LA PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA...
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN TEMA: ANÁLISIS DE LAS SIMETRÍAS DEL UNIVERSO COMO ELEMENTO MOTIVADOR PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA, APLICABLE AL INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR NUESTRA SEÑORA DEL ROSARIO, PARROQUIA CATAMAYO, CANTÓN CATAMAYO, PROVINCIA DE LOJA, PERÍODO 2013 – 2014 TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN, MENCIÓN MATEMÁTICAS AUTORA: Josefina Villavicencio DIRECTOR: Dr. Gonzalo Remache B. MSc. QUITO-ECUADOR 2015
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
TEMA:
ANÁLISIS DE LAS SIMETRÍAS DEL UNIVERSO COMO ELEMENTO
MOTIVADOR PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA, APLICABLE
AL INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR NUESTRA SEÑORA DEL
ROSARIO, PARROQUIA CATAMAYO, CANTÓN CATAMAYO, PROVINCIA
DE LOJA, PERÍODO 2013 – 2014
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADA EN
CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN, MENCIÓN MATEMÁTICAS
AUTORA:
Josefina Villavicencio
DIRECTOR:
Dr. Gonzalo Remache B. MSc.
QUITO-ECUADOR
2015
i
CERTIFICACIÓN DEL TUTOR
En mi calidad de Tutor del trabajo de Grado presentado por la señorita
Josefina Villavicencio Jara, para obtener el Grado Académico de
Licenciada en Ciencias de la Educación – Mención Matemática, cuyo título
es: ANÁLISIS DE LAS SIMETRÍAS DEL UNIVERSO COMO ELEMENTO
MOTIVADOR PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA, APLICABLE
AL INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR NUESTRA SEÑORA DEL
ROSARIO, PARROQUIA CATAMAYO, CANTÓN CATAMAYO,
PROVINCIA DE LOJA, PERÍODO 2013 – 2014.
Considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes para
ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del Jurado
examinador que se designe.
En la ciudad de Quito a los quince días del mes de noviembre del 2013
________________________
Dr. Gonzalo Remache B. MSc.
TUTOR DEL SED-UTE
ii
AUTORÍA
Yo, Josefina Villavicencio Jara, declaro bajo juramento que el trabajo aquí
descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para
ningún grado o calificación profesional; que he consultado las referencias
bibliográficas que se incluyen en este documento y que no he plagiado
dicha información.
Josefina Villavicencio Jara
iii
DEDICATORIA
Dedico el presente trabajo de investigación, a mis seres queridos, de
manera especial a mi querida hermanita Albertina, a sus hijos (a), que con
sus diferentes formas de manifestación de afecto y cariño sin escatimar
esfuerzo alguno, han estado siempre presentes en mi vida. También al ser
que me dio la vida y ahora descansa en la eternidad.
Josefina Villavicencio Jara
iv
AGRADECIMIENTO
Con eterno afecto, agradezco a la UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA
EQUINOCCIAL, que un día me abrió sus puertas del saber para poder
cumplir con la meta que me he propuesto. También, dejo expreso mi
sincero agradecimiento al Tutor Dr. Gonzalo Remache MSc y a los tutores
de los diferentes niveles de estudio, por brindarme su asesoría
desinteresada; a las Ingenieras de la Coordinación de Loja, por sus
informaciones y sugerencias oportunas.
Al Instituto Tecnológico Superior Nuestra Señora del Rosario en la
persona de Sor Clara Inés Pardo, por su valiosa colaboración en la
obtención de la información requerida; así como, a todas las amistades que
de una u otra forma han sido mi aliciente para cumplir con mi meta de
profesionalización.
Josefina Villavicencio Jara
v
ÍNDICE DE CONTENIDOS
Certificación del Tutor ......................................................................... i
Declaración de Autoría ....................................................................... ii
Dedicatoria ......................................................................................... iii
Agradecimiento ................................................................................... iv
Índice de contenidos ........................................................................... v
Índice de tablas .................................................................................. viii
Índice de gráficos................................................................................ x
Resumen ............................................................................................ xii
Introducción ........................................................................................ 1
CAPÍTULO I ........................................................................................ 3
1.1 Tema ............................................................................................ 3
1.2 Planteamiento del Problema ......................................................... 3
1.3 Formulación del Problema ............................................................ 5
1.4 Objetivos ....................................................................................... 5
1.4.1 Objetivo general ......................................................................... 5
1.4.2 Objetivos específicos ................................................................. 5
1.5 Justificación .................................................................................. 6
CAPITULO II ....................................................................................... 8
2.1 Simetrías del Universo ................................................................. 8
2.1.1 Simetría ..................................................................................... 9
2.1.1.1 Caracterizaciones de la simetría ............................................. 10
2.1.1.2 Tipos de Simetrías .................................................................. 15
2.1.1.2.1 Simetría Axial ....................................................................... 16
2.1.1.2.2 Simetría Radial .................................................................... 16
2.1.1.3 Operaciones de Simetría ........................................................ 17
2.1.1.4 Elementos de Simetría ............................................................ 19
2.1.2 Simetrías en las Ciencias........................................................... 21
2.1.2.1 Simetría en las Ciencias Físicas ............................................. 22
2.1.2.2 Simetría en Química ............................................................... 24
2.1.2.3 Simetría-Asimetría en Biología................................................ 25
vi
2.1.2.4 Simetría en el Arte .................................................................. 27
2.2 Elementos motivadores en la enseñanza de la Matemática .......... 30
2.2.1 Motivación ................................................................................. 31
2.2.1.1 Clasificación de la Motivación ................................................. 32
2.2.1.1.1 Motivación Positiva .............................................................. 33
2.2.1.1.2 Motivación Intrínseca ........................................................... 33
2.2.1.1.3 Motivación Extrínseca .......................................................... 34
2.2.1.1.4 Motivación Negativa ............................................................. 35
2.2.1.2 Motivación en la enseñanza de las Matemáticas .................... 35
2.2.2 Enseñanza ................................................................................. 36
2.2.2.1 Desempeño del Docente......................................................... 37
2.2.2.2 Proceso de Enseñanza Aprendizaje ....................................... 38
2.2.2.3 Enseñanza de las Matemáticas utilizando las Simetrías del
Universo ............................................................................................. 39
2.3 Marco Institucional ........................................................................ 42
2.4 Fundamentación Legal ................................................................. 44
2.5 Hipótesis ....................................................................................... 45
2.6 Operacionalización de variables ................................................... 45
CAPÍTULO III ...................................................................................... 46
3.1 Tipo de Investigación .................................................................... 46
3.1.1 Investigación de campo ............................................................. 46
3.1.2 Investigación Bibliográfica.......................................................... 47
3.2 Métodos de Investigación ............................................................. 47
3.2.1 Método Sintético ........................................................................ 47
3.2.2 Método Analítico ........................................................................ 48
3.2.3 Método Analítico Sintético.......................................................... 48
3.2.4 Método Descriptivo .................................................................... 48
3.3 Población y Muestra ..................................................................... 49
3.4 Técnicas e Instrumentos ............................................................... 51
3.4.1 Técnicas .................................................................................... 51
3.4.2 Instrumentos .............................................................................. 51
vii
Capítulo IV ......................................................................................... 52
4.1 Encuesta aplicada a estudiantes .................................................. 52
4.2 Encuesta aplicada a los docentes ................................................. 67
4.3 Encuesta aplicada a los padres de familia .................................... 82
4.4 Ficha de Observación N°1 ............................................................ 97
CAPÍTULO V ...................................................................................... 101
5.1 Conclusiones y recomendaciones................................................. 101
5.1.1 Conclusiones ............................................................................. 101
5.1.2 Recomendaciones ..................................................................... 103
CAPÍTULO VI ..................................................................................... 105
6.1 Tema de la Propuesta ................................................................... 105
6.2 Título de la propuesta ................................................................... 105
6.3 Objetivos ....................................................................................... 105
6.3.1 Objetivo General ........................................................................ 105
6.3.2 Objetivos específicos ................................................................. 106
6.4 Población Objeto ......................................................................... 106
6.5 Localización .................................................................................. 107
6.6 Listado de contenidos temáticos ................................................... 108
6.7 Desarrollo de la propuesta ............................................................ 109
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................... 137
viii
ÍNDICE DE TABLAS
2.1 Estructura de la operacionalización de variables ......................... 45
3.1 Datos investigados ....................................................................... 50
4.1 Simetrías utilizadas como elemento motivador ............................. 52
4.2 Simetrías favorecen el proceso de enseñanza ............................. 53
4.3 Motivación en clase mejora el proceso de enseñanza-a ............... 54
4.4 Profesores son motivadores ......................................................... 55
4.5 Simetrías son elementos motivadores .......................................... 56
4.6 Logro completo sobre simetrías .................................................... 57
4.7 Profesores aplican simetrías ........................................................ 58
4.8 Simetrías ayudan a mejorar en matemáticas ............................... 59
4.9 Simetrías mejoran el rendimiento.................................................. 60
4.10 Profesores requieren capacitación .............................................. 61
4.11Entiendes las simetrías al aplicarlas. ........................................... 62
4.12 Profesores recurren a simetrías .................................................. 63
4.13 Elementos motivadores que utiliza el profesor ............................ 64
4.14 Qué implican las simetrías en la naturaleza .............................. 65
4.15 Medios que utiliza el profesor ................................................... 66
4.16 Simetrías utilizadas en el proceso de enseñanza-a. ................... 67
4.17 Simetrías favorecen la enseñanza ............................................ 68
4.18 Alumnos motivados mejoran el proceso de enseñanza ............. 69
4.19 Docente motivador ...................................................................... 70
4.20 Utilizar simetrías como elemento motivador ............................... 71
4.21 Entendimiento sobre las simetrías. ............................................. 72
4.22 Aplicación de simetrías en la enseñanza .................................... 73
4.23 Simetrías en el aprendizaje de matemáticas ............................... 74
4.24 Simetrías como elemento motivador en el rendimiento ............... 75
4.25 Capacitación para utilización de simetrías .................................. 76
4.26 Alumnos entienden las simetrías ................................................ 77
4.27 Recurren a las simetrías del universo ......................................... 78
4.28 Se deben utilizar elementos motivadores. ................................... 79
ix
4.29 Qué implican las simetrías .......................................................... 80
4.30 Medios para aplicar las simetrías .............................................. 81
4.31 Simetrías como elemento motivador para su hijo ....................... 82
4.32 Simetrías favorecen el proceso de enseñanza-aprendizaje ....... 83
4.33 Motivación es importante en clase .............................................. 84
4.34 Profesores de sus hijos son motivadores…………………………. 85
4.35 Simetrías son elementos motivadores ........................................ 86
4.36 Simetrías son entendidas por sus hijos ....................................... 87
4.37 Profesores aplican simetrías ....................................................... 88
4.38 Simetrías ejecutan el aprendizaje ............................................... 89
4.39 Simetrías como elemento motivador .......................................... 90
4.40 Profesores requieren capacitación .............................................. 91
4.41 Las simetrías son entendidas por sus hijos ................................ 92
4.42 Profesores recurren a las simetrías ............................................ 93
4.43 Los profesores utilizan elementos motivadores ........................... 94
4.44 Qué implican las simetrías .......................................................... 95
4.45 Medios para aplicar las simetrías ................................................ 96
4.46 Ficha de Observación de los Tipos de Simetría existentes ......... 98
x
ÍNDICE DE GRÁFICOS
4.1 Simetrías utilizadas como elemento motivador ............................. 52
4.2 Simetrías favorecen el proceso de enseñanza ............................. 53
4.3 Motivación en clase mejora el proceso de enseñanza-a ............... 54
4.4 Profesores son motivadores ......................................................... 55
4.5 Simetrías son elementos motivadores .......................................... 56
4.6 Logro completo sobre simetrías .................................................... 57
4.7 Profesores aplican simetrías ........................................................ 58
4.8 Simetrías ayudan a mejorar en matemáticas ............................... 59
4.9 Simetrías mejoran el rendimiento.................................................. 60
4.10 Profesores requieren capacitación .............................................. 61
4.11Entiendes las simetrías al aplicarlas. ........................................... 62
4.12 Profesores recurren a simetrías .................................................. 63
4.13 Elementos motivadores que utiliza el profesor ............................ 64
4.14 Qué implican las simetrías en la naturaleza .............................. 65
4.15 Medios que utiliza el profesor ................................................... 66
4.16 Simetrías utilizadas en el proceso de enseñanza-a. ................... 67
4.17 Simetrías favorecen la enseñanza ............................................ 68
4.18 Alumnos motivados mejoran el proceso de enseñanza ............. 69
4.19 Docente motivador ...................................................................... 70
4.20 Utilizar simetrías como elemento motivador ............................... 71
4.21 Entendimiento sobre las simetrías. ............................................. 72
4.22 Aplicación de simetrías en la enseñanza .................................... 73
4.23 Simetrías en el aprendizaje de matemáticas ............................... 74
4.24 Simetrías como elemento motivador en el rendimiento ............... 75
4.25 Capacitación para utilización de simetrías .................................. 76
4.26 Alumnos entienden las simetrías ................................................ 77
4.27 Recurren a las simetrías del universo ......................................... 78
4.28 Se deben utilizar elementos motivadores. ................................... 79
4.29 Qué implican las simetrías .......................................................... 80
4.30 Medios para aplicar las simetrías .............................................. 81
xi
4.31 Simetrías como elemento motivador para su hijo ....................... 82
4.32 Simetrías favorecen el proceso de enseñanza-aprendizaje ....... 83
4.33 Motivación es importante en clase .............................................. 84
4.34 Profesores de sus hijos son motivadores…………………………. 85
4.35 Simetrías son elementos motivadores ........................................ 86
4.36 Simetrías son entendidas por sus hijos ....................................... 87
4.37 Profesores aplican simetrías ....................................................... 88
4.38 Simetrías ejecutan el aprendizaje ............................................... 89
4.39 Simetrías como elemento motivador .......................................... 90
4.40 Profesores requieren capacitación .............................................. 91
4.41 Las simetrías son entendidas por sus hijos ................................ 92
4.42 Profesores recurren a las simetrías ............................................ 93
4.43 Los profesores utilizan elementos motivadores ........................... 94
4.44 Qué implican las simetrías .......................................................... 95
4.45 Medios para aplicar las simetrías ................................................ 96
4.46 Ficha de Observación de los Tipos de Simetría existentes ......... 98
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ANÁLISIS DE LAS SIMETRÍAS DEL UNIVERSO COMO ELEMENTO MOTIVADOR PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA, APLICABLE AL INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR NUESTRA SEÑORA DEL ROSARIO, PARROQUIA CATAMAYO, CANTÓN CATAMAYO, PROVINCIA DE LOJA, PERÍODO 2012 – 2013
Autora: Josefina Villavicencio Jara
Tutor: Dr. Gonzalo Remache MSc
Fecha: Quito 2013
RESUMEN
La presente investigación está relacionada con las simetrías del Universo utilizadas como elementos motivadores para la enseñanza de las mismas, aplicable al Instituto Tecnológico Superior Nuestra Señora Del Rosario, Parroquia Catamayo, Cantón Catamayo, Provincia Loja, periodo 2013-2014.El objetivo principal consistió en establecer si las simetrías del universo se pueden utilizar como elementos motivadores para la enseñanza de la matemática en el Instituto señalado. Se planteó una investigación mixta, es decir, en parte documental y de campo. Se empleó los siguientes métodos: sintético, sintético - analítico y descriptivo. Se pudo establecer algunos resultados importantes, y así mismo se pudo obtener conclusiones de gran validez, lo que permitió plantear recomendaciones para contribuir a mejorar el proceso de enseñar y aprender matemáticas. Así, los docentes si conocen lo que es la motivación y sus elementos, y reconocen el papel que estos conceptos desempeñan en la educación; también, los familiares, aunque no son conocedores del tema, los comprende. Los profesores tienen una idea más exacta que los padres de familia sobre el concepto de simetría, asimetría y anti simetría, y de cómo estos se manifiesta en la naturaleza; pero, conocen los conceptos de simetría básica relacionados con la simetría geométrica y al respecto encuentran muchos ejemplos. No obstante, su conocimiento de las simetrías abstractas, de amplio uso en las ciencias físicas y químicas, así como en otros campos del saber humano, deja mucho que desear. Tampoco tiene una idea cabal de como la simetría, asimetría y anti simetría se combinan para dar paso a los fenómenos más excepcionales. Desconocen que la simetría global simple y sencilla gobernaba el universo; pero, luego se rompió para dar paso a lo complejo y a nuevas formas de simetría local. Increíblemente, los profesores no hacen uso de software matemático para mostrar la belleza de estos conceptos y enseñar la importancia de los mismos a través de métodos visuales. De allí que se ha presentado una propuesta en este sentido. Esto podría hacer que el alumno se interese más por
aprender matemáticas y facilitaría aprendizaje de las mismas. DESCRIPTORES: SIMETRIAS UNIVERSO ENSEÑANZA MATEMATICA
1
INTRODUCCIÓN
Esta investigación pretende establecer si las simetrías del Universo se pueden
utilizar como elementos motivadores para la enseñanza de la matemática.
Básicamente consta de tres partes: la primera comprende una investigación
bibliográfica relacionada con las dos variables tratadas en el estudio, las
simetrías del universo y su papel como elementos motivadores en la enseñanza
de la matemática; la segunda se relaciona con una investigación de campo
desarrollada en el Instituto Tecnológico Superior “Nuestra Señora del Rosario”
de la parroquia Catamayo, cantón Catamayo, provincia de Loja, sobre las
simetrías y su uso como elementos motivadores; la tercera parte que es una
propuesta de aplicación de las simetrías naturales usadas como elementos
motivadores, utilizando un utilitario matemático apropiado para el efecto y de uso
libre, tal como el Geogebra.
En la primera parte, simetrías del universo, se realiza un estudio minucioso sobre
las simetrías usuales; el álgebra abstracta y las simetrías abstractas de gran
aplicación en los diferentes campos del saber humano; un contraste entre los
conceptos simetría, asimetría y anti simetría, para dar paso a la existencia tal y
como la conocemos; y, finalmente, un estudio sobre las simetrías y la ruptura de
las mismas en los diferentes campos del saber humano: física, química, biología,
geología e incluso las artes arquitectónicas, escultóricas y la pintura.
En la segunda parte, se trata de probar las hipótesis planteadas sobre las
simetrías del universo y el uso como elementos motivadores para la enseñanza-
aprendizaje de la matemática, por parte de los docentes, de los novenos años
de Educación Básica en el Instituto Tecnológico Superior “Nuestra Señora del
Rosario”, habiéndose demostrado que los profesores no tienen un claro
concepto de lo que son las simetrías, ni las utilizan como elementos motivadores
y que tampoco emplean programas utilitarios matemáticos para enseñar y
motivar, acaso de una manera más eficiente. Estas son las principales
2
conclusiones que se extrajeron. En cuanto a las recomendaciones se sugiere a
las autoridades y docentes de la Institución ampliar sus conocimientos sobre las
simetrías y emplearlas como elementos motivadores en la enseñanza-
aprendizaje de la matemática, empleando para ello programas matemáticos.
Por tanto, en la tercera parte, se plantea el diseño de una guía para utilizar las
simetrías del universo en el aprendizaje de la Matemática, a fin de motivar a los
alumnos para que estos se sientan predispuestos y conozcan la importancia de
las mismas, no solo a lo largo de sus años de estudiantes, sino también en sus
vidas profesionales cuando estos pasen al terreno de la praxis como adultos.
3
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN
1.1 TEMA
Análisis de las simetrías del Universo como elemento motivador para la
enseñanza de la matemática, aplicable al Instituto Tecnológico Superior Nuestra
Señora Del Rosario, Parroquia Catamayo, Cantón Catamayo, Provincia Loja,
periodo 2013-2014.
1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La presente investigación está vinculada a las simetrías presentes en el Universo
utilizadas como elementos motivadores para la enseñanza de las mismas,
aplicable al Instituto Tecnológico Superior Nuestra Señora Del Rosario,
Parroquia Catamayo, Cantón Catamayo, Provincia Loja, periodo 2013-2014
El aprendizaje es un proceso profundamente subjetivo: por cuanto es necesario
que la persona que desee aprender, se sienta motivada a ello. Si por ejemplo,
una persona no desea aprender matemáticas, difícilmente se le podrá enseñar
esta asignatura. La motivación es lo que determina a hacer algo: móvil, impulso,
deseo, necesidad y curiosidad, y todo lo que despierte el interés. Por tanto, si un
alumno está suficientemente motivado para aprender matemáticas, entonces
será más fácil enseñarle. Por eso, se debe motivar a los alumnos para que
aprendan. Sin embargo, no todos ellos se acercan al centro educativo con los
mismos condicionamientos. La motivación, las creencias sobre uno mismo y los
factores emocionales influyen en la adopción de estrategias de aprendizaje
eficaces y ayudan a los alumnos a lograr conocimientos significativos y mostrar
rendimientos elevados.
4
Los estudiantes de los diferentes lugares tienen diversas características auto-
identificadas que pueden ayudarlos a aprender, y esto también sucede con los
alumnos del Instituto Tecnológico Superior Nuestra Señora Del Rosario,
Parroquia Catamayo, Cantón Catamayo, Provincia Loja periodo 2013-2014.
Estas características diferentes presentan diversos grados de asociación con el
rendimiento académico. No es extraño ver alumnos desmotivados para aprender
matemática y que presentan bajos rendimientos académicos.
Por eso, los docentes deben conocer diferentes aspectos claves sobre la
motivación, motivar a los alumnos mediante diferentes estrategias e implementar
propuestas de motivación para aprender matemática.
La personalidad de un profesor motivador presenta varias características
relacionadas con su estado anímico, con la manera de interactuar con los
estudiantes, con sus conocimientos y con su cultura general. Un profesor culto,
interesado en la ciencia, con amplio criterio e inteligente, puede ejercer gran
motivación sobre sus alumnos, y si los temas motivantes son los adecuados,
mucho más.
En todas las culturas, simetría y belleza parecen consustanciales. Reconocer y
contemplar formas y estructuras simétricas (desde un copo de nieve a una fuga
de Bach o una catedral gótica) es una fuente de placer que comenzamos a
descubrir desde la infancia. Además, la simetría gobierna también las leyes
fundamentales de la física y constituye un principio matemático básico para
comprender la estructura del universo: desde los elementos más recónditos de
la materia hasta la infinitud de los espacios cósmicos. Existen múltiples aspectos
relacionados con este concepto y sus ramificaciones en torno a la teoría del supe
cuerdo, la mecánica cuántica, la teoría de la relatividad, el Big Bang o la ley de
la conservación de la energía. (Lederman-Hill, 2006) Si un profesor tiene una
idea cabal de estos temas, puede interesar de verdad a los alumnos en la
matemática, mucho más aún si lo expone de una forma innovadora.
5
Por tanto, se pretende investigar las simetría matemáticas del universo como
elemento motivador para la enseñanza de la matemática, pero limitada al
Instituto Tecnológico Superior Nuestra Señora Del Rosario, pensando en
contribuir a mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje en el mencionado
Instituto y con la seguridad que existen los medios adecuados para llevar
adelante esta tarea. Los recursos a utilizarse serán financiados en forma
personal.
1.3 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
¿Se pueden utilizar las simetrías del Universo como elementos motivadores,
para la enseñanza de la matemática al Instituto Tecnológico Superior Nuestra
señora Del Rosario, Parroquia Catamayo, Cantón Catamayo, Provincia Loja,
periodo 2013-2014?
1.4 OBJETIVOS
1.4.1 OBJETIVO GENERAL
Establecer si las simetrías del Universo se pueden utilizar como elementos
motivadores para la enseñanza de la matemática en el Instituto Tecnológico
Superior Nuestra Señora Del Rosario, Parroquia Catamayo, Cantón Catamayo,
Provincia Loja, periodo 2013-2014.
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Realizar un estudio de naturaleza bibliográfica y de campo sobre las
simetrías presentes en el Universo para determinar cómo pueden ser un
elemento motivador para la enseñanza de la matemática.
Determinar la presencia de las simetrías en la naturaleza, en las ciencias
y en todas las áreas del saber humano, para reconocer su importancia y
6
sus aplicaciones.
Identificar elementos naturales con simetrías existentes en el entorno
para ser usados en la enseñanza de la Matemática a fin de motivar su
aprendizaje por parte de los alumnos.
Formular una propuesta para implementar el uso de las simetrías del
Universo como elementos motivadores para la enseñanza de la
matemática en el Noveno Año de Educación General Básica en el Instituto
Tecnológico Superior Nuestra Señora del Rosario, Parroquia Catamayo,
Cantón Catamayo, Provincia Loja.
1.5 JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA
Cada día es más evidente la importancia de los elementos afectivos involucrados
en la enseñanza-aprendizaje de la matemática para que una persona se interese
en esta asignatura y la pueda aprender. Es probable que una gran parte de los
fracasos matemáticos de muchos de nuestros estudiantes del Instituto
Tecnológico Superior Nuestra Señora Del Rosario, Parroquia Catamayo, Cantón
Catamayo, provincia Loja, periodo 2013-2014, radique en una postura inicial
afectiva que destruye sus propias potencialidades en este campo de la ciencia,
originado en la mayoría de las veces, por una equivocada presentación a la
misma, por parte de los docentes lo que conlleva a una inadecuada concepción
de esta ciencia para los estudiantes.
Debido a eso es que es una tarea de gran importancia lograr que a través de
diversos medios, poner en contacto a los estudiantes con la realidad
matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemáticos que con ellos
queremos explorar, de tal manera que se logre involucrarlos en la matemática
de una manera más hondamente personal y humano, lograr su interés por esta
y por consiguiente, la teoría, que concebirán los alumnos , les resulte repleta de
sentido, enteramente motivada y motivadora y por supuesto mucho más
fácilmente asimilable. Y al momento de su aplicación, en la resolución de
7
problemas, que en un inicio se presentaban como objetivos imposibles de
resolver, se pueden llegar a convertir en una fuente de satisfacción y deleite
intelectual, de fascinación frente al poder que brinda el pensamiento matemático
eficaz y de una fuerte simpatía y atracción hacia la matemática. De allí que se
observa una preocupación general en el ambiente conducente a la búsqueda de
la motivación del alumno desde un punto de vista más amplio, que no se limite
al posible interés intrínseco de la matemática y de sus aplicaciones, sino que
permita al estudiante ver en las simetrías matemáticas del universo la belleza
consustancial al mismo, aunque haya otras formas de impactar sobres los
educandos e inducirlos a inclinarse por la matemática, ya sea a través de la
evolución de histórica de la matemática, de los juegos y de la infinidad de
aplicaciones que ha proporcionado.
Una investigación sobre las simetrías presentes en el Universo utilizadas como
elementos motivadores para la enseñanza de las mismas, aplicable al Instituto
Tecnológico Superior Nuestra Señora Del Rosario , Parroquia Catamayo ,
Cantón Catamayo, Provincia de Loja, así como una propuesta de
implementación, beneficiará a la institución, a los profesores que imparten la
asignatura de matemática y sobre todo a los alumnos que la aprenderán con más
ahínco y adquirirán conocimientos más significativos, lo cual propiciaría una
mejora del rendimiento académico.
8
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1 SIMETRÍAS DEL UNIVERSO
Mucho antes de la aparición de cualquier ciencia, el ser humano se sintió
fascinado por la simetría. Los adornos simétricos al parecer representaban el
perfecto orden, la sublime belleza y la divina armonía. Las formas y los símbolos
se han encontrado en las mitologías y en las religiones; y también en todas las
manifestaciones de arte: arquitectura, escultura, pintura, música, danza, poesía,
cinematografía, fotografía e incluso historietas; así como en los objetos de uso
cotidiano. Por tanto, la simetría es un fenómeno multi-cultural. Se extiende a
todos y cada uno de los ámbitos del mundo edificado a partir de las creencias,
de los valores, del pensamiento, del sentir y de las actividades de los seres
humanos, expresiones de esa vida palpitante que se abre paso en su camino
evolutivo procurando garantizar la sobrevivencia de la especie.
De allí que no es extraño que la simetría también esté en las ciencias; tanto en
las formales como en las fácticas; en la lógica y en las matemáticas; así como
en las ciencias naturales y sociales; y en la tecnología. Y esto no debería causar
sorpresa, ya que al estar impregnada la naturaleza de simetría; también deben
estarlo las ciencias, pues estas no son más que la manera en que los seres
humanos se aproximan a la naturaleza en su afán de abarcarla, comprenderla y
servirse de ella para vivir mejor. En realidad, las diversas leyes fundamentales
de las ciencias naturales se derivan de estructuras matemáticas simétricas
unitarias. Y por tanto, por ejemplo, tampoco resulta extraño que muchos físicos
y cosmólogos de la actualidad dediquen sus esfuerzos a la investigación de las
simetrías de las partículas elementales, así como las que se encuentran
presentes en el origen y evolución del universo, y por eso, precisamente, muchos
9
de ellos son galardonados con los premios Nobeles de física. En realidad, los
científicos modernos, al igual que los pitagóricos de antaño, a menudo
comparten la creencia de un cosmos ordenado y equilibrado, con leyes
matemáticas elevadas y perfectas. Y así, para los científicos actuales, al igual
que para los de antes, en un principio, todo era simétrico y simple.
“Los estados de los sistemas dinámicos complejos se pueden referir, por ejemplo, a agrupaciones atómicas, cristales, biomoléculas, organismos y estructuras cerebrales. De allí que sea de vital importancia analizar el equilibrio dinámico así como la simetría dinámica de tales sistemas. Su belleza se puede visualizar mediante simulaciones en ordenadores.” (Mainzer, Introduction, 2005, pág. 2)
2.1.1 Simetría
La simetría está presente en todos los objetos de la naturaleza y ha servido a los
seres humanos, desde cuando empezó el proceso de hominización, para
concebir en sus mentes y crear con sus manos, herramientas o máquinas,
objetos bien estructurados, armoniosos y bellos. Por ejemplo, en el arte, en la
arquitectura, se encuentra motivos ornamentales que se repiten a iguales
distancia, sucesiones de arcadas de variación regular, rosetones en catedrales
góticas o águilas heráldicas bicéfalas; en música, las tonalidades de los preludios
de Chopin1que siguen el orden Do mayor, La menor, Sol mayor, Mi menor, Re
mayor, etc.; y en el ballet, los movimientos de una bailarina al ejecutar una danza;
todo esto constituyen aplicaciones diferentes del concepto de simetría. También
en la ciencia, el uso del concepto de simetría ha resultado fecundo, tanto a nivel
del estudio sistemático de la simetría pura, con sus características y con sus
relaciones con otras propiedades de los objetos de interés; así como mediante
sus múltiples aplicaciones en el campo de las diferentes disciplinas científicas,
incluido su reiterado empleo para la formulación de nuevas hipótesis.
Es necesario recalcar, que el concepto de simetría implica la noción de
concordancia entre varias partes que concurren para integrar un todo armónico,
1FryderyKFranciszek Chopin (Polonia, 1 de marzo 1810 — Francia, 17 de octubre de 1849) fue un compositor y virtuoso pianista polaco considerado como uno de los más importantes de la historia.
10
o, al desintegrar ese todo, se puede determinar que sus partes son
concordantes. Entonces, la simetría resulta estar vinculada a los conceptos de
proporcionalidad o conmensurabilidad de los diversos elementos de un todo,
incluyendo tanto los elementos que son semejantes como aquellos que son
opuestos. Por lo tanto, un conjunto es simétrico cuando sus elementos se
encuentran bien equilibrados o, si se prefieren, bellamente proporcionados.
De allí que, la armonía y la belleza están íntimamente relacionados con el
concepto de simetría, de tal manera que la simetría representa la relación entre
lo armoniosos y bello de las partes de un todo, y con el todo. Es decir, la simetría
es una medida de la belleza y dela armonía. Y este concepto es tan importante,
que es la base de la ordenación sistemática en el espacio, en el tiempo y en el
movimiento, de la infinita variedad de formas en que se manifiesta la existencia
a través de los objetos.(De Gortari, 1963)
“Etimológicamente, la palabra simetría proviene del vocablo griego “simetría”, el mismo que puede dividirse en: “sym” cuyo significado es con o conjuntamente; “metrón”, medida, y el sufijo “ia” que denota una cualidad. Por tanto, tal concepto implica la proporcionalidad del todo consigo mismo y entre las diferentes partes que lo componen, existiendo una manifiesta armonía entre ellas.”(Field & Golubitsky, 2009, pág. 3)
2.1.1.1 Caracterizaciones de la simetría
En geometría, la relación de simetría muestra el orden en que están dispuestos
los diversos elementos espaciales: puntos, líneas, figuras planas y cuerpos
tridimensionales.
Simetría respecto a un punto
La simetría más simple es la que existe entre dos puntos, ya sea en relación con
otro punto, con una recta con un plano. Un punto cualquiera Aes simétrico de
otro punto B, con respecto al punto C, llamado centro de simetría, cuando A y B
equidistan de C y se encuentran alineados con dicho punto.
11
Figura 2.1: Reflexión de un objeto por un punto
Fuente: Elaborado por la autora de la tesis en Geogebra
Simetría respecto de un punto (centro de inversión o de simetría)“ Dos figuras son simétricas respecto de un punto cuando las rectas que unen puntos homólogos de las dos se cortan en este punto, el cual determina segmentos iguales. (Vendrell, 2012)
Simetría respecto a una recta de dos puntos
Un punto cualquiera Q1 es simétrico de otro punto Q2, respecto a una recta,
llamado eje de simetría, cuando Q1y Q2 se encuentran sobre la misma
perpendicular y equidistan de dicha recta.
Figura 2.2: Simetría de dos puntos respecto a una recta
Fuente:Elaborado por la autora de la tesis en Geogebra
12
Simetría respecto a un plano de dos puntos
Un punto cualquiera R1 es simétrico de otro punto R2, en relación con un plano,
que se llama plano de simetría, cuando R1 y R2 son equidistantes del plano y
están colocados en la misma normal.
Dos objetos son simétricos respecto de un plano cuando todas las rectas que unen parejas de puntos homólogos en uno y otro son perpendiculares al plano y este determina en todas ellas segmentos iguales. (Vendrell, 2012)
De acuerdo con Elí de Gortari, en su Diccionario de la Lógica (1963), presenta
también las siguientes características de las figuras geométricas:
Correspondencia recíproca y biunívoca de dos puntos
La simetría entre dos puntos, ya sea respecto a un centro, un eje o un plano,
constituye una correspondencia recíproca y biunívoca; de tal manera que si el
punto P2 es simétrico de P1 respecto de un mismo centro de simetría, a la vez
que P1 es el único simétrico de P2, y viceversa; y sucede lo mismo entre los
puntos que son simétricos en relación con un eje o un plano.
La correspondencia biunívoca entre puntos de dos figuras P1 y P2 es tal que:
a) Todo punto y su transformado se encuentran sobre una recta paralela a una
dirección única llamada "Dirección de Afinidad".
Figura 2.3: Simetría respecto a un plano de dos puntos
Fuente: Elaborado por la autora de la tesis en Geogebra
13
b) Toda recta y su transformada se cortan en el "Eje de Afinidad"
(http://www.dibujotecnico.com)2
Por ejemplo, los vértices de un triángulo y sus lados, pueden ser puestos en
correspondencia biunívoca, apareando cada vértice con su lado opuesto
correspondiente.
Correspondientes simétricos de líneas o figuras planas
“En el caso de una línea o una figura plana, tenemos que sus correspondientes simétricos con respecto a un centro de simetría son la línea ó la figura plana constituida por el conjunto de los puntos simétricos respectivos.” (De Gortari, 1963)
Es decir, los correspondientes simétricos de una línea o una figura plana,
respecto de centro de simetría, son la línea o la figura plana constituida por el
conjunto de los puntos simétricos según corresponda.
Igualdad de líneas y figuras simétricas
“Las líneas y figuras planas simétricas son iguales entre sí y se pueden superponer coincidiendo en todos sus puntos.” (De Gortari, 1963)
Las líneas simétricas son iguales, ya que estando en un mismo plano jamás
llegan a unirse al proyectarse sus extremos, pero son equidistantes la una de la
otra, es decir, los puntos más próximos de ambos guardan siempre la misma
distancia. Mientras que las figuras simétricas son iguales entre sí, porque poseen
la misma cantidad de lados, ángulos y medidas.
Simétricos de centros, ejes y planos de simetría
“El punto que sirve como centro de simetría tiene la particularidad de coincidir con su simétrico; y lo mismo ocurre con las rectas y planos que pasan por el centro de simetría.” (De Gortari, 1963)
2http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/vocabulario.php
14
Los simétricos de los centros, ejes y los planos de simetría, respecto de si
mismos, son los mismos centros, ejes y planos.
Líneas o figuras planas simétricas respecto de un eje
“En relación con un eje de simetría, coinciden con sus simétricos los puntos que forman dicho eje; y lo mismo sucede con la propia recta que sirve como eje, con las rectas perpendiculares a ella y con los planos que la contienen.” (De Gortari, 1963)
Los simétricos del eje de simetría, las perpendiculares a dicho eje y los planos
que lo contienen, respecto del eje de sí mismos, coinciden consigo mismo. En
una reflexión del objeto geométrico se traslada o copia a través de una recta a
otra posición equidistante. La recta a través de la cual se refleja un objeto se
llama eje de simetría. El resultado es una imagen especular (espejo) de la
original.
Líneas o figuras planas simétricas respecto a un plano
“Con respecto a un plano de simetría, coinciden ,con sus simétricos los puntos que pertenecen a ese plano, lo mismo que las rectas contenidas en el propio plano, las rectas perpendiculares, el plano de simetría y los planos normales al mismo” (De Gortari, 1963)
Los simétricos de los puntos y las rectas contenidas en los planos de simetría,
así como las perpendiculares y los planos normales a los mismos, respecto de
dichos planos, coinciden consigo mismo.
Simetría de figuras planas o cuerpos tridimensionales respecto de un
centro
“Entre un cuerpo tridimensional y su forma simétrica, constituida por el conjunto de puntos simétricos con respecto a un centro de simetría, lo que existe es justamente una relación de antisimetría.” (De Gortari, 1963)
La forma simétrica de una figura plana o de un cuerpo tridimensional, respecto
de un centro de simetría, está constituida por el conjunto de puntos simétricos,
respecto a dicho centro, da lugar a una relación de anti simetría.
15
Figura 2.4: Solución antisimétrica del pozo de potencial doble de Dirac
Fuente:http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/08/el-potencial-delta-de-dirac.html
Anti simetría
“Una pareja de líneas, figuras o formas anti simétricas está constituida por líneas, figuras o formas dispuestas inversamente; de tal manera que tienen todos sus puntos, ángulos, diedros y curvas iguales, pero exactamente de modo que están orientados a la inversa y, por ende, no se pueden superponer.” (De Gortari, 1963)
Una relación binaria ℛ sobre un conjunto 𝒜 es anti simétrica cuando se da que
si dos elementos de 𝒜 se relacionan entre sí mediante ℛ, entonces estos
elementos son iguales; es decir, para todo a, b∈ 𝒜, si se cumple que si a está
relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a es igual a b.
2.1.1.2 Tipos de Simetrías
La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistema,
ecuaciones y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con
su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o cambios.
(http://es.wikipedia.org)3
En condiciones formales, un objeto es simétrico en lo que concierne a
una operación matemática dada si el resultado de aplicar esa operación o
transformación al objeto, el resultado es un objeto indistinguible en su aspecto
del objeto original. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a
un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas
3 http://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa
16
operaciones (y viceversa). Cuando hablamos de objetos físicos o elementos
geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones
geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Dos
simetrías sencillas son la simetría axial y la simetría central.
2.1.1.2.1 Simetría Axial
La simetría axial, es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema
tiene simetría axial o axisimetría cuando todos los semiplanos tomados a partir
de cierto eje y conteniéndolo presentan idénticas características.
(http://www.ecured.cu)4
Se habla de simetría axial, en donde el "eje" de simetría en realidad es un plano,
como por ejemplo, un pino de boliche, cuando se parte con un plano vertical que
pasa por el centro del pino cuando está de pie. Para determinar si existe la
simetría axial, se considera que los puntos que pertenecen a una figura
sean coincidentes con los puntos que forman parte de otra figura, tomando a
modo de referencia el eje de simetría (una línea). De esta manera, la simetría
axial supone un fenómeno similar al que ocurre cuando un espejo refleja una
imagen.
Otros ejemplos de simetría axial se encuentran en el ser humano, cuyo eje de
simetría es una línea vertical que pasa por el centro del cuerpo, visto de frente;
en un triángulo isósceles, cuyo eje de simetría es la bisectriz de los lados que
son iguales; la torre latinoamericana, cuyo eje de simetría es una recta vertical
que pasa por el centro del edificio, cuando se lo mira de frente.
2.1.1.2.2 Simetría Radial
Denominada también simetría rotacional, es la simetría respecto a un punto
central, de modo que un sistema físico o geométrico tiene simetría esférica
4 http://www.ecured.cu/index.php/Simetr%C3%ADa
17
cuando todos los puntos a una cierta distancia del punto central son
equivalentes.(http://www.ecured.cu)
Decimos que una figura plana tiene simetría rotacional cuando podemos
encontrar un centro (llamado centro de rotación) de manera que si giramos la
figura completa un cierto ángulo (mayor o igual a 0º y menor que 360º), la figura
rotada coincide con la figura original.
Cuando una figura tiene simetría rotacional, a cada punto le corresponden otro
punto (que se llama "punto rotado" o "imagen") a la misma distancia del centro,
de forma que el ángulo que forman ambos con el centro de rotación es siempre
el mismo. El número de veces que se puede hacer coincidir la imagen rotada con
figura original se llama orden de la rotación.
Puede hablarse también de simetría radial, con respecto a un punto, como por
ejemplo, la esfera. Más ejemplos se contemplan en ya sea un erizo de mar, visto
desde arriba, tiene su centro de simetría en el centro geométrico de la figura que
proyecta; un cuadrado, cuyo centro de simetría es el centro del cuadrado, ya que
cualquier punto del cuadrado tiene una imagen idéntica, situada a la misma
distancia del centro, en el lado opuesto. El Capitolio, visto desde arriba, tiene
simetría radial, con respecto al centro de lo que parece ser una "cúpula".
2.1.1.3 Operaciones de simetría
Una operación de simetría, es un movimiento que, realizado sobre un cuerpo
cualquiera, conduce a una configuración equivalente a la inicial. Por equivalente
se entiende indistinguible, pero no necesariamente idéntica.(http://www.ehu.es)5
Las operaciones de simetría reproducen las porciones de los objetos de tal modo
que la porción que resulta del mapeo no aparece distorsionada. Esto quiere
decir que se mantienen constantes las distancias y los ángulos. (Todas aquellas
que puedan escogerse en la porción del objeto simétrico).
5http://www.ehu.es/zorrilla/juanma/T4Simetria.pdf
18
A continuación las operaciones de simetría:
- Igualdad e Identidad: Dos figuras planas son iguales cuando sus lados y sus
ángulos son iguales y están dispuestos en el mismo orden. Se expresa con el
signo=. A=A’. Dos figuras son idénticas cuando se superponen exactamente. Se
expresa con el signo Ξ. B ΞB´. Todas las figuras idénticas son iguales, pero no
todas las figuras iguales son idénticas. (http://es.slideshare.net)6
Identidad es la representación invariada del objeto sobre sí mismo. Toda figura
de forma constante posee esta clase de simetría. Rotación de 0° a 360°
alrededor de un punto de identidad.
- Rotación: Algunas veces llamada simetría de giro. Una forma geométrica tiene
simetría rotacional alrededor de un punto O si se puede hacer que coincida
exactamente sobre el original cuando se rota alrededor de O un cierto ángulo
positivo menor a un ciclo completo. (http://www.mathematicsdictionary.com)7
Realiza una rotación de 360°/n alrededor de un eje. Por ejemplo, un hexágono
regular tiene simetría rotacional. El ángulo de rotación es de 60° y el orden de la
simetría rotacional es de 6. Mientras que un triángulo escaleno no tiene simetría
rotacional.
- Traslación: Simetría que tiene una figura si se puede hacer que coincida
exactamente en la original cuando se traslada una distancia dada en una
dirección dada. La simetría de traslación sólo existe para patrones infinitos.
Cuando se trabaja con un patrón finito, se entiende que la simetría de traslación
sólo sería verdadera si el patrón fuera a continuar indefinidamente.
Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de
orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos
6http://es.slideshare.net/3Raquel/3atransformaciones-igualdad-traslacin-giro-y-simetra 7http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/r/rotationalsymmetry.htm
19
trasladados, a las cuales deslizan según el vector.
(http://www.educacionprimariaparapadres.com)8
- Inversión: Proyecta cada punto a una distancia igual en el otro lado del centro
de inversión. (http://repositori.uji.es)9
Es una operación que traslada un punto en una línea a través del origen (centro
de inversión) a una distancia igual al otro lado del origen.
- Reflexión: Esta operación se lleva a cabo a través de un plano (plano de
simetría) que produce una imagen reflejada coincidente con el objeto original. Es
fácil de reconocer, porque una mitad es la imagen en un espejo de la otra mitad.
Un elemento posee simetría de reflexión si una línea se puede dibujar hacia su
centro de tal manera que las dos mitades resultantes se reflejan mutuamente. La
simetría reflexiva puede ser pensada como una línea invisible volteada que
produce dos imágenes en un espejo a cada lado de la
línea.(http://www.ehowenespanol.com)10
Por ejemplo, el reflejo en un lago tiene simetría, pero en este caso, el eje de
simetría es el horizonte no es perfectamente simétrica, la imagen ha cambiado
un poco por culpa de la superficie del lago.
El eje de simetría no tiene que ser vertical ni horizontal, puede ir en cualquier
dirección.
2.1.1.4 Elementos de simetría
“Los elementos de simetría de una figura quedan determinados por los puntos, ejes o planos con respecto a los cuales existen las simetrías.” (De Gortari, 1963)
8http://www.educacionprimariaparapadres.com/moodle/mod/page/view.php?id=442 9http://repositori.uji.es/xmlui/bitstream/handle/10234/6953/1Tema1Simetria.pdf?sequence=100 10http://www.ehowenespanol.com/simetria-reflexion-info_290521/
20
El lugar geométrico que ayuda a la visualización de la simetría de una
distribución ordenada recibe el nombre de elemento de simetría. Los elementos
de simetría puntual (la operación de simetría deja un punto particular del
diagrama inmóvil), sin traslación, son el plano de simetría, el eje de rotación y el
centro de simetría o centro de inversión. La posibilidad de realizar una operación
de simetría con un objeto pone de manifiesto que ese objeto posee el
correspondiente elemento de simetría.
Plano de simetría: o de reflexión, refleja partes, o todos, idénticos del objeto
a través de un plano.
Plano de simetría o plano especular es un plano de reflexión a través del cual
se obtiene una copia idéntica a la molécula original. (http://es.wikipedia.org)11
“Una línea, figura plana o forma tridimensional tiene un plano de simetría, cuando todos sus puntos se pueden permutar por sus simétricos correspondientes con respecto a ese plano, sin que se altere la línea, figura o forma. En ese caso, el plano de simetría también divide la línea, figura o forma en dos partes que son respectivamente anti simétricas y, por lo tanto, equivalentes.” (De Gortari, 1963)
Eje de simetría: El eje de simetría es una línea de referencia imaginaria que al dividir una forma cualquiera en dos partes, sus puntos opuestos son equidistantes entre sí, es decir, quedan simétricos. En otras palabras, esta línea imaginaria de una figura geométrica, lo que hace es dividirla en dos partes idénticas pero invertidas como en espejo. Una figura puede tener más de un eje de simetría.
“Una línea, figura plana o forma tridimensional contiene un eje de simetría cuando todos sus puntos se pueden permutar por sus simétricos correspondientes en relación con dicho eje, sin que se altere la línea, figura o forma. Entonces el eje de simetría divide la línea o figura plana en dos partes respectivamente anti simétricas, que son enteramente equivalentes.” (De Gortari, 1963)
Centro de simetría: (i) o centro de inversión, es un elemento de simetría
puntual que invierte el objeto a través de una línea recta. El centro de simetría
11http://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa_molecular
21
coincide con el centro de figura. Si se trata de una línea, ésta queda dividida
por su centro de simetría en dos partes respectivamente anti simétricas
“Una línea, figura o forma tridimensional contiene un centro de simetría, cuando todos sus puntos se pueden permutar entre sí por sus correspondientes simétricos con respecto a dicho centro, sin que se altere la línea, figura o forma tridimensional.” (De Gortari, 1963)
2.1.2 SIMETRÍAS EN LAS CIENCIAS
Mucho antes de cualquier ciencia, el hombre se sintió fascinado por la simetría.
Adornos simétricos parecen representar el perfecto orden, la belleza y la divina
armonía. Formas y símbolos simétricos se encuentran en el arte y la arquitectura,
así como en los objetos de uso cotidiano y en las mitologías de las religiones. La
simetría es un fenómeno multi-cultural. Se extiende por el mundo de la vida
humana, la tecnología, la cultura y la naturaleza, y por lo tanto busca la unidad
de las ciencias naturales y humanas.
Científicos modernos a menudo comparten con los pitagóricos de la antigüedad
la creencia en un cosmos ordenado y en equilibrio con las leyes matemáticas
más altas y perfectas: al principio, había simetría y simplicidad. Si no existieran
simetrías, en la Tierra habría días de 24 horas y otros de cinco minutos;
viviríamos en un planeta deforme en donde la gravedad proyectaría objetos en
todas direcciones; habría explosiones inexplicables. Sería un mundo
peligrosamente caprichoso. Por fortuna, hay simetrías, hay reglas que nos dicen
que los planetas son esféricos, que los rostros son simétricos, que todos los días
duran lo mismo, que hay frío y calor, que hay positivo y negativo, que existe el
bien y el mal. Las simetrías del universo son reglas que controlan el balance y la
estabilidad de la naturaleza.(http://ciencias.jornada.com.mx )12
12 http://ciencias.jornada.com.mx/investigacion/ciencias-fisico-matematicas/investigacion/en-un-universo-super-simetrico
22
Conceptualmente las simetrías han sido caracterizadas en la naturaleza a través
de las propiedades de ciertos objetos de estudio; por ejemplo, la identidad de
partes en la composición de los llamados sólidos cristalinos, cuyos átomos se
estructuran con diversas regularidades. Descubrir la simetría específica que
exhibe el material puede, en ese caso, ser muy útil para entender sus
propiedades. Sin embargo, la idea de simetría es mucho más amplia y adquiere
formas que no siempre son accesibles en la observación directa. Se trata del
problema fundamental de la ciencia: entender el mundo más allá de su
manifestación diversa. Es decir, el propósito de descubrir o inventar las causas
últimas se entrelaza directamente con la búsqueda de las simetrías esenciales
de la naturaleza.
En este apartado se propone introducir estas ideas, explorando las
consecuencias de mirar la naturaleza a través de sus simetrías más esenciales.
En este propósito, se establecerá las conexiones que el tema exhibe en relación
al arte y la percepción. Pero, es evidente que la idea de explorar las simetrías
atraviesa todo el conocimiento y su aplicación en los diversos dominios de las
actividades humanas.
2.1.2.1 Simetría en las Ciencias Físicas
La simetría en física incluye todos los rasgos de un sistema físico que exhibe
propiedades de la simetría, esto es, que bajo ciertas transformaciones, aspectos
de esos sistemas son “incambiables”, de acuerdo a una observación particular.
Una simetría de un sistema físico es un rasgo físico o matemático de un sistema
que es preservado sobre cierto cambio (Transformación).
La Física clásica de Galileo y Newton, esto es, la mecánica desarrollada luego
por Lagrange, Hamilton, Mapertuis, etc., como la teoría especial de la relatividad
formulada por Einstein, descansan, para poder desarrollarse, en la postulación
implícita de simetría en el contexto del espacio-tiempo. Esta postulación de
simetría para la formulación y desarrollo de las leyes de la física constituye tanto
lo que entendemos por homogeneidad e isotropía del espacio, por una parte,
23
como por lo que llamamos uniformidad del transcurrir del tiempo, por otra.(
http://casanchi.com)13
Simetrías en física:
Translación de tiempo: Un sistema físico puede tener los mismo rasgos sobre
cierto intervalo de tiempo, esto es expresado matemáticamente como una
invariancia bajo la transformación para cualquier número real t y a en el
intervalo. Por ejemplo, una partícula solamente afectada por la gravedad tendrá
energía potencial gravitacional cuando está suspendida a una altura h por
encima de la superficie terrestre. Asumiendo que no hay cambio en la altura de
la partícula, ésta será la energía potencial gravitacional de la partícula en todos
los tiempos. En otras palabras, si consideramos el estado de la partícula en
cierto tiempo (en segundos), la energía potencial gravitacional total de la
partícula será preservada.
Translación espacial: Esas simetrías espaciales son representadas por
transformaciones de la forma y describen aquellas situaciones en donde la
propiedad de un sistema no cambia con un continuo cambio de posición. Por
ejemplo, la temperatura en una habitación puede ser independiente de dónde
el termómetro esté localizado en la habitación.
Rotación espacial: Esas simetrías espaciales son clasificadas como rotaciones
propias y rotaciones impropias. Las primeras son simplemente las rotaciones
“ordinarias”; matemáticamente, ellas son representadas por matrices
cuadradas de determinante uno. Las segundas son representadas por matrices
cuadradas de determinante -1 y consisten de una rotación propia combinada
con una reflexión espacial (inversión). Por ejemplo, una esfera tiene simetría
de rotación propia.
Otras simetrías: Hay otros sistemas físicos que muestran evidentes simetrías,
aunque no se les presta la debida atención; por ejemplo, un péndulo se
comporta exactamente en un sitio, que si es desplazado diez metros (esto es
13http://casanchi.com/fis/simetria01.htm
24
una simetría de traslación espacial): o si se lo observa a una hora determinada,
o después de un periodo de tiempo determinado (esto es una simetría de
traslación temporal). Para algunos, la simetría de traslación de los sistemas
físicos puede que no tenga ninguna importancia, pero está relacionada con
conceptos de importancia fundamental en física: principios de conservación de
la energía y la cantidad de movimiento (momento).
“Para los conceptos de simetría de la física moderna, lo primero a tratar es la invariancia de Lorentz de la fuerza libre del espacio de Minkowskicuatri-dimensional de la teoría de la relatividad espacial, en el que dos observadores tienen velocidad constante uno respecto al otro. Es una cuestión de simetría global, ya que las transformaciones se refieren a todas las coordenadas de espacio-tiempo.”(Mainzer, Symetry and complexity, the spirit and beuauty of nonlinear science, 2005, págs. 6-7)
2.1.2.2 Simetría en química
En química la simetría geométrica de las moléculas es importante,
particularmente en química orgánica. Además propiedades como su momento
dipolar y las transiciones espectroscópicas permitidas, pueden predecirse o ser
explicadas a partir de la simetría de la molécula. (http://es.wikipedia.org)14
En química, los conceptos de simetría son de gran utilidad por cuanto permiten
establecer una serie de relaciones de las cuales se puede sacar ventaja, al
menos en forma cualitativa. Uno de los problemas de más importancia en esta
área es el conocimiento de la estructura molecular y de las consecuencias que
de ella se derivan. La simetría es una herramienta muy útil para tratar este
problema puesto que puede dar información acerca de cómo se relacionan entre
sí los átomos en una molécula y de cómo se relacionan entre sí las moléculas
individuales en un cristal. Por otra parte, el número y clase de niveles de energía
que una molécula o un átomo pueden tener están determinados por la simetría
de la molécula o por los alrededores del átomo. Entonces, simplemente a partir
de consideraciones de simetría puede decirse cuántos estados energéticos hay
14 http://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa
25
y qué interacciones y transiciones pueden ocurrir entre ellos. En principio, la
simetría puede decir que los estados de un sistema deben diferir en energía,
pero sólo por cálculos o medidas puede establecerse qué tan grande debe ser
esa diferencia. (http://www.virtual.unal.edu.co)15
En química una molécula es simétrica si tiene unas partes similares a otras es
decir, si unos átomos equivalen a otros. Para saber si unos átomos son
equivalentes a otros se hace un estudio de la molécula por simetría.
Un compuesto químico se identifica determinando su estructura. La mayoría de
los métodos para determinar estructuras, son métodos espectroscópicos, y la
base de estos métodos es la simetría.
2.1.2.3 Simetría-asimetría en Biología
Estados simétricos y biología
Simetría anatómica, se refiere a que la disposición de los órganos u orgánulos
en un individuo es isotrópica desde cualquier ángulo que se observe al
biosistema. (http://www.biocab.org)16
Para el primer estado, se pueden decir que no existen biosistemas
absolutamente espacialmente simétricos. Siempre habrá diferencias en las
dimensiones y en la disposición de los órganos u orgánulos de los
biosistemas. Por ejemplo, los seres humanos poseen un hígado del lado
derecho que no se encuentra en el lado izquierdo; además, cuando se analiza
órganos bilaterales, un órgano es diferente en tamaño y funcionalidad con
respecto al órgano homólogo: un riñón funcionará con mayor capacidad que
el otro, o será más pequeño que el otro, etc.
Simetría dinámica, la cual se refiere a la ausencia de varianza rotatoria. Esto
significa que no existen diferencias observables a nivel molecular, aun cuando
el biosistema se encuentre en movimiento. (http://www.biocab.org)
15 http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000189_2/ 16http://www.biocab.org/Simetria_Asimetria.html
26
En el estado de simetría dinámica, se puede observar que tampoco existe en
los seres vivientes debido a que las divergencias entre los ángulos y entre las
dimensiones de las estructuras permiten la visualización de cualquier
movimiento rotatorio del biosistema.
Simetría energética, la cual alude a que el flujo y la densidad de la energía
interna del biosistema es indistinguible del flujo y la densidad de la energía del
entorno. (http://www.biocab.org).
En este tercer tipo de simetría, se observa también una varianza rotatoria con
respecto al flujo y las densidades de la energía interna. Dicha varianza
rotatoria es anisotrópica17 porque siempre observamos una direccionalidad
preferida en el flujo de la energía y una predilección por una densidad de
energía específica, los cuales permiten mantener la energía interna en un
estado cuasi-estable, es decir, con variaciones mínimas.
Asimetría en biología
Los científicos piensan que la vida es consecuencia de la ruptura de la simetría
en conglomerados moleculares con características peculiares, como por ejemplo
la adquisición, almacenamiento y manipulación autónoma de la energía del
ambiente. Antes de la ruptura de la simetría térmica, los seres vivientes no eran
más que partículas abióticas apiñadas dentro de glóbulos que se denominan
micro-esferas, las cuales carecían de varianza rotacional y eran indistinguibles
unas de otras. (http://www.biocab.org)
En algún punto del enfriamiento del entorno, las biomoléculas pudieron reunirse
en conjuntos asimétricos. Algunos de esos grupos podían resistirse al retorno a
la simetría mediante el control de la energía ambiental para mantener una
densidad de energía interna cuasi-estable y asimétrica con respecto al Universo.
17Anisotrópica: pertenenciente a la anisotropía. La anisotropía es la propiedad general de la materia según la cual cualidades como: elasticidad, temperatura, conductividad, velocidad de propagación de la luz, etc. varían según la dirección en que son examinadas. La anisotropía de los materiales es más acusada en los sólidos cristalinos, debido a su estructura atómica y molecular regular.
27
Si se incrementa paulatinamente la temperatura ambiental de un biosistema, se
llega al punto en que el biosistema pierde su funcionalidad y muere. Esto es
porque se altera el estado producido por la ruptura de la simetría. Si se continúa
incrementando la temperatura, el biosistema se desintegra y forma porciones
simétricas espacialmente. Si se incrementa aún más la temperatura, se llega a
un punto en que ocurre la ionización y se recupera la simetría del sistema.
2.1.2.4 Simetría en el Arte
La simetría en el arte comprende el estudio relacionado con la arquitectura y
pintura, que está abordado en el siguiente orden:
Simetría y arquitectura
La simetría en la arquitectura implica axialidad, o centralidad en la forma del
edificio. La simetría bilateral crea un balance en un elemento o estructura
arquitectónica, mientras que la simetría radial crea un lugar apartado por
elementos repetitivos alrededor. La arquitectura monumental generalmente usa
simetría, la forma simétrica puede mostrar una estabilidad y control sobrios. Sin
embargo, los elementos arquitectónicos simétricos también pueden evocar
armonía y orden en un espacio. Por otro lado, el uso de asimetrías crea espacios
dinámicos con sorpresas. (http://www.ehowenespanol.com)18
El ser humano comprende lo simétrico desde sus orígenes y ha sabido encontrar
relaciones de simetría en los lugares más insospechados y concebir modos de
explotarla o simplemente de celebrarla. Un buen ejemplo de celebración de la
simetría lo es la construcción de templos y obras monumentales como las
pirámides Mayas o las del antiguo Egipto.
Simetría radial
En la simetría radial los elementos se distribuyen en varios ejes que pasan por
un punto común situado en el centro y van girando como radios de una
18http://www.ehowenespanol.com/usos-arquitectonicos-simetria-info_217195/
28
circunferencia. Este tipo de simetría es muy utilizada en las pinturas murales y
motivos decorativos de las cúpulas en arquitectura.
(http://recursostic.educacion.es)19
La simetría radial implica un centro y un contexto circundante repetitivo o
continuo. Muchas estructuras funcionales usan simetría radial, como
fortificaciones y estadios. Las estructuras radiales ponen énfasis en el área
central de un lugar. Por ejemplo, el Panteón en Roma es circular y el emperador
se sentaba en su trono debajo del óculo de la estructura, la estructura circular en
la parte superior del domo.
Simetría bilateral
La simetría bilateral, es el equilibrio en la distribución de componentes similares
en un conjunto a ambos lados de un eje común.(http://www.parro.com.ar)20
La simetría bilateral crea una organización axial del espacio. El centro comercial
en Washington, D.C., es bilateralmente simétrico, llevando a los visitantes del
Capitolio al Monumento a Lincoln. Más aún, muchas iglesias y bancos tienen
simetría bilateral interior y exterior enfatizando poder y grandiosidad. Además,
las casas tradicionales romanas y chinas son bilateralmente simétricas,
enfatizando en los patios centrales y evocando un sentido de conexión. Los
detalles y elementos arquitectónicos generalmente tienen simetría bilateral para
crear armonía y orden en un espacio. Las elevaciones interiores, puertas y
corredores, al igual que volúmenes espaciales, son generalmente simétricos,
incluso en estructuras asimétricas. Además, los muebles y la decoración tienen
elementos bilateralmente simétricos, si no perfectamente simétricos.
Asimetría
El uso de la asimetría puede ser chocante para el habitante, pero también da
vida al espacio. Las casas Queen Anne tienen ventanas y rasgos asimétricos,
19http://recursostic.educacion.es/artes/plastic/web/cms/index.php?id=2500 20http://www.parro.com.ar/definicion-de-simetr%EDa+bilateral
29
mientras que la mayoría de la arquitectura moderna usa asimetría para enunciar
funciones espaciales separadas. La asimetría también puede provocar una
sensación de desorden, los espacios asimétricos pueden lucir despeinados y
salvajes.
“La nueva Arquitectura ha eliminado tanto la monótona repetición como la rígida regularidad de las dos mitades, la imagen en el espejo, la simetría… En vez de simetría, la nueva Arquitectura ofrece una relación equilibrada de partes dispares” (Doesburg, 1924)
Surge así la asimetría de formas como una nueva forma de equilibrio: el equilibrio
funcional y práctico, pues según este autor, la arquitectura debe ser elemental,
funcional, económica, e informe pero definida.
Simetría en pintura
La composición de un cuadro tiene muy en cuenta la ordenación de los
elementos en un todo unitario. El concepto de simetría es uno de los aspectos a
valorar. En un primer estadio, el pintor ordena los elementos en función de un
eje -eje de simetría- y los distribuye de manera ordenada a su derecha e
izquierda. El mundo románico y gótico tiene muy en cuenta esta organización y
repite los elementos de manera idéntica. Sin embargo, el artista renacentista
tiende a la compensación del espacio en función de los grupos, que se apartan
de la repetición estereotipada del mundo medieval. La razón es una mayor
individualidad de los personajes y objetos que adquieren así una personalidad
propia. (http://es.slideshare.net)21
El concepto de simetría va muy ligado a los tipos de composición. La
composición cerrada acostumbra a ordenarse en función de un eje central. Se la
podría definir como aquella en la que todos los elementos se dirigen hacia el
centro teórico del cuadro -composición centrípeta- y, normalmente, incluye la
totalidad de los elementos de la representación. Es propia del mundo medieval
y renacentista. La composición abierta puede ordenarse alrededor de un eje
21http://es.slideshare.net/redondus/unidad-4-composicin-como-expresin
30
central o lateral o en función de un punto de fuga exterior. Se la define como
aquella en la que los elementos huyen del centro teórico -composición
centrífuga- y, a veces, los excluye, en parte, de la representación. Es propia del
momento manierista y barroco. Generalmente, la composición cerrada globaliza
todos los elementos, mientras que la abierta los fragmenta.
(http://es.slideshare.net)22
“La pintura artística es el arte de la representación gráfica
utilizando pigmentos mezclados con otras sustancias aglutinantes
orgánicas o sintéticas. En este arte se emplean técnicas de pintura,
conocimientos de teoría del color y de composición pictórica, y el
dibujo, dando lugar a una obra de arte según unos principios
estéticos.”(Varios, Almendron.com, 2013)
2.2 ELEMENTOS MOTIVADORES EN LA ENSEÑANZA DE LA
MATEMÁTICA
La matemática es una ciencia antigua, tan antigua como la civilización misma, y
desempeña un papel de máxima importancia en cualquier ámbito de la sociedad.
Sin embargo, las matemáticas, con sus profundos y complejos problemas; y
estos problemas se alcanzan y se inmiscuyen en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de las mismas, a tal punto que, a cualquier nivel, su enseñanza o su
aprendizaje, se considera como una tarea difícil, tanto para los profesores como
para los alumnos, y es percibida como una asignatura excesivamente formal,
rigurosa y dura. Por tanto, no es extraño que esta visión genere el rechazo de su
estudio, provocando un clima de desmotivación que, de no erradicarse, puede
afectar el aprendizaje que se espera del estudiante. Por tal motivo, le
corresponde al docente la tarea de buscar formas para mantener al estudiante
motivado e interesado en las clases de matemáticas y en sus contenidos,
logrando que mantenga su atención y que conozca el fascinante mundo de las
matemáticas, así como su importancia. Por ello, el profesor debe apoyarse en
estrategias de enseñanza eclécticas: trabajo activo y colaborativo, comunidades
22http://es.slideshare.net/redondus/unidad-4-composicin-como-expresin
31
de aprendizaje, uso de herramientas lúdicas y uso de tecnologías, y demás
elementos motivadores en la enseñanza de la matemática.
Actualmente como en otros tiempos, los educadores se preocupan por el bajo
rendimiento académico de los estudiantes en los diferentes niveles de
educación, más aún si se considera que sus rendimientos escolares han decaído
bruscamente, sobre todo en las áreas donde se utiliza más las matemáticas. A
raíz de esto, diferentes investigadores y autores se han reunido para realizar
estudios acerca de esta problemática con la finalidad de determinar si existe
relación o no entre motivación y rendimiento académico, de manera que se
planteen soluciones que conduzcan a despertar o elevar el ánimo de los
estudiantes por el aprendizaje de las matemáticas y de sus diferentes ramas, así
como por las aplicaciones que puedan tener esta en los diferentes campos del
saber. Es decir, en resumidas cuentas, de lo que se trata es de motivar a los
alumnos para que aprendan con entusiasmo las matemáticas.
“El aprendizaje eficiente requiere, entre otras cosas, de la creación
y del mantenimiento de un ambiente que propicie el logro de los
objetivos educativos. Por ello las instituciones educativas deberían
proporcionar a la población estudiantil lugares óptimos, en los
cuales se produzcan aprendizajes significativos. Esto no siempre
es así; y, es común observar que muchas instituciones no cumplen
ni de lejos con este principio.”(Roa Pereira, 2007)
2.2.1 MOTIVACIÓN
Según el diccionario Enciclopédico Larousse, se define a la motivación como:
“Conjunto de factores que determinan el comportamiento"
(www.monografias.com)23
Se puede definir además como el interés que ponga el alumno por su propio
aprendizaje o por las actividades que lo dirigen a él. El interés se lo puede
obtener o incrementar en función de elementos intrínsecos y extrínsecos.
23http://www.monografias.com/trabajos50/motivacion-ensenanza/motivacion-ensenanza2.shtml
32
La motivación está relacionada con el propósito o el fin perseguido por una
conducta determinada y está relacionado con el conjunto de fuerzas que actúan
sobre una persona o en su interior, provocando que se comporte así y se
encamine hacia una meta. Permite una construcción teórica cuyo propósito es
comprender las condiciones que activan una conducta dirigiéndola hacia el logro
de un fin u objetivo determinado.
En estas definiciones existen diferencias significativas respecto de este
concepto, ya que para algunos está asociado a una fuerza o energía, mientras
que para otros está relacionado con un proceso. Para los que sostienen que la
motivación es un proceso, este proceso se desarrolla en el estudiante en tres
fases: 1) aprehensión de un valor para sus vidas y sus aspiraciones; 2)
convencimiento de que pueden conseguir ese valor; y 3) liberación del esfuerzo
personal para conquistar el valor.
En la motivación también influyen las metas y objetivos del individuo. Las metas
constituyen la principal variable que influye en la motivación y establece cuatro
tipos de metas: las relacionadas con la tarea, las relacionadas con la
autovaloración, las relacionadas con la valoración social y las relacionadas con
la consecución de recompensas externas. Las primeras metas se encuentran
cuando el estudiante quiere aprender. Las metas centradas en la tarea pueden
dar origen a tres posibles tipos de motivación: la intrínseca, la motivación de
competencia y la motivación de control. A éstas se agrega la motivación
extrínseca, en la que el aprendizaje es secundario y no permanente.
“La motivación, podemos considerarla como un conjunto de procesos implicados en la activación, dirección y persistencia de la conducta. Por tanto, el nivel de activación, la elección entre un conjunto de posibilidades de acción y el concentrar la atención y perseverar ante una tarea o actividad son los principales indicadores motivacionales..”(De la Rosa Vidal.2008, p.22)
2.2.1.1 CLASIFICACIÓN DE LA MOTIVACIÓN
Para explicar las diferentes clases de motivación debemos conocer que estos
se basan en factores internos y externos que influyen en el alumno.
33
Existen dos formas de llevar al alumno a motivarlo al estudio, una sería
mediante el estímulo hacia el reconocimiento de la necesidad de estudiar, y la
otra sería obligándolo mediante la exigencia en donde la motivación puede ser
positiva y negativa
“Las búsquedas metodológicas van acompañadas de otras en las que se activa el proceso de enseñanza, se fomenta la autonomía de los alumnos, etc. Lo que en todo ello se pretende formar en estos unos intereses cognoscitivos suficientemente estables, que se conviertan en impulso, en motivación del proceso de enseñanza y puedan asegurar el éxito de la misma” (Lákóvson. 1972)
2.2.1.1.1 MOTIVACIÓN POSITIVA
Se puede definir a la motivación positiva como un deseo constante de
superación, guiado por una actitud positiva la misma que debe ser puesta en
práctica diariamente con la finalidad de que se convierta en una ejecución
constante y parte propia de la personalidad
“La motivación es positiva cuando procura llevar al alumno a estudiar teniendo en cuenta el significado que guarda la materia para la vida del alumno, el aliento el incentivo y el estímulo amigable"(Duque Yepez 2006, p13)
La motivación positiva puede ser a su vez intrínseca y extrínseca.
2.2.1.1.2 MOTIVACIÓN INTRÍNSECA
La motivación intrínseca es aquella que ocurre cuando se consigue la atención
del estudiante, bien sea porque el tema es interesante o porque las actividades
que se desarrollan atraen la atención de quien aprende. Con esta motivación el
alumno se siente a gusto, cómodo con aquello que el realiza. El alumno puede
estar incrementando sus conocimientos o sus destrezas, pero aquello que
determina su actividad, no es tanto el interés por incrementar su competencia
cuanto la propia actividad en la que se siente a gusto, y cuyo fin está básicamente
en sí misma.
34
Se debe además a factores intrínsecos o del entendimiento personal. Se
evidencia cuando el individuo realiza una actividad por el simple placer de
realizarla, sin que nadie de manera obvia le de algún incentivo externo, algunos
autores distinguen dos tipos de motivación intrínseca: uno basado en el disfrute
y el otro en la autoexigencia.
Se especula que los estudiantes están más predispuestos a experimentar la
Motivación intrínseca cuando son llevados a estudiar por el interés que le
despierta la asignatura, cuando fija su interés por el estudio, demostrando
siempre superación en la consecución de sus fines, sus aspiraciones y sus
metas.
“La Motivación intrínseca es la tendencia natural del ser humano a vencer desafíos, conforme perseguimos intereses personales ejercitamos capacidades. Cuando estamos motivados intrínsecamente, no necesitamos incentivos ni castigos, porque la actividad es gratificante en sí misma” (Woolfork Anita 2010 p.377)
2.2.1.1.3 MOTIVACIÓN EXTRÍNSECA
En la motivación extrínseca el aprendizaje es secundario, no es permanente y
no se puede garantizar; es el medio para conseguir otros fines. Lo importante en
este tipo de motivación es la utilidad. Cuando se ofrecen recompensas o
amenazas, hay poco desempeño en la ejecución de las tareas impuestas,
especialmente en aquellas en donde el estudiante requería descubrir las reglas
para resolver uno o más problemas; pero, si un individuo acepta voluntariamente
la tarea, entonces:
1) Los sujetos tienden a resolver los problemas más difíciles.
2) Los alumnos tienden a ser más lógicos y coherentes en el uso de
estrategias de solución de los problemas.
3) Los estudiantes se centran tanto en el aprendizaje como en el desarrollo
de las habilidades necesarias para encontrar la solución de los problemas
y que le prestan más atención al proceso que a la respuesta.
“En esta motivación el aprendizaje surge como consecuencia de las acciones, factores, agentes o elementos diferentes a la temática en
35
sí alrededor de la cual gira el estudio. Entre estos elementos se pueden citar los siguientes: los compañeros de clase, la forma en que explica el docente, las ganas y las actitudes que éste despliega, las calificaciones, los medios didácticos utilizados o las actividades que se realizan en las clases. (Huertas J.1997, p.204)
2.2.1.1.4 MOTIVACIÓN NEGATIVA
Consiste en llevar al alumno a estudiar por medio de amenazas, represiones y
también castigos. El estudio se lleva a cabo bajo el imperio de la coacción. Las
actividades de coerción pueden partir tanto de la familia como del estímulo
educativo y pueden consistir en amenazas.
En este tipo de motivación se ve afectada la parte psicológica del alumno cuando
es tratado con severidad, cuando se lo hace sentir que no es inteligente que es
menos capaz que otros , la motivación se basa en la crítica que lo avergüenzan
y ridiculizan o la que se exhibe como alumno malo, como persona de poca
voluntad. Se presenta cuando el alumno recibe castigos físicos, privación de
recreos de diversiones o de cualquier otra cosa que le sea necesaria o constituya
un elemento de alto valor para él “Una emoción negativa conlleva a la no
ejecución de tareas o aburrimiento’’ (Hernández 2005)
2.2.1.2 MOTIVACIÓN EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
El objetivo principal al enseñar matemáticas es ayudar a que todos los
estudiantes desarrollen capacidad matemática. Los estudiantes deben
desarrollar la comprensión de los conceptos y procedimientos matemáticos y
deben estar en capacidad de ver y creer que las matemáticas tienen sentido y
que son útiles para ellos. Maestros y estudiantes deben reconocer que la
habilidad matemática es parte normal de la habilidad mental de todas las
personas, no solamente de unos pocos dotados. Enseñar matemáticas es
proporcionar medios de reflexión para evaluar y disciplinar estructuras
cognoscitivas compatibles con un marco referencial de orden platónico. Se
puede agregar además que la matemática por ser una ciencia antigua ha tenido
que ir cambiando y adaptándose a los cambios que ocurren a lo largo del tiempo,
36
ya que al transcurrir estos cambios, los seres humanos buscan la mejora en su
sobrevivencia y la matemática brinda la oportunidad de modificar o crear una
mejora en su contorno.
Hoy en día los estudiantes que se encuentran en los salones de clases son
estudiantes nacidos en era de la tecnología y los profesores se tienen que
integrar a esta nueva onda. Es por ello necesario crear actividades donde se
puedan utilizar estos medios y brindarle a los estudiantes estimulaciones donde
ellos se sientan cómodos y donde puedan manejar sus conocimientos de una
manera adecuada, siempre con el profesor como guía para lograr estos
objetivos.
“La enseñanza de las matemáticas tanto para el maestro y el alumno se convierte en un dilema .Y lejos de contribuir al desarrollo de los educandos, crea en ellos una actitud de temor o indolencia hacia su aprendizaje” ( HALE 1985, p.8)
2.2.2 ENSEÑANZA
Uno de los conceptos más ambiguos en el campo de la ciencia pedagógica es el
de enseñanza. Como acción significa el acto por el cual el docente muestra algo
a los escolares. Como acción pedagógica implica además aprendizaje. Como
término de la acción, equivale a instrucción, aunque con un matiz de mayor
superficialidad. Su plural enseñanzas, denota el conjunto de disciplinas o
materias propias del a organización docente. Pero en todo caso el vocablo
guarda relación más con el docente que con el discente.
Más detalladamente con un análisis fenomenológico de la enseñanza se
muestran sus cinco elementos integrantes:
El sujeto docente o enseñante, es decir el sujeto que muestra el objeto, su
imagen o su signo
Acto enseñante o docente, mediante el cual la persona que enseña realiza
vitalmente la enseñanza
Método de enseñanza: procedimiento o vía utilizada por el que enseña.
Objeto o signo enseñado
37
El sujeto al que se enseña, al que se le muestra el objeto
Todos los elementos son necesarios si queremos diferencias la enseñanza del
simple hacer humano; pero su quinto elemento ofrece una matización propia.
Para que se de la enseñanza se requiere y basta la presencia corporal del sujeto
enseñado, sin que tal presencia signifique su actuación o alguna aprehensión
de conocimientos o ideas.
“Enseñanza es el acto en virtud del cual el docente pone de manifiesto los objetivos de conocimiento al alumno para que este los comprenda. Transmisión de conocimientos, técnicas, normas, etc. A través de una serie de técnicas e instituciones” (Diccionario de las ciencias de la educación, 2000, pág. 530)
2.2.2.1 DESEMPEÑO DEL DOCENTE
El medio requiere docentes que sean capaces de ajustarse a la realidad que se
vive en las aulas de los diferentes establecimientos educativos, que logren
obtener habilidades y destrezas en su formación inicial, en los aspectos técnico
y experimental principalmente; que integren en su formación diversas áreas del
conocimiento en una interacción teórico- práctica, lo que los volverá aptos a lo
largo de su desempeño como educadores. (básica. Sep.gob.mx)24
Esto significaría que el docente, estaría al tanto de la interdisciplinaridad de las
asignaturas, de los problemas dentro del proceso enseñanza-aprendizaje, el
trabajo en equipo, con visiones que van más allá de la capacidad de
demostración del conocimiento, que llegan a su adaptación al perfil
psicopedagógico del estudiante, con relación a la fase curricular del sujeto y del
entorno social que lo rodea tanto dentro como fuera del aula.
Con los nuevos ámbitos educativos, el papel del docente ya no es simplemente
dictar su clase y analizar a los alumnos, sino también impulsar el desarrollo de
conocimientos creativos, enseñarles estrategias de autorregulación y control de
su proceso de aprendizaje. Lo principal es que el conocimiento no tiene que
24 http://basica.sep.gob.mx/dgdc/sitio/pdf/inicio/EducacionInicial.pdf
38
transferirse directamente al estudiante, primero el docente debería ser apto para
enseñar y estimular al alumno lo referente al conocimiento creativo y
significativo, que es el que ellos mismos elaboran, revisan, interpretan,
cuestionan, confronten con otras informaciones relacionan con otros
conocimientos previos, emplean en nuevas situaciones, razonan y por lo tanto
aprenden.
2.2.2.2 PROCESO ENSEÑANZA APRENDIZAJE
La enseñanza – aprendizaje se puede definir como un proceso muy complejo
de la realización de la actividad de enseñar y aprender en una conjunción muy
bien ordenada que permite al profesor compartir con sus alumnos los
conocimientos y experiencias; es decir, la realización de tal proceso implica una
actividad ordenada tanto de docentes como de discentes. Modernamente a este
proceso se lo denomina también inter aprendizaje, término que incluye de mejor
manera a profesores y alumnos, en donde el profesor, si bien es quien toma la
iniciativa, no es sino el facilitador del aprendizaje, el guía que ayuda al alumno
a encontrar por sí mismo la verdad y a elaborar el conocimiento.
Dentro del ejercicio docente, es fundamental prever con precisión los objetivos
que queremos lograr en los alumnos y por lo tanto organizar el proceso de
enseñanza – aprendizaje con miras a alcanzar lo que nos hemos propuesto,
tomando en consideración que la planificación de las actividades reviste una
singular importancia como punto de partida y de llegada de la labor docente en
un tiempo determinado por las siguientes razones:
Permite seleccionar, priorizar, jerarquizar los contenidos más significativos y
funcionales para el alumno.
Permite la fijación de objetivos y metas que el maestro desea lograr en el
alumno.
Permite la selección adecuada de métodos, técnicas y recursos en función
de los objetivos y contenidos seleccionados.
Facilita la enseñanza al maestro y promueve aprendizajes significativos al
alumno.
Orienta los procesos de evaluación.
39
Evita la improvisación del accionar docente.
Evita el desperdicio de tiempo, recursos y esfuerzos.
Si se produce un cambio en la conciencia crítica del alumno, entonces el
proceso de enseñanza – aprendizaje ha surtido efecto y con fines profundos,
completos y comprometidos. Los alumnos son sujetos activos dentro de los
procesos de enseñanza aprendizaje, ya que su función, es cumplir con las
tareas educativas que le son encomendadas por el docente y su deber es
preocuparse por participar activamente en todo el proceso de construcción del
conocimiento.
“La enseñanza no puede entenderse más que en relación al aprendizaje; y esta realidad relaciona no sólo a los procesos vinculados a enseñar, sino también a aquellos vinculados a aprender. El aprendizaje surgido de la conjunción, del intercambio de la actuación de profesor y alumno en un contexto determinado y con unos medios y estrategias concretas”. (Meneses Benítez, 2007, pág. 32)
2.2.2.3 ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS UTILIZANDO LAS
SIMETRÍAS DEL UNIVERSO
Considerando que la matemática es una de las disciplinas más importantes y
que tiene aplicaciones en todos los campos de la vida, es indispensable buscar
opciones para mejorar el nivel de su comprensión. Lo más sustancial sería que
el docente busque las alternativas a desarrollar en el aula para mejorar su
actuación en el campo de la enseñanza de la Matemática en beneficio del
alumno y consecuentemente del país. También es indispensable que en lo
relacionado a las actividades de mejoramiento y perfeccionamiento profesional
el docente participe de su actualización , para que venza las concepciones
tradicionales de enseñanza y derribe barreras que le impiden la introducción de
innovaciones y encaminar la enseñanza de la Matemática de modo que el
estudiante tenga la posibilidad de vivenciarla produciendo en el aula el
ambiente agradable, fomentando el gusto por la asignatura demostrando las
diferentes aplicaciones que puede tener esta asignatura en la vida real y
utilizando el material didáctico adecuado .
40
“Es prioritario el interés hacia la búsqueda de alternativas las cuales deben fundamentarse en nuevas concepciones de las actividades a desarrollar en el aula, a él le corresponde mejorar su propia actuación en el campo de la enseñanza de la Matemática en beneficio propio del alumno y del país. “(GONZÁLEZ F, 1997, p.25)
Existen diferentes métodos, estrategias, técnicas activas, así como variedad de
material didáctico para enseñar matemática, que no es suficiente con
conocerlos sino aplicarlos en la realidad, cosa que no se hace y se culpa solo al
alumno por el bajo nivel de comprensión de procesos matemáticos
Se ha observado además que la mayoría de los docentes de matemática son
frío al momento de enseñar, parece que se preocupan tan solo de la parte
instructiva es decir sólo de la ciencia dejando a un lado la parte emocional, es
importante no olvidar que tenemos frente a nosotros a un grupo de seres
humanos que necesitan primero la parte humana de un maestro, manifestada a
través de la atención, confianza y paciencia prestada de nuestra parte. Luego
de proporcionar lo mencionado anteriormente tendremos abierto el camino para
ingresar con la parte instructiva de la matemática que en su mayoría es
abstracta.
Aplicando la enseñanza de la matemática utilizando las simetrías del universo
se la puede realizar a través del uso adecuado y eficaz del material didáctico
existente en el universo algunas con más éxito que otras, se ha podido
evidenciar la dura realidad que la mayoría de temas de matemática, por no
decir todos son enseñados sin material didáctico ni métodos y técnicas activas,
utilizando para el proceso de enseñanza –aprendizaje tan solo el pizarrón y el
marcador. Según experiencias compartidas entre docentes este gran problema
se presenta debido a que no existe el tiempo para preparar el material didáctico,
no se proporciona el material necesario para elaborarlo, la costumbre de
enseñar de manera tradicional.
Utilizando material concreto existente en el universo, permite que el mismo
estudiante experimente el concepto desde la estimulación de sus sentidos,
logrando llegar a interiorizar los conceptos que se quieren enseñar a partir de la
manipulación de los objetos de su entorno. Es así como la enseñanza de las
41
matemáticas inicia con una etapa exploratoria, la que requiere de la
manipulación de material concreto, y sigue con actividades que facilitan el
desarrollo conceptual a partir de las experiencias recogidas por los alumnos
durante la exploración. A partir de la experiencia concreta, la cual comienza con
la observación y el análisis, se continúa con la conceptualización y luego con la
generalización. (www.pedagogas.wordpress.com)25
Se podría trabajar con material didáctico con elementos fáciles de conseguir
por el alumno , por ejemplo , si queremos enseñar que es un eje de simetría;
tomamos una mariposa la dividimos en dos, al dividirla aparecen dos partes
que representan la misma mariposa ya que al unir las dos partes
correspondientes son respectivamente iguales, si imaginariamente trazamos
el eje de simetría estas rectas forman ángulos de 90 grados respecto a la recta
L por lo tanto la recta L si representa un eje de simetría Axial.
Otro tema podría ser explicar a los estudiantes cuál es la forma más simple de
simetría que es la de “Reflexión” se lo puede realizar utilizando como material
didáctico una hoja de hiedra la cual la encontramos a nuestro alcance ya que
la naturaleza está rodeada de simetrías, si trazamos una línea en el centro los
estudiantes pueden observar que la parte izquierda de la hoja es igual a la parte
derecha, decimos que las dos mitades de la hoja son simétricas. Si miramos las
flores vamos a observar que son simétricas ambos lados son iguales a la línea
entre las dos mitades simétricas llamamos la línea de simetría si miramos los
insectos vamos a ver que un escarabajo y una mariposa se ven iguales en
algún lado de su cuerpo, los animales también tienen cuerpos simétricos y lo
descubriremos si observamos con atención.
Concluyendo se debe manifestar que los docentes deben cambiar la forma de
pensar y empezar a considerar la gran importancia del uso de material didáctico
existente en el entorno acompañado de métodos y técnicas activas.
25http://www.pedagogas.wordpress.com/2008/04/01/importancia-del-materialdidactico-
en-la-ensenanza-de-las-matematicas/
42
2.3 MARCO INSTITUCIONAL
La presente investigación ha sido realizada en el Instituto Tecnológico Superior
“Nuestra Señora del Rosario”, institución que se encuentra enmarcada de
acuerdo a lo siguiente:
Por el año de 1966, la señora Mercedes Alcira Burneo de Quinde, mujer
catamayense con su espíritu emprendedor y trabajador pronuncia estas
generosas palabras: “No quiero que las madres de mi pueblo sufran como
yo, por la educación de sus hijos y por ello debo entregarles un colegio”; y
es así que conjuntamente con sus hijos solicitaron al prelado lojano su
autorización para la creación del Pro colegio Femenino Catamayo; con el
estímulo del Obispo Luis A. Crespo, el señor Lic. Alejandro Quinde Burneo,
dirigió una petición a la Asamblea Constituyente de1966-1967 acompañado con
firmas de ciudadanos catamayenses.
Realizadas las gestiones correspondientes, recibieron el estímulo de quien
entonces fuera obispo Mons. Luis A. Crespo, esto marcó la pauta para que el
Lic. Alejandro Quinde B. dirija una petición a la Asamblea Constituyente de
1966-1967, firmada por ciudadanos catamayenses, acompañado del señor Dr.
Juan A. Quinde Burneo quien fue el que gestionó la consecución de los recursos
económicos para el Colegio.
Las personas que contribuyeron a la creación del colegio fueron:
Mons. Jorge Guillermo Armijos Vicario de Educación
Mons. Luis. Crespo Chiriboga Obispo de la Diócesis
Padre Eliseo Arias Carrión Párroco de Catamayo
Dr. Juan A. Quinde Presidente de la Asamblea Constituyente 1966-1967
Dr. Agustín Quinde
Lic. Alejandro Quinde
Sra. Mercedes Quinde Burneo
Sr. Juan Ramírez
43
Sr. NN. Merizalde y
Ilustre Consejo Cantonal de Loja
La comunidad educativa estuvo a cargo de las Hnas. Dominicas de la
Enseñanza, quienes vinieron de España por los 1974-1975.
Por orden de su Superiora General, las Hnas. Dominicas de la Enseñanza,
tuvieron que abandonar la dirección de ésta Institución Educativa. Ante ello
Mons. Alberto Zambrano, Obispo de la Diócesis y Mons. Jorge Guillermo
Armijos, Vicario de Educación; consiguieron la presencia de las Hnas.
DOMINICAS DE SANTA CATALINA DE SENA, quienes se encargaron de la
dirección del Colegio.
Durante la trayectoria del colegio, se venía gestionando el cambio del nombre
del Colegio Fisco Misional “Femenino Catamayo” por el de Fisco Misional
Femenino “Nuestra señora del Rosario”, por cuanto tienen como patrona a la
virgen del Rosario.
El Ministerio de Educación y Cultura a través de la Dirección Provincial de Loja,
mediante resolución Nº 003-DPEL—Sp del 28 de marzo del año 1988 aprueba
el cambio del nombre.
El día 22 de mayo de 1994, el Municipio de Catamayo en sesión solemne de
Cantonización condecora al establecimiento mediante una placa de honor por
los 25 años de vida estudiantil. VERDAD, VIRTUD Y CIENCIA, constituye el
lema de la comunidad. Con el esfuerzo de las Hnas. Dominicas de Santa
Catalina de Sena, en las personas de Sor Olga Marina Cevallos Vega y Sor
Gloria Teresa Valenzuela, con el apoyo conjunto de maestros, alumnas padres
de familia y ciudadanía en general, el 20 de julio de 1988, según decreto Nº
003717, el colegio se eleva a la categoría de Instituto con la aprobación del Pos-
bachillerato especialidad de Técnico, en Análisis de Sistemas. El 26 de agosto
del 2002 entregan la primera promoción de Técnicos en análisis de Sistemas.
Más tarde gracias a las gestiones realizadas por Sor Julieta Paladines Rectora
del Establecimiento, durante el año lectivo 1992-1993 ante la DINACE Nacional
44
obtienen un Laboratorio de Química , así también conjuntamente con la
comunidad educativa se logra un laboratorio de Contabilidad y una sala de
computo donada por Manos Unidas.
Personas grandes de corazón como: Mons. Hugolino Cerasuolo Obispo de la
Diócesis de Loja, Mons. Ángel Tinoco Ruíz y el Rvdo. Padre Cristóbal Espinoza
Pereira, quienes con sus visitas y sabios consejos animaron a la comunidad de
las Hnas. a seguir adelante en tan sacrificada labor que en la actualidad se
encuentra al servicio de la ciudad de Catamayo.
VISIÓN. Será una entidad edificada en los principios Evangelizadores y
Dominicanos reconocido por su alto nivel de desarrollo pedagógico, científico,
investigativo, tecnológico, humano cristiano con una mentalidad abierta a las
innovaciones que contribuyan a una formación holística liberadora y formadora
de líderes asegurando condiciones de competitividad, productividad para
mejorar la calidad de vida de la sociedad.
MISIÓN. Forma integralmente a la juventud, desarrollando sus potencialidades
mediante la formación científico-investigativo, tecnológico humano, cristiano con
bases dominicanas a través de la oferta educativa básica, bachilleratos, carreras
intermedias de nivel superior con proyección comunitaria propiciando la vivencia
de valores para llegar a ser personas de continuo perfeccionamiento y agentes
de cambio social.
2.4 FUNDAMENTACIÓN LEGAL
Según decreto Nº de 22 de agosto de 1960, nace el Colegio Técnico Profesional
“Catamayo”, Bajo la dirección de una junta administrativa integrada por: el
Obispo Mons. Luis A. Crespo+ como Presidente, o su delegado Mons. Jorge
Guillermo Armijos+, Vicario de Educación, el Presidente del Comité auspiciador
del Colegio, un cuarto miembro que fuera el Señor Cura Párroco Eliseo Arias
Carrión +
45
2.5 HIPÓTESIS
Las simetrías del Universo no se usan como elementos motivadores para la
enseñanza de la matemática en el Instituto Tecnológico Superior Nuestra Señora
Del Rosario, parroquia Catamayo, cantón Catamayo, Provincia Loja, periodo
2013-2014.
2.6 OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES
Tabla: 2.1 Estructura de la operacionalización de variables
VARIABLES DIMENSIONES INDICADORES
2.1 Simetrías del
Universo
Definición: Las simetrías del universo son reglas que controlan el balance y la estabilidad de la naturaleza
TEMA
2.1.1 Simetría
2.1.1 1Caracterizaciones de la simetría 2.1.1.2 Tipos de Simetrías 2.1.1.2.1 Simetría Axial 2.1.1.2.2 Simetría Radial 2.1.1.3 Operaciones de Simetría 2.1.1.4 Elementos de Simetría
TEMA
2.1.2 Simetrías en las ciencias
2.1.2.1 Simetrías en las ciencias físicas 2.1.2.2 Simetría en química 2.1.2.3 Simetría-asimetría en biología 2.1.2.4 Simetría en el arte
2.2 Elementos motivadores en la enseñanza de la Matemática
Definición: El universo está rodeado de simetrías que nos sirven para el proceso enseñanza aprendizaje
TEMA 2.2.1 Motivación
2.2.1.1 Clasificación de la Motivación 2.2.1.1.1 Motivación positiva 2.2.1.1.2 Motivación Intrínseca 2.2.1.1.3 Motivación Extrínseca 2.2.1.1.4 Motivación Negativa 2.2.1.2 Motivación en la enseñanza de las Matemáticas
TEMA 2.2.2 Enseñanza
2.2.2.1 Desempeño del Docente 2.2.2.2 Proceso de enseñanza aprendizaje 2.2.2.3 Enseñanza de las Matemáticas utilizando las simetrías del universo
Fuente: Marco teórico de la investigación
Autora: La investigadora Josefina Villavicencio
46
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN
Existen varios tipos de investigación científica dependiendo del método y de los
fines que se persiguen. La investigación, de acuerdo con Sabino (2000),
se define como “un esfuerzo que se emprende para resolver un problema, claro
está, un problema de conocimiento.”
La investigación que se plantea es un proyecto factible, ya que se trata de
elaborar una propuesta sobre un modelo que permita usar la simetría matemática
del universo como elemento motivador para la enseñanza de la matemática, a
fin de contribuir a solucionar los problemas relacionados con la falta de
motivación y las consecuencias que esto tiene en el proceso de enseñanza
aprendizaje de la Matemática. Para conseguir este propósito es necesario
apoyarse en una investigación de campo y en una investigación documental. Por
tanto, la investigación plateada es una investigación mixta.
3.1.1. INVESTIGACIÓN DE CAMPO
“La investigación de campo reúne la información necesaria recurriendo fundamentalmente al contacto directo con los hechos o fenómenos que se encuentran en estudio. Es la realidad misma la principal fuente de información en la investigación de campo y la que proporciona la información clave en la que se fundamentan las conclusiones del estudio.” (Moreno Bayardo, 1987)
Es necesario emprender la investigación de campo con la finalidad de
comprender y resolver el problema de motivación inadecuada o falta de
motivación en el Instituto y para ello se extraerán datos relevantes sobre la
motivación empleada por los profesores de matemáticas y el uso de la simetría
de la naturaleza como elemento motivador con la finalidad de implementar una
propuesta que contribuya a solucionar este grave problema, a través de
encuestas y ficha de observación.
47
3.1.2. INVESTIGACIÓN BIBLIOGRÁFICA
“La investigación bibliográfica reúne la información necesaria recurriendo a fuentes de datos en los que la información ya se encuentra registrada, tales como libros, revistas especializadas, archivos, etc. La información clave en la que se fundamentan las conclusiones del estudio es tomada de documentos como los ya mencionados.” (Moreno Bayardo, 1987)
Sin embargo, es necesario efectuar una investigación bibliográfica en las
principales bibliotecas de la ciudad, así como a través de Internet sobre las
simetrías del universo y sobre el uso de las mismas en el proceso de enseñanza
de la matemática como elemento motivador, ya que servirá como fundamento de
la investigación en general, además de señalar las directrices pertinentes.
3.2 MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN
“Constituyen procedimientos regulados y normalizados para analizar la realidad. Por medio de ellos se facilita la investigación destinada a la obtención de nuevos conocimientos científicos. Así, pretenden aligerar al investigador la carga que supone empezar a buscar una y otra vez los procedimientos adecuados encaminados a dar respuesta a sus problemas.” (Heinemann, 2003, pág. 13)
Así el método de investigación, es una especie de brújula en la que no se
produce automáticamente el saber, pero que evita perdernos en el caos aparente
de los fenómenos, aunque solo sea porque nos indica como no plantear los
problemas y como no sucumbir en el embrujo de nuestros prejuicios predilectos.
Sin la metodología se imposibilita llegar a la lógica que conduce al conocimiento
científico.
3.2.1. MÉTODO SINTÉTICO
“Consiste en integrar los componentes dispersos de un objeto de estudio para estudiarlos en su totalidad. Su resultado es una proposición general y comprensiva, fruto de una larga serie de ideas y de observaciones particulares.” (Bernal Torres, 2006, pág. 56)
En el presente trabajo investigativo será necesario relacionar hechos
aparentemente aislados, tales como las simetrías del universo y su uso como
elementos motivadores para contribuir a la enseñanza de la matemática, y
48
especialmente en el tratamiento de la hipótesis y en la demostración de la misma.
3.2.2. MÉTODO ANALÍTICO
“Este método es un proceso cognoscitivo, que consiste en descomponer un objeto de estudio separando cada una de las partes del todo para estudiarlas en forma individual.” (Bernal Torres, 2006)
Se distinguen los elementos que conforman las simetrías de la naturaleza y su
uso como elementos motivadores, revisando ordenadamente cada uno de ellos
por separado, con la finalidad de establecer relaciones entre las mismas y extraer
conclusiones de carácter general.
3.2.3. MÉTODO ANALÍTICO-SINTÉTICO
“Este método estudia los hechos, partiendo de la descomposición del objeto en estudio en cada una de sus partes para estudiarlas en forma individual (análisis), y luego se integran dichas partes para estudiarlas de manera holística e integral (síntesis).” (Bernal Torres, 2006)
Las operaciones descritas en los dos métodos anteriores no existen por
separado, sino que depende la una de la otra: el análisis de un objeto se realiza
a partir de la relación que existe entre los elementos que conforman dicho objeto
como un todo; y a su vez, la síntesis se produce.
3.2.4. MÉTODO DESCRIPTIVO
“se pretende recabar e interpretar información acerca de la forma en que los fenómenos en estudio están ocurriendo, sin que el investigador haga intervenir o evite la intervención de algunas variables. Se trata de describir en qué consiste en fenómeno, cómo se relacionan sus partes con el todo, cuáles son sus características primordiales.” (Moreno Bayardo, 1987)
Este método se empleara para describir y evaluar la realidad del uso de las
simetrías del universo empleadas como elementos motivadores en el Instituto
49
Tecnológico Superior Nuestra Señora Del Rosario, Parroquia Catamayo, Cantón
Catamayo, Provincia Loja, periodo 2013-2014, de lo datos recabados mediante
las encuestas efectuadas los profesores y estudiantes, con la finalidad de
encontrar una relación e interpretar
3.3 POBLACIÓN Y MUESTRA
Población
“Se designa con este término a cualquier conjunto de elementos que tienen unas características comunes. Debido a la imposibilidad en la mayoría de los estudios de poder estudiar todos los sujetos de la población, se hace necesario la utilización de subconjuntos de elementos extraídos de la población.” (Juez Martel & Díez Vegas, 1997, pág. 95)
La población a investigar dentro del Instituto Tecnológico Superior “Nuestra
Señora Del Rosario”, está conformada por los seis docentes del área de
Matemática y 205 de estudiantes de Noveno Año de Educación Básica de la
mencionada Institución, durante el período lectivo 2013 – 2014.
Muestra
“La muestra es un subconjunto de individuos pertenecientes a una población, y representativos de la misma. Existen diversas formas de obtención de la muestra en función del análisis que se pretenda efectuar (aleatorio, por conglomerados, etc.)” (Juez Martel & Díez Vegas, 1997, pág. 95)
La muestra de docentes corresponde a la totalidad de maestros del Área de
Matemática, ya que dicha Área cuenta con un número pequeño en cuanto a su
población; mientras que, la muestra de estudiantes corresponde a un número de
136 estudiantes de los 5 paralelos de Noveno Año de Educación Básica de la
Institución investigada, cuya selección aleatoria se detalla a continuación:
50
Tabla: 3.1 Datos investigados
Fuente: Secretaría del Instituto Tecnológico Superior “Nuestra Señora del Rosario”
Autora: Josefina Villavicencio
Así mismo, para la determinación de la muestra de estudiantes, se utilizó la
fórmula matemática:
Dónde:
n = Tamaño de la muestra de estudiantes.
E = Margen de error experimental = 5% = 0,05
N = Población de estudiantes del nivel Básico y del Diversificado Instituto
Tecnológico Superior “Nuestra Señora del Rosario”
Entonces:
Se efectuará un reparto proporcional en los diferentes niveles y grados.
Se encuestará a todos los profesores.
GRUPOS NÚMERO
Estudiantes del Instituto Tecnológico Superior “Nuestra Señora del
Rosario” 136
Docentes del Instituto Tecnológico Superior “Nuestra Señora del
Rosario” 47
Padres de Familia del Instituto Tecnológico Superior “Nuestra
Señora del Rosario” 136
TOTAL 319
N n = E2 (N – 1) + 1
205 estudiantes n = (0,05)2(205 - 1) +1
205 estudiantes n = = 135.8 estudiantes 1.51
→ 𝐧 = 𝟏𝟑𝟔 𝐞𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐞𝐧 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥
51
3.4TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS
3.4.1TÉCNICAS
“Técnica, es el recurso utilizado por el investigador para acercarse a los fenómenos y extraer de ellos la información, es amplio el espectro disponible que manejado con sensatez e imaginación, permite la necesaria correspondencia entre la teoría y la práctica.” (Villarreal Morales, 2000)
Se empleará la investigación por encuestas dirigida a la población estudiantil; y,
las entrevistas dirigidas a los profesores del área de matemática del Instituto
Tecnológico Superior Nuestra Señora Del Rosario, con la finalidad de recabar
información acerca del uso de las simetrías matemáticas de la naturaleza
empleadas como elementos motivadores para la enseñanza de la asignatura de
matemática en el Instituto. Se trata de una encuesta por muestreo. A partir de la
muestra se inferirán las características de la población.
Otra técnica empleada, será la observación, que se realizará en 3 días
indistintamente, observando e identificando qué tipos de simetrías existen en los
diferentes elementos naturales presentes dentro y en los alrededores de la
institución educativa.
3.4.2 INSTRUMENTOS
“Los instrumentos de recolección de datos son dispositivos que permiten al investigador observar y/o medir los fenómenos empíricos, son artefactos diseñados para obtener información de la realidad.” (Yuni & Urbano, 2006, pág. 133)
Como instrumento de recolección de datos, se emplearon el cuestionario y la
ficha de observación del entorno de la institución educativa. El cuestionario
constará de preguntas cerradas u objetivas en las encuestas dirigidas a
docentes, estudiantes y padres de familia.
Para asegurar la espontaneidad y veracidad de la información recopilada con los
instrumentos (cuestionario) deben guardar el anonimato.
52
CAPITULO IV
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
4.1 ENCUESTA APLICADA A ESTUDIANTES.
1.- Crees que las simetrías del universo pueden ser utilizadas como elemento
motivador en el proceso de enseñanza-aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 16 12%
EN DESACUERDO 16 12%
DE ACUERDO 75 55%
TOTALMENTE DE ACUERDO 29 21%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Con los datos recopilados se puede afirmar que el 55% de los encuestados,
afirman estar de acuerdo con que las simetrías del universo pueden ser utilizadas
como elemento motivador en el proceso de enseñanza aprendizaje; el 21%
están totalmente de acuerdo; el 12% están en desacuerdo; el 12% están en total
desacuerdo. Se comprueba por lo tanto que las simetrías del universo, son
entendidas como la simetría que gobierna leyes fundamentales de la física y
constituye un principio matemático básico para entender el universo; son
elementos motivadores en el proceso de enseñanza aprendizaje.
4.1 Tabla
4.1 Gráfico
4.1.1 Gráfico
53
2.- Las simetrías del universo favorecen el proceso de enseñanza-aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 2 2%
EN DESACUERDO 19 14%
DE ACUERDO 74 54%
TOTALMENTE DE ACUERDO 41 30%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Con los datos obtenidos en esta pregunta, se confirma que el 54% están de
acuerdo en que las simetrías del universo favorecen su proceso de enseñanza
aprendizaje; 30% están totalmente de acuerdo con esta hipótesis; el 14% están
en desacuerdo; y el 1% está en total desacuerdo. Es decir que los alumnos,
consideran importante la aplicación de simetrías del universo en el proceso de
enseñanza aprendizaje, ya que la enseñanza y aprendizaje forman parte de un
único proceso que tiene como fin la formación del estudiante; estableciéndose
que el criterio mayoritario está de acuerdo en que favorecerían este proceso, y
se puede ser utilizada como una metodología para crear y motivar el interés por
conocer esta materia.
4.2 Gráfico
4.2 Tabla
54
3.- Consideras importante la motivación en las clases para mejorar el proceso
de enseñanza-aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 3 2%
EN DESACUERDO 5 4%
DE ACUERDO 38 28%
TOTALMENTE DE ACUERDO 90 66%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El 66% de los estudiantes encuestados, están totalmente de acuerdo al
considerar importante la motivación en las clases para mejorar el proceso de
enseñanza aprendizaje; el 28% está de acuerdo con esta consideración; el 4%
está en desacuerdo y en total desacuerdo el 2%. Se concluye por lo tanto que
los estudiantes, piensan que la motivación es importante en las clases para
mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje, puesto que es la motivación la
que les da el impulso necesario para interesarse en aprender en este caso las
Matemáticas, por lo que están de acuerdo en la aplicación de nuevas formas de
incentivar y motivar a que ellos quieran aprender y mejorar su conocimiento,
considerando que siendo las simetrías del universo un tema curioso despertaría
mucho interés en ellos.
4.3 Tabla
4.3 Gráfico
55
4.- Tus docentes son motivadores en sus clases
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 8 3%
EN DESACUERDO 10 3%
DE ACUERDO 59 22%
TOTALMENTE DE ACUERDO 59 50%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
El 50% de los estudiantes encuestados, están totalmente de acuerdo en que sus
profesores son profesionales motivadores en sus clases; igualmente el 22%
están de acuerdo; el 3% están en desacuerdo; y el 3% están en total
desacuerdo. Es decir que para los estudiantes, los profesores encargados del
proceso de enseñanza aprendizaje, son motivadores ya que poseen la
disposición positiva para enseñar y hacerlo de forma que despierta el interés de
aprender en el alumno; además son personas entregadas y responsables que
ponen todo su amor y dedicación en este trabajo y para lograrlo utilizan todas las
técnicas posibles que estén a su alcance.
4.4 Gráfico
4.4 Tabla
56
5.- Crees que con las simetrías del universo como elemento motivador se
alcanzan aprendizajes significativos
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 5 4%
EN DESACUERDO 22 16%
DE ACUERDO 79 58%
TOTALMENTE DE ACUERDO 30 22%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INPERPRETACIÓN
Los datos recopilados nos dan a conocer que el 58% de los estudiantes
encuestados, están de acuerdo en que al utilizar las simetrías de universo como
elemento motivador se alcanzan aprendizajes significativos; el 22% están
totalmente de acuerdo con esta afirmación; el 16% está en desacuerdo; el 4%
está en total desacuerdo.
Por lo tanto se comprueba que las simetrías del universo al ser utilizadas como
un elemento motivador, se logra aprendizajes significativos, es decir que el
alumno es capaz de relacionar la información nueva con la que ya posee; y así
se promueve el interés de investigación y se trata de dilucidar interrogantes que
surgen con su aplicación, por lo que se da lugar a obtener aprendizajes
significativos.
4.5 Tabla
4.5 Gráfico
57
6.- Has logrado alcanzar un completo entendimiento sobre las simetrías del
universo
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓNDE RESULTADOS
Según se pudo conocer el 39% de los encuestados, están de acuerdo acerca de
que los profesores, aplican simetrías del universo en el proceso de enseñanza-
aprendizaje; 32% están en desacuerdo, 22% están totalmente de acuerdo. Con
lo que se comprueba que en su mayoría, los estudiantes, creen tener
conocimientos acerca de las simetrías del universo, ya que las Matemáticas
actualmente se encuentran con mayor frecuencia de la que a veces logramos
captar; y según lo manifestado el profesor los hace realizar ejercicios en donde
se involucra al universo, pero no existe un total conocimiento acerca de si estos
ejemplos citados, se pueden considerar simetrías del universo.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 10 7%
EN DESACUERDO 43 32%
DE ACUERDO 53 39%
TOTALMENTE DE ACUERDO 30 22%
TOTAL 136 100%
4.6 Gráfico
4.6 Tabla
58
7.- Tus profesores aplican simetrías del universo en el proceso de enseñanza-
aprendizaje
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
Según se pudo conocer el 49% de los encuestados, están de acuerdo acerca de
que los profesores aplican simetrías del universo en el proceso de enseñanza-
aprendizaje; 27% están totalmente de acuerdo, 16% están en desacuerdo; y, 8%
están en total desacuerdo. Con lo que se comprueba que los estudiantes, en su
mayoría, creen que se aplican las simetrías del universo por parte de los
docentes en el proceso de enseñanza aprendizaje, ya que con sus ejemplos, los
ayudan a descubrir la lógica que subyace al mundo tan complejo y caótico en el
que se vive y esto conlleva también al poco conocimiento de los alumnos acerca
del tema, pero existe un criterio importante que cree importante aplicar esta
técnica para mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 11 8%
EN DESACUERDO 21 16%
DE ACUERDO 67 49%
TOTALMENTE DE ACUERDO 37 27%
TOTAL 136 100%
4.7 Tabla
4.7 Gráfico
59
8.- Crees que las simetrías del universo te han ayudado a mejorar el aprendizaje
de las Matemáticas
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 8 6%
EN DESACUERDO 26 19%
DE ACUERDO 63 46%
TOTALMENTE DE ACUERDO 39 29%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
En esta interrogante se determinó que el 46% está de acuerdo con el hecho que
las simetrías del universo ayudan a mejorar el aprendizaje de las Matemáticas,
ya que están invariablemente ligadas a esta materia; el 29% está totalmente de
acuerdo en esta hipótesis; el 19% está en desacuerdo; y el 6% está en total
desacuerdo. Concluyendo por lo tanto, que el criterio mayoritario de los
estudiantes, indica que las simetrías del universo ayudan a mejorar el
aprendizaje de las matemáticas, siendo esta la asignatura que mayor dificultad
de aprendizaje presenta no sólo en nuestro medio sino a nivel nacional e
inclusive mundial; y debido a la invariable relación existente entre el universo y
las matemáticas, sin duda al explicar muchos fenómenos por medio de las
Matemáticas, se está incentivando a su aprendizaje.
4.8 Tabla
4.8 Gráfico
60
9.- Consideras que las simetrías del universo aplicadas como elemento
motivador del proceso de enseñanza-aprendizaje, te ayudarían a mejorar tu
rendimiento
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Se determinó que el 40% de los encuestados está de acuerdo en que las
simetrías del universo aplicadas como elemento motivador del proceso de
enseñanza-aprendizaje, ayudan a mejorar su rendimiento; el 38% están
totalmente de acuerdo también con este aspecto; el 14% está en desacuerdo; y
el 8% está en total desacuerdo. Es decir que las simetrías en el universo, son
aplicadas como elemento motivador en el proceso de enseñanza-aprendizaje, la
mayoría de los estudiantes están convencidos que esto les ayudaría a mejorar
su rendimiento, debido a la dedicación que se requiere en el entendimiento de
esta rama.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 11 8%
EN DESACUERDO 19 14%
DE ACUERDO 55 40%
TOTALMENTE DE ACUERDO 51 38%
TOTAL 136 100%
4.9 Gráfico
4.9 Tabla
61
10.- Tus profesores requieren capacitación para la utilización de las simetrías del
universo como elemento motivador del proceso de enseñanza aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 11 8%
EN DESACUERDO 27 20%
DE ACUERDO 61 45%
TOTALMENTE DE ACUERDO 37 27%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El 45% de los estudiantes encuestados, están de acuerdo en que los profesores
requieren capacitación para la utilización de las simetrías del universo como
elemento motivador del proceso de enseñanza aprendizaje; el 27% están
totalmente de acuerdo; el 20% está en desacuerdo; el 8% están en total
desacuerdo con lo planteado. Es decir que los estudiantes, consideran que los
profesores necesitan ser capacitados en el manejo de simetrías del universo,
para que puedan aplicarlas en las aulas de clase como elemento motivador ya
que estas influyen en la conducta del individuo; y así poder explicar de mejor
manera la materia, creando conocimientos significativos.
4.10 Tabla
4.10 Gráfico
62
11.- Entiendes las simetrías del universo al aplicarlas en el proceso de
enseñanza-aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 14 10%
EN DESACUERDO 22 16%
DE ACUERDO 70 52%
TOTALMENTE DE ACUERDO 30 22%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Para el 51% de los estudiantes, están de acuerdo en que entienden las simetrías
del universo aplicadas en el proceso de enseñanza-aprendizaje; el 22% están
en totalmente de acuerdo; el 16% estàn en desacuerdo y el 10% está en total
desacuerdo. Es decir que los estudiantes, entienden las simetrías del universo,
y por lo tanto no es difícil que los docentes puedan aplicarlas en el proceso de
enseñanza aprendizaje, sin embargo, se requiere siempre la práctica continua
de estas materias en sus clases diarias.
4.11 Tabla
4.11 Gráfico
63
12.- Tus profesores recurren a las simetrías del universo como último elemento
para motivar una clase
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Según el criterio del 35% de los estudiantes, están de acuerdo con que los
docentes recurren a las simetrías del universo como último elemento para
motivar una clase; el 32% están en desacuerdo; el 25% están totalmente de
acuerdo; y el 8% están en total desacuerdo. Por lo tanto, se comprueba que
según la mayoría de los estudiantes, los docentes utilizan las simetrías del
universo como último recurso para motivar sus clases, puesto que no existen
conocimientos totalmente dominados, ni tampoco cuentan con los recursos que
les permita aplicarlas en las aulas, lo que dificulta su aplicación a menos que el
docente crea que es necesario para incentivar al alumno a participar en la clase.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 11 8%
EN DESACUERDO 43 32%
DE ACUERDO 48 35%
TOTALMENTE DE ACUERDO 34 25%
TOTAL 136 100%
4.12 Tabla
4.12 Gráfico
64
13.- ¿Qué tipos de elementos motivadores utiliza tu profesor en el proceso de
enseñanza-aprendizaje?
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
CHARLAS 43 32%
VIDEOS 11 8%
CARTELES 14 10%
JUEGOS 6 4%
VARIAS ALTERNATIVAS 62 46%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Para el 46% de los estudiantes consideran que los profesores deberían utilizar
varios tipos de elementos motivadores, sean estos charlas, videos, carteles,
juegos, etc.; el 32% consideran que el mejor elemento sería las charlas; el 10%
consideran que son los carteles; y el 8% los videos.Con estos datos podemos
comprobar, que los estudiantes consideran que para motivar una clase, se
requiere no de un elemento sino de la combinación de varios de ellos, y utilizarlos
en difernetes aspectos del proceso de enseñanza- aprendizaje.
4.13 Tabla
4.13 Gráfico
65
14.- ¿Conoces qué implican las simetrías de la naturaleza?
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
Controlar el balance 51 38%
Mantener la uniformidad 60 44%
Ninguno 19 14%
Varias alternativas 6 4%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Para el 44% de los estudiantes, consideran que las simetrías del universo implica
mantener la uniformidad en la naturaleza; el 38% considera que es controlar el
balance y la estabilidad de la naturaleza; para el 14 % ninguno de los conceptos
es adecuado; mientras que el 4% consideran que las dos opciones representan
el concepto de simetrías del universo.
Con esto se comprueba que existe un sustento sobre las simetrías del universo,
más por deducción que por propio conocimiento, sin embargo, esto serviría para
tener la base del saber y poder profundizar en su aplicación.
4.14 Gráfico
4.14 Tabla
66
15.- ¿Qué medio utiliza tu profesor para aplicar las simetrías de la naturaleza?
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
Narrativos 64 47%
Visuales 31 23%
Auditivos 11 8%
Varias alternativas 30 22%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta Aplicada a los Estudiantes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Segùn el 47% de los estudiantes encuestados, consideran que el mejor medio
que se debe utilizar para aplicar las simetrías del universo son los narrativos; el
23% consideran que los visuales; el 12% cree que se debe combinar varios
medios para mejorar el conocimiento; el 10 opina que son otros medios los dan
mejor resultado, como por ejemplo internet; mientras que el 8% opina que son
los auditivos, los mejores para aplicar las simetría en la naturaleza. Se puede
comprobar, que de acuerdo al criterio mayoritario de los estudiantes, el mejor
medio para aplicar las simetrías del universo, son los narrativos, ya que estos
implican una explicación del docente, en donde también se pueden hacer
preguntas y crear un diálogo o debate sobre una situación, que permita dilucidar
las interrogantes.
4.15 Tabla
4.15 Gráfico
67
4.2 ENCUESTAS APLICADAS A LOS DOCENTES
16.- Cree usted que las simetrías del universo pueden ser utilizadas como
elemento motivador en el proceso de enseñanza-aprendizaje
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El 70% de los encuestados afirma estar de acuerdo con la utilización de simetrías
del universo como elemento motivador en el proceso de ensañanza aprendizaje.
El 22% está totalmente de acuerdo en descauerdo está el 4% y totlmente en
desacuerdo, el 4% se entiende como elemento motivador. La motivación es un
elemento principal para que nuestros alumnos puedan aprender los contenidos
de las diferentes materias. Un alumno motivado tendrá más facilidad y más
interés por formarse, y el profesor se sentirá a su vez más satisfecho con los
resultados y más implicado con la labor educativa que tiene que realizar con sus
estudiantes concluyendo se puede manifestar que más del 50% de los
encuestados están de acuerdo en utilizar las simetrías del universo como
elemento motivador en el proceso enseñanza aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 2 4%
EN DESACUERDO 2 4%
DE ACUERDO 33 70%
TOTALMENTE DE ACUERDO 10 22%
TOTAL 47 100%
4.16 Tabla
4.16 Gráfico
68
17.- Las simetrías del universo favorecerán el proceso de enseñanza-
aprendizaje
4.17 Tabla
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
En esta interrogante se comprueba que el 57% de los docentes encuestados,
está de acuerdo con el hecho que las simetrías del universo favorecen el proceso
de enseñanza aprendizaje; el 28% están totalmente de acuerdo.
Los métodos y técnicas de enseñanza deben ir a la par con el desarrollo
tecnológico acompañados de estrategias de organización, que ayudan a
desarrollar las aptitudes de los estudiantes de percepción de los conocimientos
que el docente trasmite haciendo, así, exitosa la relación enseñanza de lo cual
se puede establecer que más de la mitad de los docentes encuestados están
de acuerdo que las simetrías del universo favorecen el proceso enseñanza
aprendizaje.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 2 4%
EN DESACUERDO 5 11%
DE ACUERDO 27 57%
TOTALMENTE DE ACUERDO 13 28%
TOTAL 47 100%
4.17 Gráfico
69
18.- Considera importante motivar a los alumnos para mejorar el proceso de
enseñanza-aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 1 2%
EN DESACUERDO 2 4%
DE ACUERDO 20 43%
TOTALMENTE DE ACUERDO 24 51%
TOTAL 47 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
De la totalidad de los docente encuestados el 51%, está totalmente de acuerdo
motivar a los estudiantes para una mejor enseñanza. El 43 % está de acuerdo.
Es decir que como docentes, nuestros encuestados, conocen por su vivencia
diaria, la importancia de la motivación en el proceso educativo, puesto que un
alumno motivado, capta y recibe la información que proporciona el docente de
mejor manera que un alumno que no siente esa motivación .Al concluir el análisis
podemos observar que más del 50% está totalmente de acuerdo que la
motivación es importante para el proceso enseñanza aprendizaje
4.18 Tabla
4.18 Gráfico
70
19.- Es usted un docente motivador
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
En esta interrogante se estableció que el 51% de los docentes encuestados,
están de acuerdo con el hecho de ser motivadores; mientras que el 38% están
totalmente de acuerdo.
Por docente motivador se entiende que el docente debe tener actitudes y
conocimientos y principalmente habilidades para motivar a sus educandos.
Concluyendo la investigación se establece que un poco más de la mitad de los
investigadores es un docente motivador.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 2 4%
EN DESACUERDO 3 7%
DE ACUERDO 24 51%
TOTALMENTE DE ACUERDO 18 38%
TOTAL 47 100%
4.19 Gráfico
4.19 Tabla
71
20.- Considera que al utilizar las simetrías del universo como elemento motivador
se alcanzan aprendizajes significativos
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Según estos datos el 58% de los docentes encuestados, está de acuerdo en el
hecho que al aplicar las simetrías del universo como elemento motivador se
generan conocimientos significativos; el 36% está totalmente de acuerdo. Los
docentes están abiertos a aplicar nuevas técnicas con la finalidad de obtener
conocimientos significativos en sus alumnos, y las simetrías del universo,
cumplen con este cometido, puesto que involucran al alumno en el estudio de
diferentes ciencias muy importantes en su formación educativa.
Al finalizar este análisis se puede determinar que los docentes están de acuerdo
en utilizar las Simetrías en el Universo como elemento motivador.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 1 2%
EN DESACUERDO 2 4%
DE ACUERDO 27 58%
TOTALMENTE DE ACUERDO 17 36%
TOTAL 47 100%
4.20 Tabla
4.20 Gráfico
72
21.- Ha logrado alcanzar un completo entendimiento sobre las simetrías del
universo
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 3 6%
EN DESACUERDO 12 26%
DE ACUERDO 22 47%
TOTALMENTE DE ACUERDO 10 21%
TOTAL 47 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El 47% de los docentes encuestados, está de acuerdo acerca de haber
alcanzado un completo entendimiento sobre las simetrías del universo; y el 21%
están totalmente de acuerdo en que han logrado conseguir este entendimiento.
Por lo tanto, se comprueba que existe una deficiencia en cuanto a conocer con
claridad el tema de las simetrías del universo, esto se debe a que cómo no se la
aplica no existe la preocupación del docente por prepararse en este aspecto,
relegándolo a un interés superfluo. Al concluir el análisis se ha determinado que
menos de la mitad están de acuerdo en haber alcanzado un completo
entendimiento de las Simetrías del Universo.
4.21 Tabla
4.21 Gráfico
73
22.- Aplica usted simetrías del universo en el proceso de enseñanza-aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 2 4%
EN DESACUERDO 8 17%
DE ACUERDO 21 45%
TOTALMENTE DE ACUERDO 16 34%
TOTAL 47 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Los datos dan a conocer que el 45% de los docentes están de acuerdo y el 34%
están totalmente de acuerdo. Se entiende como Simetrías del Universo a la
estrategia de aprendizaje con criterio de simetrías representada a través de
representaciones artísticas.
Al concluir la interpretación de los resultados se puede concluir que la mayoría
de docentes no aplica las simetrías en la naturaleza para motivar sus clases, se
limita a las técnicas y metodologías comunes en las que tiene mayor dominio.
4.22 Tabla
4.22 Gráfico
74
23.- Cree que las simetrías del universo ayudan a mejorar el aprendizaje de las
Matemáticas
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 2 4%
EN DESACUERDO 5 11%
DE ACUERDO 26 55%
TOTALMENTE DE ACUERDO 14 30%
TOTAL 47 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El 55% de los docentes está de acuerdo en que las simetrías del universo EL
30% están en total desacuerdo.
Se entiende cómo mejorar el aprendizaje de las matemáticas utilizando a la
estrategia utilizada por el docente para impartir la enseñanza de la Matemática
y para ello se puede utilizar la relación existente entre las simetrías del universo
con las matemáticas, por lo que es necesario conocer el tema tratado. Al concluir
el presente análisis se determina que más de la mitad de los docentes cree que
las simetrías del universo ayudarían a mejorar la enseñanza aprendizaje.
4.23 Tabla
4.23 Grafico
75
24.- Considera que las simetrías del universo aplicadas como elemento
motivador del proceso de enseñanza-aprendizaje, mejoraría el rendimiento de
los estudiantes
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 2 4%
EN DESACUERDO 2 4%
DE ACUERDO 24 51%
TOTALMENTE DE ACUERDO 19 41%
TOTAL 47 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
En esta interrogante un 51% de los docentes están de acuerdo con que las
simetrías del universo utilizado como elemento motivador servirían para mejorar
el rendimiento de los alumnos; y un 41% están totalmente de acuerdo con este
criterio. Se entiende por motivación la estrategia utilizada por el docente
utilizando los recursos didácticos más adecuados para conseguir un aprendizaje
significativo.
Concluyendo el análisis se puede manifestar que más de la mitad de los
docentes comparten que la motivación es un elemento importante para el
rendimiento de los estudiantes.
4.24 Gráfico
4.24 Tabla
76
25.- Requiere capacitación para la utilización de las simetrías del universo como
elemento motivador del proceso de enseñanza aprendizaje.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 4 9%
EN DESACUERDO 10 21%
DE ACUERDO 19 40%
TOTALMENTE DE ACUERDO 14 30%
TOTAL 47 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
De la totalidad de los encuestados el 40% dice que requiere capacitación para
utilizar las simetrías del universo como elemento motivador mientras que el 30%
está totalmente de acuerdo. Se entiende como capacitación la obligación
prioritaria que tiene el docente de instruirse permanentemente para innovar sus
conocimientos de acuerdo a los requerimientos de los estudiantes. Al finalizar el
análisis se estableció que menos de la mitad de docentes requiere de
capacitación para utilizar las simetrías del universo como elemento motivador en
la enseñanza aprendizaje
4.25 Tabla
4.25 Gráfico
77
26.- Sus alumnos entienden las simetrías del universo al aplicarlas en el proceso
de enseñanza-aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 5 11%
EN DESACUERDO 9 19%
DE ACUERDO 16 34%
TOTALMENTE DE ACUERDO 17 36%
TOTAL 47 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
En este aspecto se puede establecer que el 36% están en total desacuerdo con
el conocimiento sobre simetrías del universo que tienen sus alumnos; otro 34%
está de acuerdo. El entendimiento de las simetrías del universo es un
conocimiento que no ha sido muy difundido por cuanto no existen mayores
aplicaciones en el proceso de enseñanza Con lo que se concluye que menos de
la tercera parte de docentes no ha logrado adquirir conocimientos significativos
sobre simetrías del universo por desconocer del tema, ya que estos se limitan a
utilizar las metodologías usuales sin tratar de innovar su manera de enseñar.
4.26 Tabla
4.26 Gráfico
78
27.-Recurre a las simetrías del universo como último elemento para motivar una
clase
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 5 11%
EN DESACUERDO 4 8%
DE ACUERDO 16 34%
TOTALMENTE DE ACUERDO 22 47%
TOTAL 47 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Las respuestas nos dan a conocer que el 47% de los docentes encuestados,
están totalmente de acuerdo en que utilizan las simetrías del universo como
último recurso de motivación; el 34% están de acuerdo. .
Como recurrir a las simetrías del universo se entiende buscar a todos los
instrumentos necesarios para una apropiada enseñanza a los estudiantes. Al
concluir la interpretación de estos resultados se puede concluir que más de la
mitad de los docentes recurrirían a la motivación por medio de las simetrías del
universo para motivar su clase.
4.27 Tabla
4.27 Gráfico
79
28.- ¿Qué tipos de elementos motivadores se deben utilizar en el proceso de
enseñanza-aprendizaje?
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
Charlas 27 30%
Videos 29 32%
Carteles 13 15%
Juegos 21 23%
TOTAL 90 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El 32% de los docentes encuestados, afirma que utilizan videos como
elementos para motivar sus clases, juegos el 23%, los carteles utilizan el 15%.
En este aspecto los docentes han demostrado que no se puede limitar la
utilización de elementos a uno solo, sino que se requiere de la combinación de
varios elementos que conlleven a que el alumno pueda adquirir con mayor
facilidad un conocimiento. Al concluir la interpretación de los resultados
obtenidos se puede mencionar que el menos de la mitad de docentes
encuestados utilizarían los videos para impartir el conocimiento.
Charlas30%
Videos32%
Carteles15%
Juegos23%
4.28 Tabla
4.28 Gráfico
80
29.- ¿Qué implican las simetrías de la naturaleza?
Fuente: Encuesta aplicada a los Docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
En esta interrogante, de los 44 docentes encuestados afirma que el 43% las
simetrías implican mantener la uniformidad en la naturaleza, el 34% controla el
balance y la estabilidad de la naturaleza y el 23% no están de acuerdo con
ninguno, con lo que se demuestra que existe un conocimiento básico de lo que
refiere la simetrías del universo, puesto que los dos criterios son acertados y
tienen relación directa con el concepto de simetrías del universo.
Concluyendo el análisis se puede manifestar que los docentes están de acuerdo
en aplicar las simetrías de la naturaleza para el proceso enseñanza aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
Controlar el balance y la estabilidad de la naturaleza
15 34%
Mantener la uniformidad 19 43%
Ninguno 10 23%
TOTAL 44 100%
4.29 Tabla
Controlar el balance
34%
Mantener la uniformidad
43%
Ninguno 23%
4.29 Gráfico
81
30.- ¿Qué medio se debe utilizar para aplicar las simetrías de la naturaleza?
Fuente: Encuesta aplicada a los docentes
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
De la totalidad de los encuestados el 39% de los docentes, consideran que el
mejor medio que se debe utilizar para aplicar las simetrías del universo son los
visuales; el 31% consideran los narrativos; el 20% los auditivos y el 10% otro
tipo son otros medios los dan mejor resultado, como por ejemplo internet. Se
puede comprobar, que de acuerdo al criterio mayoritario de los estudiantes.
Concluyendo con el análisis se estableció que el mejor medio para aplicar las
simetrías del universo, son los visuales, ya que estos implican una mayor
facilidad de acceso al docente, en donde también se puede posteriormente
dialogar luego hacer un debate, que permita dilucidar las interrogantes.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
Narrativos 30 31%
Visuales 38 39%
Auditivos 20 20%
Otros 10 10%
TOTAL 98 100%
Narrativos31%
Visuales39%
Auditivos20%
Otros10%
4.30 Gráfico
4.30 Tabla
82
4.3 ENCUESTAS APLICADAS A LOS PADRES DE FAMILIA
31.- Considera que las simetrías del universo pueden ser utilizadas como
elemento motivador en el proceso de enseñanza-aprendizaje de su hijo
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Con los datos recopilados se puede afirmar que el 55% de los encuestados,
afirman estar de acuerdo que las simetrías del universo pueden ser utilizadas
como elemento motivador en el proceso de enseñanza aprendizaje; el 24%están
totalmente de acuerdo; el 11% están en total desacuerdo; el 10% se consideran
en desacuerdo. Se comprueba por lo tanto que los padres de familia consideran
que las simetrías del universo, entendidas estas como la simetría que gobierna
leyes fundamentales de la física y constituye un principio matemático básico para
entender el universo; son elementos motivadores en el proceso de enseñanza
aprendizaje, despertando nuevas expectativas en los alumnos, que ven en las
simetrías una forma distinta de llegar al conocimiento.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 15 11%
EN DESACUERDO 14 10%
DE ACUERDO 75 55%
TOTALMENTE DE ACUERDO 32 24%
TOTAL 136 100%
4.31 Gráfico
4.31 Tabla
83
32. Las simetrías del universo favorecerán el proceso de enseñanza-aprendizaje
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
En esta interrogante se obtuvo como respuesta del 51% están de acuerdo en
que las simetrías del universo favorecen el proceso de enseñanza aprendizaje
de sus hijos; el 22% están totalmente de acuerdo con esta hipótesis; el 15% está
en desacuerdo; y finalmente el 12% está en total desacuerdo con el hecho de
que las simetrías del universo favorecerían el proceso de enseñanza
aprendizaje. Es decir que los padres de familia, consideran necesaria la
aplicación de simetrías del universo en el proceso de enseñanza aprendizaje,
puesto que el criterio mayoritario está en de acuerdo, ya que todas las técnicas
que incentiven al conocimiento son importantes para el proceso de aprendizaje
de sus hijos.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 16 12%
EN DESACUERDO 20 15%
DE ACUERDO 70 51%
TOTALMENTE DE ACUERDO 30 22%
TOTAL 136 100%
4.32 Gráfico
4.32 Tabla
84
33.- Considera importante la motivación en las clases para mejorar el proceso
de enseñanza-aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 18 13%
EN DESACUERDO 20 15%
DE ACUERDO 30 22%
TOTALMENTE DE ACUERDO 68 50%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANALISIS E INTERPRETACIÓN
El 50% de los padres de familia encuestados, están totalmente de acuerdo al
considerar importante la motivación en las clases para mejorar el proceso de
enseñanza aprendizaje; el 22% está de acuerdo con esta consideración; el 15%
está en desacuerdo y en total desacuerdo el 13%.
Se concluye por lo tanto que los padres de familia, piensan que la motivación es
importante en las clases para mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje, por
lo que creen también que es importante la aplicación de cualquier medio que
ayude a mejorar este proceso en sus hijos.
4.33 Tabla
4.33 Gráfico
85
34.- Conoce si los profesores de su hijo son profesionales motivadores en sus
clases
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 19 14%
EN DESACUERDO 32 24%
DE ACUERDO 55 40%
TOTALMENTE DE ACUERDO 30 22%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El 40% de los padres de familia, están de acuerdo en que los profesores de sus
hijos son profesionales motivadores en sus clases; el 24% están en desacuerdo;
el 22% están totalmente de acuerdo; y el 14% están en total desacuerdo.
Es decir que para los padres de familia, los profesores encargados de la
educación de sus hijos, son personas que aman su profesional y por lo tanto
tratan de motivar a sus alumnos en este proceso utilizando todas las técnicas
posibles que estén a su alcance.
4.34 Tabla
4.34 Gráfico
86
35.- Considera que al utilizar las simetrías del universo como elemento motivador
se alcanzan aprendizajes significativos
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 19 14%
EN DESACUERDO 22 16%
DE ACUERDO 60 44%
TOTALMENTE DE ACUERDO 35 26%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLIS E INTERPRETACIÓN
Los datos recopilados nos dan a conocer que el 44% de los padres de familia,
están de acuerdo en que al utilizar las simetrías del universo como elemento
motivador se alcanzan aprendizajes significativos; el 26% están totalmente de
acuerdo con esta afirmación; el 16% está en desacuerdo; el 14% está en total
desacuerdo.
Por lo tanto se comprueba que las simetrías del universo al ser utilizadas como
un elemento motivador, se logran aprendizajes significativos en sus hijos, puesto
que se promueve el interés de investigación y lograr dilucidar interrogantes que
surgen con su aplicación.
4.35 Tabla
4.35 Gráfico
87
36.- Su hijo ha logrado alcanzar un completo entendimiento utilizando las
simetrías del universo
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
En esta pregunta se pudo determinar que el 37% está de acuerdo en que su hijo
ha logrado alcanzar un completo entendimiento sobre las simetrías del universo;
el 30% está en desacuerdo; el 19% está totalmente de acuerdo en este criterio,
ya que su hijo si conoce sobre las simetrías del universo; y el 14% está en total
desacuerdo.
Con estos datos se llega a la conclusión que el porcentaje que ha logrado
entender y obtener un conocimiento sobre las simetrías del universo, es menor
a los que no lo entienden, esto debido a la poca aplicación de esta materia en el
proceso de enseñanza aprendizaje, muchas veces no se cuenta con la suficiente
preparación por parte del docente o simplemente no se logra despertar el interés
en el alumno.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 19 14%
EN DESACUERDO 41 30%
DE ACUERDO 50 37%
TOTALMENTE DE ACUERDO 26 19%
TOTAL 136 100%
4.36 Gráfico
4.36 Tabla
88
37.- Los profesores de su hijo, aplican simetrías del universo en el proceso de
enseñanza-aprendizaje
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 18 13%
EN DESACUERDO 61 45%
DE ACUERDO 34 25%
TOTALMENTE DE ACUERDO 23 17%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Según se pudo conocer el 45% de los encuestados, están en desacuerdo acerca
de que los profesores de su hijo, aplican simetrías del universo en el proceso de
enseñanza-aprendizaje; 25% están de acuerdo, 17% están totalmente de
acuerdo; 13% están en total desacuerdo. Con lo que se comprueba que los
padres de familia, en su mayoría, creen que no se aplican las simetrías del
universo por parte de los docentes en el proceso de enseñanza aprendizaje, y
esto conlleva también al poco conocimiento de los alumnos acerca del tema,
pero existe un criterio importante que cree importante aplicar esta técnica para
mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje.
4.37 Tabla
EN TOTAL DESACUERDO
13%
EN DESACUERDO
45%
DE ACUERDO25%
TOTALMENTE DE ACUERDO
17%4.37 Gráfico
89
38.- Cree que las simetrías del universo ayudan a mejorar el aprendizaje de las
Matemáticas
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 14 10%
EN DESACUERDO 20 15%
DE ACUERDO 53 39%
TOTALMENTE DE ACUERDO 49 36%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
En esta interrogante se determinó que el 39% está de acuerdo con el hecho que
las simetrías del universo ayudan a mejorar el aprendizaje de las Matemáticas,
ya que están invariablemente ligadas a esta materia; el 36% está totalmente de
acuerdo en esta hipótesis; el 15% está en desacuerdo; el 10% está en total
desacuerdo.
Concluyendo por lo tanto, que el criterio mayoritario de los padres de familia, nos
indica que las simetrías del universo ayudan a mejorar el aprendizaje de las
matemáticas, ya que la existencia del universo está íntimamente ligada con las
matemáticas y su dominio es importante para poder entender las simetrías en el
universo.
4.38 Tabla
4.38 Gráfico
90
39.- Considera que las simetrías del universo aplicadas como elemento
motivador del proceso de enseñanza-aprendizaje, ayudarían a mejorar el
rendimiento de su hijo
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 15 11%
EN DESACUERDO 20 15%
DE ACUERDO 58 43%
TOTALMENTE DE ACUERDO 43 31%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Se determinó que el 43% de los encuestados está de acuerdo en que las
simetrías del universo aplicadas como elemento motivador del proceso de
enseñanza-aprendizaje, ayudan a mejorar el rendimiento de sus hijos; el 31%
están totalmente de acuerdo también con este aspecto; el 15% está en
desacuerdo; el 11% está en total desacuerdo.
Es decir que si se aplica como elemento motivador en el proceso de enseñanza-
aprendizaje, a las simetrías en el universo, la mayoría de padres de familia están
convenicodos que sus hijos mejorarían su rendimiento, debido a la dedicación
que se requiere en el entendimiento de esta rama
4.39 Tabla
4.39 Gráfico
91
40.- Los profesores requieren capacitación para la utilización de las simetrías del
universo como elemento motivador del proceso de enseñanza aprendizaje
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
El 40% de los padres de familia encuestados, están de acuerdo en que los
profesores requieren capacitación para la utilización de las simetrías del universo
como elemento motivador del proceso de enseñanza aprendizaje; el 38% está
totalmente de acuerdo; el 14% está en desacuerdo: el 8% en total desacuerdo.
Es decir que los padres de familia, consideran que los profesores necesitan ser
capacitados en el manejo de simetrías del universo, para que puedan aplicarlas
en sus aulas de clase y así poder fomentar un mejor conocimiento de esta
materia en los alumnos.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 11 8%
EN DESACUERDO 19 14%
DE ACUERDO 54 40%
TOTALMENTE DE ACUERDO 52 38%
TOTAL 136 100%
4.40 Tabla
4.40 Gráfico
92
41.- Su hijo entiende las simetrías del universo al aplicarlas en el proceso de
enseñanza-aprendizaje
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Para el 46% de los padres de familia, están en desacuerdo acerca de que sus
hijos entienden las simetrías del universo aplicadas en el proceso de enseñanza-
aprendizaje; el 28% están de acuerdo; el 15% està en total desacuerdo; el 11%
está totalmente de acuerdo. Es decir que los padres de familia, creen que sus
hijos no entienden las simetrías del universo, y por lo tanto es difícil que puedan
aplicarlas en el proceso de enseñanza aprendizaje, por lo que se necesita mayor
práctica de estas materias en sus clases diarias.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 21 15%
EN DESACUERDO 62 46%
DE ACUERDO 38 28%
TOTALMENTE DE ACUERDO 15 11%
TOTAL 136 100%
4.41 Tabla
4.41 Gráfico
93
42.- Los profesores recurren a las simetrías del universo como último elemento
para motivar una clase
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
EN TOTAL DESACUERDO 24 18%
EN DESACUERDO 42 31%
DE ACUERDO 47 35%
TOTALMENTE DE ACUERDO 23 17%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Según el criterio del 35% de los padres de familia encuestados, están de acuerdo
con que los docentes recurren a las simetrías del universo como último elemento
para motivar una clase; el 31% están en desacuerdo; el 18% están en total
desacuerdo; el 17% están totalmente de acuerdo.
Por lo tanto, se comprueba que según la mayoría de los padres de familia, los
docentes no utilizan las simetrías del universo, como último recurso para motivar
sus clases, puesto que no existen conocimientos totalmente dominados, ni
tampoco cuentan con los recursos que les permita aplicarlas en las aulas.
4.42 Tabla
4.42 Gráfico
94
43.- ¿Qué tipos de elementos motivadores deben utilizar los profesores en el
proceso de enseñanza-aprendizaje?
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
Charlas 30 22%
Videos 25 18%
Carteles 9 7%
Juegos 14 10%
Otros 3 2%
Varias alternativas 55 41%
TOTAL 136 100%
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Para el 40% de los padres de familia, los profesores deberían utilizar varios tipos
de elementos motivadores, sean estos charlas, videos, carteles, juegos, etc.; el
22% consideran que el mejor elemento sería las charlas; el 18% consideran que
son los videos; el 10% los juegos y el 7% los carteles.
Con estos datos, se comprueba que para motivar una clase, se requiere no de
un elemento sino de la conjugación de varios de ellos, o utilizarlos en diferentes
etapas del conocimiento, así se puede obtener mejores resultados en los
alumnos.
Charlas22%
Videos18%
Carteles7%
Juegos10%
Otros2%
Varias alternativas
41%4.43 Gráfico
4.43 Tabla
95
44.- ¿Qué implican las simetrías del universo?
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Para el 39% de los padres de familia, las simetrías del universo implican controlar
el balance y la estabilidad de la naturaleza; el 35% es mantener la uniformidad
en la naturaleza; para el 16% ninguno de los conceptos es adecuado; mientras
que el 10% consideran que las dos opciones representan el concepto de
simetrías del universo. Con esto se puede comprobar que existe un leve
conocimiento sobre las simetrías del universo, puesto que ambos conceptos
explicados intervienen el mismo, por lo que ellos tampoco están capacitados
para poder explicarles sobre el asunto a sus hijos.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
Controlar el balance 53 39%
Mantener la uniformidad 48 35%
Ninguno 22 16%
Varias alternativas 13 10%
TOTAL 136 100%
4.44 Tabla
4.44 Gráfico
96
45.- ¿Qué medio se debe utilizar para aplicar las simetrías del universo?
Fuente: Encuesta aplicada a los Padres de Familia
Autora: Josefina Villavicencio
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN
Segùn el 38% de los padres de familia encuestados, opinan que el mejor medio
que se debe utilizar para aplicar las simetrías del universo son los visuales; el
26% consideran que todas las alternativas presentadas son un elemento muy
bueno para explicar las simetrías de la naturaleza; el 19% cree que los medios
narrativos dan mejor resultado; mientras que el 10% opina que son los auditivos
y el 7% eligió la opción otros, en donde se enumera por ejemplo los medios
informáticos. Con estos resultados, se puede comprobar, que de acuerdo al
criterio mayoritario de los padres de familia, el mejor medio para aplicar las
simetrías del universo, son los visuales, ya que estos llaman más la atención de
sus hijos y pueden ser mejor entendidos.
ALTERNATIVA FRECUENCIA PORCENTAJE
Narrativos 26 19%
Visuales 51 38%
Auditivos 13 10%
Otros 10 7%
Varias alternativas 36 26%
TOTAL 136 100%
4.45 Tabla
4.45 Gráfico
97
4.4 FICHA DE OBSERVACIÓN Nº 1
4.4.1 FICHA DE OBSERVACIÓN REALIZADA EN LAS INSTALACIONES Y
ENTORNO DEL INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR NUESTRA SEÑORA
DEL ROSARIO.
Tabla 4.46. Ficha de observación de los tipos desimetrías existentes en los elementos
naturales presentes en las instalaciones y alrededores de la institución educativa.
CRITERIOS
NÚMERO DE OBSERVACIONES TOTAL
MUCHO POCO NADA
1. Simetrías de reflexión o axial (reflejo de un árbol en el lago, alas de mariposa, etc.) 2 1 0 3
2. Simetrías de rotación (polígonos regulares, radios de bicicleta y pétalos de flores, etc.) 2 1 0 3
3. Simetrías de traslación (hormigas caminando en una línea, el deslizarse por un tobogán recto, hojas dispuestas en una rama, etc.)
1 2 0 3
4. Simetrías helicoidales (resortes, juguetes furtivos, brocas y barrenas, etc.) 1 1 1 3
5. Simetrías de fractales Escala (ramificación de los árboles, plumas de la cola de un pavo real, panal de abejas, brócoli, redes de telaraña, etc.) 3 0 0 3
6. Simetrías en Arquitectura (puertas de madera tallada, vidrieras, mosaicos, frisos, escaleras, barandillas y balaustradas, catedrales, edificios, etc.)
1 1 1 3
7. Simetrías en el Arte (pinturas, murales, muebles, máscaras, instrumentos musicales, etc.)
0 1 2 3
8. Otras simetrías 0 1 2 3
TOTAL 13 9 2
98
Gráfico 4.46 Ficha de observación de los tipos de simetrías existentes en los elementos
naturales presentes en las instalaciones y alrededores de la institución educativa.
Fuente: Observación de instalaciones y alrededores del Instituto Nuestra Señora del Rosario
Autora: Josefina Villavicencio
INTERPRETACIÓN DE LA FICHA DE OBSERVACIÓN
En la ficha de observación se analizaron las instalaciones y los alrededores del
Instituto Nuestra Señora del Rosario, con el fin de identificar los tipos de simetrías
presentes en los objetos naturales del entorno, y los datos que se obtuvo fueron
los siguientes: De acuerdo a las observaciones, se puede determinar que existe
mayor número de objetos con simetría fractal identificados en la realización de
esta técnica, los mismos que se los ha evidenciado en: las nervaduras de las
hojas que se ramifican infinidad de veces en tamaños cada vez más pequeños;
los helechos, debido a que sus hojas principales están formadas por hojas de
menor tamaño similares a ella; las montañas que poseen geometría fractal,
causa de la erosión, de la lluvia, el viento, se produce la fractura de las rocas
por los cambios de temperatura y las presiones y movimientos sísmicos, creando
la cordillera rocosa en la que se ubica la montaña; en las redes de telaraña que
hay en algunos árboles; en la madera, ya que bajo la corteza de un árbol, la
madera está formada por una estructura fractal de fibras de celulosa; plantas
silvestres, donde el tallo principal se divide en dos tallos más pequeños y de esa
bifurcación nacen dos hojas con una semilla entre ellas, cada tallo de la
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
MUCHO
POCO
NADA
99
bifurcación se vuelve a dividir en una estructura auto semejante a la anterior,
pero más pequeña, y así sucesivamente. En el cielo nublado, su aspecto en
general es el de una gran nube formada por grupos de nubes más pequeñas. El
suelo erosionado también es un tipo de fractal ya que se crea multitud de
entrantes, salientes que forman en su conjunto curvas con propiedades fractales;
las ramificaciones de los árboles aunque no existe una auto similitud exacta, sino
una cuasi-similitud. En pavos reales que rondan por la institución, cuyo plumaje
manifiesta una naturaleza fractal que ayuda a los machos de esta especie a
seducir a las hembras a través de la perfección estética de sus plumas; en el
brócoli que normalmente se utiliza para ensaladas, su estructura ramificada es
fascinantemente autosimilar. Los caminos que crean las termitas cuando
corroen la madera, que es de una forma ramificada, que se divide una y otra vez.
En los árboles secos, se aprecia con mayor claridad en sus ramificaciones, de
una rama principal, nacen otras secundarias, que se bifurcan nuevamente
creando una réplica de sí misma en cada ramificación.
Además han sido identificados en menor cantidad pero igualmente
representativa, simetrías de reflexión: en lentes de sol, gafas cuyas dos partes
son exactamente iguales, los pupitres, las mesas, sillas, son simétricas ya que
si les dibujamos una línea imaginaria por el centro de las mismas, se obtienen
dos partes simétricas como si se tratara de un espejo. Simetrías de rotación o
central: en las flores, en las cartas de casino (si se las hace girar, la imagen
sigue siendo la misma).
Por otro lado, las simetrías menos observadas en elementos circundantes, pero
que aun así están presentes, están la de traslación: las cerámicas dispuestas en
el suelo de las aulas, ya que se vuelven a repetir luego de cada distancia
determinada, sin cambiar su tamaño, las colmenas de abejas, cuyas formas
hexagonales se repiten, uno o varios momentos permite pasar de una celda a
otra. Simetría en Arquitectura: en las rejas, que son simétricas, puesto que
poseen simetría respecto de un eje, en las ventanas de las aulas y oficinas, se
describe una traslación. En las protecciones de las ventanas, cuyos diseños
100
poseen simetría axial, en las traslaciones de las puertas, las mismas que están
compuestas por un eje. En los mosaicos de paredes, se evidencia una repetición
de cuadrados, en las rejillas centrales de los patios de la institución, son figuras
con simetría central porque todas sus partes pasan por el punto. Otro tipo de
baldosas encontradas en el piso de las oficinas, son mosaicos regulares, axiales,
formados por cuadrados y otras figuras. El esqueleto de los columpios forma
una traslación. Las escaleras del establecimiento también son una simetría de
traslación.
Simetrías en el Arte y otras simetrías, han sido evidenciadas muy pocas o nada
prácticamente en este entorno. Fueron encontradas algunas cuantas en murales
del establecimiento educativo. Y otro tipo de simetrías, en las tablas de las
operaciones fundamentales que se encuentran colocadas en papelotes en
algunas aulas.
En consecuencia, se puede concluir que en el entorno del Instituto Nuestra
Señora del Rosario, existen gran variedad de elementos naturales que describen
en su estructura algún tipo de simetría que puede ser determinado y analizado
con los estudiantes, a fin de motivarlos a interesarse por la Matemática, a través
de objetos concretos y representaciones prácticas de los temas que se estudian
en clase, como en este caso, las simetrías.
101
CAPÍTULO V
5.1 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1.1 CONCLUSIONES
Para la mayoría de encuestados, tanto estudiantes, padres de familia como
docentes, consideran que las simetrías del universo, pueden ser utilizados
como elemento motivador, y de esta manera favorecer el proceso de
enseñanza-aprendizaje
Se pudo establecer que la mayor parte de los profesores de la institución,
motivan a sus alumnos en el transcurso de sus clases, procurando hacer
dinámica la actividad y de esta manera crear un mejor ambiente educacional.
La mayor parte de los encuestados, consideran que utilizando las simetrías
del universo como elemento motivador, se logran obtener aprendizajes
significativos en los alumnos, obteniéndose también una mejoría del
rendimiento de los estudiantes.
Se puede conocer que no existe completa comprensión de lo que implican
las simetrías del universo, ya sea por parte de los padres de familia, alumnos
y docentes; lo que no ha permitido que puedan ser aplicadas como elemento
motivador.
Se determinó que los docentes no aplican las simetrías del universo como
elemento motivador en el proceso de enseñanza-aprendizaje debido a
diferentes aspectos como la falta de planificación, escaso conocimiento y
poca importancia que se le ha dado al tema.
102
En su mayoría los encuestados afirman que las simetrías del universo ayudan
a mejorar en los alumnos el aprendizaje de las Matemáticas, ya que por
medio de este elemento, se involucran con mayor profundidad en el
conocimiento de esta materia, para por medio de ella tratar de dilucidar las
incógnitas e inquietudes que presenta el universo.
El criterio mayoritario de encuestados, confirman que los profesores
requieren de capacitación para que puedan aplicar las simetrías del universo
en forma adecuada, y se logre motivar a los alumnos en el proceso de
enseñanza aprendizaje.
Se pudo conocer que los principales elementos motivadores que utilizan los
docentes de la institución para motivar sus clases son de varios tipos, entre
los que encontramos charlas, videos, juegos, principalmente; siendo estos
elementos de interacción entre el docente y el alumno.
En la mayoría de encuestados, existe la idea correcta, de que las simetrías
del universo, implican el control del balance del universo, concepto alcanzado
por deducción en lugar de por propio conocimiento.
Para los encuestados, en forma mayoritaria opinan que los medios visuales
son de mayor eficacia en la aplicación de simetrías en el universo como
elemento motivador, sin embargo, se considera también otros medios como
los narrativos y auditivos.
Se ha determinado que en las instalaciones y alrededores del Instituto
Nuestra Señora del Rosario, existe una gran cantidad de elementos
naturales, en cuya estructura se puede identificar la simetría, sobre todo
existen fractales naturales, simetrías de reflexión, traslación, radial.
La abundancia objetos y elementos con simetrías en las instalaciones y
alrededor del Instituto Nuestra Señora del Rosario, facilitará y ayudará de
mucho para tomarlos como ejemplos de representaciones claras y concretas
103
de la simetría, motivándolos en su aprendizaje de la Matemática.
5.1.2 RECOMENDACIONES
Que los docentes de la institución , utilicen las simetrías del universo como
elemento motivador para favorecer el proceso de enseñanza-aprendizaje
Que los docentes de la institución, innoven los elementos motivadores
utilizados en las clases, para no caer en la rutina y provocar en el alumno
el interés necesario para mejorar su actitud en la clase.
Que las autoridades de la institución, evalúen los elementos motivadores
utilizados por los docentes, y se verifiquen los aprendizajes adquiridos y
el mejoramiento del rendimiento de los estudiantes.
Que los directivos de la institución educativa, realicen talleres de
capacitación sobre innovación de elementos motivadores para ser
aplicados en las aulas de clase y ayudar a obtener mejores resultados en
el proceso de enseñanza aprendizaje
Que los docentes procuren el dominio de elementos motivadores para
que la aplicación al momento de impartir una clase, sea fluida y amena,
provocando la creación de un conocimiento significativo en el alumno.
Promover la utilización de simetrías del universo, en las clases de
Matemáticas debido a la relación directa existente entre ambas materias
y que no pueda también aplicárselas a las otras asignaturas.
Que los docentes acudan a talleres o cursos para capacitarse acerca de
la utilización de las simetrías del universo como elemento motivador y
estos conocimientos aplicarlos en las aulas de clase.
Que los docentes no se limiten a la utilización de elementos motivadores
104
conocidos sino que procuren la innovación y renovación de estos
elementos con la aplicación de mecanismos nuevos y de actualidad.
Que todos los involucrados en el accionar de la institución, profundicen en
el conocimiento de las simetrías del universo para fomentar un correcto
aprendizaje y aplicación de esta materia.
Que en la aplicación de simetrías del universo como elemento motivador,
se combinen diversos medios, con la finalidad de expandir el campo de
accesibilidad de los alumnos a estos nuevos conocimientos.
Que se realicen salidas de observación por los alrededores del
establecimiento para reconocer e identificar los elementos con simetría
que estén ahí presentes.
Que se planifiquen salidas de observación, a los alrededores de la ciudad
y por qué no a Parques, como el Parque Nacional Podocarpus, de manera
que con la biodiversidad que ahí se encuentra, se pueda ampliar la
variedad de objetos naturales, en cuya estructura se identifican diversos
tipos de simetría.
105
CAPÍTULO VI
LA PROPUESTA
6.1 TEMA DE LA PROPUESTA
“Análisis de las Simetrías Del Universo Como Elemento Motivador para la
Enseñanza de la Matemática, aplicable al Instituto tecnológico Superior Nuestra
Señora del Rosario, Parroquia Catamayo, Cantón Catamayo, Provincia De Loja,
Período 2012-2013”
6.2 TÍTULO DE LA PROPUESTA
Diseño de una guía para utilizar las simetrías del universo como elemento
motivador en la enseñanza del Módulo 6 Bloques: Geométrico. De medida, de
Matemática de Noveno Año en el Instituto Tecnológico Superior Nuestra Señora
del Rosario, parroquia Catamayo, cantón Catamayo, provincia de Loja período
2013 – 2014”
6.3 OBJETIVOS
6.3.1 OBJETIVO GENERAL
Diseñar una guía para utilizar las simetrías del universo como elemento
motivador en la enseñanza delMódulo 6 Bloques: Geométrico. De medida,
de la Matemática de Noveno Año en el Instituto Tecnológico Superior
Nuestra Señora del Rosario, parroquia Catamayo, cantón Catamayo,
provincia de Loja" período 2013 – 2014”
106
6.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Recolectar información y elaborar una guía para utilizar las simetrías como
elemento motivador para la enseñanza de las Matemáticas.
Conceptualizar la simetría como elemento motivador en la enseñanza de las
Matemáticas.
Establecer un programa computacional: Geogebra, como medio para la
enseñanza de las simetrías en el universo para de esta manera potenciar el
aprendizaje en los estudiantes.
Motivar al estudiante para que comprenda el concepto de simetría y sea capaz
de identificar elementos simétricos de la vida cotidiana.
6.4 POBLACIÓN OBJETO
Beneficiarios directos: Docentes y estudiantes del Instituto Tecnológico
Superior Nuestra Señora del Rosario, ya que contarán con un elemento que les
permita perfeccionar su metodología de enseñanza en el área de matemáticas;
también serán beneficiarios los estudiantes del área de Matemáticas del Instituto
Tecnológico Superior Nuestra Señora del Rosario de la parroquia Catamayo, al
contar con docentes capacitados en la técnica del manejo aplicación del
programa Geogebra para las simetrías del universo como elemento motivador
para la enseñanza – aprendizaje.
Beneficiarios indirectos: Padres de familia de los y las estudiantes del Instituto
Tecnológico Superior Nuestra Señora del Rosario de la parroquia Catamayo, al
contar con docentes capacitados en el manejo y uso del programa Geogebra
como medio para la enseñanza de las simetrías en el universo y de esta manera
motivar y potenciar el proceso de aprendizaje de sus hijos.
107
6.5 LOCALIZACIÓN
El Instituto Tecnológico Superior Nuestra Señora del Rosario se encuentra
ubicado en la parroquia Catamayo, perteneciente al cantón Catamayo de la
provincia de Loja.
Datos generales del cantón
Catamayo se encuentra a 36 Km Noroeste de la ciudad de Loja, es el más grande
y fértil de los valles lojanos, con riquezas inagotables que llaman a ser
exploradas, conocidas y explotadas; la hospitalidad y la sencillez de su gente
hacen de este valle un lugar de gran atracción para los turistas. Sobresale el
cultivo de caña de azúcar, motivo por el cual se ha instalado el Ingenio Azucarero
Monterrey de gran importancia económica nacional. Catamayo cuenta con una
población de 29452 habitantes, posee una superficie de 645.5 Km ², con una
temperatura promedio de 24°C.
Parroquias: Catamayo y San José. El Tambo, Guayquichuma, San Pedro de la
Bendita y Zambi.
Mapa Político del Cantón Catamayo
108
6.6 LISTADO DE CONTENIDOS TEMÁTICOS
GUÍA PARA ESTUDIANTES
TEMA 1: LA PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA NATURALEZA
La geometría presente en la naturaleza.
Descubriendo formas geométricas en el entorno.
TEMA 2: SIMETRÍA EN LA NATURALEZA
Simetría
El eje de simetría.
Figuras simétricas y asimétricas
Apreciación de la simetría en la naturaleza
TEMA 3: CLASIFICACIÓN DE LA SIMETRÍA
Simetría Reflexiva o Axial
Formas en la naturaleza con simetría axial
Simetrías axiales en GeoGebra
Simetría Rotacional o Central
Formas en la naturaleza con simetría central
Simetrías centrales en GeoGebra
TEMA 4: TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Traslación de Figuras
Rotación de figuras
Construcción de transformaciones isométricas en GeoGebra
Transformaciones isométricas en la Naturaleza y en la vida diaria
109
6.7. DESARROLLO DE LA PROPUESTA
6.7.1. GUÍA PARA ESTUDIANTES SOBRE LA UTILIZACIÓN DE LAS
SIMETRÍAS DEL UNIVERSO COMO ELEMENTO MOTIVADOR EN LA
ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA.
110
111
ÍNDICE PORTADA CONTENIDOS UNIDAD I LA PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA NATURALEZA GEOMETRÍA PRESENTE EN LA NATURALEZA 141 DESCUBRIENDO FORMAS GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO 142 UNIDAD II SIMETRÍA EN LA NATURALEZA SIMETRÍA 148 EL EJE DE SIMETRÍA 149 FIGURAS SIMÉTRICAS Y ASIMÉTRICAS 150 APRECIACIÓN DE LA SIMETRÍA EN LA NATURALEZA 152 UNIDAD III CLASIFICACIÓN DE LA SIMETRÍA SIMETRÍA REFLEXIVA O AXIAL 157 FORMAS EN LA NATURALEZA CON SIMETRÍA AXIAL 157 SIMETRÍAS AXIALES EN GEOGEBRA 158 SIMETRÍA ROTACIONAL O CENTRAL 160 FORMAS EN LA NATURALEZA CON SIMETRÍA CENTRAL 160 SIMETRÍAS CENTRALES EN GEOGEBRA 161 UNIDAD IV TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS 164 TRASLACIÓN DE FIGURAS 165 ROTACIÓN DE FIGURAS 165 CONSTRUCCIÓN DE TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS EN GEOGEBRA
167
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS EN LA NATURALEZA Y EN LA VIDA DIARIA
173
BIBLIOGRAFÍA 181 WEBGRAFÍA 181
112
CONTENIDOS
UNIDAD I LA PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA NATURALEZA
o Geometría presente en la naturaleza.
o Descubriendo formas geométricas en el entorno.
UNIDAD II SIMETRÍA EN LA NATURALEZA
o Simetría
o El eje de simetría.
o Figuras Simétricas y Asimétricas
o Apreciación de la Simetría en la Naturaleza
UNIDAD III CLASIFICACIÓN DE LA SIMETRÍA
o Simetría Reflexiva o Axial
o Formas en la Naturaleza con Simetría Axial
o Simetrías Axiales en Geogebra
o Simetría Rotacional o Central
o Formas en la Naturaleza con Simetría Central
o Simetrías Centrales en Geogebra
UNIDAD IV TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
o Traslación de Figuras
o Rotación de figuras
o Construcción de Transformaciones Isométricas en GeoGebra
o Transformaciones Isométricas en la Naturaleza y en la Vida diaria
113
LA PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA NATURALEZA UNIDAD I
GEOMETRÍA PRESENTE EN LA NATURALEZA
Es importante reconocer la relación existente entre Geometría y Naturaleza,
debido a que muchas de esas formas geométricas han sido tomadas como
prestadas de la naturaleza, y han servido de inspiración a la hora de diseñar
multitud de objetos, elementos máquinas basados en esas formas,
incorporando estética y funcionalidad, y que hoy en día forman parte de
nuestra vida diaria.26
Por ejemplo para relacionar la Geometría y Naturaleza, reflexiona acerca de
las similitudes formales que entres entre las dos imágenes que a continuación
se proponen: avión y pájaro.
Figura 6.1: Simetrías de la naturaleza (avión y pájaro)
Fuente: http://avesenandalucia.blogspot.com/2012_06_24_archive.html
a) Observa las siguientes imágenes. ¿No te parecen similares estas
formas? (avión-ave)
b) ¿Qué otros ejemplos se te ocurren sobre similitudes entre objetos
fabricados artificialmente y seres propios de la naturaleza?
En la lámina que a continuación se presenta, se puede observar variedad de
ejemplos de elementos naturales con figuras geométricas.
26 http://es.scribd.com/doc/45030175/UD-SECUNDARIA#scribd
114
LA PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA NATURALEZA UNIDAD I
Figura 6.2: Formas geométricas en la naturaleza
Fuente: Elaborada por la autora de la Tesis, con imágenes de Google Imágenes
Figura 6.3: Formas geométricas en la naturaleza
Fuente: Elaborada por Josefina Villavicencio, con imágenes de Google Imágenes
DESCUBRIENDO FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO
Una simple mirada al entorno que nos rodea nos permite observar que las
figuras y las relaciones geométricas abstractas que encontramos en los libros
Desde las formas geométricas más básicas, como la forma esférica de unanaranja, la forma cilíndrica en los troncos de los árboles y tallos de lasplantas, algunas copas de los árboles también son esféricas, otras como las delos abetos son cónicas, y así infinidad de formas que encontramos en loselementos naturales.
Hasta otras formas geométricas más complejas, como la espiral queobservamos en una concha de caracol, también como en el origen de unarosa; una estrella de mar; las celdillas de las abejas que tienen formahexagonal, etc.
Al fijarnos en muchos pelajes de animales, que poseen manchas con formasgeométricas, como las líneas de las cebras, en los caparazones de lastortugas, escamas de los peces, las motas de las mariquitas.
También en las flores se visualizan esas formas geométricas: en el tallo, en lashojas, los pétalos, en su disposición circular, simétrica, etc.
En el mundo mineral, se encuentra también gran diversidad de estas formasgeométricas, como en el cuarzo por ejemplo.
FORMAS GEOMÉTRICAS EN LA NATURALEZA
115
LA PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA NATURALEZA UNIDAD I
de matemáticas se encuentran por todas partes y que la geometría está
presente de manera directa y muy concreta en la naturaleza y en nuestra vida
cotidiana.27
Ejercicio 1: Se presenta un ejercicio que consiste en una ficha de análisis
de la Naturaleza, partiendo de la observación de nuestro entorno natural
Esto ejercicio es interdisciplinar, y para realizarlo es necesario dirigirse al
patio, jardín o parque cercano y observar las formas naturales y a reconocer
su estructura geométrica. Para ello deberás recoger hojas (sólo las caídas en
el suelo), fotografiar plantas, flores, etc.; o las puedes dibujar por medio de un
apunte rápido y memorizarlas, para posteriormente pasar a rellenar la ficha,
donde tienes que completar los campos vacíos con los ejemplos que hayas
encontrado u otros que se te ocurran, acompañados de un dibujo sencillo pero
representativo de aquello.
Esta es una ficha que te servirá de ejemplo a la hora de realizar el ejercicio,
realizarás una similar, pero con los objetos que encuentres.
CÓMO (COMPARACIÓN) DIBUJO
Rectas paralelas
Los campos extensos que poseen líneas de labranza horizontales y rectas trabajadas por los agricultores
Rectas perpendiculares
Lo que nace y crece tiende hacia la verticalidad
Esferas La forma de la copa de árboles y arbustos
Figura 6.4: Ficha de ejemplo
Fuente: Elaborada por Josefina Villavicencio, con imágenes de Google Imágenes
Ficha de análisis: ¿Qué formas geométricas aparecen en el patio, jardín
parque que visitaste?
Primero observa y después apúntalo en la ficha.
27 http://narceaeduplastica.weebly.com/geometriacutea-y-naturaleza.html
116
LA PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA NATURALEZA UNIDAD I
FICHA TIPO
¿DÓNDE? DIBUJO
Rectas paralelas
Circunferencias
Triángulos
Cuadrados
Ángulos
Polígonos
Volúmenes
Ejercicio 2: Descubre por ti mismo: Este ejercicio consiste en analizar
imágenes a través del cuestionario pautado que se propone, profundizando y
ampliando cuestiones ahí planteadas. Primero contestarás individualmente y
luego se socializarán respuestas para establecer conclusiones.
Figura 6.5: Formas geométricas la arquitectura
Fuente: Elaborada por Josefina Villavicencio, con imágenes de Google Imágenes
117
LA PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA NATURALEZA UNIDAD I
Es importante señalar que las imágenes presentadas en relación con la
Arquitectura son edificios y elementos arquitectónicos muy significativos de
distintos momentos históricos y considerados obras artísticas, parte del
Patrimonio Cultural.
Después de observar las imágenes, estas son las cuestiones que se
plantean para tu análisis:
• Rta.:
En algunos edificios juegan un papel importante los elementos visibles en sufachada, como las ventanas que crean la sensación de bandas verticales uhorizontales según sus formas y su agrupamiento. ¿En qué fotográfias cuyosnombres están etiquetdas, observas esta característica claramente?¿En cuál lasensación es vertical? ¿y horizontal?
• Rta.:
¿Dónde observas formas sinuosas, onduladas?¿Te dansensación de estatismo o de movimiento?
• Rta.:
¿En cuál hay una clara referencia a elementos de lanaturaleza por su semejanza con el esqueleto de un servivo?
• Rta.:
¿Dónde observas un aspecto e fachada reticular, es decir, abase de líneas perpendiculares?
• Rta.:
¿Aprecias la simetría en alguno de estos edificios?¿Cuál/cuáles?
118
SIMETRÍA EN LA NATURALEZA UNIDAD II
SIMETRÍA
Una forma geométrica es simétrica si se puede cortar en una línea recta y lo
que resulta son dos mitades que son una imagen inversa de cada cual, como
si viéramos una parte reflejada en un espejo.28
Figura 6.6: Figura simétrica y asimétrica
Fuente: Elaborada por Josefina Villavicencio, con imágenes de Google Imágenes
EL EJE DE SIMETRÍA
Es aquella recta que atraviesa una figura dividiéndola en dos partes simétricas con respecto a la recta.
Figura 6.7: Ejes de simetría
Fuente: Elaborada por Josefina Villavicencio
28 http://es.scribd.com/doc/70020744/Simetria-Rotacion-y-Traslacion#scribd
SÍ, soy Simétrica
No soy Simétrica
Podemos decir que una
figura o forma geométrica
es simétrica si al doblarla
en dos partes iguales, los
bordes de ésta coinciden
exactamente.
Primer eje de simetría
Segundo eje de simetría
Tercer eje de simetría
Cuarto eje de simetría
119
SIMETRÍA EN LA NATURALEZA UNIDAD II
Observaciones 1º Existen figuras que no tienen eje de simetría. 2º Existen figuras que tienen sólo un eje de simetría. 3º Existen figuras que tienen más de un eje de simetría. 4º La circunferencia tiene infinitos ejes de simetría.
Figura 6.8: Ejes de simetría en diferentes figuras
Fuente: Elaborada por Josefina Villavicencio
FIGURAS SIMÉTRICAS Y ASIMÉTRICAS
Figura 6.9: Figura Simétrica Figura 6.10: Figura asimétrica
Fuente: Elaborada por Josefina Villavicencio Fuente: Elaborada por Josefina Villavicencio
Ejercicio: Empleando un programa de Geometría Dinámico como GEOGEBRA, podemos dibujar un pentagrama y cambiar la posición de la recta hasta conseguir que coincidan el pentagrama y su simétrico o, lo que es lo mismo, hasta colocarla sobre uno de sus ejes de simetría. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un pentagrama?
Llamamos figuras simétricas a las que
tienen una o más líneas de simetría. Son formas simétricas si se repiten a un lado y a otro de un eje
o de un centro de simetría.
Cuando las dos partes no son iguales, se llama
asimetría. Son formas asimétricas, si no hay
repetición respecto a un eje o centro de simetría.
Δ ABC equilátero 3 ejes de Simetría
1 Eje de Simetría No presenta ejes de Simetría
Círculo Infinitos ejes de Simetría
120
SIMETRÍA EN LA NATURALEZA UNIDAD II
Figura 6.11 Ejes de simetría de una estrella (pentagrama).
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico portable
Network- PNG
Figura 6.12 Pentagrama coincide con su simétrico.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico portable
Network- PNG
En esta imagen se han hecho coincidir los ejes de simetría tanto del
pentagrama (Izquierda) como de su simétrico (derecha). Superpuestos uno
sobre otro, encajan perfectamente.
Además el programa tiene la opción de dibujar los ejes de simetría, con lo cual
se puede establecer cuántos ejes posee el pentagrama, la respuesta es: ____
APRECIACIÓN DE LA SIMETRÍA EN LA NATURALEZA
Simetría es ese equilibrio que se manifiesta en toda la naturaleza desde el
elemento más pequeño, más simple del mundo inorgánico a los sistemas más
organizados del mundo orgánico, haciéndose extensivo a la creación artística
del hombre.29
29 http://www.fundamin.com.ar/index.php/publicaciones/18-naturaleza-y-arte/25-recorriendo-simetrias-naturaleza-y-arte-
121
SIMETRÍA EN LA NATURALEZA UNIDAD II
La simetría en la naturaleza es el resultado de las leyes matemáticas que rigen
a la naturaleza. Con respecto a su presencia en el arte, podemos
preguntarnos: ¿el origen de la simetría en la obra de arte nace de una
observación de la naturaleza o es una realización intuitiva de la mente
creadora del artista? ¿Qué opinas tú?
Refiriéndose a simetría en la naturaleza se trata: animales, vegetales y
minerales.
La simetría nos rodea en la naturaleza:
Figura 6.13: Simetría en flores
Fuente: http://www.ceanature.es/online-Certificado-Flores-Bach.html
Figura 6.14: Simetría en hojas
Fuente: http://goo.gl/oaJZgo
Si miras las flores, vas a ver que ellas son simétricas. ¡Ambos
lados son iguales! A la línea entre las dos mitades simétricas
llamamos la línea de simetría. La flor, quiere atraer a las abejas
para la ayuden a propagar el polen, así que, cuanto más
simétrica sea la flor, más posibilidades tendrá de que las
abejas la vean y la visiten.
Si dibujas una línea a lo largo del centro de una hoja,
vas a ver que la mitad izquierda tiene forma parecida a
la derecha. Decimos que las dos mitades de la hoja son
simétricas.
Si miras los insectos, vas a ver que sus
cuerpos también son simétricos. El
escarabajo y la mariposa se ven
exactamente iguales en ambos lados de sus
cuerpos.
Figura 6.15: Simetría en escarabajo Figura 6.16: Simetría en mariposa
Fuente: http://goo.gl/RERsgV Fuente: http://goo.gl/7UE4dv
122
SIMETRÍA EN LA NATURALEZA UNIDAD II
Figura 6.17: Simetría en tortugas Figura 6.18: Simetría en oso panda
Fuente: http://goo.gl/rM9eUK Fuente: http://goo.gl/Fxh3TS
Figura 6.19: Simetría en cristales Figura 6.20: Simetría en minerales
Fuente: http://goo.gl/hqWV5N Fuente: http://goo.gl/jd57n8
Figura 6.21: Sección áurea
Fuente: http://goo.gl/KABilc
¡Los animales también tienen
cuerpossimétricos! Mira la tortuga y el
oso panda que están abajo. ¿Puedes
encontrarla línea de simetría?
En un cristal, la repetición de ciertos
elementos, dan lugar a la existencia de
equivalencias en direcciones no paralelas.
Por tanto, una propiedad de los minerales
cristalinos consecuencia de la ordenación
de sus átomos, es la posesión de simetría.
La simetría pentagonal, es
dominante en las formas
vivas, representada por el
pentágono regular. Este
poliedro adquiere valoración
particular por su relación con
la “sección áurea”.
123
SIMETRÍA EN LA NATURALEZA UNIDAD II
Simetrías en nuestro cuerpo y en nuestro alrededor
Figura 6.22: Simetría en el rostro
Fuente: http://goo.gl/LQt2qZ
Figura 6.23: Simetría en el cuerpo humano
Fuente: http://goo.gl/AJL9Rz
Figura 6.24: Simetría en el cerebro humano
Fuente: http://goo.gl/iuV9FD
Figura 6.25: Simetría en las manos
Fuente: http://goo.gl/43Rhsn
La simetría bilateral humana, compartida
con la mayor parte de los animales,
relaciona una mitad del cuerpo con la otra,
mediante un plano de simetría.
Nuestro órgano vital, el cerebro, asimétrico en su
función pero simétrico en su forma y enfundado en un
cráneo y cabeza simétricos. Dividido simétricamente
en dos partes, y que según los expertos, el hemisferio
izquierdo está relacionado con la lógica y la razón, y
el hemisferio derecho se corresponde con la intuición.
La simetría es la división imaginaria del cuerpo
de un animal en mitades, que deben ser
equivalentes o semejantes entre sí. Por ejemplo
nuestras dos manos no son iguales, sino
simétricas y se complementan mutuamente
para ser funcionales.
Las dos mitades de cada cara
son un ejemplo perfecto para
que nos demos cuenta, ya
que nuestro cerebro está
especialmente bien
entrenado para detectar
sutiles y pequeñas
diferencias faciales.
124
CLASIFICACIÓN DE LA SIMETRÍA UNIDAD III
CLASIFICACIÓN DE LA SIMETRÍA
Existen varias teorías para definir y clasificar los diferentes tipos de simetrías.
Algunos matemáticos utilizan los conceptos de «simetría axial», es decir
simetría con respecto a una recta, y «simetría central», es decir simetría con
respecto a un punto. Pero otros autores no utilizan el concepto de simetría
central porque ésta se puede caracterizar como un giro de 180°.30
En esta guía, la clasificación y el uso de los términos se realizan de la siguiente
forma:
- Simetría reflexiva (axial)
- Simetría rotacional (central)
SIMETRÍA REFLEXIVA O AXIAL
EJEMPLO DE SIMETRÍA TIPO DE
SIMETRÍA ACCIÓN QUE LA PRODUCE
DESCRIPCIÓN
Simetría reflexiva (axial)
Reflexión
Esta figura es simétrica con respecto a un eje de simetría. Esta figura tiene simetría reflexiva.
Estas figuras son simétricas entre sí con respecto a un eje de simetría. La figura A es simétrica a la
figura B con respecto a un eje de simetría.
Estas figuras tienen simetría reflexiva entre sí.
Figura 6.26: Simetría reflexiva o axial
Fuente: Elaborado por Josefina Villavicencio
FORMAS EN LA NATURALEZA CON SIMETRÍA AXIAL
En la naturaleza, en el arte, en las cerámicas, papeles de decoración de las
paredes (ornamentación geométrica) y otros, se encuentran simetrías
bilaterales (reflexiones respecto de rectas o ejes).La simetría axial convive
con nosotros, existen muchos elementos cotidianos como elementos de la
naturaleza donde podemos apreciar ejes de reflexión, por eso "No le temas a
la Matemática". Observa y sorpréndete:
30 http://issuu.com/rafaelhumbertovaldezvalles/docs/gm_6_matematica/61
125
CLASIFICACIÓN DE LA SIMETRÍA UNIDAD III
Figura 6.27: Simetría axial en la naturaleza
Fuente: Elaborado por Josefina Villavicencio, con imágenes de Google Imágenes
Observa como en la naturaleza encontramos muchas situaciones donde se
aprecia simetría axial. Coméntalo con tus compañeros y docente y verifica si
se cumplen las propiedades de la simetría.
SIMETRÍAS AXIALES EN GEOGEBRA
Una de las mejores formas de trabajar simetrías axiales es mediante
programas de geometría dinámica, como GeoGebra.
Vamos a dibujar polígonos o trabajar con imágenes de tal forma que a través
de una instrucción de GeoGebra se obtiene la figura simétrica respecto de una
recta.
- Procedimiento:
1) Se dibuja un polígono (o se inserta una imagen)
2) Después se dibuja la recta que hará de eje de simetría.
3) A continuación se selecciona el ícono<<Simetría axial>>
4) Se hace clic sobre el polígono (o sobre la imagen)
5) Luego clic sobre la recta.
6) De esta forma se obtiene la imagen simétrica del polígono( o de la
imagen).
- Desarrollo:
126
CLASIFICACIÓN DE LA SIMETRÍA UNIDAD III
Figura 6.29: Simetría axial en GeoGebra: Dibujar eje de simetría.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico - PNG
Figura 6.30: Simetría axial en GeoGebra: Obtención de la figura simétrica.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico - PNG
Figura 6.28 Simetría axial en GeoGebra: Insertar una imagen.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico - PNG
127
CLASIFICACIÓN DE LA SIMETRÍA UNIDAD III
SIMETRÍA ROTACIONAL O CENTRAL
EJEMPLO DE SIMETRÍA TIPO DE
SIMETRÍA ACCIÓN QUE LA PRODUCE
DESCRIPCIÓN
Simetría rotacional (central)
Rotación
Esta figura es simétrica con respecto a un centro de simetría. Esta figura tiene simetría rotacional.
Estas figuras son simétricas entre sí con respecto a un punto. La figura A es simétrica a la figura B con respecto a un punto. Estas figuras tienen simetría rotacional entre sí.
Figura 6.31: Simetría Rotacional o Central
Fuente: Elaborado por Josefina Villavicencio
FORMAS EN LA NATURALEZA CON SIMETRÍA CENTRAL
Continuando con la simetría, ahora Central o Rotacional, la podemos
encontrar en varios objetos o elementos de la naturaleza u obras que respetan
que todos los puntos equidistan de un punto fijo, llamado centro de la simetría.
Para tener simetría rotacional, un objeto debe tener un patrón que se repite
alrededor de su centro o eje. El patrón en general no tiene que tener una
simetría linear.31 Un trébol de tres hojas y uno de cuatro pueden tener ambos
simetría rotacional. La naturaleza está llena de esta simetría:
Figura 6.32: Simetría radial en la naturaleza
Fuente: Elaborado por Josefina Villavicencio, con imágenes de Google Imágenes
31 http://www.ehowenespanol.com/cosas-naturaleza-simetria-rotacional-info_194778/
128
CLASIFICACIÓN DE LA SIMETRÍA UNIDAD III
Figura 6.33: Simetría central en GeoGebra: Insertar una imagen.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico PNG
Figura 6.34: Simetría central en GeoGebra: Aplicación de la simetría central.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico portable Network- PNG
SIMETRÍAS CENTRALES EN GEOGEBRA
Vamos a dibujar polígonos o trabajar con imágenes de tal forma que a través
de una instrucción de GeoGebra se obtenga la figura simétrica respecto de
un punto.
- Procedimiento:
1) Se dibuja un polígono (o se inserta una imagen)
2) A continuación se selecciona el ícono <<Simetría central>>
3) Se hace clic sobre el polígono (o sobre la imagen)
4) Luego clic sobre un punto a través del cual se operará la reflexión.
5) De esta forma se obtiene la imagen simétrica del polígono (o de la
imagen).
- Desarrollo:
Anémona de mar
• Estos están organizadosalrededor de su bocacomo un girasol. Estaparte de la anémonamuestra simetríarotacional.
Flores
• Aquellas con verdaderasimetría rotacional tiendena ser las que tienenpétalos en el perímetroque se abrencompletamente,exponiendo la antera, elestambre y el pistilo. Losejemplos incluyen elgirasol, la flor de lotovioleta, la margarita y laanémona Hojas
Cactus y erizos de mar
• Algunas formas de lanaturaleza tienen simetríarotacional si ves unasección transversal o si lasves desde arriba. Susestructuras son redondasy divididas en segmentos.Algunos cactus, erizos demar y algunas frutasentran en esta categoría.
129
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS UNIDAD IV
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Una transformación de una figura geométrica indica que, de alguna manera, ella es alterada o sometida a algún cambio. En una transformación geométrica es necesario tener presentes tres elementos:
La figura original La operación que describe el cambio La figura que se obtiene después del cambio
La figura que se obtiene después del cambio es la imagen de la figura original a través de la operación descrita. La operación que describe el cambio es una transformación geométrica.32 En esta guía se describen tres tipos de transformaciones geométricas, llamadas:
Figura 6.35: Mapa conceptual: Transformaciones Isométricas
Figura realizada por: Josefina Villavicencio
Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías), que serán vistas a continuación a excepción de las Reflexiones que ya fueron revisadas, en la Unidad III.
TRASLACIÓN DE FIGURAS
Las traslaciones, son aquellas isometrías que permite desplazar en línea recta
todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una
32 http://www.phpwebquest.org/newphp/miniquest/soporte_izquierda_m.php?id_actividad=48374&id_pagina=1
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Traslaciones
Se obtiene con un vector
Rotaciones
Se obtiene con un ángulo
de giro
Reflexiones
Se obtiene entorno a un eje de simetría y
a un centro.
Simetría Axial Simetría Central
Transformaciones isométricas: son cambios de posición (orientación) de una figura determinada que NO alteran la forma ni el tamaño de ésta
130
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS UNIDAD IV
determinada dirección, sentido y distancia, por lo que toda traslación queda
definida por lo que se llama su “vector de traslación”.33
ROTACIÓN DE FIGURAS
Las rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos
del plano. Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo
bien determinados, por lo que toda rotación queda definida por su centro de
rotación y por su ángulo de giro. Si la rotación se efectúa en sentido contrario
a como giran las manecillas del reloj, se dice que la rotación es positiva o
antihoraria; en caso contrario, se dice que la rotación es negativa u horaria.34
CONSTRUCCIÓN DE TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS EN
GEOGEBRA
Traslación de figuras (Con deslizadores)
1) Abre un nuevo archivo de Geogebra. Oculta los ejes de coordenadas
seleccionando en el menú Vista la herramienta Ejes.
2) Inserta una imagen cualquiera con la herramienta <<Insertar imagen
desde>>. En la opción “EDITA”
3) Crea un vector de traslación, eligiendo la herramienta vector entre dos
puntos . El origen del vector será el punto de partida y el final será el
lugar al que queremos que se traslade la imagen.
33 http://es.slideshare.net/cardiaz129/isometria-14247357
Figura 6.36. Insertar una imagen desde archivo.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico- PNG
Figura 6.37. Insertar un vector de traslación
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico PNG
131
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS UNIDAD IV
4) Define el deslizador, a, seleccionando la herramienta deslizador, y
selecciona el intervalo de 0 a 1 con incremento 0.1.
5) Escribe en la barra de entrada Traslada[imagen1,a*u], donde imagen1
es el nombre de la imagen que quieres trasladar, a el nombre del
deslizador y u el vector de traslación. Al añadir a*u se trasladará como
un factor del deslizador a.
6) Puedes trasladar el objeto, haciendo clic sobre e deslizador a y
deslizándolo a lo largo del mismo. Su valor cambiará dentro del intervalo
0 a 1.En este caso está a 0,7.
Figura 6.38. Definir el deslizador.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico- PNG
Figura 6.39. Trasladar imagen.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico - PNG
Figura 6.40. Trasladar la imagen con el deslizador
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico- PNG
132
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS UNIDAD IV
7) Si deseas una vez empezada la traslación desaparecer la imagen
original, con el botón derecho del ratón sobre la imagen desmarque
"Muestra objeto" Cambia los colores o el diseño de los objetos si deseas,
oculta la Vista algebraica y guarde el archivo.
Rotación de figuras (Con deslizadores)
1) Construye un hexágono regular
2) Define un deslizador, tipo ángulo, , entre 0 y 360º.
Figura 6.43. Definir deslizador tipo ángulo.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico - PNG
Figura 6.42. Construcción de un hexágono regular.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico - PNG
Figura 6.41. Trasladar la imagen con el deslizador
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico- PNG
133
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS UNIDAD IV
3) Traza dos diagonales y marca su intersección . Ésta será el
centro del hexágono.
4) Hazlo girar sobre su centro con un ángulo de giro de º. (primero
clic el polígono, luego el centro y por último indique la amplitud del
ángulo, ).
Puedes hacerlo girar como gustes, aplicando el deslizador, haciendo clic
sobre él y arrastrándolo.
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS EN LA NATURALEZA Y EN LA
VIDA DIARIA
Si bien, cada vez que observamos a nuestro alrededor nos encontramos con
un edificio, una casa, árboles, insectos y animales. Nunca analizamos con
mayor exactitud su estructura o su imagen. Si así lo hiciéramos, nos daríamos
cuenta de que en cada uno de ellos y en cada cosa que nos rodea incluso en
la misma naturaleza, existe la Isometría, de una u otra forma. Las aplicaciones
de las transformaciones isométricas tienen infinidad de aplicaciones tanto en
Figura 6.45. Rotación de un hexágono regular sobre su centro.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico PNG
Figura 6.44. Definir centro del hexágono.
Figura realizada por: Josefina Villavicencio en GEOGEBRA 5.0 exportada como Gráfico - PNG
134
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS UNIDAD IV
la vida diaria como en la naturaleza, astronomía, ingeniería, arquitectura,
diseño, etc.
Traslaciones
Lo mismo sucede con el nado de algunos
animales.
En el caso de yo-yo también hay una
traslación: lo particula de ella es que es en dirección vertical.
Un ciclista trasladándose (en cuyo caso no hay
interés en lo que pasa con la bicicleta, sino con el sistema como un todo
Un esquiador deslizándose por una montaña
En esta rama,el módulo de la hoja se traslada sobre el tallo decreciendo y a su vez en forma
axial o refleja.
El diseño del caparazón de una tortuga con motivo rectangular, resulta de trasladar
horizontalmente su módulo.
Figura 6.46. Traslaciones en el medio
Figura realizada por: Josefina Villavicencio, con imágenes de Google Imágenes
135
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS UNIDAD IV
Rotaciones
En un reloj vemos tres rotaciones concéntricas al mismo tiempo: la realizada por el segundero, por el minutero y por el horario
La transmisión de movimiento de rotación entre dos engranajes
Un trompo además de dar vueltas sobre su punta (rotación), corriera por el suelo trazando la curva llamada elipse (se traslada). Realiza
dos movimientos simultáneos igual que la Tierra
Rotación con nuestras extremidades, podemos hacer movimientos rotacionales con las
muñecas de las manos, los pies.
En la flor que ilustra la foto se observa que el módulo sería un pétalo, que gira alrededor de un eje central en 360°, en contacto con dicho eje; puede ocurrir que el módulo gire a 360°
alrededor de un eje sin estar en contacto con el mismo.
Rotación de todo el cuerpo girando alrededor de una barra horizontal.
Rotación de la columna vertebral
Podemos hacer rotar nuestra cabeza en torno al cuello.
A.
Figura 6.47. Rotaciones en el medio
Figura realizada por: Josefina Villavicencio, con imágenes de Google Imágenes
136
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139
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ANEXOS
ANEXO I
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ANÁLISIS DE LAS SIMETRIAS DEL UNIVERSO COMO ELEMENTO MOTIVADOR PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA, APLICABLE AL INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR NUESTRA SEÑORA DEL ROSARIO, PARROQUIA CATAMAYO, CANTON CATAMAYO, PROVINCIA DE LOJA PERIODO 2013-2014.
CUESTIONARIO- PROFESORES DEL I.T.S.N.S
Análisis de las simetrías del Universo, se refiere a todo lo que a través de una transformación puede volver a ser ello mismo.
INSTRUCCIÓN
A. A continuación se presenta una serie de ítems para que sean respondidos en términos de frecuencia. Lea detenidamente cada enunciado, marque una sola alternativa con una X dentro de la casilla correspondiente. La escala de frecuencias consta de cuatro (4) opciones de la siguiente manera:
1 ETD En total desacuerdo 2 ED En desacuerdo
3 DA De acuerdo 4 TDA Totalmente de acuerdo
Solicitamos absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el éxito de la investigación.
ASPECTOS 1 2 3 4
ETD ED DA TDA
01 Cree usted que las simetrías del universo pueden ser utilizadas como elemento motivador en el proceso de enseñanza-aprendizaje
02 Las simetrías del universo favorecerán el proceso de enseñanza-
aprendizaje
03 Considera importante motivar a los alumnos para mejorar el proceso
de enseñanza-aprendizaje
04 Es usted un docente motivador
05 Considera que al utilizar las simetrías del universo como elemento
motivador se alcanzan aprendizajes significativos
06 Ha logrado alcanzar un completo entendimiento sobre las simetrías
del universo
07 Aplica usted simetrías del universo en el proceso de enseñanza-
aprendizaje
08 Crees que las simetrías del universo ayudan a mejorar el aprendizaje
de las Matemáticas
09 Considera que las simetrías del universo aplicadas como elemento motivador del proceso de enseñanza-aprendizaje, mejoraría el rendimiento de los alumnos
10 Requiere capacitación para la utilización de las simetrías del universo como elemento motivador del proceso de enseñanza aprendizaje
11 Sus alumnos entienden las simetrías del universo al aplicarlas en el proceso de enseñanza-aprendizaje
12 Recurre a las simetrías del universo como último elemento para motivar una clase
B. Coloque una X en el casillero de la respuesta que crea conveniente.
13. ¿Qué tipos de elementos motivadores se deben utilizar en el proceso de enseñanza-aprendizaje?
Charlas
Videos
Carteles
Juegos
Otros: __________________
14. ¿Qué implican las simetrías de la naturaleza?
Controlar el balance y la estabilidad de la naturaleza
Mantener la uniformidad en la naturaleza
Ninguno 15. ¿Qué medio se debe utilizar para aplicar las simetrías de la naturaleza?
Narrativos
Visuales
Auditivos
Otros ¡GRACIAS POR SU GENTIL COLABORACIÓN¡
Firma: ……………………………….
ANEXO II
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ANÁLISIS DE LAS SIMETRIAS DEL UNIVERSO COMO ELEMENTO MOTIVADOR PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA, APLICABLE AL INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR NUESTRA SEÑORA DEL ROSARIO, PARROQUIA CATAMAYO, CANTON CATAMAYO, PROVINCIA DE LOJA PERIODO 2013-2014.
CUESTIONARIO- ESTUDIANTES DEL I.T.S.N.S
Análisis de las simetrías del Universo, se refiere a todo lo que a través de una transformación puede volver a ser ello mismo.
INSTRUCCIÓN
A. A continuación se presenta una serie de ítems para que sean respondidos en términos de frecuencia. Lea detenidamente cada enunciado, marque una sola alternativa con una X dentro de la casilla correspondiente. La escala de frecuencias consta de cuatro (4) opciones de la siguiente manera:
1 ETD En total desacuerdo 2 ED En desacuerdo 3 DA De acuerdo 4 TDA Totalmente de
acuerdo Solicitamos absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el éxito de la investigación.
ASPECTOS 1 2 3 4
ETD ED DA TDA
01 Crees que las simetrías del universo pueden ser utilizadas como elemento motivador en el proceso de enseñanza-aprendizaje
02
Las simetrías del universo favorecen el proceso de enseñanza-
aprendizaje
03 Consideras importante la motivación en las clases para mejorar el
proceso de enseñanza-aprendizaje
04 Tus docentes son motivadores en sus clases
05 Crees que con las simetrías del universo como elemento motivador
se alcanzan aprendizajes significativos
06 Has logrado alcanzar un completo entendimiento sobre las simetrías
del universo
07 Tus profesores aplican simetrías del universo en el proceso de
enseñanza-aprendizaje
08 Crees que las simetrías del universo te han ayudado a mejorar el
aprendizaje de las Matemáticas
09 Consideras que las simetrías del universo aplicadas como elemento motivador del proceso de enseñanza-aprendizaje, te ayudarían a mejorar tu rendimiento
10 Tus profesores requieren capacitación para la utilización de las simetrías del universo como elemento motivador del proceso de enseñanza aprendizaje
11 Entiendes las simetrías del universo al aplicarlas en el proceso de enseñanza-aprendizaje
12 Tus profesores recurren a las simetrías del universo como último elemento para motivar una clase
B. Coloque una X en el casillero de la respuesta que crea conveniente. 13. ¿Qué tipos de elementos motivadores utiliza tu profesor en el proceso de enseñanza-aprendizaje?
Charlas
Videos
Carteles
Juegos
Otros: __________________ 14. ¿Conoces qué implican las simetrías de la naturaleza?
Controlar el balance y la estabilidad de la naturaleza
Mantener la uniformidad en la naturaleza
Ninguno
15. ¿Qué medio utiliza tu profesor para aplicar las simetrías de la naturaleza?
Narrativos
Visuales
Auditivos
Otros
¡GRACIAS POR SU GENTIL COLABORACIÓN ¡
Firma: ……………………………….
ANEXO III
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ANÁLISIS DE LAS SIMETRIAS DEL UNIVERSO COMO ELEMENTO MOTIVADOR PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA, APLICABLE AL INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR NUESTRA SEÑORA DEL ROSARIO, PARROQUIA CATAMAYO, CANTON CATAMAYO, PROVINCIA DE LOJA PERIODO 2013-2014.
CUESTIONARIO- PADRES DE FAMILIA DEL I.T.S.N.S
Análisis de las simetrías del Universo, se refiere a todo lo que a través de una transformación puede volver a ser ello mismo.
INSTRUCCIÓN
A. A continuación se presenta una serie de ítems para que sean respondidos en términos de frecuencia. Lea detenidamente cada enunciado, marque una sola alternativa con una X dentro de la casilla correspondiente. La escala de frecuencias consta de cuatro (4) opciones de la siguiente manera:
1 ETD En total desacuerdo 2 ED En desacuerdo 3 DA De acuerdo 4 TDA Totalmente de
acuerdo
Solicitamos absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el éxito de la investigación.
ASPECTOS 1 2 3 4
ETD ED DA TDA
01 Considera que las simetrías del universo pueden ser utilizadas como elemento motivador en el proceso de enseñanza-aprendizaje de su hijo (a)
02
Las simetrías del universo favorecen el proceso de enseñanza-
aprendizaje
03 Considera importante la motivación en las clases para mejorar el
proceso de enseñanza-aprendizaje
04 Conoce si los profesores de su hijo son profesionales motivadores
en sus clases
05 Cree que con las simetrías del universo como elemento motivador
se alcanzan aprendizajes significativos
06
Su hijo ha logrado alcanzar un completo entendimiento sobre las
simetrías del universo
07 Los profesores de su hijo, aplican simetrías del universo en el
proceso de enseñanza-aprendizaje
08 Cree que las simetrías del universo ayudan a mejorar el aprendizaje
de las Matemáticas
09 Considera que las simetrías del universo aplicadas como elemento motivador del proceso de enseñanza-aprendizaje, ayudarían a mejorar el rendimiento de su hijo
10 Los profesores requieren capacitación para la utilización de las simetrías del universo como elemento motivador del proceso de enseñanza aprendizaje
11 Su hijo entiende las simetrías del universo al aplicarlas en el proceso de enseñanza-aprendizaje
12 Los profesores recurren a las simetrías del universo como último elemento para motivar una clase
B. Coloque una X en el casillero de la respuesta que crea conveniente. 13. ¿Qué tipos de elementos motivadores deben utilizar los profesores en el proceso de enseñanza-aprendizaje?
Charlas
Videos
Carteles
Juegos
Otros: __________________ 14. ¿Conoce qué implicaciones conllevan las simetrías de la naturaleza?
Controlar el balance y la estabilidad de la naturaleza
Mantener la uniformidad en la naturaleza
Ninguno 15. ¿Qué medios deberían utilizar los profesores para aplicar las simetrías de la naturaleza?
Narrativos
Visuales
Auditivos
Otros ¡GRACIAS POR SU GENTIL COLABORACIÓN¡
Firma: ……………………………….
ANEXO IV
FICHA DE OBSERVACIÓN Nº 1
Número de observación:
Tiempo de observación: 60 minutos
Fecha de observación:
OBJETIVO:
"Observar los tipos de simetrías existentes en los elementos naturales que
encuentran en las instalaciones y en el entorno de la institución educativa.”
NÚMERO DE CRITERIOS MUCHO POCO NADA
1. Simetrías de reflexión o axial (reflejo de un árbol en el lago, alas de la mariposa)
2. Simetrías de rotación ( Polígonos regulares, radios de bicicleta y pétalos de flores)
3. Simetrías de traslación(hormigas caminando en una línea, el deslizarse por un tobogán recto, hojas dispuestas en una rama)
4. Simetrías helicoidales(resortes, juguetes furtivos, brocas y barrenas)
5. Simetrías de fractales Escala (La ramificación de los árboles, plumas de la cola de un pavo real, panal de abejas, brócoli, redes de telaraña)
6. Simetrías en Arquitectura (puertas de madera tallada, vidrieras, mosaicos, frisos, escaleras, barandillas y balaustradas, catedrales, edificios, etc.)
7. Simetrías en el Arte (pinturas, murales, muebles, máscaras, instrumentos musicales, etc.)
8. Otras Simetrías
ANEXO V
SIMETRÌAS EN LAS INSTALACIONES Y ENTORNO DE LA INSTITUCIÓN
EDUCATIVA
