caso de la caidalibre, dando la pauta para que se estudiaran los procesos naturalescomo casos limites del funcionamiento de maquinas simples.

Los esfuerzos encaminados a la construccion de bases te6ri-cas -matematizaci6n en este caso- para el entendimiento de10s principios que gobernaban el funcionamiento de las maqui-nas tuvierou multiples repercusiones en 10 que se refiere a laresoluci6n de problemas te6ricos que se venian arrastrandodesde el siglo XIV, en particular los relacionados con el lan-zamiento de proyectiles. Entre ellos cabe mencionar las dis-cusioncs sobre la noci6n de momento estatico, (Galluzzi,Momento), la aceptaci6n de que la fricci6n es un factoreliminable en 10 que se refiere a consideraciones teoricas, laaparicion de nociones que IIcvarian al concepto de trabajomecanico, la creciente certeza de que era imposible construirmaquinas que incrementaran la cantidad de 'trabajo ' disponible-esbozo de 10 que seria la ley de conservaci6n de la energiamecanica-s- y, en 10 que concierne al trabajo de Tartaglia, elanalisis de las trayectorias de proyectiles puestos enmovimiento por una potencia.

J. Rafael Martinez E.J, Cesar Guevara Bravo

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Nota sobre esta edicion

La primera edici6n de La nueva ciencia fue publicada en1537 en Venecia. Para esta traduccion usamos la de 1558, tarn-bien publicada en Venecia y que difiere poco de la primeraedici6n. Dicho texto se encuentra en el Fondo Reservado dela Biblioteca Nacional en la Universidad Nacional Autonomade Mexico. Por las marcas de fuego se sabe que el libro lIeg6a Mexico durante los primeros afios del siglo XVII, para serincorporado a la biblioteca de la Orden de la Merced.

En 10 posible se ha procurado mantener el estilo lingulsticode Tartaglia, quien se dirigia a un publico poco preocupadopor los afanes literarios de los humanistas.

Las particularidades del texto original nos han obligado ainsertar corchetes con interpolaciones para hacer mas compren-sible la lectura. Hemos respetado la notaci6n que Tartaglia us6en las figuras, donde recurre a letras mayusculas, mientras queen el texto usa las mismas pero en minusculas.

Afiadimos al final del libro un apendice con las referenciasque constantemente hace Tartaglia a Euclides, conservando laforma en que se remite a los Elementos. EI uso poco eleganteque hace del lenguaje da pie a que el formato utilizado enla construcci6n de las referencias no sea consistente. EIapendice se integr6 con base en la edici6n de los Elementosde Luis Vega y Maria Luisa Puertas.

La nueva ciencia 5 J

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La nueva ciencia 53

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Invencion de Nicolo Tartaglia, Bresciano, titulada NuevaCiencia, dividida en cinco Iibros, en el primero de ellos sedemuestra teoricamente la naturaleza y el efecto quepueden tener los cuerpos igualmente graves durante 5US dosmovimientos y efectos contrarios.

En el segundo (geornetricamente) se prueba y demuestra Ia cualidadde semejanza y proporcionalidad de los transitos segun los diferentesmodos en que pueden ser lanzados 0 proyectados violentamente porel aire; de manera semejante [se hace para] sus distancias.

En el tercero se ensefia una practica nueva para medir, en la que seusa s610el aspecto; [con esta practica se encuentran] las alturas, distanciashipotenusales y horizontales de las cosas visibles, y esto se [aprende] juntocon Ja teoria, es decir, con la raz6n y la causa de tal forma de operar.

En eI cuarto se dara la inclinaci6n que debe tener cada pieza deartilleria en sus tiros, alzandola 0 bajandola sobre el plano del hori-zonte, similarmente [para] todo mortero. Tambien se ensefiara elmodo de encontrar, mediante los datos de un solo tiro, todas lasvariedades 0 cantidades de tiros en cada pieza de artillerfa 0 mortero.Tambien se rnostrara el modo como se debe conducir un bombarderocuando decida atacar 0 percutir en algun lugar visible.

Adernas se ensefiara el modo como se debe conducir dicho bom-bardero cuando habiendo realizado un disparo frente al sitio dondeimpacta, desea golpear el mismo punto desde otro lugar 0 elevaci6ndesde el cual no puede observar dicho lugar.

Tambien se ensefiara el modo de percutir continuamente en la os-cura noche apostado en un lugar desde el dfa anterior.

En el quinto libro se manifestara (segun la autoria de muchosExcelentfsimos [fil6sofos] naturales) la naturaleza y origen de diver-sas especies de gomas, aceites y aguas destiladas, asi como dediferentes minerales simples y de [cosas] no minerales producidaspor Ia naturaleza, y mediante el arte fabricadas. Tarnbien se mostraranalgunas de sus propiedades particulares utiles en al arte de los fuegos.De manera semejante se dilucidara cuales materiales se decidi6 eranconvenientes y cuales no eran convenientes para arder juntos. Luegose presentara el modo de crear varias y diversas especies de fuegosno soIamente utiles para Ia defensa de cualquier muralla sino tarnbienpara muchas otras ocurrencias para las que resulten apropiadas.

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AI I1ustre e Invicto Senor FrancescomariaFeltrense dalla Rovere, Duque Excelentisimode Urbino y de Sora, Conde de Montefeltro yde Durante. Senor de Senegaglia y de Pesaro.

Prefecto de Roma y del inclito SenadoVeneciano. Digno Capitan General.

EpistolaSenor Duque, viviendo en Verona en el afio de MDXXXII mefue encargado por mi intirno y cordial amigo, experto bombardero(hombre atemperado y poseedor de muchas virtudes) en Castellvecchio, el modo de dar orientaci6n a una pieza de artilleria paraque el tiro fuera el mejor. Y si bien en este arte no poseia yoexperiencia alguna (porque en verdad, excelente Duque, jamashice una descarga de artiIleria, arcabuz, bombarda ni fusil), sinembargo (deseoso de servir al amigo) prometi darle en breveuna respuesta con la soluci6n. Despues de que tuve bien es-tudiada y comprendida tal materia, determine que necesitaba de-mostrar con razones naturales y geornetricas porque era necesarioque la boca del cation estuviese elevada de manera que guardaseuna inclinaci6n de 45 grados sobre el horizonte, y para realizartal prop6sito de manera eficiente necesitaba una escuadra de algunmetal 0 madera firme que tuviese acoplado un cuadrante consu perpendiculo, como aparece en el disefio de abajo. Se pro-

58 Nicolo Tartaglia

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cedia asi: se pone una parte del lado mayor de aquella [Ia es-cuadra] (es decir, la parte .ab.) en el anima 0 boca del canon,extendiendola rectamente a 10 largo de la oquedad en el tubo.Despues se alza el canon de tal forma que eI perpendiculo .hd.corte el lado curvo .egf. (del cuadrante) en dos partes iguales(es decir, en el punto .g.). Entonces se dira que el mencionadocanon estara a 45 grados sobre el horizonte. Y esto se sigue (emi-nente Senor) de que el lado curvo .egf. del cuadrante (segun losastronornos) se divide en 90 partes iguales, y a cada una de ellasse Ie llama grado, y la mitad de aquel [Iado curvo] (es decir,.gf.) estaria a 45 grados. Pero con eI fin de que concuerde conaquello que ya se ha dicho, 10 dividimos en .12. partes iguales,y para que vuestra I1ustrisima D. S. vea en la figura aquello queantes habiamos ilustrado con palabras, abajo se dibuja eI canoncon la escuadra en la boca, segun el compromiso establecido connuestro amigo. Tal conclusion parece guardar cierta coherencia.Sin embargo, sobre este punto nuestro amigo albergaba ciertaduda, pareciendole que el canon se colocaba demasiado alto. Loque no se era capaz de corroborar por medio de nuestro ra-zonamiento ni de los que surgen de la rnatematica, mediante

La nueva ciencia 59

Figura Canon elevado 45 grad os sobre el horizonte

algunos experimentos particulares se verifico totalmente quea fin de cuentas asi ocurria, 0 que tal era el caso.

Pero en el afio de MDXXXlI, siendo Prefecto en Veronael Magnifico Mi Senor Leonardo Justiniano, jefe de bom-barderos y muy amigo de nuestro susodicho amigo, vino estea reunirse con el otro (entonces jefe de bombarderos en Padua).

Y un dia sucedio que entre ellos se propuso [resolver] 10mismo que a nosotros propuso nuestro amigo aquel, es decir,con que orientaci6n debia usarse un canon de artillerfa paraque lograse el tiro mas lejano posible sobre un plano. Aquelamigo de nuestro amigo determin6 con una escuadra en lasmanos 10 mismo que fue propuesto por nosotros, esto es, 10que ya se dijo previamente y que se present6 en la figura.

Y para esto fue dispuesta una cierta cantidad de dinero, yfinalmente se recurrio a la experiencia y se transport6 una cule-brina de .20. al campo en Santa Lucia, y cada uno de ellostir6 de acuerdo con la propuesta, sin ventaja alguna en cuantoa p61vora 0 alas balas. Aquel que dispar6 segun nuestra de-

60 Nicolo Tartaglia

Figura El otro dice que tirara mucho mas [lejos] con dos puntos menos dela cscuadra (la cual estaba dividida en .12. partes), tal y como aqui aparece,

terminacion alcanzo una distancia (segun nos fue referido) de1971 pertigas, a 6 pies por pertiga veronesa; el otro que tir6con dos puntos mas abajo [sobre la escuadra] alcanzo una dis-tancia de solamente 1872 pertigas. En vista de ello todos losbombarderos y dernas [presentes] verificaron nuestra determi-nacion, siendo que antes de esta experiencia se mantenia ciertaambigiiedad al respecto y que la mayor parte de ellos sostenianuna opini6n contraria, pareciendoles que tal canon estaba de-masiado alto. Con la mayor vehemencia deseo que nuestra Pre-clarissima Sefioria sepa que [con motivo del disparo] de tres cosasforzosamente una debe ocurrir: 0 que quienes midieron cometieronun error al medir, 0 que no me fue comunicado el resultado verdadero,o que el segundo se carg6 con mas diligencia que el primero. Porquela razon demuestra que el segundo (es decir, aquel que se realizecon dos puntos mas abajo) tiro alcanz6 una distancia mayor dela que correspondia segun la proporcion del primero, 0 que el

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La nueva ciencia 61

primer tiro se qued6 algo corto respecto de 10 que deberia al-canzar segun la proporci6n del segundo, como en el cuartolibro1 (donde trataremos la proporci6n de los tiros) se podraen breve conocer y ver. Y sepa vuestra magnanimidad quepar haber discutido esta cuesti6n con mucha precision seriaun placer intentarlo una vez mas.

Y comienzo (y no sin razones) a investigar la clase demovimientos que pudieran ocurrir en un cuerpo grave, dondeencontre que estes eran dos, es decir, natural y violento, yse encuentra que en tanto que accidentes son contrarios a travesde que sus efectos son contrarios. De manera semejante en-cuentro con argumentos evidentes para el intelecto que es im-posible que el movimiento de un cuerpo grave sea natural yviolento a la vez.2 Despues investigo con argumentos dernostra-tivos basados en razones geometricas la cualidad de los transitoso movirnientos violentos de cuerpos graves, segun los diversosmodos con que pueden ser proyectados 0 lanzados violentamentepar el aire. Adernas de esto, confirmo que [se puede] demostrarcon argumentos dernostrativos de caracter geometrico de quemanera todos los tiros de cada tipo de artilleria, sea grande 0

pequeiia, y con la misma elevacion sobre el plano del horizonte,o igualmente oblicua, 0 [el tiro] a 10 largo del plano del horizonte,son entre ellos semejantes y consecuentemente proporcionales,y por ello tarnbien semejantes las distancias entre ellos. Despues,a traves de razonamientos naturales comprendi de que manerala distancia del mencionado tiro elevado a 45 grados sobre elhorizonte era aproximadamente diez veces el transito recto deun tiro hecho a 10 largo del horizonte.f 10 que para los born-

I. EI cual no aparccc en ninguna de las cdicioncs de La nueva ciencia .. Cabe laposibilidad de que nunca fucra escrito 0 que su autor no considerara que cstuvicsctcrrninado.2. Segun esto, no existe tal cosa como un movimicnto mixto compuesto por la accionconjunta y simultanea de un movimiento natural y uno violcnto.3. Ver pagina 112 mas adelante.

62 Nicolo Tartaglia

barderos se dice es tirar de ponto in bianco.4 Con tal evidencia,Magnanimo Duque, encuentro por medio de razonamientosgeometricos y algebraicos la manera en que una bala lanzadacon direccion de 45 grados sobre el horizonte recorreaproximadamente cuatro veces mas en linea recta que aquellaque fue lanzada siguiendo el plano del horizonte, 10 cual paralos bombarderos es conocido como tirar de ponto in bianco.

Por 10 [anterior] se manifiesta que una bala lanzada desdeuna misma [pieza de] artilleria recorre mas a 10 largo de unalinea recta [es decir, su movimiento recto] en una direcci6nque en otra, y consecuentemente tiene un mayor efecto. En-tonces, Ilustrisimo Senor, haciendo los calculos encontre laproporcion del crecimiento y decrecimiento que tiene todocanon de artilleria (en sus tiros) segun se Ie levante 0 se Iebaje [en su inclinaci6n] sobre el plano del horizonte, y se-mejantemente encontre el modo de saber encontrar la variedadde los mencionados tiros en cada uno de los canones, seanestos grandes 0 pequefios, mediante el conocimiento de [10 queocurre en] un solo tiro (siempre que sea igualmente cargado).Despues investigue la proporcion y el orden de los tiros delmortero, y de igual manera encontrare el modo de saber in-vestigar con rapidez la diversidad de dichos tiros por mediode un solo tiro. Ademas de esto, con elementos muy evidentes,conoci de que manera un canon de artilleria puede por dosvias diferentes (0 elevaciones) percutir en un mismo lugar, yencontre el modo de hacer que tal co sa se llevara a la practica(cosa no escuchada ni pensada por ninguno de los antiguosni de los modernos). Pero despues considere (Magnifico Senor)que todas estas cosas eran de poco provecho para un born-bardero cuando la distancia al lugar donde se quiere disparar

4. Tirar horizontalmentc. Esta forma de rcferirse al tiro en direeci6n paralc\a al suelopodria tener su origcn en que al colocar la escuadra en la boca del canon el per-pendiculo estaria sobre uno de los lados de la cscuadra, es decir, sin tocar ningunade las marcas de clevaci6n, quedando sobre la secci6n anterior a la primera marcao punto.

La nueva ciencia 63

no Ie fuese conocida. Por ejemplo, [pense que] si se quisreradisparar sobre un lugar visible cuya distancia no Ie fuese cono-cida, entonces Ie serviria (Magnanimo Duque) en este caso queel [el bombardero] supiese que su canon alcanza a tal elevaci6n.1356. pasos, a otra .1468. pasos, y a tal otra .1574. pasos,y asi [ir] recorriendo de grado en grado; 10 cierto es que denada Ie serviria, porque si no se conoce 10 que falta de distanciatampoco sabra con que orientacion 0 elevaci6n deberia apuntarsu canon de artilleria para que percutiera en el lugar deseado.De esto se sigue que son dos las principales partes [que ne-cesita conocer] un verdadero bombardero (que desea tirarcon base en razones y no discrecionalmente), de las cualesuna sin la otra casi de nada servirian (refiriendome a los tirosIejanos). La primera es que a grosso modo sepa conocer e in-vestigar (con 10 que se observa) la distancia del lugar sobreel que se de sea tirar. La segunda es que conozca las cantidadesasociadas a los tiros ' de su artilleria segun sus diversas ele-vaciones; conociendo tal cosa no errara mucho en sus disparos,pero faltando una de ellas no se puede tirar (atendiendo a alguncalculo) segun como 10 indica la razon, quedando como recursosolarnente la propia discrecion.f y si acaso percute el primerdisparo en el lugar [deseado] 0 cerca del lugar decidido, esmas por suerte que por ciencia (me refiero sobre todo a lostiros lejanos). Pero aquel que (Ilustrisirno Senor) encuentre Ull

nuevo modo de investigar con rapidez las alturas, profundi-dades, longitudes, distancias hipotenusales 0 diametrales, ytambien las horizontales de las cosas visibles, no esta haciendoalgo del todo nuevo. Porque ciertamente Euclides en suPerspettiva, en un pasaje breve, 10 plantea te6ricamente. Enforma semejante Giovanne Stosterino, Orontio, Pedro LO\11-

5. Se rcticre al alcancc del disparo, cs dccir, a la mcdida de la distaneia entre clsitio donde se encuentra cI canon y eI lugar don de golpea la bala.6. Esdecir, dependiendo de la subjetividad del bombardero.

64 Nicolo Tartaglia

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bardo y muchos mas enunciaron reglas sobre dicho tema; [ellos10 hacfan] recurriendo al Sol, al espejo, al cuadrante, al as-trolabio, a regletas, al bast6n (Ilamado baculo de Jacob) y amuchos otros elementos. Pero Ie informo (Eminente Senor) queencontre un nuevo modo util, rapido y facil de comprender(y sujeto a menos errores que cualquier otro) y de investigarlas susodichas distancias. Este modo proporciona 10 que nose obtiene mediante ningun otro, como son la distancia hipo-tenusal 0 diametral y tambien la horizontal, las cuales en ver-dad son de entre todas las otras formas de todas las dernasdimensiones las mas necesarias para el bombardero. De lasotras su conocimiento no es muy necesario, como es el casode la altura de una cosa perpendicularmente elevada sobre elhorizonte, ni tam poco la profundidad de una cosa sumergida,tam poco la dimensi6n de una co sa extensa. S610 las men-cionadas distancias hipotenusales y horizontales vienen a serrelevantes para el prop6sito principal, como Ie resultara evi-dente (a vuestra I1ustre Sefioria) en el cuarto libro.

Ademas de esto, por curiosidad me puse a revisar losdiferentes modos observados por nuestros antiguos [Ios fil6so-fos] naturales, y tambien por los modernos en cuanto alascomposiciones de fuegos,7 y entre los [fiI6sofos] naturales in-vestigue la naturaleza de aquellas gomas, alquitranes, grasas,aceites, sales, aguas destiladas y otros rninerales simples y [ele-mentos] no rninerales producidos por la naturaleza, asi comolos fabricados mediante el arte [humano], y como consecuenciaencontre el modo de fabricar muchas otras diferentes clasesde fuegos, no solarnente para la defensa de cad a muralla sinotam bien para muchas otras situaciones que vienen al caso.

Por tales cosas habia pensado en normar [0 regular] el artede los bombarderos, y eliminar aquellas cosas delicadas que

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7. Las sustancias que se mezclan para provocar las cxplosioncs que impulsan 105

proyectiles.

•..,I II,

La nueva ciencia 65

fuese posible eliminar (a traves de algunas experiencias par-ticulares), pues en verdad (como dice Arist6teles en el [Iibro]septirno de la Fisica), de la experiencia de [casos] particularessurge la Ciencia Universal. Posteriormente, un dia pense queme parecia una cosa criticable, vituperable, cruel y digna decastigo no pequeiio si nos rernitirnos aDios y a los hombres,querer estudiar como instruir en tal ejercicio, dafiino para elpr6jimo y tambien destructor de la especie humana, maximepara los Cristianos en sus continuas guerras. Por esto no so-lamente pospuse totalmente el estudio de dicha materia y mededique a estudiar otra cosa, sino que ademas destrui y quemetodos los calculos y escritos importantes que se ocupaban deltema. Y mucho me duele y me averglienza el tiempo dedicadoa susodicha actividad, y aquellas particularidades que mequedaron en la memoria (contra mi voluntad) y que nunca quiserevelar a alguien ni por amistad ni por recompensa (sin importarque tanto me hubiesen sido requeridas por muchos), porque en-sefiarlas me parece que hubiera dado lugar a un gran error.

Pero viendo al lobo deseoso de entrar en nuestro rebafio, yestando los pastores de acuerdo para defenderse, no me parecebueno tener ocultas dichas cosas, y entonces decidi hacerlaspublicas, una parte por escrito y la otra de viva voz a todoslos cristianos, pues cada uno esta sujeto a ser atacado y debeser capaz de defenderse de aquello.

Y mucho me duele ver 10 necesario que son los estudiosque abandone, porque estoy seguro que de haberlos seguidohabria encontrado cosas de mayor valor, como espero en brevetodavia encontrar. Pero como el presente es cierto (y breveen el tiempo) y el futuro es dudoso, quiero presentar prirneroaquello que ya se encuentra en el presente, y para que tal cosase pueda mostrar mande imprimir la presente obra. Y asi comotodo rio en forma natural busca acercarse y unirse con el mar,de igual manera conociendo que vuestra Ilustre D. S. es lacuspide entre los mortales con virtudes belicas, entonces estes

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111,1'j, I

66 Nicolo Tartaglia

buscaran acercarse y unirse a tal grandeza. Pero as! como elabundante mar no necesita de agua, y no por ello rehusa recibirun pequefio rio, as! espero que vuestra D. S. no se rehuse aaceptar\a para que los expertos bombarderos de nuestro Ilus-trisimo Dominio sujeto a vuestra Sublimidad, adernas de [con-tar con] su 6ptimo y practice ingenio esten mejor instruidoscon base en la raz6n y aptos para seguir los mandatos deaquella. Y si con estos tres libros no satisfago plenamente avuestra llustrisima Sefioria y a sus ya mencionados expertosbombarderos, entonces espero que en breve 10 hare con la prac-tica del cuarto y quinto libro que aun no esta en prensa (porrespeto) pero que pronto 10 estara, 0 de viva voz para satisfacera vuestra Sublimidad, junto con aquellos a cuya gracia como elmas pequefio y hurnilde servidor devotamente me encomiendo.

Fechado en Venecia en la casa nueve de San Salvadora los XX de diciembre. MDXXXVII.

De vuestra Ilustrisirna D. S., el infimo de sus servidores

Nicolo Tartaglia Bresciano

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Inicia el primer libro de La NuevaCiencia de Nicolo Tartaglia

Bresciano, de las definiciones 0

descripciones de los principiosconocidos de las cosas manifiestas,

Definicion PrimeraUn cuerpo igualmente grave es aquel que segun la gravedad

de la materia, y laforma de ella [la materia), no es susceptiblede experimentar una oposicion sensible del aire en sumovimiento.

Todo cuerpo (si se Ie considera como a 10s naturales), 0 essimple 0 es compuesto. Los simples son cinco, y son tierra,agua, aire, fuego y cielo. Todos los demas se dice que soncomposici6n de los anteriores, y son los hombres, los animales,las plantas, las piedras, los siete metales y cuaIquier otra espe-cie de cuerpo. De Ios mencionados cinco cuerpos simples,cuatro se dice que son eIementales, es decir, Ia tierra, el agua,el aire y el fuego; el otro es llamado quintaesencia, esto es,el cieIo.

De Ios mencionados cuatro elementos (como sefiala Avicenaen la Segunda doctrina de la primera sentencia de su primerlibro) dos son Iivianos y dos son graves. Los livianos son elfuego y el aire, los graves son Ia tierra y el agua. A verroes,

68 Nicolo Tartaglia

en Sopra if quarto [libro} de celo & mundo (texto 29)1 sefialaque todos Jos cuerpos en sus lugares [que ocupan] tienen al-guna gravedad, excepto el fuego, y tambien aJguna liviandad,excepto la tierra. De esto se sigue que el aire dentro de su propiolugar participa de gravedad. De aqui se sigue que todo cuerpo com-puesto de cuatro elementos, y situado en el aire, participa degravedad. Es as! que en esta situaci6n se entiende por cuerpo igual-mente grave solamente aquel que segun la graved ad de la materiay Ja forma de ella [Ia materia], no es susceptible de experimentaruna oposici6n sensible del aire en alguno de sus movimientos.

Segun la materia, esto es, que sea de fierro, de plomo, depiedra, 0 de otra materia similarmente grave, y segun la forma,es decir, que sea la uni6n de tales cualidades [que este formadade uno de estos materiales], sera apto [el cuerpo] a no participarsensiblemente (por vigor de Ja forma) de la oposici6n del aireen alguno de sus movimientos. De entre Jas figuras 0 formasde cuerpos, la que termina en cufia [llamada tambien] pirami-dal, seria de entre cualquiera otra de las formas que se quierala mas apta en cuanto a tener una menor oposici6n del aire,de manera que con el fin de conservar esta cualidad, el verticeo agudeza de aquella [piramide] tend ria siempre que mantenersepor delante en contra del impetu del aire. Pero si no fuese con-servada [Ia menor oposici6n contra eJ aire], entonces no secumplirfa con el prop6sito, y esto por no ser igualmente grave.Por ello, de entre todas las formas, la figura 0 forma esferica,sin mas condici6n, es la mas apta a padecer menos la oposici6ndel aire durante cualquier clase de movimiento, es mas agilen cualquier lugar que se mueva, y de entre cualquier otrafigura es igualmente grave.

I. Se refiere a los comentarios de Averroes al De Caelo de Aristoteles,

La nueva ciencia 69

Definicion .11.Se dice que los cuerpos igualmente graves son similares

e iguales cuando en aquellos no hay alguna diferencia sus-tancial ni accidental [en sus propiedades].

Definicion .111.E! instante es aquello que no tiene partes.Un instante en el tiempo y en el movimiento es como el

punto geometrico en las magnitudes, esto es, aquello que notiene partes y que es indivisible y, consecuentemente, en eltiempo y tambien en el movimiento [el instante] es principioy fin de todo tiempo y de cada movimiento concluido.

y. es propio [caracterfstico] que el ultimo fin del tiempopreterite no es parte del tiempo futuro, y el principio del tiempofuturo no es parte del tiempo preterite, aquello que Arist6telesen el [Iibro] 6 de la Fisica (texto 24) nos manifiesta.

Definicion .1111.EI tiempo es una medida de! movimiento y de! reposo, los

terminos [extremos] del cua! son dos instantes.Para los cientificos el tiempo fue definido en diversos mo-

dos, esto es, algunos dicen (como dijimos anteriormente) quees una medida del movimiento y del reposo. Otros determinanque es inducido por el movimiento de la cosa variable [quecambia de posici6n 0 de constituci6n]. Algunos concluyen quees la vicisitud de Jas cosas: las cuaJes en muchos modos seconocen por medio de una cuidadosa indagaci6n. Y algunosdicen que es una edad voluble que pronto pasa.

De dichas definiciones tomamos la primera por ser la quemas se ajusta a nuestro prop6sito, [la que dice] que el tiempoes una medida del movimiento y del reposo. Porque si pormedio de una medida material (sobre tierra es lIamada pertiga

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70 Nicolo Tartaglia

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y se divide en (.6.) pies y cada pie en .12. (onzas) se tieneel conocimiento de la anchura, largo y altura de cuerpos ma-teriales, similarmente por medio de una medida del tiempo (Ila-mada afio, dividido en 12 meses, y cada mes comunmente en30 dias, y cada dia en 24 horas, y cada hora en 60 minutos)se conoce la diferencia de movimientos de dichos cuerpos, estoes, la velocidad y la tardanza [Ientitud] de ellos.

(,C6mo se conocio en las siete estrellas errantes que unaposee un movimiento mas veloz que otra, si no es por lamedida de ese movimiento lIamado ano y de sus partes (estoes, meses, dias, horas, minutos), como parece claro en las de-term inaciones astronorn icas? Y los terrninos [extremos] de esteafio, es decir, eI principio y el fin de aquel son dos instantes,y 10 mismo se debe entender can cualquiera otra de sus partesy para cualquier otro [intervalo de] tiempo concluido.Ih"

Definicion .V.El movimiento de un cuerpo igualmente grave es aquella

transmutacion que se realiza de un lugar a otro, y que tienecomo extremos [principio y fin] dos instantes.

EI movimiento, para todos los cientificos y rnaxirne paraAristoteles en el [Iibro] quinto de la Fisica (texto 9) fue de-finido como una mutaci6n 0 transmutaci6n. Las c1ases demovimiento 0 transmutacion algunos querran que fuesen 6,esto es, generaci6n, corrupci6n, aumentaci6n, disminuci6n,alteraci6n y mutaci6n [cambia] de lugar. Pero Arist6teles, enel prealegato, establece que las mutaciones sean tres y no mas,esto es, mutacion de cantidad, de cualidad y de lugar. De dichasc1ases tomamos solamente la ultima (porque las otras no serelacionan con el prop6sito), diciendo que el movimiento deun cuerpo igualmente grave es aquella transmutaci6n que ala vez hace de un lugar a otro; seria como decir que va dearriba a abajo, de abajo a arriba, de aqui hacia alia, del lado

La nueva ciencia 71

derecho al izquierdo y a la inversa. Y [a esto se agregan] losterminos de tales movimientos (esto es, el principio y el fin,los cuales son dos instantes).

Definicion .VI.El movimiento natural de cuerpos igualmente graves es

aquel que naturalmente realizan de un lugar superior a otroinferior [de un lugar mis alto a uno mas bajo] perpendicu-larmente y sin violencia alguna.

Definicion .VII.EI movimiento violeuo de cuerpos igualmente graves es

aquel que realizan esfinzadamente de abajo hacia arriba, dearriba hacia abajo, de «qui hacia alla, por causa de una po-tencia movilizadora [que 10 empuje].

Definicion .VlII.Los movimientos de cuerpos igualmcnte graves se dicen

iguales euando dichos cuerpos son similares y van a veloei-dades iguales, esto es, que en tiempos iguales transitan [re-corren] intervalos igudes.

Definicion .IX.Resistenti se llama a cualquier cuerpo permanente' que

por ofrecer resistencia a un euerpo igualmente grave en al-guno de sus movimiemos [sera] impactado por este.

2. Por resistente sc rcfiere al objcto donde se estrcllara la bala; cste puedc ser unmuro, eI piso, ...3. Que se encucntre fijo.

72 Nicolo Tartaglia

Definicion .X.Resistentes similares son aquellos cuerpos [permanentes]

que resultan igualmente impactados par cuerpos semejantes,igualmente graves y can movimientos iguales, y [tienenJmovimientos desiguales si son desigualmente impactados [losresistentes], esto es, aquel que ofreee resistencia al masveloz queda mas aJectado.

Definicion .XI.EI ejecta de un cuerpo igualmente grave se dice que es el

daiio 4 0 percusion 0 el agujero que cada movimiento causaen un resistente.

" ,;!Definicion .XII.

Y cuando las percusiones 0 agujeros de cuerpos igualmentegraves son iguales, se dice que los efectos son iguales, ycuando son desiguales, se dice que los efectos son desiguales.

Definicion .xIII.Potencia movilizadora es cualquier maquina artificial 0 ma-

teria que sea apta para empujar 0 lanzar un euerpo igualmentegrave violentamente por el aire.

Definicion .XIIII.Las potencias movilizadoras se dicen similares e iguales

cuando en aquellas no existe sustancia alguna ni diferencia encuanto a accidente para el empuje de cuerpos igualmente gravese iguales, pero euando en aquellas oeurre alguna diferenciaen cuanto a accidente, se dicen disimiles y desiguales.

4, Dafio por el choque.

La nueva cicncia 73

Suposicion primeraSe supone que un cuerpo igualmente grave (en todo

movimiento) va mas veloz hacia donde produciria (por sen-. , ,)5 I ,/', ,tencia comun) e mayor ejecto en un resistente.

Suposicion .11.Se supone que dos cuerpos igualmente graves, semejantes

e iguales, transitan 0 recorren en tiempos iguales espaciosiguales, y que terminan [el recorrido] en dos instantes dondedichos cuerpos pasan con igual velocidad.

Suposicion .111.Se supone que donde cuerpos igualmente graves, semejantcs

e iguales producen (por sentencia comun) efectos iguales enresistencias semejantes, pasarian por tales instantes () [portales] lugares con igual velocidad.

Suposicion .1111.Pero donde produjesen efectos desiguales se supone que

aquellos pasarlan con velocidades desiguales, y que aquel queprodujese mayor efecto pasarla mas velozmente.

Suposicion .V.Los efectos de cuerpos igualmente graves, similares e

iguales, producidos en los ultimos ins/antes [al memento delimpacto J de sus movimientos violentos en resistencias simi-lares se supone que son iguales.

5, Lo que Euclidcs llama nocion comun.

74 Nicolo Tartaglia

Sentencias Comunes. PrimeraPara un euerpo igualmente grave, euanto de mas altura

viene con un movimiento natural, tanto mayor efecto produciraen un resistente.

SegundaCuerpos igualmente graves, semejantes e iguales, al venir

de iguales alturas con movimientos naturales produciranefeetos iguales sobre resistencias similares.

TcrceraPero si provienen de alturas diferentes tendran en aquellos

efectos desiguales, y aquel que provenga de mayor altura pro-ducira un efeeto mayor.

Pero se necesita sefialar que dichas alturas se deben entendercon respecto a los resistentes.

CuartaSi un cuerpo igualmente grave en el movimiento violento

encontrara algun resistente, cuanto mas proximo este dichoresistente al principio de tal movimienio, tanto mayor efectoproducira dicho cuerpo en el.

Proposicion PrimeraTodo euerpo igualmente grave con movimiento natural,

cuanto mas se va alejando de su principio y aproximando asu fin, tanto mas veloz ira.

Por ejemplo, si se tomaran las tres diferentes alturas .a.,.b. y .c. en linea recta como aparece abajo, y que de la altura

La nueva cicncia 75

.a. cayese un cuerpo igualmente grave, sin duda, si tal cuerpono tuviese resistencia encontraria entonces con movimientonatural su fin en la tierra, realizando su viaje a semejanza dela linea .d., ,e., .f., y .g ..

o digo que el movimiento de dicho cuerpo seria de tal can-dici6n que cuanto mas se fuese alejanda de su principio (estoes, del instante 0 punto .d.) y aproxirnandose a Sll fin (estoe~, al instante a el punta .g.) tanto mas veloz andaria. Porquedicho cuerpo con tal movimienta (por la primera sentenciacom un) produciria mayor efecto en un resistente que estuviese

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en la altura .c. que si estuviera a la altura .b .. Se seguirapor consiguiente que dicho cuerpo (por la primera suposici6n)transitaria mas veloz por el espacio .ef que por el espacio.de .. De igual manera, dicho cuerpo (por la primera sentenciacomun) produciria mayor efecto en un resistente que estuvieseen el punto .g. que si estuviese en la altura .c ..

76 Nicolo Tartaglia

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Por consiguiente se seguiria (por la misma primera suposi-cion) que dicho cuerpo pasaria mas veloz por el espacio .fg.que par el espacio .ef., y si pudiese pasar al punto .~., estoes, que la tierra pudiese ceder lugar como 10 hace ~I arre, en-tonces andaria aumentando continuamente su velocidad, hastael centro del mundo, pues en dicho centro reposaria (por sen-tencia comun de filosofia). Cuando el cuerpo se fuese aproxi-mando a dicho centro, tenderia a tener un movimiento masvelocisimo que en cualquier otro espacio anterior en el quehubiese estado, 10 cual era el proposito, Esto mismo se verificatam bien en cada uno [cada persona] que vaya en direccion de unlugar deseado, y que cuanto mas se va aproximand? a dich,o lugar,tanto mas se va alegrando y mas se esfuerza al carrunar. ASI sucedecon un peregrino que viene de un lugar lejano, y ya que esta cercanoa su pais, se esfuerza naturalmente mas al earn inar, esto es,cuanto mas lejano esta del pais [del que vienc].

EI cuerpo grave hace 10 mismo yendo en direccion a sunido que es el centro del mundo, y cuanto de mas lejos vienehacia dicho centro, tanto mas (I\egando a este) veloz iria.

Aunque la opinion de rnuchos sea que si se tuviese un agu-jero que penetrase diarnetralmente toda la tierra, y que poraquel fuese dejado caer un cuerpo igualmente grave, como an-teriormente se dijo, tal cuerpo que fuese al centro del mundoinmcdiatamente alii se detendria. Tal opinion digo que no esverdad, cs decir, que en forma inmediata se detenga. Esto sedebe a la gran velocidad que en el se encuentra, 10 cual 10forzaria a pasar [del centro] con movimiento violento, muchomas alia de dicho centro, desplazandose hacia el cielo de nues-tro hernisferio subterraneo; despues retornaria con movimientonatural en direccion del mismo centro, y yendo hacia aquel 10pasaria nuevamente por las mismas regiones, con mov~m~entoviolento hacia nosotros, y de nuevo retornaria con movimientonatural hacia el mismo centro, y de nuevo 10 pasaria conmovimiento violento para despues retornar con movimiento

1!

La nueva ciencia 77

natural, y as! andaria un tiempo pasando con movimiento violentoy retornando con movimiento natural, disminuyendose en este con-tinuamente la velocidad y, finalmente, se detendria en dicho centro.

EI hecho que se manifieste que del movimiento natural sepuede causar el movimiento violento no implica que tam bienocurra a la inversa, es decir, del movimiento violento jamasse puede causar el natural. Este se causa por SI solo.

Corolario PrimeroDonde se manifiesta que cntonces todo cuerpo igualmente

grave en el principio de .I'U movimiento natural va nuts leu-tisimo, y en SUfl11 tIIL!S velocisimo que en cualquier otro lugar,y cuanto mas largo sea el espacio recorrido tanto masvelocisimo andaria en el final.

Corolario IIEntonces es manifiesto que ocurre que un cuerpo igual-

mente grave con movimiento natural no pucde pasar por dosdiferentes instantes con igual velocidad.

Proposicion IITodos los cuerpos igualmente graves, similares e iguale»

en el principio de sus movimiento naturales, si par/en con iguatvelocidad, al alcanzar .I'U destine con tales movimientos [natu-rales] entonces el que hubiese pasado por el espacio 11I(1.1' largoandarla mas veloz.

Sean las cuatro diferentes alturas .a., .b., .c. y .d. puestasde dos en dos en linea recta como aparece abajo, donde laaltura .a, esta tan distante de la altura .b., como 10 esta la altura.c. de la altura .d .. Tornese el caso en que de la altura .d.cae un cuerpo igualmente grave, y otro en el que cae de laaltura .e., ambos similares e iguales. Noto que tales cuerpos

78 Nicolo Tartaglia

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lIegarian con movim ientos naturales a tierra, y los recorridosde ellos sedan rectos y perpendiculares a la tierra, esto es,similares alas dos lineas rectas .gf. e .ie .. Digo que tales cuerpospartiran de su principio (es decir, uno en el instante correspon-diente al punto .g. y el otro en el instante correspondiente alpunto .i.) con igual velocidad, alcanzando el fin de talesmovirnientos en los dos instantes .e. y .f.. Aquel que viniesede la altura .a. andarta mas veloz que el otro, ya que aquelviajaria por un espacio mas largo, esto es, el espacio .af.. Laaltura .b. esta tan lejana de la altura .a., como 10 esta la altura.d. de la altura .c. (como se habia supuesto). Por consiguienteel cuerpo que cayese de la altura .a. percutiendo en un re-

La nueva ciencia 79

sistente que estuviese a la altura .b., no tend ria un efecto mayor(por la segunda sentencia com un) que el de aquel que cayesedesde la altura .c. sobre otro similar [otro resistente] que es-tuviese a la altura .d.; de aqui que los dos cuerpos que vienencayendo (por la tercera suposicion) andarian uno por la altura.b. en el punto .h. y el otro par la altura .d. en el punto .k.,con igual velocidad (por la segunda suposicion), por 10 quedichos cuerpos transitarian, uno par el espacio .gh. y otropar cl espacio .ik., en tiempos iguales. En consecuencia losdos cuerpos partirian del principio de sus movimientos (estoes, uno en el instante .g., y el otro en el instante .i.) con velo-cidades iguales, 10 cual era cl primer proposito. EI cuerpo queviniese de la altura .a. produciria un mayor cfecto sobre un resistcnteen el instante .f. (por la tercera senteneia cornun) que aquel que viniescde la altura .c. sobre un simil que estuviese cn el punto .c ..

Entonces (par la primera suposicion) el cuerpo que viniesede la altura .a. al alcanzar el fin de su movimiento (esto cs, clinstante correspondiente al punto .f.) andaria mas veloz que aquclque viniese de la altura .c. y que alcanzaria su fin en cl instantccorrespondiente al punto .e., 10 cual era el segundo proposito.

Para demostrar el misrno segundo proposito de otra rnanera [schace 10 siguiente]: de toda la linea sobre el mayor transito .gftomaremos (por la tercera del primero de Euclides) la parte .gm.,que es igual al transito .ie. de la linea menor, y porque todos loscuerpos igualmente graves, sirnilares e iguales en cI principio delmovimiento natural parten con igual velocidad (como se demostromas arriba), entonces el cuerpo que partio de la altura .a. andariatan veloz por el espacio .gm., como 10 haria aquel que partiede la altura .c. recorriendo el espacio .ie., es decir, ambos tran-sitarian en tiempos iguales. Y como el cuerpo que partio de laaltura .a. (por la proposicion precedente) andaria mas veloz por elespacio .mf., que por el espacio .gm. (por sentencia comun), entoncesandaria mas veloz por el espacio .mf. que como 10 hace el otropor el espacio .ie., 10 cual es el mismo segundo proposito.

80 Nicolo Tartaglia

Proposicion .111.En el caso del movimiento violento, cuanto mas un cuerpo

igualmente grave se fuese alejando de su principio y aproxi-mando a su fin, tanto mas perezoso y lento andara.

Por ejemplo, si hubiese una potencia movilizadora en el punto.a. que lanzara 0 arrojara violentamente al aire un cuerpo igual-mente grave, y que todo tiro que pudiese realizar dicha potenciacon el susodicho cuerpo correspondiera a toda la linea .ab.,6 digoque tal cuerpo cuanto mas se estuviese alejando de su principio(esto es, del instante .a.) y aproximandose a su fin (esto es, alinstante .. b.), tanto mas se reduciria su velocidad, 10 cual se de-mostrara del modo siguiente. Dividiremos toda la linea del re-corrido .ab? en mas espacios; estos son, .bc., .cd., .de., .ef., .fg.,.gh. y .ha .. Dicho cuerpo (por la cuarta sentencia comun) pro-duciria mayor efecto sobre un resistente que se encontrara enel punto .c. que sobrc uno colocado en el punto .b., ya que(por la primera suposicion) dicho cuerpo andaria mas velozen cl punto .c. que en el punto .b., y similarmente andaria

E

B~------------------------f-~6. Se rcficre a la maxima distancia horizontal que sc pucde alcanzar desdeel punto .a..7. Por rccorrido .ab. se cntiendc toda la trayectoria del movimiento violcnto.

La nueva ciencia 81

[mas veloz por] el espacio .d.8 que por el espacio .cb .. As!por la misma razon dicho cuerpo andaria mas veloz por el espa-cio .ed. que por el espacio .dc., y [mas veloz] por el espacio .fe.que por el espacio .ed., y por el espacio .gf que por eI espacio .fe.,y por el espacio .hg. que por el espacio .gf., y por el espacio .ab?que por el espacio .hg.. Y si el principio de tal movimiento violentofuere mas adelante, tanto mas veloz andariaen los siguientes espacios,demostrando 10 que era el proposito. Esto mismo se verifica en cadauno [de los hombres] que fuera violentamente conducido en direccionde un lugar para el odiado: que cuanto mas se va aproxirnando a dicholugar, tanto mas se va entristeciendo en la mente, y mas se tardara en lIegar.

Corolario PrimcroDonde se man ifiesta fa manera en que un cuerpo igualmente

grave en el inicio de todo movimiento violento va mas velocisimo,, ta d di 10 1 fi [d. ",7 I .y mas r a ISl1110 a. m l' e su movimiento] que en cua qwer

otro lugar, y cuanto mas tuviera que ser el espacio por recorrermas velocisimo andaria al principio de su movimienio.

Corolario .n.Tambien es manifiesto como un cuerpo igualmente grave

con movimiento violento no puede pasar por dos diferentesinstantes con igual velocidad.

Proposicion .1111.Todos los cuerpos igualmente graves, seme{antes e iguales,

aillegar al final de sus movimientos violentos I iran con igual

8. Debiera dccir .dc., ya que d correspondc a un punto y con 10 que busca cornparares con cI intcrvalo .eb ..9. Segun el razonamicnto dcbicra dccir .ah ..10. Lento.II. EI tin de diehos movimicntos violentos es el punto donde de violento cImovimicnto pasa a ser natural.

82 Nicolo Tartaglia

velocidad, pero al principio de tal movtmiento aquel quetuviese que recorrer un espacio mas largo partira mas veloz.

Par ejemplo, si se toman dos potencias movilizadorasdiferentes y desiguales, una en el punto .a. y la otra en el punto.c., que debiesen lanzar violentamente por el aire dos cuerposque sean iguales y de gravedad semejante, y que de las trayec-torias 12 completas que generen las dos potencias con dichoscuerpos una corresponde a la linea .ab. y la otra a la linea .cd ..Digo que estos dos cuerpos al lIegar al final de sus movimientosviolentos, esto es, uno al instante correspondiente al punto .b.,y el otro al instante correspondiente al punto .d., andarfan conigual velocidad. Pero al principio de cada uno de los movimien-

I \

B

D

tos, esto es, uno en el instante .a. y el otro en el instante .c.,si partieran con velocidades desiguales, entonces aquel que de-biera pasar por el trayecto del espacio .ab. (por ser mas largoque el otro) partiria mas veloz desde el instante .a., 10 cual nohara [tener la misma velocidad] el otro que parte del instante.c., y esto se dernostrara de la siguiente manera. Si los dos cuerposencontrasen algun resistente en 10s dos instantes .d. y .b., loscuales fuesen similares e iguales en resistencia, producirian sobre

12. Se refiere excIusivamente a la parte de la trayectoria correspondiente al movimientoviolento.

La nueva ciencia 83

ellos efectos (por la quinta suposicion) iguales donde (por latercera suposicion) se moviesen con igual velocidad, demostrar10 cual es el primer proposito, Para demostrar el caso correspon-diente al recorrido de la linea mayor .ab. [mayor que la linea.cd.], cortaremos con la imaginacion la parte .bk. que resulto [enmagnitud] igual al recorrido de la linea .cd. menor, y cuandolos dos cuerpos lIeguen a los dos instantes .d. y .b. andarian conigual velocidad (como anteriormente fue dernostrado), habiendorecorrido con igual velocidad espacios igualmente distantes,donde los predichos dos lugares corresponden a los instantes.b. y .d. (por la segunda suposicion).

Es as! que los dos cuerpos transitarian con igual velocidad,uno por el espacio parcial .kb., y el otro por el espacio total.cd., esto es, recorrerian estos en tiempos iguales. Y ya queentre mas un cuerpo grave (en el movimiento violento) se es-tuviera alejando de su principio (por la tercera suposicion),tanto mas lento y retard ado andaria. En consecuencia, el cuerpoque viniese del instante .a. and aria mas veloz a traves del espa-cio .ak., que por cualquier otro lugar del espacio parcial .kb ..Se sigue entonces (de razones por todos aceptadas) que elcuerpo que viene del instante .a. andaria mas veloz por el espa-cio .ak. que como and aria el otro cuerpo en cualquier otrolugar del espacio total .cd .. Entonces el cuerpo que viniesedel punto 0 instante .a., partiria mas veloz por ese instante.a. que aquel que partiese del instante .c., que es el segundoproposito.

Proposicion .V.Ningun cuerpo igualmente grave puede recorrer algun espa-

cio de tiempo 0 de lugar con movimiento natural y movimientoviolento en forma simultdnea.

Por ejemplo, si tuviese una potencia movilizadora en elpunto .a., la cual debiese lanzar un cuerpo grave violentamente

84 Nicolo Tartaglia

A F

D

E

por el aire, y todo el recorrido que debiera efectuar dichocuerpo debido a dicho lanzamiento fuese la linea .abcdef., digoque dicho cuerpo no pasani parte alguna de su rccorridosimultaneamente como movimiento violento y como movirnientonatural. Sin embargo, pasara por aquel que es de movimiento to-talmente violento puro a otro con parte de movimiento violentopuro y parte de movimiento natural puro; en aquel instante en quetenninara el movimiento violento, dicho instante sera principio delmovimiento natural. Y si fuese posible que poseyera simultanearnentealguna parte de movimiento violento y de movimiento natural, en-tonces supongamos que esta sea la parte .cd.. Se tendria entoncesque el dicho cuerpo al pasar del punto .c. al punto .d. aumentariasu velocidad debido a aquella parte que participaba del movimientonatural (por la primera suposici6n), y similarmente, disminuiria suvelocidad en aquella parte que participaba del movimiento violento(por la tercera suposicion), 10 cual seria una cosa absurda, [estoes] que tal cuerpo en un mismo tiempo debiese aumentar ydisminuir su velocidad, con 10 que destruida la oposici6n per-manece 10 propuesto.

La nueva ciencia 85

Proposicion .VI.Todo resistente se vera menos afectado por un cuerpo igual-

mente grave, lanzado violentamente por aire, en el instanteque distinga el movimiento violento del movimiento natural.

Por ejemplo, si hubiese una potencia movilizadora en elpunto .a., la cual debe lanzar un cuerpo grave violentamentepor el aire, y que todo el recorrido que realiza el cuerpo fuese

A F

D

E

la linea .abcdef., y que el punto .d. fuese el lugar del instantedonde se separa el movimiento violento del natural, digo quetodo resistente se vera menos afectado por el cuerpo en elpunto .d. que en cualquier otro lugar del recorrido. Esto sedebe a que el cuerpo transitaria mas lentamente por el instante.d. que por cualquier otro lugar del recorrido violento .abcd.,(por el primer corolario de la tercera proposici6n) y consecuen-temente tendria menos efecto sobreel. Similarmente [ocurririacon la parte complementaria], ya que dicho cuerpo transitariamas lentamente por el instante .d. (por el primer corolario dela primera proposici6n) que por cualquier otro lugar del re-corrido natural .def., y en consecuencia tendria menos efectos

86 Nicolo Tartaglia

sobre el. Y si dicho resistente fuese golpeado par el cuerpoen el. punta .c. 0 el punto .e., entonces seria mayor el golpe,que Sl fuese golpeado en el punta .d., ya que el cuerpo pasariacon mayor velocidad por el punta .c. (can movimiento vio-lento) y par el punto .e. can movimiento natural, que por elpunto .d., demostrar 10 cual es el prop6sito.

Fin del primer libro

"'I'I ,'til"

., .,;' •.

Inicia el segundo libro de La NuevaCiencia de Nicolo Tartaglia,

Bresciano

Definicion primeraEl movimiento recto de cuerpos igualmente graves, es aquel

que realizan [los cuerpos] de un lugar a otro rectamente, estoes, a lo largo de una linea recta.

Seria como un movimiento del punto .a. a) punta .b., segunse presenta la linea .ab ..

A----------------------------BDefinicion .11.

El movimiento curvo de cuerpos igualmente graves es aquelque realizan de un lugar a otro curvamente, esto es, siguiendouna linea curva.

Seria como un movimiento del punto .c. a) punta .d., asicomo se muestra en la linea .cd..

i

c

D

88 Nicolo Tartaglia

Definicion .111.EI movimiento parcialmente recto y parcialmente curvo de

cuerpos igualmente graves, es aquel que realizan de un lugara otro, rectamente en una parte y curvamente en otra parte,es decir, que por fa linea [donde se desarrolla el movimiento]una parte es recta y la otra es curva.

Seria como estarse moviendo del punta .e. al punta .g., comose muestra en la linea .efg., he intentando que ambas partes,esto es, la parte recta .ef. y la parte curva .fg. se unan di-rectamente, de tal maneras que no se forme un lingula en el punta.f., ya que si se formara un lingula entonces no se podria decirque el movimiento es continuo, pues habria dos movimientos,y par tal razon no seria posible decir que toda la cantidad .efg.fuese una sola linea, esto es, serian dos Iineas, una recta yla otra curva. Esto necesitaba ser dilucidado.

Definicion .1111.Horizonte es aquel plano circular que divide (no solamente)

al hemisferio inferior del superior, sino tambien a todo cuerpoigualmente grave que esta par ser lanzado a proyectado vio-lentamente al aire, para dividirlo [al cuerpo] en dos partesiguales y siendo concentrico con dicho cuerpo.

La nueva ciencia 89

Definicion .V.Semididmetro del horizonte es aquella linea que parte del

centro y se dirige en linea recta hacia la circunferencia, [quees el] sitio donde termina. Este lugar es hacia donde se debetirar violentamente por aire un cuerpo igualmente grave.

Definicion .VI.Perpendicular al horizonte se dice de aquella linea que

parte del polo del horizonte (conocido como zenit) y que caeperpendicularmente sobre el centro de este [el horizonte], ysi se prolonga llega a su jin en el centro del mundo.

Definicion .VII.Pero aquella parte que se encuentra entre el centro [del

horizonte] y el polo, es llamada perpendicular sobre el hori-zonte, y a fa otra que va del centro [del horizonte] hasta elcentro del mundo se le llama perpendicular bajo el horizonte.

Definicion .VIII.EI transitu (} movimiento violento de un cuerpo igualmente

grave se dice que ocurre en el plano del horizonte cuandoen su inicio [el transito] se extiende en parte a lo largo delsemidiametro del horizonte.

Definicion .IX.EI transito 0 movimiento violento de un cuerpo igualniente

grave se dice que esta elevado sobre el horizonte cuando ellsu principio se extiende [el transito] de tal forma que la trayec-toria genera parcialmente un angulo agudo con elsemididmetro del horizonte, el cual se encuentra sobre el hori-

90 Nicolo Tartaglia

zonte. Y se dice que cuanto mas se eleva entonces el anguloagudo que forma es mayor, pero cuando genera un angulorecto se dice que [el transito] es recto sobre cl horizon/e.

Definicion .X.EI transito 0 movimiento violento de un cuerpo igualmente

grave se dice que esta elevado 45 grades sobre el horizontecuando al principio [del transito] se extiende de tal maneraque divide en dos partes iguales al angulo redo que se formacon la perpendicular sobre el horizonte y el semidiametro delhorizonte.

\I ,Definicion .XI.

El transito 0 movimiento violento de un cuerpo igualmentegrave se dice que es oblicuo por dcbujo del horizonte cuandoal principio de su movimiento se exticnde pOI' debajo del[plano del] horizonte de tal manera que forma un anguloagudo con el semidiametro del horizonte. Y se dice que esmas oblicuo cuanto mayor es el angulo agudo que genera,pero cuando produce un angulo recto se dice enionces quees recto bajo el horizonte.

Definicion .XII.Los transitos 0 movimientos violentos de cuerpos igualmente

graves se dice que tienen igual elevacion sobre el horizontecuando al principio ellos se extienden de talforma que generanpOI' enclma del mismo horizonte dngulos agudos iguales conel semidiametro del horizonte, y son semejantemente oblicuoscuando al principio [del movimiento] generan por debajo delhorizonte angulos agudos iguales con dicho semidiametro.

La nueva ciencia 91

Definicion .XIII.El transito 0 movimiento violento de un cuerpo igualmente

grave se dice que es perpendicular al horizon.e cuando al prin-cipio y al fin [del movimiento J se encuentra en la ya men-cionada perpendicular, es decir, cuando aquel es recto sobreo bajo el horizonte.

Definicion .XIIII.La distancia del transito de un cuerpo igualmente grave

con movimiento violento es aquel intervalo generado pOI'la linea recta que va del principio al fin del movimientoviolento.

Suposicion primeraTodos los recorridos 0 movimientos naturales de cuerpos

igualmente graves son equidistantes entre ellos, y tambien conrespecto a la perpendicular del horizonte.

Pero dos recorridos 0 movimientos naturales de cuerposigualrnente graves nunca podrfan ser perfectamente equidistan-tes entre ellos y tam poco con respecto a la perpendicular delhorizonte. Porque si la tierra les estuviese cediendo lugar asicomo 10 hace el aire, sin duda concurrirfan conjuntamente enel centro del mundo donde (poria ultima definicion [Ia 23]del primero de Euclides), como se dijo, no serfan equidistantes.Sin embargo, par ser un error insensible en un espaciopequeiio, entonces los suponemos total mente equidistantes ytambien [sucede 10 mismo] con respecto de la perpendicularal horizonte.

Suposicion .11.Todo transito 0 movimiento violento de un cuerpo igual-

mente grave que se encuentre fuera de la perpendicular al

92 Nicolo Tartaglia

horizonte, sera siempre un recorrido en parte recto yen partecurvo, donde la parte curva sera una seccion de fa circun-ferencia del circulo.

Es as! que ningun transito de eualquier cuerpo igualmente gravecon movimiento violento que se encuentre fuera de la perpendiculardel horizonte puede tener alguna parte que sea perfectamente recta,y esto se debe a la gravedad que se encuentra en tal cuerpo, lacual continuamente 10 va estimulando y dirigiendo en direcciondel centro del mundo. Sin embargo, aquelJa parte que es in-sensiblemente curva la suponemos recta, y aquella que es evi-dentemente eurva la suponemos parte de la circunferencia deun circulo, porque no se aparta de ella de manera sensible.

Suposicion .III.Todo cuerpo igualmente grave que este en el jin de algun

movimiento violento, y que se encuentre fuera de la perpen-dicular con el horizonte, se movera con movimiento natural,el cual se integrara sin brusquedad' con la parte curva delmovimiento violento.

Por ejemplo, en un cuerpo igualmente grave que fuera lan-zado violentamente par el aire fuera de la perpendicular con

1. Se refiere a que en el paso del movimiento violento al natural no se 'forma' unangulo en cl punto de cambio, es decir, no ocurre una discontinuidad en la curvatura.

La nueva ciencia 93

el horizonte, digo que al final de tal movimiento violento (sino encuentra resistencia que 10 detenga) se movent canmovimiento natural, el cual sera contingente con la parte curvadel movimiento violento, a semejanza de toda la linea .abcd.,de la cual toda la parte .abc. carresponde al recorrido conmovimiento violento, y la parte .cd. sera el recorrido realizadocan movimiento natural, mismo que sera continuo y se incor-pora sin brusquedad a la eurva .be. en el punto .c.. Esto es10 que queremos inferir.

Suposicion .1111.El efecto mas lejanot que puede tener un cuerpo igualmente

grave lanzado con movimiento violento sobre cualquier planoo sobre cualquier linea recta, es aquel [el efecto] que terminaprecisamente en dicho plano 0 en esa linea (siendo lanzadoo proyectado por una misma potencia movilizadora).

Par ejemplo, sea una poteneia movilizadora en el punto .a.la cual proyecto 0 Ianzo un cuerpo igualmente grave .b. vio-lentamente por eI aire, y cuyo transito es la linea .aedb., y su-

A

BBB

2. Se refiere a 10 mas lejos que puede lIegar Ull cucrpo.

94 Nicolo Tartaglia

,,''ILl

pongamos que el punto .d. es el instante en el que se distingueel recorrido 0 movimiento violento .aed. del recorrido 0movimiento natural .db.; si del punto .a. al punto .d. se trazala linea .adc., digo que el punta .d. es el lugar de efecto maslejano [medido] desde el punto .a. que pueda tener el dicho cuerpo.b. sobre la linea .adc., 0 sobre aquel plano donde se asienta dichalinea .adc. y cuya elevaci6n corresponde a estas condiciones

Si dicha potencia [en] .a. tuviese al mismo cuerpo .b. maselevado sobre el horizonte, aquel produciria su efect03 demovirniento natural sobre la rnisma linea .adc. en el punto .g.,tal como 10 indica la linea 0 transito .afg., y digo que dichoefecto en .g. estaria mas cercano al punto .a., es deeir, al prin-cipio de tal rnovirniento que aquel que tendria el efeeto en.d.. Como el mencionado cuerpo .b. no estaria terminando elmovimiento violento en la dicha linea .adc., ya que terrninariaen el punto .f., cuanto mas elevadamente fuese lanzado tantomas se acercaria su efecto [Ia distancia reeorrida] al dichopunto .a. sobre la linea .adc.; entonees el rnovimiento violentode aquel tanto mas se estaria acereando en Sll term ino a lalinea .adc., es decir, terminaria a mayor altura.

De igual manera, si la misma potencia proyectase al mismocuerpo .b., pero a rnenor altura respecto del recorrido 0 linea.aed., esto es, a semejanza del recorrido de la linea .aihk., estetendria su efecto de rnovimiento violento sobre la dieha linea.adc. a sernejanza del punto .h., euyo efecto .h. digo que seriamas cereano al punto .a., que aquel alcanzado en el punto .d.,ya que el fin de tal movimiento violento estaria terminandopor debajo de la susodicha linea .adc. en el punto .k., y cuantomas disminuyera la susodicha potencia .a. para lanzar el dichocuerpo .b., tanto mas el cuerpo .b. produciria su efecto mascereano al punto .a. por encima de la linea .adc., porque cuantomas dism inuyera [Ia potencia] tanto mas terminaria elmovimiento violento por debajo de la susodicha linea .adc ..

3. Su mayor distancia.

La nueva cicncia 95

Lo mismo se debe entender para cualquier otro tiro, por ejem-plo, trazando del punto .a. al punta .f. (terrnino del movimientoviolento .af.) la linea .afl., digo que el dicho cuerpo .b. lanzadode cualquier otra manera con la misrna poteneia, nunea podraalcanzar al dicho punto .f., como se manifiesta en el recorrido.aedb., el eual corta a la dicha linea .afl. en el punto .m.. EImencionado punto .m. esta mucho mas cereano al punto .a.,que como la esta el punto .f..

De manera sernejante, trazando entonces una linea del di-cho punto .a. al punto .k. (que es lugar donde termina elmovimiento violento .aik.) cuando sea .akn. digo que el men-cionado cuerpo .b., lanzado de cualquier otra manera con lamisma potencia, nunca pod ria alcanzar el susodicho punto .k..Por ejemplo, como sucede con los otros dos tiros superiores,donde cada uno corta a la mencionada linea .akn. conmovimiento natural en los dos puntos .0. y .p., donde cadauno de ellos esta mas cercano al punto .a., de Cor.10 10 estael punto .k.. Esto es aquello que queremos inferir.

Proposici6n PrimeraLos cuatro angulos de todo cuadrildtero rectilineo son

iguales a [fa suma de} cuatro angulus rectos .Sea el cuadrilatero .abcd .. Digo que sus cuatro angulos jun-

tos son iguales a euatro angulos rectos. Esto es porque trazandoel diarnetro .db. [el cuadrilatero] sera dividido en dos trian-gulos, y los tres angulos de cada uno de los mencionados trian-

B

A c

D

...-o

96 Nicolo Tartaglia

gulos (por la segunda parte de la proposici6n 32 del libro Ide Euclides) son iguales ados angulos rectos; de esto se tieneque los seis angulos generados por los triangulos son igualesa cuatro angulos rectos, porque los susodichos seis angulosde los dos triangulos son iguales a los cuatro angulos del dichocuadrilatero. Por ejemplo, el angulo .abd. del triangulo .abd.unido con [el angulo] .dbc. del triangulo .dbc., resulta iguaJa todo el angulo .abc. del cuadrilatero, y 10 mismo ocurre paralos otros dos [angulos] que concurren en el punto .d., [queal unirsc] igualan a todo el angulo .adc. de dicho cuadrilatero.Para [el caso de] los otros dos, esto es, para los angulos .a.y .c. estos son justamente los mismos del cuadrilatero, con10 que el prop6sito queda manifiesto.

Proposicinn .11.Si del centro de un circulo fueran trazadas dos lineas hacia

una circunferencia, la proporcion que tendra toda la circun-ferencia del clrculo con respecto al arco que intersectan Lasdos lineas, es la misma que tendran cuatro angulos rectos conrespecto al dngulo contenido entre las dos rectus que pasanpor el centro.

cSea el circulo .abc. cuyo centro es el punto .d .. Del centro

.d. se trazan las dos lineas .da. y .db .. Digo que la proporci6n

La nueva ciencia 97

que guarda toda la circunferencia del mencionado circulorespecto del arco .ab. que intersectan dichas lineas, es la[misma] que guardan cuatro angulos rectos respecto del angulo.adb .. Esto es, prolongando una de dichas lineas hasta la cir-cunferencia, sea [en este caso] .ad. tocando [a la circunferencia]en .e., de esto se tiene que (par la ultima [proposici6n 33]del sexto de Euclides) la proporci6n del arco .eb. respecto alarco .ba. es como la del angulo .edb. al angulo .bda., y (porla 18 del libro 5 de Euclides) [Ia proporci6n] de la uni6n delos mencionados dos arcos .eb. y .ba. (es decir, todo el arco.eba.), respecto del arco .ba., sera como [Ia proporci6n entre]el conjunto de los dos angulos .edb. y .bda., respecto delangulo .bda ..

Y como el arco .eba, es la mitad de la circunferencia detodo el circulo, y el conjunto de los dos angulos .edb. y .bda.(por la decima tercera dell de Euclides) es igual ados angulosrectos, entonces se sigue que asi como es la mitad de la cir-cunferencia del dicho circulo respecto del arco .ba., asi serandos angulos rectos con respecto al angulo .bda .. Y asi comotoda la circunferencia de todo el circulo es a la mitad de aquella(es decir, al arco .eba.), asi seran cuatro angulos rectos adosangulos rectos. Y (por la vigesirna segunda del 5 de Euclides)asi como toda la circunferencia de dicho circulo es ai arco .ab.,as! seran cuatro angulos rectos respecto del angulo .bda .. Estees el prop6sito.

II.

Proposicion .111.Sean dos lineas reetas que se unen angularmente toeando

[tangencialmente] a un cireulo, y sea prolongada una de aquellas[de las dos lineas] en direccion del angulo [el angulo en B],fa proporcion que tendril fa eireunfereneia del eireulo respectodel area que interseetaron [las dos reetas] sera fa misma que

98 Nicolo Tartaglia

A

tendran cuatro angulos rectos respecto del angulo exterior[angulo .abh.} generado por la linea prolongada.

Sean dos line as .ab. y .be. que eoncurren angularmente enel punto .b., las euales abarcan al cfrculo .defg. tocandolo enlos dos puntos .d. y .f., y sea prolongada una de aquellas endireccion de .b., de tal forma que .fb. se prolonge hasta elpunto .h .. Digo que la proporcion que tendra la eircunferenciadel cfrculo respecto del arco .def., es la misma que tienencuatro angulos rectos respecto del angulo .dbh ..

Del centro del mencionado cfrculo (al cual nombro .k.) trazolas dos lineas .kd. y .kf, donde (par la primera proposicion deeste [segundo libro]) los cuatro angulos del cuadrilatero .bdkf soniguales a cuatro angulos rectos. Ya que cada uno de los angulos.kdb. y .kfb, (por el corolario de la decima quinta del III de Eu-elides)" es recto, entoncesjuntando los otros dos (es decir, el angulo

4. En la edicion de los Elementos que usamos para hacer el apendicc csto corrcspondca la proposici6n XVI.

Esta modificaci6n sc dcbc posiblementc a la insercion de una proposici6n de Heronpara probar la proposicion XI del Libra III.

La nueva ciencia 99

.dbf. y el angulo .tkd.) resulta que son iguales ados angulos rectos,y (por la decima tercera proposicion del libro I de Euclides) losdos angulos .dbf y .dbh. son similarmente iguales ados angulosrectos, donde (por la primera nocion del primero de Euclides)los dos angulos .dbf. y .dbh. son iguales a los dos angulos .dbfy .dkf.. Quitando 10 que es comun para una y otra parte, estoes, el angulo .dbf, quedara (por la tereera concepcion.' del primerode Euclides) el angulo .dbh., que resulta igua1 al angulo .dkf. De estose tiene (par la septima proposicion del quinto de Euclides) quela proporcion que tienen cuatro angulos rectos respecto de cadauno de ellos [.dbh. y .dkf] sera la misma, y tal proporcion quee~iste entre cuatro angulos rectos y el angulo .dkf es la que existeentre la eircunferencia del circulo y el area .def..

Entonces (par la segunda del libro V de Euc1ides) la pro-porcion que tendra la circunferencia del cfrculo respecto delarco .def. es aquella que tendran los cuatro angulos rectosrespecto del angulo exterior .dbh.. Este es el proposito.

Proposici6n .I1I1.Si el transito 0 movimiento violento de un cuerpo igualmente

grave se desarrolla por el plano del horizonte, entonces la

C

E II DA

I,'D

G

5. Noci6n comun,

100 Nicolo Tartaglia

parte curva de aquel sera la cuarta parte de la circunferenciaque se deriva del clrculo.

Sea el semidiametro del plano del horizonte la linea .ab., laperpendicular del horizonte la linea .cad., y el recorrido violentode un cuerpo igualmente grave la linea .aef., la parte curva delcual es el arco .ef., y la parte .fg. corresponde al recorrido realizadopor el movimiento natural. Digo que dicha parte curva .ef. es lacuarta parte de la circunferencia que se deriva del circulo.

Esto es porque prolongando el recorrido natural .gf. en di-reccion del sernidiametro del horizonte, de forma tal que concurraCOll aquel en el punto .h., y como el recorrido .fgh. es equidistante[paralelo] (por la primera suposicion de este [segundo libro]) ala perpendicular .cad., entonces el angulo .fha. (por la primeraparte de la vigesima novena del I de Euc\ides) sera igual al angulo.hac., el cual es recto; por consiguiente el angulo .fhb. exterior(por la decimatercera del primero de Euc\ides) sera recto, dondecuatro angulos rectos vienen a ser eI cuadruple de dicho anguloexterior, por 10 que la circunferencia del circulo donde derivala mencionada parte curva .ef. (por la tercera proposicion delquinto), viene a ser el cuadruple del dicho arco .ef.; de esto setiene que dicho arco .ef. viene a ser un cuarto de la circunferenciadel circulo del cual se deriva. Esto es el proposito.

Proposicion .V.Si el transito 0 movimiento violento de un cuerpo igualmente

grave estuviese elevado sobre el horizonte, entonces fa partecurva de aquel [transitu] sera mayor que fa cuarta parte defa circunjerencia que se deriva del circulo, y cuanto mas ele-vado estuviese, tanto mayor sera de fa cuarta parte de dichacircunferencia y, sin embargo, nunca podra !legar a ser famitad de dicha circunjerencia.

Sea la linea .ab. el sernidiametro del plano del horizonte,la linea .cad. la perpendicular al horizonte, y la linea .aef. el

La nueva ciencia 101

K

II

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A~~ ~ __ ~nF

n

G

transito violento de un cuerpo igualmente grave; la parte curvadel [transito] es el arco .ef., y la parte .fg. es el rccorridorealizado por el movimiento natural. Digo que el arco .ef esmayor que la cuarta parte de la circunferencia que se derivadel circulo.

Prolongo el transito natural .fg. y [tam bien ] la parte recta.ae. de manera que concurran en el punto .h.; despues prolongo.th. hasta .k., forrnandose el angulo exterior .ehk .. Y como elangulo .fhe. es igual (por la primera parte de la vigesirna no-vena del primero de Euclides) al angulo .eac., y como el angulo.eac. (poria ultima noci6n del primero de Euc\ides) es menorque un angulo recto, en consecuencia el angulo .ehf. (por sen-tencia cornun) sera menor que un angulo recto, de aqui queel angulo exterior .ehk. (por la trece del primero de Euclides)sera mayor que un angulo recto. Entonces (por la segundaparte de la octava del quinto de EuC\ides) la proporcion quetienen cuatro angulos rectos y el dicho angulo exterior seramenor que cuatro y, en forma sernejante, la proporcion entrela circunferencia del circulo del que se deriva el arco .ef. (porla tercera proposici6n de este segundo libro) y dicho arco seramenor que cuatro. Entonces (por la segunda parte de la decima

III

I

,I


del quinto de Euelides) el arco .ef. sera mayor que la euartaparte de la circunfereneia del cireulo del que se deriva. Estees el primer proposito.

Y cuanto mas se estuviese elevando sobre el horizonte laparte recta .ae., menor angulo genera la linea .ae. con la linea.ae., y por eonsiguiente la linea .eh. con la linea .fh. produceun angulo menor; y entonees el angulo .ehk. constantementese estara incrementando y la proporcion entre los euatro an-gulos rectos y aquel [angulo .ehk.] disrninuira a menos decuatro, y de manera semejante la proporci6n entre la eircun-fereneia del circulo del que se deriva el area .ef., y el men-eionado area .ef., sera eada vez menor que euatro, por 10 quedicho area .ef. (por la dicha segunda parte de la decima delquinto de Euclides) estara creciendo eontinuamente, hasta seruna parte mayor que un cuarto de circunferencia. Este es elsegundo proposito.

Como el angulo exterior .ehk. nunea se puede igualar (porla primera parte de la trigesima segunda del primero de Eu-elides, auxiliada con la 17 del m ismo) ados angulos rectos,entonces la proporcion de cuatro angulos rectos con respectoa dicho angulo exterior nunca puede ser el doble. De aqui sesigue que la proporcion de la circunferencia del circulo delque se deriva cualquier arco que corresponde a la parte curvade un movimiento violento, nunca puede ser el doble de dichoarco 0 parte eurva, y consecuenternente dicho area 0 partecurva nunea podria aleanzar a ser la mitad de la circunferenciaque se deriva del circulo. Este es el tercer proposito.

Proposicion .VI.Si el transito 0 movimiento violento de un cuerpo igualmente

grave fuese oblicuo bajo el horizonte, entonces fa parte curvasera menor que fa cuarta parte de la circunferencia que se


c

BA~=----------------,~~

GD

deriva del circulo, y sera mucho menor cuanto mas oblicuosea rei recorrido].

Sea el semidiarnetro del horizonte la lfnea .ab., la perpen-dicular del horizonte la linea .cad., el transito 0 movimientoviolento de un cuerpo igualmente grave la linea .aef., cuya partecurva del transito es el arco .ef., y la parte .fg. corresponde altransito heeho con movimiento natural. Digo que el men-cionado arco .ef. es menor que la cuarta parte de la circun-ferencia que se deriva del circulo.

Prolongo el transito natural .fg. y tambien la parte recta .ae.de manera que concurran en el punto .h.; despues prolongo.fh. hasta .k., generandose asi el angulo externo .ehk.; y comoel angulo .fhe. es igual (por la primera parte de la proposicion29 del libro I de Euclides) al angulo .eac., ya su vez el angulo.eac. (por la ultima concepcion del libro I de Euclides) esmayor que un angulo recto (es decir, a la parte correspondientedel angulo .bac.), entonces el angulo .ehf. sera mayor queun angulo recto, y el angulo externo .ehk. (por la decimotercera proposicion del libro I de Euclides) sera menor queun angulo recto. Entonces (por la segunda parte de la octavaproposicion dellibro V de Euclides) la proporcion que guardancuatro angulos rectos con respecto al [angulo] externo, sera


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mayor que cuatro, y de igual manera la proporcion entre lacircunferencia que se deriva del circulo, del cual se deriva elareo .ef., y dicho area .ef sera mayor que euatro (por la terceraproposiei6n de este libro), y (por la segunda parte de la decirnaproposici6n del libro V de Euelides) por consiguiente el arco.ef sera menor que la cuarta parte de la circunferencia quese deriva del circulo, 10 cual es el primer prop6sito.

Y cuanto mas bajo estuviese respeeto del horizonte.l' mayorangulo formara la linea .ea. con la linea .ca., y semejantementela linea .fh. con la linea .eh.; en eonsecuencia el angulo externo.ehk. estara disminuyendo. Entonces la proporci6n que existeentre cuatro angulos rectos y aquel [el angulo externo .ehk.]va aumentando a mas del cuadruple y, en forma sernejante,la proporci6n entre la mencionada circunfereneia del circulo(del cual se deriva el arco .ef.) y dicho area .ef., estara aumen-tando mas del cuadruple, por 10 que dieho area .ef. (por lasegunda parte de la decima proposici6n del libro V de Eu-elides) estaria constantemente disminuyendo a una parte menorde un cuarto de la circunfereneia del circulo del que se deriva.Este es el segundo prop6sito.

~ , I

I

Proposici6n .VII.Todos los transitos 0 movimientos violentos de cuerpos

igualmente graves que tengan iguales elevaciones -sean gran-des 0 pequehas- sobre el horizonte, 0 que tengan igual obli-cuidad, 0 que se encuentren en el plano del horizonte, sonsimilares entre ellos, y como consecuencia son proporcionalesy similares las distancias entre ellos.

Sea la linea .ab. el semidiametro del plano del horizonte,la linea .cad. la perpendicular al horizonte; las Iineas .aefg.y .ahik. los transitos de dos cuerpos igualmente graves e igual-mente elevados sobre el horizonte, de los cuales las dos partes

6, EI movimiento violento recto,


o

D G K

.aef y .ahi. son los transitos realizados eon movimientos vio-lentos, y las dos partes .fg. e .ik. son los transitos heehos conmovimientos naturales; las dos seeciones .ae. y .ah. son laspartes rectas, las cuales (por tener aquellas igua\ elevaci6n)forman conjuntamente una sola rectitud, es decir, lIna solalinea, la cual es .aeh ..

Par el punto .a. sea trazada la linea .af., que si se prolonganecesariamente pasara por el punto .i.; esto se debe a quecuando las partes rectas de los transitos 0 movimientos vio-lent~s se)untan, entonces sus distanci~s se tom~ran de n~alleraconjunta (pensar otra cosa resultaria muy inconveniente).Afirmo que el recorrido .aef. (realizado con rnovim iento vio-lento), es semejante al recorrido .aehi. (por el hecho de serrnovimiento violento) y, eonsecuentemente, la distaneia .af. yla distaneia .ai. son proporcionales y semejantes,

Prolongo [ahora] los transitos naturales as! eomo la parterecta .aeh., de manera que se junten en los dos puntos .1. y.m.; as! mismo prolongo los movimientos naturales hasta los

7. Se sumaran.


puntas .n. y .0. (forrnandose los dos angulos exteriores .eln.y .Imo.), y despues trazo las dos cuerdas .ef. y .hi. uniendolos puntos.S Como los dos transitos naturales .gn. y .ko. (parla primera suposicion de este [segundo libro]) son equidistan-tes,9 entonces el angulo .eln. (por la segunda parte de la pro-posicion 29 del libro I de Euclides) sera igual al angulo .Imo.,y se tiene que (porIa segunda parte de la proposicion 7 dellibro 5 de Euclides) cuatro angulos rectos guardaran la mismaproporcion con cada uno de ellos [Ios angulos] y, semejan-ternente, la proporcion entre las circunferencias de cada unode los dos circulos de don de se derivan los dos arcos .ef. y.hi., y los mencionados dos arcos (cada uno con respecto ala suya [la circunferencia]) sera la misma (por la tercera pro-posicion de este [segundo libro]). Par 10 anterior, el arco .ef.viene a ser sernejante al arco .hi .. Y 10 mismo ocurre si secompara la parte .p. con la parte .q., donde en cada uno deellos [Ios arcos] se forman los angulos .epf. y .hqi. respec-tivamente, los cuales (por el reciproco de las dos ultirnas de-finiciones [9 y 10] del libro 3 de Euclides) son iguales entresi. Par 10 anterior, el angulo .fea. (por la 3 I del I de Euclidcs)sera igual al angulo .ihe., donde (par la vigesima octava delI de Euclides) la cuerda .ef. sera equidistante de la cuerda .ih.,y por tal razon el angulo .efa. sera igual (poria segunda partede la proposicion vigesima novena del primer libro de Eu-cl ides) al angulo .fih .. Entonces el triangulo .aef. sera equian-gulo [semejante] con el triangulo .ahi. y por 10 tanto semejante.De aqui que la proporci6n entre la parte recta .ae. con respectoa la parte recta .ah., es igual a la que guarda la cuerda .ef. conrespecto a la cuerda .hi., y entre la distancia .af. con respectoa la distancia .ai., y entre el arco .ef. y el arco .hi., 10 cuales el prop6sito.

8. Uno donde terrnina el movimiento recto y cl otro dondc inicia cl movimiento.naturalde la curva.9. Paralelos.

La nueva cicncia 107

Par los mismos procedimientos se demostrara la similitudentre los transitos 0 movimientos violentos que fuesen igual-mente oblicuos por debajo del horizontc, 0 sobre el plano delhorizonte. Esto se debe a que los dos angulos exteriores seransiempre iguales, y los arcos 0 partes curvas de aquellos [Ios tran-sitos] seran siempre semejantes, debido a que las partes extraidasde la circunferencia del circulo son semejantes, y deduciendocomo se hizo anteriormente se probara que la proporci6n entrela parte recta de uno respecto de la parte recta del otro es iguala [la proporcion] entre la distancia de uno respecto de la dis-tancia del otro, e igualrnente sucede con los respectivos arcos, Ytornando la proporcionalidad permutada se demostrara que la pro-porcion entre la parte recta con respecto a la distancia que cubrela parte curva [de uno de los transitos], es igual a [Ia proporcion]de la parte recta con respecto a la distancia que cubre la partecurva [del otro recorrido], 10 cual era el proposito.

Proposicion .VIII.Si una misma potcncia movilizadora proyectara 0 Ianzara

violentamente al aire cuerpos igualmente graves, similares eiguales, aquel que realice su transito a 45 grados sobre elhorizonte producird tambien un efecto mas lejano, [ntedido]desde su inicio sobre el plano del horizonte, que como 10 pro-duciria lanzado con eualquier otra elevacion.

Para demostrar esta proposici6n utilizaremos una argumen-taci6n natural que es la siguiente: aquella cosa [0 incognita]que transita entre un minima y un maximo, asi como por todo10 interrnedio [entre ambos extremos], necesariamente transitapor la igualdad 0 por cualquier otro punto. Donde ocurre queal encontrar el maximo y tambien el rninimo de cualquier co sasucede que tambien se encuentra la igualdad. Cierto es queestas argumentaciones no son validas ni aceptadas ni conce-bidas por el geornetra, como con toda claridad 10 demuestra

':,'.j,


el comentador al referirse a la decimoquinta proPOSIClO11del3 de Euclides, y tambien a la trigesima del mismo [Iibro]. Sinembargo sucede que tales conclusiones se verifican en las cosas[inc6gnitas] que son realmente univocas, pero en aquellas en lasque existen ambiguedades Ilega a suceder que son falsas; porejemplo, si se dijese que se encuentra una porci6n de circulocuyo angulo construido en el arco es menor que un angulorecto, y que [en este caso] esta es la porci6n mayor que elsemicirculo (por la mencionada tr igesima del tercero de Eu-cl ides); Io de igual manera, si se encuentra otra [porci6n] quecorresponda a un angulo mayor que el recto (y esta es unaporci6n menor que el semicirculo) (por la susodicha trigesimadel 3 de Euclides), entonces seria posible por la susodicha ar-gumentaci6n encontrar una [porci6n] que corresponderia alsusodicho angulo igual a un angulo recto. Afirmo que en estecaso esta proposici6n 0 argumentaci6n no seria falsa, es decir,es posible encontrar una secci6n de circulo en el que el anguloconstituido sobre el arco [sea] igual a un angulo recto, y esto sucedeporque no existe ninguna ambiguedad respecto de los angulos.

Pero si se dijese que se encuentra una secci6n de circulocon el angulo [correspondiente a] dicha porci6n menor queun angulo recto (y esta es la porci6n menor del sernicirculo)(por la ya mencionada trigesima del 3 de Euclides); igualmente,si se encontrase con otra [porci6n] cuyo angulo fuera mayorque el angulo recto (y este es la porci6n mayor del semicirculo)(por la susodicha trigesirna del 3 [de Euclides]), entonces (conbase en susodicha argumentaci6n) seria posible encontrar una[porci6n] cuyo angulo fuese igual al angulo recto. Afirmo queen este caso la proposici6n 0 argumentaci6n seria falsa, yaque el angulo de la porcion de circulo no es realmente univococon el angulo recto, ya que el angulo recto esta contenido entredos Iineas rectas, y el angulo de la porci6n esta contenido entreuna linea recta y una curva, es decir, entre la cuerda y el arco

10. En nuestro apendice aparcce como la Proposicion XXXI.


de ella. A pesar de ello digo que esta proposici6n 0 argurnen-taci6n, la cual es cierta, se verifica siempre en el nivel de lossentidos y en el del intelecto en aquella cualidad intermediaentre aquellas dos diversidades 0 cualidades contrarias, esdecir, entre la porci6n menor y la porci6n mayor del semicir-culo; tal cualidad media corresponde propiamente al sernicir-culo (como se demuestra mediante la trigesima del 3 de Euclides),pero aquella que falsea siempre se veri fica en cuanto al sentido,pero en los susodichos terminos 0 cualidades medias, es decir,en el semicirculo, porque en su falsedad no esta al alcance dealgun sentido que sea apto para conocerlo en [forma] material,sino que solamente es captado por el intelecto, y que 61 sea elque verdaderamente sepa que el angulo contenido entre la cuerday el arco del semicirculo esta tan cercano al angulo recto queno Ie es posible forrnar un angulo agudo de lineas rectas quesea mas cercano al angulo recto que el, ni tam poco tan cercanocomo el (como se prueba en la 15 del 3 de Eucl ides), 11 de dondese sigue que tales proporciones 0 argumentaciones siempre severifican. En cuanto al sentido que se otorga a los tenninos 0

cualidades medias que se encuentran entre dos cualidades conpropiedades contrarias 0 efectos [contrarios], este consiste en que

.. . I d 12partrcipan igua mente e cada una de ellas. Y para no quedarcon un s610 ejemplo tomernos otro.

II. En nuestro apendice es la proposicion XVI.12. Estc razonamicnto sc cnticnde mejor atendiendo a la aclaracion que sabre la I'f()-posici6n XXXI haec R. Simpson en su cdicion de 1827 de los Elementos. Despucs deocuparsc de dicha proposici6n cementa:... es manitiesto que la circunfcrcncia del Fsegmento mayor ABC qucda fuera del an-gulo recto CAB; pcro la circunfcrcncia delscgmcnto rncnor ADC cac dentro del an-gulo recto CAF. "Y csto cs todo 10 quequi so deeir cuando en cl texto en gricgocomo en sus traducciones se dice que el an- B Cgulo del segmcnto mayor es mayor y queel angulo del segrncnto mcnor es menor queun angulo recto".


Con el continuo girar del Sol a traves del zodiaco, algunasveces los dias seran mayores que las noches, y algunas otrasseran menores [que los dias]. De dichas suposiciones 0 argu-mentaciones se sigue que en algun tiempo 0 lugar debiesenocurrir dias iguales alas neches; tal suceso sera verdad si du-rante ese ticmpo se verifica ante los sentidos y el intelecto;o en el lugar entre Ios dos tiempos 0 entre los lugares maxi-mamente contrarios para tales efectos (de los dos lugares men-cionados que son maxirnamente contrarios uno esta en elprimer grado de Cancer y el otro esta en el primer grado deCapricornio, y cuando el Sol entra en el primer grado deCancer da lugar al dia mas largo en comparaci6n con la nocheque en ningun otro lugar 0 tiempo, y cuando entra en el primergrado de Capricornio da lugar al dia mas corto, en comparaci6ncon la noche, que en ningun otro lugar. Pero el punto medioentre estes dos extremos con efecto contrario serla, para uno,cl primer grado de Aries, y para otro el primer grado de Li-

n· Ii I " f tibra) ." Pero SI en este caso c IC HI argumentacron uera menura,cntonces digo que similarmcntc se verificara tambien (encuanto al senti do) en los mencionados lugares medios, comocontinuamente veremos, ya que cuando el Sol entra en uno delos dos mencionados lugares el dia se igualara con la noche, ysi no es perfectamente igual (10 dernuestra), de cualquier manera(cl rcverendo Cardenal senor Pietro de Aliaco en la sexta cuestionde la Esfera de Sacro Bosco) tal diferencia es insensible.

Regresando ahora a nuestro proposito, evidentemente sabe-mos que si un cuerpo igualrnente grave fuera lanzado 0 tiradoviolentamente por el plano del horizonte ira a terminar sumovimiento violento mas abajo del horizonte que con cualquierotra elevaci6n, pero si 10 fuesemos elevando lentamente sobre elplano del horizonte, entonces estaria terminando su movim ientoviolento por debajo del horizonte, pero continuando tal ele-

13. Para cstc cjcmplo sc inspir6 en cl Libra 2 De los circulos Y SIiS nombres dela Esfera de Sacrobosco [Thorndike, Sphere, 126].

La nueva ciencia III

vaci6n evidentemente sabemos que en un tiempo terminara so-bre dicho horizonte, y cuanto mas se fuese elevando, tantomas \ejos terrninaria (es decir, mas lejano de dicho horizonte),y finalmente acercandose a la perpendicular sobre el horizonte(es decir, su movimiento 0 transito es recto sobre el horizonte)terrninara mas alto 0 mas lejos sobre dicho plano del horizonteque elevado de cualquier otro modo. Se sigue por las propos i-ciones 0 argumentaciones anteriores, que sea una elevacioncondicionada que debiese terminar precisamente en el propioplano del horizonte, dicha argumentaci6n sera verdad si se veri-fica realmente por los sentidos y tambien por el intelecto paraaquella elevaci6n que es la media entre las dos rnaximamentecontrarias en su termino (es decir, entre aquella que csta ellel plano del horizonte y aquella que es recta sobre el horizonte,porque en una ira a terminar dicho cuerpo con movimientoviolento mas abajo y en la otra por encirna del horizonte quecon cualquier otra elevacion, y esta elevacion intermedia ocurrccuando el transito 0 movimiento violento de un cuerpo igual-mente grave es elevado a 45 grados sobre el horizonte (es dccir,cuando la parte recta de aquel [el transito] divide al angulorecto hccho entre la perpendicular al horizonte y elsemidiametro del horizonte en dos partes iguales), pero si larnencionada argumentaci6n fuese mentira (por el adversariogeometrico) tarnbien se verificara (en cuanto al sentido) en ladicha elevacion media, es decir, a los 45 grados sobre el hori-zonte. Si el cuerpo fuese entonces lanzado 0 tirado de tal formaque realice su recorrido elevado a 45 grados sobre el horizonteterminara su movimiento violento en el mismo plano del hori-zonte, y el efecto que tendra sobre dicho plano sera el maslejano, rnedido desde su principio (por la cuarta suposicion),que pueda lograr sobre el plano del horizonte, [mas lejano]que en cualquier otro modo que fuese elevado, 0 lanzado 0

tirado con la misma potencia, demostrar 10 cual es el prop6sito


CorolarioDe esta proposicion y de la ultima del primero [libro an-

terior], se manifiesta que en el curso del movimiento violentoelevado a 45 grados sobre el horizonle cualquier cuerpo igual-mente grave provocara un menor efecto sobre el plano delhorizonte que con cualquier otra elevacion.

Proposicion .IX.Sea la misma potencia movilizadora la que proyecta 0 lanza

dos cuerpos igualmente graves, similares e iguales, uno ele-vado a 45 grades sobre el horizonte, y el otro [transitando]por el plano del horizonte. La parte recta del transito deaquel que estuviese elevado a 45 grados sobre el horizontecorresponderd aproximadamente a cuatro \eces la parte rectadel otro.

Para demostrar esta proposicron daremos por un hechoaquello que en un principio queriamos encontrar, es decir, quela distancia del transito 0 movimiento violento elevado a 45grades sobre el horizonte es aproximadamente diez veces elrecorrido recto hecho sobre el plano del horizonte [del otrocuerpo], 10 cual el vulgo conoce como lanzar de ponto in bianco.Tal proporci6n se vera en el cuarto libro,14 donde se dara ennumeros el orden y la proporci6n de crecimiento y decrecimientode tiros realizados por toda suerte de maquinas.

Sea entonces la linea .ab. el semidiametro del horizonte,y la linea .cad. la perpendicular a dicho horizonte, la linea.aefg. el transito de un cuerpo igualmente grave a traves delplano del horizonte, la linea .ae. es la parte recta del transito,la linea .ef. es la parte curva y la linea .fg. es el transitoo movimiento natural. E1 recorrido de otro cuerpo semejantee igual al primero y lanzado con la misma potencia movi-

14. Este cuarto libro nunca fuc escrito.


c L

B

D GI(

lizadora, pero con una elevaci6n de 45 grados sobre el hori-zonte, es la linea .ahik., cuya parte recta es la linea .ah., yla [parte] curva la linea .hi.; el recorrido con movimiento natu-ral es la linea .ik. y la distancia es la linea .aei., misma queesta sobre el semidiametro del horizonte. Digo que la parterecta .ah. es aproximadamente cuatro veces la parte recta .ae ..

Esto es, ya que prolongo el recorrido natural .ik. asi comola parte recta .ah., de tal forma que concurran en el punto .1.,y como el semidiametro .ab. corta ortogonalmente el recorridonatural .ik. en el punto .i. (por la decima octava proposici6n


del libro HI de Euclides),15 entonces aquel pasa por el centrodel circulo del que se deriva la parte curva .hi .. Ahora se toma(por la proposici6n 24 del libro III de Euclidesj" el men-cionado circulo .himn. del que se deriva la dicha parte curva.hi., y desde el punto .a, (por la proposici6n dieciseis del libroIII de Euclides)17 trazo una linea que toea a dicho circulo,y la Ilamo .am.; esta la prolongo a fin de que concurra conel recorrido natural .ik. en el punto .0., con 10 que quedaraformado el triangulo .alo .. Desde los dos puntos .h. y .m. trazohacia el centro del circulo (sea .p.) las dos lineas .hp. y .mp.,Ias cuales seran iguales entre ellas (por la definicion de circulodada por Euclides en el libro I). De igual manera la linea .ah.(por la proposici6n 35 del libro III de Euclides) 18 sera iguala la linea .arn., y el angulo .pha. sera igual al angulo .pma ..Esto se debe a que tanto el uno como el otro son rectos (porla proposicion 17 del libro III de Euclides); 19 tarnbicn se tieneque la base .ap. es comun a uno y otro de los dos triangulos.ahp. y .amp., [por las caracteristicas de la construcci6nJcntonces (por la proposici6n 8 del libro I de Euciides)dichos triangulos seran equiangulcs, y como el angu lo.hap. es la mitad de un angu lo recto (par ser la mitaddel angulo .cap. supuesto) entonces el angulo .aph. (porla segunda parte de la proposicion 32 dellibro I de Euclides)tambien sera la mitad de un angulo recto. Enseguida se tieneque el angulo .map. del otro triangulo sera tambien la mitadde un angulo recto, y en consecuencia todo el angulo .ham.del triangulo .alo. sera recto. Como el angulo .alo. es la mi-tad de un angulo recto, debido a que es igual al angulo al-terno .lac. (por la proposicion 29 del libro I de Euclides),entonces (por la segunda parte de la proposici6n 32 del libro

15. En nuestro apendice es la proposici6n XIX.16. idem, proposici6n XXV.17. idem, proposici6n XVII.18. idem, proposici6n XXXVI.19. idem, proposici6n XVIII.


I de Euclides) el otro angulo .loa. es tarnbien la mitad deun angulo recto, de aqui se tiene (par la proposici6n 6 dellibro I de Euclides) que eI lado .al. sera igual al lado .ao.,10 que implica que el triangulo .alo, es la mitad de un cuadrado,y la distancia .ai. resulta ser la perpendicular del mencionadotriangulo .alo., que a su vez es igual a la mitad de la base.10., es decir, a .li., y como la mencionada distancia .ai. essupuestarnente decupla de la recta .ea., es decir, [.ai. es]diez veces la recta .ae., entonces el area del tr iangulo .alo.(por la cuadragesima primera proposicion del libro I de Eu-elides) vendria a ser 100, es decir 100 quadrados [cuyo ladoes] la recta .ae. (la cual en este momento adoptamos comomedida de 10 que se ha dicho), y el lado .al. seria la raizcuadrada de 200 (por la penultima proposicion [Ia 47] dellibro I de Euclides) e igualrnente con el otro lado .ao .. Ahora,para conocer con numeros la cantidad [de la longitud] dela recta .ah., primeramente se trazan desde e! centro .p. lasdos Iineas .pl. y .po., y procediendo par algebra suponemos

I .di , d 1 ' 1 20·que e sernr iametro e CHCU 0 es una cosa, y dichosem idiarnetro es la perpendicular del triangulo .plo. (conbase .10.), e igualmente 10 es del triangulo .ap!. (con base.al.), y entonces tambien 10 es del triangulo .apo. (con base.ao.); las mencionadas perpendiculares son .pi., .ph. y .pm ..Acto seguido encontrarernos el area de cada uno de los men-cionados tres triangulos, (utilizando la regIa) rnultiplicandola perpendicular por la mitad de la base, 0 la mitad de laperpendicular por toda la base, donde multiplicando .pi. (quese supone es una cosa) por la mitad de .10., que es 10, dara10 veces la cosa para el area del triangulo .plo., la cual pon-dremos de lado por un mornento; despues multiplicaremosla perpendicular .ph. (que es tambien una cosa) por la mitadde .al. que sera la raiz de 50, de 10 que se obtiene que la

20. Cosa cs cl nombre que 105 algebristas del Renacimiento daban a 10 que hoy lIa-mamos la incognita.


raiz de 50 censi'' I corresponde al area del triangulo .apl., re-sultado que dejaremos de lado junto con el previamente ob-tenido. Despues encontraremos de manera semejante el areadel otro triangulo .apo. la cual sera tambien la raiz de 50 censi,igual que como ocurri6 previamente (debido a que las basesson iguales, es decir, en cada uno es raiz de 200). Ahora su-maremos las tres areas, obteniendo que la suma es raiz de 200censi mas diez veces la cosa, y esta suma sera igual al areade todo el triangulo .alo., la cual es 100;22 ahora, elevandola raiz de 29023 censi, restando las partes y simpl ificando los

24 • 20 . I[coeficientes del] censo tendremos un censo mas cose iguaa 100,25 Y siguiendo el capitulo encontramos que la cosa valeraiz de 200 menos 10, [cantidad] que es el semidiametro del cir-culo, es decir, de la linea .ph. 0 .pi. 0 .pm., y como la linea.ah. es igual a la linea .hp. (como fue demostrado) se sigue en-tonces que la mencionada linea .ah. es la raiz de 200 menos 10,cuyo residuo cs aproximadamente el de 4 117. De esto [se tiene]que la recta .ah. vend ria a ser aproximadamente 4 veees y unseptimo de la recta .ae., 10 eual es el prop6sito.

CorolarioDe esto se manifiesta que cualquier cuerpo igualmente

grave, proyectado 0 tirado violentamente al aire por unamisma potencia [movilizadoraJ, cuanto mas recorra en linearecta mayor sera el efecto que produzca.

Fin del segundo libro

21. Censi es la palabra utilizada para referirse al cuadrado de la cosa, es dccir, x2Por clio raiz de 50 censi significa ~, es decir, {SOx.

22. -v220x' -I- lOx = 100.23. Debe de ser 200.

24. (~)2=(100-IOxl

25. x2+20x= 100.

Inicia el tercer libro de La NuevaCiencia de Nicolo Tartaglia

Bresciano

Definicion. PrimeraHorizonte (en esta ocasion) se considera es el plano circular

que divide (no solamente) al hemisferio inferior del superior,sino tambien al ojo que observa alguna cosa visible, en dospartes iguales y es concentrico con aquel.

Definicion .11.Se llama plano perfecto a cualquier espacio terraceo que se

encuentra 0 se extiende manteniendo la misma distancia respectodel plano del horizonte, por debajo de dicho horizonte.

Definicion .111.La altura de las cosas visibles es fa perpendicular obser-

vada desde el vertice de cada una de ellas hasta fa base 0

plano terraceo donde ellas reposan.

Definicion .IIII.Distancia hipotenusal 0 diametral es aquella que se mide

en linea recta desde el ojo que observa hasta el vertice decualquier altura visible.


Definicion .V.Distancia horizontal es aquilla que se mide en linea recta

desde el ojo que observa hasta alguna cosa que aparece enel plano del horizonte.

Proposicion. Primera,Deseo certificar en concreto si una Regla" (el instrumento

u objeto) material que se utiliza para trazar lineas rectas esexacta.

Sea dada una Regia .a.2 que deseo certificar si es exacta(adecuadaj ' para trazar 0 dibujar artificialmente Iineas rectasen cualquier superficie plana. Marco dos puntos .b. y .c., tanpequefios como sea posible y tan separados uno del otro comoaproximadamente sea la longitud de la Regia dada, comoaparece en el primer ejemplo. Luego acomodo 0 ajusto dichaRegia con los dos puntos dados, colocando el cuerpo de dicha

B YlUMO ESSEMPIO C. •

B ,1.°, I.SHMP[O I C• f A iCI

B ,3', :ESSI:MPIO C.- f A :----3B

fI,4, .ESSE.MPIO C

I. Se define al instrumento u objeto que sc usa para mcdir. La palabra italiana esRegola y Rega.

2. En el original usa en el texto una 'a' y en el diagrama una A. Igual ocurrc conlas demas lctras que sc utilizan en los diagramas.3. Si satisface los criterios de adccuaci6n para responder a su uso.


Regia frente a mi como se ve en el segundo ejemplo; enseguidatrazo con ligereza una sutilisima 4 linea del punto .a. al punto.b., siguiendo la posicion de la Regia. Hecho esto doy vueltaa la RegIa y ahora me ocupo del otro costado de la lineatrazada, ajustandola con cuidado a los dos puntos marcados,como se muestra en el tercer ejemplo, y trazo con ligerezaotra linea sutilisima del punto .a. al punto .b. Realizado estolevanto la susodicha Regla y observo con cuidado si la lineatrazada en esta segunda ocasion coincide perfectamente conla trazada previamente cuando es colocada sobre esta es decir, ,que esta y aquella sean iguales, y siendo asi las cosas digoque dicha Regia es exactisima,

Pero si al ser colocadas una encima de la otra, la lineatrazada en la segunda ocasi6n no coincide perfectamente conla trazada previamente, es decir, que entre una y otra existaalgun espacio, como ocurre en el cuarto ejemplo, entonces digoque dicha Regia no es exacta en modo alguno, y que las Iineastrazadas segun la disposicion de aquella [Ia RegIa] no son rec-tas, ya que dos Iineas rectas no pueden admitir entre ellas unasuperficie (por el ultimo PostuJado del Primer libro de Eu-clides'), 10 cual es el caso .

Proposicion .11.Deseo certificar en concreto si una escuadra material

propuesta es exacta.Sea la susodicha escuadra .a.. Digo que deseo certificar si

esta es exacta y si los angulos definidos segun su disposicion[0 diseiio] son perfectamente rectos. Sigo este procedimiento:dibujo el angulo .bcd. segun la disposici6n de la susodichaescuadra. Luego llSO un compas y tomo como centro el punto.c. y sobre 61describo el circulo .efg. mas grande que sea posi-

4. Dclgada.5. En rcalidad cs el axioma X.


ble pero evitando que se pase mas alia de las dos Iineas .cb.y .ed., de manera que corte a cada una de ellas en los dospuntos .ef.. Heeho esto tomo mi compas y con euidado observosi el area .e. y .f. es precisamente la euarta parte de la cir-cunferencia de todo el susodicho circulo, y si este es el caso,digo que dicho angulo en .c. es perfectamente recto (por laproposicion .2. del .2. [de Euelides]) y por consiguiente quela escuadra .a. es exacta (por la oetava Nocion comun delPrimer libro de Euelides). Pero si el susodicho area .fe. fueramayor 0 menor que la euarta parte de la eircunfereneia de diehocireulo, dire que el angulo .e. no es de manera alguna rectoy por ende que la susodieha escuadra .a. no es exacta.

B

Proposici6n .I1I.Deseo certificar en concreto de otra manera (para estar

mas seguro) si fa escuadra dada es exacta [recta}.Sea la escuadra dada .a.. Digo que para tener mayor seguri-

dad deseo certifiear de otra manera si aquella es exaeta. [Paraello] Dibujo el angulo .bed. segun la disposicion de ella; des-pues trazo del punto .b. al punto .d. la linea .bd., y a esta ladivido en dos partes iguales con el punto .e. Hago centro en elpunto .e. y alrededor de el dibujo un semicirculo atendiendo

La nueva ciencia

B

a la cantidad6 de la linea .eb. 0 .ed., cualquiera que sea .bfgd..Hecho esto observo euidadosamente si la susodieha circunferen-cia .bfgd. pasa por el punto .c., y si asf ocurriera dire quedicho. angulo en .e. (por la proposicion .30. [31 en el apendice]del tercer libro de Euelides) es perfectamente recto y por eon-siguiente que la eseuadra .a. en euesti6n es exaeta. Pero sila cireunferencia se pasara 0 no alcanzara, aunque fuera porpoco, al susodicho punto .e., dire claramente que de ningunamanera el angulo en .e. es recto, y que por 10 tanto la escuadra.a. no es exacta, que es el prop6sito.

Proposicion .IIII.Una vez mas deseo de una otra manera certificar en con-

creto que fa escuadra dada es exacta.Sea la escuadra dada .a.. Digo una vez mas (para tener

mayor seguridad) que deseo verificar de una otra manera siesta es exacta. Trazo [para ello] el angulo .bcd. segun la colo-cacion de aquella [Ia escuadra]. Realizado esto tomo mi corn-pas, 10 abro de manera que su apertura pueda tener eabidaaproximadamente tres veces en la linea .cd., y con base enesta apertura marco las tres partes .eef. y .fg., y ocupando lamisma apertura de com pas marco en la otra linea .eb. las euatropartes 0 medidas .eh.hi.ik.kI.. A continuacion, donde el punto

6. Longitud.

121


c

KL/B

D

.1.al punto .g., trazo la linea .lg. y acto seguido y con cuidadoobserve si la susodicha linea .lg. consiste precisarnente decinco rncdidas 0 aperturas de mi cornpas, Si tal co sa ocurredire que el susodicho angulo .c. (por la ultima proposici6n [Ia481 del primer libro de Euclides) es perfectamente recto y quepor consiguiente la escuadra .a. es exacta. Pero si la men-cionada linea .lg. fuera mas larga 0 mas corta que cinco aper-turns dc mi compas, dire que cl susodicho angulo .c, no csde manera alguna recto, y que como consecuencia la escuacira.a. no es exacta, 10 cual cs el prop6sito.

Proposicion .V.Deseo certificar en concreto si un cuadrangulo equilatero

dado es un cuadrado perfecto.Sea cl cuadrangulo equilatero .abcd., es decir, [un cuadran-

glllo] cuyos cuatro lados .ab.bc.cd. y .da. son iguales. lnformo


que deseo certificar si dicho cuadrangulo es un cuadrado per-fecto. [Para ello] Trazo en 61 los dos diametros .ac. y .bd.,los cuales se intersectan en el punto .e .. A continuaci6n tomomi cornpas, y haciendo del punto .e. el centro, trazo un cfrculocon base en la cantidad .ea. 0 .eb. Acto seguido, y con cui-dado, observo si la circunferencia de dicho cfrculo pasa pre-cisamente por las cuatro esquinas de los cuatro angulos .abcd.de dicho cuadrangulo, y si la mencionada circunferencia pasapunto por punta por las susodichas esquinas, dire que talcuadrangulo (porIa proposici6n .30. [31 en el apendice] del tercerlibro de Euclides) es un rectangulo y por consiguiente uncuadrado perfecto. Pero si ocurriera que dicha circunferencia nopasara punto por punto por las cuatro esquinas en cuestion,digo 'que el susodicho cuadrangulo no es de manera algunaun rectangulo, y por consiguiente no es un cuadrado perfecto,10 cual es el prop6sito.

Proposicion .VI.Deseo fabricar un instrumento que me sirva para nivelar

un plano, y tambien para conocerlo en cuanto al aspecto, al-tura, anchura, profundidad, distancia hipotenusal y horizontalde las cosas visibles, y que tambien 10 pueda acomodar confacilidad para investigar la variedad de disparos de cada piezade artilleria e igualmente de cada mortero.

Tomo una lamina de algun metal que sea muy plana y queposea un buen grosor, 0 una tablilla de alguna madera firrney bien seca, con al men os un dedo de grosor. Con una regiay una escuadra extraigo de dicha lamina 0 tablilla una escuadrasimilar a la infrascrita .abc.def. que tiene encerrado un cuadroperfectisimo semejante al cuadro .eghi., y de este se pega unaorilla al recuadro, y cerca de los dos lados .gh. y .hi. trazotres lineas separadas una de la otra pOI' [el equivalente a] un

7. Can radio .ca ..

124 Nicolo TartagliaLa nueva ciencia

A B se Ie dice segundo punto de la sobra lateral, y razonando deigual manera se continua con las otras divisiones. Para COI11-

pletar nuestro instrumento se colocan, sobre la pata .bc. doslaminillas perforadas .mn., de modo que los dos agujerosqueden alineados!O y equidistantes del plano .bc .. Los suso-dichos agujeros son perforaciones pequefias que apenas dejanpasar el rayo visual mediante el cual se puede ver la totalidadde las cosas visibles. Luego se fija perpendicularmente en elpunto .e. un punzon de hierro, yael se Ie cuelga el per-pendiculo, 0 plomada .eo., y con ello queda terminado eI instru-mento, 10 cual era el proposito,

Correcciones del autorEll adelante, si cada co sa que ya ha sido hecha se Ie quisiera

hacer [de nuevo], mucho mejor se haria, y por consiguientedigo que en lugar de esas dos laminillas perforadas, .m. y .n.,mucho mas rapido sera y servira si sc hace un canalito conuna plomadita a fin de que, hecho esto, por la parte inferiorde la pata .fb. pase en linea recta del punto .f. al punto .p ..Y esto se debe realizar antes de que se haya fijado la susodichapata .fb. sobre el cuadrado .ghie .. Despues de hacer el ya men-cionado canalito hay que fijar la pata en su lugar, y luegoen la pata .if. se pega una cintilla del gada hecha de la mismamadera; esto con el fin de cubrir la parte del canalito que estaraahi y que vendra a pasar en linea recta en direccion del centro[de la tierra].!! Y ahi donde va colgado el perpendiculo 0

plomada servira de manera mucho mas cxacta en nuestrasoperaciones de como 10 haran las dos laminillas rnencionadas,como se dijo arriba, y mas aun cuando hace falta transportarel instrumento de un sitio a otro, como ocurre en la decimaproposicion de este [Iibro]. Todavia haec falta sefialar que si

dedo grueso, y casi equidistantes a los ya mencionados lados.gh. y .hi.; y a cada una de aquellas que estan cercanas a losdos lados .hg. y .hi. las divido en .12. partes igualcs y, desdecl angulo en .e., trazo hacia cada una de las susodichas .12.y .12. divisiones 0 puntos las lineas que dividen los espaciosque encierran las tres, y tresS lineas equidistantes de los doslados .gh. y .hi. en .12. espacios iguales. Con esto quedaraterminada la figura gnornica .khl., dividida en .12. y .12. partesiguales, figura que los antiguos lIamaban escala altimetrica.

La pendiente hI es conocida como sombra recta [ombra. . . 9recta] y la pendicnte .hk. como sombra lateral [ombra versa],y \a linea .be. (es decir, el diametro del cuadro) es lIamadasombra media [imea de I'ombra media]. La division .1. de lasombra recta se llama primer punto de la sombra recta, la di-vision .2. el segundo punta, y de igual manera se prosiguerecorriendo las dernas divisiones de la sombra recta. En formasimilar, a la primera division de la sombra lateral se Ie diceprimer punto de la sombra lateral, y asi a la segunda division

8. Las tres horizontalcs y las tres vcrticales.9. En cl original la palabra que se utiliza remite a la direcci6n en que cae algo quese dcrrama 0 vierte. Lo vertical remite a In misma idea y raiz.

10. Lo largo de la vertical,II. De la tierra.

125


se quiere fabricar esta escuadra con madera se debe hacer conmadera de cipres, la cual resulta mas adecuada pues he en-contrado que no muestra cambios sensibles ni por humedadni por separaci6n. Luego se debe marcar la escuadra en papelpara despues ser fijado sobre la de madera.

Adernas de esto hace falta resaltar que tanto mas grandese fabrique este instrumento, tanto mas facil sera construirlocon exactitud. Y ciertamente el cuadrado .ghie. no deberia serde menos de un palmo por lado, de manera que cada uno delos ya mencionados .12. y .12. puntos de la sombra recta yde la lateral [respectivamente] se pudieran dividir en otras .12.y .12. partes segun el mismo procedimiento [seguido pre-cisamente], y estas partes se llamarian minutos, de manera queel susodicho cuadro vendria a tener .144. minutos por cinti IIa,los cuales seran de mucho mayor utilidad y finura que comoresultaria con solamente las primeras .12. divisiones.

Proposicion, VII.. I ., 12 b ., tDeseo ntve ar un espacto terraceo y sa er SI ese es un

plano perfecto.Sea la linea .ab. la porci6n de terreno. Digo que deseo nivelar

dicho espacio y certificar si es un plano perfecto. Para ello 10-calizo un punto sobre cualquier cosa elevada perpendicularmentesobre el plano del horizonte, y sea este el punto .c.. A con-tinuaci6n tomo mi instrumento y 10 coloco 0 asiento de suerteque quede fijo sabre cualquier cosa que 10 estabilice, en formatal que la perpendicular .eo. caiga precisamente sobre el lado.eg. del cuadrado [del instrumento que aparece en la proposici6n.VI.], es decir, sobre la linea .egd., y despues 10 alzo 0 10 bajode manera que por las perforaciones .mn. se .vea el punto .c..Realizado esto mido con cuidado [cuanto mide] desde mi ojo,o desde la perforaci6n .n., la perpendicular a la tierra (esto es,

12. Porcion de terrcno.


cuanto mide la linea .na.), y de igual manera mido cuanto esdesde el punto .c., perpendicularmente, hasta la tierra (es decir,cuanto mide la linea .cb.), y si encuentro que la mencionadalinea .cb. es igual a la linea .na., y que el susodicho planose extiende desde el lado derecho y desde el izquierdo segunla posici6n de la linea .ab., dire que el susodicho plano .ab. seraun plano perfecto, ya que la linea .ab. que pasase por aquel (parla trigesima tercera proposici6n del primer libro de Euclides)sera equidistante a la linea .nc. que pasa por el plano del hori-zonte, y por consiguiente el plano en cuesti6n por donde pasela linea .ab. sera equidistante (por la decimocuarta proposici6ndel libro .II. de Euclides) al plano del horizonte. Pero si la linea.cb. resulta mayor que la linea .na., dire que la susodicha porci6nde terreno sera mas baja en la direcci6n de .b. que en la de.a., y por 10 contrario, si la linea .cb. resulta menor que lalinea .na., dire que la susodicha porci6n de terre no sera masalta hacia .b. que hacia .a., y con el mismo orden procederehacia el lado derecho y hacia el izquierdo, deseando certificarsi alrededor del circulo se extiende segun 10 que correspondea la linea .ab., 10 cual es el proposito.


Proposicion .VIII.Deseo investigar fa altura de una cosa visible, a la cual

se puede [uno] acercar al nivel de fa base, y al mismo tiempodeseo conocer fa distancia a 10 largo de la hipotenusa 0

diametro de tal altura.Sea la altura .ab. de la cosa visible .a., elevada y fija sobre

la porci6n de terreno .bd., de manera que se pueda observarla base (es decir, el punto .b.). Digo que deseo investigar lasusodicha altura .ab. y que al mismo tiempo deseo conocerla distancia hipotenusal 0 diametro de tal altura. Tomo m iinstrumento y 10 fijo sobre alguna cosa estable, nivelo el plano.bd. y veo si es un plano perfecto (procedo como se hizo an-teriormente), y si resulta ser un plano perfecto escojo un puntoen el objeto visible, tal como 10 seria el vert ice .a., y buscoobservarlo por los dos agujeros .nm. de mi instrumento y memuevo hacia arras y hacia adelante hasta que el perpendiculocaiga sobre la linea de la sombra media, es decir, sobre eldiarnetro del cuadro como mas adelante aparece en la figura.Hecho esto, mido el espacio que se encuentra entre el puntodonde cae la perpendicular desde mi ojo hasta la base de talaltura (es decir, cuanto es desde el punto .c. hasta el punto.b.). A dicha cantidad Ie aiiado la perpendicular que va desdemi ojo hasta la tierra (a saber, la cantidad .ec.) y tanto cuantosea esta suma tanto mas sera la altura .ab .. Por ejemplo, siel espacio fuese de .353. pasos, y que de mi ojo hasta la tierra(es decir, el punto .e. al punto .c.) fuesen dos pasos, concluiriaque la altura .ab. seria de .355. pasos. Porque desde mi ojo(desde el punto .e.) extiendo la linea .ef. equidistante del planoo linea .cb., y prolongo el perpendiculo de mi instrumento 10suficiente para que concurra con la linea visual .ea. en el punto.h., y de igual manera extiendo el lado de la sombra recta,es decir, la linea .gi. (lado del cuadrado) hasta que concurracon la misma linea visual .ea. en el punto .k., produciendo


el triangulo .gkh .. Y dado que el angulo .gkh. es igual (porel tercer postulado del primer libro de Euclides) al angulo .efa.(dado que uno y otro son rectos), y de manera similar el angulo.khg. es igual (por la segunda parte de la .29. del primer [Iibro]de Euclides) al angulo .eaf., donde (por la segunda parte dela trigesima del .1. de Euclides) el angulo .kgh. vend ria aquedar igual al angulo .aef., por 10 que el triangulo .gkh. seriaequiangular con el triangulo .eaf., y como consecuencia essimilar y de lados proporcionales (por la segunda proposici6ndel sexto [Iibro] de Euclides), y tam bien el triangulo .eaf. (porla vigesima del sexto [Iibro] de Euclides) vendria a ser similaral ya mencionado triangulo .gil. y de lados proporcionalesy por consiguiente la proporci6n entre el lado .ef. y ellado .fa. es la misma que la del Iado .gi. respecto del lado.il., ya que el Iado .li. es igual al lado .ig. (por ser cada uno

130 Nicolo Tartaglia La nueva ciencia

lado del cuadrado), y por ende el lado .af. sera igual al lado.ef., y porque el espacio 0 linea .cb. (por la trigesima cuartadel primero de Euclides) es igual al mismo lado .ef., se sigue(por la Primera Noci6n del primero de Euclides) que la alturaparcial .af. sea igual a la distancia, 0 linea .cb., y porqueel residuo .fb. (de tal altura) es igual (por la ya mencionadatrigesimacuarta del primero de Euclides) a la linea .ec.,siguiendose entonces (por la Segunda Noei6n Comun delprimero de Euclides) que la cantidad .bc. junto con la ean-tidad .ce. dan lugar a una suma igual a la altura .ab., 10 cualera el primer prop6sito.

Y porque si como el lada .gi. es al lada .gh. (diarnetro delcuadro) as! es el lada .ef. (0 .cb.) respecta del lada .ea., yporque el lada .gi. es inconmensurable (por la septima deldecimo de Euclides) can el diarnetro .gh., entances el lada .fe.(0 .cb.) (por la decima del decirno de Euclides) sera incon-mensurable con el lado .ea., y porque el diametro .gh. es eldoble en patencia (par la penultirna [proposici6 47] del primerade Euclides) respecto del lado .gi., entonces el lada .ea. sentel dable en potencia del lado .ef. (0 .cb.) elevada al cuadrado,y por consiguiente el lado .ef. (0 .cb.) (el eual he dicho quees de .353. pasos) sera de .124609., y el doble de esto da.249218 .. Y de esta duplicaci6n tomo la eorrespandiente raizcuadrada, la cual sera de aproximadamente .499.2/9 1/8 7/9.,y por ello dire que .499. 2/9 118 7/9 pasas sera la distaneiahipotenusal 0 diametral .ea., que es el segundo prop6sito. Perosi acaso sucede que el plano terraceo .bd. no fuera un planoperfecto (como ocurre la mayor parte de las veces), torno [en-tances] el punta dande intersecta el plano del harizante adicha altura .ab., y nivelanda con mi instrumenta como sehiza en la propuesta anterior se fija el [Junto .f .. Luego pro-curo medir con cuidada la linea .ef., 0 una linea equidistantea ella, y a esta cantidad no Ie aiiado la cantidad .ec., sino queen lugar de ella Ie agrego la cantidad .fb., y tanto cuanto sea

Proposicion .IX.Sin desplazarme del lugar donde me encuentro, deseo medir

la altura de un objeto visible al que uno se puede acercarpor la horizontal, es decir, hacia la base de este, y al mismotiempo deseo investigar la distancia hipotenusal 0 diametralde tal altura.

Sea la altura .ab. del objeto visible .a., elevada y situadosabre el terreno plano .bd., de manera que se pueda unotrasladar (como en la proposici6n anterior) hasta el nivel in-ferior 0 base del objeto (es decir, el punto .b.). Oigo que deseomedir la altura .ab. (sin moverme del sitio en que me encuen-tro) y al mismo tiempo deseo investigar la distancia hipotenusalo diametral de tal altura.

Torno primero mi instrumento en la mano y 10 fijo sabrecualquier cosa estable; nivela el plano .bd. y veo si es un planoperfecto (proceda como se hiza en la septima propasici6n),y si 10 encuentro perfecto escojo un punta en el susadichoabjeto visible que sea el vertice .a. y busco abservarla a travesde los dos agujeros .nm. de mi instrumento, sin moverme delsitia donde me encuentro, girando 0 volteanda el ya men-

tal suma, tanto dire que es la altura de .ab.. Verbigracia, sila linea .ef. fuese (como se supuso previamente) de .353. pas osy que la linea .fb. fuese de .3 112. pasos, yo agregaria lossusodichos .3 112. pasas con los .353. pasos para tener .356112. pasos. Y dire que la susadicha altura .ab. es de .356 1/2.pasos, y as! procederfa cuando la linea .fb. fuese menor quela linea .ec., es decir, si esta fuera de s610 un paso se agregarlaun paso a los ya mencionados .353. pasos, y esto daria .354.pasos, y tanto seria 10 que diria que es la susodicha altura.ab., porque en tal caso el lado .ef es igual a la altura parcial.af., como ya se demastr6 mas arriba, y agregando la cantidad.fb. me dara la altura total .ab., 10 cual es el prop6sito.

: I, 'i.,1

131


cionado instrumento tanto como se pueda hasta que se yea elsusodicho vertice .a. a traves de las dos perforaciones. Realizadoesto observo cuidadosamente donde cae el perpendiculo de miinstrumento, y si por ejemplo este cayera como en el caso an-terior, (a saber) sobre la linea de la sombra media, con ellohabria terminado (como ocurri6 en el caso anterior), pero siaquel cayera sobre el lado de la sombra recta me sefialara quela altura .ab. es mayor que el espacio que va desde mis pieshasta la base 0 raiz de la susodicha altura, es decir, hasta elpunto .b., en tal proporci6n como la de .12. (el lado delcuadrado) respecto del numero de puntas de la sombra rectadonde cae el perpendiculo, y se Ie suma la perpendicular atierra que parte de mi ojo (como ya se hizo en la proposici6nprecedente), y en terminos numericos esta cuesti6n concluyeasi: se multiplica por .12. el numero de pasos (0 de cualquierotra medida) que existen entre mis pies y el punto .b., y estamultiplicaci6n se dividira par el numero de puntos de la sombrarecta donde cae el perpendiculo de mi instrumento, y de 10que resulte de dicha divisi6n se agregara la cantidad de la per-pendicular de mi ojo a tierra. Por ejemplo, supongamos queel perpendiculo de mi instrumento caiga sabre el noveno puntode la sombra recta, como aparece en la figura de mas abaj?3y supongamos que [desde .b.] hasta el punto .c. sean .236.pasos, y que de mi ojo a la tierra, es decir, desde el punta.e. hasta el punto .c., sean 2 pasos. Se multiplican los suso-dichos .256. pasos par .12. (es decir, por los dace puntas 0

divisiones del lado del cuadrado, 0 de cada sombra), 10 cualresulta .3072., y a esto [3072] 10 divido entre .9. (a saber, elnumero de puntas de la sombra recta donde cae la plomadaa perpendiculo de mi instrumento) y da .341.1/3, y a este .341.113. Ie agrego .2. pasos (es decir, la medida de .ec.) y estodara .343. 113., y concluyo entonces que .343.113 pasos sera

la susodicha altura .ab.. Porque desde mi ojo (es decir, desdeel punta .e.) extiendo (igual que en la proposici6n precedente)la linea .ef. equidistante al plano, 0 linea .cb., y prolongo elperpendiculo de mi instrumento tanto como para que concurracan la linea visual .ea. en el punta .h., y prolonga de manerasimilar el lado de la sombra recta (a saber, la linea par-cial .gi.) hasta que tam bien ella concurra can la ya men-cionada linea visual .ea. en el punto .k., dando lugar altriangulo .gkh., y como el angulo .gkh. es igual (par el terceraxioma del primer [libro] de Euclides) al angulo .efa. (porque unoyotro son rectos), y de igual manera el angulo .khg. es igual (porla segunda parte de la Proposici6n .26. del primero de Euclides)al angulo .eaf., donde (por la segunda parte de la trigesi-

13. Asf aparccc en cl texto. En funcion de 10 que sigue este numcro dcbiera scr.256 ..

133

134 icolo Tartaglia La nueva ciencia

mosegunda del primero de Euclides) el angulo .kgh. vendrfaa disminuir en 10 mismo al angulo .aef., can 10 cual el trian-gulo .gkh. vendria a ser equiangular con el triangulo .eaf.,y como consecuencia similar y de lados proporcionales (porla proposicion cuatro del sexto de Euclides) y porque eJtriangulo .gil. (por la segunda proposicion del sexto de Eu-elides) viene a ser similar aJ mismo triangulo .gkh .. Por con-siguiente el susodicho triangulo .gil. (por la vigesirnaproposicion del sexto de Euclides) viene a ser semejante conel mismo triangulo .eaf., y por ende de lados proporcionales,por 10 que la proporcion entre los lados .ef. y .fa. es comola del lado .gi. al lado .il., y porque el lado .gi. es al lado.Ii. como .9. es a .12. (es decir, como son los puntos 0 di-visiones de la parte .gi. (de la sombra recta) a todo el lado.il. dcl cuadrado, y dicho lado .il. viene a ser tanto cuantocomo las . I2. divisiones 0 puntos de toda la sombra recta).Pcro deseando cncontrar la cantidad de .af. (desconocida) me-diante la informacion sobre .ef. (que se supone ser de .256.pasos), por la evidencia de la vigesima proposicion del septimode Euclides, multiplico los mencionados .256. pasos por . I2.Y esto me da .3072., y a este .3072. 10 divido entre .9. y resulta.341 1/3. (como en principio ya se hizo una vez) y por 10tanto digo que es la altura parcial .af., y porque el resiguo.fb. de tal altura es igual (por la trigesimacuarta proposiciondel primero de Eucl ides) a la linea .ec. (la cual se supone esde .2. pasos), afiado los susodichos .2. pasos a los ya men-cionados .341 1/3. Y dara .343 1/3. pasos, y por 10 tanto con-cluyo que esta es toda la altura .ab., asi como al principiofue realizado, 10 cual era el prop6sito principal.

Y asi como el lado .gi. es al lado 0 hipotenusa .gh., asies el lado .ef. respecto del lado 0 hipotenusa .ea .. Y porqueel lado .gi. es al lado 0 hipotenusa .gh., como el lado .ef. esal lado 0 hipotenusa .ea. (por la penultima [proposici6n] del

prirnero de Euclides"), asi es .9. respecto de la raiz cuadradade .225., que es .15.. Para encontrar el lado 0 hipotenusa .ea.(desconocido) (por la evidencia de la vigesima del septimo deEuclides) muItiplico .15. por la medida de .ef. (la cual se su-pone es de .256. pasos), 10 cual da como resultado .3840 .. Yeste .3840. 10 divido entre .9. y el resultado es .426 2/3., ydigo que es la distancia hipotenusal 0 diametral .ae., 10 cuales el segundo prop6sito.

Ahara, por la penultima [proposicion 47] del libro I de Eu-elides, yo podia encontrar la ya mencionada hipotenusa .ea.multiplicando el lado .ef., que seria .65536., y el lado .fa., queseria 116508 4/9, Y estos dos cuadrados juntos darian .1820444/9. y si se torna la raiz cuadrada de esta suma resultarfa .4262/3., al igual que por la otra via se calculo, y esto diria quefue la ya mencionada distancia hipotenusal .ea. que serviriapara el mismo segundo prop6sito.

Pero si fuera el caso que el plano terraceo .bd. no fueseun plano perfecto (como ocurre en la mayoria de las ocasiones)procedere como en el caso anterior, nivelando y midiendo cancuidado la linea .ef., y 10 hare como se hizo mas arriba, exceptoque en lugar de la linea .ec. Ie agregare la cantidad .fb., esdecir, mas 0 menos .2. pasos, y con ello dare por terminadocon 10 que era el prop6sito.

Y si ocurriera que el perpendiculo de mi instrumento nocayera sobre un punto 0 division, verbigracia, si cayera entreel noveno y el decirno punto, es decir, sobre los punto .9211.1)o .9 1/3., procederia como se hizo antes, multiplicando lasusodicha distancia, de .256. pasos, por .12. y dividiendo lamultiplicacion entre .9 1/2. 0 .9 1/3., y a 10 que fuera el re-sultado Ie agregaria la perpendicular desde rni ojo, 0 la cantidad.fb., y tanto cuanto fuese la suma, tanto concluiria que es la altura.ab., y as! me conduciria can cualquier otro punto 0 divisi6n

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14. Proposicion XLVII, mcjor conocida como Teorema de Pitagoras.IS. Debiera ser .9 1/2.

IiII

135

136 Nicolo TartagliaLa nueva ciencia 137

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que corresponda a un numero fraccionario, y resolver esto erael proposito.

Para evitar los numeros fraccionarios debo dividir cada unode los .12. y .12. puntos en otros .12. puntos (como se dijodurante la construcci6n de dicho instrumento), los cuales sonllamados minutos, y con ello cada sombra quedaria divididaen .144. minutos.

Pero si el perpendiculo de mi instrumento cayera sobre ellado de la sombra lateral, entonces me seiialara que el espacioque habria entre rni ojo y la base de la altura, 0 entre la per-pendicular desde mi ojo y la linea .tb., es mayor que la alturadel objeto visible en tal proporcion como la que hay entre .12.y el numero de puntos de la sombra lateral donde cae el per-pendiculo de mi instrumento. Y esto, traducido a numeros, melIeva a conc\uir que multiplicando el numero de pasos (0 decualquier otra medida) que existen en linea recta desde mispies hasta la base de tal altura (0 desde mi ojo al punto dondcse encuentra el plano del horizonte segun aquella), por los pun-tos 0 minutos de sombra lateral (donde cae la plomada de miinstrumento), y a esta multiplicaci6n la divido entre .12. 0

.144., Y a 10 que resulte Ie agrego la cantidad [correspondiente]a la perpendicular desde mi ojo a tierra (siendo esta un planoperfecto) 0 la cantidad que resulte del corte de aquella conel plano del horizonte, y tanto cuanto sea tal suma tanto con-cluire que es la mencionada altura. Por ejemplo, supongamosque el perpendiculo de mi instrumento cae sobre el decimopunto de la sombra lateral, como aparece mas abajo en lafigura, y que del punto .c. al punto .b., 0 del punto .e. al punto.f., sean .350. pasos, y que desde mi ojo 0 del punto .f. atierra sean .2. pasos, multiplicare entonces los susodichos.350. pasos por .10. (a saber, por los puntos de la sombra lateraldonde cae el perpendiculo) y dara .3500 .. A estos .3500. losdivido entre .12. (es decir, por las .12. divisiones 0 puntosde cada sombra 0 lado del cuadrado) y esto da .291 2/3 .. A

estos .291 2/3. Ie agrego .2. (a saber, los pasos que habiamossupuesto que habia entre el punto .e. y el punto .c., 0 del punto.f. al punto .b.) y resulta .293 2/3 .. Y conc1uyo que .293 2/3.son los pasos de la susodicha altura .ab., porque desde mi ojo(es decir, desde el punto .e.) prolongo tambien (como en elcaso anterior) la linea .ef. equidistante del plano, 0 linea .cb.(siendo el espacio terraceo .cb. un plano perfecto), 0 la ex-tiendo siguiendo la orientacion del plano del horizonte, esdecir, perpendicularmente a la linea .ab. en el punto .f.; luegoprolongo el lado de la sombra recta (es decir, la linea .io.)hasta que toque al perpendiculo en el punto .g., generando asiel triangulo .ilg., el cual (por las mismas razones y demostra-ciones del caso anterior) viene a ser similar al triangulo .eaf.,ya que el triangulito .gop. (por la primera parte de la segundadel sexto de Euclides) viene a ser semejante al triangulo .eaf.,

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c1uyo que .293. 2/3 de pasos es la altura total .ab., igual quecomo se obtuvo al principio y que era el primer prop6sito .

Puedo tambien encontrar de otra manera dicha altura .ab.,apoyandome en el triangulo .lig., el cual se que es semejanteal triangulo .aef., y que la proporci6n que guarda el lado .ilg.16

con respecto al lado .1.,17 coincide con la proporcion entre ellado .ef. con respecto al lado .af.. Pero como el lado .ig. mees desconocido (es decir, los puntos de la som bra recta .ig.)busco primero saber cuanto mide el susodicho lado .ig., y 10encuentro de este modo: ya que se que el triangulo .lpq. essemejante al ya mencionado triangulo .lig., y que la proporci6nentre el lado .li. y el lado .ig. es igual a la dellado .pq. respectodellado .lq. (es decir, como de .10. a .12.), por ello se mul-tiplica el lado .lg. (con base en la evidencia que aporta lavigesima del septirno de Euclides) por el lado .li. (a saber,.12. por .12.),10 cual dara .144 .. Y a este .144. 10 divido entreel lado .pq., que es .10., Y esto da 14 2/5, Y dire que 24 2/518

es la sombra recta .ig .. Realizado esto procedo como hicc alprincipio, multiplicando el lado .il. (que es de .12.) por el lado.ef (que es de .350.), 10 cual resuita en .4200., y a estos .4200.los divido entre los puntos de la sombra recta, a saber, porel lado .ig., que es .14. 2/3, 10 cual resulta en .291. 2/3. parael lado .af (igual que como se obtuvo de otra rnanera) y luegoagrego 1a cantidad .fb., es decir, 10s .2. pasos, 10 cual da .293.2/3, cuya obtenci6n era el primer proposito.

Y como es el lado .lq. al lado (0 hipotenusa) .lp., igual esel lado .ef al lado (0 hipotenusa) .ea., y como es el lado .lq. allado 0 hipotenusa .lp. (por la penultima del I de Euclides), aSIes .12. respecto de la raiz cuadrada de .244., donde para encontrarellado 0 hipotenusa .ea. (desconocida) (como se deduce de la .20.del .7. de Euclides) multiplico el lado .ef (es decir, .350. pasos)


.~.:i

Y porque el angulo .lpq. (del triangulo .lpq.) es igual (por la. 15. del .1. de Euclides) al angulo .opg. (deltriangulilo .opg.),y el angulo .lqp. del susodicho triangulo .lqp. es igual (porel tercer axiorna del I. de Euclides) el angulo .pog. (del yarnencionado triangulito .pog.) ya que uno y otro son rectos,donde (por la segunda parte de la trigesirna segunda delprimero de Euclides) el otro augulo .plq. (del triangulo .plq.)vendria a ser igual al otro angulo .ogp. del susodicho trian-gulito .ogp., por 10 que el triangulo .lpq. seria igual al otroangulo .ogp. del triangulito .ogp., por 10 que cl susodicho trian-gulo .lpq. vendria a ser equiangulo y consecucntemente se-mejante y de lados proporcionales con el ya mencionadotriangulito .opg., y ya que el triangulo .efa. es de igual formasernejante al susodicho triangulito .opg., sucede (por lavigesima del sexto de Euclides) que el triangulo .lpq. es se-mejante al triangulo .eaf., y como consecuencia de lados (in-teriores, 0 angulos iguales correspondientes) proporcionales(por la cuarta del scxto de Euclides), por 10 que la proporci6nentre el lado .lq. y el lado .qp. cs igual a la del lado .cf respeetodel lado .af., y como la proporcion del lado .lq. al lado .qp.es como la de .12. a .10. (ya que el lado .lq. viene a ser tantocuanto es todo el lado de cada una de las sombras, es decir,.12. puntos 0 divisioncs de las cuales el lado .pq. es de .10.)(de 10 presupuesto), donde para encontrar la cantidad de .af(incognita) mediante informacion acerca de .ef. (el eual se su-pone mide .350. pas os), y con la certeza [proveniente] de lavigesirna del septirno de Euclides, multiplico .350. pasos por.10. (a saber, por el lado .pq.), 10 cual da .3500., y a este .3500.10 divido entre .12. (como se hizo al principio) (es decir, parel lado .lq.) y se obtiene .291. 2/3 (como antes), y por endedigo que dada la altura parcial .af., y como el residuo .fb. sesupone es de .2. pas os, agrego los susodichos .2. pasos a lacantidad .af (a saber, a .291 2/3.) y esto da .293 2/3., Y con-

16. Debe ser .ig ..17. Dcbe ser .il.,IS. Dcbe scr .14 2/5 ..

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... ...,.':~---.-.-----


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por la raiz cuadrada de .244., y esto resulta en la raiz cuadradade .29890000., la cual divido entre .12. y obtengo como resultadola raiz cuadrada de .207569. 4/9, la cual es aproxirnadamente.455. 2/3, y dire entonces que .455. 213 pasos es la distanciahipotenusal, 0 diarnetral, .ae., 10 cual es el segundo proposito.

Una vez mas, par la penultima del I de Euclides, pod riaencontrar la susodicha hipotenusa .ea. multiplicando el lado.cf. por si mismo, 10 cual daria .122500. De igual rnanera, rnul-tiplicar el lado .fa. por SI mismo daria .75069. 4/9, que suman-

, 19, / 20dolo a .122500. daria .207569 4/9 Y la rarz de 270569 4 9" 21 di r(Ia cual scna '~Jroxlmadamente) da .455 4/9 ,y entonces tria

que .455. 213-2 cs el valor de la susodicha hipotenusa .ea.,asi como ya habia sido deterrninado por otra via, 10 cual escl proposito. Y en caso de que el plano terraceo no fuese plano,o que cl pcrpcndiculo cayese sobre alguna fraccion de puntoo de division, proccderia igual que en la ocasion anterior, ypara conoccr mcjor la susodicha fraccion dividire cada punto() division, tanto de la sombra recta como de la lateral (comoya sc dijo previamente) cn otras doce partes, y a cada una decilas la llamare minute: esta division me sera muy comoda paracalcular la susodicha altura y ademas las distancias hipotenusaly horizontal, sin dcsplazarme del sitio donde me encuentro.

Proposicion .X.Dcseo medir artificialmentc fa altura de un objeto visible

hacia el cue" 170 me puedo desplazar ni ver su base 0 su

I '). Tartaglia comctio un error en csta surna. EI rcsultado corrccto cs 197)69.20. 1-:127():i29 4/9 ~s otro error, qucricndo huber tornado cI rcsultado anterior, queCOIllO vimos, tampoco es 2075119. sino 197569 4/9. con 10 que su raiz cuadrada scriaaproximadamcntc 444.4X 1/2.21. COIllO en la nota anterior, cl rcsultado cs .444 1/2 ..22. Que ~01l10 sc dijo en la nota anterior, no cs el rcsultado corrccto. teste dcbicrascr 444 1/2.

l.a nueva cicncia

I

141

asiento,23 y al mismo tiempo deseo investigar fa distanciahipotenusal 0 diametral de tal altura y tambien la distanciahorizontal, es decir, [Ia distancia que va] desde mi ojo hastael punto donde el plano del horizonte corta a dicha altura,aun cuando tal punto no sea visible, () la que va horizontal-mente desde mis pies hasta fa base a el pie de tal altura. OWl

cuando tal base 0 pie este oeulta.Sea el objeto visible .a., cuya altura (por la tercera definicion

de este [tercer libro]) es la perpendicular que va desde el ver-tice .a. hasta la base 0 plano terraceo dondc dicha altura reposa,plano que se supone es un plano perfecto que se extiende (sino en acto al menos en la mente )24 desde el sitio dondc meencuentro, manteniendose equidistante del plano del horizonte: .y de .aquel plano supongo que una parte es el espacio don dese extiende la linea .dr. y [supongo tambien] que parte de lasusodicha altura es la linea .af., y el pie de dicha altura vcndriaa quedar dentro de la globosidad terrestre2) .t., cs dccir, dondcse unen las dos lineas .dr. y .af., y con la mente penetrandoa traves de la esfera .t. propongo que dicha union (como enel caso anterior) sea el punto .b., punto que no es visible dcbidoa la ya mencionada globosidad terrestre .t., y digo que deseomedir artificialmente, a traves de observaciones, la susodichaaltura .ab. (aun cuando no sea posible desplazarse [hacia] niaproximarse a la base 0 pie de aquel la, es decir, al punto.b.), y al mismo tiempo deseo calcular la distancia hipotenusalo diametral de tal altura, y de igual manera la distancia hori-zontal, a saber, la que va desde m i 0';0 hasta el punto dondc

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I

23. EI punto dondc sc corta la horizontal desdc cl pic de! obscrvador COil la verticn)que sc cxticndc des de la cuspide del objcto.24. Practica muy comun en la Edad Media mediante la cual se rcmitc a 10 que scriaun anteccdenre del objcto y a la situaei6n tal y como Ia abstrac la mente para aislar10 que sc propene como rclcvante,

25. Por globosidad tcrrcstrc sc entiende a la esfera de la tierra y los promontorieso accidcntes de terre no sobre la superficie terrestre que podrian dar Ingar a que uneierto punto fuera inceesible en la practica.

._-------


el plano del horizonte corta tal altura aunque dicho punto nosea visible por causa de la globosidad .t., 0 la que va desdem is pies en Ifnea recta hasta la base de tal altura, es decir,al punto .b., en tanto que el punto este oculto por causa dela globosidad. Torno mi instrumento en mano 0 10 fijo sobrealguna cosa estable de manera que pueda girar de abajo haciaarriba: lucgo me situo en algun lugar que sea el plano masperfecto posible y procedo con mi instrumento de igual maneraque en el caso precedente, es decir, localizo un punto en elsusodicho objeto visible, hago que este sea mi vertice, y buscoobscrvarlo a traves de las dos perforaciones de mi instrumento.Ilccho csto analizo con cuidado sobre que lado 0 sombra demi instrumcnto cae el perpendiculo del susodicho instrumento,y si cac (como frccuentemente ocurre en tal tipo de medicion)sobrc cl lado de la sombra lateral, veo cuantos puntos marcacI mcncionado pcrpendiculo y divido al .12. entre dichonumcro y, mas adelanto, utilizo el numero cocientc. Por ejem-plo. si cl susodieho pcrpendiculo cae sobre el punto .2., cI1I11llH.~rocociente viene a ser .6., el cua! utilizo en otro mo-menta. Mas adelante marco cl lugar en el que he estado ylucgo me desplazo un poco (en linea recta) al frente, es decir,me muevo un poco mas adelante del susodicho lugar. Y unavez 111(IS,en la segunda posicion busco de nuevo observar lasusodicha cumbre 0 vertice .a. por las ya mencionadas per-foracioncs de \11i instrumento, y acto seguido observo con cu i-dado sohrc cuantos puntos de la sombra lateral cae el susodichopcrpendiculo, y por este numero de puntos de nuevo dividoal .12.; el 11I:1Il1Crocociente que obtengo 10 resto del primercocientc que rue calculado (si el [segundo] fue menor), 0 alcontrario, si cl segundo es mayor guardo el exceso. Por ejem-plo, si en la segunda posicion el perpendiculo cayese sobrecl punto .6. dc dicha sornbra, divido a .12. por el susodicho.6, y resulta el numero cociente .2., y a este .2. 10 resto delotro numcro cociente calculado, que fue .6., y el exceso de

tal sustraccion es .4., exceso que co loco aparte. Luego midoel espacio que hay entre la primera y la segunda posicion (conla medida que me parezca conveniente), y al numero que re-suite de tal medicion 10 divido por el numero correspondienteal exceso que obtuve arriba, a saber, por .4., y a 10 que seobtenga Ie agrego la perpendicular que va desde mi ojo a tierra,y tal suma concluyo que es la altura del susodicho objeto visible.Por ejemplo, si el numero correspondiente a la medicion del suso-dicho espacio fuese de .156. pasos, divido este .156. entre .4.y se obtiene .39. pasos. Y a estos .39. Ie agrego 1a perpendicularque va desde mi ojo a tierra (que supongo es de .2. pasos), 10cual resulta ser .41., y esto concluyo que es la altura .ab. Sinembargo, para hacer de esta proposicion algo un tanto mas diflcilque las otras, deseo replantearla de otra manera, y en lugar delejemplo presentado arriba supongamos ahora que en mi primeraposicion (que la situo donde se encuentra el punto .c.) el per-pendiculo de mi instrumento caiga sobre el decimo punto de lasombra lateral (como mas abajo aparece en la figura), y que enla segunda posicion (que la considero donde se encuentra cI punto.lI.) caiga sobre el octavo punto de la susodicha sombra lateral(como aparece en la figura de abajo), y que del punto .c. alpunto .u. haya .285. pies, y que del ojo mio a tierra (es dccir,del punto .e. al punto .c.), 0 del punto .x. al punto .lI. haya .10.pies. Dividido .12. (a saber, las .12. divisiones de cada sombra)entre .10., es decir, por los .x.26 puntos donde corta el per-pendiculo en la primera posicion, 10 cual da .1 1/5 .. A con-tinuacion divido de igual manera el mismo .12. entre .8. (es decir,por el punto donde cotta el susodicho perpendiculo colocadoen la segunda posicion) y resulta .1 112.. De este.1 1/2. resto el

.1. liS que fue obtenido y el resultado es in27, y entre este 311 0

26, Debe ser .10 ..

27. Aparcce ~o ' siendo que deberia apareeer ?o para significar 3/1 0, que ,'.s cl valor

corrccto, y no el 1/30, que es un error tipograflco del original.

143


por estar oculto al ojo corporal 10 considerare con el ojo dela mente, y como el triangulo .aef. (por las razones sefialadasen el caso precedente) es semejante al triangulo .lpq. (de laprimera posicion), y como la proporci6n gue existe entre lalinea a lado .af. can respecto a la linea a lado .ef. es la rnismaque la del lado .pq. respecto del lado .ql., donde (par las de-finiciones decimotercera y la vigesimaprimera del .7. de Eu-elides) tantas veces cuanto mida a quepa el lado .pq. en ellado .ql., tantas veces medira a cabra el lado .af. en el lado.ef., y como el lado .pq. mide .10. puntas y el lado .lq. mide.12. (como se supuso), entonces ellado .pq. entrara 1115 [veces]en el lado .lq .. Se deduce entonces que el lado .af. cabe 1115 en el lado .ef., y que si bien no tengo ninguna informacionsabre. cuanto rnide el lado .af. ni tarnpoco el lado .ef., al menostengo la certeza de que el susodicho lado .af cabe, como hedicho, 1/530 veces en el susodicho lado .ef., y esto 10 pongoaparte y me ocupo de la segunda posici6n. Can base en losmismos rezonamientos encuentro que el triangulo .xfa. es se-mejante al triangulo .lpq. de dicha segundaposicion, y quetantas veces cuantas quepa el lado .pq. (que mide .8. puntos)en el lado .Iq. (que mide .12. puntas) tantas cabra el lado .af.en el lado .xf., y como el lado .pq. (de .8. puntas) cabe I1/2 [veces] en el lado .Iq. (de .12. puntas), entonces el lado.af. cabra, par semejanza, 1 1/2 [veces] en el lado .xf., dondeal sustraer el lado .ef. del lado .xf. (es decir, .1 115. de .1112.) resultara .3/10. multiplicado par la diferencia .ex., ya quela susodicha diferencia .ex. vendria a ser los 3/10 de la yamencionada linea .af., y como la susodicha diferencia .ex. estanto cuanto la linea .uc. (par la trigesima cuarta del primerode Euclides) y la susodicha linea .uc. se supone que mide .285.pies, se sigue entonces que estos .285. pies son los 3/10 deesta linea .af., par 10 que toda la linea .af. vendria a medir

divido .285. (es decir, la cantidad de pies que existen entreel punto .c. y el punta .u.) y resulta .950 .. Y a estos .950.Ie sumo .4. (a saber, los pies que habiamos supuesto existian

28entre el punta .c. y el punta .c., 0 del punta .10. al punta.lI.) y da como suma .954. pies .. Y concluyo que .954. es laaltura del objeto observado .a., es decir, [Ia medida de] la lineaque va del punto .a. al punta .b. (oculto dentro de la globosidad.t. [de la tierra]).

Y para demostrar esto, desde el ojo en la posici6n .2. (esdecir, desde el punto .x.) hasta el ojo en la posicion .1. (esdecir, el punto .e.) trazo la linea .ye.29 y la extiendo can lamente hasta que corte a la linea .ab. dentro de la globosidad.t. en el punta .f. (asi como en el caso anterior), punta que,

28. Dcbe scr .x ..29. Debe ser .xc ..

30. Dcbc scr.1 115..

145


.950. (como ya antes fue deterrninado), y juntando ahora los

.4. pies (que he supuesto mide la linea .ec. 0 .xu.) dara .954.pies, y dire que .954. pies es la altura total de .ab., ya que.fb. viene a medir de forma semejante .4. pies, 10 cual erael primer proposito.

Y porque como es el lado .pq. (de la primera posici6n)respecto del lado 0 hipotenusa .Ip., 10 es el lado .af. respectodel lade 0 hipotenusa .ae., y ya que el lado .pq. es al ladoo hipotenusa .Ip. (por la penultima del primero de Euclides)como es .10. respecto de la raiz cuadrada de .244., al mul-tiplicar .950. pies por la susodicha ratz de .244., y a esta mul-tiplicaci6n dividirla entre 10 me resulta poco menos de .1484 ..Concluyo que .1484. pies (0 poco menos) es [Ia medida] dela linea 0 hipotenusa .ae., 10 cual es el segundo proposito.

Y dado que el lado .ef. es como el lado .af. y uu quintomas (como se probo previamente), por ello tomo un quintodel lado .af. (es decir, de .950. pies), que es de .190. pies,y 10 sumo con los susodichos .950. pies, 10 cual da .1140.pies, y tal concluyo que es la distancia horizontal, es decir,la linea .ef., 0 la linea .cb., que es el tercer proposito, Y deigual manera se procederia para el caso de la segunda posicioncuando se desee conocer la medida de la hipotenusa .xa. 0

de la distancia horizontal .xf.. Cierto es que a traves de viasalternas mas faci les [de usar] podria encontrar la susod ichadistancia hipotenusal y en forma similar la de todas las demasmediciones, vias que estarian muy cercanas a los propositos dequienes no se han arraigado con el uso de los numeros, perosiendo dificil plantearJas por escrito, prefiero dejarlas de lado.

Hace falta resaltar, para esta suerte de operaciones dondese trabaja con dos posiciones, que la perpendicular que vadesde mi ojo hasta la tierra en la posici6n mas cercana seraun tanto menor que aquella de la posicion mas lejana, ymaxime estando el susodicho instrumento fijo sobre cualquierobjeto estable; y si bien tal diferencia es poca cosa, aun asi

, I


puede suceder que en ocasiones lIegue a provocar no pocoserrores, y por consiguiente aconsejo acomodarse sobre la per-pendicular que sale de aquella clavijilla donde esta sujeta laplomada que apunta a tierra tanto en una como en la otra posi-ci6n, y esta clavija viene a ser el centro del instrumento. Su-jetando el susodicho instrumento girable sobre alguna cosa queeste en pie, tal como un candil, se debe sujetar del otro ladode tal instrumento una c1avija frente a la clavijilla de laplomada, de manera que el instrumento pueda girar sobre sucentro, ya que girando alrededor de otro sitio dara lugar a laaparici6n de algun error en la conclusion.

Ahora, para regresar a 10 que era nuestro prop6sito, si porsuerte me encontrara un tanto cerca de la susodicha altura queel perpendiculo cayera sobre la sombra recta, igualmente verecuantos puntos marca el perpendiculo sobre la ya mencionadasombra recta, y procedere en direccion opuesta a 10 que sehizo previamente, es decir, dividire los puntos cortados porel susodicho perpendiculo entre .12., y de dicha division ne-cesariamente resultara siempre un quebrado, y este se guardara.Luego se sefialara el sitio en el cual se localiza, y a con-tinuaci6n me desplazare un poco en linea recta, es decir, memovere hacia adelante del susodicho sitio (como se hizo enel procedimiento ya referido), y una vez mas en la segundaposicion buscare observar la antedicha cumbre 0 vertice .a.a traves de las perforaciones del ya mencionado instrumento.A continuacion observare con cuidado sobre cuantos puntosde la sombra recta caera el susodicho perpendiculo, puntos quede nuevo dividire entre .12. y de cuya division necesariamenteresultara un quebrado, y este quebrado 10 restare de aquelprimero que fue puesto aparte (siendo menor que aquel), 0

restare aquel primero de este segundo si este es mayor, y aeste resto 10 guardo aparte. Luego medire el espacio que existeentre la primera y la segunda posicion con la medida que meparezca conveniente, y el numero que se obtenga de esta

148La nueva cicncia

Nicolo Tartaglia

medida 10 dividire entre el resto (que habia separado) y a 10que resulte Ie agrego la perpendicular que sale desde el centrode m i instrumento hacia tierra (es decir, del punto don de seha fijado el perpendiculo), y a tal suma la considero comola altura del ya mencionado objeto visible.

Por ejemplo, si en la primera posicion 0 lugar el per-pendiculo 0 plomada cayese sobre el tercer punto de la sombrarecta, divido los .3. puntos entre .12. (el lado del cuadrado),y esto me daria 114. Este 1/4 10 pongo aparte y Iuego marcoel lugar donde me encuentro, es decir, pongo una serial enel susodicho plano, directamente bajo el sitio donde cae laplomada del instrumento. A continuacion me desplazo un pocohacia adelante, y una vez mas en este segundo lugar buscola ya mencionada cumbre 0 vertice .a. a traves de la mirillade dicho instrumento, y luego observo sobre cuantos puntosde la susodicha sornbra recta cae mi plomada, y si fuera elcaso de que aqucl cayese sobre el punto .4., divido el .4. entre.12. y resulta .1/3., y asi de este .1/3. resto el.1/4. que pre-viamente fue salvado y me qucdaria .1112. Luego mido concuidado el espacio que existe entre la primera y la segundaposicion, es decir, entre aquel punto marcado sobre el planoen el sitio desde donde se observaba el punto en la primeraopcracion, hasta aquel desde donde se Ie observa en la segunda,espacio que a manera de ejemplo supongarnos que fuese de.8. pasos .. A estos .8. pasos los divido entre aquel .1/12. yme resulta .96. A los .96. Ie agrego cuanto resulte que se midadesde la clavijilla de mi instrumento hasta [Ia superficie de]la tierra, que supongo es de .1. paso .. Sumo a los susodichos.96. pasos este .1. paso y me da .97. pasos. Concluyo que .97.pasos corresponden a la altura .ab., y la verdad que guardaesta proposicion se demuestra a traves de los mismos pro-cedimientos y vias que fueron utilizados en la primera parte,es decir, a traves de la sernejanza entre triangulos y de la pro-porcionalidad de sus lados.

En esta suerte de mediciones en las que hace falta trabajarcon dos posiciones 0 en dos etapas es necesario ser muy cui-dadoso 'en 10 siguiente: que don de sea colocado nuestro instru-mento giratorio, este se acomode tan perpendicularmente enel segundo sitio como 10 estaba en el primero, porque si nose conserva tal precision no pocos erroes se causarian, y estose puede conocer con la misrna plomada de nuestro instrumentoo con otra cosa colocada en tal objeto.

Proposicion .XI.Desco construir otro instrumento que me sirva comoda-

mente para investigar a partir del aspecto la distancia hori-zontal y tambien la hipotenusal de los objetos visibles.

Torno una lamina de cobre rnuy plana y de anchura cercanaa la de un lorno de cuchillo y de ella saco el cuadro [cuadrado 1mas exacto que sea posible (siguiendo los procedimientos pre-sentados en la quinta proposicion de este escrito), y sobre estecuadrado dibujo otro alga menor que el primero, de maneraque los cuatro lados de este segundo cuadrado estell igualmcntcdistantcs de los lados del primero; esto 10 hago para dejar unintervale pequefio que permita poner los nurneros de las di-visiones de cad a lado de dicho cuadrado 0 intrumento, y eneste segundo cuadrado dibujo un tercero que sea un tantomenor que el segundo, de modo que los lados de este terceroesten igualmente distantes de los lados del segundo, aproxi-madamente a cuatro lomos de cuchillo, ya mas, ya menos,segun que tan grande 0 que tan chico sea el primer cuadrado,y a este segundo intervalo 10 graduo para introducir las di-visiones de los lados del susodicho instrumento, y hecho estodivido cada lado de estos tres cuadrados en dos partes iguales,y desde el centro de tal cuadrado extiendo hacia cada una delas divisiones una linea recta; para ser mejor comprendido [re-corro explioitamente el procedimiento]: sea .abcd. el primer

149

Pero como dicha divisi6n tan pequefia no se puede ejecutaren un cuadrado tan pequefio, a pesar de ello y para que seentienda mejor, pongo en la figura de abajo el cuadrito en elcual cada mitad del lado del segundo [cuadrado] esta divididas61amente en seis partes, pero con el fin de coincidir con 10que se ha de decir, supondremos que cada una de estas pasapor dos puntos.i' 1 Por 10 estrecho del espacio el numero dedichos puntos no se puede acomodar, pero basta con saber que


cuadro [cuadrado], los otros dos cuadrados quedan inscritoscomo aparece en la siguiente figura, y las lineas que van desdeel centro .k. del susodicho cuadrado hasta la mitad de cadauno de los lados son las dos Iineas .ef. y .gh. que vienen adividir cada uno de los lados de estos tres cuadrados en dospartes iguales. Digo que este instrumento no podria medirmenos de un palmo por lado. Y ya que cada rnitad del ladodel segundo cuadrado debe ser dividida en .12. partes iguales,[a estas] .12. partes les Ilamamos puntos, de manera que cadalado del tercer cuadrado vend ria a estar dividido en .24. puntos,es decir, .12. en una mitad y .12. en la otra mitad, y a todosestos .12. y .12. puntos comenzamos a numerarlos desde lamitad de cada uno de los lados y desplazandonos hacia el an-gulo tanto de una orilla como de la otra, y para numcrar maspronto los susodiehos puntos en el intervalo que cxiste entrelos lados del primero y del segundo cuadrado, se pone elnumero a cada punto, es decir, .1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11. y .12.,Y el primer punto en una y otra mitad inicia a la mitad dellado (es decir, donde las dos lincas .gh. y .ef. cortan los ladesdel susodicho segundo cuadrado), y los puntos .12. de una yotra mitad vienen a terminar en los cuatro angulos del suso-dicho tercer cuadrado y ocasionan que tales .12 y .12. divi-siones de cada lado hagan mas evidente que dividen todo elespacio entre los lados del segundo y el tercer cuadrado conpequeiias lineas que van desde el centro .k. del cuadrado acada una de aquellas .12 y .12. divisiones ya hechas en cadalado del segundo cuadrado. Y ademas de esto, eada uno deestos .12 y .12. puntos de eada lado se deben dividir una vezmas en otras .12. partes iguales, a las que Ilamamos minutos,y hacerlas visibles con pequefias lineas trazadas desde el centro.k., como se dijo respecto de los puntos y se hizo con cadauno de los lados del susodicho segundo cuadrado que vienea quedar dividido en .288. minutos, es decir, .144. en una mitaddel lado y .144. en la otra mitad.


GIJl-~K~--mH

d . I' d I' b . 32don e termma e pruner punto e .e. iacra .. se pone .1.,

y donde termina el segundo se pone .2., y se sigue as! hastael .12., punto que viene a terminar en el angulo .b. del segundocuadrado. Lo misrno se debe hacer con la otra mitad en di-recci6n de .a., es decir, desde el fin del primer punto, desde.e. en direcci6n de .a. se pone .1., y al final del segundo [sepone] .2., y as! se sigue hasta Ilegar al .12; este .12. vienea terminar en el angulo .a. del segundo cuadrado.

Y todo esto que se ha dicho del lado .ab. del susodichosegundo cuadrado se debe entender y realizar sobre los otrostres lados .ac.cd. y .db. del ya mencionado segundo cuadrado,

31. Can 10 cual quiere decir que cada una de estas divisiones corresponde ados.32. Dcbe scr .1 ..

152 Nicolo Tartaglia La nueva cicncia 153

a saber, comenzar a numerar en los puntos rnedios, es decir,.gfh., como se dijo arriba, y poner los susodichos numeros delos puntas en aquellos intervalos que se encuentran entre loslados del primer cuadrado y los correspondientes del segundo.

Adernas de 10 anterior se desea construir una dioptra33 [0mirilla], para 10 cual, si se quiere hacer de una sola piezasse debe tomar una lamina plana de lat6n 0 de cobre y trazarsobre ella (can una regia muy fina) una linea recta tan largacuanto corresponda al diametro del cuadrado del instrumento,que en este caso dirla cuanto mide desde .a. hasta .d. 0 desde.b. hasta .c., y a esta linea la supongo como !a recta .lm .. Adicha linea se Ie divide en dos partes iguales en el punto .n.,y se suponc que forma angulos rectos con otra linea recta iguala la anterior y a la que tomo como la linea .op., y sobre elpunto .11. trazo un pequefio circulo y uno similar c igual secoloca en cada cxtremidad de estas dos lineas, es decir, sobrelos puntos .l.m.o.p., y de esta figura se extraen cuatro brazosformando una cruz perfecta, pero de tal manera que el cllerpade cada uno de estos cuatro brazos este en direccion contrariade su simetrico, tal y como sc observa en la figura de abajo.

Pcro hace falta cuidar que aquellos lados que pasan por elcentro .n. scan cortados siguiendo una recta, siendo estes loscorrcspondientes alas primeras dos lineas trazadas al principio,es dccir, las lincas .lm. y .op .. Hecho esto hace falta colocaren el centro de cada uno de los cuatro circulos .l.rn.o.p. unarueda a scmejanza de la rueda .q., 0 cicrtarnente unas laminetascon una bisagra semejante a la lamineta .r. que [si se colocan]frente a frcnte se topan al observar los objetos. Y despues deesto es neeesario usar un perno para introducirlo a traves delcentro .n. de la dioptra [0 mirilla] sobre el centro .k. de nuestroinstrumento, de manera que la susodicha dioptra gire alrededor

del susodicho centro .k., donde si todo esta bien hecho y colo-cado, sus efectos seran tales que a cada vue Ita que gire la lineade la dioptra aquella caera precisamente sobre la linea .ef. delinstrumento, y necesariamente la otra linea .op. de la susodichadioptra caera precisamente sobre la linea .gh. del ya men-cionado instrumento. Ademas, a cuanta co sa se dirija tal diop-tra, esta reposara en linea con nuestro instrurnento, y de manerasemejante se diria que reposa alineada sobre nuestro instru-mento cuando la linea .Im. de tal dioptra cayese precisamentesobre la linea .gh. del instrumento, y que la otra linea .op.de la susodicha dioptra viniese a caer sobre la linea .ef. delya mencionado instrumento. Por otra parte, para utilizar esteinstrumento hace falta ensamblarlo de manera que se puedaacomodar encima de un bast6n 0 palo de algunos pies, y dichobast6n, para ser usado en el bosque, necesita que en el otroextremo tenga colocado un fierro puntiagudo para poderloplantar en la tierra. Sin embargo, para utilizarlo en sitiosdonde no se pudiese plantar, se podria acomodar a tal bast6nun pie [base] sernejante a aquellos candiles que se utilizan parasostener las velas.

Y can el deseo de que tal instrumento sirva c6modamenteno s610 para averiguar [Ia medida de] una distancia horizontal,sino tambien la hipotenusal 0 diametral, es decir, para hacerlo mi-rando diametralmente desde abajo 0 hipotenusalmente de arribahacia abajo, hace falta montar tal instrumento en la punta dedicho baston, como [por ejemplo] can dos palos de maneraque levantandolo de la parte frontal la parte de atras se bajehacia tierra, y por 10 contrario, al elevarlo por la parte de atras,que la parte de adelante se baje hacia tierra, con 10 cual sepodra observar (medir) no solamente en el plano del horizontesino tarnbien de abajo hacia arriba y de arriba hacia abajo.

Ademas de esto es conveniente sefialar que dicho cuadradose podria dibujar sobre un papel grueso y liso y pegarlo des-pues sobre un cuadro de madera de al menos un dedo de

33. l.a tradicion rcmitc a l liparco (s. II d. C) la invcncion de la dioptra, instrumcntoaUn a 10 que hoy cs un tcodolito, y que sc usaba para 'rncdir' diamctros de planctasy cstrcllas lijas [Salvcmiui, La V;S;OIlC. 20-24[.

----- .._- - _....-.


grueso. Despues de dejar\o secar34 se construye una dioptrade madera siguiendo el metodo proporcionado en la pregunta

35 dice cc.7. del quinto libro de nuestras preguntas, donde se Ice comoconstruir la dioptra mediante un dibujo. Cierto es que se podriahacer el susodicho instrumento con madera y papel, como yadije, y luego construir la ya mencionada dioptra de laton, 10cual 10 haria mas digno y mas durable.

F

G

c

Proposicion .XII.Es posible investigar y conocer la distancia de un objeto

visible, sea esta fa horizontal 0 la hipotenusal 0, sf se le quiereasi llamar, la diametral.

Primero, sea el punto .a. situado en el plano del horizonte. Digoque es posible considerar 0 conocer que tan distant~ es~ de mi.Para investigar esto tomo el instrumento que he tabncado. Loplanto derecho, es decir, perpendicular con respecto a la tierra.Acornodo la dioptra 0 mirilla de manera que este derecha sobredicho instrumento (es decir, segun 10 que se definio en la pro-posicion anterior). Luego giro y giro tanto .dicho instrum~ntoque a traves de dos de aquellos puntos 0 agujas de la susodichadioptra yea el punto .a., y una vez que 10 haya observado. (~u-pongamos que por los dos puntos 0 aguja .bc. de I~ mirillarecta, como aparece en la siguiente figura) trazo otra linea ~er-pendicular (es decir, que forme una escuad~a) so?re la linea.bca., y para hacerlo sin mover el susodicho instrumentotraslado directamente la dioptra recta 0 mirilla hacia los otrosdos puntos 0 aguja .de., y a 10 lejos hago plantar en la tierrados varillas muy derechas, distantes entre si al menos .4. 0

.5. pasos, pero de manera que ambas caigan bajo la mirilla,es decir, bajo la linea recta .def.; en este caso supongo .queuna de las varillas esta en el punto .g. y la otra en el susodicho

J)

punto .f.. Las hago enterrar donde puedan permanecer ymostrar [Ia orientacion de] la susodicha linea .defg .. Realizadoesto quite mi instrumento (sin mover la dioptra de su orien-tacion) y me alejo del primer lugar cuantos pasos me parezcaconveniente; y este desplazamiento 10 puedo realizar haciacualquier lado que me plazca, sea hacia las dos varillas yaplantadas 0 en direccion opuesta. Sin embargo, en este mo-mento deseo alejarme moviendorne hacia las dos varillas, esdecir, hacia los dos puntos .gf., y tal alejarniento supongo quesea de .15. pasos, y en dicho sitio planto de nuevo mi instru-mento, de manera que este sobre la misma linea, [misma] queestara marcada por las dos varillas y que facilmente se iden-tificara mirando y encontrando las dos varillas 0 la aguja .de.de la dioptra dirigida hacia las dos varillas, como se hizo enel primer sitio .

Una vez hecho esto queda claro que estando la susodichadioptra sobre el ya mencionado instrumento (en este segundolugar), y observando a 10 largo de los dos puntos 0 aguja .bc.no se podra ver el punto .a., y por ello sera forzoso (deseandomirar el punto .a. a 10 largo de los susodichos dos puntos 0

~~~C~ -------A

.,

34. EI pcgamcnto.35. Sc rcliere a Quesiti et inventione diverse. Quicsito settimo. f 62.

155

156 Nicolo Tartaglia La nueva cicncia

aguja) inclinar 0 torcer la dioptra (sin mover el instrumento)con la punta 0 aguja .c. en direcci6n del punto .a., comoaparece en la figura del segundo lugar. Realizado esto observocon cuidado cuanto se ha alejado la linea .bc. de la dioptrade su rectitud,36 es decir, de la direcci6n a la que se encuentrael punto .h., y esto 10 sabre en terminos de los puntos y minutosya descritos en el lado del segundo cuadrado, es decir, estesseran descubiertos entre .h., .e., .i .. Supongamos a continuaci6nque desde .h. hasta .i. haya .4. puntos, es decir, de aquellosde los que resultaron de dividir entre .12. una mitad delsegundo cuadrado. Afirmo que por la regIa vulgarmente cono-cida como de .3.,37 si se toman .4. de los .12. puntos de lamitad del lado que me dara aquellos .15. pasos que habiamossupuesto existian entre el lugar donde se plant6 primeramenteel instrumento hasta el lugar donde se plant6 en la segundaocasi6n, por ello se multiplican aquellos .15. pasos por .12.,10 cual da como resultado .180. A esto 10 divido por .4. yobtengo .45., con 10 que conc\uyo que .45. pasos es la dis-tancia que hay entre el sitio donde se plant6 primeramente elinstrumento y el punto .a.; y asi, si por suerte cada punto fueradividido en .12. minutos, y que sucediera que del punto .h.al punto .i. hubiere, supongamos, .8. minutos, yo diria, si .8.minutos corresponden a .144. minutos (es decir, la mitad dellado del cuadrado) i,que correspondera a .15. pasos? [Pararesponder a esto] multiplicaria 105 .15. pasos por los susodichos.144. minutos, 10 cual resulta en .2160., y a esto 10 dividiriaentre .8. minutos para obtener .270. pasos. Concluyo que .270.pasos es 10 que mide la distancia entre el lugar don de se plant6primeramente nuestro instrumento y el susodicho punto .a.; yas! procederia con las demas situaciones semejantes.

Ahora, para demostrar el razonamiento detras de nuestrasoperaciones, y con el fin de abreviar, dire que en el centrodel instrumento en la primera posici6n se supondra un [punto].k. y en el centro del correspondiente a la segunda posici6nse supondra un [punto] .n., y argumentare de la siguientemanera: ya que la linea .Ih. es equidistante de la linea .ka.,el angulo .hni. del triangulito .hni. sera igual (por la .29. del.1. de Euclides) al angulo .a. del triangulo .nak. (por ser [an-gulos] alternos), y de manera similar, el angulo .k. del triangulo.nak. es igual al angulo [en] .h. del triangulito .nhi. por seruno y otro [angulos] rectos, de donde se sigue por la .32. del.1. de Euclides que los susodichos dos triangulos .kan. y .hni.seran equiangulos y (como consecuencia de la .4. del .6. deEuclides) con lados proporcionales, y donde la proporci6n dellado .hi. respecto del lado .nh. sera como aquella del lado .kn.respecto del lado .ka., y como al principio se supuso que ellado .hi. fuese de .4. puntos yel lado .hn. de .12. puntos (porser igual a la mitad del lado del cuadrado), y el lado .nk, sesupuso que media .15. pasos, para obtener el valor del lado.ka., mismo que se desconoce, con base en la evidencia queaporta la [proposici6n] .16. del .6. de Euclides, multiplico ellado .kn. (es decir, .15. pasos) por el lado .hn. (a saber, por.12. puntos), 10 cual resulta ser .180 .. Y a este resultado 10divido entre el lado .hi., es decir, por 10s.4. puntos que meseiiala la dioptra (10 ya supuesto) y esto me resulta ser .45.,y dire que .45. pasos es la medida del lado .ka., tal y comose determin6 al principio.

De igual manera se procederia cuando el punto .4. estuviesemas arriba 0 mas abajo del horizonte, alzando 0 bajando laparte de enfrente del instrumento y manteniendo siempre elbast6n 0 varilla que se hundi6 en la direcci6n perpendicularcon el horizonte, sea en el monte 0 sobre una superficie plana.Igualmente, las dos varillas que se plantaron se deberan hundirperpendicularmente y tales varillas deberan estar muy derechas

36. De su orientaci6n basi ca.37. Regla de oro, regIa de tres 0 regIa del mercader, son nombres con 105 que seconocia la regIa de proporcionalidad mas sencilla entre tres term inos conocidos yuna incognita.

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. !, Libro I

y con relacion al desplazamiento que se realice del primeroal segundo lugar con el instrumento, es necesario que se llevea cabo de manera que se mantenga a la misma distancia delplano del horizonte.

Adernas de 10 anterior hace falta considerar con mucho cui-dado y minuciosamente los puntos, minutos y partes de mi-nutos que permitira descubrir la dioptra, es decir, la cantidadde [interval os] .hi., ya que cad a pequefio error que se cometacon los minutos causaria errores muy evidentes en las con-clusiones. Esto se debe a que tales puntos 0 minutos vienena ser divisores,38 y cualquier minimo error que se presenteen las divisiones produce una variacion no pequefia en el re-sultado.

Apendice

Los Elementos de Euclides

IN VENEGIA MDLVIII Definicion 15 (de circulo)Un circulo es una figura plana comprendida por una linea [que sellama circunferencia] tal que todas las rectas que caen sobre ella desdeun punto de los que estan dentro de la figura son iguales entre si,

Postulado 3Y [postulese] el describir un circulo con cualquier centro y distancia.

Definici6n 23Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendoprolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentranuna a otra en ninguno de ellos.

Nociones Comunes1. Las cosas iguales a una misma cosa son tambien iguales entresf.2. Y si se afiaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.3. Y si de cosas iguales se quitan casas iguales, los resultados soniguales.

Proposici6n 1Construir un triangulo equilatero sobre una recta finita dada.38. De una magnitud.


Proposicion 3Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual ala menor.

Proposicion 29La recta que incide sobre rectas paralelas hace los angulos alternosiguales entre si, y el (angulo) externo igual al interno y opuesto,y los (angulos) internos del mismo lado iguales a dos rectos.

Proposici6n 6Si dos angulos de un triangulo son iguales entre si, tarnbien los ladosque subtienden a 105 angulos iguales seran iguales entre sf.

Proposici6n 30Las paralelas a una misma recta son tambien paralelas entre sf.

Proposici6n 8Si dos triangulos tienen dos lados del uno iguales respectivamenteados lados del otro y tienen tambien iguales sus bases respectivas,tarnbien tendran iguales los angulos comprendidos por las rectasiguales.

Proposici6n 31Por un punto dado trazar una linea recta paralela a una recta dada.

Proposici6n 32En todo triangulo, si se prolonga uno de los lados, el angulo externoes igual a los dos angulos internos y opuestos, y los tres angulosinternos del triangulo son iguales a dos rectos.Proposici6n 13

Si una recta levantada sobre otra recta forma angulos, 0 bien formarados rectos 0 bien (angulos) iguales a dos rectos. Proposici6n 33

Las rectas que unen por (Ios extremos que estan en) el mismo ladoa (rectas) iguales y paralelas son tam bien ellas mismas iguales yparalelas.

!,,'Proposici6n 15Si dos rectas se cortan, hacen 105 angulos del vert ice iguales entre sf.

Proposicion 17En todo triangulo dos angulos tornados juntos de cualquier manerason menores que dos rectas.

Proposici6n 34En las areas de paralelogramos los lados y los angulos opuestos soniguales entre si, la diagonal las divide en dos partes iguales.

Proposicion 26Si dos triangulos tienen dos angulos del uno iguales respectivamenteados angulos del otro y un lado del uno igual a un lado del otro:ya sea el correspondiente a los angulos iguales 0 eI que subtiendeuno de los angulos iguales, tendran tam bien los lados restantes igualesa 105 lados restantcs y el angulo restante (igual) al angulo restante.

Proposicion 41Si un paralelogramo tiene la misma base que un triangulo y estaentre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triangulo,

Proposicion 47En los triangulos rectangulos el cuadrado del lado que subtiende elangulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprendenel angulo recto.Proposicion 28

Si una recta al incidir sabre dos rectas hace el angulo externo igualal interno y opuesto del mismo lado, 0 105 dos internos del mismolado iguales a dos rectos, las rectas seran paralelas entre sf.

Proposicion 48Si en un triangulo el cuadrado de uno de los lados es igual a loscuadrados de los dos lados restantes del triangulo, el angulo com-prendido por esos lados rest antes del triangulo es recto.

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162 Nicolo Tartaglia La nueva ciencia 163

Libro II Proposicion 18Si una recta toea un circulo, y se traza una recta desde el centrohasta el punta de contacto, la (recta) trazada sera perpendicular ala tangente.Proposicion 2

Si se corta al azar una linea recta, el rectangulo comprendido porla (recta) entera y cada una de los segmentos es igual al cuadradode la (recta) entera. .

Proposici6n 19Si una recta toea un circulo, y desde el punto de contacto se trazauna linea recta formando angulos rectos con la tangente, el centrodel circulo estara en la recta trazada.Proposicion 14

Construir un cuadrado igual a una figura recti linea dada.

Libro IIIProposicion 24Los segmentos circulares semejantes que estan sobre rectas igualesson iguales entre sf.

Definicion 9Cuando las rectas que comprenden el angulo cortan una circunferenciase dice que el angulo esta sobre ella.

Proposici6n 25Dado -un segmento de circulo completar el trazado del circulo delque es segmento.

.,Definicion 10Un sector de un circulo es la figura que, cuando se construye unangulo en el centro del circulo, esta comprendida por las rectas quecomprendcn el angulo y la circunferencia cortada por ellas.

Proposicion 31En un circulo el angulo en el semicirculo es recto, el (angulo) enel segmento mayor es menor que un recto, el (angulo) en el segmentomenor es mayor que un recto; y adernas el angulo del segmentomayor es mayor que un recto y el angulo del segmento menor esmenor que un recto.

Proposicion 16La (recta) trazada por el extremo del diametro de un circulo formandoangulos rectos (con el mismo) caera fuera del circulo, y no se in-terpondra otra recta en el espacio entre la recta y la circunferencia;y el angulo del semicirculo es mayor y el restante menor quecualquier angulo rectilineo agudo.

Proposici6n 36Si se toma un punto fuera de un circulo y de 61 al circulo caen dosrectas, y una de ellas corta el circulo y la otra 10 toea, el (rectangulocomprendido) por la secante entera y la (parte) exterior tomada entreel punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de latangente.

Corolario de la proposici6n 16A partir de esto queda claro que la recta trazada par el extremo deldiametro de un circulo formando angulos rectos (con el mismo) toeael circulo.

Libro V

Proposicion 17Desde un punta dado trazar una linea recta tangente a un circulodado.

Proposici6n 3Si una primera (magnitud) es el mismo multiplo de una segunda queuna tercera de una cuarta, y se toman equimultiplos de la primeray la tercera, tambien por igualdad cada una de las dos (magnitudes)

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164 La nueva cienciaNicolo Tartaglia

tomadas seran equimultiplos, respectivamente, una de la segunda, yla otra de la cuarta.

Proposici6n 22Si hay un numero cualquiera de magnitudes y otras iguales a ellasen numero que, tomadas de dos en dos, guardan la misma raz6n,por igualdad guardaran tambien la misma raz6n.Proposici6n 2

Si una primera (magnitud) es el mismo multiple de una segunda queuna tercera de una cuarta, y una quinta es tambien eI mismo multiplede la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primeray la quinta sera eI mismo multiple de la segunda que la sum a dela tercera y la sexta de la cuarta.

Libro VI

Proposici6n 2Si se traza una recta paralela a uno de los lados de un triangulo,cortara proporcionalmente los lados del triangulo. Y si se cortan pro-porcionalmente los lados de un triangulo, la recta que une los puntosde secci6n sera paralela al lado restante del triangulo,

Proposici6n 5Si una magnitud es el mismo multiple de otra que una (magnitud)quitada (a la primera) 10 es de otra quitada (a la segunda), la (mag-nitud) restante (de la primera) sera tambien el mismo multiple dela (magnitud) restante (de la segunda) que la (magnitud) entera dela (magnitud) entera.

Proposicion 4En los triangulos equiangulos, los lados que comprenden los angulosiguales son proporcionales y los lados que subtienden los angulosiguales son correspondientes.

Proposici6n 7Las (magnitudes) iguales guardan la misma raz6n con una misma(magnitud) y la misma (magnitud) guarda la misma raz6n con las(magnitudes) iguales.

Proposici6n 16Si cuatro rectas son proporcionales, el rectangulo comprendido porlas extremas es igual al rectangulo comprendido por las medias; ysi el rectangulo cornprendido por las extremas es igual al rectangulocornprendido por las medias, las cuatro rectas seran proporcionales.Proposici6n 8

De magnitudes desiguales, la mayor guarda con una misma (mag-nitud) una raz6n mayor que la rnenor, y la misma (magnitud) guardacon la rnenor una raz6n mayor que con la mayor.

Proposici6n 20Los poligonos semejantes se dividen en triangulos semejantes eiguales en numero y hom61ogos a los (polfgonos).

Proposici6n 10De las (magnitudes) que guardan raz6n con una misma (magnitud),la que guarda una raz6n mayor, es mayor. Y aquella con la que lamisma (magnitud) guarda una raz6n mayor, es menor.

Proposicion 33En los circulos iguales, los angulos guardan la misma razon que lascircunferencias sobre las que estan, tanto si estan en el centro comosi estan en las circunferencias.

Proposici6n 18Si unas magnitudes son proporcionales por separaci6n, tam bien porcomposicion seran proporcionales.

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Libro VII

Proposici6n 20Los nurneros menores de aquellos que guardan la misma raz6n queellos miden a los que guardan la misma raz6n el mismo nurnerode veces, el mayor al mayor y el menor al menor.

Libro X

Proposici6n 7Las magnitudes inconmensurables no guardan entre si la raz6n queun numero guarda con un numero.

Proposici6n 10Hallar dos rectas inconmensurables, una s610 en longitud, otra tam-bien en cuadrado, con una recta determinada.

Estudio preliminar .

Nota sobre esta edici6n

Epistola

Libro pnmero

Libro segundo

Libro tercero

Apendice .

Indice

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La Nueva Ciencia Tartaglia

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