Lech Grossman
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MÉTODO DE
LERCHS-GROSSMAN
Alumno:
Lumba Huamán Lenin O.
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS
MÉTODO DE
LERCHS-GROSSMAN
Alumno:
Lumba Huamán Lenin O.
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS
MÉTODO DE
LERCHS-GROSSMAN
Alumno:
Lumba Huamán Lenin O.
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS
1 Investigado por: Lumba Huamán Lenin Omar
Planeamiento de minado
INTRODUCCIÓN
Un algoritmo preciso para determinar la ubicación del límite final óptimo del pit,
utilizando un procedimiento de programación dinámica de dos dimensiones, fue
desarrollado por Lerchs y Grossman en el año 1965. Esta es una técnica precisa para
definir el límite del pit en una sección transversal de dos dimensiones, por medio de la cual
es posible lograr el mayor beneficio posible. Se puede aplicar fácilmente en una planilla de
cálculo, según se explicará a continuación por el método de Lerchs y Grossman.
2 Investigado por: Lumba Huamán Lenin Omar
Planeamiento de minado
MÉTODO DE LERCHS-GROSSMAN
1. EL MÉTODO BIDIMENSIONAL DE LERCHS-GROSSMAN
Este método permitirá diseñar, en una sección vertical, la geometría del pit que arroja la
máxima utilidad neta. El método resulta atractivo por cuanto elimina los procesos de
prueba y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones. La
metodología es conveniente, además para el procesamiento computacional.
Al igual que el método manual, el método de Lerchs-Grossman diseña el rajo en
secciones verticales. Los resultados pueden continuar siendo transferidos a una plano de
plantas del rajo y ser suavizados y revisados en forma manual. Aún cuando el pit es
óptimo en cada una de las secciones, es probable que el pit final resultante del proceso
de suavizamiento no lo sea.
El primer paso es dividir la sección transversal del pit en bloques. Se selecciona el
tamaño del bloque para obtener una altura equivalente a la del banco, y se selecciona un
grosor del bloque de tal forma como para que la línea diagonal resultante a través de los
bloques, genere el ángulo de la pendiente total deseada, como se indica en la Figura 2.7.
Figura 2.7- Sección transversal de un yacimiento, con altura de bloques equivalentes a altura de
banco y diagonal del bloque que define la pendiente (53°).
El siguiente paso es asignar valores a los bloques, basándose en la ley del mineral y las
condiciones económicas de la propiedad minera. Los bloques de estéril, son asignados
por números negativos, los cuales equivalen al costo en extraer estos bloques de
material. Los bloques de mineral, son asignados por números positivos, los cuales
equivalen al beneficio generado al extraer estos bloques sin incluir el costo de
extracción de material estéril. El beneficio se determina restando todos los costos de
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producción al precio de venta de los minerales producidos. Esto incluye extracción,
tratamiento en Planta, transporte, comercialización y costos administrativos en general.
La Figura 2.8, es un modelo de bloque similar a Figura 2.7, pero en este caso, los
bloques son celdas de una planilla de cálculo con valores de bloques asignados.
La técnica de Lerchs Grossman, se basa en la siguiente relación:
P ij = M ij + máx. (Pi + k,j-1) ...... (1)
donde, K = -1, 0, 1
, M ij, representa el beneficio obtenido para extraer una sola columna de bloques con el
bloque ij en su base.
Pij, es el beneficio máximo que pueden generar columnas 1 hasta j dentro de un pit que
contiene el bloque ij en su límite. Este método se puede ilustrar mejor por medio de un
ejemplo. En la Figura 2.8, los valores económicos del bloque (Vij), han sido asignados
a una sección transversal.
Fig.2.8- Se asignan valores de bloques (Vij).
El próximo paso, es calcular los valores acumulativos de la columna, Mij, tal como se
muestra en Figura 2.9.
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Planeamiento de minado
Fig. 2.9- Los valores acumulativos de la columna (Mij), se calculan a partir de los
valores de los bloques.
Estos valores corresponden simplemente al valor acumulativo de los valores
económicos de todos los bloques situados exactamente arriba de la misma columna, tal
como se muestra en Figura 2.10.
Fig. 2.10-ejemplo de cómo calcular los valores acumulativos de la columna Mij, añadiendo los
valores de bloques Vij dentro de la columna.
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Por lo tanto, Mij para el bloque en donde i = 4 y j = 12 (M4,12), es la suma de los valores
de bloque para los bloques j = 12 y i = 1,2,3,4. En la Figura 2.8, M4,12 = 2 + 3+ 4+ 4 = 13.
El último paso, como se muestra en la Figura 2.11, es calcular los valores de la matriz de
beneficio de Pij. Estos valores, corresponden al beneficio neto o pérdida generados al caer
uno de los bloques del modelo sobre el límite del pit con todos los bloques de la izquierda
que se han extraídos para crear una pendiente con el ángulo total deseado.
Fig.2.11- ingreso máximo (Pij) para un pit con el bloque ij en su límite derecho.
Para determinar el valor de la matriz de beneficio de cualquier bloque en particular, el
valor acumulativo de la columna para ese bloque (Mij), es sumado al valor de beneficio
(Pij) para un bloque en la columna más próxima a la izquierda. Para cualquier bloque en
particular, se darán tres alternativas: el bloque ubicado diagonalmente arriba a la
izquierda, el bloque ubicado transversalmente a la izquierda, y el bloque ubicado
diagonalmente abajo a la izquierda. De estas tres alternativas, se selecciona el bloque
con valor máximo positivo. Se agregan las mejores alternativas para todos aquellos
bloques que son extraídos, para obtener el valor de beneficio para el bloque que se está
evaluando.
La Figura 2.12 incluye valores de Pij para las columnas desde 1 hasta 10, y se utilizarán
a modo de ejemplo en la generación de valores para la columna 11. Por conveniencia,
los valores de la columna acumulativa Mij para la columna 11, que se requieren para
calcular los valores de Pij utilizando la Ecuación 1, también se incluyen en Figura 2.12.
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Fig., 2.12- ejemplos de cómo calcular los valores de Pij para la columna 11, utilizando losvalores de Mij a partir de la columna 11.
Ejemplo 1: Determinación de Pij para el bloque 1,11.Los valores de Pij se determinan según lo definido en Ecuación 1. El proceso comienza
en Columna 1, y continúa hasta arriba en Columna 2, después de haber evaluado todos
los bloques en Columna 1. El valor acumulativo de la columna es 1. Las tres opciones
de diseño, si este bloque cae sobre el límite final, son sólo extraer el bloque (1,11),
extraer el bloque (1,10) o incluir los bloques (1,10) ó (2,10) en el límite final. El costo
de estas tres opciones son: 0, -2, y -3. Estas tres opciones generan valores de beneficio
de:
M1,11 + P1,10 = 1 + 0 = 1
M1,11 + P1,10 = 1 + (-2) = -1
M j,11 + P 2,10 = 1 + (-3) = -2
La alternativa más rentable es extraer sólo el bloque (1,11), donde Pij tiene el valor 1.
Ejemplo 2: Determinación de Pij para el bloque 5,11.
El valor acumulativo de la columna es 13. Si este bloque cae sobre el límite final del pit,
existen tresopciones en la columna 10 para la ubicación del límite final, bloques (4,10);
(5,10) y (6,10).
Las tres alternativas generan valores de beneficio de:
P 5,11
M 5,11 + P 4,10 = 13 + (-4) = 9
M 5,11 + P 5,10 = 13 + (-3) = 10
M 5,11 + P 6,10 = 13 + (-5) = 6
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La mejor alternativa es (5,10), dejando al valor de P (5,11) de 10.
La Figura 2.13, representa la matriz de beneficio total (Pij) para el ejemplo.
Fig. 2.13- los valores de Pij, indican donde termina el pit en la superficie y la línea del límite
del pit a lo largo del modelo del bloque
Los valores de Pij en cada bloque, representan el beneficio a generar si ese bloque se
encuentra sobre el límite final del pit a la derecha, y todos los bloques situados arriba y
a la izquierda son extraídos de manera óptima.
Dado que ningún bloque sobre el límite puede tener otro precisamente por sobre él
mismo por razones de diseño de pendientes, observamos a lo largo del límite superior
para el bloque indicando el mayor beneficio. En este ejemplo, podemos ver que el
bloque 1,18 indica el mayor ingreso, con 93 unidades. Desde esta posición, operamos en
la matriz de beneficio ubicada a la izquierda. Desde la posición actual, existen tres
alternativas para expandir el pit a la izquierda. Estas son: 1) arriba, 2) transversalmente
y 3) abajo.
En este caso, el subir no es una alternativa disponible, ya que nos encontramos en la
superficie superior. La posición transversal, indica un beneficio de 88 unidades, y el
bajar, indica un ingreso de 92 unidades. Por lo tanto, el pit se expande hacia abajo, y se
repite el proceso de evaluación hasta concluir el diseño del pit al lado izquierdo del
modelo.
Los valores de la matriz de beneficio, actúan como indicadores de la alternativa correcta
de expansión del pit en todos los puntos. Si se encuentra una situación en que las dos
opciones de expansión indican el mismo beneficio, entonces ambas rutas alcanzan el
mismo valor. Bajo esta situación, al seleccionar la alternativa que extrae el material
adicional, aumentará la recuperación total del recurso natural sin tener ningún efecto en
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el flujo de caja, y la política de la compañía determinará la alternativa en este caso. La
Figura 2.14, es similar a Figura 2.13, con el área del pit achurada en su interior.
La Figura 2.15 ilustra los valores de Vij para todos los bloques incluidos dentro del pit
final. Se muestra el valor total de cada columna, como también la suma de todos los
bloques en el pit, que es 93. Este valor, representa el beneficio total según lo
determinado en Figura 2.13. Además, será imposible encontrar otro diseño de pit que
pueda generar un mayor beneficio.
Fig. 2.15- El valor total Vij 1 del limite del pit = 93, el cual es el que se indica en figs. 2.11 y 2.12.
Para una mayor demostración sobre el uso de la matriz de beneficio, refiérase a Figura
2.14. Observe que en el sexto banco, el pit tiene el ancho de un solo bloque. Suponga
que éste es demasiado bajo como para ser extraído, por lo tanto, surge la necesidad de
averiguar si dejar Bloque 6,11 o extraer Bloque 6,12. El análisis de la matriz, indica que
si el pit se expande de manera transversal y no hacia abajo desde el Bloque 5,12, se
reducirá el beneficio en 5 unidades (10 vs. 15).
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el flujo de caja, y la política de la compañía determinará la alternativa en este caso. La
Figura 2.14, es similar a Figura 2.13, con el área del pit achurada en su interior.
La Figura 2.15 ilustra los valores de Vij para todos los bloques incluidos dentro del pit
final. Se muestra el valor total de cada columna, como también la suma de todos los
bloques en el pit, que es 93. Este valor, representa el beneficio total según lo
determinado en Figura 2.13. Además, será imposible encontrar otro diseño de pit que
pueda generar un mayor beneficio.
Fig. 2.15- El valor total Vij 1 del limite del pit = 93, el cual es el que se indica en figs. 2.11 y 2.12.
Para una mayor demostración sobre el uso de la matriz de beneficio, refiérase a Figura
2.14. Observe que en el sexto banco, el pit tiene el ancho de un solo bloque. Suponga
que éste es demasiado bajo como para ser extraído, por lo tanto, surge la necesidad de
averiguar si dejar Bloque 6,11 o extraer Bloque 6,12. El análisis de la matriz, indica que
si el pit se expande de manera transversal y no hacia abajo desde el Bloque 5,12, se
reducirá el beneficio en 5 unidades (10 vs. 15).
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el flujo de caja, y la política de la compañía determinará la alternativa en este caso. La
Figura 2.14, es similar a Figura 2.13, con el área del pit achurada en su interior.
La Figura 2.15 ilustra los valores de Vij para todos los bloques incluidos dentro del pit
final. Se muestra el valor total de cada columna, como también la suma de todos los
bloques en el pit, que es 93. Este valor, representa el beneficio total según lo
determinado en Figura 2.13. Además, será imposible encontrar otro diseño de pit que
pueda generar un mayor beneficio.
Fig. 2.15- El valor total Vij 1 del limite del pit = 93, el cual es el que se indica en figs. 2.11 y 2.12.
Para una mayor demostración sobre el uso de la matriz de beneficio, refiérase a Figura
2.14. Observe que en el sexto banco, el pit tiene el ancho de un solo bloque. Suponga
que éste es demasiado bajo como para ser extraído, por lo tanto, surge la necesidad de
averiguar si dejar Bloque 6,11 o extraer Bloque 6,12. El análisis de la matriz, indica que
si el pit se expande de manera transversal y no hacia abajo desde el Bloque 5,12, se
reducirá el beneficio en 5 unidades (10 vs. 15).
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Planeamiento de minado
Observe en la Figura 2.8 que el Bloque 6,11 tiene un valor neto de 5, por lo tanto,
resulta obvia la pérdida de 5 unidades. Por otra parte, si el pit se expande hacia abajo y
no de manera transversal desde el Bloque 5.13, habrá una reducción de 2 unidades de
ingreso (31 vs. 33). Esta opción de expandir el área inferior del pit es mejor, ya que
implica una pérdida de 2 unidades versus una pérdida de 5.
La técnica de Lerchs Grossman es un procedimiento matemáticamente correcto y posee
ventajas evidentes respecto de los primeros métodos de aproximación utilizados por la
industria antes del advenimiento computacional en la planificación y diseño de minas.
En particular, se observa el valor de todos los bloques dentro del modelo, no sólo a lo
largo del límite.
Sin duda, el método descrito anteriormente, tiene las desventajas como de cualquier
sistema de dos dimensiones, sin embargo, y por lo general, es posible implementar el
sistema de Lerchs Grossman de manera tridimensional, según lo que se discutirá a
continuación.
2. MÉTODOS TRIDIMENSIONALES DE LERCHS GROSSMAN
La teoría fundamental resguardada tras las técnicas tanto de Lerchs Grossman como del
Cono Flotante, se refiere a que cada tonelada de mineral extraído, deberá pagar su
propia extracción. El método de Lerchs Grossman, es un procedimiento de cálculo
formal, en tanto que el sistema del Cono Flotante, confía más en la fuerza bruta. Ambos
métodos utilizan una aproximación del modelo de bloques de la forma del pit, y esto
induce a cierta imprecisión en ambas técnicas.
El cono flotante tiene ventajas para la creación de un sistema de planificación minera
como también el análisis del límite final del pit. Por esta razón, he optado por el uso del
método del Cono Flotante como herramienta básica en el desarrollo de un sistema de
planificación minera para enseñanza e investigación en la Universidad de Queen's a
principios de los años '80. Cuando los sistemas de cono flotante en tres dimensiones se
aplican correctamente, generan fundamentalmente los mismos resultados que en método
de Lerchs Grossman
2.1. La Técnica de Lerchs Grossman
Este concepto puede expresarse matemáticamente bajo un formato tridimensional,
utilizando la teoría gráfica (Ref.1). 11 Al optimizar un diseño de pit en tres
dimensiones, trabajamos con un modelo de bloque del yacimiento,
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tal como el que se ilustra en la Figura 2.22.
Fig. 2.22- Modelo de bloque del yacimiento
Se asignan valores a los bloques de mineral y de estéril, como se ha discutido
anteriormente. Para implementar el método en tres dimensiones, comenzamos a
partir de la superficie superior y extraemos todos los bloques ubicados en el
primer nivel, que sean rentables. Esto, simplemente incluirá la extracción de
todos los bloques de mineral, dejando intactos todos los bloques de estéril. Esto
es posible, ya que no es necesaria la extracción de estéril para alcanzar el ángulo
de la pendiente total durante la extracción del primer banco. Sin embargo, cuando
se debe extraer el segundo banco, será necesario extraer algunos bloques de
estéril. Entonces, se deberá evaluar si es que un bloque de mineral en particular
en el segundo nivel puede pagar la extracción de todos los bloques de estéril en el
primer nivel que sean necesarios de extraer. Una vez que lleguemos al cuarto o
quinto nivel, se vuelve bastante difícil evaluar la posibilidad de que la extracción
de cada bloque será rentable. Tal como se ha señalado, esto se puede expresar
matemáticamente, utilizando la teoría gráfica. Sin embargo, se ha desarrollado
otro método aproximado para esta aplicación Sin embargo, se ha desarrollado
otro método aproximado para esta aplicación, denominado como la técnica del
“cono flotante”. Esta técnica, tiene ventajas al desarrollar un sistema para la
planificación minera como también para el análisis del límite final del pit. El
método de Lerchs Grossman es matemáticamente preciso, y cuando se aplica
correctamente, los sistemas de cono flotante en tres dimensiones, generan
principalmente los mismos resultados
10 Investigado por: Lumba Huamán Lenin Omar
Planeamiento de minado
tal como el que se ilustra en la Figura 2.22.
Fig. 2.22- Modelo de bloque del yacimiento
Se asignan valores a los bloques de mineral y de estéril, como se ha discutido
anteriormente. Para implementar el método en tres dimensiones, comenzamos a
partir de la superficie superior y extraemos todos los bloques ubicados en el
primer nivel, que sean rentables. Esto, simplemente incluirá la extracción de
todos los bloques de mineral, dejando intactos todos los bloques de estéril. Esto
es posible, ya que no es necesaria la extracción de estéril para alcanzar el ángulo
de la pendiente total durante la extracción del primer banco. Sin embargo, cuando
se debe extraer el segundo banco, será necesario extraer algunos bloques de
estéril. Entonces, se deberá evaluar si es que un bloque de mineral en particular
en el segundo nivel puede pagar la extracción de todos los bloques de estéril en el
primer nivel que sean necesarios de extraer. Una vez que lleguemos al cuarto o
quinto nivel, se vuelve bastante difícil evaluar la posibilidad de que la extracción
de cada bloque será rentable. Tal como se ha señalado, esto se puede expresar
matemáticamente, utilizando la teoría gráfica. Sin embargo, se ha desarrollado
otro método aproximado para esta aplicación Sin embargo, se ha desarrollado
otro método aproximado para esta aplicación, denominado como la técnica del
“cono flotante”. Esta técnica, tiene ventajas al desarrollar un sistema para la
planificación minera como también para el análisis del límite final del pit. El
método de Lerchs Grossman es matemáticamente preciso, y cuando se aplica
correctamente, los sistemas de cono flotante en tres dimensiones, generan
principalmente los mismos resultados
10 Investigado por: Lumba Huamán Lenin Omar
Planeamiento de minado
tal como el que se ilustra en la Figura 2.22.
Fig. 2.22- Modelo de bloque del yacimiento
Se asignan valores a los bloques de mineral y de estéril, como se ha discutido
anteriormente. Para implementar el método en tres dimensiones, comenzamos a
partir de la superficie superior y extraemos todos los bloques ubicados en el
primer nivel, que sean rentables. Esto, simplemente incluirá la extracción de
todos los bloques de mineral, dejando intactos todos los bloques de estéril. Esto
es posible, ya que no es necesaria la extracción de estéril para alcanzar el ángulo
de la pendiente total durante la extracción del primer banco. Sin embargo, cuando
se debe extraer el segundo banco, será necesario extraer algunos bloques de
estéril. Entonces, se deberá evaluar si es que un bloque de mineral en particular
en el segundo nivel puede pagar la extracción de todos los bloques de estéril en el
primer nivel que sean necesarios de extraer. Una vez que lleguemos al cuarto o
quinto nivel, se vuelve bastante difícil evaluar la posibilidad de que la extracción
de cada bloque será rentable. Tal como se ha señalado, esto se puede expresar
matemáticamente, utilizando la teoría gráfica. Sin embargo, se ha desarrollado
otro método aproximado para esta aplicación Sin embargo, se ha desarrollado
otro método aproximado para esta aplicación, denominado como la técnica del
“cono flotante”. Esta técnica, tiene ventajas al desarrollar un sistema para la
planificación minera como también para el análisis del límite final del pit. El
método de Lerchs Grossman es matemáticamente preciso, y cuando se aplica
correctamente, los sistemas de cono flotante en tres dimensiones, generan
principalmente los mismos resultados
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Planeamiento de minado
2.2. Método del Cono Flotante
El procedimiento de búsqueda es de acuerdo a lo descrito anteriormente para el
caso de dos dimensiones, con excepción en que el modelo de bloques y el cono
son tridimensionales.
El incremento de extracción consiste en todos los bloques de material que se
deben extraer para excavar un bloque en particular hasta la base. Por las
limitaciones del ángulo máximo de la pared y debido al hecho de que todo el
material sobre un bloque en particular, debe ser excavado antes que ese bloque
pueda ser excavado, el incremento de extracción toma la forma de un cono de tres
dimensiones. El incremento de extracción se puede aproximar utilizando bloques
a partir de una matriz de bloques en tres dimensiones, como se puede observar en
Figuras 2.23 y 2.24.
Fig. 2.23- vista tridimensional de ¼ de un incremento de extracción cónica,
aproximando por bloques.
Se emplea un bloque como base del cono. La determinación del límite del pit,
utilizando la técnica del cono flotante, constituye una optimización de la matriz de
beneficio.
Fuente: Diseno-y-Operaciones-de-Minas-a-Cielo-Abierto-www-ingenieroenminas
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2.2. Método del Cono Flotante
El procedimiento de búsqueda es de acuerdo a lo descrito anteriormente para el
caso de dos dimensiones, con excepción en que el modelo de bloques y el cono
son tridimensionales.
El incremento de extracción consiste en todos los bloques de material que se
deben extraer para excavar un bloque en particular hasta la base. Por las
limitaciones del ángulo máximo de la pared y debido al hecho de que todo el
material sobre un bloque en particular, debe ser excavado antes que ese bloque
pueda ser excavado, el incremento de extracción toma la forma de un cono de tres
dimensiones. El incremento de extracción se puede aproximar utilizando bloques
a partir de una matriz de bloques en tres dimensiones, como se puede observar en
Figuras 2.23 y 2.24.
Fig. 2.23- vista tridimensional de ¼ de un incremento de extracción cónica,
aproximando por bloques.
Se emplea un bloque como base del cono. La determinación del límite del pit,
utilizando la técnica del cono flotante, constituye una optimización de la matriz de
beneficio.
Fuente: Diseno-y-Operaciones-de-Minas-a-Cielo-Abierto-www-ingenieroenminas
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2.2. Método del Cono Flotante
El procedimiento de búsqueda es de acuerdo a lo descrito anteriormente para el
caso de dos dimensiones, con excepción en que el modelo de bloques y el cono
son tridimensionales.
El incremento de extracción consiste en todos los bloques de material que se
deben extraer para excavar un bloque en particular hasta la base. Por las
limitaciones del ángulo máximo de la pared y debido al hecho de que todo el
material sobre un bloque en particular, debe ser excavado antes que ese bloque
pueda ser excavado, el incremento de extracción toma la forma de un cono de tres
dimensiones. El incremento de extracción se puede aproximar utilizando bloques
a partir de una matriz de bloques en tres dimensiones, como se puede observar en
Figuras 2.23 y 2.24.
Fig. 2.23- vista tridimensional de ¼ de un incremento de extracción cónica,
aproximando por bloques.
Se emplea un bloque como base del cono. La determinación del límite del pit,
utilizando la técnica del cono flotante, constituye una optimización de la matriz de
beneficio.
Fuente: Diseno-y-Operaciones-de-Minas-a-Cielo-Abierto-www-ingenieroenminas
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