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La segunda aumentada (y otros intervalos).

Jorge René González Guerrero.

Consideremos los principales intervalos consonantes, o consonancias perfectas: Unísono, octava, quinta y cuarta. El unísono, en tanto repetición estricta de una misma frecuencia, en donde ésta se conserva tanto en el original como en la copia, aporta, armónicamente hablando, solamente la función de peso (weight) o, acaso también, una función tímbrica. La octava es una duplicación de la frecuencia, en donde ésta se multiplica o se divide por dos, aportando, también en el sentido armónico, una función de expansión (span), y además tímbrica. Si consideramos la Ley de la equivalencia de las octavas de Jean Philippe Rameau (1683-1764), la octava aporta muy poco, excepto en expansión, a la armonía, ya que armónicamente, tanto original como copia devienen en el mismo sonido. Quizás, si tomamos en cuenta este hecho, el unísono y la octava tengan más relevancia en el campo melódico, porque armónicamente, el unísono no significa mucho y quizás sea exagerado considerarlo como intervalo, por su relación armónica que és 1:1 (1/1), es decir, se trata más bien de la unidad. La relación de la octava és 2:1 (1/2), constituyendo la famosa “dupla”. Y aunque sigue siendo esencialmente el mismo sonido, és ya, no obstante, un intervalo.

Si el unísono es la unidad y la octava la dupla, la quinta es la consonancia por excelencia: la reina de las consonancias. La quinta ocupa el 3er armónico de la serie armónica, y su sonido ya no es la simple duplicación de la fundamental, por lo que es el primero de la serie que constituye una nota con nombre diferente a la fundamental. Su relación armónica és de 2:3 (3/2), originando así la sesquiáltera medieval, concepto básico de la teoría musical antigua, y de donde se pueden deducir los principios de esta teoría. La quinta es el mínimo común armónico, y a partir de ella es posible derivar, tanto los modos y tonalidades, así como sus acordes. La consonancia perfecta de la quinta la vuelve intuitiva al oído, de ahí que la primera escala creada por el hombre, hace miles de años, la escala pentafónica (de cinco sonidos), está construida sobre una serie de cinco quintas consecutivas. Pitágoras se percató de la importancia estructural de la quinta, y fue el primero que proporcionó una explicación de este fenómeno, inaugurando el estudio científico de la Teoría Musical. Concibió la escala diatónica a partir de una sucesión de siete quintas, y a la cromática sobre una serie de doce quintas, abarcando éstas un ámbito de siete octavas. Hemos de regresar a este punto más adelante. Valga como dato curioso, observar que, tanto el acorde mayor, como el menor, se pueden obtener a partir de sucesiones de quintas. El acorde mayor, por dos series de dos quintas cada una, separadas por un tono; el acorde menor, por dos series de dos quintas, cada una, separadas por un semitono. Las propiedades y virtudes de la quinta son numerosas, y haría falta un artículo entero para describirlas. Por su parte, la cuarta abarca el intervalo situado entre el 3° y 4° armónicos, y en la nomenclatura moderna es considerado como la inversión de la quinta. Su relación armónica es de 3:4 (4/3). Todos los intervalos que hasta ahora hemos analizado son consonantes, porque al sonar simultáneamente cada par de sonidos integrantes de un intervalo dado, no producen batimentos o batidos, sino que, gracias a

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las proporciones aritméticas sencillas y perfectas en las que se relacionan ambas frecuencias, el sonido resultante es terso y sin vibraciones adyacentes que lo perturben. Los batimentos son el resultado de la diferencia entre dos vibraciones, pero al ser ambas consonantes, la diferencia es anulada.

Veamos ahora las consonancias llamadas “imperfectas”: La tercera mayor, la menor, y sus inversiones, las sextas. ¿Por qué imperfectas? De hecho, el quinto armónico de la serie, correspondiente a este intervalo, vibra en perfecta consonancia con los armónicos anteriores, así que la pretendida “imperfección” de la tercera hay que buscarla en otra parte. El problema se remonta al ordenamiento pitagórico de las quintas, en donde la escala diatónica obtenida consta de tonos largos y cortos, y semitonos largos y cortos (hemitonos). En consecuencia, la tercera mayor es demasiado alta y la tercera menor demasiado baja, por lo tanto, sus respectivas inversiones adolecen de errores similares. Por eso los antiguos catalogaron las terceras y las sextas como disonancias. Esta dificultad de afinación tiene su origen en la coma sintónica. Esta coma, con proporción de 80:81 (81/80) es común a diversas proporciones y tiene una amplitud comparativa de 21.5 cents, es decir, un poco mayor a un décimo de tono. En la diatónica pitagórica, la relación de la tercera mayor (ditono) es 64:81 (81/64), mientras que la relación de la tercera natural, entre los armónicos 4 y 5 es 4:5 (5/4), por lo que 81/64:5/4=80/81, es decir, el ditono pitagórico es 21.5 cents más agudo que la tercera mayor natural. En forma análoga, la tercera menor pitagórica (semidítono) tiene una relación de 27:32 (32/37), en tanto que la tercera menor situada entre los armónicos 5 y 6 es de 5:6 (6/5), por lo que la relación entre ambos es de 6/5:32/27=80/82, obteniendo que el semidítono es 21.5 cents más grave que la tercera menor natural. Resulta evidente por qué sonaban disonantes estos intervalos. A partir del Siglo XV se incorporan, en forma cada vez más frecuente, las terceras y las sextas en la composición vocal polifónica, por lo que se vuelve necesaria una revisión del sistema de afinación. Ya Aristógenes y Ptolomeo habían realizado una reforma a la escala pitagórica remediando el problema de la coma sintónica en las terceras, y en el Siglo XVI, Gioseffo Zarlino (1517-1590) rescata esta afinación, conocida como afinación mesotónica de 1/5 de coma, porque se le recorta un quinto de coma sintónica a las primeras cinco quintas de la serie de quintas, y se igualan los tonos, dejando de ser tonos largos y tonos cortos. De ahí el término “mesotónico”, que significa, “de tono medio”. Es entonces, en el Siglo XVI, cuando las terceras y las sextas devienen en “consonancias imperfectas”.

Los intervalos que no son consonancias, sea perfectas o imperfectas, son conocidos como disonancias. Dentro de la diatónica encontramos las séptimas (mayor y menor), junto con sus correspondientes inversiones, las segundas (mayor y menor), conocidas como tono y semitono, respectivamente, así como el tritono (cuarta aumentada/quinta disminuida). De estos intervalos destaca el semitono, que és el mínimo común melódico, por lo menos en nuestro sistema occidental. Sus propiedades como sensible, ya sea ascendente o descendente, son indiscutibles. Y qué decir de las séptimas, cuyo papel armónico es básico. Y del tritono, proscrito en el Medioevo, y hoy parte estructural del lenguaje tonal.

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Si consideramos la serie de 12 quintas pitagóricas nos encontramos ya en el ámbito cromático, y es aquí en donde encontraremos aquellas disonancias ausentes en la diatónica: los intervalos aumentados y los disminuidos. Una característica de este sistema de construcción por medio de quintas, es que no se produce la octava, porque la relación 3/2 de la quinta no lo permite. Al encadenar 12 octavas, en forma ascendente, a partir de do, al culminar el ciclo no se llegará a un do, sino a un si#. Esta diferencia respecto a la octava se llama coma pitagórica, y se puede expresar de la siguiente manera: (3/2)12:27=

, en donde la potencia 12 de 3/2 representa las 12 quintas, mientras que 27 es el

ámbito de las 7 octavas. La relación resultante, la coma pitagórica, tiene una longitud relativa de 23.46 cents, es decir, casi un octavo de tono. Si el ciclo se realiza en forma descendente, es decir, do, fa, sib…etc., se obtiene también esta coma. El ciclo ascendente contiene los sostenidos, mientras que el descendente contiene los bemoles, así que tenemos, intervalos cromáticos, como enarmónicos. Si se continúan ambos ciclos, entramos en el mundo del microtonalismo. Esta coma, que tantos dolores de cabeza les han dado a muchos teóricos, sobre todo a la hora de encontrar sistemas de afinación para instrumentos de teclado, produce algunos fenómenos acústicos interesantes. Quizás el más famoso de ellos es la Quinta del Lobo, que se produce al sonar la sexta disminuida producida entre Sol# y Mib en la siguiente secuencia de quintas:

Mib ←Sib ←Fa ←Do→ Sol→ Re→ La→ Mi→ Si→ Fa#→ Do#→ Sol#

Resulta evidente la enorme cantidad de intervalos disonantes disponibles en este sistema, pero para implementarlo en un instrumento de teclado, serían necesarias, al menos 34 teclas por octava, como en el Archicembalo (1555) construido por Nicola Vicentino (1511-1575 ó 76), pero un teclado con estas características no sería muy práctico para propósitos musicales, por lo que se tuvo que encontrar una solución más práctica, que combinara una afinación funcional y facilidad para la ejecución musical. Para esto se propusieron varios temperamentos, en donde se realizaron ajustes a las quintas tanto para evitar las comas, en lo posible, como para disponer de un teclado en el cual se pudiese modular a cualquier tonalidad. Sería prolijo exponer aquí estas propuestas que ya hemos mencionado en otra parte, así que nos conformaremos con mencionar el sistema de afinación temperada, hoy en uso, basado en la siguiente fórmula:

En donde n es una frecuencia de referencia, 2 representa la dupla de la octava, y la raíz 12 es el número de notas en que está dividida la octava. En pocas palabras, se acortaron las quintas en 1/12, igualando los semitonos entre sí, al igual que el resto de los intervalos. El único inconveniente de este temperamento es que la única consonancia real que contiene son las octavas, ya que las quintas están ajustadas (justas), al igual que las cuartas. Se ha eliminado la coma sintónica, pero las terceras difieren todavía de las terceras de la serie armónica. Aún así, estas pequeñas desafinaciones son bastante tolerables, y gracias a este temperamento han sido posibles tantas obras maestras del período clásico, romántico y contemporáneo. Por lo tanto, la octava está dividida en 12 semitonos exactamente

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idénticos, con una extensión de 100 cents cada uno de ellos. La octava, en consecuencia, tiene 1200 cents. El temperamento de doce notas limita considerablemente la obtención de muchos intervalos que son posibles con otros sistemas, incluyendo enarmonías y microtonos, pero aún así, es posible la obtención de intervalos aumentados y disminuidos que juegan un papel importantísimo a nivel melódico y armónico: tritono, quintas y cuartas aumentadas y disminuidas, sextas disminuidas y aumentadas, etc. De todos estos intervalos, nos referiremos a la humilde segunda aumentada.

Todo este extenso discurso previo sobre los intervalos y las diversas afinaciones tiene el fin de exponer la importancia de este intervalo, la segunda aumentada, que no ha sido tratada con la atención suficiente, según nos parece. Llama la atención, entre otras cosas, su rancio linaje, en tanto que su utilización en la música es muy antigua. El gusto que por este intervalo tienen muchas culturas, en cuyas músicas la segunda aumentada tiene un valor primordial, también llama la atención. Su inclusión en la armonía, aunque limitada, también es digna de mención. Y las potencialidades creativas que aún nos puede deparar la segunda aumentada, es necesario también tomarlas en cuenta. Sin embargo, en la tradición de la música clásica occidental (1), la segunda aumentada no ha tenido un papel relevante, quedando confinada a la escala menor armónica, con el único fin de sensibilizar melódicamente hacia la tónica. No es así en la música de otras regiones del mundo, fuera del ámbito cultural europeo occidental, por lo que intentaremos comprender el por qué del “desprecio” (podría decirse) hacia este intervalo en la música clásica occidental. El argumento que esgrimen es que la segunda aumentada es “difícil de entonar”, que en lo personal me parece falaz, por lo menos dentro de nuestro sistema temperado, en donde no existe una diferencia real en la entonación de una segunda aumentada respecto a una tercera menor, excepto quizás, por el contexto melódico y armónico involucrado, pero la relación respecto a sus frecuencias, es exactamente la misma en ambos intervalos, por lo menos en el sistema temperado. El origen de esta situación podemos remontarlo a los antecedentes de la música clásica, es decir, en la música de la Edad Media. Es sabido que la música medieval es básicamente modal, está compuesta sobre los ocho modos eclesiásticos medievales, derivados de los modos griegos del género diatónico. Por lo tanto, hablamos de una música de carácter diatónico, en donde no existían intervalos cromáticos ni enarmónicos. Conforme avanzan los desarrollos armónicos y polifónicos, se agrega, incidentalmente, una alteración sobre el séptimo grado de los modos para crear una sensible en la cadencia, esta alteración se agregaba en el momento de la interpretación, aunque no se escribía. Es lo que se conoce como musica ficta, o música “falsa” o “ficticia”. Esta costumbre de sustituir un sonido diatónico por otro cromático (2) constituía una falta al espíritu diatónico del sistema, pero aún así, se fue imponiendo poco a poco el uso de sensibles. En el Siglo XVI se realiza una síntesis de todos los modos, quedando tan sólo dos modos en uso: el jónico (modo mayor) y el eólico (modo menor), permaneciendo en desuso los demás modos. Al modo eólico se le conoce también como escala menor natural, que comienza en el sexto grado de la escala mayor, de hecho, ambas son la misma escala. Al sensibilizar el séptimo grado de la escala menor natural, o eólica, se puede realizar la cadencia del modo menor, ya que (en la menor) el séptimo grado alterado, sol#, es en realidad, la tercera del acorde de dominante, es decir, Mi 7,

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posibilitando la cadencia V-I. Al alterarse la escala natural surge el intervalo de segunda aumentada (+2), entre fa y sol#. La aparición de +2 incorpora un intervalo hasta entonces inaudito en el sistema, lo que crea una dificultad en los cantantes. Hasta la aparición de este intervalo, las únicas disonancias importantes en el sistema modal eran: el tritono, las séptimas (mayor, menor y disminuida), el tono y el semitono. Al sensibilizar al séptimo grado se agrega un intervalo cromático al sistema diatónico, y se le incorpora la segunda aumentada. Pero también, en la Armonía Clásica, el intervalo +2 es, si no prohibido, por lo menos, evitado. En su Tratado de Armonía (Harmonielhere, 1922), Arnold Schoenberg (1874-1951) postula, en forma de reglas, las leyes de los cuatro sonidos de resolución obligada de la escala menor: “Primer sonido obligado: sol#. El sol# debe ir al la, pues está tomado sólo como sensible. En ningún caso pueden usarse sol o fa naturales: el fa pasa igualmente a fa# (al menos provisionalmente). Segundo sonido obligado: fa#. El fa# debe ir al sol#, porque se introduce sólo como consecuencia de éste. En ningún caso pueden seguirle sol o fa. Pero tampoco (al menos de momento) mi, re, la, etc. Tercer sonido obligado: sol. Sol debe ir a fa, ya que forma parte de la escala descendente. En ningún caso deben seguirle fa# o sol#. Cuarto sonido obligado: fa. Fa debe ir a mi, ya que pertenece a la escala descendente. En ningún caso puede seguirle fa#.” (Shoenberg, 1979, Pág. 108-109). De estas leyes se deduce que, en la Armonía Clásica, se utiliza la escala melódica menor, en lugar de la armónica que contiene +2, y más bien, se trata de evitar este intervalo en la cadencia. Es evidente la limitación en el uso de +2 en el lenguaje clásico, no tanto en la armonía de jazz, que es una armonía tonal-modal cromática, cuyo lenguaje incorpora disonancias (les llaman “tensiones”) arriba de la séptima: novenas (natural, disminuida y aumentada), oncena (natural y aumentada) y trecena (natural y menor o disminuida). Es, por tanto, una armonía extendida, respecto a la armonía clásica. En esta situación es común el uso de disonancias que serían inconcebibles en armonía clásica, pero que son características del lenguaje del jazz. Aquí encontramos a +2 en forma de +9 (+2 a la octava) incorporada armónicamente en el acorde de dominante V7 (+9). Es curioso que este acorde produce un intervalo de tercera aumentada, entre la séptima y la novena aumentada, intervalo que muchos confunden con una cuarta.

+2 es una disonancia, pero la tercera menor es una consonancia, y sin embargo, ambos intervalos suenan exactamente igual dentro del sistema temperado, es decir, en este sistema, la relación de sus frecuencias es exactamente la misma. ¿Cómo puede ser posible que una relación de frecuencia, exactamente igual, sea considerada como disonancia y/o consonancia? Es porque, a pesar de todo, ambos intervalos no son lo mismo. Ya hemos visto que no siempre se usaron los mismos sistemas de afinación, éstos han variado a través de la historia, y en los sistemas no temperados sí hay una notable diferencia entre ambos intervalos. La tercera menor se encuentra entre el armónico 5° y 6°, por lo que su relación es 6/5, con una longitud de 315.64 cents, siendo ésta, la medida exacta correspondiente a este intervalo en la serie armónica. Resulta evidente que el ajuste temperado de 300 cents la hace más corta, es decir, un poquito más grave. Pitágoras calculó la tercera menor en 32/27 ó 294.13 cents, aún más corta que en sistema temperado, por eso la escuchaban desafinada los antiguos y la consideraban como disonancia. La segunda aumentada (+2) se sitúa en el armónico 75°, con una relación de

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75/64 (según el cálculo de Zarlino), y con una longitud de 275 cents, o sea, 40 cents más grave que la tercera menor natural. En términos de nuestro temperamento, +2 tendría una afinación de una segunda mayor más tres octavos de tono, por lo tanto, no es igual a la tercera menor. En el sistema mesotónico de ¼ de coma, que fue muy utilizado durante el Renacimiento y el Barroco, +2 tiene una relación de 7/6, con una longitud de 265 cents, en donde la diferencia con la 3a menor es de 50 cents, es decir, ¼ de tono. Pero, como ya vimos, este intervalo no ha tenido un gran protagonismo dentro de la tradición clásica occidental, no así en otras culturas, algunas de ellas muy antiguas. La segunda aumentada aparece en forma más o menos constante en las músicas de la India, Irán, Medio Oriente, los Balcanes, el Norte de África y España, entre otras culturas. Es ahí a donde tenemos que dirigirnos para encontrarnos con +2.

El sistema teórico de la Música Clásica Hindú es muy complejo como para analizarlo en este espacio. Sin embargo es interesante observar la forma, tan creativa y original en que, en este ámbito, se resuelven los problemas de afinación, que en la música occidental tienen su origen en las especulaciones pitagóricas, basadas en segmentos de cuerdas y conjuntos de quintas. La música de la India parte de otras premisas. La escala pitagórica contiene dos tipos de tonos (o segundas mayores), uno largo y otro corto, llamados tono mayor y tono menor respectivamente. Esta denominación no tiene nada que ver con las tonalidades mayores y menores, se refiere exclusivamente al tamaño de estos intervalos. El tono mayor se encuentra entre los armónicos 8° y 9° de la serie, tiene relación 9/8, y mide 203.9 cents, mientras que el tono menor lo encontramos entre los armónicos 9° y 10° de la serie, con relación 10/9, y una longitud de 182.4 cents. La diferencia entre ambos tonos es una coma sintónica (con 21.5 cents). Como hemos visto, estos intervalos aparecen en el cálculo pitagórico a partir de la serie de quintas naturales, pero la escala diatónica resultante tiene una tercera mayor excesivamente larga, consecuencia de que es la suma de dos tonos largos, y la coma sintónica se convierte en un problema a resolver en este sistema. Los hindúes organizan su escala musical básica en forma diferente, en donde conviven ambos tonos y el coma sintónico, armoniosamente. La escala hindú diatónica está subdividida en 22 elementos llamados śrutis. Los tonos pueden contener 3 ó 4 śrutis, y los semitonos 2 śrutis. Quedando la escala de la siguiente manera:

(Sachs, 1943)

Por lo tanto, la escala hindú fundamental está dividida en 22 segmentos por octava. Este sistema de subdivisión permite obtener escalas diatónicas con tonos mayores de 204 cents, tonos menores de 182 cents y semitonos de 112 cents. Permite también conformar varios tipos de escalas y modos, así como sus transposiciones, es decir, “estos ingredientes aparecen en diversos ordenamientos o arreglos de acuerdo al modo

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requerido, y las escalas modales pueden ser transportadas a cualquier altura. La incesante readaptación de la octava requiere facilidades para cambiar semitonos o tonos mayores en tonos menores, añadiendo o cortando porciones adecuadas” (Sachs, 1943). Todas las permutaciones requeridas son posibles tan sólo por medio de tres elementos: a) 22 cents, o coma sintónico, la diferencia entre un tono mayor y uno menor; b) 70 cents, la diferencia entre el tono menor y el semitono; c) 90 cents, la diferencia entre el semitono y el coma, en consecuencia, los tonos y el semitono presentan la siguiente estructura:

Tono mayor: 90+22+70+22=204 cents.

Tono menor: 90+22+70=182 cents.

Semitono: 90+22=112 cents.

Por lo que se obtiene la secuencia exacta (3) de los 22 śrutis en la escala siguiente:

(Sachs, 1943)

La primera y la última nota de la escala miden 112 cents, no se dividen porque es condición para el comienzo y el final de cualquier escala modal en este sistema. La solución encontrada por los músicos hindúes para confrontar el problema de la coma sintónica demuestra una originalidad muy ingeniosa respecto a la solución pitagórica. El sistema de subdivisión en śrutis abre posibilidades, inéditas en la música clásica occidental, pues en un sistema diatónico, se posibilita la inclusión de sonidos lejanos en la serie armónica, incluso sonidos microtónicos, por la inclusión del coma en el sistema, y por supuesto, del intervalo +2. Es por eso que partir de la secuencia de śrutis se derivan escalas pentáfonas, hexafonas y diatónicas, con tal variedad de combinaciones, que el número de modos obtenidos es alrededor de cien, en contra de los ocho modos medievales y el modo mayor y menor occidentales. Las siete notas diatónicas del sistema hindú se conocen como swaras, y tienen los siguientes nombres: Sa, Ri (en la música carnática) o Re (en la del Indostán), Ga, Ma, Pa, Dha y Ni (4), y se abrevian: S, R, G, M, P y D. Todas las escalas, aún los diferentes modos y transposiciones, llevan la misma secuencia de nombres de nota, porque utilizan un método similar a nuestro do móvil, conocido como sargam (un acrónimo de las primeras cuatro swaras. Existen complejas reglas para ornamentar estas siete notas fundamentales, pudiéndose interpretar ornamentos cromáticos o microtónicos, alrededor de las swaras, aprovechando los śrutis contiguos (algunos descendentemente, otros ascendentemente, dependiendo del swara de que se trate), y en donde las únicas dos notas inamovibles en este proceso, son Sa y Pa, que forman la quinta. Esta es una regla estricta. Debo aclarar que esta explicación del sistema hindú es muy resumida y básica, porque en realidad, la teoría que sustenta este sistema es extremadamente compleja, y su explicación debería, por necesidad, incluir la historia de cómo este sistema se ha ido conformando a través de muchos siglos. Pero para los propósitos presentes, basta. Entre tantos modos disponibles, hay algunos que incluyen la segunda aumentada, de éstos mencionaremos tan sólo tres: Bhairar, que origina el

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Rāga Bhairava, el modo Purvi y el modo llamado Todi, que es igual a uno de los modos gitanos. La estructura del Bhairar es la siguiente: s, +2, s, t, s, +2, en do sería: C, Db, E, F, G, Ab, B. Este modo origina el siguiente Rāga:

(Sachs, 1943)

Esta melodía está sustentada por un pedal en do, quizás reforzado por la quinta, y que son los sonidos inamovibles del modo. Se puede observar que ambos tetracordios tienen la misma estructura, y en ambos existe el +2. La melodía del Rāga, gira alrededor de mi, ya que, lo que sería nuestra mediante, es un sonido muy importante en las estructuras melódicas de los Rāga. También es posible la construcción de modos con tetracordios aumentados, es decir, con un ámbito de cuarta aumentada (+4):

Tres modos: Bhairar, Todi y Purvi.

El Bhairar ya lo vimos. Todi y Purvi tienen un tetracordio aumentado y un tetracordio normal de cuarta, cada uno de ellos. Si observamos atentamente, notaremos que Purvi es básicamente idéntico a Bhairar, excepto por la cuarta aumentada causada por la sustitución del fa por un fa#. Por tanto, Purvi tiene la estructura: s, +2, t, s, s, s, +2. Todi también tiene un tetracordio aumentado, pero con +2 desplazado un paso superior respecto a los otros dos modos. De hecho, Todi es idéntico al Modo Andaluz más común, ambos tienen la misma estructura: s, t, +2, s, s, +2. Es probable que los gitanos, que proceden de la India, hayan gustado de este modo y lo hayan adoptado, llevándolo a occidente. Por su parte, el modo Purvi es parecido al Modo Blues. Si trasladamos el bajo medio tono arriba, es decir, si acompañamos en Reb, e interpretamos este modo (sin transportarlo) parecería que obtenemos una escala blues con una sensible agregada. Aunque suena igual, estrictamente hablando, no son el mismo modo, ya que Blues es una escala pentáfona menor con un tritono agregado, es decir: 3m, t, s, s, 3m, con terceras menores en lugar de segundas aumentadas.

Normalmente un tetracordio diatónico consta de dos tonos y un semitono, pero si utilizamos +2 en su estructura, entonces el tono es suplido por un semitono, obteniendo tetracordios con dos semitonos y una segunda aumentada. A continuación se muestran los tetracordios con dos semitonos y +2:

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Tetracordios con segunda aumentada.

Como se ve, son posibles tan sólo tres permutaciones. En cambio, existen seis permutaciones posibles en tetracordios con cuarta aumentada:

Tetracordios aumentados con segunda aumentada.

Estos tetracordios violentan doblemente la esencia del tetracordio diatónico, primero, por +2, y luego por el tritono; estamos, pues, en el ámbito cromático, y estos tetracordios abren posibilidades inusitadas que permiten combinaciones inusuales en el ámbito melódico y en el armónico, y en la creación de sistemas composicionales novedosos. Más adelante nos ocuparemos un poco de este aspecto. Los modos hindúes con segunda y cuarta aumentadas podemos explicarlos por combinaciones especiales de śrutis en la conformación de los swaras en ciertos sargam, aunque éstos son, esencialmente, de naturaleza diatónica. Ciertamente, al estudiar la historia de la conformación de las escalas de la India, por ejemplo las escalas clásicas llamadas grāmas (sagrāma y magrāma), y sus derivaciones modales, se notan ciertas incertidumbres en las descripciones de los libros antiguos. No hemos de tocar este tema. El musicólogo Curt Sachs (1881-1959) observa que “Sabemos que hay dos principios básicos para formar escalas alrededor del mundo: el principio cíclico con sus tonos iguales de 204 y y semitonos de 90 Cents, y el principio divisivo con tonos mayores de 204, tonos menores de 182 y grandes semitonos de 112 Cents” (Sachs, 1943). El sistema hindú está basado sobre el segundo principio. Sin embargo, la organización en śrutis, abre la posibilidad de conformar estos tetracordios aumentados.

Los hindúes dividen la octava en 22 segmentos desiguales, lo que facilita la obtención de intervalos cromáticos, pero si a la octava la dividimos entre 72 segmentos iguales, entonces estas posibilidades se acrecientan. Aristoxeno o Aristógenes de Tarento (nacido ca. 370 AC), discípulo de Xenófilo y de Aristóteles, se enfrentó decisivamente a la tradición pitagórica imperante, criticando básicamente el carácter abstracto de la teoría musical pitagórica, basada en cálculos de longitudes de cuerda y sus relaciones proporcionales, oponiéndole la percepción subjetiva del sonido musical. Aristógenes divide la octava en 72 segmentos iguales, llamados segmentos aristogénicos, adelantándose 20 siglos a la

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adopción del temperamento en Europa occidental. Esta solución permite subdividir objetivamente los intervalos, organizarlos aditivamente, es decir, sumando los números de segmentos para definir intervalos dados. Xenakis hace hincapié en el hecho de que el cálculo aristogénico, aditivo (aritmético) inaugura un cálculo más sencillo y fácil que el cálculo geométrico (multiplicativo) del sistema pitagórico (Xenakis, 1971). No vamos a detenernos en este tema, pero si vamos a utilizar estos segmentos para ayudarnos a observar los intervalos aristogénicos.

Recordamos a Aristógenes, en especial, por introducir el uso de los tres géneros de tetracordios: enarmónico, cromático y diatónico. Estos, a su vez, originan los tres grandes géneros de la música griega, con las mismas denominaciones. No nos detendremos en ellos, ni en sus definiciones básicas de nota, intervalo, etc., simplemente observaremos que nuestro intervalo objeto de nuestra atención, +2, se encuentra cómodamente ubicado en este contexto. El tono lo define Aristógenes como “aquella cantidad por la cual la consonancia de quinta sobrepasa a la consonancia de cuarta” Ibid.), o sea, la diferencia de magnitud entre la cuarta y la quinta. Este tono abarca 12 segmentos aristogénicos, y a su vez se divide: entre dos, dando lugar al semitono; entre tres, originando la diesis cromática mínima (tercio de tono), con cuatro segm. (5); y entre dos, dando lugar a la diesis enarmónica mínima (cuarto de tono), con tres segm. Ninguna división inferior es considerada. Por alguna razón, Aristógenes privilegia a la cuarta, como consonancia predilecta, y a partir de este intervalo crea sus tetracordios. Una cuarta (diatessaron) es igual a dos tonos más un semitono, con una relación de 5/2 (en lugar de 3/4, como la medida pitagórica, ya que 2 tonos + 1/2 tono= 5/2), y consta de dos notas fijas: hypate y mese, situadas en el extremo del conjunto de notas, y dos notas móviles: parhypate y lichanos, que se encuentran en el interior de dicho conjunto. Mientras hypate y mese permanecen demarcando la cuarta, parhypate y lichanos se mueven dentro de este rango, con sus límites establecidos, en un proceso que se llama pyknon, o condensación. De estos tres géneros se obtienen seis tetracordios: 1) enarmónico; 2) cromático suave; 3) cromático hemiólico; 4) cromático tónico; 5) diatónico suave, y 6) diatónico duro o syntonon (6). En este esquema, parhypate y mese, al ser notas móviles, no constituyen intervalos fijos, sino que éstos tienen ciertas posibilidades de cambiar su longitud (en cents) y su posición en el tetracordio (7). Así, parhypate puede encontrarse a 1/4 de tono, mínimo, de hypate, pero a un semitono, máximo, de hypate. Lychanos se encuentra a una distancia mínima de un semitono de hypate, y a un máximo de un tono y medio de hypate. Y a un máximo de dos tonos de mese, y a un mínimo de un tono. En estas circunstancias, se presenta una variedad de intervalos dentro del tetracordio, que van de la diesis enarmónica mínima a la segunda mayor. Uno de estos intervalos, que encontramos en el tetracordio diatónico tonal, es el trihémiton, compuesto de tres hemitonos. Rousseau, en su diccionario, lo define como “el nombre dado por los griegos a la tercera menor” (Rousseau, 2007), lo que es correcto en ocasiones, pero no siempre. En el caso del tetracordio diatónico tonal de Aristógenes, lo correcto es definirlo como una segunda aumentada, o un tono muy mayor, pues, según la terminología del mismo Aristógenes, se trata de un intervalo no compuesto, ya que no cabe ninguna nota entre lichanos y mese, en este caso: “Un intervalo no compuesto es aquel que está acotado por

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notas sucesivas. Si las notas que acotan un intervalo son sucesivas, entonces no hay nota que quede afuera; si no hay nota que quede afuera, ninguna intervendrá; si ninguna interviene, ninguna dividirá el intervalo, y lo que no admite división no será compuesto. (60.10)” (Citado en Adán, 2009.2010). En términos modernos: entre un do y un mib cabe un re, pero entre un do y un re# no cabe ninguna nota, es por lo tanto, la segunda aumentada, un intervalo no compuesto.

La técnica aristogeneana de división de la octava en 72 segmentos, en donde: 30 segm.= 5/2 (dos tonos más un semitono: un tetracordio), 12 segm.=1, un tono, y otros 30 segm., otro tetracordio, que conforman la octava, posibilita el análisis de los intervalos desde una perspectiva de adición de segmentos, es decir, aritméticamente, en contraposición al sistema pitagórico, que es geométrico y multiplicativo (8). Ambos sistemas, el pitagórico y el aristogénico, se fundieron en la teoría musical bizantina. La combinación de ambas concepciones teóricas dio, en consecuencia, una variedad, aún mayor, de tonos y semitonos, así como tetracordios, escalas (systema, en griego) y tropos (melodías). Nuestro intervalo +2, permaneció, de una u otra manera, en este complejo sistema. La estructura bizantina conserva la relación pitagórica de la cuarta del monocordio (3/4) y, a la vez, los 30 segmentos aristogénicos. Hay tres especies de tonos: el mayor (9/8 ó 12 segm.), el menor (10/9 ó 10 segm.) y el mínimo (16/15 u 8 segm.). Pero, además de estos tonos básicos, se consideraban un tono supermayor (7/6), otro tono mayor (15/14), y las divisiones más pequeñas: el semitono, o leima (256/243), el apotoma (l’apotomé) del tono menor (135/128), y el coma sintónico (81/80), al igual que en la estructura hindú. Esta complejidad es resultado de la mezcla de ambos métodos de cálculo, el pitagórico y el aristogénico. En este momento, nos percatamos de que el intervalo +2, tan temido por la teoría clásica occidental (no obstante la importancia capital de su inversión, la séptima disminuida) ha tenido un papel destacado, por lo menos, en la música de la India, Grecia y Bizancio. No he mencionado otras tradiciones musicales muy importantes, tanto del Oriente lejano como del cercano, pero es evidente que +2 ha tenido vigencia en esas culturas. Por ejemplo, la música árabe, insuflada por la cultura helénica alejandrina, abunda en giros melódicos con segunda aumentada. Lo mismo podemos decir de la música de los Balcanes, en donde se mezclan tradiciones helénicas e hindúes (a través de los gitanos). Por ejemplo, veamos los modos gitanos o zíngaros:

Modos gitanos o zíngaros. (De Candé, 1961)

El primero de ellos tiene un tetracordio aumentado al principio, ambos contienen +2. Es casi idéntico al Bhairar de la India, excepto porque el primer +2 ha sido desplazado un grado arriba de la escala. El segundo modo conserva el primer tetracordio del citado Bhairar, pero el segundo es semejante al de la escala melódica occidental. El tercero contiene también el primer tetracordio aumentado del primero, pero el bemol del segundo tetracordio se ha desplazado un grado arriba, asemejando una dominante. Es evidente la influencia de la música de la India en estos modos, y quizás la de la música

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griega. Es muy probable que los gitanos hayan tomado de la India los fundamentos de su música y que, posteriormente, hayan asimilado elementos de los lugares en los que se iban estableciendo. No hay que olvidar que la zona de Asia central siempre ha sido terreno de innumerables influencias mutuas, sobre todo entre las grandes culturas de esas tierras: Irán, la India y Grecia, básicamente, y los árabes, quienes en sus rutas comerciales, se encargaron de difundir (y asimilar, y desarrollar) dichas influencias. La música zíngara tuvo un desarrollo importante, sobre todo en el área de los Balcanes. Los gitanos (junto con los árabes) llegaron a la península Ibérica, en donde nace el flamenco y otras manifestaciones artísticas importantes. De España nos llega el llamado Modo Andaluz:

Modo Andaluz (De Candé, 1961).

En su forma ascendente, este modo es idéntico al Bhairar hindú, no así en la descendente, similar (no totalmente) al modo frigio eclesiástico, con la séptima bemolizada. La cadencia propuesta por De Candé se asimila, tanto a la cadencia frigia, como a la sexta napolitana. ¿Es casual la similitud de esta escala con el modo proveniente de la India, o es éste mismo, matizado por el tiempo y la distancia? No podemos sino conjeturar, aunque este hecho parece mostrar algo más que una simple coincidencia.

No obstante las reservas de la teoría clásica en torno a +2, podemos encontrarla en algunas obras del Romanticismo tardío. Ferenç Liszt (1811-1866), el virtuoso y visionario húngaro, artífice y anticipador de un sinnúmero de innovaciones en la técnica de la composición, utiliza los modos húngaros en algunas composiciones, como en este fragmento de la Rapsodia Húngara N°13, en la menor:

Fragmento de la Rapsodia Húngara N°13, de Liszt.

Otro famoso ejemplo es el modo creado por Giuseppe Verdi (1813-1901) para la composición de una de sus cuatro Pezzi Sacri (1898): El Ave María. He aquí este modo:

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Modo Enigmático del Ave María de las cuatro Pezzi Sacri, de Verdi (De Candé, 1961).

Este extraño modo, llamado Enigmático, está también armonizado por Verdi. La primera segunda aumentada se localiza dentro de un tetracordio aumentado (en su forma ascendente). En el modo ascendente, ambos tetracordios están ligados por +2, caso por demás rarísimo, pues, generalmente, ambos tetracordios están ligados, sea en forma conjunta o disjunta, por un tono o un semitono. El último tetracordio, casi igual al primero por la ubicación de +2, es un tetracordio justo, gracias al fa becuadro, quien a su vez forma un intervalo de +2 con el sol#. Por su lado, Nikolái Rimski-Kórsakov (1844-1904), crea el Modo Mayor Armónico, modo que, a semejanza del modo menor armónico, incorpora +2 en el segundo tetracordio, con el sexto grado descendido, formando una segunda aumentada con el séptimo grado:

Modo mayor armónico de Rimski-Kórsakov (Alain, 1968).

Hasta aquí nuestro recorrido histórico de la segunda aumentada. Quedan por analizar las posibilidades que este intervalo puede aún proporcionar a los creadores musicales actuales. Evidentemente, la manera más lógica de construir modos musicales es combinando tetracordios, aunque también se pueden elaborar con una quinta y una cuarta. De todos modos, estos dos últimos intervalos aparecen al combinar los tetracordios, por lo menos en la mayoría de los casos. Así que consideremos la cantidad de modos con +2 posibles. Un mismo tetracordio puede ir en primer o en segundo lugar, o en ambos (cuando se utiliza el mismo tetracordio en ambos lugares del modo). Un modo puede tener un tetracordio sin +2 y otro con +2, o ambos pueden ser tetracordios con segunda aumentada. Tenemos tres tetracordios con +2, cuyo número total de combinaciones posibles nos da nueve modos. También hay tres tetracordios sin +2: t, t, s; t, s, t, y s, t, t. Las combinaciones posibles entre ambas clases de tetracordios nos dan un total de dieciocho modos. Por lo tanto, tenemos 27 modos. Si los subdividimos a la vez en modos auténticos y plagales (utilizando la técnica medieval de ambitus y finalis), esta cantidad se duplica. Son muchas las posibilidades creativas proporcionadas por esta cantidad de escalas. Pero no hemos considerado en este inventario a los tetracordios aumentados, aquellos cuya longitud es de cuarta aumentada. Se pueden obtener 78 modos diferentes con el total de posibilidades de combinación de tetracordios convencionales con tetracordios aumentados. Al considerar las versiones auténticas y plagales, este número se duplica. Así, disponemos de 105 modos diferentes, sin considerar las versiones auténticas y plagales. Ahora bien, podemos combinar dos tetracordios aumentados, pero para realizar esta acción, es necesario que la unión de

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ambos tetracordios sea en forma conjunta, porque si se efectúa en forma disjunta, el modo rebasa a la octava, transgrediendo la norma aceptada en la elaboración de modos, que consiste en que éstos se contienen en el ámbito de la octava. El total de modos posibles con dos tetracordios aumentados unidos en forma conjunta es de 36 modos, que sumados a los anteriormente vistos, nos da un total de 141 modos. Por otro lado, si acomodamos estos tetracordios en forma disjunta, al medir ellos un tritono, el siguiente tetracordio comenzará una quinta arriba, y así sucesivamente. Nos encontramos con la misma serie pitagórica de quintas, en la que nunca se cierra el ciclo, que transcurre como una espiral eterna. Nada más que en esta serie de quintas nos encontramos con un tono, un semitono y una segunda aumentada en el interior de cada una de estas quintas. Quizás la utilidad de un modo de este tipo sería más armónica que melódica, nos encontraríamos con un gran cluster con distancias selectivas interválicamente, en donde, en un contexto de una afinación natural, existiría cierta ordenación de intervalos diatónicos, cromáticos y enarmónicos. Un acorde así sería solamente posible con la ayuda de instrumental electrónico. Este tipo de escalas estarían unidas en forma disjunta por medio tono, pero ¿Qué sucede si la unión disjunta es a través de un tono? Nos encontramos con curiosos modos que también rebasan los límites de la octava, pero que aún así pueden ser muy útiles melódicamente, como el siguiente modo, al que podemos llamar dodecatónico:

Modo dodecatónico.

Este modo tiene un ámbito de tres octavas, está formado por cuatro tetracordios aumentados unidos entre sí por un tono en forma disjunta. Se muestra una escritura alterna en el último tetracordio para facilitar su lectura, porque la estructura interválica de este tetracordio, derivada a su vez de la estructura del modo en general, nos muestra tres intervalos con doble sostenido y un intervalo con triple sostenido (el último sol). En este caso, el tetracordio utilizado es: t, s, +2, pero es posible la utilización de todas las combinaciones posibles de tetracordios aumentados, lo que nos da un total de 216 modos dodecatónicos posibles. Como se puede ver, la experimentación interválica con +2 nos puede dar muchas sorpresas y abrirnos posibilidades inauditas. Por lo pronto, hemos ya encontrado 141 modos de una octava, más 216 modos de tres octavas, o sea, un total de 367 modos. Es posible también la obtención de modos hexatónicos y de otras longitudes.

Pero también es posible crear escalas viables que no sólo rebasen el paradigma de la contención modal en la octava. En algunos de estos casos, la diferencia entre +2 y 3a menor queda difuminada, por lo que, en estos casos, la afinación debe ser necesariamente temperada. Uno de estos modos, que no toma tampoco en cuenta la organización por tetracordios, podría ser el siguiente:

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Modo hexatónico.

Al ser hexatónico, en este modo tenemos dos +2, pero el tercero de estos intervalos es, necesariamente, una tercera menor. Aquí ya no estamos estructurando nuestra escala sobre tetracordios, sino sobre una organización puramente interválica. Por su misma naturaleza, este modo es recomendado para ser utilizado con afinación temperada. Otras características de este modo son las siguientes: es un modo simétrico, es decir, conserva las mismas relaciones interválicas, ya sea en forma ascendente o descendente, por lo tanto no tiene un centro tonal definido, lo que lo vuelve tonalmente ambiguo. Por tanto, es un modo con transposición limitada, es posible que Olivier Messiaen (1908-1992) lo hubiera incluido en su catálogo de Modos de Transposición Limitada, si hubiese considerado el uso de +2 en sus escalas (9). Pero también cabe la posibilidad de agregar una sensible a este modo, es decir, una nota si, pareciera como si este modo hexatónico “pidiese” la inclusión de esta sensible para convertirse en un modo heptatónico. Volviendo a nuestro tema, si en lugar de utilizar un semitono entre la segunda aumentada, usamos dos semitonos, obtenemos un modo con extensión de cinco octavas:

Modo con 37 sonidos, de cinco octavas.

Este modo de cinco octavas contiene 37 sonidos y 12 segundas aumentadas. Como en el caso de los modos que abarcan siete octavas, la utilidad de este modo puede ser más útil en el terreno armónico, que en el melódico, pues tenemos un cluster cromático “filtrado” por los +2.

De todo lo anterior podemos concluir que, si bien la 3a menor y +2 están perfectamente ubicadas en la serie armónica natural, con sus relaciones específicas y sus longitudes relativas bien determinadas, en la práctica no siempre ha sido así. El semidítono o trihémiton de la escala de Pitágoras, aunque jugaba el rol de 3a menor, en realidad, acústicamente es una +2. El trihémiton funciona en esta escala como una tercera menor, porque hay un tono entre la tónica y la tercera, pero su baja afinación la vuelve inviable,

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por eso es considerada, en este contexto, como una disonancia. En cambio, en el tetracordio diatónico tonal de Aristógenes, el mismo trihémiton tiene la función de +2, porque es un intervalo no compuesto: no hay ningún sonido entre Lychanos y Mese. El uso del sistema temperado de 12 semitonos iguales, que es el utilizado actualmente, iguala los valores de ambos intervalos, que miden 300 Cents, pero mientras la 3am es una consonancia, la +2 es una disonancia, no obstante que sus valores son idénticos. Aquí la diferencia entre estos intervalos es un asunto de funcionabilidad. Al igual que en el tetracordio aristogénico mencionado, la +2 es un intervalo no compuesto: no cabe ninguna nota entre do y re#, por ejemplo; en cambio, entre do y mib se encuentra un re. Por naturaleza, una consonancia es estable y una disonancia inestable. Do-mib es un intervalo estable y es consonante porque forma parte de la triada menor de do y de la triada mayor de la bemol. Sus sonidos forman parte de la escala base sobre la que se construyen estos acordes. En cambio, el intervalo do-re# es un intervalo inestable. En primer lugar, porque “pide” ser resuelto en una consonancia, en segundo lugar, porque contiene una nota cromática (re#) que no forma parte de la escala básica de do mayor, en este caso. Un principio fundamental de la resolución de las disonancias reza que todo intervalo aumentado resuelve abriendo, mientras que un disminuido resuelve cerrando. El caso de la escala pentáfona es diferente, aquí hablamos de terceras menores, porque estrictamente hablando, la pentáfona es una diatónica incompleta, a la que le faltan las sensibles (una quinta grave y una aguda respecto a la serie de cinco quintas de la pentáfona).

Como hemos visto, en un tetracordio formado sobre una cuarta justa no caben más que dos semitonos y una segunda aumentada. Debido al principio de que un intervalo aumentado resuelve abriendo, la nota superior de +2 funciona, por lo general, como una sensible ascendente; en otras ocasiones la nota inferior funciona como una sensible descendente. Este último caso es cuando esta nota es un bemol, como en el caso de reb-mi, en donde re bemol desciende a do. La función de +2 es más evidente en el plano melódico, más que en el armónico, aunque en ocasiones se pueden crear modos especiales, como los mostrados arriba, cuya longitud y complejidad los vuelve más proclives para usos armónicos. Me parece que el intervalo +2 tiene un gran potencial para la creación artística aún no suficientemente explotado. La fantasía del músico puede ubicarlo en situaciones especiales con resultados sorprendentes. Puede ser acomodado en tetracordios o en otro sistema escalístico. Incluso, desde el punto de vista del uso con tetracordios, podemos encontrar situaciones inauditas y con resultados sorprendentes, como el caso del Modo Enigmático de Verdi, en donde dicha escala, en su forma descendente une ambos tetracordios por medio de una segunda aumentada, en lugar de un tono o un semitono.

No queda más que preguntarnos: ¿Por qué +2 ha ejercido una fascinación especial a través de siglos y culturas? ¿Por qué el miedo de su uso en la música clásica occidental? Responder esta pregunta exigiría una serie de consideraciones de índole psicoanalítica, pero sobre todo, filosófica e histórica, que rebasaría, con mucho, las pretensiones de este artículo.

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NOTAS:

(1) Utilizo la noción de “música clásica” en el sentido genérico para referirnos a la llamada música de concierto, música “culta”, música artística, etc., abarcando los períodos barroco, clásico (propiamente dicho) y romántico, principalmente.

(2) Como lo observa Schoenberg, lo correcto y objetivo sería decir “sustitución” de un sonido por otro, en lugar de “alteración”, pues de hecho, se sustituye un sonido con otro, aunque, debido al uso y costumbre, usamos, por lo general, el término “alteración”.

(3) En la siguiente tabla se muestran los 22 śrutis, a partir de nuestro do5: sus nombres, relaciones, cents y frecuencia en Hertz:

NOMBRE: RELACIÓN: CENTS: FRECUENCIA (HZ):

Kṣobhinī 1 0 261.6256

Tīvrā 256/243 90 275.6220

Kumudvatī 16/15 112 279.0673

Mandā 10/9 182 290.6951

Chandovatī 9/8 203 294.3288

Dayāvatī 32/27 294 310.0747

Ranjanī 6/5 316 313.9507

Raktikā 5/4 386 327.0319

Raudrī 81/64 407 331.1198

Krodhā 4/3 498 348.8341

Vajrikā 27/20 519 353.1945

Prasāriṇī 45/32 590 367.9109

Prīti 729/512 612 372.5098

Mārjanī 3/2 702 392.4383

Kṣiti 128/81 792 413.4330

Raktā 8/5 814 418.6009

Sandīpanī 5/3 884 436.0426

Ālāpinī 27/16 906 441.4931

Madantī 16/9 996 465.1121

Rohiṇī 9/5 1017 470.9260

Ramyā 15/8 1088 490.5479

Ugrā 243/128 1110 496.6798

Kṣobhinī 2 1200 523.2511

(4) Estas denominaciones son abreviaciones, respectivamente, de las siguientes:

Shadja ( ), Rishabha (ऋ भ), Gandhara ( ), Madhyama ( ), Panchama

( ), Dhaivata ( ) y Nishada ( ). (5) Utilizaremos la abreviación segm., para referirnos a los segmentos aristogénicos. (6) Iannis Xenakis describe los tetracordios de la siguiente manera: “1.- El enarmónico

contiene, del grave al agudo, dos diesis enarmónicas 3+3+24=30 segm., ó X1/4.X1/4.X2=X5/2

(X tiene el valor de un tono); 2.- El cromático: a) suave, contiene dos diesis cromáticas mínimas, 4+4+22=30 segm., ó X1/3.X1/3.X1/5+3/2=X5/2; b) hemiólico (sesquiáltero) contiene

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dos diesis sesquiálteras: 4.5+4.5+22=30 segm., ó X3/2) (1/). X3/2) (1/).X(7/4); c) tónico (“tonin”), conteniendo dos semitonos y un trihémiton 6+6+18=30 segm., ó X1/2.X(1/2).X(3/2); 3.- El diatónico: a) suave, conteniendo siempre de graves a agudos, un semitono, más tres diesis enarmónicas, más cinco diesis enarmónicas: 6+9+15=30 segm., X1/2.X(3/4).X5/4=X5/2; b) syntonon, conteniendo un semitono, más un tono, y un tono más 6+12+12=30 segm., ó X1/2.X.X=X5/2” (Xenakis, 1971), nótese que el cromático hemiólico, al medir las diesis sesquiálteras 4.5 segmentos, presupone una subdivisión del tono en vigesimocuartos, aunque nada más en este caso.

(7) Los rangos de parhypate y lichanos son definidos por Aristógenes como sigue: “Es obvio que son la tensión y la relajación de las notas, cuya naturaleza es moverse, las responsables de las diferencias entre los géneros; pero debemos decir cuál es el rango [topos] de movimientos de cada una de estas notas. El rango total en el que se mueve lichanos es un tono, pues nunca está a menos de un tono de mese, ni a un intervalo mayor de dos tonos (22.24). *…+ Acordemos entonces que el rango de lichanos es un tono, y el de parhypate la diesis más pequeña, ya que nunca está más cerca de hypate que una diesis y nunca está a más de un semitono de hypate. Pues los rangos no se sobreponen, sino que el punto de encuentro es su límite; así, cuando parhypate y lichanos alcanzan la misma altura mientras una es tensada y la otra relajada, ambos rangos alcanzan su límite: siendo el inferior aquel de parhypate y el superior el de lichanos.” (Citado por Adán, 2009-2010).

(8) Xenakis se refiere a ambos sistemas en los siguientes términos: “Debemos dirigir la atención sobre el hecho de que él [Aristógenes] utiliza la operación aditiva para los intervalos, presentando así, adelantado a su hora, los logaritmos, contrariamente a la usanza de los pitagóricos que utilizan el lenguaje geométrico (exponencial) que es multiplicativo. Aquí la invención de Aristógenes es fundamental, ya que: a) Constituye una de las dos maneras que, a través de los milenios, ha permitido a la teoría musical expresarse; b) Inaugura un cálculo más económico, más fácil, más adaptado a ls música, por adición: c) Pone la base del temperamento igual, veinte siglos antes de su aplicación en Europa occidental. Los dos lenguajes: el aritmético (operación de adición) y el geométrico (que parte de relaciones de las longitudes de las cuerdas, con la operación de multiplicación) son siempre mezclados e interpretados a través de los siglos, creando inútilmente confusiones múltiples en los cálculos de los intervalos y de las consonancias, y por consecuencia, en las teorías. De hecho son dos expresiones de la estructura de grupo con dos operaciones no idénticas, se trata pues, de una equivalencia formal.” (Xenakis, 1971).

(9) Los siete Modos de Transposición Limitada de Messiaen son los siguientes: 1) t, t, t, t, t, t; 2) s, t, s, t, s, t, s: 3) t, s, s, t, s, s, t; 4) s, s, 3am, s, s, s, 3am, s; 5) s, 3a, s, s, 3a, s; 6) t, t, s, s, t, t, s, s; 7) s, s, s, t, s, s, s, t.

BIBLIOGRAFIA.

Adán, Víctor. “Aristoxeno : del punto a la línea, a la dynamis“. Perspectiva Interdisciplinaria de Música, número doble 3-4, 2009-2010, pags. 65-77. México.

Alain, Olivier. “L´Harmonie”. Presses Universitaires de France, Paris, 1968.

De Candé, Roland. “Dictionnaire de Musique”. Editions de Seuil, París, 1961.

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Sachs, Curt. “The Rise of Music in the Ancient World: East and West”. W.W. Norton & Company Inc., New York, 1943.

Rousseau, Jean-Jacques. “Diccionario de la Música”. Edición de José Luís de la Fuente Charfolé. Ediciones Akal, S.A., Madrid, 2007.

Shoenberg, Arnold. “Armonía”. Real Musical Editores, Madrid, 1979

Xenakis, Iannis. “Musique/Arquitecture”. Casterman, S.A., Tourney, 1971.

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