latam.collegeboard.org · recomendaciones generales -bt dmbtft efcfo sfvojstf eÁbt b mb tfnbob fo...
Transcript of latam.collegeboard.org · recomendaciones generales -bt dmbtft efcfo sfvojstf eÁbt b mb tfnbob fo...
PROGRAMA DE NIVEL AVANZADO
Guía del maestroPrecálculo
2019-2020
����������������"5IF�$PMMFHF�#PBSE�T�NJTTJPO� JT� UP�DPOOFDU�TUVEFOUT� UP�DPMMFHF�TVDDFTT�BOE�PQQPSUVOJUZ��8F�BSF�B�OPU�GPS�QSPmU�NFNCFSTIJQ� 7:1,63B,<376�-7553<</.�<7�/@-/44/6-/�,6.�/9=3<A�36�/.=-,<376�
��������������������� "5IF�$PMMFHF�#PBSE�JT�B�NJTTJPO�ESJWFO�OPU�GPS�QSPmU�PSHBOJ[BUJPO�UIBU�DPOOFDUT�TUVEFOUT�UP�DPMMFHF�TVDDFTT�BOE�PQQPSUVOJUZ�� 'PVOEFE�JO����� �UIF�$PMMFHF�#PBSE�XBT�DSFBUFE�UP�FYQBOE�BDDFTT�UP�IJHIFS�FEVDBUJPO��5PEBZ �UIF�NFNCFSTIJQ�BTTPDJBUJPO� 3;�5,./�=8�70�57:/�<2,6����70�<2/�?7:4.�;� 4/,.361�/.=-,<376,4�36;<3<=<376;�,6.�3;�./.3-,</.�<7�8:757<361�/@-/44/6-/�,6.� /9=3<A�36�/.=-,<376���,-2�A/,:��<2/��744/1/��7,:.�2/48;�57:/�<2,6�;/>/6�5344376�;<=./6<;�8:/8,:/�07:�,�;=--/;;0=4�<:,6;3<376� <7�-744/1/�<2:7=12�8:71:,5;�,6.�;/:>3-/;�36�-744/1/�:/,.36/;;�,6.�-744/1/�;=--/;;�D�36-4=.361�<2/�$�%E�,6.�<2/��.>,6-/.� 1MBDFNFOU� 1SPHSBN��� 5IF� PSHBOJ[BUJPO� BMTP� TFSWFT� UIF� FEVDBUJPO� DPNNVOJUZ� UISPVHI� SFTFBSDI� BOE� BEWPDBDZ� PO� CFIBMG� PG� ;<=./6<;��/.=-,<7:;�,6.�;-2774;�
'PS�GVSUIFS�JOGPSNBUJPO �WJTJU�XXX�DPMMFHFCPBSE�PSH�
�4��744/1/��7,:.�./�!=/:<7�#3-7�A��5I:3-,��,<36,����!#����./;,::744,�8:71:,5,;�A�;/:>3-37;�;3534,:/;�,� 47;�9=/�;/�70:/-/6� FO�MPT�&TUBEPT�6OJEPT �QFSP�FTQFDJBMNFOUF�EJTFÅBEPT�QBSB�QPCMBDJPOFT�DVZP�WFSO¶DVMP�FT�FM�FTQBÅPM��&TUPT�QSPHSBNBT�FTU¶O� .3:313.7;�,�;3;</5,<3B,:�47;�8:7-/;7;�./�/>,4=,-3K6�A�,.53;3K6�=63>/:;3<,:3,��,�07:<,4/-/:�4,�7:3/6<,-3K6�,-,.I53-,�A�8/:;76,4�A� ,�8:757>/:�4,�/@-/4/6-3,�/.=-,<3>,���
Entre nuestros instrumentos más conocidos se encuentran la PAA™; las Pruebas de Ingreso y Evaluación para el Nivel Secundario (PIENSE™); el Programa de Nivel Avanzado (PNA™); el Inventario CEPA™ (Conoce, Explora, Planifica y Actúa); el English Language Assessment System for Hispanics (ELASH™); las Pruebas de Conocimiento por Área (PC™) y las Pruebas de Certificación de Maestros (PCMAS™)�
&M�$PMMFHF�#PBSE�FTU¶�DPNQSPNFUJEP�DPO�FM�QSJODJQJP�EF�JHVBMEBE�EF�PQPSUVOJEBEFT �Z�TVT�QSPHSBNBT �TFSWJDJPT�Z�QPMÁUJDB�EF� /584/7�;/�:31/6�87:�/;</�8:36-3837�
&M� $PMMFHF� #PBSE� FTU¶� DPNQSPNFUJEP� DPO� FM� QSJODJQJP� EF� OP� EJTDSJNJOBDJÆO� Z� DPO� DPNCBUJS� FM� IPTUJHBNJFOUP� TFYVBM� FO� FM� SFDMVUBNJFOUP� EF� QFSTPOBM � BTÁ� DPNP� FO� UPEPT� MPT� TFSWJDJPT� RVF� PGSFDF� Z� FO� MBT� BDUJWJEBEFT� RVF� EFTBSSPMMB�� &M� $PMMFHF� #PBSE� CBTB� FM� FNQMFP� FO� MB� DBQBDJEBE� QFSTPOBM� Z� MB� QSFQBSBDJÆO � TJO� EJTDSJNJOBS� QPS� SB[ÆO� EF� SB[B � DPMPS � PSJHFO� OBDJPOBM � SFMJHJÆO � TFYP � FEBE � DPOEJDJÆO� TPDJBM � BmMJBDJÆO� QPMÁUJDB � JNQFEJNFOUP� P� DVBMRVJFS� PUSB� DBSBDUFSÁTUJDB� QSPUFHJEB� QPS� MB� MFZ��
=����!*'��0--')'��0$1&���0--')'��0$1&�$/&�3*'�$%01/�-0)0�$1'�1')+23'1'&�31$&'.$1,2�0(�3*'��0--')'��0$1&����--�1+)*32�1'2'15'&��
��%# �&���H�
�4��&#$ ����!#��F��&�
� $"&�� ������&#$ ����!#��F��&�
�#��������1!���&���� ��$&�'���������������������������������������������������������� �
�#���������)#��$#�'�+�')'��%!�����$#�'������$&�'�����������������������������
�#���������)#��$#�'�%$!�#."���'�+�&���$#�!�'������$&�'��������������������
�#���������)#��$#�'��*%$#�#���!�'�+�!$��&-("���'������$&�'��������������� �
�#��������)#��$#�'�(&��$#$",(&���'������$&�'�������������������������������� �
�#��������&��$#$"�(&-���#�!-(��������$&�'������������������������������������ �
�#����������'(�"�'������)���$#�'����#��)���$#�'�����$&�'��������������� �
�#���������)#��"�#($'������$"�(&-���#�!-(��������$&�'����������������� ��
�#����� ���(&$'�(�"�'������$&�'�������������������������������������������������� ��
����� �#��G�
���!#&�������!#��F��&�
��'�&�%��.#������������������������������������������������������������������������������ ��
� �"%!$'����� �&����$'����'�!����.#�"/!(�%!����������������������������������� ��
� �"%!$'����� �&����$'�����&($'��������������������������������������������������� ��
���#���� $����!#F�%����
� �&����$'����'�!����.#�"/!(�%!���������������������������������������������������� ��
$0.*5£�%&�/*7&-�"7"/;"%0
$-"7&�%&�-04�&+&3$*$*04�%&�13�$5*$"
���������
��"
��"
��"
��"
��"
��"
�"
��"
2���������������������������������� ���������
����������'�&M�1SPHSBNB�EF�/JWFM�"WBO[BEP�1/"�TF�JOTUJUVZÆ�FO������FO�1VFSUP�3JDP��&T�VOB�DPMBCPSBDJÆO�FOUSF�MB�0mDJOB�EF�1VFSUP�3JDPZ�"N½SJDB�-BUJOB�EF�$PMMFHF�#PBSE �FM�%FQBSUBNFOUP�EF�&EVDBDJÆO�EF�1VFSUP�3JDP�Z�MBT�VOJWFSTJEBEFT�QËCMJDBT�Z�QSJWBEBT�EFMQBÁT��%F�FTUB�DPMBCPSBDJÆO�UBNCJ½O�SFDJCFO�CFOFmDJPT�MPT�DPMFHJPT�Z�FTDVFMBT�QSJWBEBT �BEFN¶T�EF�FTUVEJBOUFT�RVF�TF�QSFQBSBOJOEFQFOEJFOUFNFOUF�QBSB�SFUBS�MBT�QSVFCBT�
&M�1/"�UJFOF�BDUVBMNFOUF�VOB�PGFSUB�BDBE½NJDB�EF�DVBUSP�DVSTPT��VOP�EF�&TQBÅPM �VOP�EF�*OHM½T�Z�EPT�EF�.BUFN¶UJDBT��-BT�=63>/:;3.,./;�8,:<3-38,6</;�/6�/4�8:71:,5,�,-:/.3<,6�/;<7;�-=:;7;�-757�/9=3>,4/6</;�,�;=;�-=:;7;�./�8:35/:�,J7�,�47;�/;<=.3,6</;DVZP�EFTFNQFÅP�FO�MBT�SFTQFDUJWBT�QSVFCBT�TFB�TBUJTGBDUPSJP �EF�BDVFSEP�DPO�MBT�SFDPNFOEBDJPOFT�EF�$PMMFHF�#PBSE�Z�MPT�DSJUFSJPTFTUBCMFDJEPT�QPS�MBT�QSPQJBT�VOJWFSTJEBEFT��&TUP�JNQMJDB �QPS�FKFNQMP �RVF�VO�FTUVEJBOUF�RVF�UPNF�USFT�EF�FTUPT�DVSTPT�Z�DBMJmRVFBEFDVBEBNFOUF�FO�MBT�QSVFCBT �QVFEF�TFS�BENJUJEP�B�VOB�VOJWFSTJEBE�IBCJFOEP�BQSPCBEP�ZB�IBTUB����DS½EJUPT�EF�TV�DBSSFSBVOJWFSTJUBSJB �FM�FRVJWBMFOUF�B�VO�TFNFTUSF�EF�FTUVEJPT �BEFN¶T�EF�VO�BIPSSP�TJHOJmDBUJWP�FO�TV�DPTUP��1PS�DVBOUP�FTUPT�DVSTPTTPO�EF�OJWFM�VOJWFSTJUBSJP �PUSPT�HSBOEFT�CFOFmDJPT�EFM�QSPHSBNB�JODMVZFO�UFOFS�VOB�GPSNBDJÆO�BDBE½NJDB�N¶T�TÆMJEB�BM�JOJDJBS�TVT�FTUVEJPT�TVQFSJPSFT�Z�VO�BKVTUF�N¶T�G¶DJM�B�MB�WJEB�VOJWFSTJUBSJB�
-PT�EPT�DVSTPT�EF�NBUFN¶UJDBT�RVF�TF�PGSFDFO�TPO��.BUFN¶UJDB�(FOFSBM�6OJWFSTJUBSJB�Z�1SFD¶MDVMP���"VORVF�BMHVOPT�UFNBT�TF�DVCSFO�FO�BNCPT�DVSTPT �MB�EJGFSFODJB�FO�DPOUFOJEP�FT�NVZ�TJHOJmDBUJWB�
�4�-=:;7�./������������FTU¶�EJSJHJEP�B�FTUVEJBOUFT�RVF�QMBOJmDBO�FTUVEJBS�$JFODJBT�/BUVSBMFT�UBMFT�DPNP�#JPMPHÁB �'ÁTJDB �(FPMPHÁB �2VÁNJDB �FUD� �.BUFN¶UJDBT �*OHFOJFSÁB �"ENJOJTUSBDJÆO�EF�&NQSFTBT�Z�$JFODJBT�EF�$ÆNQVUPT �DVZPT�DVSSÁDVMPT�EF�FTUVEJP�SFRVJFSFO�UPNBS�DVSTPT�EF�$¶MDVMP�
�4�-=:;7�./����������������������������FTU¶�EJSJHJEP�B�FTUVEJBOUFT�RVF�QMBOJmDBO�FTUVEJBS�MBT�MMBNBEBT�"SUFT�-JCFSBMFT �UBMFT�DPNP�)VNBOJEBEFT �*EJPNBT �"SUFT�1M¶TUJDBT �&EVDBDJÆO�'ÁTJDB �1FEBHPHÁB�Z�$JFODJBT�4PDJBMFT�
&T�QPTJCMF�UPNBS�MPT�EPT�DVSTPT�Z �EF�PCUFOFS�MBT�DBMJmDBDJPOFT�OFDFTBSJBT�FO�MBT�QSVFCBT�DPSSFTQPOEJFOUFT �SFDJCJS�DS½EJUPVOJWFSTJUBSJP�QPS�DVSTPT�EJTUJOUPT��&TUP �TJO�FNCBSHP �FO�MB�QS¶DUJDB�FT�NVZ�SBSP �EBEP�RVF�UÁQJDBNFOUF�MBT�VOJWFSTJEBEFT�SFRVJFSFO�VOB�Z�OP�BNCBT�DMBTFT�DPNP�SFRVJTJUP�EF�HSBEVBDJÆO�
&T�JNQPSUBOUF�RVF�MPT�NBFTUSPT�TF�BQFHVFO�BM�UJFNQP�SFDPNFOEBEP�QBSB�DBEB�UFNB��&TUP�BTFHVSBS¶�RVF�MPT�UFNBT�TFDVCSBO�DPO�MB�QSPGVOEJEBE�OFDFTBSJB�Z�UBNCJ½O�BZVEBS¶�BM�NBFTUSP�B�EJTUSJCVJS�BQSPQJBEBNFOUF�FM�UJFNQP�EF�NBOFSB�RVF�TFQVFEB�DVCSJS�UPEP�FM�NBUFSJBM�BOUFT�EF�MB�GFDIB�QSPHSBNBEB�QBSB�MB�QSVFCB�
3���������������������������������� ���������
Selección de estudiantes
&M�½YJUP�EFM�DVSTP�EFQFOEFS¶�FO�HSBO�NFEJEB�EF�VOB�TFMFDDJÆO�DVJEBEPTB�EF�FTUVEJBOUFT��5PEP�FTUVEJBOUF�BENJUJEPBM�DVSTP�EF�1SFD¶MDVMP�EFCF�IBCFS�DPNQMFUBEP�VO�BÅP�EF�(FPNFUSÁB �EF�FTDVFMB�TVQFSJPS �Z�VO�DVSTP�EF��MHFCSB�DPO5SJHPOPNFUSÁB �P�TV�FRVJWBMFOUF �DPOGPSNF�B�MB�DBSUB�DJSDVMBS�WJHFOUF�FO�FM�%FQBSUBNFOUP�EF�&EVDBDJÆO�EF�1VFSUP�3JDP�
4F�SFDPNJFOEB �QPS�MP�UBOUP �RVF�TF�JEFOUJmRVFO�B�MPT�QPTJCMFT�DBOEJEBUPT�EVSBOUF�MPT�HSBEPT�JOUFSNFEJPT�QBSB�BTÁFTUJNVMBSMPT�B�JS�BERVJSJFOEP�VOB�CVFOB�QSFQBSBDJÆO�FO�NBUFN¶UJDBT�BOUFT�EF�UPNBS�FTUF�DVSTP�EF�/JWFM�"WBO[BEP�
Selección de maestros"M�JHVBM�RVF�FO�FM�DBTP�EF�MPT�FTUVEJBOUFT � MB�TFMFDDJÆO�EF�MPT�NBFTUSPT�RVF�IBCS¶O�EF�FOTFÅBS�FTUF�DVSTP�FT�EFTVNB� JNQPSUBODJB��&TUPT�EFCFO�TFS�QFSTPOBT�EF� SFDPOPDJEB�IBCJMJEBE�FO� MB�FOTFÅBO[B�EF� MBT�NBUFN¶UJDBT�Z�EFCFO�IBCFS�BQSPCBEP�TBUJTGBDUPSJBNFOUF�DVSTPT�VOJWFSTJUBSJPT�EF�1SFD¶MDVMP�Z�$¶MDVMP�%JGFSFODJBM�F�*OUFHSBM�DPO(FPNFUSÁB�"OBMÁUJDB��4F�SFDPNJFOEB �BEFN¶T �IBCFS�UPNBEP�VO�DVSTP�EF��MHFCSB�.PEFSOB�P�EF�5FPSÁB�EF�/ËNFSPT�
Evaluación-PT�FTUVEJBOUFT�JOUFSFTBEPT�FO�PCUFOFS�DS½EJUP�VOJWFSTJUBSJP�EFCFO�UPNBS�MB�QSVFCB�EF�/JWFM�"WBO[BEP�EF�1SFD¶MDVMPRVF�PGSFDF�$PMMFHF�#PBSE��-B�QSVFCB�UJFOF�VOB�EVSBDJÆO�BQSPYJNBEB�EF�EPT�IPSBT�Z�USFJOUB�NJOVUPT�Z�DPOTJTUF�EFFKFSDJDJPT�EF�TFMFDDJÆO�NËMUJQMF�RVF�PGSFDFO�DJODP�BMUFSOBUJWBT�EF�FOUSF�MBT�DVBMFT�TF�TFMFDDJPOB�VOB��&O�VO�GPMMFUP�BQBSUF�BQBSFDFO�USFT�FKFSDJDJPT�BCJFSUPT�FO�MPT�RVF�FM�FTUVEJBOUF�JODMVJS¶�UPEP�FM�QSPDFEJNJFOUP�Z�FM�SB[POBNJFOUPOFDFTBSJP�QBSB�MB�SFTPMVDJÆO�EF�MPT�QSPCMFNBT�
&M�QSPQÆTJUP�EF�MB�QSVFCB�FT�NFEJS�FM�BQSPWFDIBNJFOUP�EFM�FTUVEJBOUF�FO�FM�DVSTP�EF�1SFD¶MDVMP��&TUP�JNQMJDB �RVF�EFCFS¶O�QSPWFFSTF�FYQFSJFODJBT�QBSB�RVF�MPT�DPODFQUPT�BQSFOEJEPT�Z�MBT�EFTUSF[BT�BERVJSJEBT�EVSBOUF�FM�QSJNFS;/5/;<:/�;/�,8439=/6�A�;/�5,6</61,6�,�47�4,:17�./4�-=:;7���;�6/-/;,:37�9=/�/4�/;<=.3,6</�;/�0,5343,:3-/�-76�/4�=;7�./MB�DBMDVMBEPSB�DJFOUÁmDB�QBSB�MB�SFTPMVDJÆO�EF�QSPCMFNBT�
&M�NBFTUSP �QPS�TV�QBSUF �EFCF�IBDFS�FWBMVBDJPOFT�QFSJÆEJDBT�Z�PUPSHBS�VOB�OPUB�RVF�GPSNF�QBSUF�EFM�FYQFEJFOUFBDBE½NJDP�EFM�FTUVEJBOUF�DPNP�FMFDUJWB�P�DPNP�SFRVJTJUP�EF�HSBEVBDJÆO �TFHËO�TFB�FM�DBTP�
Recomendaciones generales
� -BT�DMBTFT�EFCFO�SFVOJSTF���EÁBT�B�MB�TFNBOB �FO�QFSÁPEPT�SFHVMBSFT�EF����NJOVUPT�EJBSJPT �DPNP�NÁOJNP .=:,6</�<7.7�/4�,J7�/;-74,:�
�� &M�OËNFSP�EF�FTUVEJBOUFT�FO�DBEB�TFDDJÆO�OP�EFCF�TFS�NBZPS�EF����
�� 4J� VOB� FTDVFMB� OP� UJFOF� FM�NBFTUSP� EFCJEBNFOUF� DVBMJmDBEP� QBSB� FOTFÅBS� FM� DVSTP � QPESÁB� FTUVEJBSTF� MB�QPTJCJMJEBE�EF�FOWJBS�B�MPT�FTUVEJBOUFT�B�PUSB�FTDVFMB�DFSDBOB�EPOEF�TF�PGSF[DB�
� %FCF� SFEVDJSTF� FO�VO�QFSÁPEP� MB� DBSHB�OPSNBM�EF� USBCBKP�EF� MPT�NBFTUSPT�RVF�FOTFÅBO�FM� DVSTP�EF�OJWFM�BWBO[BEP�� &TUB� SFDPNFOEBDJÆO� PCFEFDF� BM� IFDIP� JOFMVEJCMF� EF� RVF� FTUPT� NBFTUSPT� UFOES¶O� NBZPSFT�SFTQPOTBCJMJEBEFT�Z�OFDFTJUBS¶O�EFEJDBS�N¶T�UJFNQP�B�MB�QSFQBSBDJÆO�EF�MBT�MFDDJPOFT �EF�UBM�GPSNB�RVF�FM�DVSTP�SFTVMUF�N¶T�FGFDUJWP�
�� %FCF�FTUJNVMBSTF�FM�NFKPSBNJFOUP�QSPGFTJPOBM�Z�BDBE½NJDP�EF�MPT�NBFTUSPT �ZB�TFB�NFEJBOUF�TFNJOBSJPT�EF�>/:,67��8:71:,5,;�./�,.3/;<:,53/6<7�/6�;/:>3-37�7�4,�,;3;</6-3,�,�-=:;7;�=63>/:;3<,:37;�
�� -PT�TVQFSWJTPSFT�HFOFSBMFT�EFCFO�SFMBDJPOBSTF�MP�N¶T�B�GPOEP�QPTJCMF�DPO�FM�DVSTP �EF�UBM�GPSNB�RVF�QVFEBOTVQFSWJTBSMP�NFKPS�Z�QSFTUBS�B�MPT�NBFTUSPT�MB�BZVEB�Z�PSJFOUBDJÆO�QFSUJOFOUFT�
�� &T�JNQPSUBOUF�RVF�MPT�NBFTUSPT�TJHBO�FM�UJFNQP�SFDPNFOEBEP�QBSB�DBEB�UFNB��&TUP�BTFHVSBS¶�RVF�MPT�UFNBT�TF�DVCSBO�DPO�MB�QSPGVOEJEBE�OFDFTBSJB�Z�UBNCJ½O�BZVEBS¶�BM�NBFTUSP�B�EJTUSJCVJS�BQSPQJBEBNFOUF�FM�UJFNQP EF�NBOFSB�RVF�TF�QVFEB�DVCSJS�UPEP�FM�NBUFSJBM�BOUFT�EF�MB�GFDIB�QSPHSBNBEB�QBSB�MB�QSVFCB�
4���������������������������������� ���������
����������������%�����&M�PCKFUJWP�QSJODJQBM�EFM�DVSTP�EF�1SFD¶MDVMP�EF�/JWFM�"WBO[BEP�FT�FM�FYQPOFS�BM�FTUVEJBOUF�B�MPT�UFNBT�EF�¶MHFCSB �GVODJPOFT �USJHPOPNFUSÁB �HFPNFUSÁB�BOBMÁUJDB�Z�PUSPT�OFDFTBSJPT�QBSB�FM�FTUVEJP�VMUFSJPS�EFM�$¶MDVMP��4VQPOJFOEP�VOB�CBTF�TÆMJEB�FO�HFPNFUSÁB�QMBOB�Z�¶MHFCSB�JOUFSNFEJB �TF�EFTBSSPMMB�FM�NBUFSJBM�C¶TJDP�FO�UPSOP�BM�DPODFQUP�EF�GVODJÆO�DPNP�UFNB�VOJmDBEPS �EFTUBD¶OEPTF�MVFHP�MBT�GVODJPOFT�QPMJOÆNJDBT �SBDJPOBMFT �FYQPOFODJBMFT �MPHBSÁUNJDBT�Z�USJHPOPN½USJDBT �DPO�VO�CBMBODF�KVJDJPTP�FOUSF�FM�BTQFDUP�UFÆSJDP �FM�BTQFDUP�DPNQVUBDJPOBM�Z�MBT�BQMJDBDJPOFT�B�MB�WJEB�SFBM�FO�DBEB�DBTP��"�DPOUJOVBDJÆO�TF�QSFTFOUB�VOB�EJTUSJCVDJÆOTVHFSJEB�EF�MPT�UFNBT�B�EJTDVUJSTF�FO�FM�DVSTP�DPO�FM�OËNFSP�EF�IPSBT�MFDUJWBT�BTJHOBEBT�QPS�VOJEBE�
6OJEBE�����MHFCSB ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������27:,;
&63.,.�����=6-376/;�A�;=;�,843-,-376/;����������������������������������������������������������������������������������������������27:,;
&63.,.�����=6-376/;�87436K53-,;�A�:,-376,4/;�����������������������������������������������������������������������������������27:,;
6OJEBE����'VODJPOFT�FYQPOFODJBMFT�Z�MPHBSÁUNJDBT ������������������������������������������������������������������������� �27:,;
6OJEBE����'VODJPOFT�USJHPOPN½USJDBT��������������������������������������������������������������������������������������������������27:,;
6OJEBE����5SJHPOPNFUSÁB�"OBMÁUJDB��������������������������������������������������������������������������������������������������������IPSBT
&63.,.����$3;</5,;�./�/-=,-376/;�/�36/-=,-376/;�����������������������������������������������������������������������������IPSBT
6OJEBE����'VOEBNFOUPT�EF�(FPNFUSÁB�"OBMÁUJDB ��������������������������������������������������������������������������������27:,;
&63.,.���� <:7;�</5,;���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������27:,;
�%7<,4������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������27:,;
4JO� QSFUFOEFS� TFÅBMBS� VOB� BQMJDBDJÆO� QBSB� DBEB� VOP� EF� MPT� UFNBT� JOEJDBEPT � IBDFNPT� BMHVOBT� PCTFSWBDJPOFT��&O� $¶MDVMP � BQBSUF� EF� MBT� PQFSBDJPOFT� GVOEBNFOUBMFT� EF� FTB� EJTDJQMJOB � DPO� GSFDVFODJB� FT� OFDFTBSJP� TJNQMJmDBSFYQSFTJPOFT� BMHFCSBJDBT� P� OVN½SJDBT� QBSB� PCUFOFS� VO� SFTVMUBEP� mOBM � FTDSJCJS� FYQSFTJPOFT� FO� GPSNB� GBDUPSJ[BEB SFTPMWFS�EFTJHVBMEBEFT �BMHVOBT�DPO�WBMPS�BCTPMVUP �P�VUJMJ[BS�JEFOUJEBEFT�BMHFCSBJDBT�P�USJHPOPN½USJDBT�DPO�FM�mO�EF�EFTBSSPMMBS�DJFSUBT�GÆSNVMBT�QBSB�DPNQMFUBS�MB�TPMVDJÆO�EF�BMHVOPT�UJQPT�EF�QSPCMFNBT�
"TÁ �QPS�FKFNQMP �MBT�FYQSFTJPOFT�FRVJWBMFOUFT�RVF�BQBSFDFO�B�DPOUJOVBDJÆO�OPT�GBDJMJUBO�TV�VTP�FO�FM�DVSTP�EF�D¶MDVMP.30/:/6-3,4�/�36</1:,4�
1
x43 � x− 4
3
-0)���A�-0)���� �������-0) �� �
%02 ��A %02� ��� %02 6 2'/ �
MDVMP�Z �BM�DPNQMFUBSMP �FM�FTUVEJBOUF�EFCF�TFS�DBQB[�EF�QPOFSMBT�5PEBT�FTUBT�EFTUSF[BT�TF�BERVJFSFO�B�USBW½T�EFM�DVSTP�EF�1SFD¶MFO�QS¶DUJDB��5BNCJ½O�TF�BERVJFSFO�PUSPT�DPOPDJNJFOUPT�FTFODJBMFT�QBSB�UFOFS�½YJUP�FO�FM�DVSTP�EF�$¶MDVMP��1PESÁBNPT�NFODJPOBSFOUSF�FMMPT�MPT�TJHVJFOUFT��SFTPMWFS�TJTUFNBT�EF�FDVBDJPOFT�MJOFBMFT�DPO�EPT�P�N¶T�JODÆHOJUBT �IBMMBS�MB�FDVBDJÆO�EF�VOB�SFDUBB�QBSUJS�EF�DJFSUBT�DPOEJDJPOFT �USB[BS�DPO�SBQJEF[�HS¶mDBT�EF�GVODJPOFT�MJOFBMFT�Z�GVODJPOFT�DVBES¶UJDBT�Z�DBMDVMBS�TVNBT�EF8:71:/;376/;�,:3<5I<3-,;�A�1/75I<:3-,;�
��������������� ���������� �� ����������������������������������������� ������������� ����������� ���������������������������� �������� ������������� ������ ���������������������������������� � ������ ������������������ ������������������������������������������������������������������� ��� ������ ������������ ��� ��������� ������ ������������������ �������� ������ ������������� ��� ���������������������������!��
5���������������������������������� ���������
Objetivos generales
�� 'BDJMJUBS�FM�EFTBSSPMMP�EF�CVFOPT�I¶CJUPT�EF�FTUVEJP9=/�8/:53<,6�,�47;�/;<=.3,6</;�-=5843:�-76�/4�:317:EF�MPT�DVSTPT�EF�NBUFN¶UJDBT�EF�OJWFM�VOJWFSTJUBSJP�
��� 'BNJMJBSJ[BS�BM�FTUVEJBOUF�DPO�FM�WPDBCVMBSJP�ZTJNCPMJTNP�NBUFN¶UJDP�RVF�VUJMJ[BS¶�FO�TVT�DVSTPTQPTUFSJPSFT�EF�$JFODJBT �*OHFOJFSÁB �"ENJOJTUSBDJÆOEF�&NQSFTBT�Z�PUSBT�¶SFBT�EFM�TBCFS�
���� 1SPWFFS�BM�FTUVEJBOUF�MBT�EFTUSF[BT�C¶TJDBT�EF�MHFCSB �5SJHPOPNFUSÁB�Z�(FPNFUSÁB�"OBMÁUJDB�RVF�MFQFSNJUBO�DPNQMFUBS�MB�QSFQBSBDJÆO�NÁOJNB�SFRVFSJEBQBSB�RVF�QVFEB�JOJDJBSTF�FO�MPT�DVSTPT�EF�$¶MDVMP�
*7� �63-3,:�,4�/;<=.3,6</�/6�/4�=;7�./�4,;�0=6-376/;�8,:,�57./4,:�;3<=,-376/;�:/,4/;��
Unidad 1: Álgebra (19 horas)
���������!��������"������� %FmOJS�WBMPS�BCTPMVUP
�� 4JNQMJmDBS�FYQSFTJPOFT�DPO�WBMPS�BCTPMVUP
�� %FmOJS�MB�VOJEBE�JNBHJOBSJB ��� %FmOJS�VO�OËNFSP�DPNQMFKP�EF�MB�GPSNB �� ���� )BMMBS�FM�DPOKVHBEP�EF�VO�OËNFSP�DPNQMFKP�
���� #/,43B,:�78/:,-376/;�./�;=5,��:/;<,��5=4<3843-,-3K6Z�EJWJTJÆO�EF�OËNFSPT�DPNQMFKPT
�� 4JNQMJmDBS�QPUFODJBT�EF��)� 4JNQMJmDBS�FYQSFTJPOFT�RVF�FOWVFMWFO�SBÁDFT�
DVBESBEBT�EF�OËNFSPT�OFHBUJWPT�
�� $BNCJBS�VO�FYQPOFOUF�GSBDDJPOBSJP�FO�VOB�SBÁ[�Z>3-/>/:;,
�� "QMJDBS�MBT�MFZFT�EF�FYQPOFOUFT�QBSB�TJNQMJmDBS�/@8:/;376/;�-76�/@876/6</;�:,-376,4/;
�� 4JNQMJmDBS�SBEJDBMFT
�� $=5,:��:/;<,:��5=4<3843-,:��.3>3.3:�A�:,-376,43B,:�:,.3-,4/;
.� #/;74>/:�/-=,-376/;� DPO�WBMPS�BCTPMVUP�� -76�:,.3-,4/;�� :,-376,4/;
�� 3FTPMWFS�FDVBDJPOFT�DVBES¶UJDBT�QPS� 0,-<7:3B,-3K6�� FYUSBDDJÆO�EF�SBÁDFT�� -7584/<,:�/4�-=,.:,.7 � GÆSNVMB�DVBES¶UJDB
� 3FTPMWFS�VOB�FDVBDJÆO�MJUFSBM�QBSB�MB�WBSJBCMF�36.3-,.,�
!�!! 3FTPMWFS�JOFDVBDJPOFT�DPO�VOB�TPMB�WBSJBCMF� 436/,4/;�� DPO�WBMPS�BCTPMVUP�� DVBES¶UJDBT � :,-376,4/;
"� &YQSFTBS�FM�DPOKVOUP�TPMVDJÆO�EF�VOB�JOFDVBDJÆO�FO�GPSNB�HS¶mDB�Z�FO�OPUBDJÆO�EF�JOUFSWBMP
���� ��� ������������������ $3;</5,;�6=5I:3-7;����27:,;�
� &M�DPOKVOUP�EF�MPT�OËNFSPT�SFBMFT�Z�TVT8:783/.,./;��:/8,;7�
�� 7BMPS�BCTPMVUP�� /ËNFSPT�DPNQMFKPT,� %FmOJDJÆOC� 8/:,-376/;-� !7</6-3,;�./��
�� �@876/6</;�A�:,.3-,4/;����27:,;�� �@876/6</;�/6</:7;�� �/A/;�./�/@876/6</;�� �@876/6</;�:,-376,4/; � #,.3-,4/;,� 4JNQMJmDBDJÆOC� 8/:,-376/;-� #,-376,43B,-3K6
�� &DVBDJPOFT�DPO�VOB�TPMB�WBSJBCMF �FDVBDJPOFT�43</:,4/;����27:,;�
� 7BMPS�BCTPMVUP�� $VBES¶UJDBT�P�SFEVDJCMFT�B�DVBES¶UJDBT,� �,-<7:3B,-3K6C� &YUSBDDJÆO�EF�SBÁDFT-� 'ÆSNVMB�DVBES¶UJDB.� �7584/<,:�/4�-=,.:,.7
�� #,.3-,4/; � #,-376,4/;�� �-=,-376/;�43</:,4/;
�� *OFDVBDJPOFT�DPO�VOB�TPMB�WBSJBCMF���IPSBT� �36/,4/;�� 7BMPS�BCTPMVUP�� $VBES¶UJDBT � #,-376,4/;
��������������������������%�����
6���������������������������������� ���������
Unidad 2: F unciones y sus aplicaciones (21 horas)
���������!��������"������� %FmOJS�QMBOP
�� �7-,43B,:�8=6<7;�/6�/4�84,67
�� %FmOJS�SFMBDJÆO
�� 5SB[BS�HS¶mDBT�EF�SFMBDJPOFT�IBDJFOEP�VOB�UBCMB�EF�>,47:/;
�� %BEB�VOB�SFMBDJÆO �EFUFSNJOBS�MB�TJNFUSÁB�DPOSFTQFDUP�B�MPT�FKFT�Z�DPO�SFTQFDUP�BM�PSJHFO�./4�84,67
���� �,.,�=6,�:/4,-3K6��./</:536,:�4,;�36</:;/--376/;DPO�MPT�FKFT�EFM�QMBOP
�� �,.7;�.7;�8=6<7;�/6�/4�84,67��2,44,:�4,�.3;<,6-3,/6<:/�/447;
)� 3FTPMWFS�QSPCMFNBT�EF�BQMJDBDJÆO�EF�EJTUBODJB
�� %FmOJS�QVOUP�NFEJP�EF�VO�TFHNFOUP�FO�FM�QMBOP
�� �,.7;�.7;�8=6<7;�/6�/4�84,67��2,44,:�/4�8=6<7�5/.37/6<:/�/447;
�� 3FTPMWFS�QSPCMFNBT�EF�BQMJDBDJÆO�EF�QVOUP�NFEJP
�� %FmOJS�MP�RVF�FT�DÁSDVMP
.� �,.7;�/4�-/6<:7�A�/4�:,.37��./</:536,:�4,�/-=,-3K6FTU¶OEBS�EFM�DÁSDVMP
�� %BEB�MB�FDVBDJÆO�EFM�DÁSDVMP�FO�GPSNB�FTU¶OEBS����� � ����������� ������ ��./</:536,:�/4�-/6<:7�A�/4�:,.37
� %BEB�MB�FDVBDJÆO�EFM�DÁSDVMP�FO�MB�GPSNB�HFOFSBM �SFQSFTFOUBSMB�FO�MB�GPSNB�FTU¶OEBS
!�!! %FmOJS�GVODJÆO
"� 3FQSFTFOUBS�VOB�GVODJÆO�FO�GPSNB�EF�UBCMB �HS¶mDB GÆSNVMB�Z�WFSCBM
#� �,.,�=6,�:/4,-3K6�/6�=6,�./�;=;�.30/:/6</;:/8:/;/6<,-376/;��./</:536,:�;3�/;�0=6-3K6�7�67
$� #/8:/;/6<,:�=6,�0=6-3K6�=<343B,6.7�4,�67<,-3K6 ���� ��� �%� �>,4=,:�=6,�0=6-3K6�.,.,�/6�-=,49=3/:,�./�;=;
:/8:/;/6<,-376/;
&� �/</:536,:�/4�.753637�A�-,587�./�>,47:/;�./�=6,�0=6-3K6�.,.,��/6�-=,49=3/:,�./�;=;�:/8:/;/6<,-376/;
7�77 %BEB�MB�HS¶mDB�EF�VOB�GVODJÆO �EFUFSNJOBS� TJNFUSÁB�� .K6./�/;�-:/-3/6</�7�./-:/-3/6</�� ;3�/;�8,:�7�358,: � TVT�JOUFSTFDDJPOFT�DPO�MPT�FKFT
'� 6UJMJ[BS�MBT�U½DOJDBT�EF�USBTMBDJPOFT�EF�HS¶mDBT�QBSBUSBOTGPSNBS�MBT�HS¶mDBT�EF�GVODJPOFT�FTQFDJBMFT�
� ���� ��� ����:��
�� ���� ��� ���� �
�� ���� ��� �����
� ���� ��� �����
�� ���� ��� ������
(� 5SB[BS�HS¶mDBT�EF�GVODJPOFT�EFmOJEBT�QPS�QFEB[PT
)� !,:,�.7;�0=6-376/;�� A�� ��EFmOJS��� ��� �� � C�� ���� ú�� �� ���� ��
;� �0/-<=,:�78/:,-376/;�-76�0=6-376/;�� ��� �� � C�� ���� ú�� �� ���� ��/6�;=;�.30/:/6</;�:/8:/;/6<,-376/;
��� �/</:536,:�/4�.753637�./�� ��� �� � C� �� � ú�� �� ���� ��
��� %FmOJS�DPNQPTJDJÆO�EF�GVODJPOFT
��� $PNQPOFS�EPT�P�N¶T�GVODJPOFT�FO�DVBMRVJFSB�EF�TVT�:/8:/;/6<,-376/;
��� �/</:536,:�/4�.753637�./�=6,�-7587;3-3K6�./�0=6-376/;�/6�-=,49=3/:,�./�;=;�:/8:/;/6<,-376/;
��� �/</:536,:�;3�=6,�0=6-3K6�/;�=67�,�=67�/6-=,49=3/:,�./�;=;�:/8:/;/6<,-376/;
��� %FmOJS�MB�JOWFSTB�EF�VOB�GVODJÆO
��� %BEB�VOB�GVODJÆO�JOWFSUJCMF�FO�DVBMRVJFSB�EF�TVT�:/8:/;/6<,-376/;��./</:536,:�4,�36>/:;,
���� ��� ������������������ �4�84,67�-,:</;3,67�� �27:,;�
� %FmOJDJPOFT�Z�HS¶mDBT�EF�SFMBDJPOFT,� 4JNFUSÁB
�� �3;<,6-3,�A�8=6<7�5/.37�� $ÁSDVMPT
�� �=6-376/;�/6�1/6/:,4����27:,;�� %FmOJDJPOFT�Z�DPODFQUPT�HFOFSBMFT,� �7<,-3K6C� .½UPEPT�EF�SFQSFTFOUBS�VOB�GVODJÆO
�� �>,4=,-3K6��� �753637�A�-,587�./�>,47:/; � (S¶mDBT�Z�USBTMBDJPOFT�FO�FM�QMBOP,� �:/-3/6</��./-:/-3/6</C� !,:�7�358,:-� *OUFSTFDDJPOFT�DPO�MPT�FKFT.� (S¶mDBT�EF�GVODJPOFT�FTQFDJBMFTA�;=;�<:,;4,-376/;
/� 'VODJPOFT�EFmOJEBT�QPS�QFEB[PT
�� �MHFCSB�Z�DPNQPTJDJÆO�EF�GVODJPOFT
�� �=6-376/;�36>/:;,;
7���������������������������������� ���������
Unidad 3: Funciones polinómicas y racionales (20 horas)
���������!��������"������� %FmOJS�QFOEJFOUF�EF�VOB�SFDUB�OP�WFSUJDBM
�� )BMMBS�MB�QFOEJFOUF�EF�VOB�SFDUB�EBEPT�EPT�QVOUPT
�� &TDSJCJS�MB�FDVBDJÆO�EF�VOB�SFDUB�EBEPT�VO�QVOUP�Z4,�8/6.3/6</
�� &TDSJCJS�MB�FDVBDJÆO�EF�VOB�SFDUB�IPSJ[POUBMA�./�=6,�>/:<3-,4
�� $BNCJBS�MB�FDVBDJÆO�EF�VOB�SFDUB�B�MB�GPSNB�HFOFSBM
���� %FmOJS�SFDUBT�QBSBMFMBT�Z�SFDUBT�QFSQFOEJDVMBSFT
�� �/</:536,:�;3�.7;�:/-<,;�;76�8,:,4/4,;�7�8/:8/6.3-=4,:/;
)� &TDSJCJS�MB�FDVBDJÆO�EF�VOB�SFDUB�EBEPT�VO�QVOUP�Z4,�/-=,-3K6�./�7<:,�:/-<,�8,:,4/4,�7�8/:8/6.3-=4,:�,/;<,
�� %FmOJS�MB�GVODJÆO�MJOFBM
�� 3FTPMWFS�QSPCMFNBT�EF�BQMJDBDJÆO�RVF�TF�QVFEBO�57./4,:�-76�=6,�0=6-3K6�436/,4
�� %FmOJS�GVODJÆO�DVBES¶UJDB
�� �,.,�4,�/-=,-3K6 ��� ���������� �DBNCJBSMB,�4,�07:5,���� ����� A��A �����
.� %BEB�VOB�GVODJÆO�DVBES¶UJDB� �/</:536,:�/4�>I:<3-/�A�<387�./�-76-,>3.,.�� �/</:536,:�/4�8=6<7�./�36</:;/--3K6�-76�/4�
FKF�EF���� )BMMBS�MPT�QVOUPT�EF�JOUFSTFDDJÆO�DPO�FM�FKF�EF���;3�47;�2,A��
� 5SB[BS�MB�HS¶mDB �FWBMVBOEP�QVOUPT�,.3-376,4/;�;3�/;�6/-/;,:37
�� 3FTPMWFS�QSPCMFNBT�WFSCBMFT�EF�N¶YJNPT�Z�NÁOJNPTZ�EF�DBÁEB�MJCSF�RVF�TF�QVFEBO�NPEFMBS�QPS�NFEJPEF�VOB�GVODJÆO�DVBES¶UJDB
� %FmOJS�GVODJÆO�QPMJOÆNJDB�
!�!! #/-767-/:�=6,�0=6-3K6�87436K53-,�.,.,�4,�/-=,-3K6
"� 5SB[BS�HS¶mDBT�EF�GVODJPOFT�QPMJOÆNJDBT�EF�MB�GPSNB���� ��� ���� ���� �A��������
#� �,.,�=6,�0=6-3K6�87436K53-,��=;,:�.3>3;3K6�;36<I<3-,A�/4�</7:/5,�./4�:/;3.=7�8,:,�2,44,: ���� ��
$� �,.,�=6,�0=6-3K6�87436K53-,�./�1:,.7�� ����=;,:�.3>3;3K6�;36<I<3-,�A�/4�</7:/5,�./4�0,-<7:�8,:,�./</:536,:�;3�� A�� ��/;�=6�0,-<7:�./4�874367537
%� )BMMBS�UPEPT�MPT�DFSPT�SBDJPOBMFT�EF�VO�QPMJOPNJP�=<343B,6.7�/4�</7:/5,�./�47;�-/:7;�:,-376,4/;
&� �@8:/;,:�=6�874367537�./�1:,.7 �����-757QSPEVDUP�EF�GBDUPSFT�MJOFBMFT�P�DVBES¶UJDPTJSSFEVDJCMFT
7�77 �,.7�=6�874367537�-757�8:7.=-<7�./�0,-<7:/;MJOFBMFT�P�DVBES¶UJDPT�JSSFEVDJCMFT �EFUFSNJOBS
� 47;�-/:7;�:/,4/;�./4�874367537�A�;=5=4<3843-3.,.
�� MPT�QVOUPT�EF�JOUFSTFDDJÆO�DPO�FM�FKF�EF���� EÆOEF�MB�HS¶mDB�DSV[B�P�TPMP�UPDB�FM�FKF�EF � � 47;�36</:>,47;�.76./�� ,;=5/�>,47:/;�87;3<3>7;�7�6/1,<3>7;
'� �76;<:=3:�=6�874367537�.,.7;�;=;�-/:7;��
(� &;,:�/4�</7:/5,�./4�>,47:�36</:5/.37�8,:,�,8:7@35,:47;�-/:7;�3::,-376,4/;
)� %FmOJS�GVODJÆO�SBDJPOBM�
;� )BMMBS�FM�EPNJOJP�Z�DBNQP�EF�WBMPSFT�EF�VOB�GVODJÆO�:,-376,4�
��� %FUFSNJOBS�BTÁOUPUBT�IPSJ[POUBMFT�Z�WFSUJDBMFT�./�=6,�0=6-3K6�:,-376,4�
��� %FUFSNJOBS�MPT�QVOUPT�EF�JOUFSTFDDJÆO�DPO�MPT�FKFT./�=6,�0=6-3K6�:,-376,4
��� 5SB[BS�MB�HS¶mDB�EF�VOB�GVODJÆO�SBDJPOBM�
���� ��� ������������������ �=6-376/;�436/,4/;����27:,;�
� �-=,-376/;�./�4,�:/-<,�� (S¶mDBT�QFOEJFOUFT�F�JOUFSTFDDJPOFT�DPO�MPT�
FKFT�� #/-<,;�8,:,4/4,;�A�8/:8/6.3-=4,:/; � %FmOJDJÆO�EF�VOB�GVODJÆO�MJOFBM�� 1SPCMFNBT�EF�BQMJDBDJÆO
�� 'VODJPOFT�DVBES¶UJDBT���IPSBT� %FmOJDJÆO��� (S¶mDB�W½SUJDF �DPODBWJEBE�� *OUFSTFDDJPOFT�DPO�MPT�FKFT � "QMJDBDJPOFT�N¶YJNPT�Z�NÁOJNPT
�� �=6-376/;�87436K53-,;�./�1:,.7�5,A7:9=/����IPSBT
� %FmOJDJÆO�Z�HSBEP�� �3>3;3K6�;36<I<3-,�� %/7:/5,�./4�:/;3.=7 � %/7:/5,�./4�0,-<7:�� �/:7;��-76�I60,;3;�/6�-/:7;�:,-376,4/;
Z�UFPSFNB�GVOEBNFOUBM�EFM�¶MHFCSB�� (S¶mDBT
�� �=6-376/;�:,-376,4/;����27:,;�� %FmOJDJÆO�� �753637�A�-,587�./�>,47:/;�� "TÁOUPUBT�F�JOUFSTFDDJPOFT�DPO�MPT�FKFT � (S¶mDBT�
8���������������������������������� ���������
Unidad 4: Funciones exponenciales y logarítmicas (14 horas)
���������!��������"������� %FmOJS�MB�GVODJÆO�FYQPOFODJBM����� ��� ������
�� "QMJDBS�MBT�DBSBDUFSÁTUJDBT�QSJODJQBMFT�EF�MB�GVODJÆOFYQPOFODJBM�FO�MB�SFTPMVDJÆO�EF�QSPCMFNBT
� �753637�A�-,587�./�>,47:/;�� *OUFSTFDDJPOFT�DPO�MPT�FKFT�� �:/-353/6<7�A�./-:/-353/6<7 � "TÁOUPUB
�� 3FDPOPDFS�Z�USB[BS�MBT�HS¶mDBT�EF�MBT�GVODJPOFTFYQPOFODJBMFT�C¶TJDBT
�� %FmOJS�MB�GVODJÆO�MPHBSÁUJNJDB
�� "QMJDBS�MBT�DBSBDUFSÁTUJDBT�QSJODJQBMFT�EF�MB�GVODJÆOMPHBSÁUNJDB�
� �753637�A�-,587�./�>,47:/;�� *OUFSTFDDJPOFT�DPO�MPT�FKFT�� �:/-353/6<7�A�./-:/-353/6<7 � "TÁOUPUB
���� 3FDPOPDFS�Z�USB[BS�MBT�HS¶mDBT�EF�MBT�GVODJPOFTMPHBSÁUNJDBT�C¶TJDBT
�� �843-,:�4,;�8:783/.,./;�./�471,:3<57;�8,:,� />,4=,:�471,:3<57;�� /@8:/;,:�=6�471,:3<57�-757�=6,�;=5,
P�EJGFSFODJB�EF�NËMUJQMFT�MPHBSJUNPT�Z>3-/>/:;,�
)� 3FTPMWFS�FDVBDJPOFT�MPHBSÁUNJDBT
�� #/;74>/:�/-=,-376/;�/@876/6-3,4/;
�� 3FTPMWFS�QSPCMFNBT�EF�BQMJDBDJÆO�RVF�TF�QVFEBO�57./4,:�87:�5/.37�./�=6,�0=6-3K6�/@876/6-3,4�7MPHBSÁUNJDB
���� ��� ������������������ 'VODJPOFT�FYQPOFODJBMFT���IPSBT
�� %FmOJDJÆO �FWBMVBDJÆO �EPNJOJP�Z�DBNQP�EF�>,47:/;
� (S¶mDBT�� �-=,-376/;�/@876/6-3,4/;�/;8/-3,4/;�� �843-,-376/;
�� 'VODJÆO�MPHBSÁUNJDB���IPSBT� %FmOJDJÆO �EPNJOJP �DBNQP�EF�WBMPSFT�A�/>,4=,-3K6
�� (S¶mDBT�� !:783/.,./; � &DVBDJPOFT�FYQPOFODJBMFT�Z�MPHBSÁUNJDBT�� �843-,-376/;
Unidad 5: Funciones trigonométricas (20 horas)
���������!��������"������� %FmOJS�¶OHVMP
�� $MBTJmDBS�¶OHVMPT�TFHËO�TVT�NFEJEBT
�� $BNCJBS�EF�HSBEPT�B�SBEJBOFT�Z�WJDFWFSTB
�� �,4-=4,:�4,�47613<=.�./�=6�,:-7
�� $BMDVMBS�FM�¶SFB�EF�VO�TFDUPS�DJSDVMBS
���� %FmOJS�MBT�GVODJPOFT�USJHPOPN½USJDBT�EF�¶OHVMPTBHVEPT�FO�VO�USJ¶OHVMP�SFDU¶OHVMP
�� �767-/:�A�,843-,:�4,;�3./6<3.,./;�<:317675I<:3-,;0=6.,5/6<,4/;
)� 3FTPMWFS�USJ¶OHVMPT�SFDU¶OHVMPT
�� 3FTPMWFS�QSPCMFNBT�EF�BQMJDBDJÆO�EF�USJ¶OHVMPT�SFDU¶OHVMPT
�� %FmOJS�¶OHVMPT� FO�QPTJDJÆO�FTU¶OEBS�� -=,.:,6<,4/;�� -7</:536,4/; � ./�:/0/:/6-3,
�� %BEP�VO�¶OHVMP�FO�FM�QMBOP �IBMMBS� ¶OHVMPT�DPUFSNJOBMFT�� TV�¶OHVMP�EF�SFGFSFODJB
�� %FmOJS�MBT�GVODJPOFT�USJHPOPN½USJDBT�QBSB�VO�¶OHVMP/6�/4�84,67�/6�<I:5367;�./������A �
.� �/</:536,:�/4�>,47:�/@,-<7�./�4,;�0=6-376/;�USJHPOPN½USJDBT�EF�MPT�¶OHVMPT�FTQFDJBMFT
�� %FmOJS�FM�DÁSDVMP�VOJUBSJP
� %FmOJS�MBT�GVODJPOFT�USJHPOPN½USJDBT�EF�OËNFSPT�:/,4/;
!�!! &WBMVBS�GVODJPOFT�USJHPOPN½USJDBT�QBSB�VO�OËNFSP:/,4�.,.7
"� %FmOJS�BNQMJUVE �QFSÁPEP�Z�DBNCJP�EF�GBTF�EF�VOB�0=6-3K6�<:317675I<:3-,
#� 3FDPOPDFS�MBT�DBSBDUFSÁTUJDBT�QSJODJQBMFT�EF�DBEB=6,�./�4,;�0=6-376/;�<:317675I<:3-,;
� �753637�A�-,587�./�>,47:/;�� *OUFSTFDDJPOFT�DPO�MPT�FKFT�� 7BMPSFT�N¶YJNPT�Z�WBMPSFT�NÁOJNPT � �6</:>,47;�.76./�/;�-:/-3/6</�7�./-:/-3/6</
$� 5SB[BS�HS¶mDBT�EF�GVODJPOFT�USJHPOPN½USJDBT
9���������������������������������� ���������
���� ��� ������������������ 'VODJPOFT�USJHPOPN½USJDBT�EF�OËNFSPT�SFBMFT
���27:,;�� &M�DÁSDVMP�VOJUBSJP�� %FmOJDJÆO�EF�GVODJPOFT�USJHPOPN½USJDBT�EF�
OËNFSPT�SFBMFT�� *EFOUJEBEFT�C¶TJDBT � (S¶mDBT
�� 'VODJPOFT�USJHPOPN½USJDBT�EF�¶OHVMPT���IPSBT� F61=47;�A�;=;�5/.3.,;�� 'VODJPOFT�USJHPOPN½USJDBT�EF�¶OHVMPT�BHVEPT�� "QMJDBDJPOFT�BM�USJ¶OHVMP�SFDU¶OHVMP � F61=47;,� FO�QPTJDJÆO�FTU¶OEBSC� -7</:536,4/;-� -=,.:,6<,4/;.� ./�:/0/:/6-3,
�� �=6-376/;�<:317675I<:3-,;�8,:,�-=,49=3/:¶OHVMP
Unidad 6: Trigonometría Analítica(25 horas)
���������!��������"������� 4JNQMJmDBS�FYQSFTJPOFT�USJHPOPN½USJDBT
�� 7FSJmDBS�JEFOUJEBEFT�USJHPOPN½USJDBT
�� �843-,:�4,;�0K:5=4,;�./�� TVNB�Z�EJGFSFODJB�EF�¶OHVMPT�� EPCMF�¶OHVMP�� NFEJP�¶OHVMP
�� %FmOJS�MBT�GVODJPOFT�USJHPOPN½USJDBT�JOWFSTBT�EF;/67��-7;/67�A�<,61/6</��A
� ./</:536,:�/4�.753637�A�-,587�./�>,47:/;�� USB[BS�MBT�HS¶mDBT
�� �>,4=,:�0=6-376/;�<:317675I<:3-,;�36>/:;,;
���� #/;74>/:�/-=,-376/;�<:317675I<:3-,;�/6�/4�36</:>,47*����ʌ+
�� )BMMBS�MB�TPMVDJÆO�HFOFSBM�EF�VOB�FDVBDJÆO<:317675I<:3-,
)� %FmOJS�MB�MFZ�EF�TFOPT
�� 3FTPMWFS�USJ¶OHVMPT�PCMJDV¶OHVMPT�VTBOEP�MB�MFZ�EF�TFOPT�EJTDVUJS�FM�DBTP�BNCJHVP
�� 3FTPMWFS�QSPCMFNBT�EF�BQMJDBDJÆO�VTBOEP�MB4/A�./�;/67;
�� %FmOJS�MB�MFZ�EF�DPTFOPT
�� 3FTPMWFS�USJ¶OHVMPT�PCMJDV¶OHVMPT�VTBOEP�MB�MFZ�EF�-7;/67;
.� �843-,:�4,�4/A�./�-7;/67;�,�4,�:/;74=-3K6�./�QSPCMFNBT
���� ��� ������������������ �./6<3.,./;�<:317675I<:3-,;����27:,;�
�� 'ÆSNVMBT�TVNB �EJGFSFODJB �EPCMF�Z�NFEJP�¶OHVMP���27:,;�
�� �=6-376/;�<:317675I<:3-,;�36>/:;,;�./�;/67��-7;/67Z�UBOHFOUF���IPSBT
�� �-=,-376/;�<:317675I<:3-,;����27:,;�
�� �/A/;�./�;/67�A�-7;/67�A�;=;�,843-,-376/;����27:,;�
Unidad 7: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones (15 horas)
���������!��������"������� #/;74>/:�;3;</5,;�./�/-=,-376/;�436/,4/;�/6�.7;�A�
USFT�WBSJBCMFT�VTBOEP� 5I<7.7�./�;=;<3<=-3K6�� 5I<7.7�./�/43536,-3K6
�� �/</:536,:�;3�=6�;3;</5,�./�/-=,-376/;�436/,4/;/;�-76;3;</6</��36-76;3;</6</�7�-76;3;</6</EFQFOEJFOUF�Z�EFUFSNJOBS�FM�OËNFSP�EF�TPMVDJPOFT
�� %FmOJS�MP�RVF�FT�VOB�NBUSJ[
�� �/</:536,:�/4�<,5,J7�./�=6,�5,<:3B
�� �/</:536,:�47;�/4/5/6<7;� ���/6�=6,�5,<:3B����� �/</:536,:�4,;�-76.3-376/;�6/-/;,:3,;�8,:,�9=/�.7;5,<:3-/;�;/,6�31=,4/;
�� 3FBMJ[BS�PQFSBDJPOFT�C¶TJDBT�DPO�NBUSJDFT� $=5,�A�:/;<,�� .VMUJQMJDBDJÆO�FTDBMBS�� .VMUJQMJDBDJÆO�EF�NBUSJDFT
)� &TDSJCJS�MB�NBUSJ[�EF�DPFmDJFOUFT�Z�MB�NBUSJ[,=5/6<,.,�./�=6�;3;</5,�./�/-=,-376/;�436/,4/;
�� 6UJMJ[BS�PQFSBDJPOFT�GVOEBNFOUBMFT�TPCSF�mMBT�QBSB:/.=-3:�=6,�5,<:3B�,4�;3;</5,�/;-,476,.7
�� #/;74>/:�=6�;3;</5,�./�/-=,-376/;�436/,4/;�:/.=-3/6.7�4,�5,<:3B�,=5/6<,.,�
�� %FmOJS�FM�EFUFSNJOBOUF�EF�VOB�NBUSJ[�DVBESBEB
�� )BMMBS�FM�EFUFSNJOBOUF�EF�VOB�NBUSJ[
.� #/;74>/:�;3;</5,;�./�/-=,-376/;�436/,4/;��C��A ��C���=;,6.7�4,�:/14,�./��:,5/:
10���������������������������������� ���������
�� #/;74>/:�;3;</5,;�./�/-=,-376/;�67�436/,4/;�,�<:,>I;�./�47;�5I<7.7;
� HS¶mDP�� BMHFCSBJDP,� ;=;<3<=-3K6C� /43536,-3K6
� #/;74>/:�;3;</5,;�./�36/-=,-376/;�436/,4/;�/6�.7;WBSJBCMFT�QPS�FM�N½UPEP�HS¶mDP
!�!! 6UJMJ[BS�FM�N½UPEP�HS¶mDP�QBSB�SFTPMWFS�QSPCMFNBT./�,843-,-3K6�57./4,.7;�87:�=6�;3;</5,�./�JOFDVBDJPOFT�MJOFBMFT�FO�EPT�WBSJBCMFT
���� ��� ������������������ $3;</5,;�./�/-=,-376/;�436/,4/;����27:,;�
� .½UPEPT�HS¶mDP�Z�BMHFCSBJDP�� .½UPEP�EF�SFEVDDJÆO�EF�NBUSJDFT��� �/</:536,6</; � #/14,�./��:,5/:�� �843-,-376/;
�� $3;</5,;�./�/-=,-376/;�� �436/,4/;�� �27:,;�� .½UPEP�HS¶mDP
�� .½UPEP�BMHFCSBJDP
�� $3;</5,;�./�36/-=,-376/;�436/,4/;����27:,;�� (S¶mDBT�� �843-,-376/;
Unidad 8: F undamentos de Geometría Analítica
(8 horas)
���������!��������"������� %FmOJS�HFPN½USJDBNFOUF�MB�QBS¶CPMB
�� %BEB�MB�FDVBDJÆO�EF�VOB�QBS¶CPMB �EFUFSNJOBS� /4�>I:<3-/�� /4�07-7�� 4,�.3:/-<:3B � MB�HS¶mDB
�� %FUFSNJOBS�MB�FDVBDJÆO�EF�VOB�QBS¶CPMB� EBEB�MB�HS¶mDB�� 9=/�-=584,�-76�=6,;�-76.3-376/;�.,.,;
�� %FmOJS�HFPN½USJDBNFOUF�VOB�FMJQTF
�� �,.,�4,�/-=,-3K6�./�4,�/438;/��./</:536,:� 47;�>I:<3-/;�� FM�FKF�NBZPS�� FM�FKF�NFOPS � 47;�07-7;�� MB�HS¶mDB
���� �/</:536,:�4,�/-=,-3K6�./�=6,�/438;/� EBEB�MB�HS¶mDB�� 9=/�-=584,�-76�=6,;�-76.3-376/;�.,.,;
�� %FmOJS�HFPN½USJDBNFOUF�VOB�IJQ½SCPMB
)� %BEB�MB�FDVBDJÆO�EF�VOB�IJQ½SCPMB �EFUFSNJOBS� 47;�>I:<3-/;�� FM�FKF�USBOTWFSTBM�Z�FM�FKF�DPOKVHBEP�� MBT�BTÁOUPUBT � 47;�07-7;�� MB�HS¶mDB
�� %FUFSNJOBS�MB�FDVBDJÆO�EF�VOB�IJQ½SCPMB� EBEB�MB�HS¶mDB�� 9=/�-=584,�-76�=6,;�-76.3-376/;�.,.,;�
���� ��� ������������������ 4FDDJPOFT�DÆOJDBT�DPO�USBTMBDJPOFT�EF�FKFT�QBSBMFMPT�
B�MPT�FKFT�DPPSEFOBEPT���IPSBT� 1BS¶CPMB�� �438;/�� )JQ½SCPMB
11���������������������������������� ���������
Unidad 9: Otros te mas (18 horas)
���������!��������"������� %FmOJS�TVDFTJÆO
�� &<343B,:�-7::/-<,5/6</�4,�67<,-3K6�./�;=-/;3K6
�� �,.,�4,�0K:5=4,�./�=6,�;=-/;3K6��./</:536,:�/4/6I;357�<I:5367
�� &<343B,:�4,�67<,-3K6�./�;=5,<7:3,�8,:,�:/8:/;/6<,:�4,;=5,�./�47;�<I:5367;�./�=6,�;=-/;3K6
�� 6UJMJ[BS�MBT�QSPQJFEBEFT�C¶TJDBT�EF�MB�TVNB�QBSB/>,4=,:�=6,�;=5,<7:3,
���� %FmOJS�VOB�TVDFTJÆO�BSJUN½UJDB
�� &<343B,:�4,;�8:783/.,./;�./�=6,�;=-/;3K6�,:3<5I<3-,8,:,
� ./</:536,:�/4�/6I;357�<I:5367�./�4,�;=-/;3K6�� ./</:536,:�4,�;=5,�./�47;�8:35/:7;�<I:5367;./�4,�;=-/;3K6
�� SFTPMWFS�QSPCMFNBT�EF�BQMJDBDJÆO
)� %FmOJS�TVDFTJÆO�HFPN½USJDB
�� &<343B,:�4,;�8:783/.,./;�./�=6,�;=-/;3K6�1/75I<:3-,8,:,
� ./</:536,:�/4�/6I;357�<I:5367�./�4,�;=-/;3K6�� ./</:536,:�4,�;=5,�./�47;�8:35/:7;�<I:5367;./�4,�;=-/;3K6
�� SFTPMWFS�QSPCMFNBT�EF�BQMJDBDJÆO
�+� %FmOJS�FM�TJTUFNB�EF�DPPSEFOBEBT�QPMBSFT
��� �7-,43B,:�8=6<7;�/6�=6�;3;</5,�./�-77:./6,.,;874,:/;
��� �76>/:<3:�./�-77:./6,.,;�874,:/;�,�-77:./6,.,;:/-<,61=4,:/;�A�>3-/>/:;,
�.� 5SB[BS�MB�HS¶mDB�EF�VOB�FDVBDJÆO�QPMBS
�/� %FmOJS�MB�GPSNB�USJHPOPN½USJDB�EF�VO�OËNFSPDPNQMFKP
�0� &TDSJCJS�VO�OËNFSP�DPNQMFKP�FO�GPSNB<:317675I<:3-,
�!� �/</:536,:�/4�8:7.=-<7�A�/4�-7-3/6</�./�.7;OËNFSPT�DPNQMFKPT�FO�GPSNB�USJHPOPN½USJDB
�2� %FmOJS�FM�UFPSFNB�EF�%F�.PJWSF
�3� %FUFSNJOBS�QPUFODJBT�EF�OËNFSPT�DPNQMFKPT�FO07:5,�<:317675I<:3-,�,843-,6.7�/4�</7:/5,�./%F�.PJWSF
�4� "QMJDBS�FM�UFPSFNB�EF�MBT�SBÁDFT�FO½TJNBT�EF�VOOËNFSP�DPNQMFKP
� %/5,;�78-376,4/;
���� ��� ������������������ $=-/;376/;�A�;/:3/;����27:,;���:/9=3;3<7�
� %FmOJDJÆO�Z�DPODFQUPT�HFOFSBMFT�� $=5,<7:3,;�� $=-/;376/;�,:3<5I<3-,;�A�1/75I<:3-,;
�#� $PPSEFOBEBT�QPMBSFT���IPSBT��
�$� 'PSNB�USJHPOPN½USJDB�EF�OËNFSPT�DPNQMFKPT��IPSBT
� %FmOJDJÆO�� 8/:,-376/;�� !7</6-3,; � 3BÁDFT
12���������������������������������� ���������
�������� �&
��-76<36=,-3K6��;/�-3<,6�0=/6</;�./�:/0/:/6-3,�9=/�8=/./6�;/:�-76;=4<,.,;�87:�47;�8:70/;7:/;�A�/;<=.3,6</;�.=:,6</�/4�/;<=.37�./�,41=6,;�=63.,./;�7�</5,;�
�� #BSOFUU �3BZNPOE �.JDIBFM�;JFHMFS�Z�,BSM�#ZMFFO� Precálculo: Funciones y Gráficas. McGraw-Hill�����������FE�
�� #JUUJOHFS � .BSWJO � +VEJUI� #FFDIFS � %BWJE� &MMFOCPHFO� Z� +VEJUI� 1FOOB�� $PMMFHF� "MHFCSB�� (SBQIT� BOE.PEFMT��1FBSTPO�����������FE�
�� #MJU[FS �3PCFSU� Precalculus��1FBSTPO�����������FE�
� $POOBMMZ � &SJD � %FCPSBI� )VHIFT�)BMMFUU� Z� "OESFX� (MFBTPO�� Functions Modeling Change:A Preparation for Calculus��8JMFZ�����������FE�
�� %FNBOB � 'SBOL � #FSU� 8BJUT � (SFHPSZ� 'PMFZ� Z� %BOJFM� ,FOOFEZ� Precalculus: Graphical, Numerical,Algebraic. Addison Wesley�����������FE�
�� %VHPQPMTLJ �.BSL��Precalculus: Functions and Graphs��1FBSTPO�����������FE��
�� )PMEFS �-FPOBSE�*SWJO� A Primer for Calculus��8BETXPSUI�����������FE�
�� �,:;76��#76��Precalculus��$FOHBHF�-FBSOJOH�����������FE�
�� -JBM �.BSHBSFU �+PIO�)PSOTCZ �%BWJE�4DIOFJEFS�Z�$BMMJF�%BOJFMT� Precalculus��1FBSTPO�����������FE�
� .BSUÁOF[�1MBOFMM � 3BGBFM � &MJTFP� $SV[ � /JMTB� 5PSP� Z� 1FESP� 7¶TRVF[�� Precálculo�6OJWFSTJEBE�EF�1VFSUP�3JDP�o�.BZBHÍF[�������
� .BSUÁOF[�1MBOFMM �3BGBFM �%BOJFM�.D(FF �%FCPSBI�.PPSF�3VTTP �:VSJ�3PKBT�Z�,FJUI�8BZMBOE��Precalculus for Science and Engineering��8JMFZ�������
��� 4UFXBSU � +BNFT � -PUIBS� 3FEMJO� Z� 4BMFFN� 8BUTPO�� 1SFD¶MDVMP�� Matemáticas para el Cálculo�$FOHBHF�-FBSOJOH�����������FE�
�� 4VMMJWBO �.JDIBFM��1SFDBMDVMVT��1FBSTPO�����������FE�
� 4XPLPXTLJ � &BSM� �� +FGGFSZ� $PMF�� Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica�$FOHBHF�-FBSOJOH������������FE�
� 4F�QVFEF�VUJMJ[BS�DVBMRVJFSB�EF�FTUPT�MJCSPT�DPNP�UFYUP�
13���������������������������������� ���������
Descripción
-B� QSVFCB� EF� 1SFD¶MDVMP� EF� /JWFM� "WBO[BEP� UJFOF� VOB.=:,-3K6�./�,8:7@35,.,5/6</�.7;�27:,;�A�<:/36<,�536=<7;��;<,�8:7>//�,�47;�-,6.3.,<7;�4,�787:<=63.,.�8,:,�9=/�,8439=/647;�-76-/8<7;�,8:/6.3.7;�A�4,;�./;<:/B,;�,.9=3:3.,;�/6�4,TPMVDJÆO� EF� FKFSDJDJPT� Z� QSPCMFNBT� SFMBDJPOBEPT� DPO� MPT�UFNBT�EFM�DVSTP��$PNP�MB�QSVFCB�QSFUFOEF�FWBMVBS�UBOUP�B47;�/;<=.3,6</;�9=/�;/�2,6�8:/8,:,.7�87:�.3>/:;7;�5/.37;�-757�,�47;�9=/�2,6�<75,.7�-=:;7;�,>,6B,.7;�/6�.3;<36<,;�/;-=/4,;�7�-74/137;��;=�-76</63.7�67�/;�:/8:/;/6<,<3>7�./4-=:;7�./�6361=6,�=63>/:;3.,.�/6�8,:<3-=4,:�
-B� QSVFCB� DPOUJFOF� FKFSDJDJPT� EF� TFMFDDJÆO� NËMUJQMF�9=/� -76;3;</6� /6� =6,� 8:/53;,� 7� 8:/1=6<,� ;/1=3.,� ./�DJODP���BMUFSOBUJWBT�QBSB�TFMFDDJPOBS�MB�SFTQVFTUB�DPSSFDUB�"EFN¶T �JODMVZF�FKFSDJDJPT�BCJFSUPT�DPO�VO�GPSNBUP�EJTUJOUP�&O� FTUPT� TF� QMBOUFBS¶� VO� QSPCMFNB� P� QSFHVOUB � QFSPNO UFOES¶� BMUFSOBUJWBT� QBSB� TFMFDDJPOBS� MB� SFTQVFTUB��&M�FTUVEJBOUF�UFOES¶�RVF�FMBCPSBS�TV�SFTQVFTUB�Z�FTDSJCJS�UPEP�FM�QSPDFEJNJFOUP�RVF�MB�KVTUJmRVF��-PT�FKFSDJDJPT�TF�FODVFOUSBO�FO�VO�GPMMFUP�BQBSUF�QBSB�DPOUFTUBSMPT��&M�FTUVEJBOUF�UFOES¶�WFJOUF����NJOVUPT��&O�DBEB�VOP�EFCFS¶�EFNPTUSBS�UPEP�FMQSPDFEJNJFOUP�RVF�DPOEVDF�B�MB�TPMVDJÆO�EFM�QSPCMFNB��&OFTUPT�FKFSDJDJPT �B�EJGFSFODJB�EF�MPT�EF�TFMFDDJÆO�NËMUJQMF �TF�FWBMËB�FM�QSPDFEJNJFOUP�Z�FM�SFTVMUBEP �Z�TF�PGSFDF�QVOUVBDJÆOEF�BDVFSEP�DPO�TV�FKFDVDJÆO��1BSB�FTUP�TF�VUJMJ[B�VOB�FTDBMB�EF��,���8=6<7;��8,:,�:/,43B,:��/4�-K58=<7�./�4,�8=6<=,-3K6�<7<,4�Si deja algún ejercicio en blanco se le asigna la puntuación cero en ese ejercicio, pero si deja todoslos ejercicios en blanco se invalidará toda la prueba�
&O�HFOFSBM �MPT�QSPCMFNBT�TPO�EF�EJGFSFOUFT�DBUFHPSÁBT��MPTRVF�TPMP�SFRVJFSFO�RVF�FM�FTUVEJBOUF�SFDVFSEF�VOB�EFmOJDJÆO�P=6�.,<7��47;�9=/�8:/;=876/6�4,�,843-,-3K6�./�3./,;��8:36-3837;P�N½UPEPT�B�TJUVBDJPOFT�OVFWBT�Z�MPT�RVF�JNQMJDBO�FM�BO¶MJTJT�ZMB�FWBMVBDJÆO�EF�JOGPSNBDJÆO�EBEB��&O�FTUB�HVÁB�TF�QSFTFOUBOBMHVOPT�FKFNQMPT�EF�FKFSDJDJPT�QBSB�BZVEBS�BM�DBOEJEBUP�FO�TV�QSFQBSBDJÆO�QBSB�UPNBS�MB�QSVFCB�
-BT� ¶SFBT� RVF� TF� DVCSFO� FO� MB� QSVFCB� TPO��MHFCSB 'VODJPOFT � 5SJHPOPNFUSÁB � 4JTUFNB� EF� &DVBDJPOFTF� *OFDVBDJPOFT � 'VOEBNFOUPT� EF� (FPNFUSÁB� "OBMÁUJDB�Z�4VDFTJPOFT��-PT�DBOEJEBUPT�RVF�PCUFOHBO�DBMJmDBDJPOFT�NFSJUPSJBT�FO�FTUB�QSVFCB�FTU¶O�DBQBDJUBEPT�QBSB�JOJDJBS�FM�DVSTP�VOJWFSTJUBSJP�EF�$¶MDVMP�
"�DPOUJOVBDJÆO �TF�QSFTFOUB�MB�EJTUSJCVDJÆO�QPS�¶SFB�EFDPOUFOJEP�Z�QFTP�FO�QPSDFOUBKF�EF�MB�QSVFCB�
Área de contenidode la prueba
Pesos enporcentaje
en la prueba
�MHFCSB 13
�=6-376/;�A�;=;�,843-,-376/; 14
�=6-376/;�87436K53-,;�A�:,-376,4/; 13
�=6-376/;�/@876/6-3,4/;Z�MPHBSÁUNJDBT 10
�=6-376/;�<:317675I<:3-,; 13
5SJHPOPNFUSÁB�"OBMÁUJDB 17
$3;</5,;�./�/-=,-376/;/�36/-=,-376/; 10
�=6.,5/6<7;�./�(FPNFUSÁB�"OBMÁUJDB 5
$=-/;376/;�A�;/:3/; 5
%/5,;�78-376,4/; 0
TOTAL 100
� ������ ��������%�����
En esta prueba NOse permite el uso decalculadora alguna.sssssssss
14���������������������������������� ���������
Ejemplos de ejercicios deselección múltiple
-PT�FKFSDJDJPT�RVF�BQBSFDFO�B�DPOUJOVBDJÆO�EBO�VOB�JEFB�EF�MPT�UJQPT�EF�QSFHVOUBT�RVF�TF�JODMVZFO�FO�MB�QSVFCB �QFSP67�:/8:/;/6<,6�4,�<7<,43.,.�./�;=�-76</63.7���4�-,6.3.,<7EFCF�USBCBKBS�EJDIPT�FKFSDJDJPT�Z�SFGFSJSTF�MVFHP�B�MB�DMBWF�EF:/;8=/;<,;�A�,�4,;�;74=-376/;�./<,44,.,;�9=/�;/�/6-=/6<:,6�BM�mOBM�EF�DBEB�VOP�
�/2314%%+0/'2���������� �� �� � ����������� � �������������� ��� ������������ � �������������������������� ������������� ���������� ��� �� ���������� ������ �� ������ ��� �������� ����� ������ ��
127$��/DV�¿JXUDV�TXH�DFRPSDxDQ�D�DOJXQRV�GH�ORV�SUREOHPDVHQ�HVWD�SUXHED�VH�RIUHFHQ�SDUD�SURYHHUOH�LQIRUPDFLyQ�~WLO�SDUD�UHVROYHUORV�� 6H� KDQ� WUD]DGR� FRQ� OD� PD\RU� H[DFWLWXG� SRVLEOH�(;&(372�FXDQGR�DOJXQRV�SUREOHPDV�HVSHFL¿FDQ�TXH�OD�¿JXUD�QR�HVWi�D�HVFDOD��7RGDV�ODV�¿JXUDV�VRQ�SODQDV��D�PHQRV�TXH�VH�LQGLTXH�OR�FRQWUDULR�
��������
� ¢&XiQWRV�OLWURV�GH�XQD�VROXFLyQ�VDOLQD�DO�����&'�2$-GHEHQ�DxDGLUVH�D���OLWURV�GH�RWUD�VROXFLyQ�DO�����&'�2$-SDUD�REWHQHU�XQD�VROXFLyQ�DO�����&'�2$-���� ��� ��� ���� ���� �
Solución: '$���HO�Q~PHUR�GH�OLWURV�GH�VROXFLyQ�VDOLQD�DO�����&'�2$-�3DUD�REWHQHU�OD�FDQWLGDG�GH�OLWURV�GH�VDO�HQ�HVWD�VROXFLyQ�PXOWLSOLFDPRV�OD�FRQFHQWUDFLyQ�SRU�OD�FDQWLGDG�GH�OLWURV��HVGHFLU�������-+3102�
'H�LJXDO�PDQHUD��OD�FDQWLGDG�GH�OLWURV�GH�VDO�HQ�OD�RWUD�VROXFLyQHV�������� �����OLWURV�
/D�FDQWLGDG�GH�OLWURV�GH�VDO�HQ�OD�VROXFLyQ�UHVXOWDQWH�HV�HO�YDORU�&'���TXH�VDWLVIDFH�OD�VLJXLHQWH�HFXDFLyQ�
����������� �������� �����
0XOWLSOLFDPRV�SRU������VLPSOL¿FDPRV�\�GHVSHMDPRVSDUD ��
��� ����� ������������ ±����� ����±������ ����� ���-+3102
������ ���������������������
40
Solución:5HFXHUGH�TXH�OD�IyUPXOD�GH�GLVWDQFLD�HQWUH�GRV�SXQWRV������ �����7������ �����HVWi�GDGD�SRU�
���� ������ ��� ( ) ( )x x y y2 12
2 12− + − �
�/30/%'2� ( ) ( )− − + − <3 5 402 2� � �
$O�FXDGUDU�DPERV�ODGRV��H[SDQGLU�\�VLPSOL¿FDU��REWHQHPRV�
������������������� �A����������������±���������±���������±����A��������A���A������
5HVROYHPRV�DKRUD�OD�LQHFXDFLyQ�FXDGUiWLFD����� �A������� �������������� ����A
������ ��������������������
� 'HWHUPLQH�SDUD�TXp�YDORUHV�GH���'2�-$�&+23$/%+$�'/31'ORV�SXQWRV ����� �����\ ��A�� ���PHQRU�TXH� 40 ���� �������� ����A��0 ������� A����������� A����������� ����A�0 �����
15���������������������������������� ���������
Solución:1RWH�TXH�OD�QXHYD�IXQFLyQ�HV�XQD�WUDQVIRUPDFLyQ�GH � ��1+.'10���VXFHGH�XQD�WUDVODFLyQ�KRUL]RQWDO�GH�WUHV�XQLGDGHV�D�OD�GHUHFKDTXH�OOHYD�HO�SXQWR�����±���D�����±����/XHJR�RFXUUH�XQD�UHÀH[LyQ�FRQ�UHVSHFWR�DO�HMH�GH ���TXH�OOHYD�HO�SXQWR�����±���D���������)LQDOPHQWH��KD\�XQD�WUDVODFLyQ�YHUWLFDO�GH���XQLGDGHV�KDFLDDUULED��TXH�OOHYD�HO�SXQWR��������D��������
8QD�VROXFLyQ�DOWHUQD�HV�OD�VLJXLHQWH��FRPR � �����A��'/30/%'2��%4$/&0 �� ��� ��A��A ���±�������� �±��± �������� �±�±������� ���
������ ���������������������
f x xx
( )= +−
22 82
Solución: + �HV�Q~PHUR�UHDO��OD�OtQHD����� �'2�4/$�$2</303$�5'13+%$- &'�-$
JUi¿FD�GH�XQD�IXQFLyQ�UDFLRQDO�����P xQ x
( )( ) �2+ � �� ���SHUR
� �������HV�GHFLU��OD�DVtQWRWD�YHUWLFDO�RFXUUH�FXDQGR�HO&'/0.+/$&01�'2�+)4$-�$���'/ ���� ��7�'-�/4.'1$&01�/0�-0�'2�
$O�VLPSOL¿FDU� f x xx x x
( )( )( ) ( )
=+
+ −=
−2
2 2 21
2 2��
WHQJDPRV�HQ�FXHQWD�TXH�SDUD������20-0�'-�&'/0.+/$&01�'2�%'10��PLHQWUDV�TXH�SDUD�����A�'-�/4.'1$&01�7�'-�&'/0.+/$&01�&'�-$�IXQFLyQ�RULJLQDO�VRQ�LJXDOHV�D�FHUR��
6HJ~Q�OD�GH¿QLFLyQ��OD�JUi¿FD�GH�OD�IXQFLyQ�WLHQH�XQD�~QLFD�$2</303$�5'13+%$-�'/ �� ����FRPR�VH�PXHVWUD�D�FRQWLQXDFLyQ�
6H�SXHGH�REVHUYDU�HQ�OD�JUi¿FD�TXH�OD�IXQFLyQ�QR�HVWi�GH¿QLGD�SDUD��� �±���SHUR�QR�H[LVWH�XQD�DVtQWRWD�YHUWLFDO'/�'2'�5$-01�
������ ��������������������
�� ¢&XiOHV�VRQ�ODV�DVtQWRWDV�YHUWLFDOHV�GH�OD�JUi¿FD�GH�OD
IXQFLyQ�GDGD�SRU� f x xx
)x = + 22 8x −2
�
��� �0�3+'/'�$2</303$2�5'13+%$-'2���� ����A��� ������� ����������A��� �� ������ �±�
�� 6L�HO�SXQWR�����±���SHUWHQHFH�D�OD�JUi¿FD�GH�OD�IXQFLyQ�� � ������ ���¢FXiO�GH�ORV�VLJXLHQWHV�SXQWRV�SHUWHQHFH�D�ODJUi¿FD�GH�OD�IXQFLyQ�����A��A ���� �±��������"��� ��������� ��������� �±�������� ����±����� �A����
16���������������������������������� ���������
Solución:$O�DSOLFDU�ODV�SURSLHGDGHV�GH�ORJDULWPRV�D�OD�HFXDFLyQ-0) ����-0) ���� �±���� ����REWHQHPRV
-0) ����� A��������� ����� A����� ��A����� ��A���A���������� �±������� ���� ��� ����A
$O�YHUL¿FDU�ODV�UDtFHV�GH�OD�HFXDFLyQ�FXDGUiWLFD�HQ�OD�HFXDFLyQORJDUtWPLFD�RULJLQDO��KDOODPRV�TXH ����A�/0�HV�XQD�VROXFLyQ��\D�TXH�QR�VH�KDOOD�HQ�HO�GRPLQLR�GH�ORJ ��
������ ���������������������
cos−1 1116
cos−1 78
cos− −1 78
cos− −1 1116
cos− −1 14
Solución:
(Q�XQ�WULiQJXOR��HO�iQJXOR�PD\RU�HV�HO�iQJXOR�RSXHVWR�DO�ODGR�.$701���01�-0�3$/30��'/�'23'�%$20� �'2�'-�;/)4-0�.$701�
"3+-+8$.02�-$�-'7�&'�%02'/02 ��� �����A� ��%02
7�2423+34+.02�-02�5$-01'2 �����������7��� ���SDUD�REWHQHU
���������A�������%02
��� �������±����FRV
�%02 ���A�
��� ����3
12 �� �14
���cos− −1 14
������ ���������������������
�� ¢&XiO�HV�HO�Q~PHUR�GH�VROXFLRQHV�GH�OD�HFXDFLyQ-0) ����-0) ���� �A����������� ���� ��� ��� ���� �
�� �'3'1.+/'�-$�.'&+&$�&'-�;/)4-0�.$701�&'�4/�31+;/)4-0�FX\RV�ODGRV�PLGHQ������\���SLHV�
��� cos−1 1116
��� cos−1 78
��� cos− −1 78
��� cos− −1 1116
��� cos− −1 14
1 7���������������������������������� ���������
ab
ba
ab
ba
ab
Solución:"3+-+8$.02�-$�-'7�&'�2'/02sen sen xb
xa
�2
2'/ � ����2'/���
/XHJR��XVDPRV�OD�IyUPXOD�GH�GREOH�iQJXOR�\�UHVROYHPRVOD�HFXDFLyQ�SDUD�FRV �� 2'/ � �����2'/ ��%02 �� 2'/ � A�� 2'/���%02 �����2'/��� �A���%02������� A�� %02 � �����%0.0�2'/������� ����%02��ab ���%02 �
������ ��������������������
Axy
Bz
yC= =
−=
2 13
22 4
5 32 5
,,
94
�94
23
94
�92
23
92
23
Solución:
36 33 9
Axy
=
24 2
4 8B
zy
=−
3 26 4 3 2
1A B
x zy
− =+ −−
3 26 9 6 22 6
A B Cx zy
− + =+ −− .
�)4$-$/&0�$�� ��REWHQHPRV�TXH6 9 4
2 992
� �
�
�
+ =
=−
=−
6 2 24 22
− =
=
=
�
�
�
2 22 323
− =
=
=
� �
�
�
������ ��������������������
Otra solución posible es:
���A������ ��� �
��A������ ����2 1
34 2
4 85 32 5
0 00 0
xy
zy
−−
+ =
2 4 1 23 5
5 32 5
0 00 0
x zy+ −
− −+ =
2 9 4 22 3 0
0 00 0
x zy+ −
−=
2 9 092
�
�
+ =
=−
4 2 04 22
− =
=
=
�
�
�
2 3 02 323
− =
=
=
�
�
�
� (Q�HO�WULiQJXOR�GH�OD�¿JXUD�DQWHULRU��¢FXiO�HV�HO�YDORU�GH�%02����
���ab
���ba
���ab
���ba
���ab
��
Axy
Bz
yC= =B
−=
2 1x3
22 4y
5 32 5
,,
+DOOH�ORV�YDORUHV�GH�ODV�YDULDEOHV�HQ�ODV�PDWULFHV�DQWHULRUHV2+����A������ ��� � �
��� ���� 94� ����� �����
��� �����94 � ����
23 � �����
��� ���� 94� ����� ����A�
��� �����92� ����
23 � �����
��� ����92 � ����
23 � �����
18���������������������������������� ���������
− −38
2516
,
38
2516
, −
−38
2516
,
− −38
1,
38
1,
Solución: +����� � ���������HV�OD�HFXDFLyQ�GH�XQD�SDUiEROD��HQWRQFHV�ODDEVFLVD�GH�VX�YpUWLFH�HVWi�GDGD�SRU�
x bav=− =− =−
23
2 438( )�
/D�RUGHQDGD�GHO�YpUWLFH�HV
yv= − + − −4 38
3 38
12
= − −4 964
98
1
= − −9
161816
1616
=−2516
3RU�OR�WDQWR��HO�YpUWLFH�HV�V= − −38
2516
, �
������ ���������������������
Otra solución es posible si se completa el cuadradode la siguiente manera:
y x x= + + − −4 34
964
1 916
2
y x= + −4 38
2516
2
(O�YpUWLFH�HV�− −38
2516
, �
Solución: +�9 �`�HV�XQD�VXFHVLyQ�DULWPpWLFD��HQWRQFHV� ���� ������A����
$O�VXVWLWXLU�ORV�GRV�GDWRV�FRQRFLGRV��REWHQHPRV
= +a a da a d
27 1
45 1
2644= +
+ =a da d
1
1
26 18644 312+ =
�
8VDPRV�HO�PpWRGR�GH�HOLPLQDFLyQ�\�UHVWDPRV�OD�SULPHUDHFXDFLyQ�GH�OD�VHJXQGD�SDUD�REWHQHU����������� �
����� ������ ������A�� � ��
�4')0��*$--$.02� ���43+-+8$/&0 � ���\����� �� ����� ������� ����������� ��������� ����
������ ���������������������
�� �$--'� ���2+�9 �`�HV�XQD�VXFHVLyQ�DULWPpWLFD�FRQ ������7� ���������� ������ ������ ������ ��� ���
�� ¢&XiO�HV�HO�YpUWLFH�GH�OD�SDUiEROD � ��� ������A���
��� − −38
2516
,
���38
2516
, −
��� −38
2516
,
��� − −38
1,
���38
1,
19���������������������������������� ���������
Ejemplos de ejercicios abiertos
"�DPOUJOVBDJÆO �TF�NVFTUSBO�FKFNQMPT�EF�FKFSDJDJPTBCJFSUPT��&O�FTUF�UJQP�EF�FKFSDJDJP�EFCFS¶�EFNPTUSBS�UPEB4,�-,./6,�./�:,B76,53/6<7�9=/�-76.=-/�,�4,�;74=-3K6�./4QSPCMFNB��4F�FWBMVBS¶�UBOUP�FM�QSPDFTP�DPNP�FM�SFTVMUBEP�%F�OP�SFTPMWFS�MPT�FKFSDJDJPT�TF�JOWBMJEBS¶�MB�QSVFCB�FOTV�UPUBMJEBE �ZB�RVF�OP�TF�EJTQPOES¶�EF�VO�QBS¶NFUSP3587:<,6</�8,:,�-767-/:�;=�.753637�./4�-76</63.7��$/VUJMJ[BS¶�VOB�FTDBMB�EF�WBMPSBDJÆO�EF���B����5PEPT�MPTQSPCMFNBT�UFOES¶O�JHVBM�QFTP �QFSP�B�MBT�QBSUFT�EF�VOQSPCMFNB�QBSUJDVMBS�OP�OFDFTBSJBNFOUF�TF�MFT�BTJHOB�FM53;57�8/;7�
� ={ }( , ), ( , ), ( , ), ( , )1 2 2 5 0 4 5 0
Solución:��������� ��FRQWLHQH�HO�SXQWR�����±���
WHQHPRV�TXH������ �±��
'DGR�TXH�HO�SXQWR��������HVWi�HQ�OD�IXQFLyQ����3'/'.02TXH������ ���
3DUD�REWHQHU����A��'5$-4$.02 ������ ��%4$/&0��� �±��\�REWHQHPRV���±��� �±��
����������� �����������A����±��� �±������±��±��� ���
�p 32
Solución:Si f –1(9) = x, entonces, f (x) = 9.4 x2 – 12 x + 9 = 9x4 x2 – 12 x = 0x4 x(x – 3) = 0xx = 0,x x = 3x
Como �p 32
, x ≠ 0, entonces f –1(9) = 3.
Solución:(O�iQJXOR�PD\RU�GH�XQ�WULiQJXOR�HVWi�RSXHVWR�DO�ODGR�PD\RU��"3+-+8$.02�-$�-'7�&'�%02'/02���� �����A� ��%02 �7�2423+34+.02�-02�5$-01'2 � �������� �7��� ���SDUD�REWHQHU��� ����� �±���������FRV �
��%02 � ���������±���
��%02 � ����±���
%02 ��� 1070
17
�
����������������������������������������������� ��17 �
� +������� �� ��� A �������&0/&'� �p 32��'/30/%'2��
��A�����
�� �-�%02'/0�&'-�;/)4-0�.$701�&'�4/�31+;/)4-0�%4702�-$&02PLGHQ������\���XQLGDGHV�HV
� '$/ ����� ��7�� ��IXQFLRQHV�GDGDV�SRU�ODV�UHODFLRQHV������ �������A��� � ={ } �7������ ��VHJ~Q�VH�LOXVWUD�HQ�OD�¿JXUD�DQWHULRU��$O�HYDOXDU�OD�H[SUHVLyQ������������A����±���VH�REWLHQH
20���������������������������������� ���������
Solución:1RWH�TXH���������������������������FRUUHVSRQGH�D�OD�VXPD�GH�ORV�SULPHURV����WpUPLQRV�GH�XQD�VXFHVLyQ�DULWPpWLFD��\D�TXH
���� ������A���
���������A����
� ���
/XHJR��XWLOL]DPRV�OD�IyUPXOD�SDUD�ORV�SULPHURV���WpUPLQRV�GH�XQD�VXFHVLyQ�
S na a
nn=
+1
2
S a a61
1 612
=+(61)
S61 61 1 1212
61 61 3721=+
= =( ) ( )( )
������������ ����������������������������������������������±������������� ���� �±������������� ������±��� ������
5 3 151
2 2x yx y+ =
+ =
Solución:8VDPRV�HO�PpWRGR�GH�VXVWLWXFLyQ�\�REWHQHPRV
��������A���� �����������A�������� ����������A��������� ������A����A�����
$O�VLPSOL¿FDU�\�XWLOL]DU�OD�IyUPXOD�FXDGUiWLFD��REWHQHPRV
���A����A������
�=± − −3 9 4 4 6
8( )( )
�= ±3 1058
�4$/&0�����3 105
8�
� �����A�3 105
8�
��5 105
8�
�
�4$/&0�����3 105
8�
� �����A� 3 1058
� ��5 105
8�
�
��������������������������������������������
3 1058
5 1058
+ −, �7 3 1058
5 1058
− +, �
��� �$--'�-$2�20-4%+0/'2�&'-�2+23'.$ 5 151
2 23x yx y
=3 23y3+ =y
���� 8WLOLFH�OD�VXFHVLyQ�^���������������`�SDUD�GHWHUPLQDU�HO�YDORU�&'� �����������������
21���������������������������������� ���������
&O�FTUB�TFDDJÆO�TF�QSFTFOUB�VO�GPSNBUP�EF�QSVFCB�QBSBQSPQÆTJUP�EF�QS¶DUJDB��-PT����FKFSDJDJPT�JMVTUSBO �EF�GPSNBN¶T�DPNQMFUB �MB�WBSJFEBE�EF�FKFSDJDJPT�Z�UFNBT�RVF�DVCSFMB�QSVFCB�EF�1SFD¶MDVMP��&M�DBOEJEBUP�EFCF�USBUBS�EF�SFTPMWFSFTUPT�QSPCMFNBT�FO�BQSPYJNBEBNFOUF�VOB���IPSB�Z�USFJOUB����536=<7;��A�:/0/:3:;/�4=/17�,�4,�-4,>/�./�:/;8=/;<,;�9=/BQBSFDF�BM�mOBM�
Ejercicios de selección múltiple�/2314%%+0/'2������������� ����� � ������������� �� ��������� ��� ��� ������� ���������� ��� �� ���������� ������ �� � ���� ��� ��������� ����� ������ ��
� /D�VROXFLyQ�GH 24
13
1��−
+ = �'2
��� A���� A��� ����� ���� ��
� $O�WUDWDU�GH�UHVROYHU�OD�HFXDFLyQ� � �+ = ���HQFRQWUDPRV�TXH��� QR�WLHQH�VROXFLyQ���� WLHQH�XQD�VROXFLyQ���� 3+'/'�&02�20-4%+0/'2���� 3+'/'�.;2�&'�&02�20-4%+0/'2���� QR�HV�SRVLEOH�GHWHUPLQDU�HO�Q~PHUR�GH�VROXFLRQHV�
�� $O�VLPSOL¿FDU�2 1
12
�
�
�
��VH�REWLHQH
��� ( )2 12
2���
���6
1� �( )�
���32�
����
����
�� /D�IXQFLyQ�TXH�FRUUHVSRQGH�D�OD�JUi¿FD�GH�OD�¿JXUD$/3'1+01�'2��� � �� ��� ������A���� � �� ��� ����A�A �A����� � �� ��� ����A:��A�:��� � �� ��� ����:��A�:��� � �� ��� ����:����:�A�
����������������%����
Busca en la página 28 las respuestas correctas de los ejercicios.
22���������������������������������� ���������
�� 6XSRQJD�TXH�XVWHG�HVWi�REVHUYDQGR�HO�FRPSRUWDPLHQWR�GH�OD�GXSOLFDFLyQ�GH�XQD�FpOXOD�HQ�XQ�ODERUDWRULR��(Q�XQ�H[SHULPHQWR��XVWHG�FRPHQ]y�FRQ�XQD�FpOXOD��\�ODV�FpOXODV�VHGXSOLFDQ�FDGD�PLQXWR��¢(Q�FXiQWRV�PLQXWRV�HO�Q~PHUR�WRWDOGH�FpOXODV�VREUHSDVD�ODV�PLO"��� ����� ����� ���� �����
�� @�4;-�&'�-$2�2+)4+'/3'2�(4/%+0/'2�%4$&1;3+%$2 ����� �� ��� ��2$3+2($%'�-$2�%0/&+%+0/'2�������7�������� ��HV�VLPpWULFD�UHVSHFWR�DO�HMH�GH�� �������-�5$-01�.</+.0�&'�� '2�A���,,,��8QR�GH�ORV�LQWHUFHSWRV�HQ ��'2�A����� � �� ��� �����������A����� � �� ��� �������A����� � �� ��� ����A��A����� � �� ��� ������A����� � �� ��� ������A����A��
� +�� �� ��� ���� �A����'/30/%'2���A���� ���
��� ����
��� A� �A���
���1
7 2� �
���2
7 � �
��� 72� �
�� /D�JUi¿FD�GH�OD�IXQFLyQ�� �� ��� ����-0)����� A���'2
���
���
���
���
���
23���������������������������������� ���������
�� �$--'�30&$2�-$2�$2</303$2�5'13+%$-'2�7�*01+80/3$-'2�&'
� �� ��� ����2 33 75
2
2� ��
�
��
��� �� �±�� ������ �� ��� �����
��� �� �±�� �� ��� �����
��� �� �±�� �� ��� ����23
��� �� �±�� ������ �� ��� ���� 23
��� �� �±�� ������ �� ��� ����23 � ������ �����
�� 8QD�FDMD�DELHUWD�GH�YROXPHQ���2'�%0/23147'�43+-+8$/&0�4/�SHGD]R�GH�FDUWXOLQD�HQ�IRUPD�FXDGUDGD�GH�ODGRV�TXH�PLGHQ����SXOJDGDV��YHU�¿JXUD���3DUD�REWHQHU�OD�FDMD�DELHUWDVH�UHFRUWDQ�SHGD]RV�FXDGUDGRV�GH�GLPHQVLyQ ��'/�%$&$HVTXLQD�\�OXHJR�VH�GREODQ�VXV�ODGRV��/D�H[SUHVLyQ ���� ��� ��'2+)4$-�$��� ��� A������� ±����������� ��� ±������������� ±����±�����A������� ��� �����������
� +�-0)������-0)����A���'/30/%'2 ���
��� ����
��� ����
��� ��A
��� ��
��� �
� �-�5$-01�&'���HQ�OD�¿JXUD�DQWHULRU�HV
�����
���
���
��� �
��� 12
24���������������������������������� ���������
�� �$--'�'-�5$-01�&'� �
��� �12
���12
��� 32
��� A� 12
��� A�
��� (Q�HO�WULiQJXOR�UHFWiQJXOR�GH�OD�¿JXUD�DQWHULRU�BC �����7��HV�XQ�SXQWR�HQ�HO�VHJPHQWR ���3$-�TXH� AP � ��7� PB �� ��� +�-$�.'&+&$�&'-�;/)4-0 �HV������HQWRQFHV�VH�FRQFOX\H�TXH��� ��� ���� ��� ���� ��� ���� �������� �����
��� +DOOH�OD�DPSOLWXG��HO�SHULRGR�\�HO�iQJXOR�GH�IDVH�GH�OD�JUi¿FD�TXH�VH�PXHVWUD�HQ�OD�¿JXUD�DQWHULRU�
��� �����12 � ��� � �����
��� �����12� � �ʌ� �����
��� ���� 12� � �ʌ� �����
��� ���� 12� � �ʌ� �����
��� ���� 12� ��� � �����
�� 6LPSOL¿TXH� sen sen ��
��1 1−
++cos cos
���sen �
2��� 2'/ �
��� �2'/ �
��� �2'%��
��� �%2% �
25���������������������������������� ���������
� /DV�VROXFLRQHV�GH�OD�HFXDFLyQ���WDQ �����2'�'/%4'/31$/�'/�-02�%4$&1$/3'2��� ���7�������� ��7�������� ���7��#���� ��7��#���� �����������7��#�
�� (Q�XQD�FODVH�KD\����HVWXGLDQWHV��3RU�EXHQFRPSRUWDPLHQWR��FDGD�QLxD�UHFLELy���EROtJUDIRV�\�FDGD�QLxR�XQ�FXDGHUQR��6L�HQ�WRWDO�VH�HQWUHJDURQ����UHJDORV��¢FXiQWDV�QLxDV�KD\�HQ�OD�FODVH"��� ����� ���� ���� ����
�� +�� −
− =
1 11 1 11 0 1
0 ��'/30/%'2 ���
��� A��� A��� ����� ���� �
�� -XDQ�OH�GLMR�D�-RVp��³6L�PH�GDV�XQD�PDQ]DQD��HQWRQFHVWHQGUHPRV�OD�PLVPD�FDQWLGDG�GH�PDQ]DQDV´��-RVp�OH�GLMRD�-XDQ��³(Q�FDPELR��VL�PH�GDV�XQD�PDQ]DQD��HQWRQFHVWHQGUp�HO�GREOH�GH�ODV�TXH�W~�WLHQHV´��¢&XiQWDV�PDQ]DQDV3+'/'��4$/���� ��� ��� ���� ����
� /RV�YpUWLFHV�GH�OD�HOLSVH�GDGD�SRU���� ������� ������20/��� ���������� �?������� ����?���� ���������� �������
� /DV�FRRUGHQDGDV�GHO�FHQWUR�GHO�FtUFXOR�UHSUHVHQWDGR�SRU������A��������� ����������20/��� ��������� �A���A����� �±�������� ����A����� ����±��
26���������������������������������� ���������
�� +DOOH�OD�HFXDFLyQ�GH�XQD�KLSpUEROD�HQ�OD�IRUPD�yM
xN
2 21− = ������� ������2+�'-�%'/310�'23;�'/�'-�01+)'/���
OD�ORQJLWXG�GHO�HMH�FRQMXJDGR�HV����\�ORV�IRFRV�HVWiQ$ 29 4/+&$&'2�&'-�%'/310�
��� y x2 2
4 251− =
��� y x2 2
4 251+ =
��� y x2 2
4 291− =
��� y x2 2
25 41− =
��� y x2 2
29 41+ =
��� (O�HQpVLPR�WpUPLQR�GH�OD�VXFHVLyQ�FX\RV�SULPHURVWpUPLQRV�VRQ����±�������±��������HV
��� ( )� �6 1�
��� �A���
��� 3 2 1( )� ��
��� ( )� �2 31� �
��� 6 1��
��� (O�Q~PHUR�GH�EXWDFDV�SRU�¿ODV�GH�XQ�WHDWUR�HVWiQ�DFRPRGDGDV�VHJ~Q�OD�WDEOD�DQWHULRU��'HWHUPLQH�HO�Q~PHUR�GH�EXWDFDV�HQ�OD�¿OD������� ����� ����� ����� ����� ��
27���������������������������������� ���������
�����#������! ��� �����
�����#������������
�6�/4�-753<I�./�/@,536,.7:/;8,:<3-38,6�8:70/;7:/;�,-<3>7;�./�.3>/:;,;JOTUJUVDJPOFT�VOJWFSTJUBSJBT �BEFN¶T�EF=6�5,/;<:7�9=/�/6;/J/�/4�-=:;7�./��3>/4��>,6B,.7�/6�,41=6,�36;<3<=-3K6�./�63>/4�;/-=6.,:37�
&O�MBT�MFDUVSBT�EF�MBT�QSFHVOUBT�BCJFSUBT8,:<3-38,6�8:70/;7:/;�./�.3>/:;,;�36;<3<=-376/;=63>/:;3<,:3,;�A�5,/;<:7;�9=/�/6;/J/6�/4�-=:;7./��3>/4��>,6B,.7�/6�36;<3<=-376/;�./�63>/4;/-=6.,:37�
28���������������������������������� ���������
�� �������������������������%����
��� B
��� B
��� E
��� E
��� C
�� D
�� E
��� B
��� C
���� C
���� E
���� C
���� C
���� B
���� D
��� E
��� E
���� D
���� B
���� D
���� A
���� E
���� A
���� C
���� E