Lectura: LA SIMETRÍA AXIAL -...

20
Lectura: LA SIMETRÍA AXIAL 1

Transcript of Lectura: LA SIMETRÍA AXIAL -...

��������

������������ ��������������������������������

Lectura: LA SIMETRÍA AXIAL

1

��������

������������ ��������������������������������

2

��������

������������ ��������������������������������

3

Presentación del trabajo propuesto Las primeras páginas sirven para presentar las ideas de simetría mediante una colección de applets que los estudiantes pueden manipular. Con ellas se pretende que recuerden y afiancen los contenidos matemáticos aprendidos en clase y fuera del ámbito escolar acerca de la simetría, especialmente dos: - Apreciación de cuándo una figura tiene simetría especular. Se han tomado tres ejemplos: un animal, una flor y una construcción humana. - Tomar una figura y hacer la simetría respecto de un eje para obtener una nueva. Los ejemplos aquí se toman de la simetría bilateral de ciertos animales y del rostro humano, y de la simetría de las ciertas letras. El abecedario se retomará después, durante la evaluación. Tras esa breve introducción se inicia un trabajo con diez actividades que tienen dificultad creciente y que se han graduado atendiendo a varios criterios: - La complejidad y el grado de abstracción de las figuras presentadas. - La presencia o no de ayudas en los applets.

- El nivel de profundidad en los conceptos implicados y la cantidad de conexiones entre conceptos. - La complejidad del lenguaje utilizado en la formulación de las preguntas.

Se pueden distinguir tres secciones diferenciadas:

- En las actividades 1 a 5 se pregunta sobre las simetrías de las figuras en diferentes contextos. En muchos casos, se presenta un applet en la parte superior que dispone de un segmento con un punto que, al ser deslizado hacia arriba, hace que las imágenes aparezcan con mayor tamaño para ser analizadas y, en algunos casos, se proporcionan ciertas ayudas para resolver la actividad. - Con las actividades 6 a 8 se pretende analizar el grado de comprensión de los conceptos implicados y las relaciones entre esos conceptos. - Las actividades 9 y 10 se dedican a la aplicación de las simetrías en las artes ornamentales para el análisis de los mosaicos.

Es conveniente dedicar un tiempo a la manipulación de los applets y tener en cuenta que la duración de esta fase inicial del trabajo es distinta para cada estudiante.- La dificultad en el lenguaje utilizado para plantear las

preguntas.

��������

������������ ��������������������������������

4

Esta es una actividad que introduce al alumno en la utilización de la simetría para el diseño de figuras en un contexto que suele resultar familiar y atractivo para los estudiantes.

La bandera que puede presentar mayor dificultad es la del Reino Unido, ya que parece tener dos ejes de simetría que quedan anulados porque las líneas rojas oblicuas no están centradas en la banda blanca.

��������

������������ ��������������������������������

5

La actividad está situada en un contexto familiar para los alumnos. Es interesante que primero conjeturen acerca de si las letras tienen ejes de simetría y que después activen los interruptores que hacen ver los posibles ejes (horizontal y vertical).

Las letras O, H y X tienen los dos ejes de simetría, puede que algunos alumnos vean uno de ellos y no se lleguen a plantear el que pueda tener otro.

Tres de las letras que no tienen ejes de simetría, N, S y Z, se han elegido por tener simetría rotacional. Es muy frecuente que los alumnos crean que tienen simetría axial. Es de esperar que la presencia de las líneas punteadas que aparecen con los interruptores les hagan reflexionar.

��������

������������ ��������������������������������

6

��������

������������ ��������������������������������

7

Se han elegido ocho baldosas de forma que estén representadas todas las posibilidades para las baldosas cuadradas: simetrías paralelas a los lados o que van a los vértices, y simetrías rotacionales de órdenes 2 y 4.

Se ofrece como ayuda la posibilidad de dibujar las líneas que podrían ser ejes de simetría. Cuando se activa el interruptor aparecen 4 segmentos que pueden ser ejes

de simetría de las figuras. Se pide determinar cuántos de ellos lo serán.

La dificultad es baja por la ayuda proporcionada y la experiencia acumulada con las preguntas anteriores. De todas formas, como en las demás actividades, hay que dejar tiempo para que se manipulen las imágenes y se decidan las soluciones.

��������

������������ ��������������������������������

8

Las cuestiones se refieren ahora a un nuevo contexto más abstracto, aunque sigue siendo cercano al alumno, que no dispone de ayuda adicional (como la posibilidad de mostrar ejes).

��������

������������ ��������������������������������

9

Esta es la última pregunta de esta sección, las figuras que se presentan ya no tienen referencias a lo concreto, son distintos tipos de cuadriláteros y se ha modificado la formulación de la pregunta respecto de las anteriores. En lugar de preguntar cuántos ejes de simetría tiene cada uno de los cuadriláteros, se realiza al revés: dada una cantidad de ejes de simetría hay que buscar qué cuadriláteros poseen esa propiedad.

��������

������������ ��������������������������������

10

��������

������������ ��������������������������������

11

Con esta pregunta se pretenden revisar las ideas que los alumnos han adquirido sobre el concepto de simetría y cómo las relacionan con otras ideas geométricas. Si en las preguntas anteriores el lenguaje era de tipo visual y la pregunta muy concreta, a partir de ahora presentan una dificultad añadida que proviene de la utilización del lenguaje geométrico para describir situaciones y establecer relaciones. Para responder a las preguntas los estudiantes pueden basarse en la observación de la figura, y además disponen de los applets en los que pueden modificar los elementos. Sólo es posible mover el punto más grueso de color azul. Esta pregunta se ofrece en dos contextos diferentes para que puedan extraer conclusiones con más facilidad. Para responder a las preguntas pueden basarse en la

observación de la figura y también mediante la manipulación de los applets. Una de las dificultades de estas cuestiones reside en la comprensión de la propia pregunta. Se han realizado de forma intencionada para estudiar el grado de comprensión que tiene el alumno en este tipo de mensajes. Es más, en algún caso dos preguntas son muy parecidas, y en ellas sólo cambia la redacción, es el caso de la cuarta y sexta afirmación, en la que se desea que los puntos tracen dos líneas paralelas, y paralelas a su vez al eje de simetría, pero la formulación es distinta. La última afirmación puede ser engañosa, si se coloca el punto azul sobre el segmento que une P y Q, el punto azul coincidirá con el rojo, pero la respuesta no es correcta porque se puede colocar en esos puntos y en cualquier otro del eje de simetría.

��������

������������ ��������������������������������

12

��������

������������ ��������������������������������

13

Se utiliza ahora la imagen del Taj Mahal, con dos ejes de simetría perpendiculares, y la de una flor, con tres ejes de simetría que forman ángulos de 120º. Las referencias que se hacen a los ángulos en las afirmaciones se refieren únicamente a giros de 180º, y seguidamente, se aclara que es media vuelta completa, con el fin de que las dificultades en el dominio de los

ángulos no interfiera sobre lo que se quiere analizar aquí.

Otra vez conviene anotar que leer las preguntas, entenderlas y comprobar sobre los applets si son ciertas o no, es algo que todos los estudiantes tienen que hacer rápidamente.

��������

������������ ��������������������������������

14

��������

������������ ��������������������������������

15

Se plantea el problema del cambio de orientación provocado por la simetría, al principio se pregunta para tres casos particulares, con el fin de que el estudiante vea que, en algunos casos, se puede pasar de una figura a otra mediante traslaciones (al mover el punto A) y rotaciones (al hacer girar B alrededor de A), como ocurre en la segunda afirmación. En cambio, en otros casos es imposible pasar de una a otra (primera y tercera afirmación).

Las dos últimas preguntas intentan ir más allá y plantean cuestiones sobre la relación entre la paridad del número de simetrías realizadas y la posibilidad de pasar de una figura a otra. Serán mucho más difíciles de responder que las anteriores porque requieren un pensamiento mucho más abstracto y la realización de generalizaciones.

��������

������������ ��������������������������������

16

��������

������������ ��������������������������������

17

��������

������������ ��������������������������������

18

El trabajo que se les pide ahora es distinto a todo lo que se ha hecho hasta ahora. Ahora ya no pueden mover puntos o banderas, ya que es el mismo eje de simetría lo que han de mover y comprobar si la figura simétrica coincide con la original.

��������

������������ ��������������������������������

19

A la actividad anterior se le añade una nueva dificultad, al no disponer del eje de simetría deben realizar las transformaciones con su imaginación.

��������

������������ ��������������������������������

20

Bibliografía - ALSINA, C, PÉREZ, R. Y RUIZ, C. (1989). Simetría dinámica. Síntesis. Madrid. - COXFORD, A. Ed. (1996). Geometría desde múltiples perspectivas. N.C.T.M y SAEM Thales. Sevilla. - EPSILON (Revista). (1987). La Alhambra, APMA. Granada. - GEDDES, D. (1995). Geometría en el ciclo medio. N.C.T.M y SAEM Thales. Sevilla. - MORA, J.A. y RODRIGO, J. (1993). Mosaicos (2 vol.). Colección dos puntos, Proyecto Sur. Granada. - WEYL, H. (1991). Simetría. McGRAW HILL. Madrid.

Webs de interés para el aprendizaje de la simetría axial (activas enero 2009). - Wikipedia. http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada - Geometría dinámica del grupo G4D. http://www.geometriadinamica.es/ - Symmetry en la web de Jo Enkins. http://gwydir.demon.co.uk/jo/symmetry/index.htm - Webquest symmetry http://adrianbruce.com/Symmetry/ - Links learning. Line symmetry. http://www.linkslearning.org/Kids/1_Math/2_Illustrated_Lessons/ 4_Line_Symmetry/index.html - IES Arroyo de la Miel de Málaga. Movimientos en el planoy mosaicos. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/ matematicas/materiales/3eso/geometria/movimientos/ movimientos.html