Analisis de Sensibilidad

I

OBJETIVOS

Plantear problemas de programación lineal. Realizar análisis de sensibilidad Utilizar el LINDO, WINQSB ó POMQM para el análisis de sensibilidad.

II

TEMAS A TRATAR

Formulación de problemas de programación lineal y Análisis de Sensibilidad.

III

MARCO TEORICO

El análisis de sensibilidad permite determinar el impacto que ocasiona en la solución óptima del problema, la variación de los parámetros de un modelo matemático (coeficientes de la función objetivo, lados derechos de las restricciones, etc.).

1.- Un Problema Ejemplo:

Mediante un ejemplo demostraremos como se utiliza la información de los reportes para la toma de decisiones.

ENUNCIADO

Una Empresa industrial produce 4 modelos de Teclados cada uno de los cuales es tratado en los departamentos de ensamblado y acabado. El número de horas hombre de mano de obra necesaria, por teclado en cada departamento es:

Modelo1 Modelo2 Modelo3 Modelo4

Ing. Efraín Murillo

Sesión

4

Ensamblado 4 10 7 10Acabado 1 1 3 4

Se dispone de 6000 horas hombre en el departamento de ensamblado y de 4000 en el de acabado en los próximos 6 meses. Las utilidades en dólares para cada modelo de teclado son: 2.2, 5, 3 y 4 respectivamente para los teclados 1, 2, 3 y 4.

Existe restricciones de producir al menos 100 unidades del modelo 2, a lo más 200 unidades del modelo 3 y a lo más 250 unidades del modelo 4. La producción del modelo 1 es irrestricta.

Sea X1, X2, X3 y X4 las variables del problema que representan el número de teclados modelo 1, 2, 3 y 4 respectivamente a producir los próximos 6 meses.

Determine la cantidad debe producir el fabricante de cada modelo, de manera que las utilidades sean las máximas.

Una vez analizado el enunciado el lector procederá a crear el modelo matemático.

MODELO MATEMÁTICO

Función Objetivo:Max Z = $2.2X1+$5X2+$3X3+$4X4Restricciones (St)4X1+10X2+7X3+10X4<=6000 Hrs. Hombre de EnsambladoX1+X2+3X3+4X4<=4000 Hrs. Hombre de AcabadoX2>=100 Demanda mínima del producto 2X3<=200 Demanda Máxima del producto 3X4<=250 Demanda Máxima del producto 4X1,X2,X3,X4>=0

Podemos ver claramente que estamos ante un problema de Maximización, con cinco restricciones y cuatro variables (las cuales trabajaremos como variables continuas de tipo No Negativas).

2. Solución mediante el Software WinQsb

Ing. Efraín Murillo

3. Solución mediante el Software LINDO 6.0

Ing. Efraín Murillo

2. Solución mediante el Software POM-QM for Windows

Ing. Efraín Murillo

4. Utilizando el reporte del Software Lindo o WinQsb, podemos dar respuesta a las siguientes inquietudes:

a) ¿Cuál es la utilidad máxima de la empresa?Z= 3250 dólares

b) . ¿Qué cantidad se debe producir de cada modelo?X1= 1250 unidades del modelo 1X2=100 unidades del modelo 2X3=0 unidades del modelo 3X4=0 unidades del modelo 4

c) La holgura o exceso de las horas de ensamblado y de acabado.No hay horas ociosas de ensambladoHay 2650 horas ociosas de acabado.

d) Cuántas horas de ensamblado y cuántas horas de acabado se utilizan en la producción del modelo 1?, ¿Cuántas horas de ensamblado y cuántas horas de acabado se emplea en la producción del modelo 2?Modelo 1: 4*1250= 5000 hrs. de ensamblado

1*1250= 1250 hrs. de acabadoModelo 2: 10*100= 1000 hrs. de ensamblado

1*100= 100 hrs. de acabado

e) Cuánto debe pagar como máximo para aumentar una hora extra de ensamblado?, ¿Cuánto por una hora extra de acabado?, ¿Dentro de qué rangos de variación son válidos estos valores?$0.55/hra. de ensamble, Rango: 1000<=6000<=16600$0.0/hra. de acabado, Rango: 1350<=4000< infinito

f) Qué pasaría con la utilidad actual de la empresa, si la demanda mínima del modelo 2 aumenta o disminuye en 1 unidad?, ¿Dentro de qué rango de variabilidad es válido este valor?Si aumenta en 1 unidad, la utilidad disminuye en 0.5 dólaresSi disminuye en 1 unidad, la utilidad aumenta en 0.5 dólaresRango de variabilidad: 0<=100<=600

g) ¿En cuánto debe mejorar la utilidad unitaria del modelo 3 para justificar su producción?, ¿En cuánto la del modelo 4?Modelo 3: en una cantidad mayor a $0.85Modelo 4: en una cantidad mayor a $1.50

h) ¿Dentro de qué rangos puede variar la utilidad unitaria del modelo 1 y 2, sin afectar el plan de producción actual?2<=C1<=infinito-infinito<=C2<=5.5

i) Un quinto modelo, está en consideración. Requiere 4 horas de ensamblado y 5 horas de acabado. La utilidad por unidad es de 2 dólares. Debe producirse?. Por que?Costo de oportunidad = 4*0.55+5*0.00=2.2, es mayor que la utilidad, por lo tanto no conviene producir.

Ing. Efraín Murillo

5. Otro ejemplo:

Una empresa fabrica dos productos, A y B. Cada uno requiere tiempo en dos máquinas. La primera máquina tiene 24 horas disponibles y la segunda tiene 16. Cada unidad del producto A requiere dos horas en ambas máquinas y cada unidad del producto B necesita tres horas en la primera máquina y una hora en la segunda. Los beneficios son de seis dólares por unidad de A y de siete dólares por unidad de B, la empresa puede vender todas las unidades que fabrique del producto A y por limitaciones del mercado sólo puede vender 6 unidades del producto B. Suponga que el objetivo es maximizar el beneficio; ¿Cuántas unidades de los productos A y B debe producir?

En la tabla 1 siguiente se observa la solución y los comentarios para el problema.

Tabla 1: Solución en computador con el paquete LINDO

MAX 6X1+7X2 Formulación: X1 y X2 son variables de decisiónSUBJECT TO2) 2X1+3X2<=24 2) Restricción de la máquina 13) 2X1+X2<=16 3) Restricción de la máquina 2 3) X2<=6 4) Restricción de la demanda de mercadoEND

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 LP optima encontrada después de examinar 2 vértices

OBJETIVE FUNCTION VALUE

1) 64.000 La utilidad optima es de $ 64.00 VARIABLE VALOR REDUCED COST

X1 6.00 0.000 La solución óptima es de 6 unidades del producto A y 4 X2 4.00 0.000 unidades del producto B; los costos reducidos son de

cero por que en ambos casos se produce alguna cantidadde cada producto.

ROW SLACK OR SRPLUS DUAL PRICES 2) 0.00 2.00 No existe inactividad en las restricciones 2 y 3 3) 0.00 1.00 La no utilización en la restricción 4, implica demanda no 4) 2.00 0.00 usada para el producto B. Se muestran los precios duales

(precios sombra)NRO INTERACTIONS = 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE Rangos donde la solución optima es la misma

COEF INCREASE DECREASE X1 6.00 8.00 1.3333 X2 7.00 2.00 4.0000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE Rangos donde el conjunto de variables de la solución RHS INCREASE DECREASE básica es la misma, además también son rangos donde 2 24.00 4.00 8.00 los precios duales son los mismos. 3 16.00 8.00 4.00 4 6.00 Infinito 2.00

IV

(La práctica tiene una duración de 02 horas) ACTIVIDADES

Ing. Efraín Murillo

Plantee los siguientes problemas, luego ingréselos al LINDO o WINQSB y responda las inquietudes en base a los resultados de los reportes.

1. Una fábrica produce 4 productos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y vale $10 en el inventario en proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y vale $5 en el inventario en proceso. Cada unidad de C necesita de 2 ½ horas de maquinado, 2 ½ horas de montaje y vale $2 en el inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto D requiere de cinco horas de maquinado, no necesita tiempo de montaje y vale $12 en el inventario en proceso.

La fábrica dispone de 1200 horas de maquinado y 1600 horas de montaje. Además, no puede disponer de más de $10000 en el inventario en proceso. Cada unidad del producto A tiene una utilidad de $40; cada unidad de B, de $24; cada unidad de C, de $36, y cada unidad de D, de $23. No pueden venderse más de 200 unidades de A; no más de 160 de C, y pueden venderse cualquier cantidad de los productos B y D. Sin embargo, para cumplir con un contrato, deben producirse y venderse por lo menos 100 unidades del producto D. El objetivo de la fábrica es maximizar la utilidad resultante de la venta de los cuatro productos.

a) ¿Cuántas unidades se deben producir de cada producto para alcanzar la máxima utilidad?,b) ¿Cuál es la utilidad máxima de la empresa?c) ¿Existe tiempo ocioso en maquinado y montaje? ¿Cuánto?d) ¿Cuánto de capital para inventario en proceso no se utiliza?e) ¿Cuánto debería pagar como máximo por una hora adicional de maquinado?f) ¿En cuánto disminuye la utilidad de la empresa por una hora de montaje incumplida?g) ¿Cuánto genera $1 adicional en el capital de trabajo para el inventario en proceso?.h) Dentro de qué rangos puede variar los coeficientes de la función objetivo, sin que afecte

el plan de producción?.i) Qué pasaría con la utilidad total de la fábrica si el contrato para el producto D exige

producir al menos 101 unidades?.j) En cuánto debería de mejorar la utilidad unitaria del producto C para justificar su

producción.k) Un nuevo producto, el producto E, está en consideración. Requiere de 2 horas de

maquinado, 5 horas de montaje y $20 en capital de trabajo. La utilidad por unidad es de $50 ¿Debe producirse alguna unidad del producto E?.

2. HAL produce dos tipos de computadoras: PC y VAX. Las computadoras se fabrican en dos sitios: Nueva York y Los Ángeles. Nueva York puede producir hasta 800 computadoras, y Los Ángeles hasta 1000. HAL puede vender hasta 900 PC y 900 VAX. Las utilidades asociadas a cada sitio de producción y venta, son los siguientes: Nueva York, PC, 1000 dólares; VAX, 800 dólares; Los Ángeles, PC, 1000 dólares; VAX, 1300 dólares. El tiempo de mano de obra especializada requerida para construir una computadora en cada sitio se da a continuación: Nueva York, PC, 2 horas; VAX, 2 horas; Los Ángeles, PC, 3 horas; VAX, 4 horas. Se dispone de un total de 4000 horas de trabajo. Sea:

XNP = PC producidas en Nueva YorkXLP = PC producidas en Los ÁngelesXNV= VAX producidas en Nueva YorkXLV= VAX producidas en Los Ángeles

Ing. Efraín Murillo

a) ¿Cuál es la utilidad máxima alcanzada por HAL?b) ¿Cuál es número de computadoras de cada tipo que se debe producir en cada lugar?c) Suponga que un contratista externo ofrece elevar la capacidad de Nueva York a 850

computadoras, a un costo de 5000 dólares. ¿Tendría que aceptar HAL la oferta del contratista?.Si porque la utilidad es mucho mayor que el costo

d) ¿En qué cantidad tendría que aumentar la utilidad por una VAX producida en Nueva York, para que HAL considerara producir computadoras VAX en dicha ciudad?.Su costo reducido; en una cantidad es 175

e) ¿Cuál es la máxima cantidad que HAL tendría que estar dispuesto a pagar por una hora extra de trabajo?.El pago es una cantidad menor que la cantidad dual que es 325

3. Una compañía de transporte dispone de $ 400,000 para comprar un nuevo equipo y está considerando tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10 toneladas y se espera que promedie 35 millas por hora. Su costo es de $ 8,000. El vehículo B tiene una capacidad de 20 toneladas y se espera que promedie 30 millas por hora. Su costo es de $13,000. El vehículo C es un modelo modificado de B, tiene un sitio para que duerma el chofer, lo cual reduce su capacidad a 18 toneladas y eleva su costo a $15,000.

El vehículo A requiere de una tripulación de un hombre y si se opera durante tres turnos por día, puede trabajar un promedio de 18 horas por día. Los vehículos B y C requieren una tripulación de dos hombres cada uno, pero mientras que B se puede trabajar 18 horas por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias. La compañía, que dispone de 150 choferes al día, tendría muchas dificultades para obtener tripulaciones adicionales. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total de vehículos no puede exceder de 30. Formule un modelo de PL para determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse si al compañía desea hacer máxima su capacidad en toneladas millas por día.(Sasien)

Realice el análisis de sensibilidad si el coeficiente de la variable X2 fuera el 70% del actual y se tuviera un límite de 25 vehículos.

4. Una familia de granjeros posee 100 acres de tierra y tiene $ 30,000 en fondos disponibles para inversión. Sus miembros pueden producir un total de 3,500 horas-hombre (h-h) de mano de obra durante los meses de invierno y 4,000 h-h durante el verano. Si no se necesitan cualquiera de estas h-h, los miembros más jóvenes de la familia las usarán para trabajar en una granja vecina por $4.00 la hora, durante el invierno y $4.50 por hora en verano.

El ingreso de efectivo puede obtenerse a partir de tres cultivos y dos tipos de animales: vacas lecheras y gallinas ponedoras. No se necesita invertir para los cultivos. Sin embargo, cada vaca requerirá un desembolso de $900 y cada gallina de $7.

Cada vaca requerirá 1.5 acres de tierra, 100 h-h de trabajo durante el invierno y 50 h-h durante el verano. Cada vaca producirá un ingreso anual neto en efectivo de $800 para la familia. Los valores correspondientes para las gallinas son: nada de tierra, 0.6 h-h durante el invierno, 0.3 h-h durante el verano y producen un ingreso anual neto de $5. El gallinero puede acomodar un máximo de 3000 gallinas y el tamaño del granero limita el rebaño a un máximo de 32 vacas.

Las h-h y los ingresos estimados por acre plantado en cada uno de los tres cultivos son:

Ing. Efraín Murillo

Frijol de soya Maíz AvenaHoras hombre en invierno 20 35 10Horas hombre en verano 50 75 40Ingreso anual neto en efectivo ($) 375 550 250

La familia desea saber cuántos acres deben plantarse con cada cultivo y cuántas vacas y gallinas deben tener para maximizar su ingreso neto de efectivo.(Hillier)

Realice el análisis de sensibilidad suponiendo que el ingreso de anual de la soya fuera $350 por acre y que sucedería si las horas disponibles en invierno y verano disminuyen en 100.

Ing. Efraín Murillo