Las Matemáticas en la Antigua India

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3000 a.C. 500 d.C.

Las Matemticas a travs del tiempo. Marco Geogrfico e Histrico. Aportes de Antigua India a las Matemticas Geometra Numeracin

Matemtica o Matemticas, es el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lgicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. Las primeras referencias a matemticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Los textos matemticos ms antiguos disponibles son:(1) Plimpton 322 (Babilonia, 1900 a.C.) (2) Papiro de Mosc (Egipto, 1850 a.C.) (3) Papiro de Rhind (Egipto, 1650 a.C.) (4) Shulba Sutras (India, 800 a.C.).

India est ubicada en el continente Asitico y rodeada por el ocano Indico. El periodo antiguo de la India se divide en distintas etapas donde se vio el desarrollo de varias culturas:

Cultura Harappa (3000 a.C. 1800 a.C.) Periodo Vdico (1500 a.C. 600 a.C.): Vedas fundamentales: Rigveda, Yajurveda, Samaveda, Atharvaveda. Periodo Brahmnico (546 a.C. -470 a.C.): Brahma: Dios o ser superior. Imperio Maurya (322 a.C. - 291 a.C.) Dinastas locales (siglos II y I a.C.) Imperio Gupta (300 a.C. 495 a.C.)

Anlisis General: Inicios de la matemtica: 3000 a.C. 2600 a.C. en la civilizacin Harappa. Los primeros matemticos se piensa que aparecieron en el siglo VIII VII a.C. en el perodo vdico. En un principio se utiliz para clculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronmicos. Utilizaron los nmeros negativos y creyeron en el cero. Aceptaron como validos los nmeros irracionales. Profundizaron en la obtencin de reglas de resolucin de ecuaciones lineales y cuadrticas. Hay evidencias arqueolgicas que usaban sistema de numeracin de base octal y tenan una valor para . Utilizaron un sistema de numeracin posicional y decimal. Aplicaban la geometra para la construccin de edificios religiosos.

Baudhayana: Contiene unidades de medida , construccin de cuadrados y rectngulos, mtodos para transformar unas figuras en otras conservando su superficie y determinan un valor aproximado para la raz cuadrada de 2.

Altar Cuadrado

Altar en forma de Halcn

Construccin con siete cuadrados y medio. Cuatro forman el cuerpo del halcn, tres se usaban para las dos alas y la cola. Finalmente, cada ala se alargaba con un quinto de cuadrado y la cola con un dcimo del mismo cuadrado Cada uno de estos cuadrados tena por lado una purusa, unidad de medida equivalente a la altura de un hombre con los brazos levantados.

El altar deba estar orientado en referencia a los cuatro puntos cardinales. Se colocaba un gnomon y se trazaba una circunferencia pasando por el lugar de su colocacin que tuviera la altura de dicho gnomon por dimetro. El amanecer o atardecer, la sombra del gnomon caera sobre otro punto de la circunferencia que permitira tender la cuerda en la direccin E-O. Luego era necesario trazar el eje N-S esto se haca atando cuerdas a los gnomones E-O, se tenda una cuerda de longitud doble que la distancia entre el gnomon E y O. Se marcaba con otro gnomon el punto medio de esta cuerda lo que sealara en un sentido el norte y en el otro el sur.

Se marca con la cuerda la longitud de 36 padas (XY) en direccin este-oeste. Desde el extremo este de la cuerda (X) se seala una distancia de 5 padas (punto P) y desde el extremo oeste (Y) una distancia de 8 padas (punto R). Luego, se utiliza el tringulo rectngulo (5, 12, 13) donde 5 es la distancia entre XP, de manera que 12 ser el cateto restante de dicho tringulo y da el punto A. Si se realiza la misma construccin en el otro sentido se obtiene el punto D de manera que la distancia AD es de 24 padas, tal como se deseaba. Del mismo modo, a partir de R y sobre la base contraria se considera el tringulo rectngulo (8, 15, 17) de manera que, como la distancia YR era de 8 padas, el otro cateto de 15 permitir obtener B y, sobre el sentido contrario C. As, la distancia entre los puntos B y C ser de 30 padas, como se deseaba.

Existan ocasiones en que era necesario dibujar un cuadrado de rea doble que la de uno dado. Caso 1: A partir del cuadrado inicial, se construye otro de tamao doble. Se toma el lado de este nuevo cuadrado como base y altura de un tringulo issceles. La superficie de los cuatro tringulos resultantes comprueban el resultado deseado. Caso 2: Se dieron cuenta de que la diagonal del cuadrado original es el lado del cuadrado deseado. Aproximaron la 2 1 + 1 / 3 + 1 / 3 x 4 - 1 / 3 x 4 x 34 Logrando una gran exactitud de: 1,41421568...

Enunciado referente al Teorema de Pitgoras: La diagonal de un rectngulo da lugar a un rea que es equivalente a las dos reas producidas separadamente por los dos lados (es decir, el cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados). Manejaban triadas como (3, 4, 5) la ms elemental, pero tambin otras como (15, 36, 39), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (72, 96, 120). Tros pitagricos generalizados: [n , (n - 1), (n + 1) ]

Considerando dos cuadrados, uno el doble del otro; el lado del pequeo debe cortarse un segmento del mayor. La cuerda diagonal del segmento combinar los dos cuadrados. Esto nos permite formar un tringulo rectngulo de catetos a y b, los lados de los dos tringulos desiguales que se quieren combinar. La hipotenusa de dicho tringulo tendr de longitud la raz cuadrada de de manera que constituye el lado del cuadrado buscado, unin de los dos.

Se divide el cuadrado grande de forma que quede en su parte inferior el rectngulo de lados a y b. Entonces se abate el lado a sobre el lado contrario. De este modo se forma el tringulo rectngulo que tiene b por uno de sus catetos y a por la hipotenusa. As, el otro cateto ser la raz cuadrado de a 2 b 2

Dado que la concepcin del mundo que tena el jainismo, la tierra vena a ser una isla circular. Sus estudios fueron basados en la relacin de la circunferencia y sus elementos. Por ello se establece las siguientes relaciones. 1) C = 10d. 2) A = 1/4 Cd 3) C = (4h (d-h)) 4) h = 1/2 (d - (d2 - c2)) 5) Arco = (6h2 + c2) 6) d = (h2 + c2/4) / h

C : longitud de la circunferencia. A:rea. c: longitud de la cuerda. h: altura del segmento circular. d: dimetro. Las deducciones de dichas relaciones fueron resultados de ecuaciones cuadrticas. Ej.- d2 / 4 = c2 / 4 + (d/2 - h)2

Usaban palabras numricas, al igual que actualmente: uno, dos, tres, etc. Son los siguientes:1 eka 2 dvi 3 tri 4 catur 5 pancham 6 sas 7 saptam 8 astan 9 navan 10 dasan 11 ekadasan 12 dvadasan 13 trayodasan 14 caturdasan 15 pancadasan 20 vimsati 30 trimsat 40 catvarimsat 50 pancasat 60 sasti 70 saptati 80 asiti 90 navati 100 sata 200 dvisata 300 trisata 400 catussata 500 pancasata 1.000 sahasra 10.000 ayutam 100.000 niyutam (o laksa) ancasata

Importancia del valor posicional: Ejemplos: El nmero 45 se pronunciaba panchan catur , mientras que el 54 era catur panchan. Sin embargo, panchan catur podra representar 45 pero tambin 405 o 4050, por ejemplo. As que se dio el trmino sunya (vaco) o como hoy conocemos el cero. De este modo, 405 se dira panchan sunya catur

Cifras brahmi

Cifras nagari Cifras gupta

Descomposicin de nmeros.Suma: Eka dasan 11 = 1 + 10 Dva dasan 12 = 2 + 10 ......................................... Navan dasan 19 = 9 + 10 Resta: Eka na vimsati 19 = 20 - 1 Multiplicacin: Mltiplos: veintiuno (eka vimasati) como trih sapta (tres veces siete). O tambin puede ser agregando krtvah . Ej.- Panca krtvah significara cincoveces Astau krtvah por ocho veces ms.

Multiplicacin:

Exceso.

Sobrante.

Divisin: Es limitada, Gurudeva denomina tambin divisin nikhilam. Se basa en la divisin por 9. Nmeros de 2 cifras: El cociente viene dado por la misma cifra de las decenas del dividendo mientras que el resto es igual a la suma de la cifra de las unidades en el dividendo mas la propia cifra de las decenas del dividendo. Nmeros de ms de 2 cifras: En la parte inferior se coloca la suma sucesiva de las cifras del mismo.

Divisin por otros nmeros: En este caso, la suma de las cifras que se sita debajo para obtener el resto ha de multiplicarse: Por 2 , en el caso del 8. Por 3 , en el caso del 7. Y as sucesivamente.

Una de los aportes ms destacados de la matemtica Jaina es la nocin de infinito. Para la cosmologa Jaina no hay principio ni final en el tiempo al existir una constante repeticin de distintos ciclos csmicos que no han sido creados ni acabarn. Definen el infinito como: Aquel nmero que no se agota por la sustraccin continua por un tiempo sin fin.

Compuesto por siete decenas de hojas hechas con corteza de abedul. Parece resumir y comentar reglas anteriores para resolver problemas, lo que hara que sus mtodos de resolucin fueran ms antiguos . Ejercicio 1: De una cantidad desconocida de lapislzuli se pierden un tercio, un cuarto y un quinto [sucesivamente]; la prdida [total] de la cantidad, acumulada en tres plazos, es de 27. Dime, hombre sabio, Cul es el total y tambin cul ser la diferencia [entre el total y la prdida, o sea, el resto]. ? Ejercicio 2: Un cierto rey distribuye 57 dinares entre cinco sabios. Da una cierta cantidad al primero y, a continuacin, cada vez va doblando el dinero que ha dado al sabio anterior. Al ver que todava tiene algn dinero sobrante, le da al primero lo que le haba dado a los cuatro primeros antes, al segundo lo que les haba dado a los tres primeros, al tercero lo que haba dado a los dos primeros y al cuarto lo que haba dado al primero. El quinto sabio no recibe dinero en esta ronda, puesto que ya no le queda dinero al rey. Hallar cunto dinero recibe cada uno de los cinco sabios.

Katyayana Baudhayana. Umaswati.