POLINOMIOS ESPECIALES, MULTIPLICACION Y DIVISION DE POLINOMIOS (2).pdf
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Lección 10: División de Polinomios
Dra. Noemí L. Ruiz Limardo
2009 ©
Objetivos de la lección
Al finalizar esta lección los estudiantes:
• Dividirán polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos términos.
• Aplicarán el método de la división larga al dividir por un binomio.
• Aplicarán el método de la división sintética al dividir por un binomio del tipo (x- a).
Introducción
• La división de polinomios es muy útil en muchas aplicaciones relativas a la economía, física e ingeniería, entre otras.
• Entre estas aplicaciones se encuentran la teoría de números, el análisis numérico, la teoría de operadores, la teoría de representación de grupos y la mecánica cuántica, por citar algunas.
Introducción• Para dividir polinomios podemos aplicar varios
métodos.
• En esta lección estudiaremos cómo se dividen polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos términos.
• Estudiaremos el método de la división larga y el método de la división sintética.
• La división larga aplica a todo tipo de polinomio. La división sintética aplica solo a unos casos particulares que discutiremos más adelante.
Comprendiendo la División
Comprendiendo la División
• La división es una operación matemática que consiste en saber cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo).
• Ejemplo:– Cuando decimos “6 dividido por 2” (6 ÷ 2),
queremos determinar cuántas veces está contenido el 2 dentro de 6.
– En este ejemplo, el 2 es el divisor y el 6 es el dividendo.
DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO
Componentes de la División• Los componentes de la división son los siguientes:
– Dividendo
– Divisor
– Cociente
– Residuo
• Se le llama cociente al resultado de la división y residuo al sobrante que se obtiene luego de restar el producto del cociente por el divisor.
• La relación existente entre estos componentes es la siguiente:
) Dividendo- (cociente x divisor)
Residuo
DivisorCociente
Relación entre los Componentes de la División
• A veces es conveniente expresar la relación de división anterior de otra manera.
• Si dividimos cada lado de la ecuación anterior por el divisor,
DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO
DIVISOR DIVISOR DIVISOR
• Obtenemos la siguiente expresión:
• Observa que el residuo es una parte fraccionaria del divisor.
DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO
DIVIDENDO = COCIENTE + RESIDUODIVISOR DIVISOR
1
1
Relación entre los Grados de los Componentes de la División
• Al dividir polinomios encontramos que el grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor. • Recuerda que el residuo es una parte fraccionaria del
divisor.
• Así también, la división de polinomios asume que el grado del dividendo será mayor o igual que el grado del divisor ya que, de lo contrario, el cociente tendría exponentes negativos y entonces no sería un polinomio.
• Esta relación nos permite comparar con facilidad los grados de todos los componentes involucrados en la operación.
Gradoresiduo < Gradodivisor ≤ Gradodivdendo
Formas de Expresar la División
• Existen tres formas de expresar la división:
– Forma 1: a ÷ b, donde “a” es el dividendo y “b” es el divisor.
– Forma 2: , donde “a” es el dividendo y “b” es el divisor.
– Forma 3: , donde “a” es el dividendo y “b” es el divisor.
ab
b
a
• La forma 2 se conoce como la forma de la “casita de división”.
• La forma 3 se conoce como la forma de “fracción”.
Formas de Expresar la División• Es necesario que podamos intercambiar entre una
expresión y otra para poder entender mejor y llevar a cabo el proceso de división.
• Por ejemplo: -En la expresión (x2 + 2x + 1) ÷ (x + 1) debemos saber que la expresión a la izquierda del signo de división (x2 + 2x + 1) es el dividendo y la que aparece a la derecha del mismo (x + 1) es el divisor.-Podemos expresar esa división de esta otra forma, en la cual el dividendo se coloca dentro de la casita de división y el divisor se coloca fuera de la misma:
-También, podemos expresar esa división de la siguiente manera:
121 2 xxx
1
122
x
xx
Ejemplo 1• Exprese la siguiente división usando la forma 2
(casita de división):
• Cuando tenemos la forma de fracción, el polinomio que está en el numerador es el dividendo y el que está en el denominador esel divisor.
• En la forma 2 el dividendo es el término queva dentro de la casita de división y el divisor el que va fuera:
3
1272
x
xx
1273 2 xxx
Ejemplo 2 • Exprese la siguiente división usando la forma 3
(forma de fracción):
• En la forma 1 el dividendo es el término que que está a la izquierda del símbolo de división y el divisor es el que está a la derecha:
• En la forma 3 el dividendo es el término que va en el numerador y el divisor el que va en el denominador:
2
652
x
xx
)2()65( 2 xxx
División de Polinomios por un Monomio
División por un Monomio
Ejemplo 1: (16x5 – 8x4 + 5x3 – 2x2) ÷ 4x
• Para dividir por un monomio es conveniente expresar la división de esta forma:
• Observa que esto es una expresión racional, es decir, una fracción con numerador y denominador.
• En una expresión racional, el denominador es común a todos los términos del numerador, por lo tanto podemos re-escribir la expresión de la siguiente forma:
x
xxxx
4
25816 2345
x
x
x
x
x
x
x
x
4
2
4
5
4
8
4
16 2345
Continúa en la próxima pantalla.
División por un Monomio• En una expresión como la anterior, donde tenemos
varios monomios divididos por otro monomio, aplicamos leyes de exponentes para simplificar cada expresión:
• Esto es, se dividen los coeficientes numéricos que se puedan dividir y se restan los exponentes de las variables que tienen bases iguales.
– Siempre se resta el exponente de la variable que está en el numerador menos el exponente de la variable que está en el denominador.
– Si los coeficientes numéricos no se pueden dividir, se dejan expresados tal como están o se simplifican si tienen algún factor común entre sí.
x
x
x
x
x
x
x
x
4
2
4
5
4
8
4
16 2345
División por un Monomio• Aplicando las leyes de exponentes en el ejercicio
anterior tenemos:
xxxxx
x
x
x
x
x
x
x
2
1
4
524
4
2
4
5
4
8
4
16 2342345
Cuando tenemos un polinomio que se divide por un monomio,
dividimos cada término del polinomio por el monomio, en
forma individual. Luego aplicamos las leyes de exponentes.
Ejemplo 2
Divide ( ) por 4x.
• Escribimos en forma de fracción y dividimos cada término del polinomio por el monomio 4x. Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos:
4812 23 xxx
xx
x
x
x
x
x
x
xxx
4
4
44
8
4
12
4
4812 2323
xxx
1
4
123 2
Ejemplo 3
Divide ( ) por
• Escribimos en forma de fracción y dividimos cada término del polinomio por el monomio . Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos:
324354 538 yxyxyx
32
32
32
43
32
54
32
324354 538538
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxyxyx
538 22 xyyx
32 yx
32 yx
División de Polinomios por un Binomio:
Método de la División Larga
División por un binomio
Divide ( ) por ( ).
• Cuando tenemos un polinomio dividido por un binomio aplicamos el método de la división larga.
• El método de división larga es similar al proceso que utilizamos para dividir dos números cardinales cualesquiera.
• En la próxima pantalla repasaremos la división de números cardinales.
852 xx 3x
Repaso de División de Cardinales• Si deseamos dividir (4565 ÷ 25) utilizamos la casita de
división y colocamos el dividendo y el divisor en el lugar correspondiente. Luego procedemos a dividir de la siguiente manera:
• Ahora veamos el mismo proceso aplicado a polinomios.
Cociente
DividendoDivisor
Residuo
456525
182
-25
206
-200
65
-50
15
División por un binomio
• Divide ( ) por ( ) .852 xx 3x
853 2 xxx1. Se divide x2 y el resultado es x.
x
2. Se coloca el resultado x en el
cociente.
x
3. Se multiplica el cociente x por todo
el divisor (x+ 3) y se coloca debajo
del dividendo.
x2 + 3x
4. Ahora tendríamos que restar:
(x2 + 5x) – (x2 +3x). Veremos en la
próxima pantalla.
División por un binomio
• Divide por .)85( 2 xx )3(x
853 2 xxx
x
6. Se efectúa la suma del opuesto y se
baja el próximo término del
dividendo. Observa que el primer
término x2 y -x2 se eliminan.
-x2 + -3x
5. Recuerda que la resta de polinomios se
convierte en la suma del opuesto de
cada término del segundo polinomio:
(x2 + 5x) – (x2 +3x) =
(x2 + 5x) + (-x2 + -3x)
Observa que los signos del segundo
polinomio cambian al opuesto de lo que
eran y ahora se suma, y no se resta.
2x + 8
7. Se repite el proceso (pasos 1-6).
Veamos en la próxima pantalla.
División por un binomio
• Divide por .)85( 2 xx )3(x
853 2 xxx
x
11. Se efectúa la suma del opuesto.
Observa que el primer término 2x
se elimina.
-x2 + -3x
2x + 8
8. Se divide 2x y el resultado es 2.
x
9. Se coloca el resultado + 2 en el
cociente.
10. Se multiplica el cociente +2 por todo el
divisor (x+ 3) y se obtiene 2x + 6. Se
coloca este resultado debajo del
anterior. Ahora tendríamos que restar y
como restar equivale a sumar el
opuesto tendríamos:
(2x + 8) – (2x +6) =
(2x + 8) + (-2x + -6)
+ 2
-2x + -6
12. Hemos finalizado el proceso ya que
no tenemos ningún otro término en el
dividendo que tengamos que bajar. El
resultado es (x + 2) con residuo 2.
2
División por un binomio
• Divide por .852 xx 3x
Podemos expresar esta división de la
siguiente manera:853 2 xxx
x
-x2 + -3x
2x + 8
+ 2
-2x + -6
23
2)2(
3
852
xx
x
xx
Observa que el residuo 2 es una parte
fraccionaria del divisor.
Cociente Residuo
Ejemplo 2
• Divide por .)8635( 234 xxxx )1(x
86351 234 xxxxx1. Se divide 5x4 y el resultado es 5x3.
x
2. Se coloca el resultado 5x3 en el
cociente.
5x3
3. Se multiplica el cociente 5x3 por todo
el divisor (x - 1) y se coloca debajo
del dividendo.
5x4 - 5x3
4. Ahora tendríamos que restar:
(5x4 + x3) – (5x4 – 5x3). Veremos en
la próxima pantalla.
Continuación de Ejemplo 2
• Divide por .8635 234 xxxx 1x
86351 234 xxxxx
5x3
-5x4 + 5x3
6. Se efectúa la suma del opuesto y se
baja el próximo término del
dividendo. Observa que el primer
término 5x4 y -5x4 se eliminan.
5. Recuerda que la resta de polinomios se
convierte en la suma del opuesto de cada
término del segundo polinomio:
(5x4 + x3) – (5x4 – 5x3) =
(5x4 + x3) + (-5x4 + 5x3)
7. Se repite el proceso (pasos 1-6).
Veamos en la próxima pantalla.
6x3 – 3x2
Continuación de Ejemplo 2
• Divide por .8635 234 xxxx 1x
86351 234 xxxxx
5x3
-5x4 + 5x3
6x3 – 3x2
8. Se divide 6x3 y el resultado es 6x2.
x
9. Se coloca el resultado + 6x2 en el
cociente.
10.Se multiplica el cociente + 6x2 por todo el
divisor (x - 1) y se obtiene 6x3 – 6x2. Se
coloca este resultado debajo del anterior.
Ahora tendríamos que restar y como restar
equivale a sumar el opuesto tendríamos:
(6x3 – 3x2) – (6x3 – 6x2) =
(6x3 – 3x2) + (-6x3 + 6x2)
-6x3 + 6x2
3x2 - 6x
+ 6x2
11. Se eliminan los primeros términos
6x3 y -6x3 y el resultado es 3x2 .
12. Se baja el próximo término -6x.
Continuación de Ejemplo 2
• Divide por .8635 234 xxxx 1x
86351 234 xxxxx
5x3
-5x4 + 5x3
6x3 – 3x2
-6x3 + 6x2
3x2 - 6x
+ 6x2
13. Se repite el proceso de dividir,
luego multiplicar, luego restar,
finalmente bajar el próximo y
último término.
-3x2 + 3x
+ 3x
-3x - 8
- 3
3x - 3
- 11
Observa que cuando se ha
bajado el último término del
dividendo y se ha obtenido el
residuo correspondiente a éste,
el proceso de división finaliza.
Este será el resultado final.
Continuación de Ejemplo 2
• Divide por .8635 234 xxxx 1x
86351 234 xxxxx
5x3
-5x4 + 5x3
6x3 – 3x2
-6x3 + 6x2
3x2 - 6x
+ 6x2
-3x2 + 3x
+ 3x
-3x - 8
- 3
3x - 3
- 11
Podemos expresar esta división de la
siguiente manera:
1
11)3365(
1
8635 23234
xxxx
x
xxxx
Observa que el residuo -11 es una
parte fraccionaria del divisor.
Cociente Residuo
Reflexión
• Cuando se aplica la división larga hay dos reglas que hay que considerar antes de proceder a dividir.
– El dividendo y el divisor tienen que estar ordenados en forma descendente de acuerdo al grado mayor de una de las variables.
– Si faltara alguna potencia de la variable en el dividendo, hay que reservar este espacio con un cero. Esto significa que hay 0x ó 0x2 ó 0x3, dependiende de la potencia que falte.
Ejemplo 3:
• En este ejemplo tanto el dividendo como el divisor están ordenados en forma descendente, pero, en el dividendo faltan las potencias de x2 y x1 por tanto, tenemos que reservar el espacio de estas dos potencias con un CERO.
• Dividimos 125x3 por 5x y tenemos 25x2.
80012525 23 xxxx
25
8125 3
x
x
80012525 23 xxxx
25x2
Continúa en la próxima pantalla.
Continuación Ejemplo 3:
• Luego multiplicamos 25x2 por todo el divisor (5x -2) y tenemos:
• Ahora tenemos que restar, por tanto, sumamos el opuesto y tenemos:
25
8125 3
x
x
80012525 23 xxxx
25x2
125x3 – 50x2
80012525 23 xxxx
25x2
-125x3 + 50x2
50x2 + 0x
Continúa en la próxima pantalla.
Observa que si no
hubiéramos reservado el
espacio de la potencia
de x2 , no hubiéramos
podido sumar ya que los
términos no hubieran
sido semejantes.
Continuación Ejemplo 3:
• Volvemos a dividir, esta vez, 50x2 por 5x que nos da 10x. Luego multiplicamos 10x por el divisor (5x – 2). Finalmente sumamos el opuesto y bajamos el próximo término.
25
8125 3
x
x
80012525 23 xxxx
25x2
-125x3 + 50x2
50x2 + 0x
Continúa en la próxima pantalla.
+ 10x
-50x2 + 20x
20x – 8
Continuación Ejemplo 3:
• No hemos terminado de dividir ya que aunque se bajó el último término, todavía no hemos obtenido el residuo.
• Volvemos a dividir, esta vez, 20x por 5x que nos da +4. Luego multiplicamos 4 por el divisor (5x – 2) y sumamos el opuesto. El resultado obtenido es el residuo.
25
8125 3
x
x
80012525 23 xxxx
25x2
-125x3 + 50x2
50x2 + 0x
+ 10x
-50x2 + 20x
20x – 8
+ 4
-20x + 8
0 Residuo
Ejemplo 4:
• Se ilustra el proceso para dividir:
• El resultado es:
2
59 24
x
xx
50902 234 xxxxx-x4 + 2x3
2x3 – 9x2
-2x3 + 4x2
-5x2 + 0x
5x2 – 10x
-10x – 5
Residuo
10x – 20
x3 + 2x2 – 5x – 10
– 25
2
251052 23
xxxx
Ejemplo 4:
• Se ilustra el proceso para dividir:
• El resultado es:
2
59 24
x
xx
50902 234 xxxxx-x4 + 2x3
2x3 – 9x2
-2x3 + 4x2
-5x2 + 0x
5x2 – 10x
-10x – 5
Residuo
10x – 20
x3 + 2x2 – 5x – 10
– 25
2
251052 23
xxxx
División de Polinomios por Binomios de la forma (x – a):
Método de la División Sintética
División Sintética
• La división sintética es un proceso de división sintetizado o resumido.
• Esto implica que es un proceso más corto, lo único que solo aplica cuando el divisor tiene la forma (x – a), o sea el coeficiente de x es 1.
• La división sintética se conoce también por el Método de Ruffini.
• Para entender mejor este método observa la próxima pantalla.
División Sintética
• Compara la columna de la izquierda con la de la derecha. ¿Qué observas?
• La columna a la izquierda ilustra el método de división larga. La columna a la derecha ilustra el mismo proceso, excepto que solo aparecen los coeficientes, no aparecen las variables.
853 2 xxx
x
-x2 + -3x
2x + 8
+ 2
-2x + -6
2
85131
1
-1 + -3
2 + 8
+ 2
-2 + -6
2
División Sintética• Veamos otro ejemplo
• Observa que como estamos dividiendo por un divisor donde el primer término tiene coeficiente 1, el coeficiente del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo, excepto por el signo opuesto.
7342 23 xxxx
4x2
-4x3 + 8x2
5x2 + x
+ 5x + 11
-5x2 + 10x
11x + 7
-11x + 22
29
7134
4
-4 + 8
5 + 1
+ 5 + 11
-5 + 10
11 + 7
-11 + 22
29
1 – 2
División Sintética• Veamos otro ejemplo
• Observa que los coeficientes en color rojo son siempre el opuesto de los primeros coeficientes del dividendo (en color azul). Esto produce que siempre se eliminen los primeros términos cuando se van a sumar.
7342 23 xxxx
4x2
-4x3 + 8x2
5x2 + x
+ 5x + 11
-5x2 + 10x
11x + 7
-11x + 22
29
1 – 2 7134
4
-4 + 8
5 + 1
+ 5 + 11
-5 + 10
11 + 7
-11 + 22
29
4
División Sintética• Veamos otro ejemplo
• Observa que los coeficientes en color rojo se pueden obtener también si en vez de sumar el opuesto se divide por el opuesto del divisor. Estos es, en vez de dividir por (x -2) y luego sumar el opuesto, se puede dividir por (-x+2) y luego sumar en vez de restar.
7342 23 xxxx
4x2
-4x3 + 8x2
5x2 + x
+ 5x + 11
-5x2 + 10x
11x + 7
-11x + 22
29
7134
4
-4 + 8
5 + 1
+ 5 + 11
-5 + 10
11 + 7
-11 + 22
29
1 – 2
Reflexión
• En la división sintética se sintetiza el proceso de división larga al tomar en consideración las observaciones anteriores.
• Ilustraremos el proceso de división sintética usando el mismo ejercicio anterior.
• Veamos en la próxima pantalla:
2
734 23
x
xxx
Ejemplo 1:
+2 4 -3 1 7
2
734 23
x
xxx
Aquí se colocan los coeficientes del
dividendo en orden descendente. Si falta
alguna potencia de la variable, se reserva el
espacio con un cero
Este es el símbolo que se usa para representar la
división sintética
Continúa en la próxima pantalla.
Se coloca esta línea para separar los coeficientes de
la suma
Aquí se escribe el opuesto del segundo
coeficiente del divisor.
Ejemplo 1:
+2 4 -3 1 7
2
734 23
x
xxx
1 El proceso comienza
siempre bajando el
primer término.
2. Luego se multiplica el
primer coeficiente por el
coeficiente que
representa el divisor y se
coloca debajo del
segundo término del
dividendo.
3. Se suman los
segundos coeficientes.
4. Se repite el paso 2 y 3
pero con el nuevo
coeficiente hallado.
4 5 11 29
8 10 22
5. Colocamos una línea
para separar el residuo
del cociente.
Ejemplo 1:
+2 4 -3 1 7
2
734 23
x
xxx
4 5 11 29
8 10 22
RESIDUO
COCIENTE
Observa que al dividir por un divisor de
grado 1 (x-a), se producirá un cociente de
grado uno menos que el grado del
dividendo. Esto es, si el dividendo es de
grado 3, el cociente será de grado 2.
Grado 3
Grado 1
Es por esto que podemos
construir el cociente
asignando a los
coeficientes encontrados,
comenzando con la
variable en un grado
menos que el grado del
dividendo. Las demás
potencias de las variables
quedarán en forma
descendente.
Ejemplo 1:
+2 4 -3 1 7
2
734 23
x
xxx
4 5 11 29
8 10 22
2
29)1154(
2
734 223
xxx
x
xxx
4x2 + 5x+ 11Grado 1
Grado 2
Grado 0
Como el residuo es parte
fraccionaria del divisor tenemos que
29 representa: 29
x - 2
Grado 3
Ejemplo 2:
1 6 -1 -30
2
306 23
x
xxx
+ 2
Colocamos el opuesto del
coeficiente en el divisor.
Bajamos el primer
coeficiente.
1
Multiplicamos el
coeficiente por el divisor y
lo colocamos debajo del
segundo coeficiente.
2
8
Sumamos los
segundos
coeficientes
Repetimos el
proceso de
multiplicar y sumar
hasta obtener el
residuo.
16
15
30
0
RESIDUOCOCIENTE
Comenzamos colocando
los coeficientes del
dividendo asegurándonos
que las variables están
en orden descendente.
Ejemplo 2:
1 6 -1 -30
2
306 23
x
xxx
+ 2
1
2
8
16
15
30
0
x2 + 8x+ 15Grado 1
Grado 2
Grado 0
RESIDUO
1580)158(2
306 2223
xxxxx
xxx
Cociente + Residuo
Ejemplo 3:
2 7 0 -5
3
572 23
x
xx
-3
Colocamos el opuesto del
coeficiente en el divisor.
Bajamos el primer
coeficiente.
2
Multiplicamos el
coeficiente por el divisor y
lo colocamos debajo del
segundo coeficiente.
-6
1
Sumamos los
segundos
coeficientes
Repetimos el
proceso de
multiplicar y sumar
hasta obtener el
residuo.
-3
-3
9
4
RESIDUOCOCIENTE
Colocamos los
coeficientes del dividendo
en orden descendente.
Como falta la potencia x,
reservamos el espacio
con un cero
Ejemplo 3:
2 7 0 -5
3
572 23
x
xx
-3
2
-6
1
-3
-3
9
4
COCIENTE
32 2 xx
RESIDUO
3
4
x
3
4)32(
3
572 223
xxx
x
xx
Ejemplo 4:
1 0 0 0 -1
1
14
x
x
+1
1
1
1
-1
1
1
1
1
0
COCIENTE
123 xxx
RESIDUO
1
0
x
)1(1
1 234
xxxx
x
Ejercicios de Práctica
Instrucciones
• En tu libreta, realiza los ejercicios a continuación.
• Luego, haz clic para ver resultados.
Ejercicios de Práctica
• Divide los polinomios a continuación.
2
256
6
361824
x
xxx 634 34 xx
2
247
5
152045
y
yyy
)2()221432( 222334 babababa
349 25 yy
11716 22 abba
Ejercicios de Práctica
• Divide los polinomios a continuación.
7x)3()2110( 2 xxx
)4()168( 2 aaa
)42()1464( 23 yyy
)2()652( 2234 xxxxx
4
32)2(
aa
42
6)22( 2
yyy
2
123)92(
2
2
x
xxx
Ejercicios de Práctica
• Divide los polinomios a continuación.
1
4)1( 2
xxx)1()522( 23 xxxx
)4()1911( 2 aaa
)3()18253( 24 xxx
)2()16( 4 yy
4
47)7(
aa
)6293( 23 xxx
)842( 23 yyy