LAS BASES DE LA TEORIA DE LA COHERENCIA.

INTRODUCCION A LOS LASERES

PROFESOR: MANUEL FERNANDEZ GUASTI

Elías Castellanos Alcántara.

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1 INTRODUCCION

Coherencia temporal: Está directamente relacionada con el ancho de banda. Si la luz fuera totalmente monocromática ∆tc sería infinito. (El tiempo de coherencia es el intervalo temporal en el que podemos predecir la fase de la onda luminosa en un punto del espacio.) Longitud de coherencia: ∆lc = c∆tc. (Es la extensión en el espacio en la que la onda tiene una bonita forma sinusoidal de tal manera que su fase pueda predecirse con seguridad.) Coherencia espacial: Se utiliza con mas frecuencia para describir efectos procedentes de la extensión espacial finita de fuentes de luz corrientes (si dos puntos desplazados lateralmente se hallan en el mismo frente de onda en un tiempo determinado, los campos en estos puntos serán coherentes espaciales). Coherencia parcial: Las perturbaciones totalmente coherentes o totalmente incoherentes son ambas idealizaciones. Interferencia: Equivale a la interacción de dos o mas ondas de luz que producen una irradiancia resultante que se desvía de la suma de las irradiancias de sus componentes. La generación de franjas de interferencia es una medida muy conveniente de la coherencia.

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LONGITUDES APROXIMADAS DE

COHERENCIA DE VARIAS FUENTES

Fuente

Longitud de onda media λ (nm)

Ancho de línea ∆λ (nm)

Longitud de coherencia

∆lc

Luz blanca

550

300

≈ 900 nm

Arco de mercurio

546.1

1.0

δ 0.03 cm.

Lámpara de descarga de

Kr86

605.6

1.2x10-3

0.3 m

Láser He-Ne estabilizado

632.8

10-6

δ400m

Láser especial He-Ne

1.153

8.9x10-11

1.5x106m

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INTERFERENCIA DE DOBLE HAZ

Interferencia de doble haz producido por un par de

aberturas circulares. (a) Luz de láser He-Ne iluminando los orificios. (b) Nuevamente luz láser pero ahora uno de los orificios esta cubierto con una lamina de vidrio de 0.5 mm de espesor. (c) Franjas producidas por un colimado de un arco de mercurio. (d) Esta vez las franjas desaparecen al insertar la placa utilizando luz de mercurio,

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Visibilidad

La calidad de las franjas producidas por un sistema interferométrico puede describirse cuantitativamente usando la visibilidad dada por:

− +

minmax

minmax

IIIIV =

Donde Imax e Imin, son las irradiancias máxima y

mínima respectivamente. Esta expresión nos será útil ya que podremos relacionarla con el grado de coherencia.

2 LA FUNCIÓN DE COHERENCIA MUTUA Y EL GRADO DE

COHERENCIA

Supongamos que tenemos una fuente ancha, con ancho de banda estrecho, que genera un campo luminoso cuya representación compleja esta dada por:

),(~ trE

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Si a esta perturbación se le hace incidir sobre una pantalla opaca con dos aberturas entonces tenemos el experimento de Young, Las dos aberturas sirven como fuentes de ondas secundarias que se propagan hacia un punto P en un dispositivo de detección, Allí el campo resultante es:

)(~~)(~~~222111 ttEKttEKE p −+−=

Donde: t1= r1/c y t2= r2/c, y las ‘Ks’, son los llamados propagadores, los cuales dependen de la geometría de las aberturas y del punto P.

Experimento de Young.

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La irradiancia en el punto P viene dada por:

( ) ( )Tpp tEtEI *~~=

Entonces:

−

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

T

T

T

T

ttEttEKK

ttEttEKK

ttEttEKK

ttEttEKKI

221*

12*

1

2*211

*21

2*222

*22

1*

111*

11

~~~~

~~~~

~~~~

~~~~

−−+

−−+

−−+

−=

El momento en que decidamos medir la intensidad no es importante entonces, ya que el campo de onda es estacionario, es decir no altera su naturaleza estadística con el tiempo, de manera que el promedio temporal es independiente de cualquier origen temporal que se escoja por lo tanto: ( ) ( )

Ts tEtEI *11

~~1=

(s EI = ) ( )

TtEt *

22~~

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12 tt −=τ 7

Entonces definamos a la función de coherencia mutua como: E 1 τ+

( ) ( ) ( )T

tEt *212

~~~ τ ≡Γ

Por lo tanto la irradiancia viene dada por:

( )τ12212

22

1~Re~~2~~

21Γ++= KKIKIKI ss

Pero los dos primeros términos de la ecuación anterior son las irradiancias respectivas de una abertura u otra respectivamente entonces: ( )Re2 Γ++= KKII τ122121

~~~I Si hacemos coincidir las dos aberturas entonces:

T

( ) ( )E τ+Γ

( ) ( ) ( )tEtE *1111

~~~ ττ +=Γ

( )T

tEt *2222

~~~ τ =

( )1

011 sI=Γ

( )2

022 sI=Γ

Que son las llamadas funciones de auto coherencia.

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Definamos ahora el grado de coherencia complejo que esta dado por:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2

22

1

*21

2211

1212 ~~

~~

00

~~

EE

tEtET

τττγ+

=ΓΓ

Γ≡

Y sustituyendo en la expresión de la irradiancia resulta: ( )τγ 122121

~Re2 IIIII ++=

Que es la llamada ley general de interferencia para luz parcialmente coherente.

A la norma del grado de coherencia complejo se le

llama grado de coherencia es decir:

12~γ Grado de coherencia

Limite coherente. 1~12γ =

Limite incoherente. 0~

12γ = Coherencia parcial. 1~0 << 12γ

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Es decir que la coherencia del haz de luz en cuestión viene determinada por el grado de coherencia. Ahora recordando la expresión para la visibilidad y sustituyendo:

( )τγ 1221

21 ~2II

IIV

+=

Haciendo I1 = I2 tenemos:

( )τγ12~=V

Es decir el modulo del grado de coherencia complejo es idéntico a la visibilidad de las franjas.

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FIGURAS DE INTERFERENCIA DE DOBLE HAZ USANDO LUZ PARCIALMENTE COHERENTE

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3 EL EFECTO DE MOTEADO

La coherencia espacial de la luz del láser se ve reflejada en su apariencia granular al reflejarse en una superficie difusa.

La luz espacialmente coherente que se esparce de una superficie difusa llena la región circundante con una figura de interferencia estacionaria. En cualquier posición en el espacio, el campo resultante es la superposición de muchos trenes de onda esparcidos contributivos cuya fase relativa constante deberá definirse por la longitud del camino óptico de cada difusor al punto en cuestión.

DISTRIBUCIONES DE MOTEADO

(a) Un bloque de cemento iluminado por un arco de mercurio y (b) con un láser de He-Ne.

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BIBLIOGRAFIA.

E. Hecht, Óptica, Addisson Wesley Iberoamericana, (2000)

L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and

Quantum Optics, Cambridge University Press, Cambridge (1995).

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