Lectura 2 - Probabilidades_jul

- 1 - Materia: HERRAMIENTAS MATEMTICAS III (ESTADSTICA I) Profesor: MARIO MARN

MDULO 2: PROBABILIDADES

Siempre que se encare un problema estadstico debe tenerse en cuenta el grado de posibilidad de que ciertos sucesos hayan ocurrido o vayan a ocurrir. Por ejemplo, a un poltico le interesar conocer el grado de seguridad de las encuestas que determinan un porcentaje dado de votantes para las prximas elecciones o a un inversionista le interesar saber qu grado de riesgo corre su capital en la compra de determinadas acciones. Las matemticas de las probabilidades se relacionan, en sus orgenes, con los juegos de azar, por lo que no debe extraar que para el estudio de ella, se utilicen como ejemplos, resultados posibles en lanzamientos de dados o monedas, en los posibles resultados de una jugada de ruleta, etc. Independientemente de esas aplicaciones particulares, el estudio de probabilidades indica que existe incertidumbre con respecto a la ocurrencia o no de un determinado evento. En muchas oportunidades puede ser virtualmente imposible predecir cul ser el resultado de una determinada accin, pero es posible anticipar cul es el resultado que se espera de dicha accin. Resumiendo, el estudio de este Mdulo nos lleva a cuantificar cuan probable es la ocurrencia de un determinado evento.

A continuacin presentamos un problema en el que se requerirn los temas que desarrollaremos en este mdulo: La gerencia de una compaa de Seguros est preocupada por el nmero de unidades automotrices que son robadas en la va pblica en una determinada ciudad. A partir de ello, efecta la consulta correspondiente a la seccin de robos y hurtos de la polica quin le reporta la siguiente informacin: La cuarta parte de los propietarios de automotores de esa comunidad deja las llaves puestas en los automviles al estacionarlos. Adems y de acuerdo a estadsticas el 5% de los automviles que, estacionados tienen las llaves puestas, son robados de la va pblica mientras que solo el 1% de los automviles que no tienen las llaves puestas son robados. Indique Ud. la probabilidad de que un automvil que ha sido robado en esa ciudad haya tenido las llaves puestas.

2.1 PROBABILIDADES

Cuando un fenmeno puede presentarse de distintas maneras, la factibilidad de ocurrencia de cada una de ellas se la define como probabilidad.

Cada una de las distintas maneras en que puede presentarse el fenmeno se denomina evento. Cuando lanzamos un dado ste puede presentarse de seis maneras distintas, refirindonos al nmero que presenta su cara superior, cada una de ellas recibe el nombre de evento y la designaremos con la letra E, as tendremos

E1: que presente un As E2: que presente un dos


E3: que presente un tres E4: que presente un cuatro E5: que presente un cinco o E6: que se presente con un seis

La probabilidad de un evento es un nmero real comprendido entre 0 y 1

0 P (E) 1 Y puede representarse como un nmero decimal o como fraccin.

Una probabilidad de valor cero indica la imposibilidad de ocurrencia, por el contrario una probabilidad igual a 1 significa la certeza. La probabilidad de que al lanzar una moneda se obtenga una cara o una cruz P (cara o cruz) = 1, as mismo en el lanzamiento de un dado, la probabilidad de obtener un siete P(x=7) = 0, es imposible, un dado no puede tener siete caras.

2.2 EVENTOS: DEFINICIN Y CLASIFICACIN

Pero regresemos al lanzamiento de un dado perfectamente balanceado, podramos considerar tambin como evento, la aparicin de un nmero par en la cara superior del dado, lo que se dara en el caso de presentarse el dos, el cuatro o el seis y lo representaremos con la letra A, para diferenciarlo de los anteriores.

A: que salga un nmero par

O podramos considerar tambin la aparicin de un impar claro que en este caso, la condicin de obtener un nmero impar se satisface con la aparicin del 1, del 3 o del 5, tres de los posibles eventos en el lanzamiento del dado, vemos entonces que es necesario clasificar los eventos:

Eventos

Simples Compuestos

Un evento se dice que es compuesto cuando est conformado por ms de un evento simple, de esta manera, tambin seran eventos compuestos:

B: que se presente con un nmero mayor o igual a 4 C: que sea par y mayor o igual a 4 D: que sea un nmero par o mayor o igual a 4

Claro que tambin podramos expresar al evento C como aquel para el cul debe cumplirse conjuntamente A y B


C = (A y B) De la misma manera:

D = (A o B) es decir D se cumple cuando al menos uno de los dos A o B se cumple.

2.2 DETERMINACIN DE PROBABILIDADES

Se tiene tres planteos bsicos para definir una probabilidad, estas son: a) Planteamiento clsico b) Planteamiento basado en la frecuencia relativa c) Planteamiento subjetivo

Cada una de ellas es aplicada segn las circunstancias y es el Estadstico quien decide su aplicabilidad. Analizaremos cada una de ellas

2.3.1 PLANTEAMIENTO CLSICO

Cuando un fenmeno puede presentarse de n formas distintas, todas ellas igualmente posibles, y de esas n formas en c de ellas lo hace con una determinada caracterstica, entonces, la probabilidad de que al presentarse el fenmeno lo haga con la caracterstica en estudio est dado por el cociente de c sobre n

P c

n Si a c se lo denomina como nmero de casos favorables y a n como nmero de casos posibles podramos expresar la probabilidad clsica como:

P Nm ero de casos favorables

nm ero de casos posibles

Es necesario tener en cuenta que para que esta expresin sea correcta todas las formas en que puede presentarse el fenmeno deben ser igualmente posibles.

Con este concepto la probabilidad de que al lanzar un dado presente la cara con un nmero par ser de:

3 P(A) =

6

3 son los casos favorables (2, 4 y 6) y el nmero de casos posibles es 6.


Recordemos el evento C = deba cumplir con la condicin de ser (par) y mayor o igual que 4, es decir, deba cumplirse simultneamente los eventos A y B

P (C) = P (A y B)

En este caso los eventos favorables son E4 y E6, cumplen con la condicin de ser pares y mayores o iguales a 4 por lo tanto aplicando el concepto de probabilidad clsica emprica tendremos:

2 La probabilidad P(C) =

6

2.3.2 PLANTEAMIENTO EN BASE A LA FRECUENCIA RELATIVA.

Analicemos el lanzamiento de una moneda y descartemos la posibilidad de que, en un lanzamiento la misma caiga de canto (en ese hipottico caso se dejara rodar a la moneda hasta su cada). Dos son los eventos simples en que puede presentarse el fenmeno, que se obtenga una cara o una cruz. Luego la probabilidad de obtener una cara de acuerdo al planteamiento clsico ser:

P(cara) = 1 0,5

2

Por otra parte si en 10 lanzamientos se obtuvieron cuatro caras y seis cruces entonces la frecuencia relativa de obtencin de caras es:

fr(cara) = 4

= 0,4. 10

Si este valor lo representamos grficamente en un sistema de ejes coordenados ortogonales donde, en el eje de las abscisas llevamos el nmero de lanzamientos y en las ordenadas las frecuencias relativas, tendremos un punto tal como lo entrega el diagrama

Grfico 2.1 fr

0,5 0,4 - - - *

10 N Si seguimos lanzando la moneda y cada 10 nuevos lanzamientos obtenemos la frecuencia relativa de obtencin de caras para el total de lanzamientos y lo vamos graficando obtendremos el siguiente diagrama:


Grfico 2.2

fr

* * * * * *

0,5 * * * * * * * *

*

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 N

El diagrama indica que a medida que aumenta el nmero de lanzamientos la frecuencia relativa de la obtencin de cara se aproxima a 0,5, valor de la probabilidad entregada por la expresin clsica, esto nos permite enunciar la Ley de los Grandes Nmeros que dice:

Cuando un fenmeno se pone en evidencia de distintas maneras, la frecuencia relativa de ocurrencia de cada una de ellas tiende a coincidir con su probabilidad de ocurrencia cuando el nmero de veces que se presenta el fenmeno es lo suficientemente grande.

Es decir que en este caso se define como probabilidad a la frecuencia relativa observada de un evento durante un gran nmero de intentos.

Veamos las caractersticas de ste mtodo mediante el siguiente ejemplo:

De acuerdo a las estadsticas llevadas a cabo por una Ca. de seguros, sta informa que de las personas del sexo masculinas de 50 aos, aproximadamente 65 de cada 100.000 mueren durante el perodo de un ao. De acuerdo al mtodo de frecuencia

relativa, la probabilidad de que una persona asegurada del sexo masculino con una edad de 50 aos, muera en el trmino de un ao es de

65

P= 0,00065 100.000

Es necesario tener presente que el grado de bondad de la probabilidad calculada mediante este mtodo, depende del nmero de veces en que fuera evaluado el proceso y por tal motivo, determinada la frecuencia relativa. La definicin expresa que para que la probabilidad de ocurrencia de un proceso coincida con su frecuencia relativa de ocurrencia, sta debe estar calculada sobre la presentacin de un nmero suficientemente grande del fenmeno.


2.3.3 PROBABILIDAD SUBJETIVA

La probabilidad subjetiva queda librada al criterio de quin la determina en funcin de la evidencia con que se cuente para la misma, esta puede ser en base a la frecuencia relativa de ocurrencia en eventos pasados o simplemente de acuerdo a sus supuestos. Este tipo de probabilidad se da cuando los eventos se presentan un nmero reducido de veces. Supngase cumplir las funciones gerente de Recursos Humanos en una Empresa y debe elegir un candidato de entre cuatro que presentan vitae similares, con iguales apariencias y niveles de relacin. El que Ud. elija a uno de ellos es haberle asignado una determinada probabilidad a la potencialidad futura de ese hombre y considera ser superior a la asignada a los otros. En este caso el hecho de no existir una frecuencia relativa del fenmeno no lo libera de la toma de decisin. Es importante tener presente que, personas distintas frente a la misma situacin pueden asignar probabilidades subjetivas distintas.

2.3 REPRESENTACIN GRFICA

Retomemos el fenmeno correspondiente al lanzamiento de un dado. En muchas ocasiones es conveniente operar probabilidades en forma grfica, para ello nos valdremos del Diagrama de Venn. Para la confeccin de este diagrama representamos mediante puntos cada uno de los eventos simples en que puede presentarse el fenmeno, cada uno de ellos se denomina punto muestral y el espacio conformado por todos los puntos muestrales se denominar espacio muestral y se lo denota como (S)

Para el caso que nos ocupa tendremos:

Grafico 2.3

S

E1

E5

E2

E3

E4 E6

Cada uno de los puntos considerados corresponde a cada uno de los posibles eventos en que puede presentarse el lanzamiento del dado. Es necesario adems asignarle a cada uno de los puntos muestrales un valor de probabilidad pero teniendo en cuenta que el valor de probabilidad asignado debe cumplir con la condicin de ser mayor o igual a cero pero menor o igual a 1:


0 P(Ei) 1 donde i vara entre 1 y 6, para este caso

Adems debe cumplirse que, la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales sea igual a 1

i 6

P(Ei ) 1 i 1

En el caso que nos ocupa, todas las caras tienen la misma probabilidad de ocurrencia, por lo tanto la probabilidad que le asignaremos a cada punto muestral ser de

P (Ei) = 1/6

La probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga un nmero par

A: obtener un par

Este evento compuesto se cumple en el caso de obtener un dos, o un cuatro o un seis Grficamente tendremos:

Grafico 2.4

S E1

E5

E2 A

E3 E6

E4

A se cumple si se cumple E2 o E4 o E6, y por lo tanto queda verificado grficamente

P(A) = P (E2) + P (E4) + P (E6) El evento compuesto A es la unin de los eventos simples E2, E4 y E6, teniendo en cuenta el valor de la probabilidad de ocurrencia asignada a cada una de ellos, tendremos

P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 Veamos la probabilidad de obtener un nmero mayor o igual a 4 (recordemos que B es un nmero mayor o igual que 4. B se cumple si se verifica E4 o E5 o E6, tambin en este caso grficamente (grfico 5- 3) verificamos que:

P (B) = P (E4) + P (E5) + P (E6)


Grfico 2.5

E1

E2

E5 E3

E4 E6

B

P (B) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Analicemos ahora el evento C: que sea par y mayor o igual a 4, en este caso deben cumplirse ambas condiciones simultneamente

P(C) = P(A y B)

Representado en el grfico 5-4 observamos que la condicin de ser par y mayor o igual 4 solo lo cumplen los eventos E4 y E6

Grafico 2.6

E1

A

E2

E3

E4 E6 E5

B

Que corresponde justamente a la interseccin de los eventos A y B

P(C) = P(A B) = 2/6.

Analicemos el evento D: obtener un nmero par o un nmero mayor o igual a 4, Grfico 2.7.

P (D) = P(A o B)


AAA

E2

E6

E4

E5

Grfico 2.7

E1

A E3

B

Grficamente observamos que esta condicin lo cumplen solo los eventos E2, E4, E5 y E6, por lo tanto la probabilidad del evento compuesto D ser:

P (D) = P (E2) + P (E4) + P (E5) + P (E6) P (D) = 4 / 6

En este caso no podemos aplicar la suma de las probabilidades de A y B porque tienen una zona en comn (recordemos que esa zona en comn corresponda a (A y B)) que la estaramos sumando dos veces, por lo que, a fin de obtener correctamente la probabilidad de D tendramos que restrsela:

P(A o B) = P(A) + P (B) P(A y B)

P(A o B) = 3/6 + 3/6 2/6 = 4/6

conclusin a la que ya habamos arribado grficamente. Podemos deducir segn lo visto que, grficamente los eventos compuestos surgen de la unin o interseccin de eventos, sean estos simples o compuestos. La probabilidad de obtener un nmero par P(A) esta dada por la unin de los eventos simples E2, E4 y E6, mientras que la probabilidad de obtener un par o un nmero >= 4 est dada por la unin de los eventos compuestos A y B

2.4 REGLA ADITIVA

Tenemos ahora una expresin que nos entrega la probabilidad de la unin de eventos. Expresin que toma el nombre de Regla Aditiva

P(A o B) = P(A) + P (B) P(A y B)


Sera conveniente determinar cul es la expresin que nos determina la interseccin de eventos, para ello analicemos el siguiente caso:

Cul es la probabilidad que habiendo obtenido en el lanzamiento del dado un nmero > o = a 4 este sea par? A este tipo de probabilidad se denomina condicional y se la expresa como P(A / B) Expresin que se lee como probabilidad de ocurrencia de A segn B. Si la cara obtenida contiene un nmero mayor o igual a 4 tendr que ser el 4 o el 5 o el 6, solo tres casos posibles y de los cuales solo dos de ellos cumplen con la condicin de ser par, por lo tanto si nos ajustamos a la definicin clsica de probabilidades:

P(A / B) = casos favorables

= 2

casos posibles 3 Por otra parte, la condicin que deben cumplir los casos favorables es la de ser mayor o igual a 4 y adems, deben cumplir con la condicin de ser par, es decir, deben satisfacer simultneamente A y B, mientras que los casos posibles estarn dados por los eventos simples que constituyen a B, mayores o iguales a 4. Pudiendo expresarla como:

P( A / B) P( A B)

P(B)

La expresin indica que: La probabilidad de ocurrencia de A segn B, est dada por el cociente entre la probabilidad de ocurrencia conjunta de A y B sobre la probabilidad de B.

Si recordamos que la P(A B) 2 6

y la P (B) 3 6

Reemplazando tendremos

P(A / B) P(A B)

P (B)

2

= 6 2

3 3

6

Resultado al que habamos arribado por razonamiento y aplicacin de la definicin clsica.

2.6 REGLA MULTIPLICATIVA

La expresin anterior no solo nos entrega la probabilidad condicionada de ocurrencia de A segn B sino que, nos permite obtener la expresin multiplicativa, si pasamos el denominador del segundo miembro multiplicando al primero, e intercambiando los miembros:


P(A B) P (B) * P(A / B)

De la misma manera arribaramos a la expresin:

P (B A) P(A) * P (B / A)

Debe tener en cuenta el alumno que:

P(A B) P (B A)

Si tenemos en cuenta que grficamente los eventos compuestos estn conformados por la unin (suma) o interseccin (producto) de eventos, las expresiones determinadas por la regla aditiva y multiplicativa nos permitirn resolver las probabilidades de eventos compuestos.

Regla aditiva: P(A o B) = P(A) + P (B) - P(A y B)

Regla multiplicativa: P(A y B) = P(A). P (B / A) = P (B). P(A / B)

2.7 RELACIN ENTRE EVENTOS

De acuerdo a lo estudiado, hemos visto que dos o ms eventos pueden combinarse para dar eventos compuestos y esos tipos de combinacin estaban representados grficamente por una unin de eventos o por una interseccin de ellos. Matemticamente, la unin esta dada por una disyuncin o, probabilidad de ocurrencia de por lo menos uno de ellos, esta probabilidad estaba determinada por la regla aditiva, mientras que a la interseccin le corresponde el conectivo lgico y, es una conjuncin e indica la ocurrencia simultanea de ambos eventos y su probabilidad denominada probabilidad conjunta, esta probabilidad es satisfecha por la regla multiplicativa. Independientemente del concepto precedente, el evento compuesto generado por la relacin entre los eventos A y B se la puede clasificar como:

COMPLEMENTARIOS

RELACION ENTRE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

INDEPENDIENTES


2.7.1 EVENTOS COMPLEMENTARIOS

Dos eventos A y B se denominan COMPLEMENTARIOS cuando la suma de sus probabilidades es igual a 1:

P(A) + P (B) = 1 Si tenemos presente el espacio muestral en donde cada una de los eventos posee una probabilidad y la suma de todas ellas es igual a 1, nos indica que dada el evento A, su complemento estar constituido por todos los puntos muestrales de dicho espacio

que no pertenezcan a A y se lo denomina como A (todo lo que no es A constituye su complemento)

Grfico 2.8

S

A

A B A

2.7.2 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos implica la no ocurrencia del otro.

Grfico 2.9

S

Grficamente no presentarn ningn punto en comn.

En el lanzamiento de un dado, la obtencin de un cuatro es mutuamente excluyente con cualquiera de las otras cinco opciones. Representado grficamente en un diagrama de Venn.


Podemos decir que todos los eventos simples en que puede presentarse un fenmeno son mutuamente excluyentes. Consideremos nuevamente el lanzamiento de un dado perfectamente balanceado, seis son los eventos simples posibles, y todos ellos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de uno de ellos implica automticamente la no ocurrencia de los otros. Ninguno de ellos tiene puntos en comn Grafico 2.10.

Grfico 2.10

S

E1

E5 E2

E3

E4 E6

El no poder ocurrir simultneamente implica que la probabilidad de ocurrencia simultnea de ellos sea igual a cero.

P (E1 E2) = 0 Al igual que P (E2 E5) = 0

Y en general dados dos eventos A y B si son mutuamente excluyentes debe cumplirse que

P(A B) = 0 Por lo tanto en este caso, cuando los eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de por lo menos uno de ellos ser igual a la suma de sus probabilidades:

P(A B) = P(A) + P (B)

Acotacin: Como conclusin podemos decir que dados dos eventos A y B, si son

complementarios ambos eventos A y B, este ltimo = A ser exhaustivamente excluyentes ya que no es posible obtener otro resultado para el fenmeno que no sea uno de ellos. Resumiendo, si dos eventos son complementarios indefectiblemente son mutuamente excluyentes.


2.7.3 EVENTOS INDEPENDIENTES

Supongamos que lanzamos una moneda, la probabilidad de obtener una cara es de . Si lanzamos otra moneda, la probabilidad de obtener una cara ser tambin de . Cul es la probabilidad de que se obtenga una cara en la segunda moneda habindose obtenido una cara en la primera? Consideramos que ser tambin de , no existe relacin alguna entre el resultado de la primera y la probabilidad de ocurrencia de la segunda moneda, tendramos que afirmar:

P (cara 2 / cara 1) = P (cara 2)

Que se lee, la probabilidad de que la segunda moneda se obtenga cara, habindose obtenido cara en la primera moneda es igual a la probabilidad de obtener cara en la segunda moneda. Decimos que los eventos son independientes.

Definicin

Dos eventos se dicen que son independientes, cuando la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro.

Y se expresa como:

P(A / B)= P(A).

La probabilidad que Juan apruebe Estadstica es independiente de que Boca gane en el prximo partido.

Si recordamos la regla multiplicativa:

P(A B) = P (B). P(A/B)

Cuando los eventos son independientes la P(A/B) = P(A)

Por la tanto la expresin matemtica de la probabilidad conjunta toma la forma de:

P(A B) = P(A). P (B)

Lo que se expresa como:

Cuando dos eventos son independientes, la ocurrencia simultnea de ambos es igual al producto de sus probabilidades.


En muchas oportunidades se le hace difcil al alumno definir cuando existe dependencia o independencia de dos eventos. Supongamos que extraemos una carta de un mazo de cartas espaolas de un total de cuarenta y definimos:

C1 = sacar una carta de espadas en una primera extraccin y

C2 = extraer una carta de espadas en la segunda extraccin

La probabilidad de extraer una carta de espadas en la primera extraccin ser de

10 P (C1) =

40

casos favorables

casos posibles

Pero la probabilidad de extraer una espada en la segunda extraccin queda supeditada a la forma en que se realice el proceso, es decir, con reposicin o sin reposicin. Si se realiza con reposicin, luego de efectuar la primera extraccin, la carta se coloca nuevamente en el mazo y se mezcla, la probabilidad de extraer una carta de espadas ser nuevamente de

10 P (C2) =

40

Los eventos son independientes. Pero si el proceso se realiza sin reposicin, la probabilidad de extraer una espada en segundo trmino depende de la carta extrada en la primera oportunidad (que sea o no una espada). La probabilidad de extraer una espada en la segunda oportunidad no habiendo obtenido una espada en la primera ser de:

10 P (espada en 2 / no espada en 1) =

39

Mientras que la probabilidad de obtener una espada en la segunda oportunidad habiendo obtenido una espada en la primera ser:

9 P (espada en 2 / espada en 1) =

39

Aclaraciones

1. Se define como probabilidad marginal a la probabilidad simple correspondiente a un evento. Si lanzamos una moneda que est perfectamente balanceada, la probabilidad de obtener una cara es de 0,5, esto es cierto para cualquier lanzamiento, no importa cuntas veces se lance la moneda ni cuales fueron los resultados anteriores. Cada nuevo lanzamiento es nico e independiente de los resultados que se hubieren obtenido en lanzamientos anteriores.


2. En el inicio del estudio de probabilidades se hace complejo definir claramente sucesos mutuamente excluyentes y eventos independientes a estos efectos se tendr muy en cuenta la siguiente premisa

Los sucesos mutuamente excluyentes deben ser dependientes, pero los sucesos dependientes no tienen necesariamente que ser mutuamente excluyentes.

2.8 PROBABILIDADES MARGINALES BAJO DEPENDENCIA ESTADSTICA

La probabilidad marginal en condiciones de dependencia estadstica se determina mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo.

Supongamos tener una caja con 10 bolillas que presentan las siguientes caractersticas:

Tres son rojas con puntos Una es roja con franjas Dos son grises con puntos Cuatro son grises con franjas

La probabilidad de extraer una bola gris, estar dada por la suma de las probabilidades de obtener una bola gris con puntos y una bola gris con franjas:

P (gris) = P (gris puntos) + P (gris franjas) Recordar que de manera general la P(A B) = P(A). P (B/A) que se lee La probabilidad de A y B es igual a la probabilidad de A por la probabilidad de A segn B

En nuestro caso:

La P (gris y puntos) = P (gris) * P (puntos / segn gris)

= 6/10 * 2/6 = 2/10

Adems la P (gris y franjas) = P (gris) * P (franjas / segn gris)

= 6/10 * 4/6 = 4/10

Por lo tanto la probabilidad de obtener una bolilla gris ser: P

(gris) = P (gris y puntos) + P (gris y franjas)

P (gris) = 0,2 + 0,4 = 0,6


Analicemos la siguiente situacin:

Un Club local con 400 socios los clasifica de acuerdo a su edad, en tres categoras, Infantiles, Cadetes y Mayores. Adems en cada categora los clasifica de acuerdo a su sexo en Varones y Mujeres segn consta en la siguiente tabla:

SEXO INFANTILES CADETES MAYORES

Varones 150 100 30

Mujeres 70 30 20

Si se elige azarosamente la ficha de un socio indique Ud. la probabilidad que:

a) Corresponda a una mujer

De acuerdo a la definicin la probabilidad de mujer estar dada por la suma de las probabilidades de los eventos conjuntos donde se presenta la mujer, es decir

Si designamos a mujer como F, a varn como V, infantiles como I, cadetes como C y mayores como M podemos expresar:

P( F ) = P( F I) + P(F C ) + P( F M ) = 70 / 400 + 30 / 400 + 20 / 400 = 120 / 400

Resultado al cual podramos haber llegado rpidamente si completamos la tabla anterior con una nueva fila y una columna ms que contengan los totales:

SEXO INFANTILES CADETES MAYORES TOTALES

Varones 150 100 30 280

Mujeres 70 30 20 120

TOTALES 220 130 50 400

De esta manera la Probabilidad:

P (F) = 120 / 400

Suponga que quiere determinar la probabilidad de que elegida la ficha de un socio azarosamente, le corresponda a un varn siendo que perteneca a un infantil. Aplicando la expresin general de probabilidades dependientes tendremos:


P (V / I) = P (V I)

P (I)

Desarrollando las expresiones del numerador y del denominador tendremos:

P (V / I) = P (V) * P (I /V)

P (I F) P (I V)

Desarrollando las probabilidades conjuntas del denominador tendramos:

P (V / I) = P (V) * P (I /V)

P (F) * P (I / F) P (V) * P (I /V)

Expresin que se la conoce como Teorema de Bayes El teorema o Regla de Bayes en si trata la revisin de las estimaciones iniciales de la probabilidad dada la evidencia de la muestra. En sntesis permite estudiar nueva informacin y revisar nuestras anteriores estimaciones. Para el caso que estamos tratando, aplicar Bayes nos entregara:

220 *

150

P (V / I) 400 220 120

* 70

280

* 150

400 120 400 280

Simplificando tendremos

P (V/ I) = 150

220

Claro que la tabla facilita la determinacin de estas probabilidades condicionadas analizando el problema de la siguiente manera:

La probabilidad de que corresponda a un varn, sabiendo que la ficha pertenece a un infantil, circunscribe el espacio muestral solo al nmero de infantiles 220 que corresponder al nmero de casos factibles, por otro lado los casos favorables se dar por la cantidad de varones infantiles que se tengan, en este caso 150, luego aplicando la expresin clsica de probabilidades

P (V / I) = 150

220

Analicemos el siguiente problema Una empresa metalrgica produce pernos de pistn para un determinado tipo de motor. La produccin se efecta con tres mquinas a las que designaremos como M1,


M2 y M3. La mquina M1 Produce el 50% de los pernos mientras que la M2 el 30%, se sabe adems que la mquina M1 produce un 4% de piezas defectuosas mientras que la M2 produce el 8% y de los pernos producidos por la M3 el 10% presenta fallas. Si tomamos azarosamente un perno listo para embalar y el mismo est defectuoso, indique Ud. cul es la probabilidad de que lo haya producido la maquina M1.

De acuerdo a lo solicitado por el enunciado nuestra incgnita es la Probabilidad de que un perno lo hubiera producido M1 sabiendo que el mismo est defectuoso.

P (M1/ D) P (D M

1) P (D)

(1)

De acuerdo a los datos tenemos que la probabilidad de que un perno cualquiera lo produjera cada una de las mquinas ser:

P (M1) = 0,5 P (M2) = 0,3 P (M3) = 0,2

Por otra parte conociendo los porcentajes de pernos defectuosos producidos por cada una de las mquinas tendremos:

La probabilidad de que habindola producido M1 est defectuoso

P (D / M1) = 0,04

De idntica manera tendremos:

P (D / M2) = 0,08 y

P (D / M3) = 0,1

Desarrollando la expresin (1) de acuerdo al teorema de Bayes tendremos:

P(M1 / D) = P (M1) * P (D /

M1)

P (D M1) P (D M 2) P (D M

3)

desarrollando el denominador

P(M1/D) = P (M1) * P (D /

M1)

P (M1) * P (D / M1) P (M 2) * P (D / M 2) P (M 3) * P (D /

M 3)

Reemplazando valores tendremos:


P (M1 / D) =

0.5 * 0.04

0.5 * 0.04 0.3 * 0.08 0,2 * 0,1

0.02 0.02 0.024 0.02


La probabilidad que un perno, que se sabe est defectuoso, lo produjera M1 es igual a:

P (M1 / D) = 0.02

0.064

RESOLUCIN DEL PROBLEMA Al inicio de este mdulo se nos plante el siguiente problema, el cual no podamos resolver por falta de herramientas, pero ahora estamos ya en condiciones de resolver.

La cuarta parte de los propietarios de automotores de esa comunidad deja las llaves puestas en los automviles al estacionarlos. Adems y de acuerdo a estadsticas el 5% de los automviles que estacionados tienen las llaves puestas son robados de la va pblica mientras que solo el 1% de los automviles que no tienen las llaves puestas son robados. Indique Ud. la probabilidad de que un automvil que ha sido robado en esa ciudad haya tenido las llaves puestas.

Si definimos como evento A, el dejar las llaves en el estacionamiento, B el evento de no dejarlas y R que el automvil fuera robado, entonces tendremos:

P(A) = 0,25

Por lo tanto la P (B) 0,75

Adems la probabilidad de que un auto estacionado con las llaves puestas sea robado es de:

P(R/A) = 0,05

y la probabilidad de que sea robado en caso de no tener las llaves puestas es :

P(R/B) = 0,01

Lo solicitado en el problema es la probabilidad de que habiendo sido robado un automvil, ste tuviera las llaves puestas. Expresando esta probabilidad condicionada:

P(A/R) = P(A R)

P(R)

Desarrollando esta expresin tendremos la Regla de Bayes:

P (A/R) = P (A) * P(R / A)

P (A R) (P (B

R)

Que desarrollando el denominador, tambin podemos expresar como:


P(A/R) = P(A) * P(R / A)

P(A) * P(R / A) (PB) * P(R / B)

Reemplazando por valores:

P(A/R) = 0,25 * 0,05

0,25 * 0,05 0,75 * 0,01

0,0125 0,02

P(A/R) = 0,6255

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

El estudio de combinaciones y permutaciones se asocia al estudio de anlisis combinatorio y constituye en realidad una herramienta de gran aplicacin en la resolucin de probabilidades y en la distribucin de variable aleatoria que veremos ms adelante.

Supongamos tener un conjunto de cinco elementos a los que denominaremos como:

(a, b, c, d, e)

Denominaremos como n al nmero de elementos que conforman el conjunto, en este caso n = 5. Ahora bien, si, con los elementos del conjunto quisiramos formar subconjuntos de r

elementos cada uno, en este caso r = 3, estos seran los siguientes:

(a b c) (a b d) (a b e) (a c d) (a c e) (a d e) (b c d) (b d e) (b c e) (c d e)

Cada uno de estos subconjuntos de tres elementos cada uno de ellos, formados con los n elementos del conjunto dado se denominan combinaciones y se las expresa como:

n C r (Expresin que se presenta en general en las calculadoras).

No obstante es comn encontrar en distintos textos combinaciones expresadas de diferentes maneras segn el criterio del autor y a saber:

n C r

Cr n

En todas ellas se lee como Combinaciones de n elementos tomados de r en r, matemticamente igual a:


n C r = n!

r!*(n r)!

(11)

n!

= r!*(n r)!

5! =

3!*(5 3)!

5.4.3.2.1 10

(3.2.1) (2.1)

Definicin

Dos combinaciones son distintas cuando varan en por lo menos un elemento.

A su vez, cada subconjunto de tres elementos pueden expresarse de seis maneras distintas, permutando los trminos que lo componen:

(A b c) (A c b) (B a c) (b c a) (c a b) (c b a)

(a b d) (a d b) (b d a) (b a d) (d a b) (d b a)

(a b e) (a e b) (b a e) (b e a) (e a b) (e b a)

(a c d) (a d c) (d a c) (d c a) (c d a) (c a d)

(a c e) (a e c) (c a e) (c e a) (e a c) (e c a)

(a d e) (a e d) (d e a) (d a e) (e a d) (e d a)

(b c d) (b d c) (c d b) (c b d) (d b c) (d c b)

(b d e) (b d e) (d b e) (d e b) (e d b) (e b d)

(b c e) (b e c) (c b e) (c e b) (e c b) (e b c)

(c d e) (c e d) (e d c) (e c d) (d e c) (d c e)

Cada una de las distintas formas en que puede expresarse un conjunto se denomina permutaciones y se las expresa como:

P r = r !

P (3) = 3 . 2 . 1 = 6

1 Debemos recordar que n! ( factorial de n) = n* (n-1) * (n-2) * . . . . . . . .* ( n-n+1)

Adems, el factorial de cero 0! = 1.


Definicin

Dos permutaciones son distintas cuando varan en la ubicacin de por lo menos un elemento.

Resumiendo diremos que, por cada una de las combinaciones de tres elementos, tomadas entre los cinco del conjunto dado, se pueden obtener seis permutaciones.

Al conjunto de combinaciones y permutaciones se las denomina Variaciones o tambin Permutaciones de n elementos tomados de r en r, y se lo denota como:

nPr = nCr * Pr

n! nPr = * r!

r!.(n r)!

simplificando

nPr = n!

(n r)!

Para nuestro caso n = 5 y r = 3 tendremos:

nPr = 5.4.3.2.1

2.1

60

Analicemos el siguiente ejercicio: Supongamos que en un jardn de infantes hay cuatro maestras de las cuales dos de ellas son casadas y las denominaremos como C1 y C2, por otra parte las otras dos se denominaran S1 y S2. Si es necesario elegir a dos de las maestras para acompaar a los nios a un paseo, y la eleccin se efecta de manera totalmente aleatorio, indique la probabilidad: A que las dos maestras elegidas sean casadas. B Que las dos sean solteras C Que una sea casada y la otra soltera.

En casos como el planteado puede ser conveniente operar con el diagrama de VENN, en el cul volcaramos todas las duplas posibles a elegir, que no seran ms que las combinaciones de dos elementos tomados del conjunto original de cuatro, y a saber:

(C1 C2 S1 S2)


S

C1C2 C2S1

C1S1 S1S2 C2S2

C1S2

Cada punto muestral es una combinacin. Al elegir una dupla, esta tendr que ser necesariamente una de las seis combinaciones, todas igualmente posibles y por lo tanto la probabilidad de cada una de ellas ser de:

P (Ei) = 1 / 6

A) La probabilidad de que ambas sean casadas ser entonces de:

P (C1C2) = 1/ 6

B) La probabilidad de que las dos sean casadas tambin ser igual a:

P (S1S2) = 1/ 6

Solo una combinacin cumple con esa condicin. C) De las seis combinaciones posibles, en cuatro de ellas se tiene una casada y la otra soltera, por lo que la probabilidad de:

P (SC) = 4 / 6

A C1C2 C2S1

C1S1 S1S2 B

C2S2 C1S2

C

P(A) + P (B) + P(C) = 1 / 6 + 1 / 6 + 4 / 6 = 1 Mientras el nmero de eventos simples sea pequeo, podemos resolver estas probabilidades directas apoyndonos en el diagrama de VENN, pero si su nmero aumentare ya no sera posible este tipo de planteo.


Supongamos tener un curso de 32 alumnos conformado por 14 mujeres y 18 varones, si es necesario conformar una comisin de dos alumnos para realizar una investigacin y sta se efectuare azarosamente, indique la probabilidad de que los dos alumnos elegidos: A sean varones B ambos sean mujeres C que uno de ellos fuere mejer y el otro varn.

En este caso generaramos un diagrama de VENN pero con otro concepto. Si se tomar una dupla esta ser una de todas las posibles duplas que se pueden formar con 32 alumnos. Es decir:

Duplas posibles = 32C2 Su valor lo obtenemos en cualquier calculadora utilizando la tecla nCr.

32C2 = 496 Estas 496 duplas estarn conformadas por: 1- Varn Varn (V V)

2- Varn Mujer (V M)

3- Mujer Mujer (M M)

V V

V M

M M Cuntas duplas de (V V) se tienen, tantas como las combinaciones que se pueden formar con 18 varones tomados de 2 en 2?:

(V V) = 18C2 = 153

La cantidad de duplas de mujer ser el nmero de combinaciones de 2 elementos cada una de ellas tomadas de entre las 14 mujeres que tiene el conjunto:

(M M) = 14C2 = 91

Si el total de duplas es de 496, podemos obtener el nmero de ellas que estn conformadas por mujer varn como la diferencia entre el total y la suma de las duplas (V V) y (M M)

(M V) = 496 (153 + 91) = 252 Ahora estamos en condiciones de responder a las preguntas aplicando la expresin clsica de probabilidades:


P (E) = casos favorables

casos posibles

P (V V) = 153

496

0,3084

P (M M) = 91

496

0,1834

P (M V) = 0,5081

Lectura 2 - Probabilidades_jul

Documents

Transcript of Lectura 2 - Probabilidades_jul