Teorema de Pitágoras y su recíproco

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, La suma de los d d d l did d t t i lcuadrados de la medidas de sus catetos es igual

al cuadrado de la medida de la hipotenusa.

c a2 + b2 = c2a

b

Cateto

bCateto

Ejemplo: encuentre el valor de x

a2 + b2 = c2

6x (6)2 + (8)2 = x2

36 + 64 = x2

836 64 x

100 = x2

2100 x=10 = x10 = x

Ejemplo: encuentre el valor de x

x2 + b2 = c2

x29 x2 + (21)2 = (29)2

x2+ 441 = 84121

x 441 841-441 -441

x2 = 4004002 =x

x = 400

x = 20

Ejemplo: Encuentre el área del triánguloC

a2 + b2 = c2

h2 + (10)2 = (12)212 h2 + (10)2 = (12)2

h2+ 100 = 144100 100

h

A B -100 -100h2 = 441010

442 =h20

44=hbhA 1= 44=hbhA

2

( )( )1 Á( )( ) 4410442021

==A Área

Tripleta pitagórica:

Una Tripleta Pitagórica Tripleta Pitagórica es el conjunto de ú di ti t d t lnúmeros distintos de cero tal que sus

números aa, bb, y cc satisface la siguiente ecuación aa22 + b+ b22 = c= c22 por ejemplo: 3 4 5ecuación aa2 2 + b+ b22 = c= c22 , por ejemplo: 3, 4, 5

aa22 + b+ b22 = c= c22

(3)(3)22 + (4)+ (4)22 = (5)= (5)22(3)(3) + (4)+ (4) = (5)= (5)9 + 16 = 259 + 16 = 25

25 = 2525 = 2525 = 2525 = 25

¿Son 4, 5, 6 una tripleta pitagórica?

aa22 + b+ b22 = c= c22

(4)(4)22 + (5)+ (5)22 = (6)= (6)22

16 + 25 = 3616 + 25 = 3641 41 ≠≠ 3636

4, 5, 6 4, 5, 6 No son una tripleta No son una tripleta pitagórica pues no satisfacen la pitagórica pues no satisfacen la ecuaciónecuaciónecuación.ecuación.

T R í d l t dTeorema: Recíproco del teorema de Pitágoras

Si el cuadrado de la medida de un lado de un t iá l i l l d l d dtriángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es un triángulo rectánguloes un triángulo rectángulo.

c Si c2 = a2 + b2 a

b

entonces es un triángulo rectángulob g g

¿Es un triángulo rectángulo?

c2 = a2 + b2

1385 (85)2 = (13)2 + (84)2

7225 = 169 + 705684

7225 169 7056 7225 = 7225

El triángulo es un triángulo rectángulotriángulo rectángulo

Teorema

Si el cuadrado de la medida del lado más l d l t iá l ( ) llargo del triángulo es mayor que ( > ) la suma de los cuadrados de los otros dos l d t l t iá l bt á llados, entonces el triángulo es obtusángulo.

Si c2 > a2 + b2, Si c > a + b ,

el triangulo es obtusángulo

c

aobtusángulo.

b

Teorema

Si el cuadrado de la medida del lado más l d l t iá l ( ) llargo del triángulo es menor que ( < ) la suma de los cuadrados de los otros dos l d t l t iá l tá llados, entonces el triángulo es acutángulo.

Si c2 < a2 + b2, Si c < a + b ,

El triangulo es acutángulo

ac

acutángulo.b

Ej l Cl ifi l t iá lEjemplo: Clasifica el triángulo como acutángulo, Obtusángulo o Rectángulo.

Las medidas de los lados de un triángulo son dadas, Clasifica el triángulo como acutángulo ObtusánguloClasifica el triángulo como acutángulo, Obtusángulo o Rectángulo. 6, 11, 14

?c2 = a2 + b2

?

(14)2 = (6)2 + (11)2? Si c2 > a2 + b2, (14) (6) (11)196 = 36 + 121 ? entonces el triángulo

es obtusángulo.196 > 157

Ej l Cl ifi l t iá lEjemplo: Clasifica el triángulo como acutángulo, Obtusángulo o Rectángulo.

Las medidas de los lados de un triángulo son dadas, Clasifica el triángulo como acutángulo ObtusánguloClasifica el triángulo como acutángulo, Obtusángulo o Rectángulo. 12, 13, 15

?c2 = a2 + b2

?

(15)2 = (12)2 + (13)2?Si c2 < a2 + b2, (15) (12) (13)

225 = 144 + 169 ? entonces es un triángulo acutángulo.

225 < 313