Lecciones de FísicaNo debería considerarse esta obra como un libro más de Física Universitaria o...
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LLeecccciioonneess ddee FFííssiiccaa RReessuullttaaddooss ddee llooss
PPrroobblleemmaass
MM.. RR.. OOrrtteeggaa GGiirróónn
LLeecccciioonneess ddee FFííssiiccaa
MMeeccáánniiccaa 11 Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, xii+360 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Introducción. Álgebra vectorial. Vectores deslizantes. Análisis vectorial. Cine-mática de la partícula. Cinemática del sólido rígido. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de mo-vimiento. Las fuerzas de la Naturaleza. Siste-mas de referencia en rotación. Trabajo y ener-gía. Conservación de la energía. Momento angular. Fuerzas centrales. Movimiento armónico simple. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Superposición de movimientos armónicos simples. MMeeccáánniiccaa 22 Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, xii+386 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Geometría de masas. Sistemas de partículas. Sistemas de masa variable. El pro-blema de dos cuerpos. Colisiones. Estática del sólido rígido. Dinámica del sólido rígido. Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido. Ecuaciones de Euler. Diná-mica impulsiva del sólido rígido. MMeeccáánniiccaa 33 Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, x+332 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: La ley de la Gravitación Univer-sal. El campo gravitatorio. Elementos de elas-ticidad. Elastostática. Estática de los fluidos. Tensión superficial. Cinemática de los flui-dos. Dinámica de los fluidos ideales. Diná-mica de los fluidos reales. Flujo viscoso. MMeeccáánniiccaa 44
Autor: Manuel R. Ortega Girón. Ilustrado, x+238 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Ondas progresivas. Fenómenos ondulatorios. Ondas estacionarias. Acústica física. Acústica musical y arquitectónica. Apéndices. TTeerrmmoollooggííaa Autores: Manuel R. Ortega Girón.
José A. Ibáñez Mengual Ilustrado, xii+430 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Conceptos previos. Temperatura y dilatación. Gases ideales y reales. Ecuacio-nes térmicas de estado. El calor y su medida. Propagación del calor. Primer principio de la Termodinámica. Segundo Principio de la Termodinámica. Potenciales termodinámicos. Transiciones de fase. Teoría cinética de los gases. Física estadística. Apéndices matemáti-cos. Tablas. PPrrááccttiiccaass ddee FFííssiiccaa ((FFííssiiccaa GGeenneerraall)) Autor: Manuel R. Ortega Girón Ilustrado, viii+328 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Un total de 50 prácticas de Mecá-nica, Ondas, Termología, Electricidad y Mag-netismo, Electrónica y Óptica apropiadas para los laboratorios de Física de Primer Ciclo de las Facultades y Escuelas Técnicas. PPrroobblleemmaass ddee FFííssiiccaa Autor: Manuel R. Ortega Girón Ilustrado, viii+450 pág., 17×24 cm, rústica. Contenido: Un total de 450 problemas de Mecánica, Ondas, Termología, Electricidad y Magnetismo apropiados para lo estudiantes de Primer Ciclo de las Facultades y Escuelas Técnicas.
Lecciones de Física ● R de P
● M. R
. Ortega
Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba.
MMaannuueell RR.. OOrrtteeggaa GGiirróónn
LLeecccciioonneess ddee FFííssiiccaa RReessuullttaaddooss ddee llooss PPrroobblleemmaass
ii Lecciones de Física
Lecciones de Física Resultados de los Problemas Décima edición: diciembre 2011
© Copyright: Manuel R. Ortega Girón Editor: Manuel R. Ortega Girón CL Santa Cruz, 10 14.012 Córdoba. España. Tfnos.: +34 957 280051 e-mail: [email protected] http://www.uco.es/users/mr.ortega Impresión: Reprografía Don Folio 14.013 Córdoba. España. I.S.B.N. ISBN 84-404-4290-4 Depósito legal: DP
© Copyright. Reservados todos los derechos. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida por cualquier medio, incluidas las fotocopias, sin el permiso por escrito del autor.
Manuel R. Ortega Girón iii
PPrróóllooggoo ddeell aauuttoorr
Este libro está destinado a los alumnos de Primer Ciclo de las Facultades de Ciencias y Escuelas Técnicas. Durante su elaboración he pretendido la consecución de dos objetivos principales que entiendo que deben orientar la docencia de las asignaturas de Física de Primer Ciclo de los estudios universitarios: familiarizar al alumno con el conjunto de los conceptos y leyes básicas que constituyen la esencia de la Física y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y para aplicarlas a situaciones concretas. Además, creo que estas asignaturas, y muy especialmente la asignatura correspondiente al Primer Curso Universitario, deben proponerse unos objetivos de cimentación y estructuración de los conocimientos adquiridos en los cursos de enseñanza media, lo que será de gran utilidad en los estudios universitarios más avanzados de grado y postgrado.
Desde la más remota antigüedad, la enseñanza se ha enfrentado con dos problemas cardinales: decidir qué conocimientos se deben transmitir (contenidos) y acertar con cómo puede hacerse esa transmisión (forma).
A lo largo de los sucesivos cursos en los que he participado en la docencia de la Física de Primer Ciclo, en las Universidades de Sevilla, Autónoma de Barcelona y Córdoba, he tenido ocasión de ir perfilando los programas de las asignaturas que se imparten a este nivel, tratando de encontrar el punto de equilibrio entre la extensión de los programas y el nivel y profundidad en el tratamiento de cada uno de los temas. Durante este proceso de estructuración y perfeccionamiento, siempre he tenido muy presente que los programas de estas asignaturas, aunque pueden plantearse de muy diversas formas, con enfoques diferentes, con una gran variedad en cuanto a sus contenidos,... de ningún modo pueden ser una simple suma de temas inconexos o poco relacionados entre sí, por muy interesantes y bien estructurados que estén cada uno de ellos. Entiendo que el propósito primario de estas asignaturas debe ser dar al estudiante una visión unificada de la Física a través de la compresión de los conceptos, leyes y principios que constituyen el aspecto más fundamental de esta ciencia.
Existen muchos y excelentes libros adecuados a este nivel, que satisfacen en gran medida los requisitos anteriormente expuestos. Muchos de ellos son de procedencia foránea, lo que los distancia, hasta cierto punto, de la problemática de la enseñanza en nuestras Universidades. Para soslayar este inconveniente, los profesores suelen recurrir a recomendar a sus alumnos varios libros de texto, como complemento de los apuntes que éstos tomen en clase. Otros, han sido preparados, con encomiable ilusión y entrega, por compañeros docentes universitarios, a fin de facilitar al alumno el aprovechamiento de las clases poniendo a su disposición un texto base, aunque ello no
iv Lecciones de Física
implique la renuncia a la consulta de otros libros de texto y de obras más especializadas.
Fruto de estas convicciones y de mi larga trayectoria docente en el ámbito de la Física Universitaria es el presente libro, en el que pretendemos cubrir los contenidos que normalmente se desarrollan en las disciplinas de Física de Primer Ciclo de nuestras Facultades y Escuelas Técnicas.
No debería considerarse esta obra como un libro más de Física Universitaria o General, en la acepción que tradicionalmente tienen estas denominaciones, ya que tanto su nivel como su extensión son notablemente superiores a los que encontramos normalmente en los libros de texto de tal denominación. Mi intención ha sido desarrollar un programa en el que tengan cabida aquellos temas de la Física Clásica que configuran los contenidos de la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios, en sus vertientes científica y técnica, prestando una atención especial a las asignaturas que se imparten en Primer Curso, de modo que los profesores puedan seleccionar los temas que sean apropiados a los Planes Docentes de sus Centros. Incluso algunos temas de esta obra, que normalmente se incluyen en el programa de la asignatura de Primer Curso, tienen un nivel algo superior al que normalmente encontramos en los textos de Física General Universitaria. De este modo, el profesor podrá graduar el nivel de sus enseñanzas al de la preparación previa de sus alumnos, evitando así que la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios sea, en algunos casos, una mera repetición de la correspondiente al Curso de Orientación Universitaria.
Este libro viene a completar y mejorar mi anterior obra Lecciones de Física, que ha tenido una amplia y buena acogida, durante más de dos décadas, en diversas Universidades Españolas. En ese contexto, debo expresar una vez más mi agradecimiento a todos aquellos compañeros que de un modo u otro colaboraron en los albores de la misma, muy especialmente a mis amigos y colegas los Dres. José A. Ibáñez Mengual (U. Murcia) y Alejo Vidal-Quadras Roca (UAB), y a cuantos compañeros en las tareas docentes que con la buena acogida que dispensaron a aquellas Lecciones y con sus útiles comentarios y sugerencias han hecho posible que esta obra salga hoy a la luz.
Córdoba, diciembre 2011.
Manuel R. Ortega Girón v
A Estela y Olga
Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, como quiera que me aseguraban que por medio
de éstas se podía adquirir un conocimiento claro y seguro de todo aquello que es útil para la vida, yo tenía
un vivísimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acabé el curso de los estudios, al finalizar los cuáles es costumbre
ser admitido en la jerarquía de los doctos, cambié enteramente de opinión. Por que me encontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que me parecía no
haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que el descubrir cada vez mejor mi ignorancia.
RENÉ DESCARTES (1596-1650)
El Discurso del Método.
vi Lecciones de Física
Manuel R. Ortega Girón vii
LLeecccciioonneess ddee FFííssiiccaa RReessuullttaaddooss ddee llooss PPrroobblleemmaass
viii Lecciones de Física
Lecciones de Física Mecánica 1 1. Álgebra vectorial. 2. Vectores deslizantes. 3. Análisis vectorial. 4. Cinemática de la partícula. 5. Cinemática del sólido rígido. 6. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia. 7. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. 8. Las fuerzas de la Naturaleza. 9. Sistemas de referencia en rotación. 10. Trabajo y energía. 11. Conservación de la energía. 12. Momento angular. Fuerzas centrales. Mecánica 2 13. Movimiento armónico simple. 14. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. 15. Superposición de movimientos armónicos simples. 16. Geometría de masas. 17. Sistemas de partículas. 18. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos. 19. Colisiones. 20. Estática del sólido rígido. 21. Dinámica del sólido rígido. 22. Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido. 23. Ecuaciones de Euler. 24. Dinámica impulsiva del sólido rígido. Mecánica 3 25. La ley de la Gravitación Universal. 26. El campo gravitatorio. 27. Elementos de elasticidad. 28. Elastostática. 29. Estática de los fluidos. 30. Tensión superficial. 31. Cinemática de los fluidos. 32. Dinámica de los fluidos ideales. 33. Dinámica de los fluidos reales. 34. Flujo viscoso. Mecánica 4 35. Ondas progresivas. 36. Fenómenos ondulatorios en medios ilimitados. 37. Fenómenos ondulatorios en medios limitados. 38. Ondas estacionarias. 39. Acústica física. 40. Acústica musical y arquitectónica. Apéndices. Termología 1. Conceptos previos. Temperatura y dilatación. 2. Gases ideales y reales. Ecuaciones térmicas de estado. 3. El calor y su medida. 4. Propagación del calor. 5. Primer principio de la Termodinámica. 6. Segundo Principio de la Termodinámica. 7. Aplicación simultánea del Primer y Segundo Principios. 8. Potenciales termodinámicos. 9. Transiciones de fase. 10. Teoría cinética de los gases. 11. Física estadística. Apéndices y Tablas. Problemas de Física
Prácticas de Física
1.- Álgebra vectorial.
1.1. a) B=0 b) A B c) A⊥B d) A⊥B
1.2. s/c 1.3. 33
(i j k)
1.4. OP λ ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
AA
BB
1.5. s/c 1.6. s/c
1.7. sen(α β ) senα cosβ cosα senβcos(α β ) cosα cosβ senα senβ
1.8. A = 2u+u+3w
1.9. A = 10e+b con b=-3i+4j+7k
1.10. a) A B=B C=C A=0; A×B=71Cb) eA=(1.39 0.82 -0.51)eB=(0.35 0.37 1.29)eC=(0.90 -1.06 0.06)
1.11. s/c
1.12. a) 5.48 b) (4 6 6) c) 16 d) 55°e) 2.92 f) (18 -14 2)g) (0.79 -0.61 0.087)
1.13. 70.53° 1.14. 52, 8, -34
1.15. 3.5u-2.5v-0.5w
1.16. a=(2 2 4); b=(1 -4 1)
1.17. V cualquieraX CA 2
(V×A)
1.18. m cualquieraX C×A
A 2mA
1.19. X cA 2
A 1A 2
(C×A)
1.20. a) prod. esc. diagonales b) prod.vect. diagonales.
1.21. 7.8 unid. de área
1.22. x 21
y 42
z 51
1.23. x 12
y 51
z 33
1.24. 3.7 1.25. a) 147
5 4 2
1.26. 18x+6y-3z+18=0
1.27. x+2y+3z-21=0
Manuel R. Ortega Girón 335
336 Resultados de los problemas
1.28. x 203
y 114
z20
1.29. 6x-11y+3z+7=0
1.30. -6/11 1.31. 25 / 57
1.32. s/c 1.33. 1.34. a) 27 b) -272 3
1.35. s/c 1.36. (0 -3 -18) 1.37. s/c
1.38. s/c 1.39. (2 4 3)
1.40. a) (3.23 1.60 4.00)b) (0.23 3.60 4.00)
1.41.
x′2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
cos2θA 2
sen2θB 2
y′2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
sen2θA 2
cos2θB 2
2x′y′ ⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
1A 2
1B 2
senθ cosθ 1
1.42. s/c
2.- Vectores deslizantes.
2.1. a) (18 0 -12) b) (13 5 -7) c) s/c
2.2. a) 8, -7, 2 b) -3/14 (2 3 1)c) 15/19 (2 3 -5)
2.3. 4, x 32
5 2y6
z2
2.4. s/c 2.5. s/c
2.6. a=1, b=-2, c=5; (-4 2 -1)
2.7. a) 5 66
1 2 1
b) 6 1 2 1
c) 5 66
1 2 1
d) 66
1 22 13
2.8. a) (20/11, 19/11, 0) b) 11; no estádefinido.
2.9. (0 -1 1)
2.10. (-1 2 3); (5/3, 5/3, 0)
2.11. a) F1=0, F2, F3=F4 b) F1=F3, F2=0,F4=0
2.12. a) (4 -3 2), (3 1 1)
b) (4 -3 1), 5/13 (4 -3 1)
2.13. (4.00 1.32 2.95) en (0, 0, 0);(0.00 -0.32 -0.95) en(3.16, -8.43 0.00)
2.14. (0 1 0) en (0, 0, 0);(0 0 1) en (1, -1, 0)
2.15. 155x 1425
155y 597
155z 339
2.16. (0 2 0) en (0, 0, -0.50)
2.17. (0 0 1) en (0, 1, 0)
2.18. a) A=8πaλk; M0=6πa2λ(4j+3k)b) x=-3, y=0; {8πaλk;18πa2λk}
2.19. {(1 3 2); 2.5(1 3 2)} en (9, -1, -3)/14
2.20. s/c 2.21. s/c 2.22. s/c
2.23. a) 14; x+3y+2z=14b) (1.07, 3.07, 1.86)
2.24. a) (20, 19, 19)/11; ídem b) lo mismo
2.25. s/c
3.- Análisis vectorial.
3.1. 3.2. s/c2 5 ; 811
33
3.3. s/c 3.4.s/c 3.5. s/c 3.6. s/c
3.7. a) (t2/2+t t3/3 t2)+C b) (4.5 3 3)
3.8. ∂A∂x
2xyi zj 3z 2k
∂2A
∂x 22yi ∂2A
∂x∂y2xi ...
3.9. ; disparo der r0 v0t12
gt 2k
un proyectil
3.10. s/c
3.11. a) si b) esféricas concéntricas en (0,0,0)
Resultados de los problemas 337
3.12. paraboloides de revolución de eje z
3.13. a) si b) radiales
3.14. a) s/c b) φ(a) = -a2;
3.15. a) 4/3 b) 1 c) 1.5 d) 37/30 e) 17/12f) -11/60 g) no
3.16. 12π; no 3.17. a) 3 b) 4π c)
3.18. q/ 0 (ley de Gauss)
3.19. a) 2r b) (y3, z3, x3)c) (2xy/z3, x2/z3, -3x2y/z4)d) [sen(yz)-yzsen(xz),xzsen(yz)+cos(xz),xycos(yz)-xysen(yz)]e) (-xsenx+cosx+yz, xz, yz]
3.20. 4x+4y-z=6
3.21. a) 0 b) 1
142 3 1 ; 2 14
3.22. A 3.23. a) 3r2 b) (12/5)πR5
3.24. a) ∇×A=0 b) φ=(x4+y4+z4)/4+xyz+φ0c) 18.5
3.25. a) 12 b) φ=x+y+z+xyz+φ0 c) 12
3.26. a) no b) -(12+2π) c) 0 d) -(8+6π)
3.27. a) 4 b) φ=x2+y2+z2+xyz+φ0 c) 4
3.28. A=-er/r2; (-1, 0, 0)
3.29. a) φ=r+cte b) 0
3.30. s/c 3.31. s/c 3.32. s/c
3.33. a) s/c b) 4πk c) 0 d) ∇×A=0e) φ=k/r f) s/c
3.34. 4πkR5
3.35. a) s/c b) ∇ v=0; Φ=0
4.- Cinemática de la partícula.
4.1. 2.34 m
4.2. a) 2.54 s, 19.18 mb) -4.90 m/s; +4.90 m/s
4.3. amín
(v1 v2)2
2d
4.4. a) x=3+2t+t3 cmb) a=6t cm/s2 c) 41 cm/s
4.5. a) b)1v
1v0
kt x 1k
ln(1 kv0t)
c) d) s/c e) 1/300 m-1v v0 e kx
4.6. a) x k ln tt0
2.078 ln t0.618
(S.I.)
b) 37.08 min c) 672 m
4.7. x=3.07 sen(3t+1.35);v=9.21 cos(3t+1.35)
4.8. 3.75 10-3 m-1; 267 m
4.9. a) x2+y2=R2; antihorario b) r v=0c) a=-ω2r d) r×v=ωR2k=cte
4.10. a) b) r v≠0 c) a=-ω2rx 2
a 2
y 2
b 21
d)at
ω 2(a 2 b 2) senω t cosω t
a 2sen2ω t b 2cos2ω t
anω 2ab
a 2sen2ω t b 2cos2ω t
e) κ 1ρ
ab(a 2sen2ω t b 2cos2ω t)3/2
4.11. x2
x1x1
h 2 x 21
x2
h 2x 21 (h 2 x 2
1)x1x1
(h 2 x 21)3/2
4.12. a) y 4 sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
π2
x
b)v 4 16π 2cos2π ta 4π 2senπ t
4.13.2v 2
0cos2θ0
g cosα(tgθ0 tgα)
4.14. a) tgθ0=h/D b) v0 < Dgsen 2θ0
4.15. ysomb
v 20
2gg
2v 20
x 2
4.16. D 2 Hs sen θ0
338 Resultados de los problemas
4.17. a) y4=2x3
b)at
96t 3 36t
16t 2 9an
24t 2
16t 2 9
4.18. 54.7°
4.19. s/c 4.20. s/c 4.21. s/c
4.22.
a)r ⎛
⎜⎝
⎞⎟⎠
x x 2
2p0 ⎛
⎜⎝
⎞⎟⎠
kt k 2
2pt 2 0
v ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
k kp
x 0 ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
k k 2
pt 0
a ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
0 k 2
p0
b) atk 2x
p 2 x 2
ank 2
p 2 x 2
c) κ 1ρ
p 2
(p 2 x 2)3/2; ρ0 p
4.23. a) s/c b) v ω 2R 2 b 2 a ω 2R
c) at=0, an=ω2R d) ρ R b 2
ω 2R
4.24. a) 15
3senω t 3cosω t 4
b) , κ=3/25; ρ=25/3cosω t senω t 0
c) , τ=4/25; 25/415
4senω t 4cosω t 3
4.25. a) at=(4 4 2)/3; at=2; an=(4 -2 -4)/3;an=2 b) ρ=4.5
4.26. a) κ 2(1 2t 2)2
0.22
b) τ 2(1 2t 2)2
0.22
c) x 11
y 12
z 2/32
x 12
y 11
z 2/32
x 12
y 12
z 2/31
d) 6x 6y 3z 23x 6y 6z 136x 3y 6z 5
4.27. a) v k A 2sen2θ B 2cos2θ1 cosθ
b) x 2
A 2
y 2
B 2
k 2
(1 cosθ)2
4.28. (-11 11 -12); (-6 8 -12)
4.29. 9.59° NO, 592 km/h
4.30. 111 km/h; 627 km/h
4.31. s/c
4.32. a) x(θ) R senθ (l Rθ)cosθy(θ) (l Rθ)senθ Rcosθ
θ l l 2 2RvtR
b) tfl 2
2Rv
c) vt2Rv
2l πRat
8R 2v 2
(2l πR)3
4.33. a) b) nor Rk
senθ
c) k>π+1; ππ 1
Rvf
4.34. a) Hmáx Rv 2
0
2gR 2g2v 2
0
b) senθ Rgv 2
0
5.- Cinemática del sólidorígido.
5.1. a) no b) si c) si 5.2. avA/b
5.3. s/c 5.4. s/c 5.5. s/c
5.6. a) (-9 0 0) b) (0 -54 27)
5.7. (7 2 -6)
5.8. a) ω=(0 1 3); vO=(-9 6 -2)
b) x 2 ; y 2.7 z 0.93
;
vmín=0 c) (-10 9 -3)
Resultados de los problemas 339
5.9. a) (0 0 2) en (0,1,0); (1 1 -1) en(1,0,0) b) x-1 = y = -z
5.10. s/c
5.11. a) si b) (0 1 2) c) x=2; 2y-z=6d) {(0 1 2);2(0 1 2)}
5.12. a) si b) (-1 0 1) c) x=1; x+z=2d) {(-1 0 1);(0 0 0)}, rodadura
5.13. (0 -1 -1) en (0,1,0), (1,1,0), ...
5.14. a) a=1, b=1, c=0 b) {(0 0 1);(0 0 0)}c) x=0, y=1
5.15. a) (-2 2 0); (-2 2 3)b) (-4 -4 3); (-4 -13 9)
5.16. 16.5° 5.17. 9 cm/s; 1.125 cm/s2
5.18. a) s/c
b)v M
v0
2⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1 x
l 2 x 2
0
vM
l v0
2 l 2 x 2
c) vB 2 vM sen⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
θ0
2vM
lt
5.19. a) cos3θ0al
b)
ωvA cos2θ0
av B
l vA
a
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
senθ cos2θ
cos3θ a/l0
c)
a B
l vA
a 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
2 3 cos2θ3 senθ cosθ
0
cos3θ
5.20. 6 cm/s, 10 cm/s, 4 rad/s
5.21. a) vC=ωl, aC=ω2l/2
b) v B ω l ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
cos θ2
sen θ2
0
a Cω 2l2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
sen θ2
cos θ2
0
5.22. (ω[R+h] 0 0); (α[R+h] -ω2h 0)
5.23. a) generatriz de contactob) (ωR 0 0); (0 0 0)c) (ωy -ωx 0); (-ω2x -ω2[y-R] 0)d) (0 0 0); (0 ω2R 0)
5.24. a) ω1=20π rad/s; ω2=10π rad/sb) 628 cm/s; 45228 cm/s2
5.25. v
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
ω 2R cosφ
ω 1R senφ
ω 1R cosφ
a
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
2ω 1ω 2R senφ α2R cosφ
(ω 21 ω 2
2) R cosφ α1R senφ
ω 21R senφ α1R cosφ
5.26.
a)
v
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
0ωr2Ωr
a
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
(ω 2 2Ω2)rαr0
b)
v
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
ωr senφωr cosφ
Ωr (1 cosφ )
a
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
αr senφ (ω 2 2Ω2)r cosφ
αr cosφ ω 2r senφ0
5.27. a) x=-1/π; y=0; v=82.83 m/sb) x=-20/(20π+0.1); y=0;v=82.93 m/s
5.28. a) mov. helicoidal tangenteb) 636.23 m/s; 394 784 m/s2
5.29. a) 0 cm/s; 3.33 rad/s b) 300 cm/s;0 rad/s c) 0 cm/s; 3.33 rad/s
d)vA ωR senθ ⎛
⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1 cosθ
9 sen2θ
Ω ω cosω
9 sen2θ
5.30.
vA ωR senθ ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1 R cosθ
l 2 R 2sen2θ
aA ω 2R⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
cosθ R l 2cos2ω t R 2sen4ω t(l 2 R 2sen2θ)3/2
5.31. 20 cm/s; 30 cm/s2
5.32. 0.16 s; 79.4°
340 Resultados de los problemas
5.33. a) 0 2v0 0 ;⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
4v 20
3r0 0
b) v0 0 0 ;⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
v 30
3rv 2
0
r0
5.34. a) s/c b) vide figura
Prob. 5.34
c) v 2ωR sen ω t2
a ω 2R
5.35. a) at ω 2R cos ω t2
an ω 2R sen ω t2
b) ρ 1κ
4 R sen ω t2
; ρ 4R
5.36. v
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
ωyωx0
a
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
ω 2x αy
ω 2(y R) αx0
5.37. a) OP 2r cos(ω t θ2
) e
con e ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
cos(ψ θ2
) sen(ψ θ2
) 0
b) v 2ωr sen(ω t θ2
) e
c) a ω 2 OP
5.38. base: circunferencia, radio h/2 ycentro en C; ruleta: circunferenciaradio h y centro en O′.
5.39. base: coincide con el aro;ruleta: circunferencia, radio 2R, cen-tro en A.
5.40. a) base: y h 1h
x 2
ruleta: h 2x′2 y′2 (y′2 h 2)
b) ω hvh 2 v 2t 2
c)
v B v senθ
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
senθcosθ0 B
a B vω
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
sen2θcos2θ
0 B
v B v senθ
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
01
0 B′
a B vω
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
senθcosθ0 B′
5.41. a) ω2vA
Rsen2 θ
2
b) base: y2=2R(x-R/2);ruleta: y′2=2R(x′+R/2)
5.42. a) 7ω antihorario b) ω/3 antihorarioc) base: x2+y2=(20R/7)2;ruleta: x′2+y′2=(R/7)2 d) vs=20ωR/21
6.- Principios de la MecánicaClásica. La ley de la Inercia.
6.1. 86 164 s
6.2. a) permanece vertical b) hacia atrás:tgθ=a/g c) hacia adelante: tgθ=a/gd) hacia el exterior
6.3. a) 45 m/s b) 15 m/s c) 33.54 m/s
6.4. a) 37 s b) 333 s c) 83 s
6.5. 3.11 s 6.6. 70.5 km/h, 45.3 km/h
6.7. a) x′=0, y′=-(6t+t2) b) v′=(0 6-2t 0);a′=(0 -2 0)
6.8. verá al otro acercarse en una direc-ción constante.
6.9. s/c
6.10. a) OO′=½a0t2; OO″=v0t+½a0t2
b) x′=x-½a0t2; x″=x-v0t-½a0t2
c) v′=(vx-a0t vy vz); v″=(vx-v0-a0t vy vz)
d) a′=(ax-a0 ay az); a″=(ax-a0 ay az)
e) x=½a0t2; x′=0; x″=-v0t
Resultados de los problemas 341
6.11. a) S: ; S′: igualF e1
4π 0
e 2
h 2k
b) S: ; S′: noF m
µ0
4πe 2vh 2
k
hay
7.- Segunda y tercera leyes deNewton. Conservación de la
cantidad de movimiento.
7.1. x=(3t2-2t3) cm; v=(6t-6t2) cm/s
7.2. r=(52/3 5 14) m; v=(8 8 12) m/s
7.3. a) s/c b) F=-mω2r 7.4. s/c
7.5. Ftmg 2 x
v 40 g 2x 2
Fn
mgv 20
v 40 g 2x 2
7.6. a) 9.8 N b) 19.6 N
7.7. a) 55.36 m b) 9800 N
7.8. T 2π lg
7.9. a) v ± 2km
1x
1x0
b) tπx0
2mx0
2k
7.10. vfgL
L 2 b 2
tfLg
ln L L 2 b 2
b
7.11. 0.78 s
7.12. a) 22.3 kg b) a0=-3.2 m/s2 c) cero
7.13. a) "caída libre" b) parando motores
7.14. a) 42.6 s b) 273.6 km/h; 2 225 m
7.15. 84.6 min 7.16. M = mv2/rg
7.17. a) 3.13 m/s b) 6 kg c) 18 kg
7.18. a) 680.3 m b) 560 kg
7.19. a) 48.19° con la vertical b) 23
gR
c) 0.125 R
7.20. a) (12000 20785 0) kg m/sb) 163.3 kg (centrípeta)
7.21. a) -8.25 kg m/s; -8.25 N s b) 4125 N
7.22. a) s/c b) 3 ms c) 60 cm
7.23. a) -100 000 kg m/s, -50 000 Nb) -12 500 KG M/S; -62 500 N c) seconserva cant. mov. Tierra-auto.
7.24. F 2ρ2
A
7.25. a) 16 N b) -16 N 7.26. 44.041 g
7.27. 8.08 g 7.28.
7.29. a) 5v0(1/e-1)=-126.4 Nb) -(5v0/2)(1/e+1)=-136.8 N
7.30. a) pB=kt b) pB=kt-p0 c) FA=-k; FB=k
7.31. a) 11.74 km/h b) 260.870 kN
7.32. a) 148° b) 12.13 10-21 kg m/s
7.33.a) 2.731 10-25 kg m/s; 2.731 10-25 kg m/s;b) 2.731 10-24 kg m/s; 2.731 10-24 kg m/s;c) 2.731 10-23 kg m/s; 2.745 10-23 kg m/s;d) 1.366 10-22 kg m/s; 1.577 10-22 kg m/s;e) 2.595 10-22 kg m/s; 8.309 10-22 kg m/s;
7.34. 8.23 kg; 5.88 kg; 7.06 kg
7.35.a) 3.68 m/s2; 1.88 kg b) 0.61 m/s2; 2.80 kgc) 0.12 m/s2; 2.56 kg d) 2.45 m/s2; 3.75 kge) 1.33 m/s2; 3.41 kg f) 7.45 m/s2; 5.28 kgg) 2.56 m/s2; 1.28 m/s2; 2.61 kgh) 3.46 m/s2; 6.92 m/s2; 0.88 kg; 1.76 kgi) 0.58 m/s2; 1.15 m/s2; 2.67 kg; 5.29 kgj) 2.45 m/s2; 3.75 kg
7.36. a) no hay mov. b) ídem c) 0;4.9 m/s2 d) 2.45 m/s2; 14.7 m/s2
7.37. a) 40 kg b) 42 kg c) 35.9 kg
342 Resultados de los problemas
8.- Las fuerzas de laNaturaleza.
8.1. k 4π 4
GM
8.2. q 2L sen θ 4π 0mg tgθ
8.3. a) s/c b) xmín1
4π 0
2Qqmv 2
0
8.4. a) 5 kg b) 5 kg c) 6 kg
8.5. 0.466
8.6. a) a16 F
9m1 4m2
a223
a1
b) a1
6F 3(3m1 2m2)9m1 4m2
a223
a1
8.7. a) b) 26.6°F µ mgµ senθ cosθ
8.8. a) 84.6 kg b) 0.39 m/s2
8.9. a) 69.68° b) 1.01 m/s2
8.10. a) 80 cm b) no
8.11. a) 2.64 m/s2 b) 2.26 N, tensora
8.12. a) 23° b) 5.12 m/s2
8.13.
a) N1 N (senθ µ cosθ)µN1 N (cosθ µ senθ) m1(g a1)
N (senθ µ cosθ) µN2 m2a2
N2 N (cosθ µ senθ) m2ga1 a2 tgθ
b) a1=a2=3.32 m/s2 c) µ>0.268
8.14. a)v mg
k⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
v0mgk
ektm
a ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
g mgk
ektk
x vlímt⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
m(vlím v0)k
1 ektm
b) vlímmgk
8.15. a) s/c b) t 2.996α
x 2.046vlím
α
8.16. s/c
8.17. a) v 2gr senθ N 3mg senθ
b) v 2gr N 3mg
8.18. v0 2gy0 N0 (4y0 1)mg
8.19. a) 0 b) -0.412 m/s2 c) 1.412 m/s2
8.20. a) a0=g tgθ b) 2.63 m/s2
8.21. tgθ=g/a0
8.22. a) 9.7° b) 14.3° c) 18.8°
8.23. a) g/µ b) 4.9 m/s2; 2 h/g
8.24. a) b)m2
m1
(M m1 m2) gm2g
2 (m1 m2)
8.25. s/c 8.26. 58.2 kg
8.27. a) 70.7 kg b) 100 kg; 141 kgc) 61 kg; 70.7 kg; 15 kgd) 200 kg; 173.2 kge) 173.2 kg; 200 kgf) 193.2 kg; 273.2 kg
8.28. 17.98°; 10.67° (con la vertical)
8.29. a) b) ½mg cotgθT mg2 senθ
8.30. 68.786°; 0.842mg 8.31. s/c
9.- Sistemas de referencia enrotación.
9.1. s/c
9.2. vabs=(-14 8 -12); aabs=(-149 59 140)
9.3. a) vide fig. b) vide fig. c) no d) no
9.4. x=V0tcosωt; y=-V0tsenωt: x2+y2=(V0t)2
Prob. 9.3
Resultados de los problemas 343
9.5.a) (0 ΩR+2ωr 0); (ω2r-(ΩR+ωr)2/(R-r) 0 0)b) (ωrsenθ ΩR+ωr(1-cosθ) 0);(-ω2rcosθ-(ΩR+ωr)2/(R-r) -ω2rsenθ 0)
9.6.a) (-(Ω+ω)rsenθ ωR0+(Ω+ω)rcosθ 0);(-ω2R0-(Ω+ω)2rcosθ -(Ω+ω)2rsenθ 0)b) ω/Ω=r/(R0-r); (-(R0
2/r-R0+2r)ω2 0 0)
9.7.
v abs
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
ω 2R cosφ
ω 1R senφ
ω 1R cosφ
a abs
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
α2R cosφ 2ω 1ω 2R senφ
α1R senφ (ω 21 ω 2
2)R cosφ
α1R cosφ ω 21R senφ
9.8. a)
v abs
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
ωr (1 cosθ)v senθ
v cosθ
a abs
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
2ωv senθ
v 2
rcosθ ω 2r(1 cosθ)
v 2
rsenθ
b) (-2ωr 0 v); (0 -v2/r-2ω2r 0)c) (-ωr -v 0); (2ωv -ω2r -v2/r)d) (0 0 -v); (0 v2/r 0) e) (-ωr v 0);(-2ωv -ω2r v2/r)
9.9. (-ωR -2v 0); (4ωv-αR -ω2R -v2/r)
9.10. (2v-ΩR 0 0);(0 -3v2/R-Ω2R+4Ωv -v2/r)
9.11.
v abs
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
v(1 rR
cosθ
ωr senθωr cosθ
a abs
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
2ωv rR
senθ
ω 2r cosθ v 2
R(1 r
Rcosθ)
ω 2r senθ
9.12. ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
v2
senθ ωr senθ
v cosθ ωr2
(1 cosθ)
32
v senθ
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
v 2
2rcosθ ω 2r
2(1 cosθ) 2ωv cosθ
v 2
rsenθ ω 2r senθ ωv senθ
32
v 2
rcosθ
9.13.
v
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
ω 2r cosθ
v0 cosθ ω 1r senθ
v0 senθ ω 1r cosθ
a
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
2ω 1ω 2r senθ 2ω 2v0 cosθ
(ω 21 ω 2
2)r cosθ 2ω 1v0 senθ
ω 21r senθ 2ω 1v0 cosθ
9.14. a) v v ωR cosλ 0
a
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
ω 2R senλcosλ2ωv senλ
ω 2R cos2λ
b) F cor 0 2mωv senλ 0
c) v=(-40 355.8 0) m/s;a=(-16.68 -3.75 -19.88) mm/s2;Fcor=(0 3.75 0) N
9.15. 27° 9.16. 0.33 9.17. 112.6 km/h
9.18. a) 16.7 m b) 16.7°
9.19. z ω 2
2g(x 2 y 2)
9.20. 3’ 21"; plomada
9.21. λ=43° 46’; βmáx=2° 29’
9.22. s/c
9.23. a)
t 1ω
ln l l 2 b 2
b
v ω l 2 b 2
344 Resultados de los problemas
b) Ncor 2mω 2 l 2 b 2
9.24. s/c 9.25. 1.75 cm
9.26. a) s/c b) -2.73 cm c) 613 km/h
9.27. a) s/c b) 7.23 µm; 44 mm; 1.7 mm
9.28. a) acor=0.0469 cm/s2, Oeste;Fcor=4.69 N, Este b) dcha. meridiano.
9.29. efecto Coriolis; si m=65 kg, dif.ida-vuelta=484 g
9.30. a) 0.34 b) Fcf=1332 dyn;Fcor=113 dyn
9.31. a) s/c b) 2’ 30" c) 8h 29min 7s
10.- Trabajo y energía.
10.1. a)a 1
213
t ;
v 12
t 16
t 2 ; x 14
t 2 118
t 3
b) P 32
t 32
t 2 13
t 3
c) 133.3 J
10.2. a) a 12
13
x ; v 33
3x x 2
b) P 33
(3 2x) 3x x 2
c) 152.5 mJ
10.3. 6.67 kN 10.4. s/c
10.5. a) 19.739 mN b) 592 mJ; no
10.6. a) helicoidal uniforme, R=mv/qB,
paso b) 0; noh 2π mqB 2
(v B)
10.7. a) W=pdV b) nRTln(V2/V1)c) (p1V1-p2V2)/(γ-1)
10.8. a) 490.7 N b) 24.9 C.V. c) 5.5 C.V.d) 6.7%
10.9. a) 162 km/h b) 65 km/hc) 294 km/h d) no hay límite.
10.10. 68 kW 10.11. a) 143 W b) -143 W
10.12. a) 1.225 J; 1.225 J b) 1.488 J;1.488 J c) ref. inerciales.
10.13. a) 151.33 erg b) 131.52 ergc) 130 erg d) no
10.14. a) ∇×F=0 b) Ep=-(x2y+xz3) c) 58 J
10.15. 48π 10.16. a) si b) 4k
10.17. a) F=-k(x y 0) b) F=-kr c) central;ley de Hooke.
10.18. a) b) 2πRf(R)C
F dr≠0
10.19. a) ΔEk12
m (senθ µ cosθ)2 g 2t 2
b) ΔEp12
m (senθ µ cosθ) g 2t 2 senθ
c) no; ΔE=Wf
10.20. W 12
mgL (1 senθ0 2µ cosθ0)
10.21. Ep1
4π 0
qq′r
10.22. a) b)14π 0
q 2
l1
4π 0
2q 2
l
10.23. a) Fr r0
r 2Ep,0 e r/r0
b) vide tabla c) vide figura; no
d) 0.026; 0.047; 0.210; 38.443; 5.88r0
10.24. a) s/c b) s/c c) s/c d) vide figura
Prob. 10.23
e) F(r)12Ep,0
r
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r0
r
12 ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
r0
r
6
f) r=r0; r<r0; r>r0 g) s/c
Resultados de los problemas 345
10.25. a)
Tabla Prob. 10.23
r/r0 F(r)/F(r0) Ep(r)/Ep(r)
2 1.38×10-1 1.84×10-1
4 7.78×10-3 1.24×10-2
10 6.79×10-6 1.23×10-5
Prob. 10.24
Ek1
8π 0
e 2
rEp
14π 0
e 2
r
E 18π 0
e 2
r
b) <Ek>12
<Ep>
10.26. <Ek> <Ep>14
mω 2A 2 14
kA 2
10.27. a) b)Ek12
kR 4 Ep14
kR 4
10.28.
a) <Ek>n 1n 3
E <Ep>2
n 3E
b) <Ek>=-E; <Ep>=2E
11.- Conservación de laenergía.
11.1. s/c 11.2. 80.4° 11.3. 2d
11.4. a) Ep=mgRcosθ; Ek=mgR(1-cosθ)b) at=gsenθ; an=2g(1-cosθ)c) 48.2° d) mayor
11.5. inicialmente es v F en sentidosopuestos
11.6. 11.7. a) s/c b) s/cv gl/2
11.8. 2.90 m 11.9. s/c
11.10. a) 28.48 m b) si; 12.58 m/s
11.11. a) hn=fnh0 b) -ΔEn=mg(1-f)fn-1;-ΔEn/En-1=1-f c) 28 botes d) 38.36 s
11.12. a) N=mg(2cosθ-2) b) 38.2°
11.13. a) 8 kN b) 160 kJ c) 80 kJ d) masavariable
11.14. a) b) 30°;vmín 5gR gR/2
11.15. a) 54.74°; 1.68 m/s b) 0.93 m
11.16. a) vide figura b) pozo de potencial
Prob. 11.16
c) -1.848; -0.765; 0.765; 1.848d) -2.109; 2.109
11.17. a) x=0, Ep=0, estable; x=1, Ep=3.25,inestable b) vide c) -0.229; 0.455;1.866 d) 1.49 cm e) 1.28 s
11.18. a) -a√2; 0; +a√2
Prob. 11.17
F(x) a 2E016a 4x 4a 2x 3 2x 5
(8a 4 x 4)2
346 Resultados de los problemas
b) c)v0 v 2∞
E0
4mα > 1
14E 2
0
9mv 2∞
d) e) ±a; ±1.87aα >
1E0
4mv 2∞
14E 2
0
9mv 2∞
11.19. a)
Prob. 11.18
Prob. 11.19
Epkx 2
2c
2x 2
b) x 2 Ek
E 2 ckk 2
sen(ω t θ0)
c) ω 2πT
2 km
11.20. a) 13.2 cm/s b) no pasa
11.21. a) (1,2), estable; (-1,-2), inestable;
Prob. 11.21
(-1,2), (1,-2), silla b) (1,3), sillac) (0,0), inestable; x2+x2=4, establed) (0,0), estable; x2+y2=9, inestable
11.22. a) Ep (ar 2 b) e cr 2 A 2 a bcac
b) c) s/cF 2acr (r 2 A 2) e cr 2
11.23. a) b) s/c c) s/cv v 20
2 U0
m
11.24. s/c 11.25. a) s/c b) s/c 11.26. s/c
11.27. a) 7.089m0 b) 12.42 c) 3.11 MeV
11.28. a) 1.18 pm b) no
11.29. 28.3 MeV/c2
Resultados de los problemas 347
11.30. a) 28.3 MeV b) 4.26×1024 MeV;190 GW h
11.31. 1.022 MeV
12.- Momento angular.Fuerzas centrales.
12.1. a) p=(4t 6 0) kg m/s; L=(0 0 30-6t2)kg m2/s b) (0 0 -12t) m N; igual
12.2. a) (0 0 t6); (0 0 6t5) b) (0 0 6t5)
12.3. a) (0 0 mabω); (0 0 0) b) fuerzacentral; tray. elíptica.
12.4. a) 80 cm/s; 64 kg cm2/s; 64 kerg;3.2 kdyn b) 320 cm/s; 64 kg cm2/s;1024 kerg; 205 kdyn c) 960 kerg
12.5. s/c
12.6. a) rmín=k; 2α=4k
b)
Prob. 12.6.....a)
vr v sen θ2
vθ v cos θ2
c) arv 2
2kcos4 θ
2aθ
v 2
2ksen θ
2cos3 θ
2
d) at 0 anv 2
2kcos3 θ
2ρ 2k
cos3 θ2
12.7. a) F L 2
mr3
Kr 3
b) F L 2
mk⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2r 2
kr 3
c) F L 2
m
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
2k 2
r 5
1r 3
d) F L 2
m⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
6kr 4
1r 3
e) F L 2 (1 α2)mr3
Kr 3
12.8. a) m<Ek>n 1n 3
E <Ep>2
n 3E
óv. limitados
b) <Ek> E <Ep> 2E
12.9. a) b)F L 2
mk 4r v
v0
kr
c) Ep′12
mv 20
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
k 2
r 2
r 2
k 4
12.10. a) L=cte b) c) r=kθ
Prob. 12.9.....c)
Prob. 12.10.....e)
φ (3t/k 2)1/3
d) F⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
2mk 2
r 5
mr 3
e) Epm2
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
k 2
r 4
1r 2
Ep′mk 2
2r 4
12.11. F Kr 5
12.12. a) b) vide fig.Ep14
Kr 4
348 Resultados de los problemas
c)
Prob. 12.12.....b)
E 34
KR 4 L R 3 mK
12.13.
a)
Prob. 12.13.....a)
Epk
3r 3; r0
mkL 2
;
E0k
6r 30
; L0mkr0
; inestable
b)Ep
kr 2
2; r0
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
L 2
mk
1/4
;
E0 kr 20 ; L0 r 2
0 mk ; estable
12.14. a)
Prob. 12.13.....b)
Ep′L 2 mk
2mr2
b) órb. circular: L2=mk, E=0
c) L2>mk: 1/r = r sen[Ω(θ-θ0)]
L2=mk: 1/r = A (θ-θ0) (espiral)
L2<mk: 1/r= Aexp (Ωθ)+A exp(-Ωθ)(espiral)
12.15. a) s/c b) F(r) 4π 2
T 2mr kr
12.16. a) b)v 2 e 2
4π 0rL 2 me 2r
4π 0c)
Epe 2
4π 0r; Ek
e 2
8π 0r;
E e 2
8π 0r; estado ligado
d)rn
0h2
πme 2n 2 5.292×10 11 n 2 m
Enme 4
8 20h 2
1n 2
13.6n 2
eV
e) 52.92 pm; -13.6 eV
12.17. a) T 2 4π 2
GMM1R1 M2R2
M1
R 21
M2
R 22
b) FGMM1M2
M1R1 M2R2
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
R2
R 21
R1
R 22
c) 1.55 h; 2.66 mN d) 1.55 h; 95.1 N
12.18. 42 175 km = 6.62RT
12.19. 16 min 26 s
12.20. a) 225 m/s; 9.95×10-5 rad/s; -8.2 min;6.9 GJ; -13.8 GJ; -6.9 GJb) 1.36×107 m N; 125.2 h c) 81
12.21. a) v0=0, rectilínea (vertical);0<v0<16 676 m/s, elipse, salvo parav0=16 676, circular; v0=16 676 m/s,parábola; v0>16 676 m/s, hipérbola;v0=∞, rectilínea (tangencial); nob) si; ±510 m/s
12.22. 7 369 m/s
12.23. v0>3 127 m/s, hipérbola;v0=3 127 m/s, parábola;v0<3 127 m/s, elipse.
12.24. a) elipseb) =0.21; a=2.53R; b=2.48R;rmín=2.00R; rmáx=3.06R; α=2.42R
Resultados de los problemas 349
c) =0.19; a=1.68R; b=1.65R;rmín=1.36R; rmáx=2.00R; α=1.62R
12.25. s/c 12.26. 0.0169 12.27. s/c
Prob. 12.24
12.28. a) 0.1111; 7 426 km; 7 380 mb) 1 h 46 min 6 sc) 6 556 m/s; 8 194 m/s
12.29. a) 0.1109 b) 7 362 km c) 1.75 hd) 6 586 m/s; 8 178 km
12.30. a)a GMR
2GM Rv 20
2 1Rv 2
0 (Rv 20 2GMcos2φ )
G 2M 2
b) rmáx R hmáx a (1 )
c) a=3 211 km; =0.9921; hmáx= 25.95 km
12.31. a) rmín
s 2v 40
GM G 2M 2 s 2v 40
b) c) hipérbola (+); noθ 2 arctg GMsv 2
0
12.32. 330 813MT
12.33. 1.758×1024 kg; 18.31 h
12.34. a) 8 188 m/s b) 5 732 m/s c) aumen-tar velocidad hasta 6 316 m/sd) 1 h 4 min 58 s e) 38.94°
12.35. t Sab
12.36. a) =1.401; α=135.5×106 km b) hi-pérbola (+) c) 56.44×106 km
12.37.
a) tTtierra
6π(1 cosΘ)3/2 ⎛
⎜⎝
⎞⎟⎠
3 tg Θ2
tg3 Θ2
b) Θ=90°; 77.51 d
12.38. a) elipse b) =0.181; α=1.637R;
Prob. 12.38
rmín=1.386R; rmáx=2.000R; a=1.693R;b=1.665R; c=0.307R c) no
12.39. a)
Prob. 12.39
Prob. 12.39.....b)
Ep′L 2 mλ
2mr2
kr
350 Resultados de los problemas
b)r Ω
1 cos β (θ θ0)
con
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
Ω αβ 2 L 2 mλmk
> 0
αA L 2Amk
β 1L
L 2 mλ > 0
12.40. 262 fm
12.41. a) σ(Θ) = R2/4 b) σt = πR2
12.42. a) s/c b) σt = πR2
12.43. a) s/c b) s/c
13.- Movimientoarmónico simple.
13.1. a) si; b) noT 2 2h/g 1/ν
13.2. s/c
13.3. a) 5 cm; 31.4 s; 0.0318 Hz; 30°b) cos(0.2t+0.5236);-0.2sen(0.2t+0.5236) c) 2.5 cm;0.866 cm/s
13.4. a) 3.40sen(πt+2.0586) =3.40cos(πt+0.4878) b) 10.68 cm/s;33.56 cm/s2 c)
0.0, +3.00 cm, -5.00 cm/s2, -29.65 cm/s2;0.5, -1.59 cm, -9.43 cm/s2, +15.73 cm/s2;1.0, -3.00 cm, +5.00 cm/s2, +29.65 cm/s2;1.5, +1.59 cm, +9.43 cm/s2, -15.73 cm/s2;2.0, +3.00 cm, -5.00 cm/s2, -29.65 cm/s2;
13.5. 0.179 Hz; 71.1 cm
13.6. T2π t0
arccos[(a c)/2b]
13.7. 120°
13.8. a) s/cb) eje x: mov. unif.; eje y: m.a.s.c)
v 2 v 20 ω 2y 2
0 sen2ω t
a ω 2y0 cosω t
d) F=(0 -ky 0); k=mω2
13.9. a) A<g/(4π2ν2) b) A<(µg)/(4π2ν2)
13.10. a) 3.83 cm, subiendo b) 4.93 cm
13.11. ν 15.76 a
m(S.I.)
13.12. 13.13.T 2π cg
T 2π L2g
13.14. 0; 0; 0 13.15. a) E/3 b) 2E/3 c) s/c
13.16. 1.76 Hz 13.17. 172.4 g
13.18. x0
mg sen θk
ω km
Manuel R. Ortega Girón 721
722 Resultados de los problemas
13.19. a) ω km
; 1k
1k1
1k2
...
b) ω km
; k k1 k2 ...
c) ídem
13.20. a) k2=2k b) k3=3k
c) k1
n 1n
k k2 (n 1) k
13.21. a) b)k3mg
hν 1
2π3gh
13.22. ωk(h l0)
mh
T0
mh
13.23. a) 28.8 Hz b) 30.5 Hz
13.24. 9.814 m/s2 13.25. 1.96 s
13.26. adelanta 2 min 44 s diarios
13.27. 14.8° 13.28. 48.6 m/s
13.29. a) b) en el fondoθ gl
sen θ 0
13.30. a)
b)
Prob. 13.30, 13.30.....a)
T 2bm
Ep,0
c) T⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1 2 33
bm
Ep,0
13.31. s/c
13.32. a) 1.10 Hz b) ν a 2
2πb mb
13.33. ω72Ep,0
mr20
13.34. a) s/c b) T 2π bg
13.35. x=a(φ-senφ); y=a(1-cosφ)
13.36. a) b) s/cT 2π 4ag
13.37. s/c
14.- Oscilacionesamortiguadas y forzadas.
14.1. s/c 14.2. s/c
14.3. a) s/c
b)<E> 1
2mω 2
0A20 e 2β t
<P> 2β <E>
14.4. s/c
14.5. a) b) 1.995 cmx 5 e 9t sen 12tc) 0.870 s
14.6. a) 0.28 s; 0.45 J b) 0.018 kg/s
14.7. a) 0.0277 s-1; 0.1109 kg/s; 18.03 sb) 1.59 Hz; 0.628 s c) 1.59 Hz;0.628 s d) 12.5 s e) 83.05 s; 3 cm
14.8. a) 19.6 mJ b) 366.5; 0.196 mJ
14.9. 49.1; 2411
14.10. no influye en el periodo; amortiguala amplitud; T=2.01 s;β=3.59×10-5 s-1; τA=7h 44.5min
14.11. 3.60; 0.87
14.12. a) 0.205 g/s; 5.13×10-3; 612.5b) 1.03%
14.13. s/c
14.14. a) 1.32 s-1; 3.14×10-3; 0.758 s b) 318
14.15. 38
14.16. a) 2393 b) 0.5 s c) las graves
14.17. 333 ms, 7.36 cm
14.18. si; tc=83 ms, vc=-37.4 cm/s;tm=417 ms, xm=-12.46 cm
Resultados de los problemas 723
14.19. 275 ms, 5.07 cm
14.20. a) 9.608×10-7A2 J b) 4.23×107
c) 7.78 ns; 4.67×106 osc.
14.21. a) 24 298 N/m; 5400 kg/s b) si;32.2 cm c) 0.95 s d) 6 cm
14.22. a) 17 775 kg/s b) 83 ms
14.23. a) 5.35 cm; 105.52° b) 4.29 Hz;6.03 cm
14.24. a) 4.6 cm; 2.1 s b) 0.25 J c) 0 Wd) 32.3 cm; 0.39 s; 25 J; 0 W
14.25. 0.1 cm; φ=-90°
14.26. k « mω2/4
14.27. a) 2.03 Hz b) 20 mm c) 42 mW
14.28. a) 1.33 mm b) 0.74 mW
14.29. a) infra b) 132.2 g/s, 72.4°c) 3.0 cm/s d) 0.2 cm, 162.4°
e)
Prob. 13.29, 14.29.....e)
14.30. k=k1+k2; γ=γ1+γ2; β=γ/2m;ω0
2=k/m
14.31. a) 7.52 cm b) 0.17 cm
14.32. a) 7.52 cm b) 0.17 cm
14.33. a) ω ≈ ω 0
13
km
tgϕ γ ωk
b) Ares B 1 ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
9mk
γ 2con 9mk
γ 20.25
c) F (k mω 20) B sen ω 0t γ ω 0 B cos ω 0t
Ares [ k cos(ω 0t ϕ ) γ ω 0 sen(ω 0t ϕ ) ]
14.34.
Aγ ω B
(k mω 2)2 γ 2ω 2
tgδ γ ωk mω 2
14.35. a) 2.46×104 N/m b) 274 N
14.36. a) 9.1 Hz b) ∞ c) 6.7% d) 1.6%
14.37. 4 mm; 50.3 mm/s; 632 mm/s2
14.38.
a)A
(k2 mω 2) F0
(k1 k2 Mω 2) (k2 mω 2) k 22
Bk2 F0
(k1 k2 Mω 2) (k2 mω 2) k 22
b) k2 mω 2 ;k1
M≈
k2
m
14.39. m=5.06 kg; k2=0.203k1
14.40. 6.37 Hz; 15.7
14.41. 12.5
15.- Superposición de movi-mientos armónicos simples.
15.1. a)x
3c1
2mω 20
cosω 0t
17 c3
34mω 2O
sen (3ω 0t 2.897)
b) c3/c1=12.37
15.2.
a)x
10
10mω 20
[ 4a1 sen ( 12
ω 0t 0.322)
a2 sen(2ω 0t 2.820) ]
b) 0.25 c) 16 d) 1; 0.25
15.3.
a)F(t) 4h
π...
⎞⎟⎠
senω t13
sen3ω t15
sen5ω t ...
b) i) 1.000; 0.704; 0.326; 0.064; ...ii) 0.521; 0.259; 1.000; 0.074; ...
15.4.
a)F(t) 1
π12
senω t2π
...
⎤⎥⎦
13
cos2ω t115
cos4ω t135
cos6ω t ...
b) 1.000; 0.525; 0.398; 0.0265; 0.0063
724 Resultados de los problemas
15.5.
a)F(t) 2
π4
3πcos2ω t ...
⎤⎥⎦
1215
cos4ω t1235
cos6ω t1263
cos8ω t ...
b) i) 1.000; 0.040; 0.0074; 0.0023;...ii) 1.000; 0.318; 0.762; 0.054;...
15.6. a) 6.94; 38.58° b) 5.00; 98.13°c) 7.00; 60.00°
15.7. 7.47; 57.94°
15.8. a) π rad/s; 2 s b) π rad/s; 2 s c) in-conmensurables d) 2π rad/s; 1 s.
15.9. a) 0.5 s; 2 Hz b) 3.5 c) vide Fig.
Prob. 15.9.....c)
15.10. a)
⎧⎨⎩
x 2sen3t 4cos3ty sen5t 2cos5t
⎧⎨⎩
x 6cos3t 12sen3ty 5cos5t 10sen5t
b) Ax=2√5; Ay=√5 si; 2π c) vide Fig.
Prob. 15.10, 15.10.....c)
15.11. a)
Prob. 15.11, 15.11.....d)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x822
sen( 2 2 t 1.083)
y 5 sen( 5t 1.107)
⎧⎪⎨⎪⎩
x 2 41 cos( 2 2 t 1.083)
y 5 5 cos( 5t 1.107)
b) Ax=9.06; Ay=2.24 c) no d) vide Fig.
15.12. s/c 15.13. s/c
15.14. 15.15. s/cy2B
A 2x 2 B
15.16. a) nx:ny:nz, naturalesb) T=nxTx=nyTy=nzTz
16.- Geometría de masas.
16.1. (1.0 1.7 1.7) 16.2. s/c 16.3. s/c
16.4. a) (senα/α)R b) (2√2/π)Rc) (2/π)R
16.5. xcm=(πR2)/(πR+L);ycm=(2R2-L2/2)/(πR+L)
16.6. s/c
16.7. a) x 0 y23
senαα
R
b) x 0 y4 23π
R
c) x 0 y4
3πR
d) x 0 y4R3
sen3α2α sen 2α
Resultados de los problemas 725
e) x 0
y2R3
sen3α sen3β(α β ) sen(α β )cos(α β )
16.8. x 0 y35
H
16.9. x πa y56
a
16.10. x y256 a315 π
16.11. a) desde la basez14
H
b) z(R 4
2 R 41) 4 (R2 R1)R 3
1
4 (R2 R1)(R32 R 3
1)H
16.12. a 3H/4 de cada vértice, siendo H laaltura del tetraedro.
16.13. a) z3R4
sen4α[2 (2 sen2α) cos α]
b) z3R4
sen4α sen4β[(2 sen2α)cosα (2 sen2β )cosβ ]
c) d) e)z3R8
sen2α1 cosα
z38
R z38
R
16.14. 53.13° 16.15. z38
R 42 R 4
1
R 32 R 3
1
16.16. a) zR4
1 cos 2α1 cos α
b) zR4
cos 2α cos 2βcos α cos β
c) xπ4
sen αα
R
16.17. a) z = R/2 b) x=y=z= R/2
16.18. z = -R/14
16.19. 16.20. s/czπ4
a 3(4b 3a)
3b 3 2πa 3
16.21. a) b)14
m(R 21 R 2
2) 14
m(R 21 5R 2
2)
16.22. a) (1/2)mL2; (1/6)mL2 b) (1/18)mL2
c) (1/12)mL2
16.23. a) (2/3)mR2 b) (2/9)mR2 c) (11/9)mR2
d) (4/9)mR2 e) (13/9)mR2
16.24. s/c
16.25. a) (1/12)mL2sen2θ b) (1/3)mL2sen2θ
16.26. a) (27/50)mR2 b) (27/100)mR2
16.27. 1 687.50 g cm2
16.28. a) (1/6)ma2; (1/12)ma2 b) (1/12)ma2;(1/12)(2+√2/2)ma2 c) (1/3)ma2
d) (2/3)ma2 e) (1/9)ma2
16.29.
14
m
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
b 2 0 0
0 a 2 0
0 0 a 2 b 2
16.30. a) (1/6)ma2 b) (2/3)ma2 c) (1/6)ma2
16.31. a) 320
mR 2 35
mH2
b) 320
mR 2 110
mH2
16.32. a)
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
14 8 1
8 22/3 2
1 2 20
kg m2
b) 3.56 kg m2
16.33. a)
b)
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
A 0 0
0 B 0
0 0 C
17.- Sistemas de partículas.Leyes de conservación.
17.1. s/c 17.2. s/c
17.3. a) (7.78 5.77 0) cm/sb) (2.22 -5.77 0) cm/s;(-1.78 4.64 0) cm/s c) 24.7 g cm/sd) 560 erg; 137.8 erg
17.4. a) 1.67 2.00 0) cmb) (0 0 15.88) g cm2/s;(0 0 69.4) g cm2/s
726 Resultados de los problemas
17.5. a) Ep=½k(x-l0)2 b) Ek,1/Ek,2=m2/m1
17.6. a) (t2+t+1 t3+t-2 t3-5)b) (12t+6 6t 6t) c) (12 36t 36t);(0 36t 0); (-4 0 36t); (16 0 0); no
17.7. a)
(-24t3+216t2-24 12t4-72t3+48t 36t2 24)
(-72t2+432t 48t3-216t2+48 72t)
17.8. a)
(-24t3+144t2-36 12t4-108t3+108t2+192t+7236t-48t3-28t2-48t-16); (-72t4-72t2+144t
48t3-216t2+144t-48 -8t3-8t+16) b) no
17.9. (72 114 -60); (96 -126 72)
17.10. 264; no 17.11. 36; 300
17.12. a) ΔEk=½mv02cos2θ0 b) 32 107 m
17.13. a) 328.4 m/s; 57.43° b) 90 178×m kg(3m=masa granada) c) 0.00 m;9 470 m; 2 370 m
17.14. 3.33 cm
17.15. a) s2m
M ml
b) VmM
2MglM m
; v2MglM m
17.16. vb=1.5 m/s; t=0.1 s; Vbast=1.0 m/s;t=0.28 s; Vbast=0; despl. basti-dor=18 cm (dcha); CM estacionario
17.17. acm
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
m1 m2
m1 m2
2
g
17.18. V2m 2gh cos2θ
(M m) (M m sen2θ)
vabs
2 (M m)gh
M m sen2θ
17.19. a) 1 m/s b) 1.57×105 m/s2;3.13×102 m/s2 c) 3.19 msd) 1.57×103 N
18.- Sistemas de masavariable.
El problema de 2-cuerpos.
18.1. 3.27 km/h
18.2. a) 0.753+1.667t g b) 500.753 g
18.3. 300 disparos/min
18.4. a) 3.44 m/s b) 24 N
18.5. a) αv b) αv2 c) s/c
18.6. a) s/c b) vf 0.598v0 0.296m0g
α
18.7. 0; 0.09 CV
18.8. a)m m 2
0 2km0v0t
xm m0
kv
m0
mv0
b)
ΔEk
12
m0v20
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
m0
m1
12
m0v20
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
kxm0 kx
< 0
18.9. xg2
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
12
t 2m0
αt
m 20
α2ln
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1 αm0
t
18.10. a) s/c b) s/c
18.11. a) vαwk
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
1⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
m0 αt
m0
k/α
b) vf
αwk
⎡⎢⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎥⎦
1⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
mcoh
m0
k/α
18.12. a) 61.25 kg/s b) 245 kg/s
18.13. a) 188 km/h; 1.908 km b) 25.192 km
18.14. a) 1269 km/h b) 2287 km/hc) 1494 km/h
18.15. 18.9 kN; 2835 kW
18.16. a) Papl
MvL
(gx v 2)
b) Pdis
M2L
v 3
Resultados de los problemas 727
18.17. a) xv dv [ v 2 (x L) g ] dx 0
b) vL gL/3
c)W MgL ΔEk
MgL6
ΔEp
MgL2
ΔE2MgL
3; no
18.18. a) 14×106 m/s; 0.24×106 m/sb) 0.7 MeV c) energía de enlacenuclear
18.19. mM m
(a b) 5 cm
18.20. 258.3 d 18.21. 210.9 d 18.22.1.059 Å
18.23. a) ω 3k2m
b)E
12
kD 2 ; E1
23
E ; E2
13
E
c)A1
23
D ; A2
13
D ;
v1,máx
23ωD ; v2,máx
13ωD
18.24. 18.25. s/cm2kR
g
18.26. a) v1
m1 m2
m1 m2
v0 ; v2
2m1
m1 m2
v0
b) vcm
m1
m1 m2
v0 ; ω(m1 m2)k
m1m2
c)
x1 vcmtm2
m1 m2
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
l0
v0
ωsen ω t
x2 vcmtm1
m1 m2
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
l0
v0
ωsen ω t
18.27. a) El c.m. adquiere velocidad a ex-pensas del impulso proporcionadopor la pared. b) x1=l0; v1
2(0)=kD2/mc) vcm
2=kD2/16m d) ω2=4k/3m
A32
D ; A1
34
A ; A2
14
A
18.28. a) 558 N/mb) Ed=4.52 eV; W=4.35 eV
18.29. a) 1829 N/mb) Ed=11.13 eV; W=14.3 eV
18.30. a) vide Fig.
b) energía disociación c) k=2aD
d) a=3.367×1020 m-2; D=7.163×10-19 J= 4.47 eV
18.31. s/c
Prob. 18.30, 18.30.....a)
19.- Colisiones.
19.1. a) 10.8 N s b) 10.8×103 N; 7347
19.2. a) s/c b) s/c
19.3. a) 0.9 b) 19% c) 22 d) 27.14 s;95.26 m
19.4. a) tramos parabólicos de altura de-creciente b) A2=eA1
c) Atot
v 20 sen 2θ0
(1 e) g
19.5. a) 0.71 b) 50.2 m/s
19.6. h′⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
m1
m1 m2
2
h
19.7. a) h1′=h/9; h2′=4h/9 b) h1″=h; h2″=0(en reposo).
19.8. a) 3 choques; -6v0/27; 7v0/27; 10v0/27b) si.
19.9. γ=0.4142, m1/m2=0.1716;γ=-2.4142, m1/m2=5.8284
19.10. a) 7.106 m b) -7.106
728 Resultados de los problemas
19.11. a) s/c b) s/c c) 0.277m0; 1.883v0;0.984Ek,0 d) 1.566v0; 0.680Ek,0
19.12. s/c
19.13. a) vM m
m2gh 266.5 m/s
b)ΔEk
Ek
MM m
99,7%
19.14. a) 147.89 m/s b) 98.8%
19.15. a) s/c b) ΔEk,2/Ek,1=e
19.16. a) 5.77 m/s, 90°; 5.77 m/s, 30°b) 5.29 m/s, 79.11°; 5.19 m/s, 30°c) 5.29 m/s, 79.11°; 5.19 m/s, 30°
19.17.
⎧⎪⎨⎪⎩
v′1ξ(m1 em2)v1 (1 e)m2v2
m1 m2
cos β
v′1ν v1 sen β⎧⎪⎨⎪⎩
v′2ξ(1 e)m1v1 (m2 em1)v2
m1 m2
cos β
v′2ν v2 sen β
tgθ1
(m1 m2) v1
(m1 em2)v1 (1 e)m2v2
tg β
tgθ2
(m1 m2) v2
(1 e)m1v1 (m2 em1)v2
tg β
θ1=θ*1-β; θ2=β-∂*
2
19.18. 3.27 m/s, 12.83°; 5.86 m/s, 7.12°
19.19. a) 6.506 cm/s, 117.5°; 3.512 cm/s,55.3° b) 5.568 cm/s, 111°;3.000 cm/s, 60° c) 27% d) s/c
19.20. s/c 19.21. a) 28.4% b) 21
19.22. 141°
19.23. 1 m/s; 180°; 3.46 m/s; 30°
19.24. s/c
19.25. a) 1.03 m/s, 46.94° b) no
19.26. a) 14.5° b) 0.03°
19.27. a) 7.49 b) no; 4%; e=0.838
19.28. a) vp
2 mn
mn mp
vn
b) mn
mNvN mpvp
vp vN
1.15 u
19.29. 14.076 u; 4.45%
19.30. 3.864 19.31. s/c
19.32. a) 7.24 g; 28.68°; 26.7 m/sb) θ1,máx=46.37°
19.33. a) m1/m2=4 b) 100 m/s; 61.2 m/sc) 80 m/s d) 20 m/s; 80 m/s; 45°
19.34. a) 14.48°; 104.48° b) 37.76° c) S.L.:77.46 m/s, 126.51 m/s; S.C.M.:20 m/s, 80 m/s d) vide Fig.
Prob. 19.34.....d)
19.35. a) s/c b) 3, 4, 5 y 6
19.36. a) s/c b) s/c 19.37. el cuádruple
19.38. s/c 19.39. 6.72 MeV; 13.44 MeV
19.40. 6.15 eV
19.41. a) 2.354 MeV b) 4.362 MeVc) 3.038 MeV d) 0 (exoenergética)
19.42. a) -4.082 MeV (exoenergética)b) 4.011 MeV; 70 keVc) 173 MeV/c; 173 MeV/c;1.39×107m/s; 2.4×105m/s
20.- Estática del sólido rígido.
20.1. s/c 20.2. s/c
20.3. a) 882 N b) 1.33 m
20.4. deslizamiento
20.5. acelerando: a0=g/2 (vuelco); frenan-do: a0′=g/4 (vuelco), a0″=µg (desliz.)
20.6. a) desliza; 26.6°; 31.0° b) ?; 31.0°;31.0° c) vuelca; 35.0°; 31.0°
20.7. α=90°-2θ; mg cosθ; mg senθ
20.8. 14.6 kg; 10.4 kg
Resultados de los problemas 729
20.9. (-150 0) N; (+180 +52) N;(-30 -52) N
20.10. FA=(240, 297) kg; FB= 379 kg;12 m kg
20.11. a) 30 kg b) 1203 senθ 4 cosθ
kg
c) 36.87°; 24 kg
20.12. a) FA=(+16.2, -19.2) N;FB=(-13.2, 0) N b) 94.5 r.p.m.
20.13. µ=0.34; para θ: (pie) vert. 8.38 kg,horz. 2.81 kg; (rodillo) 3.25 kg
20.14. cos3θ=2a/l; RA=Ptgθ; RB=P/cosθ
20.15. a) 6.46 m b) 76.18°
20.16. a) vert. (30±12h) kg, horz.(12±4.8h) kg; b) 2.50 m
20.17. a) s/c
b) l2
( 1 12
13
...) ; diverge
20.18. 15.82° 20.19. h=R√3
20.20. 20.21. 1.242mF7mg9π
tg θ
20.22. a) NA=0; NC=mg b) tgθ=2m/M
20.23. a) θmáx=8.13° b) µ>0.143
20.24. a) 23.1 kg b) 34.6 kg; 11.6 kg
20.25. A (0, 2.707)λlg; B (2.707, 2.707)λlg;C (2.707, 2)λlg
20.26. a) 42.88° b) N1=12.4 kg; N2=8.8 kg;N12=8.5 kg
20.27. M≥2m/3
20.28. θ1=67.79°; T1=2.65 kg;θ2=10.67°; T2=13.23 kg
20.29. 0.268
20.30. θ=13.3°; β=24.2°; 9.92 kg a 42.7°
20.31. a) 67.4 kg; 151.2 kg a 69.5°b) 2763 kg; 4382 kg a 60.3°
20.32. m1=2m2 20.33. 6.3°
20.34. tgθ=P/2F 20.35. tgθ=P/2F
20.36. senθ=mg/kR
20.37. a) b) √3mg; 2mg;h 1.072 mM
r
mg tg60°cos θ
; tgθ M m
3 m
20.38. a) θ1=0; senθ2=(h-l)/lb) 3mg/2; mg/2; mg/2
20.39. a) 73.90° b) 52 g; 30 g
20.40. 11.3°; 18.4°; 45°
20.41. a) s/c b) tg θ0
FMg
20.42. 30° estable; 57.7° inestable
20.43. 21.03° inestable; 50.5° estable
20.44. ka b
b 2mg
20.45. a) 3tgθ1=tgθ2; senθ1+senθ2=D/lb) 36.17°; 65.49°
20.46. ; 63.74°sen2θ tg θ2
2rl
20.47. a) 30.6°; 49.8°; 116 kg; 59 kg
20.48.senθ eq
θ eq
2kr 2
mgl
20.49. cosα+cosθ=1; tgα=2tgθ;α=68.1°; β=51.2°
20.50.F
l2h
mg sen2θ cosθ
RB
l2h
mg senθ cosθ
RA
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
l2h
senθ cos2θ 1 mg
20.51. a) 2 m; 4 m; 8 m b) TAA′=30 000 kg;TAB=31 623 kg; TBC=36 056 kg;TC=42 426 kg
21.- Dinámica del sólidorígido.
21.1. I1=60ma2; I2=50.25ma2; I3=9.75ma2;e1=(1 0 0); e2=(0 0.283 0.959);e3=(0 -0.959 0.283)
730 Resultados de los problemas
21.2. a) ; noL 112
ml 2ω 0 senθ 0
b) ; noL 13
ml 2ω 0 senθ 0
21.3. a) II 112
ml 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
1 0 0
0 1 0
0 0 2
b) J1=1; J2=1; J3=2 c) e1=(m n 0);e2=(-n m 0); e3=(0 0 1); con m2+n2=1
21.4.
I1
112
m [2(a 2 b 2) 4(a 4 b 4) a 2b 2 ]
I2
112
m [2(a 2 b 2) 4(a 4 b 4) a 2b 2 ]
I3
13
m (a 2 b 2)
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
2(a 2 b 2) 4(a 4 b 4) a 2b 2
3ab1 0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
2(a 2 b 2) 4(a 4 b 4) a 2b 2
3ab1 0
0 0 1
21.5. a) II 112
ma 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
1 1 0
1 2 0
0 0 4
b)I1
112
ma 2 e1
1
21 1 0
I2
14
ma 2 e2
1
21 1 0
I3
13
ma 2 e3 0 0 1
21.6. a) II 112
ma 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
8 3 3
3 8 3
3 3 8
b) L 112
ma 2ω 3 3 8
c)I1
16
ma 2 e1
1
31 1 1
I2
1112
ma 2 e2
1
21 1 0
I3
1112
ma 2 e3
1
61 1 2
21.7. a) 65.33 rad/s2 b) 39.2 rad/s2;3.92 m/s2; 29.4 N c) inercia de lapesa.
21.8. a) 4.2 m/s2; 42 rad/s2; 56 Nb) 3.92 m/s2; 39.2 rad/s2; 58.8 N;54.9 N
21.9. a) mB desciende b) 4.69 rad/s2;0.234 m/s2; 0.375 m/s2 c) 301.0 N;188.5 N
21.10. 0.67 m/s2; 73.03 N; 72.69 N
21.11. ω 2mM 2m
vR
θ 2π 2mM 2m
21.12. a) ν 12π
g2R
λ 2R
b) igual
21.13. a) b)2π 3R2g
2π 5R4g
21.14. a) b)2π 5 3 a12g
2π 2D3g
21.15. a) 2π 2R 2 5L 2
5Lg
b) c) 0.022⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
TT0
2
1 25⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
RL
2
21.16. a) b) x=2L/32π 23g
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
L 2 3x 2
L 2x
c) 2π 0.527Lg
; x 0.264L
21.17.
λ1 2 cos2 θ
2
3 cos θ2
R ;
si θ 120° →λ R
Resultados de los problemas 731
21.18. a) b)α 3pb2m
ω 3pbm
c) tπ2
4m3pb
21.19. a) b)1K
2a0bπK
2a0b
21.20.
trasl.: ycm Kycm 0 m.a.s. ω K
rot.: θ K2
sen 2θ 0 osc.
si sen2θ≈2θ :
θ Kθ 0 m.a.s. ω K
21.21. a) ω ω 0
2M
2M 5m sen2φb) s/c
21.22. mL2ω 2 sen2θ24h
21.23. a) L 112
mabω
a 2 b 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
b
a
0
b) no; si c) Fmab (a 2 b 2) ω 2
12L (a 2 b 2)
21.24. 2979 rpm 21.25. 29.79 rpm
21.26. a) 2.5 kg b) 4.77 kg; 0.23 kgc) (2.83 kg) d) 6.62 rpm
21.27. 245.4 m N 21.28. s/c
21.29. 2.02 × 1022 m N
21.30. 1.94 rps 21.31. 974.42 cm/s2
21.32. a) (2/3)gsenθ b) (1/3)mgsenθc) µ0=(1/3)tgθ d) µ=0, desliza; µ<µ0,rueda y desli.; µ=µ0, rodadura crítica;µ>µ0, rodadura e) solo si µ≥µ0
21.33. a) (5/7)gsenθ b) (2/7)mgsenθc) µ0=(2/7)tgθ d) µ=0, desliza; µ<µ0,rueda y desli.; µ=µ0, rodadura crítica;µ>µ0, rodadura e) solo si µ≥µ0
21.34. a) v0/ω0=2R/3; x=v02/2µg
b) v0/ω0=R/3; x=v02/2µg
21.35. a) α 5g14r
b) c) µs≥0.16N32
mg ; f17
mg
21.36. a) 1.37 rad/s; 27.4 cm/sb) ω2=1.87+8.57senθc) θmáx=192.65°
21.37. acm
hFmr
µ ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1 hr
Fmg
21.38. a) 7.35 m/s2 b) 20.6 N
21.39. a) a0
7 F7M 2m
acm
27
a0
b) α 57
a0
r
21.40. a) mov. unif. acelerado; inercia
b) a ± 2r 2
R 2 2r 2g T
R 2
R 2 2r 2Mg
21.41. avanza; se enrrolla el hilo
acm
23
Fm
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1 rR
>0 αacm
R
21.42.
a)T
MmM 3m
g ab
MM 3m
g
acm
M 2mM 3m
g α 2mM 3m
gR
b) m→0; T→0; ab→g; acm→g; α→0
c) m→∞; T→Mg/3; ab→0; acm→2g/3;α→(2/3)(g/R)
21.43. a) 3.27 m/s2; 130.67 rad/s; 3.27 Nb) 0.78 s
21.44. T15
mg α 25
gR
acm
45
g
22.- Trabajo y energía en elmovimiento general del sólido
rígido.
22.1. a)ω 2 6(2r l)
2R 2 5r 2g
vA ωr vB ωR
732 Resultados de los problemas
b) vA vB (R 3r) g
22.2. ω 3g(1 cosθ)L
v 3gL
22.3. a) θ 3g2l
sen θ
b) θ2 3gl
(cos θ0 cos θ )
c) cos θ 23
cos θ0
22.4. 10.63 rad/s
22.5. a) ω 6g senθ(1 3cos2θ) l
Ω ω
b) vB=2lωcosθ
22.6. a) 3112
mr2
b) ω 24( 2 1)g31 r
1.77
r
22.7. a) 20.94 N; 60 vueltas b) s/c
22.8. 20 rad/s; 2 kJ
22.9. a) ω ML 2 6md 2
ML 2 6mL2ω 0 <ω 0
b)Ek,0
Ek,f
ω 0
ω> 1
22.10. a) 23.76 rad/s b) 92.16 rad/sc) 363 N d) 7.2 J
22.11. a) esfera, cilindro y aro b) no c) lainercia de rotación
22.12. plano inclinado; baja antes la maciza.
22.13. 22.14.ω 2kM 2m
ω 8k3m
22.15. T 2π m6k
22.16. ω 3g2l
6kh 2
ml 2
22.17.
a) b)sen θ0
mg (4kl mg)2kl
; con 2kl>mg
ω 3km
sen θ0
22.18.ω′ ω 2
0 β 2
β b 2γ2m(L a)2
ω 0
aL a
gl
2a 2
km
22.19. a) 32
Mx γ x kx F0 sen ω t
b) s/c
22.20. a) 2 rad/s; 2 cm; 1.87 rad/s; 2.1 cmb) 60 mW; 56 mW
22.21. a) b)ω 2l
3gR ω 6(2R h)g
l 2 4h 2
22.22. 53.97°; v0
10(R r)g17
22.23. 50.6 cm
22.24.
a)θ 5g
7(R r)senθ 0
si senθ ≈θ ⇒ θ 5g7(R r)
θ 0
b) T 2π 7(R r)5g
λ 7(R r)5
22.25. a) b) 31.63°;vm
27(R r)g7
v (R r) g sen 31.63°
22.26. a) ω 3( 2 1)g2l
b) ω 12( 2 1)g5l
22.27. 55.2°; θ0 4g/7r
22.28. a) 85.20 cm/s; 42.60 rad/sb) 198.80 cm/s; 19.88 rad/s c) -77 J
Resultados de los problemas 733
22.29. a)a0
2mg senθ cosθ3(M m) 2m cos2θ
ax
2Mg senθ cosθ3(M m) 2m cos2θ
ay
2(M m)g sen2θ3(M m) 2m cos2θ
b) vf a0 th con th
2hay
22.30.ω 2 8 M 2
6M 2 5Mm m 2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R r
r 2g
Ω2 2 m 2
6M 2 5Mm m 2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
R r
R 2g
vc2 8 M 2 8Mm 2m 2
6M 2 5Mm m 2R r g
23.- Ecuaciones de Euler.
23.1. Meje=Iejeω 23.2. T 2πI0
mgl
23.3. a) ml2ω2sen2φ b) (ml2ω2sen2φ)/D
23.4. a) L 112
mabω
a 2 b 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
b
a
0
b) no; si c) M mab (a 2 b 2) ω 2
12 (a 2 b 2)e3
23.5. (mR2ω2sen2φ)/8 23.6. s/c
23.7. ω 3g tgθ3b 2l sen θ
23.8. L (ω×e3)=0 23.9. s/c
23.10. a) 3.295 Hz b) 4.297 Hz
23.11. N mgΩ 2
RI
23.12. a) s/c b) 12
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
± a 2
3bΩω g m senθ
c) ωosc=Ω
23.13. F 0 mΩ2R mg
M ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
12
mlRΩ2 0 0
23.14. a) s/c b) equilibrio estáticoc) 63.4°<β<67.5°
23.15. s/c 23.16. s/c
23.17.
a) ω1=ωsenβ cosΩt=86.6cos50t rad/s;ω1=ωsenβ senΩt=86.6sen50t rad/s;ω1=ωcosβ=50 rad/s b) Ω=ωcosβ=50 rad/sc) A=ωsenβ=86.6 rad/s d) s/c;1.06×106 g cm2/s; 5.00×107 erg e) s/c;α=19.1° f) s/c; γ=40.9°
24.- Dinámica impulsiva delsólido rígido.
24.1. 4.5×10-3 kg m2 24.2. 4mh2
24.3. a) 0.60 cm debajo del c.m.
b) vide Fig.
24.4. a) cant. mov., momento ang. y energ.
Prob. 24.3, 24.3.....b)
cinética b) mML 2
L 2 12h 2
c) vcm
L 2
L 2 12h 2v0 ω 12h
L 2 12h 2v0
d) e) conjugadosh′ L 2
12h
24.5.
a) ω 6ml
3ml 2 ML 2v0 v
3ml 2 ML 2
3ml 2 ML 2v0
b) Πeje
ML (3l 2L)
3ml 2 ML 2mv0 l
23
L
24.6.
734 Resultados de los problemas
a) ω 3 (1 e) ml
3ml 2 ML 2v0 v
3ml 2 eML 2
3ml 2 ML 2v0
b) Πeje
1
2(1 e)ML (3l 2L)
3ml 2 ML 2mv0 ; l
23
L
24.7. a)ω
12mcosθ0
(4M 3m)
vo
L
v v0 148Mm cos2θ0
(4M 3m)2
sen θsen θ0
148Mm cos2θ0
(4M 3m)2
24.8.
a) ω6m cos θ0
4M 3m
v0
Lv
3m cos θ0
4M 3mv0
b) Πx
Mm4M 3m
v0cosθ0 Πy mv0 sen θ0
24.9.ω 0 vcm
2mv0cosθ0
M m
v v0 14Mmcos2θ0
(M m)2
sen θsenθ0
14Mmcos2θ0
(M m)2
24.10.
a) v′ 17
( v 2lω ) ω′ 17
( ω 24vl
)
b) Π 17
( 8mv 2mlω )
24.11. x33
l
24.12. v34
2gh ω 32l
2gh
Π 14
m 2gh
24.13. v′cm=vcm=ωl/2; ω′=ω
24.14. a) b)ω 0
3v4l
v 2mín
83
( 2 1) gl
24.15.
a)xcm
v3
(1 2cosφ ) θ v3r
(1 2cosφ )
Πx
13
mv (1 cosφ ) Πy mvsenφ
b) ghv 2
12⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1 2rr h
2
24.16. a) s/c b) s/c c) s/c d) s/c
24.17. ; no hay efecto de reboteh75
R
24.18. a) ω 0
5v0
3r
b) v521
v0 ω 521
v0
r
24.19. a) s/c b) tg φ 2
21
Ωω
24.20. s/c
24.21. v′0 0 vcm
v0
2ω
v0
2a
24.22. a) vA=-v0/3; vB=vC=2v0/3
b) c) noΠcomp
2 23
mv0 ; Πreac
23
mv0
24.23. 82.8°; no
24.24. ω′1ω 1 µρω 2
1 µω′2
ω′1ρ
24.25. vf
57
v0 ω 57
v0
R
24.26. a) ω 12
3gl
v12
3gl
b) Πeje
m4
3gl
24.27.
a) ω 1 3e4
3gl
v1 e
43gl
b) Πeje
(1 e)m8
3gl
24.28.
a) ω A
ω 0
3ω B
ω 0
3ω 0
3gl
Resultados de los problemas 735
b) ΠA
1118
mlω 0 ΠB
109
mlω 0
24.29. a) v0
Πm
ω 0
rIΠ
b) v ω R ω R r
I mR 2Π
24.30.ω 5
7
v0
Rvcm
57
v03
ΠB
2M 7m7
v0 Πesf
27
Mv0
24.31. a) vcm
Π2M m
ω 6 Πml
b) Πeje
2M2M m
Π
736 Resultados de los problemas
25.- La ley de la GravitaciónUniversal.
25.1. s/c 25.2. si 25.3. Hooke
25.4. 12.37 lunas/año; 1 luna cada 29.53 d
25.5. a) M = 4π2R3/GT2 b) 6.03×1024 kg
25.6. 1.99×1030 kg
25.7. ecuatorial; 42 178 km
25.8. G=2π2ld2θ/MT2;9.674×10-11 N m2/kg2
25.9. ; 1.28 g/cm3ρ 3πGT 2
tg 3 θ2
25.10. s/c 25.11. 35 a; 0.966
25.12. a) Una misma trayectoria circular;
; E=-3Gm2/2av Gm/a
25.13. a) v12 2G(m1 m2)/r12
b) v1 m2 2G/(m1 m2)r12
v2 m1 2G/(m1 m2)r12
25.14. a) v 212 2G(m1 m2)
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1r12
1r0
b) t π2
r 30
2G(m1 m2)35.12 d
25.15. s/c 25.16. 5 ×10-11 m
25.17. 0.85″ 25.18. a) 3 r.p.m. b) s/c
25.19. a) s/c b) s/c c) 4.8085×10-7 rad/rev.=41.2″/siglo
25.20. a) s/c b) ζ=2π(1-β-1) c) s/c d) s/ce) 1.000 000 08
26.- El campo gravitatorio.
26.1. GMr
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1 18(1 R/2r)
g GMr 2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1 1
8(1 R/2r)2
Manuel R. Ortega Girón 1057
1058 Resultados de los problemas
26.2. a) GM2a
ln y 2 a 2 a
y 2 a 2 a
g GM
y y 2 a 2
b) s/c
c) yG y y y 2 a 2
26.3. a)(x>a) GM
2aln x a
x a
g(x>a) GMx 2 a 2
(0<x<a) GM2a
ln (a 2 x 2)
g(0<x<a) GMa
xa 2 x 2
b) s/c c) xG x x 2 a 2 (x >a)
26.4.
a) GM
R 2 x 2
g GM x(R 2 x 2)3/2
b) x ± R 2
c) v 2 2GMR
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1 1
1 (h/R)2
d) si; no e) si h«R; ν 12π
GMR 3
26.5. a)2GMR 2
z 2 R 2 z
g 2GMR 2
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1 z
z 2 R 2
b) s/c
c) zG z R
2 1 z / R 2 z 2
26.6.
a) v 2 4 (2 2 ) GMR
2.343 GMR
b) z=-R; mov. periódico
c) ; noF( z R)≈ 2GMmR 2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1 zR 2
26.7. =2πGσ r ; g=-2πGσ
26.8. a) g=0; =4πGσ r
b) g=-4πGσ; =4πGσ r
26.9. ext.: =-GM/r; g=-GM/r2
int.: =-GM/R; g=0
26.10. ext.: GMr
; g GMr 2
int.: GM2R 3
r 2 32
GMR
; g GMR 3
r
26.11. puntos exteriores: i.e., z>R, primersigno; z<0, segundo signo
GMz
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
1 3z2R
z 3
R 3±⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1 z 2
R 2
3/2
g GMz 2
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
1 2z 3
R 3±⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1 z 2
R 2
3/2
3z 2
R 2
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1 z 2
R 2
1/2
26.12. a) ; b) ;g0
3GM2R 2 0
3GM2R
c) zG R 23
26.13. Δg=Gπ(ρt-ρa)a=0.003 m/s2
26.14. a) b) c) Tierra: 11.2 km/s;2gRLuna: 2.4 km/s
26.15. 62.8 MJ; 11.2 km/s
26.16. a) rmáx=16R/7 b) rmáx=9R/7
26.17. a) s/c b) r 2R sen2φ1 cosθ
Prob. 26.17
Resultados de los problemas 1059
26.18. a) 0.90 R = 346 000 kmb) 11 078 m/s; 2 274 m/s
26.19. a) -3GM2/5R=-2.28×1041Jb) 2.05×1042J
26.20. a) 1.8×107 años b) energía nuclear
26.21. a) m1/m2=r1/r2 b) m1 c) radial, haciael punto más próximo d) iguales;cero
26.22. s/c
26.23. 14.78 km; 7.36×1017 kg/m
26.24. Ω=2π(1-cosα)
26.25. a) Ω=±2π(1-cosα) b) s/c
26.26. g= -2Gλ/r; = 2Gλ lnr
26.27. a) h′=R-R3/(R+h)2 b) 20 km
26.28. ±3900 km
26.29. a) F= -(GMm/R3) r = -kr
b) T 2π Rg
84.6 min
c) vmáx gR 7 920 m/s
26.30. a) no; si b) v0
gR (R 3h)R h
26.31. a) F= -(GMm/R3) x = -kx
b) T 2π Rg
c) vmáx
g (R 2 a 2)R
26.32. =1 h 24 min 24 sT 2π R /g
26.33. 0.995 93
26.34. a) s/c b) g=g0(1-h/R) c) s/c
26.35. 5.52 g/cm3 26.36. Δg/g=4.5×10-5
26.37. a) g=-GM/r2; =-GM/r
b) g GMR 5
r 3 ; GM4R
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
5 r 4
R 4
26.38. a) m=Kr2/(r2+a2); m(r→∞)=Kb) g=-GM/(r2+a2);
=(GM)/a arctg(r/a)
c) v0
GMma
26.39. a) ρ=(b/πG)r b) M=bR4/Gc) g(r>R)=-bR4/r2
d) =(r<R)=b(r3-4R3)/3;(r>R)=-bR4/r
26.40. s/c
26.41.
a) ρ(r>a) 0 ; ρ(r<a) ρ0 (1 ra
)
b) si; M 13πρ0a
3
c)g(r>a) GM
r 2e r
g(r<a) 3GM (4ar 3r 2)
a 4e r
27.- Elementos de elasticidad.
27.1. a) 12.5×107 N/m2 b) 1.87 mmc) 0.18 µm d) 92 mJ
27.2. a) 26×107 N/m2 b) 750 kg c) 5.55µm
27.3. a) 28.9 kg b) 2.5 mm; 1.24 mm3;0.35 J c) 57.7 kg
27.4. a) 3.1 cm; 39.2×107 N/m2 b) 0.38 J
27.5. a) 9.6° b) 125 J
27.6. 7 m/s2
27.7. a) 6.1 kg b) 1.4 mm; 0.6 mmc) 42 mJ; 18 mJ d) 14.95×1010 N/m2
27.8. a) 2.50×107 N/m2; 0.25 mmb) 69.9 µm; 105 µm
27.9. a) 66.7 cm b) 56.1 cm
27.10. a) acero: 2.91 kg; 0.91×107 N/m2;cobre: 4.19 kg; 0.58×107 N/m2
b) 4.53×10-5
27.11. a) -43.1×10-6; +21.6×10-6; +18.5×10-6;-360×10-6 cm3 b) 70.9 J/m3
27.12. 9 628 r.p.m.
27.13. a) 1.93 mm b) no c) ≈6.5 km
1060 Resultados de los problemas
27.14. 9.91 mJ
27.15. a) σ(x) 12ρω2 (L 2 x 2)
b) σmáx
12ρω2L 2 8.53×107 N
m 2
c) 80 µm d) 512 r.p.m.
27.16. s/c 27.17. s/c 27.18. 125 µm
27.19. a) 14.994×9.996×4.998 cm3
ΔV=-0.82 cm3 b) 22×103 J/m3;373×103 J/m3
27.20. acero: 1510 atm; latón: 1283 atm;mercurio: 286 atm; agua: 21.7 atm;éter etílico: 5.9 atm
27.21. a) 2.17 atm; 11 J b) 28.6 atm; 145 Jc) 0.56 atm; 3 J
27.22. a) 0.662×10-6 atm-1; 3.49×10-6 atm-1
b) mercurio
27.23. s/c 27.24. 1042 kg/m3
27.25. a) s/c b) s/c c) 1042 kg/m3; 380 atm
27.26. s/c
27.27. a) 3.7×10-6 rad = 2×10-4 gradosb) 181 µm
27.28. 2939 kg 27.29. 13.5×103 kg
27.30. a) 199 m N/rad b) 62.42°
27.31. a) 3.03° b) 2.32 J
27.32. 0.23° + 0.18° = 0.41°
27.33. a) 1.306 b) 0.324
27.34. a la vez 27.35. s/c
27.36. τ 16.96 × 1010 R 4
l(S.I.)
27.37. τ 16
9π3MgR G 32
9π4
lr 4
MgR
27.38. a) 1.6×107 N/m2; nob) 9.2×10-3 m N/radc) 7.49×1010 N/m2
27.39. a) 38.7 µm b) 1.834×10-8 m N/rad;15.46 min c) 23.28 cm
27.40. (Δφ)A=(Δφ)B
28.- Elastostática.
28.1. ρ=-4R
28.2. a) 1/2a b) b2/a; a2/b c) b2/a
28.3. en y=0: κ=0; R=∞ ...en y=±A: κ= A; R= 1/A
28.4. s/c
28.5. ; el radio de curvaturaR r 1 a 2
es proporcional al radio vector.
28.6. a) R (θ) (4 3 cos2 2θ)3/2
8 3 cos2 2θa
b) R(0)=a/5 c) R(45°)=a
28.7. F (kg) M (m kg)
a) 0<x<2 900 1800-900x2<x<3 0 0
b) 0<x<2 300 -300x2<x<3 -600 -1800+600x
c) 0<x<1.5 -900 900x1.5<x<3 900 2700-900x
d) 0<x<1.5 900 2025-900x1.5<x<3 1800-600x 2700-1800x+300x2
e) 0<x<3 900-600x+100x2 900-900x+300x2-33.3x3
f) 0<x<1.5 675-600x -675+300x2
1.5<x<3 -225 -675+225x
Resultados de los problemas 1061
28.8. F (kg) M (m kg)
a) 0<x<2 1020-40x 1980-1020x+20x2
2<x<3 120-40x 180-120x+20x2
b) 0<x<2 360-40x -360+20x2
2<x<3 -540-40x -1800+540x+20x2
c) 0<x<1.5 -900-40x 900x+20x2
1.5<x<3 1020-40x 2880-1020x+20x2
d) 0<x<1.5 1020-40x 2205-1020x+20x2
1.5<x<3 1920-640x 2880-1920x+320x2
e) 0<x<3 1020-640x+100x2 1080-1020x+320x2-33.3x3
f) 0<x<1.5 735-640x -735x+320x2
1.5<x<3 -165-40x -675+165x+20x2
28.9. a) πR4/4 b) π(R24-R1
4)/4
28.10. It/Ib = 2(R2/R)2-1 > 1
28.11. a) 24a4 b) 16a4 c) la viga en doble-T
28.12. πa3b/4
28.13. a) 54.25 N; 41.30 m N b) 17 cmc) no
28.14. ; 21.3×1010 N/m2E π2mL 2
a 3bT 2
28.15. 1/EI = 11.76 × 10-6 kg-1m-2
a) 0<x<2 y 1EI
( 990x 2 170x 3 53
x 4)
2<x<3 y 1EI
(1200 1800x 90x 2 20x 3 53
x 4)
s 4605EI
0.0542 m 54.2 mm en x 3 m
b) 0<x<2 y 1EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
445x 60x 3 53
x 4
2<x<3 y 1EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1200 2245x 900x 2 90x 3 53
x 4
s 477.29EI
0.00561 m 5.61 mm en x 1.6218 m
c) 0<x<1.5 y 1EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
343.125x 150x 3 53
x 4
1.5<x<3 y 1EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1080 2503.125x 1440x 2 170x 3 53
x 4
s 198.7907EI
0.00234 m 2.34 mm en x 0.8677 m
s 2075.625EI
0.0244 m 24.4 mm en x 3 m
d) 0<x<1.5 y 1EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1102.5x 2 170x 3 53
x 4
1062 Resultados de los problemas
1.5<x<3 y 1EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
722.8125 337.5x 1440x 2 320x 3 803
x 4
s 6190.3125EI
0.073 m 73 mm en x 3 m
e) 0<x<3 y 1EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
540x 2 170x 3 803
x 4 53
x 5
s 2025EI
0.0238 m 23.8 mm en x 3 m
f) 0<x<1.5 y 1EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
424.6875x 122.5x 3 803
x 4
1.5<x<3 y 1EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
126.5625 762.1875x 337.5x 2 27.5x 3 53
x 4
s 360.8755EI
0.00424 m 4.24 mm en x 1.3927 m
28.16. F (kg) M (m kg)
a) 0<x<1.5 -50-8x 50x+4x2
1.5<x<3 74-8x 186-74x+4x2
b) 0<x<1.5 y 1EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
61.3125 60.75x 253
x 3 13
x 4
1.5<x<3 y 1EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
131.0625 200.25x 93x 2 373
x 3 13
x 4
c) s 61.3125EI
0.0307 m 30.7 mm
d) R EI84
23.81 m
28.17. a) 0<x<3 W2
WL
x W12
L W2
x W2L
x 2
b) y W24 EI
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
Lx 2 2x 3 1L
x 4
c) s ρg L 4
96E (R 2 r 2)
28.18. 1.99 kg
29.- Estática de los fluidos
29.1. a) b)∇×f 0 p x 2 y 2 xyz 2 p0
29.2. s/c
29.3. a) 0.735 cm b) 0.833 cm3
29.4. 14.16 cm
29.5. 0.99 mm = 100 div. en 101 mm
29.6. 225.3 Torr
29.7. 370.7 Torr = 5041 mmH2O
29.8. 1.52 Torr
29.9. a) pA-pB=[ρ1h1+(ρ2-ρ1)h2]g
b) h1=ah2/A c) h2
pA pB
(ρ2 ρ1) g
29.10. a) 13.2 Torr b) 336.9 Torr
Resultados de los problemas 1063
29.11. p p0
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1 BA
zA
8010 B
29.12. 125 t; horizontal, a una altura de1.67 m sobre el fondo.
29.13. a) 6188 kg b) 5062 m kgc) y = 0.82 m d) 3375 kg
29.14. 2.11 m
29.15. hcp=0.589R; 2ρgR3/3; πρgR4/8
29.16. F 22ρ g a H 2; hcp
23
H
29.17. 281.2 kg
29.18. 5πρgR4/2
29.19. Fx=1134 kg; Fy=-857 kg; F=1421 kg;θ=37°; radial (xcp,ycp)=(51.1,-38.6)
29.20. a) 2.54ρgR2L; 38.15° b) πρgR2L
29.21. Fx=36 0000 kg; Fy=-19 600 kg;F=41 000 kg; θ=28.6°;(xcp,ycp)=0.92, 2.0)
29.22. a) b)h ≥ 163
R⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
0.9871 ρρ0
≥ 2R
s/c
29.23. 70 kg
29.24. P=πρgR3/3 = Plíq/2
29.25. a) s/c b) 2629 kg c) si
29.26. 4.10 m2 29.27. a) 14% b) no
29.28. senθ hl
ρ0
ρ0 ρ
29.29. s/c
29.30. a) 15 cm2 b) 30 g c) 10 cm
29.31. a) 2.73 g/cm3 b) 95 g
29.32. s/c
29.33. a) ;2 θ sen 2θ 2π ρρ0
θ=48.26°; h/R=33.42%
b) ;cos3θ 3 cos θ 4 ρρ0
θ=54°; h/R=41.22%
29.34. H R 2
29.35. a) 31 cm; 9 cm b) 35.95 cm;4.05 cm c) 11.08 cm d) 1.08 s
29.36. a) 1.63 m b) si c) 74 500 m kg
29.37. a) s/c b) s/c
c) ρm/ρ<0.2133 y ρm/ρ>0.7887
29.38. 5.17 m
29.39. ; 2.25 cmH 56a
⎛⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎠
1⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
ρm
ρ
23
1
29.40. a) 30° b) 30° 29.41. a = gh/L
29.42. a) 21 g b) 32 g c) nula d) 23.5 g;26.57° hacia adelante
29.43. 300 Torr; 1588 Torr; 1288 Torr
29.44. a) 14.8 cm; 99 Torr; 136 Torrb) 75.7 r.p.m. c) 130.4 l
29.45. a) 104.8 cm; 77 Torr; 160 Torrb) 189 r.p.m.; 368 Torr
29.46. a) p p0
12ρω2r 2 ρg (H z)
b) πR 2 ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
14ρω2R 2 ρgH
c) d) poner g=0πR 2 ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
14ρω2R 2
29.47. a) s/c b) s/c c) s/c d) H-h≈ 11 km
30.- Tensión superficial.
30.1. a) 1.40 g 30.2. 63.4 dyn/cm
30.3. s/c 30.4. 0.433 J 30.5. 4%
30.6. 29.5 dyn/cm; 0.72 g 30.7. 2 cm
30.8. a) 53.86 mg b) 280 mg
30.9. 2.47 mm
30.10. 24.3 atm; 3.3 atm; 944 Torr;785 Torr; 769 Torr
30.11. 32 dyn/cm
30.12. 24
pi ; r 2
1064 Resultados de los problemas
30.13. 33.1 dyn/cm 30.14. 29.7 cm
30.15. a) σr (ρmhm ρ h) g
2b) 30.4 dyn/cm
30.16. 6.91 cm; 14.57 cm 30.17. s/c
30.18. 3.85 mm; 1.58 mm
30.19. x y σ cos α
ρ g sen θ2
cte.
30.20. r2/r1 = 0.183
30.21. sumar 1.8 mmHg a la lectura
30.22. 7.1 mm
30.23. a) 735.0 mmHg b) 732.4 mmHgc) 21.5 mm
30.24. a) 49.54 cm b) no
30.25. no trabajará
30.26. a) b) σ senαh 2 σ cosαρgd
30.27. 5.94 mm 30.28. 13.1 Torr
30.29. a) 163.4 Torr b) 71.2 cm
30.30. 2.97 cm
31.- Cinemática de losfluidos.
31.1. a) xy=C b) v = Axi - Ayj c) a = A2xi+ A2yj
31.2. a) at A 2 x 2 y 2
x 2 y 2an
2A 2 xy
x 2 y 2
31.3. v=(4, 6, 20) cm/s; a=(16, 36,5) cm/s2
31.4. a) v=(6, 5, 125) cm/s
b) a=(0, 1, 30) + (201, 30, 1875) =(201, 31, 1905) cm/s2
31.5. a = 0, 112, 475) cm/s2
31.6. a) 0.40 m/s; 0.107 m/s2 b) 0.58 m/s;0.265 m/s2 c) 0.64 m/s; 0.809 m/s2
d) 1.60 m/s; 3.408 m/s2
31.7. a) 0.142 m/s2 b) 0.316 m/s2
c) 0.888 m/s2 d) 3.549 m/s2
31.8. a) 15.9 l/s b) 22.5 l/s c) 50.625 l/s
31.9. s/c
31.10. a) v = (2t-6x, 6y, 12t2) b) ∇ v=0; si
31.11. a) ∇ v=0; si b) ∇×v=(0, 0, A+B); noc) Bx2+Ay2=C; elipsesd) ω=(A+B)/2 k e) a=-ABr f) Γ=ΩS
31.12. a) ω = (y/2)i; ω=3i b) y=0
31.13. s/c
31.14. a) ∇ v=0; si b) ∇×v=0; si
c) ϒ r 2 a 2
rv∞ cosθ
31.15. a) ∇×v 20 2r(5 r)2
k
b) ; 0.4 rad/sω 10 r(5 r)2
k
c) s/c d) s/c e) Γ 4πr 2
(5 r)f) ∇ v=0; no hay puntos singulares
31.16. a) si; ∇ v=0 b) ∇×v 8B3
r cos θ k
c) en los planos radiales θ=±π/2d) Γ=0
31.17. s/c
32.- Dinámica de los fluidosideales.
32.1. a) xy=C; hipérbola equilátera b) s/c
c) p p0 ρgz 12ρA 2(x 2 y 2)
32.2. a) Bx2 + Ay2 = C; elipses b) s/c
c) p p0 ρgz 12ρAB(x 2 y 2)
32.3. a) velocidad de corriente libre
Resultados de los problemas 1065
b) p p∞
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
2a 2cos2θr 2
a 4
r 4
ρ v 2∞
2
c) p p0 (2 cos 2θ 1)ρ v 2
∞
2d) cero
32.4.
p p0
ρ(g 24t) z (12t 2)x 18(x 2 y 2)
32.5. r r0
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
1 2gh
v 20
14
32.6. 2.12 atm (manométrica)
32.7. 2.80 m/s
32.8. S 2ρm ρρ
gh
32.9. a) 28 m/s = 100.8 km/h b) 13.6 atm(manométrica)
32.10. a) 25.2 km/h b) 147 l/s
32.11. a) 2.80 m/s b) 3.5 m/s; 22.5 cm
32.12. 57.3 cm 32.13. s/c
32.14. a) 221 Torr; 72.6 Torr b) 98.7 cmc) 244 l/s; se supone pA-patm =221 Torr
32.15. 39.7 l/min 32.16. 38 m/s
32.17. 159 km/h
32.18. a) b) si; h′=H-hx 2 h (H h)c) h=H/2; xmáx=H
32.19. 8.27 m
32.20. S2 ≥ S1
ρghpatm ρgh
32.21. h2=3h1
32.22. a) ;t0
2 (S 21 S 2
2 ) H
g S 22
;si S1 S2 ; t0
S1
S2
2Hg
b) t0=26.07 min
32.23. z = Cr4 (parabolóide)
32.24. a) ; h=nivel de la super-v 2ghficie libre sobre D b) patm ρg (CD)c) 10.16 m
32.25. 33.5 l/s
32.26. a) 2g (L H)b) 1.96Lmáx+0.96H≤10.16;si H=0.5 m; L≤4.94 m
32.27. s/c
32.28. a) 21.64 m/s = 77.9 km/hb) 2.31 atm
32.29. a) 25.25 m/s b) 63.74 N
32.30. a) 14.24 m/s b) 1019 N
32.31. =v 2gh tgh⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
2gh2L
t
9.90 tgh(0.0495t) m/s
32.32.3 ρ v 2
0 R 2
8 b 2
32.33. a) 158 l/s b) 20.37 kW
32.34. 2.2 MW
32.35. a) 177.3 W b) 2.16 atm
32.36. 2.17 kW = 2.95 C.V.
33.- Dinámica de los fluidosreales.
33.1. F = ηAV/h 33.2. 2.31 cm/s
33.3. 613.7 N
33.4. a) A=1.994×10-4 P; B=819.6 K;b) η20=0.327 cP
33.5. a) A=1.24×10-6 P; B=3942 K;b) η30=55 cP
33.6. no cumple la relación de Andrade
33.7. a) s/c b) s/c c) no se cumplen
33.8. a) 12.77 P; 1274 b) 0.226
33.9. a) 1968 N/m2 b) 0.57 m N c) 215-W
33.10. 146 µP 33.11. 0.535 cm dyn
1066 Resultados de los problemas
33.12. 3008; turbulento
33.13. x=y=z=1 33.14. 180 cm3/s
33.15. a) fvisc 2η 15 r(5 r)3
eθ
b) σrθ10 η
(5 r )2
33.16. a) ∇ v=0; sib) ∇×v=(32xy,-16y2,-6y); no
c) σxx=12ηx, σyy=-12ηx, σzz=0, σxy=--6ηx, σyz=32ηxy, σzx=16ηy2 d) fvisc=η(-6i+32xk)
33.17. f
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
6η 8ρ x 3
18ρ x 2y
ρg 32η x 144ρ x 2y 2
33.18. a) 2ηAr b) 4ηA k c) s/c
34.- Flujo viscoso.
34.1. 34.2. 7.48 cm3/min2η V∞D L
a
34.3. a)v U
hy V ⎛
⎜⎝
⎞⎟⎠
yh
1
h 2
2η⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
∂p∂x
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
yh
2 yh
b) σ U Vh
h2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
∂p∂x
c)l
h2
(U V) h 3
12η⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
∂p∂x
34.4. a) v ρgδ 2
η
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
yδ
12⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
yδ
2
b)l
ρg δ3
3η
34.5. a) b)v ρgδ2
η
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
yδ
12⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
yδ
2
sen θ
lρgδ3
3ηsen θ
34.6. a) 0.047 cm3/(s cm) b) 4.7 mm/sc) 3.1 mm/s
34.7. a)v 14η
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
∂p∂x
r 2 A ln r B
Ar 2
2 r 21
ln (r2/r1)B
r 22 ln r1 r 2
1 ln r2
ln (r2/r1)
b) π8η
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
∂p∂x
(r 42 r 4
1 A )
ΔpL
8ηπ (r 4
2 r 41 A)
34.8. a) laminar b) 4.8 Torr
34.9. πρgD 4
128 η
34.10. 0.590 cP 34.11. 1.9 Pa
34.12. 65.4 cm3/s; 4.7 34.13. 0.83 C.V.
34.14. a) turbulento b) 457 Torr
34.15. a) 2.94 dyn/cm2 b) 28.3 kgc) 19.8 l/s
34.16. a) U ρgδ2
2η
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
2yδ
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
yδ
2
sen θ
b) δ 2ηUρg sen θ
c)l
Uδ ρgδ3
3 η
d) 1.73 mm; 43.2 cm3/s
34.17. v 14 η
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
∂∂l
(p ρgz) ⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
r 2 D 2
4
34.18. a) de 2 hacia 1 b) 4.4 l/s; 1360
34.19. a) de 1 hacia 2 b) 2.46 l/s; 759
34.20. 44 l/min 34.21. 53.9 l/min
34.22. 51.6 l/min
34.23. a) 21.9 l/s b) 7.65 C.V.
34.24. a) 0.39 J/kg; 13.34 J/kg; 13.73 J/kgb) 4 cm; 136 cm; 142 cmc) 0.004 kg/cm2; 0.136 kg/cm2;0.142 kg/cm2
34.25. a) 6.14 J/kg; 1361.76 J/kg;1367.90 J/kg b) 62.6 cm; 138.9 cm;172.1 cm c) 0.063 kg/cm2;13.89 kg/cm2; 17.81 kg/cm2
Resultados de los problemas 1067
34.26. a) 2.54 m/s b) 3.2 l/s c) 567 Torr
34.27. 16 l/s;29.30 m; 29.82 m20.02 m; 20.54 m14.80 m; 15.32 m8.61 m; 9.13 m0.00 m; 8.35 m
34.28. a) 57 cm b) 3.27 l/min c) 0.0444;80 µm
34.29. 28.5 cm 34.30. 0.0035 °C/m
34.31. a) 39.9 J/kg b) 0.35 kg/cm2
c) 2.8 C.V.
34.32. 6.82 kg/cm2; 50.2 km
34.33. 59 m 34.34. 3.25 C.V.
34.35. a) s/c b) ΔpL
∝ 1
D 5/4
34.36. 0.0379 0.03820.0196 0.01970.0120 0.0120excelente
34.37. 0.43 kg/cm2 34.38. 2075 kg
34.39. 26.4 mW 34.40. 1.96 m N
34.41. a) 0.966 cm/s b) 0.016<1 (crítico)c) 7.88 mm
34.42. a) 0.363 cm/s b) 0.074<1 (crítico)c) 4.76 mm
34.43. a) 58.4 µm b) 19.7 d
34.44. a) 10 g b) 8.8 km/h c) 6.7 km/h
34.45. 6.83 m 34.46. 4.75 kg
34.47. 81.2 m/s
34.48. a) 4° b) 52 kg; 27 C.V.
34.49. 311 kg; 279 C.V.
1068 Resultados de los problemas
35.- Ondas progresivas.
35.1. c = -b/a (dir. negativa eje x)
35.2. a) 17 kHz b) 1.7 kHz c) 170 kHz
35.3. a) 20 cm/s; 4π rad/s; π/5 cm-1
b) 0.5 sen 2π(2t-0.1x)
35.4. a) 0.2 cm; 3.59 cm; 100 Hz;359 cm/s b) s/c c) 0.258 N
35.5. a) 5 Hz b) 40 cm; 200 cm/sc) 0.3 sen(31.416t-0.1571x)
35.6. a) 0.032 cos(120πt-3.75πx); 0.53 mb) 0.56 cm; -11.88 m/s; -795.4 m/s2
35.7. a) 600 cm/sb) 0.5 sen[50πt-(π/12)x] (c.g.s.)c) 0.5 sen[50πt-5π/6] (c.g.s.)
35.8. s/c
35.9. i) ninguna de ellas es periódica.ii) ramas infinitas o asintóticas.
35.10. v(x,0) 2ABc x e Bx 2
Prob. 35.10
35.11. a)
Prob. 35.11
b) c=C/B; positiva eje x.
c) v(x,t) 2A 3C(Bx Ct)
[A 2 (Bx Ct)2]2
35.12. s/c
35.13. a) lineal en fase b) circular negativac) elíptica positiva (cuadratura) d) e-líptica (+105°) e) elíptica cambiantea lo largo del eje x.
Manuel R. Ortega Girón 1267
1268 Resultados de los problemas
35.14. a) Ψy=sen(ωt-kx);Ψz=1.73sen(ωt-kx)b) Ψy=sen(ωt-kx); Ψz=-sen(ωt-kx)c) Ψy=cos(ωt-kx); Ψz=sen(ωt-kx)d) Ψy=3sen(ωt-kx); Ψz=cos(ωt-kx)
35.15. a) ωR b) deberá propagarse en direc-ción contraria a la de rotación de lacuerda.
35.16. a) b)c(x) g(L x) t 2 L/g
c)λ(x) (1/ν) g (L x)
35.17. s/c
35.18. 0.837 s
35.19. 3148 m/s; 5041 m/s
35.20. 20×1010 N/m2; no
35.21. s/c 35.22. s/c
35.23. 70 m/s
35.24. 0.587 m/s K
35.25. 2.21×109 N/m2; 2.20×109 N/m2
35.26. s/c 35.27. s/c
35.28. a) 46 m b) 30 km
35.29. a) s/c b) 2μcv2τ c) 2μcv2τ
35.30. a) 31.3 m/s b) 28.46 cmc) 1.20 cos2(691.15t) W; 0.6 W
35.31. s/c 35.32. s/c
35.33. 5.3×10-17 J/m3
35.34. a) s/c b) FA2/l2 c) 2FA2/l=cte
d) e) 2FA2/l(A 2/l 2) F 3/μ
35.35. a) 113 µW b) 113 mJ
35.36. 262 km/h
35.37. a) 8π 2ν2A 2 μF cos2 2πνt
b) 4π 2ν2A 2 μF
35.38. I∝1/r ; A∝1/ r
35.39. a) x½=0.693/β b) 3x½ c) 3.32x½
d) 9.97x½
35.40. s/c
35.41. a) 19.8 nW/m2 b) 125 µW/m2
c) 158.3 µW d) 25 nW/m2; 1 nW/m2;125.7 µW
36.- Fenómenos ondulatoriosen medios ilimitados.
36.1. 64.4 km/h; 208.4 Hz
36.2. 39.5 km/h
36.3. 396 < ν < 495 Hz
36.4. 1283 Msol
36.5. a) 25.9 Hz b) 26.7 Hz c) 408 km/h
36.6. a) 241.3 Hz; 1.41 m b) 252 Hz;1.41 m c) 263.6 Hz; 1.29 md) 286.8 Hz; 1.29 m
36.7. 8100 km/h
36.8. 15.19×106 m/s; 5.06×1024 m
36.9. 649 °C
36.10. a) 36° b) 7.13 s
36.11. 2.605×108 m/s
36.12. a) s/c b) los desplazamientos se res-tan pero las velocidades se suman; laenergía total es puramente cinética.c) la distribución de velocidades enla cuerda.
36.13. s/c
36.14. a) 7 sen(ωt-kx)b) 5 sen(ωt-kx+0.9273)c) 6.08 sen(ωt-kx+0.2810)
36.15. a)
A0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
sen 32ϕ
sen 12ϕ
sen (ω t kx ϕ )
b) 120° c) 240° d) I0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
sen 32ϕ
sen 12ϕ
2
36.16. a)
A0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
sen( 12Nϕ )
sen( 12ϕ )
sen[ω t kx12
(N 1)ϕ ]
b) ϕ=2π(n/N), con n=1,2,...N-1
Resultados de los problemas 1269
c)
I0
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
sen( 12Nϕ )
sen( 12ϕ )
2
36.17. a) 33.3 Hz; 99.9 Hz; 166.6 Hz; ...b) 66.6 Hz; 133.3 Hz; 199.9 Hz; ...
36.18. a) 0.06 sen(9.5t-4.5x)cos(0.5t-0.5x)b) 1 m/s c) 6.28 m
36.19. a) rectilínea (+26.6°) b) elíptica(+90°) c) rectilínea (+135°)
36.20. s/c
36.21.
a)f(x)
∞
n 1
bnsen⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
nπxl
bn
2l ⌡⌠l
0
f(x) sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxl
dx
b)f(x)
a0
2
∞
n 1
bncos⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
nπxl
an
2l ⌡⌠l
0
f(x) cos⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxl
dx
36.22. a)
8H
π 2
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
sen kx 19
sen 3kx 125
sen 5kx ...
con k π /l ⇒ λ 2π /k 2l
36.23.
Ψ(x,t) 4Aπ
⎡⎢⎣1 1
3cos 2(ω t kx)
⎤⎥⎦
115
cos 4(ω t kx) 135
cos 6(ω t kx) ...
36.24. An
12
(an
i bn)
36.25. s/c
36.26. a)
Ψ(t)
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
sen Δω t2
Δω t2
cosω 1 ω 2
2t
b)
Prob. 36.2636.27. a)
A(ω )A0
π β 2 ω 2
a(ω )A0
πβ
β 2 ω 2b(ω )
A0
πω
β 2 ω 2
b)
Prob. 36.27
36.28. A(k) a(k)A0
a πexp
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
k 2
4a 2
36.29. a) ω 0
πΔt
a(ω )A0
π2ω 0
ω 20 ω 2
sen(ω t0) sen(π ωω 0
)
b(ω )A0
π2ω 0
ω 20 ω 2
cos(ω t0) sen(π ωω 0
)
A(ω )A0
π2ω 0
ω 20 ω 2
sen(π ωω 0
)
b)
Prob. 36.29
36.30. a) b) cg=1.5cf c) lasω σ k 3 / ρcrestas se forman en cabeza del gru-po, lo recorren hacia atrás y desapa-recen en la cola. d) 40.5 cm
1270 Resultados de los problemas
36.31. a) ω gk (σ /ρ) k 3
b) cg
cf
22πσρλcf
c) 1.71 cm; 23.1 cm/s d) 31.5 cm, 44.8 cm/s;56.06 cm, 28.44 cm/s
36.32. a) cg 3cf 2 E / ρ
36.33. s/c
36.34. a) no b) si c) no
36.35. a) 27.6 µW/m2; 39.8 µW/m2
b) 67.4 µW/m2 c) 133.7 µW/m2
d) 1.1 µW/m2
36.36. a) 127 µW/m2 b) 255 µW/m2;462 µW/m2; 46 µW/m2
36.37. a) 0°, 0.0378°, 0.0756°, 0.1134°,0.1513° b) 1.98 mm
36.38. i) La intensidad resultante es igual ala suma de las intensidades indivi-duales, sin fluctuaciones. ii) La inten-sidad media resultante es la mismaen todos los puntos, no observándosepatrón de interferencia.
36.39. I 4I0 cos2( πλa cos θ )
37.- Fenómenos ondulatoriosen medios limitados.
37.1. a) 5.2 m b) 9.2 m
37.2. <P> 12μcω 2A 2 ...
37.3. a) 0.0327; 1.0327b) 0.01 sen10π(t-x/119.7);0.000 327 sen10π(t+x/119.7);0.010 327 sen10π(t-x/127.8);-0.0327; 0.9673;0.01 sen10π(t+x/127.8);-0.000 327 sen10π(t-x/127.8);0.009 673 sen10π(t+x/119.7)c) 52 514 ≈ 56 + 52 461 W/m2;49 192 ≈ 53 + 49 135 W/m2
37.4. a) 0.176; 1.176 b) -0.176; 0.823
37.5. s/c
37.6. a) 2% con salto de faseb) 2% sin salto de fase
37.7. b) Δ a (sen θ i cos θ i tg θ )
Δ ≈ (a sen θ i) (1n1
n2
)
37.8. μ1 F1 μ2 F2
37.9. a) F⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
∂y∂x
x0
γ ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
∂y∂t
x0
0
yr(x,t)μF γ
μF γyi(x,t)
b) γ μF ⇒ yr(x,t) ≈ yi(x,t)
γ μF ⇒ yr(x,t) ≈ yi(x,t)
c) no hay reflexión si γ μF
37.10. a) Ar
μF (γ i mω )
μF (γ i mω )Ai
b)m→0 ⇒ Ar
μF γ
μF γAi
m→∞ ⇒ Ar Ai
c) inercia, desfase
37.11. s/c
37.12. a)
KS⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
∂ξ∂x
x0
γ ⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
∂ξ∂t
x0
m⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
∂2ξ∂t 2
x0
ξ r(x,t)ρcS (γ i mω )ρcS (γ i mω )
ξ i(x,t)
b) terminación no-reflectora:
m 0 γ ρcS
37.13. CR
13
CT2 CT3
23
Ψi Ai sen (ω t kx)
Ψr
13Ai sen (ω t kx)
Ψt
23Ai sen (ω t kx′)
Resultados de los problemas 1271
38.- Ondas estacionarias.
38.1. a) 0.15 cm, 100/π Hz; 200π cm;200 m/s b) 0.15 sen(200t-0.01x+3π/4
0.15 sen(200t+0.01x+π/4)c) π m d) 3π m
38.2. s/c
38.3. a) 1.4142ν1 b) 0.7071ν1 c) 0.5ν1
d) 0.5ν1
38.4. a) 199.1 Hz, 200 cm; 398.2 Hz,100 cm; 597.3 Hz, 66.67 cmc) A1 sen(πx) sen(398.2πt);A2 sen(2πx) sen(796.4πt);A3 sen(3πx) sen(1194.6πt)
38.5. a) 132.8 Hz b) 5.625 kg
38.6. a) 6.6 Hz b) 13.2 Hz
38.7.L1
L2
n1
n2
μ2
μ1
38.8. a) λ2/λ1=2 b) 70 Hz, 140 Hz, 210 Hz
38.9. a) 523 Hz (Do4), 20.5 cm b) 79.2 cm
38.10. los armónicos impares.
38.11. a) cerrado b) 19.32 m
38.12.
ξ(x,t) 2A0 sen(ω t 12kL) cos(kx 1
2kL)
ξ( L2
,t) 2A0 sen(ω t 12kL)
38.13. a) 353 m/s, 1.112 kg/m3
b) 5 333 m/s
38.14. a) 5 128 m/s b) 19 230 Hz,32 050 Hz...
38.15. a)
cf
F
μ
αk 2
2 F/μcg
F
μ
3αk 2
2 F/μ
b) son algo más agudos que losverdaderos armónicos o sobretonos.
38.16.Y(x,t)
∞
n 1
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
2L⌡⌠L
0
f(x) sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
dx
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
cos⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπctL
38.17.Y(x,t)
∞
n 1
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
2nπc ⌡
⌠L
0
v(x) sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
dx
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
cos⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπctL
38.18.Y(x,t)
∞
n 1
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
2L⌡⌠L
0
f(x) sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
dx
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
cos⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπctL
∞
n 1
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
2nπc⌡
⌠L
0
v(x) sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
dx
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
cos⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπctL
38.19. a)
Y(x,t)8mmvmL
π 2cμ ΔL
∞
n 1
⎧⎪⎨⎪⎩
1
n 2sen⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
nπaL
⎫⎬⎭
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπ ΔL2L
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπctL
b)Y(x,t)
4mmvm
πcμ
∞
n 1
...
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
1n
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπaL
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπctL
c)a
17L, 2
5L, 3
7L, ...
38.20.
Y(x,t)∞
n 1⎧⎪⎨⎪⎩
⎫⎪⎬⎪⎭
2L ⌡
⌠L
0
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
f(x) g
2c 2(x 2 Lx) sen⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
nπxL
dx
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
cos⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπctL
g
2c 2(x 2 Lx)
38.21.Y(x,t)
∞
n 1,3,5,..
⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
4gL 2
n 3π 3c 2sen⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
nπxL
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπctL
g
2c 2(x 2 Lx)
1272 Resultados de los problemas
38.22. b)Ek
μπ 2c 2
4L...
∞
n 1n 2 ⎡
⎢⎣
⎤⎥⎦
ansen⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
nπctL
bncos⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
nπctL
2
Ep
Fπ 2
4L...
∞
n 1n 2 ⎡
⎢⎣
⎤⎥⎦
ancos⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
nπctL
bnsen⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
nπctL
2
Eπ 2F
4L
∞
n 1n 2(a 2
n b2n)
38.23. <μE> μω 2
n A20,n
38.24. a) 12.6 mJ b) 7.09 mJ
38.25. E2FH 2
L
38.26. b) ωn
n 2π 2c 2
L 2β 2
c)Y(x,t) e β t
∞
n 1
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
ancosω
nt b
nsenω
nt
38.27. b) ωn
nπcL
(n 1,2,3, )
Y(x,t) Amáx sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπxL
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπctL
c) ωn
nπc2L
(n 1,3,5,..)
Y(x,t) A sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπx2L
sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπct2L
38.28. a) 0.395 J b) 132 mW c) 47512
38.29. b) ωn
nπc2L
(n 1,3,5,...)
Y(x,t) sen⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
nπx2L
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
ancos⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
nπct2L
bnsen⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
nπct2L
38.30.Y(x,t) 8H
π 2
⎧⎨⎩sen πx
2Lcos πct
2L...
⎫⎬⎭
19
sen 3πx2L
cos 3πct2L
125
sen 5πx2L
cos 5πct2L
...
38.31. a) (knL) tg (k
nL) M
m
b)m→0 ω
n
nπc2L
(n 1,3,5,...)
m→∞ ωn
nπcL
(n 1,2,3,...)
38.32. b) (knL) tg (k
nL) M
m
c)m→0 (m M) ω
n
nπc2L
(n 1,3,5,...)
m→∞(m M) ωn
nπcL
(n 1,2,3,...)
38.33. s/c
38.34. a) 31.6 Hz, 40 Hz, 50.99 Hzb) 14.14 m/s
38.35. a)πa 2ν2
c 2
b)4πa 3ν3
3c 3(long.) 8πa 3ν3
3c 3(transv.)
39.- Acústica física.
39.1. a) 354.90 ms b) 326.88 m/sc) 1307.5 m/s
39.2. 40.7 m
39.3. 1500 m
39.4. 128.35 m
39.5. reforzadas: 1214, 3643, 6071, 8500,10929, 13357, 15789 y 18214 Hz.eliminadas: 2429, 4857, 7286, 9714,12143, 14571, 17000 y 19429 Hz
39.6. 12.58 m
39.7. a) 3148 Hz b) 3000-4000 Hz
39.8. a) 0.017 b) 60.43 c) 273×10-6
39.9. a) 6.02 dB b) 1.122; 12.2%
39.10. a) 83.0 dB b) 105 bebés
39.11. 14.5
39.12. a) 1 km b) 100 km
39.13. a) 69.4 dB b) 892 m
39.14. s/c
Resultados de los problemas 1273
39.15. a) 88 dB, 82 dB, 76 dB b) 95 km
39.16. a) 136 dB b) 50 kW, 10053 Jc) 9.06 Pa, 1.10 µJ, 51 mg
39.17. a) 0.783 nm, 0.924 mPab) 0.392 nm, 0.462 mPa
39.18. a) 1:4, 6.02 dB b) 15 fon
39.19. a) 249 nW/m2, 54 dB b) 497 nW/m2,57 dB
39.20. a) 109 km b) β=76.4 dB;S=56.4 dB; si c) β=17.3 dB;S=-2.66 dB; no
40.- Acústica musical yarquitectónica.
40.1. a) 1 coma mayor = 1.0 1321 coma =81÷80 = 1.0 125
b) 1 coma menor = 1.0 118semitono cromático = 1.0 603semitono diatónico = 1.0 479
40.2. 3÷2 = 1.500; 5ª justa; 32÷27 = 1.19;≈3ª menor
40.3. a) relativamente consonante b) me-nos consonante c) bastante disonante
40.4. 3ª mayor; 3ª mayor; 4ª justa; 5ª justa;5ª dism.; 4ª aum.; 3ª dism.; 2ª menorfísica (2ª mayor); 2ª menor (semitonomenor); ídem; coma menor; 2ª me-nor.
40.5. do1, 8ª justa; do2, 5ª justa; sol2,4ª justa; do3, 3ª mayor; mi3, 3ª me-nor; sol3, (3ª menor); (si 7), (2ª ma-yor); ...
40.6. a) sol, la , si, do, re, mi, fa , sol.b) la, si, do , re , mi, fa , sol ,la. c) fa, sol, la, si , do, re , mi,fa.
40.7. a) la-do -mi b) mi-sol -si c) la-do--mi d) mi-sol-si
40.8. a) 0; 204 km/h; 408 km/h b) 0;816 km/h; 408 km/h
40.9. a) 18.0 s; no; no b) 1.30 s; no; si
40.10. a) 0.49 s b) 0.62 s
40.11. 781 ms, 174 ms, 142 ms
40.12. τ 0.16 V4Vβ αS
(α 1)
1274 Resultados de los problemas