Las funciones Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre como métodos de análisis de valores hidrológicos extremos.

Caso de precipitaciones máximas anuales Carlos Díaz Delgado

Khalidou M. Bâ Eduardo Trujillo Flores

Centro Interamericano de Recursos del Agua (CIRA) Universidad Autónoma del Estado de México

Las funciones de densidad de probabilidad Beta y Gamma, mejoradas por una serie de polino- mios ortogonales de los tipos Jacobi y Laguerre respectivamente, han sido comparadas con cuatro funciones comúnmente utilizadas en el análisis de valores hidrológicos extremos: Gum- bel tipo I, Log-Normal de 3 parámetros (LN3), General de Valores Extremos (GEV) y Log-Pear- son III (LP3). Las seis funciones han sido ajustadas a un número importante de muestras. Sin embargo, en el presente artículo sólo se muestran los resultados para una de ellas. La muestra presentada corresponde a la serie de datos de precipitaciones máximas de 24 horas registra- das en la estación climatológica de Tacubaya, México, D.F. Para todas las funciones, las esti- maciones de los cuantiles centrales (de 10 a 50 años) son equivalentes con diferencias meno- res del 3%. En las estimaciones de cuantiles con periodo de retorno mayores a 100 arios, LN3 y GEV han generado valores superiores a los de Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre del orden del 11%. La diferencia entre Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre se mantiene por debajo del 3% del valor calculado, aun por períodos de retorno de mil años. Por otro lado, las funciones LP3 y Gumbel I generan resultados superiores a los estimados con las otras cuatro funciones men- cionadas para periodos de retorno mayores a 50 años. Los resultados han mostrado que las funciones de orden superior, debido a sus cualidades estadísticas, son una herramienta tan vá- lida como las funciones hasta ahora aceptadas internacionalmente para el análisis del compor- tamiento de eventos hidrológicos extremos. Por otra parte, las funciones aquí presentadas poseen características constructivas que incluyen una mayor información, contenida en los mo- mentos de orden superior lo cual asegura una mejor estimación de los valores extremos y muy probablemente la realización de diseños más económicos y eficientes.

Palabras clave: análisis de frecuencia, funciones de densidad de probabilidad, valores hidro- lógicos extremos, Beta-Jacobi, Gamma-Laguerre, precipitación máxima probable, polinomios ortogonales.

Introducción

La estimación de valores extremos de una variable aleatoria hidrológica, como son los casos de las preci- pitaciones máximas de una región o de los caudales extremos de un río, es fundamental para cualquier es- tudio de planeación de trabajos de ingeniería, ya sea para el diseño de estructuras que permitan el control

de inundaciones o bien para la administración de los recursos hidráulicos a niveles críticos, donde la esti- mación de los valores extremos se convierte en uno de los primeros pasos y, frecuentemente, en el objetivo de cualquier análisis hidrológico.

Las funciones utilizadas en hidrología son numero- sas, pero una revisión somera permitirá la observación de algunas tendencias. En los albores de los años 50,

el uso de leyes con un número reducido de parámetros (normal, exponencial, etc.) parecía dominar el escena- rio, sin duda a causa de la limitada capacidad compu- tacional disponible. Los valores extremos han sido analizados por un gran número de hidrólogos conside- rando los métodos Gumbel I (Gumbel,1958); Weibull (Shane y Graver, 1969); Log-Pearson III (Water Resour- ces Council WRC, 1977 y 1981), (Bobée y Ashkar, 1991); Log-Normal de tres parámetros (Kite, 1988), y General de Valores Extremos (Bobée y Ashkar, 1991).

Sin embargo, gracias a la facilidad operacional de las computadoras, ahora es posible utilizar modelos que consideran en su construcción un número mayor de parámetros, lo que se traduce asimismo en una ma- yor flexibilidad y precisión cuando la muestra es sufi- cientemente grande (Llamas et al, 1987). Las leyes así empleadas fueron las series de Gram-Charlier (Kendall y Stuart, 1963), la función Gamma con los polinomios de Laguerre (Llamas, 1975), La función de Máxima En- tropía (Siddall, 1983) y la función Beta con los polino- mios ortogonales de Jacobi (Díaz Delgado, 1991; Lla- mas et al, 1995). Es importante señalar que la idea de asociar una función de distribución a una serie de poli- nomios ortogonales no es reciente. En efecto, Durbin y Watson (1951) mostraron que es posible asociar la fun- ción Beta a los polinomios ortogonales de Jacobi. Por otro lado, Kendall y Stuart (1963) demostraron nueva- mente la posibilidad de asociar las funciones Gamma y Beta respectivamente a los polinomios de Laguerre y Jacobi. Para la combinación de una función con una serie de polinomios ortogonales, es suficiente multipli- car la función de densidad por la serie de polinomios ortogonales apropiada y de dominio matemático simi- lar, lo que permite aumentar el número de momentos en la nueva función de densidad. Así pues, el aumen- to del número de momentos tiene como objetivo ex- traer el máximo de información contenida en la mues- tra. Con respecto a lo anterior, Llamas (1993) afirma que: “actualmente se dispone de muestras extensas de fenómenos hidrológicos de buena calidad, las cua- les contienen una gran cantidad de información que las técnicas actuales y la facilidad operacional permite su obtención, su interpretación y su uso en la concep- ción, la gestión o en la ejecución de proyectos”. Aco- tando que, “en otras palabras, la técnica actual per- En el presente artículo, las funciones Beta-Jacobi y mite utilizar funciones con tantos parámetros que el ta- Gamma-Laguerre se comparan con las funciones maño de la muestra pueda soportar”. Gumbel I, LN3 (Log-Normal 3 parámetros), GEV (Ge-

En el estudio de caudales de un río, las funciones neral de Valores Extremos) y LP3. Sin embargo, puesto de distribución parten del principio de la existencia de que las funciones de distribución Gumbel I, LN3, GEV un límite inferior definido, comúnmente igual a cero, lo y LP3 son bien conocidas, a continuación sólo se pre- que físicamente es correcto, y de una asíntota para el sentarán las funciones Beta asociadas con los polino- límite superior. Sin embargo, en realidad “existe un Ií- mios ortogonales de tipo Jacobi y Gamma asociados mite superior al volumen y al pico de avenidas. Las con los polinomios ortogonales de Laguerre.

condiciones meteorológicas que rigen la formación de las precipitaciones, así como las que rigen la fusión de nieve, todas ellas tienen un umbral superior que impli- ca la existencia de límites físicos para la precipitación, para la lluvia máxima y la fundición de nieve” (Gagnon et al., 1970). En todos los ríos del mundo existe un Ií- mite superior físico de caudal tan grande como éste sea, pero perfectamente finito (Llamas et al, 1987). Por otra parte, Bobée y Ashkar (1991) señalan que “los cauda- les de avenidas pueden tomar únicamente valores po- sitivos y nunca podrán exceder un límite superior en congruencia con su representatividad física y dentro del contexto hidrogeográfico de su propia cuenca”. Así pues, la existencia del límite superior abre el camino de una estimación de los cuantiles superiores a partir de las funciones de distribución de la familia Beta, pues este tipo de función presenta dos límites finitos en sus extremidades. Un modelo construido de tal ma- nera representaría probablemente con un mayor realis- mo los fenómenos de caudales y precipitaciones que aquellos modelos que consideran uno o los dos límites infinitos. Para el caso de la función Beta, en el análisis de valores extremos de precipitación el valor de la pre- cipitación máxima probable (PMP) ha sido considera- da como el límite superior del fenómeno, asegurándose que la superficie sea igual a 1.

Precipitación máxima probable

El principio de la Precipitación máxima probable (PMP) puede expresarse como la cantidad de precipitación para un área dada, resultante de las condiciones me- teorológicas más críticas que son consideradas razo- nablemente posibles (Campos, 1992). La PMP puede estimarse por el método desarrollado por Hershfield (1961), el cual consiste en aumentar al valor promedio anual de precipitación máxima diaria observada k ve- ces el valor de la desviación estándar de la misma serie de datos (el valor de k = 15 es comúnmente utili- zado).

Función Beta-Jacobi

La familia Beta está compuesta de todas las funciones que presenten una función de densidad de probabili- dad de la forma:

para: primer momento con respecto al origen y segundo momento centrado.

Por otro lado, analizando matemáticamente la fun- ción Beta, los polinomios ortogonales que pueden ajustarse a este tipo de función son los de Jacobi. Es así que la nueva función de densidad de probabilidad está definida por Díaz Delgado (1991):

La función Beta está definida por cuatro parámetros: t, r, a y b. Los dos primeros deben estimarse, mientras que a y b son, respectivamente, los límites inferior y su- perior de la función.

Para reducir la variable x comprendida entre a y b a una variable y comprendida entre O y 1, es fácil pro- bar que x e y mantienen una relación lineal de la forma x = y (b-a) + a. Por otro lado, si se define que p = r y q = t-r, la ecuación 2 se convierte en:

donde:

representa el polinomio de grado n, y A, los coefi- La variable y será denominada variable transformada cientes numéricos que dependen del índice n y de de x. Los momentos con respecto al origen de la varia- g(y) . ble y pueden ser obtenidos directamente con la ayuda Así pues, de acuerdo con la propiedad de ortogo- de la expresión general siguiente: nalidad de una función hipergeométrica de tipo

+ 1, p, y ) (Courant y Hilbert, 1970) se obtiene:

para todo m > 1 entero, y donde es la función fac- torial ascendente.

Las transformaciones anteriores han permitido la reducción de la función Beta únicamente a dos pará- metros, es decir a p y q. Esta nueva función de distri- bución será el punto de partida para cualquier ajuste.

Para utilizar la función Beta asociada a polinomios ortogonales es necesario partir de una función Beta construida únicamente considerando los dos primeros momentos de la muestra. Después se aumentará el nú- mero de momentos, indirectamente, por medio de una serie de polinomios ortogonales (Díaz Delgado, 1991; Llamas et al, 1995). Los valores de a y b son conoci- dos o estimados previamente para resolver el sistema de ecuaciones que sigue y, así, determinar los dos parámetros p y q a partir de los dos primeros momen- tos de la muestra.

de donde: Los parámetros g y h representan respectivamente la escala y el número efectivo de grados de libertad. Por el método de momentos se obtiene (Llamas, 1993):

Dado que:

= p', = momento de orden k de la función g(y) con respecto al origen, y después de simplifica- ciones, el valor de A, es:

donde:

donde es definido por:

En esta aproximación los primeros momentos son los más importantes; si i es demasiado grande, los últimos polinomios pueden producir oscilaciones en la función f (x) e incluso frecuencias negativas. En la práctica, i debe variar entre 4 y 8, dependiendo, claro está, de la dimensión de la muestra.

Calibración de los modelos de orden superior

La aplicación del modelo Beta-Jacobi se reduce a aquellos fenómenos hidrológicos que poseen dos Iími- tes y no son asintóticos. Este criterio impide el uso del modelo cuando la función Beta, evaluada con los dos primeros momentos de la muestra, produce una forma asintótica (en U, J o J invertida). En tal caso, se puede concluir que el modelo no será capaz de explicar con- venientemente el fenómeno. Si esta primera etapa ha sido superada, es muy probable que este modelo genere ajustes apropiados.

En los modelos Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre, definidos a priori para verificar que el ajuste efectuado se encuentre al interior del intervalo de confianza (para un umbral a = 0.05), se utiliza la prueba de Kolmogo- rov-Smirnov. Por otro lado, es falso pretender que a medida que se aumente el número de polinomios el ajuste será mejorado infinitamente. Es por ello que se utiliza otro criterio selectivo, basado en la optimización del número de momentos requeridos en la construc- ción del modelo, mismo que consiste en hacer la suma de desviaciones absolutas de las funciones con res- pecto a la función experimental. En este trabajo se uti-

siendo una función hipergeométrica generalizada (Rainville, 1965). Explícitamente, está dada por:

Díaz Delgado (1991) y Llamas et al (1995), verificaron que la nueva función Beta mejorada por los polinomios ortogonales de tipo Jacobi cumple con los requisitos de una función de densidad de probabilidad, es decir, que la integral de g ( y ) en el intervalo [0,1] para cual- quier número de polinomios utilizados en la construc- ción del modelo Beta-Jacobi siempre es igual a 1.

Función Gamma-Laguerre

La función Gamma asociada a una serie de polimo- mios ortogonales de tipo Laguerre es (Llamas, 1993):

lizó como función experimental la ecuación de Weibull definida por:

donde n es el número total de las observaciones con- tenidas en la muestra e i es la posición de la observa- ción en una lista ordenada por magnitud descendente Así, el modelo final será aquél que presente la menor suma significativa de desviaciones absolutas y el me- nor número de momentos requeridos en su construc- ción.

Aplicación

Un número importante de muestras han sido analiza- das para verificar la aplicabilidad de las funciones Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre. Sin embargo, en este trabajo sólo se presentan los resultados de una mues- tra correspondiente a precipitaciones máximas en 24 horas registradas en la estación climatológica de Tacu- baya, México, D.F., durante el periodo de 1901 a 1981 (Llamas, 1993). La muestra y sus parámetros estadís- ticos son presentados en los cuadros 1 y 2.

Asimismo, se ha verificado que la muestra utilizada cumpla con las condiciones estadísticas requeridas; es decir, que sea una serie homogénea, consistente, de valores independientes, y que no presente ningún valor singular. La hipótesis de independencia entre los datos, de acuerdo con la prueba de Wald-Wolfowitz, es aceptada considerando un umbral del 5%. La prue- ba de homogeneidad de Mann-Whitney confirma que los datos son homogéneos. Finalmente, de acuerdo con la prueba de Grubbs y Beck, ningún valor singular ha sido detectado.

Para estimar los parámetros de las seis funciones de distribución se usó el método de los momentos con ayuda del programa HidEstat 1.0 (Bâ y Díaz Delgado, 1997), mismo que permite la estimación de los cuanti- les para cada una de las funciones estudiadas.

Los resultados de los ajustes hechos para diferen- tes periodos de retorno se muestran en el cuadro 3. Las funciones Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre se construyeron con un número dado de momentos hasta lograr la obtención del mejor ajuste, de acuerdo con los criterios previamente descritos.

A fin de comparar los resultados de las diferentes funciones de distribución, para cada ajuste se constru- yó una gráfica en papel de probabilidad Gumbel de los cuantiles, en función de la probabilidad de no ex- cedencia. La función de distribución experimental de la muestra ha sido calculada mediante la ecuación 21.

Con la finalidad de demostrar la aplicabilidad de las funciones Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre incluso para casos en donde las series de datos cuentan con un número reducido de valores, se presenta en los cuadros 5 y 6 el análisis efectuado para tres series cor- tas de valores máximos de precipitación en 24 horas. Las series de datos corresponden a las estaciones meteorológicas de Igueldo, País Vasco, España (Lla- nos, 1992), Cañón Fernández, Durango, México (Cam- pos Aranda, 1992) y Bushnell, Florida, U.S.A. (Wanie- lista y Yousef, 1993).

Conclusiones

Las funciones Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre gene- ran prácticamente los mismos resultados, con diferen- cias menores al 5% entre ellas, aun para periodos de retorno de 1,000 años (cuadros 3 y 4). Las prediccio- nes de las funciones clásicas LN3 y GEV dan los mis- mos resultados para periodos de retorno de hasta 1,000 años. Así mismo, para las predicciones de los valores centrales, es decir, entre periodos de retorno

de 10 y hasta 50 años, las 6 funciones aplicadas gene- ran los mismos resultados, con diferencias menores del 3%. Para la estimación correspondiente a un perio- do de retorno de 100 años, únicamente las funciones LP3 y Gumbel I generan resultados superiores al 3% con respecto a las demás.

En el caso de la estimación con periodo de retorno de 1,000 años, todas las funciones clásicas dan resul- tados mayores al 5%, y en particular LP3 y Gumbel l en más del 20%, con respecto de las funciones de or- den superior. Con fines de comparación, en la ilustra- ción 3 se muestran los ajustes de las 6 funciones.

Por otro lado, el comportamiento de la extremidad superior de la gráfica de una función de distribución, es decir, para valores con periodo de retorno elevado, es una de las características más importantes que debe respetar un modelo probabílistico de valores ex- tremos. Sin embargo, en la ilustración 3 se muestra que las funciones de distribución LP3 y Gumbel I se alejan de la distribución experimental y tienden asin-

tóticamente hacia el infinito. Las funciones de distribu- ción LN3, GEV, Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre si- guen la trayectoria de la distribución experimental; sin embargo, también es posible notar que la extremidad de LN3 y GEV se separa de manera significativa de las de orden superior.

El uso de la función Beta-Jacobi se basa en hipóte- sis tales como la existencia evidente de límites físicos de una variable, en particular en el caso de precipita- ción y caudales. La mayoría de las funciones de distri- bución utilizadas comúnmente en hidrología tienen el “defecto” de acercase a la función experimental única- mente en los valores centrales, mientras que las fun- ciones Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre, una vez que el número de momentos ha sido optimizado, se acercan a la mayoría de los puntos de ésta función, dando así el peso necesario a la información existente en la muestra. Es importante señalar que para la obtención de las funciones Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre más representativas de cada una de las muestras, es nece-

sario variar el número de momentos utilizados en la construcción del modelo y aplicar los criterios de se- lección ya descritos. En el caso de la muestra analiza- da en este trabajo, el número de polinomios de Jacobi y Laguerre requeridos es de cuatro para las funciones Beta y Gamma.

Respecto al uso de las funciones Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre en casos donde se cuenta con un número reducido de datos, los dos modelos han de- mostrado su aplicabilidad y generaron resultados prácticamente similares a todas las funciones utiliza- das, y ello hasta para periodos de retorno de 100 años. Es importante subrayar que para muestras pequeñas el número de momentos a utilizar en la construcción de los modelos Beta-Jacobi y Gamma-Laguerre es nor- malmente tres. Por otro lado, la estimación de eventos de periodo de retorno mayores a 100 años no es reco- mendable cuando se tienen pocos datos. Sin embar- go, aun para periodos de retorno de 1,000 años se ob-

tuvieron resultados aceptables, generalmente con diferencias menores al 10% respecto a los resultados obtenidos con el empleo de funciones clásicas.

Sin duda alguna, los resultados han mostrado que, debido a sus cualidades estadísticas, las funciones de orden superior son una herramienta tan válida como las funciones hasta ahora aceptadas internacional- mente para el análisis del comportamiento de fenóme- nos hidrológicos extremos. Sin embargo, las funciones de orden superior aquí presentadas poseen cualida- des en su construcción que facilitan el aumento de su grado de convergencia hacia una función de distribu- ción más real, asegurando así una mejor estimación de los valores extremos más allá de los valores observa- dos y, muy probablemente, la realización de diseños más económicos y eficientes.

Recibido: 09/02/98 Aprobado: 03/08/98

Agradecimientos

Los autores desean expresar su más sincero agradecimiento a la Coordinación General de Investigación y Estudios Avanzados de la Universidad Autónoma del Estado de México, por el apoyo brinda- do para el desarrollo de la presente investigación en el marco del proyecto Análisis de eventos hidrológicos extremos, clave UAEM 1071/95. Para el presente artículo se usó el programa HidEstat 1.0 (Bâ y Díaz Delgado, 1997). Para cualquier información, recurrir al doctor Khalidou M. Bâ. (E-mail: khalidou@coatepec.uaemex.mx)

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Abstract

Díaz C; M. Bâ-Khalidou & E. Trujillo. “Beta-Jacobi and Gamma-Laguerre functions as methods of analysis of hydrological extreme values; Case of the yearly maximum precipitation”. Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish). XIV. Num. 2, pages 39-48. May-August, 1999.

The probability density functions Beta and Gamma improved by a series of orthogonal polynomials of type Jacobi and Laguerre respectively have been compared with the four most common functions used on the analysis of hydrological extreme values: Gumbel 1, 3 Parameter Log-Normal (LN3), General Extreme Values (GEV) and Log-Pearson III (LP3). These six functions have been used in order to fit an important num- ber of samples However this paper only shows the results of one of them. The sample selected corresponds to the maximum precipitation over 24 hours data from the climatological Tacubaya station (Mexico, D.F.). All functions give, for the central quantiles estimatimates (from 10 to 50 years), equivalent values with differen- ces below 3%. For estimates of quantiles with a year return period higher than 100 years, LN3 and GEV gives higher values than Beta-Jacobi and Gamma-Laguerre around 11%. The difference using Beta-Jacobi and Gamma-Laguerre is always below 3% of the estimated value even for the 1000 year return period. On the other hand, LP3 and Gumbel 1 give higher results compared with the four other functions for the year return periods higher than 50 years. The results obtained have shown that the higher order probability den- sity functions due to their statistical properties, are a tool as valid as the functions internationally accepted nowadays, for the behavior analysis of hydrological extreme values. However; the functions here presented have qualities in their construction which facilitate to take into account more information, which is contained in the higher moments, improving the extreme values estimates and probably the realization of designs more economic and efficient.

Key words: frequency analysis, probability density functions, hydrological extreme value, Beta-Jacobi, Gamma-Laguerre, probable maximum precipitation, orthogonal polynomials.