Leibniz - En El Laberinto -Escritos Sobre El Continuo
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7/21/2019 Leibniz - En El Laberinto -Escritos Sobre El Continuo
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G. W. Leibniz
En el laberintoEscritos sobre el continuo
Introduccin, traduccin y notas
de Manuel Luna Alcoba
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Gottfried Wilhelm Leibniz
En el laberinto
Escritos sobre el continuo
Introduccin, traduccin y notas de Manuel Luna Alcoba
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A Beltrn,
que ni siquiera era un proyecto
cuando este proyecto comenz
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Al caer la noche, vuelvo a casa y entro en mi
estudio, en cuyo umbral me despojo de aquel traje de
la jornada, lleno de lodo y lamparones, para vestirme
con ropas de corte real y pontificia; y as ataviado
honorablemente, entro en las cortes de los hombres
de la antigedad. Recibido por ellos amablemente,
me nutro de aquel alimento que es privativamente
mo, y para el cual nac... Y por cuatro horas no
siento el menor hasto, olvido todos mis cuidados, no
temo la pobreza ni me espanta la muerte (carta
desde el exilio de Nicols Maquiavelo a Francesco
Vettori, diciembre de 1513)
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Indice
Introduccin general............................................................................................4
Consecuencia de la hiptesis general................ 10
Introduccin..........................................................................................11
Consecuencia de la Hiptesis general publicada hace algn tiempo
para explicar e l F e n m e n o d e l a a d h e s i n e n el
v a c o o e n un l u g a r d e l c u a l s e ha s a c a d o e la i r e ...... ................... 17
Notas del traductor...............................................................................23
Prefacio al opsculo sobre la cuadratura aritmtica.....................................32
Introduccin................ ..33
Prefacio al opsculo sobre la cuadratura aritmtica del .35
Notas del traductor............................................................................... 42
Principio enteramente general.........................................................................44
I ntroduccin....................................................................................... 45
Principio enteramente general, no slo til en matemticas sino en
fs ica, por medio del cual, a partir de la consideracin de la
sabidura divina, se examinan las leyes de la naturaleza. Se explica
habiendo surgido la ocasin en la controversia con el R. P.
Malebranche, y se advierten ciertos errores de los cartesianos....Al
Notas del traductor............................................................................... 54
Historia del problema del continuo.................................................................56
Introduccin...........................................................................................57
Historia del problema del continuo ...................................................59
Notas del traductor............................................................................... 74
Bosquejo de una geometra brillante ...............................................................79
Introduccin...........................................................................................80
Bosquejo de una geometra brillante.................................................86
Notas del traductor............................ 147
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INTRODUCCIN
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Optimista nacido en psima situacin histrica, escritor infatigable con
escasos lectores, lector infatigable con escasa vista, defensor de la libre circulacin
de los escritos que casi no publicaba, viajero que no pudo hacer el viaje de su vida,
doctor en derecho famoso como filsofo, filsofo inmenso que no vivi de la
filosofa, empleado de una biblioteca a la que le dedic un tiempo mnimo,
grandioso cultivador del gnero epistolar sin vida privada, Leibniz es una de las
personalidades ms ricas y sorprendentes del rico y sorprendente mundo del
Barroco. Godofredo Guillermo Leibniz naci en el peor de los mundos posibles, el
mundo devastado por la Guerra de los Treinta Aos, a la que an le faltaban tres
para finalizar. El futuro defensor de la unificacin de las religiones dio sus primeros
pasos en la muy protestante Leipzig, entre los ltimos rescoldos de odios religiosos y
el nacimiento de un nuevo orden. Lector voraz desde muy pronto, resulta casi
imposible determinar cundo y qu ley. Pero, en cualquier caso, sus lecturas no
tardaron en cristalizar. Su primer libro apareci a la luz pblica cuando contaba
apenas 20 aos. LaDissertatio de arte combinatoriano es una obra de juventud, es
un nuevo peldao en una vieja tradicin a la bsqueda de la mathesis universalis,del
lenguaje de los pensamientos, y, tambin, un proyecto sobre el que volvera con
insistencia a lo largo de su vida. De hecho, con esta tierna edad, ya manifestaba la
brillantez y originalidad de pensamiento que le caracterizara. A partir de este
momento sus escritos aumentan en progresin geomtrica. Llega un punto en que la
proliferacin de textos genera nuevos escritos, Leibniz declara que prefiere escribir
de nuevo un opsculo antes que ponerse a buscarlo en la montaa de papeles de su
despacho. Su legado ocupa miles de documentos sobre centenares de temas:
derecho, historia, metafsica, filosofa natural, lgica, religin, matemticas, fsica,
medicina, qumica, ingeniera, ajedrez, juegos en general, lingstica, poltica,
geologa, etc. Los especialistas con ms de treinta aos de leibnicianismo a sus
espaldas apenas han podido revisar una pequea parte de esta inmensidad. Nadie
sabe de qu trata la pila de textos dedicados a medicina, por ejemplo. Hay pliegos
que no han vuelto a ser ledos desde que fueron archivados... y siguen apareciendo
escritos. Los clculos sobre la tasa de escritura de Leibniz son espeluznantes. Deba
redactar ms de 20 folios diarios, aparte de mantener un vivo intercambio epistolar
con su millar largo de corresponsales. Comparado con esta tasa de produccin,
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Leibniz, el gran adalid de la Repblica de las Letras, no public nada. Dos grandes
escritos, los Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano y la Teodicea,adems
de un puado de artculos. Ni siquiera la punta del iceberg. Algunos textos se
quedaron por el camino de ser editados, la mayor parte, en fase de borrador. Otros
no llegaron a tanto. Anotaciones en hojas sueltas, pequeos estudios, clculos sin
concluir, reelaborados, tachados y vueltos a reelaborar, y libros, decenas de libros,
escritos y reescritos, inacabados, slo bosquejados, terminados y tal vez perdidos,
rechazados para su publicacin... Leibniz dedic la mayor parte de su vida a una
tarea que no estaba destinada a ver la luz ni trescientos aos despus de su muerte.
El ms incansable escritor entre los filsofos de todos los tiempos, slo encontrar
lectores de su obra completa, con suerte, a finales de este siglo. La ciclpea tarea de
editar las obras de Leibniz sigue en paales. Los volmenes publicados apenas dan
para cubrir muy parcialmente los aos iniciales. La inmensa mayora de lo
imprescindible sigue a la espera de una edicin de la academia y buena parte de lo
importante carece de una edicin de cualquier gnero. Continuamos mirando ese
gran universo que fue Leibniz por el ojo de una cerradura.
Lo nico comparable a la produccin leibniciana es su actividad en todos los
campos. Fundador de academias, recuperador de fondos bibliogrficos, consejero
poltico, diplomtico, viajero, mediador en un sin fin de gestiones ms o menos
relacionadas con la filosofa, educador, promotor de la cultura, editor, espa, jams
fue un filsofo encerrado en una torre de marfil y ni siquiera en el entorno de una
ciudad o un pas. Desde muy pronto sinti el magnetismo del poder y ya no dejara
de correr detrs de l. Su primera misin fue ante la corte de Luis XIV en la que
estuvo durante cuatro aos. Estos cuatro aos marcaron su eclosin intelectual.
Amparado por la vida en la corte, Leibniz entra en contacto con las figuras ms
destacadas de la poca. Como una esponja, asimila los conocimientos existentes en
tomo a las ms diferentes ramas del saber y, rpidamente, se pone a la vanguardia de
casi todas ellas. Apegado al poder permanecer con posterioridad en Hannover hasta
el nombramiento del Elector como rey de Inglaterra. Despus de esto, Leibniz ver
alejarse el poder para siempre y quedar, por primera vez en su vida, atrapado en
una ciudad provinciana de la que ya nunca se alejar por mucho tiempo. La
culminacin de su carrera, la llegada a Londres como filsofo oficial de la nueva
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familia real, se vio truncada por el nico viaje que no le permitieron hacer.
Si Leibniz slo hubiese sido un prolifico escritor sobre una pluralidad de
temas, ocupara un lugar destacado en la historia de la filosofa. Pero ni la
exuberante produccin leibniciana, ni la actividad febril de su vida, son tan notables
en l como la genialidad de sus ideas. Buena parte del mundo que estamos
empezando a descubrir figura en los textos de Leibniz. Nuestros ordenadores se
basan en el clculo binario que l promovi, los conjuntos de Mandelbrot estn
descritos en la Monadologia y los determinantes fueron inventados por l. Por
supuesto hay ms, clculos correctos de las primas de seguros, diseo de hlices,
necesidad de los estudios histricos, mquinas calculadoras... Todo ello sin dejar de
ser un hijo de su poca, un pensador barroco atrapado en la tridimensionalidad del
espacio, la monarqua como nico sistema poltico y la ficcin de los nmeros
negativos. sta es la naturaleza absolutamente fascinante de Leibniz, el que, con
frecuencia, fuera mucho menos leibniciano que sus textos. Estamos ante un sistema
filosfico tan o ms grandioso por los problemas que plantea que por los que
resuelve. Los textos leibnicianos son una excusa perfecta para pensar con y desde
ellos. Cualquiera de sus escritos nos induce a la reflexin ms que al asentimiento de
unas doctrinas presentadas como la verdad absoluta. No es de extraar que
metafsicos, matemticos, lgicos, juristas, lingistas y personas de las ms
diferentes reas del saber se acerquen a l buscando ideas nuevas, nuevos enfoques
que aporten luz, eso tan romntico y falso que suele llamarse inspiracin. ste no es
un fenmeno coyuntural de nuestra poca: de modo ms o menos indirecto Kant es
un leibniciano, como muestran sus escritos precrticos; Fichte no dud en decir de l
que, "bien entendido", tena razn; Napolen alab su proyecto sobre Egipto; son
cientos las citas leibnicianas que pueden hallarse en Heidegger; Russell le dedic un
libro al igual que Deleuze; Keynes es un caso muy poco estudiado de
leibnicianismo, aunque menos obsesivo que Gdel y de un modo menos expreso que
Robinson. No quiero prolongar la lista ms all de lo necesario.
Es el momento de hablar de una tarea poco espectacular, aunque sumamente
importante y reveladora desde un punto de vista terico. Ms arriba hemos sealado
dos aspectos de la maldicin leibniciana: era miope y escritor compulsivo. A ello
hay que aadir un tercero, sus necesidades ingentes de papel le hacan ser muy
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ahorrativo con tan preciado material. El resultado es que, cuando su letra no es
ilegible por pequea, lo es por convertirse en un garabato hecho a toda velocidad.
Cuando uno cree que es imposible escribir peor, siempre aparece una tachadura, un
borrn, una correccin que viene a rematarlo todo. Cuando uno piensa que el pliego
se est acabando, siempre aparece un rengln que se curva, que se enrolla o, peor
an, una anotacin metida en el ltimo rinconcito sin ninguna indicacin de dnde
debe ir colocada. Transcribir un texto de Leibniz es una tortura que puede
acompaar a una persona durante luengos aos. No hay que ser muy mal pensado
para darse cuenta de que la mayor parte de los textos de Leibniz publicados hasta
ahora, o lo haban sido en vida de Leibniz, o existe de ellos copia hecha por un
secretario o proceden de su propia mano excepcionalmente cuidadosa en ellos.
Encontrar un indito leibniciano entre los depositados en el Leibniz-Archiv de
Hannover no es especialmente complicado. Transcribirlo es una tarea de titanes.
Supone, en primer lugar, linealizar los textos. Las notas sin indicacin de dnde se
insertan, la enroscadura de ciertos renglones, exigen una decisin por parte del
transcriptor. Despus debe decidirse a qu se le va a prestar atencin. Cmo debe
transcribirse una frase incorrecta gramaticalmente? debe corregirse? qu tipo de
errores son enmendables? qu es una tachadura? cundo una tachadura es
significativa? y un signo? qu es un signo y qu es una mancha de tinta?
Comparados con stos los problemas de la traduccin son problemas de estilo.
Las ediciones de Gerhardt son fabulosas y difcilmente igualables, pero
tampoco se les puede pedir que fuesen perfectas en todo momento. Incurre en un
nmero mnimo de errores en comparacin con el tamao de sus ediciones, si bien
alguno de ellos reviste importancia. El problema fundamental de Gerhardt es que no
siempre transcribe del original manuscrito sino que, cuando le es posible, acude a las
ediciones de la poca de Leibniz, las cuales tampoco fueron perfectas. En buena
medida, hemos seguido sus transcripciones, si bien cotejndolas con el original
manuscrito.
Ya slo nos queda una ltima cuestin, la ms fcil. Si Leibniz escribi
tantas cosas como hemos dichos por qu traducir precisamente escritos en tomo al
continuo? La respuesta es simple, porque el problema del continuo es uno de los
pilares centrales del sistema leibniciano. El lector de estos textos podr apreciar
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cmo en tomo a l surgen las ms diversas cuestiones, el bien y el mal, el clculo
infinitesimal, la dinmica, Dios, los mundos posibles, las sustancias y sus conceptos,
el espacio y el tiempo, todos los grandes problemas a los que se enfrent Leibniz
estn anudados en tomo a este tema. Junto al de la libertad, el del continuo fue uno
de los dos grandes laberintos en los que, para beneficio de todos, quiso perderse
Leibniz y, junto con la armona preestablecida, fue uno de los logros por los que
quiso que se le recordara. El problema del continuo es, pues, capital en Leibniz.
Comprendida su solucin habremos comprendido multitud de cosas que,
inevitablemente, van enlazadas con ella. Pero aqu se plantea un problema.
Precisamente por ser tan importante, precisamente por servir de hilo conductor a
tantas cosas, el del continuo fue un tema al que Leibniz dedic una gran cantidad de
textos. Editarlos todos hubiese sido interesantsimo pero complejsimo. Nos hemos
contentado con una seleccin de los ms destacados, algunos de los cuales, como la
Carta sobre un principio general, resulta escandaloso que no estuviesen
traducidos. Hemos intentado, en cualquier caso, que nuestra seleccin incluya la
mayor variedad posible de perspectivas y fechas de redaccin.
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Consecuencia de la Hiptesis general
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Introduccin.
La Consequence de l'Hypothese generabiletiene una estructura muy definida.
En primer lugar, se enumeran un total de diez "fenmenos". Despus se extraen siete
consecuencias en las que se trata de dar explicacin de esos fenmenos. Finalmente,
se enuncia la ley de la continuacin. No estamos ante una mera nota de trabajo, sino
ante un proyecto de opsculo muy elaborado. A este respecto hay que destacar que,
mientras los "fenmenos" han sufrido varias alteraciones en su numeracin, no hay
ninguna correccin en la numeracin de las consecuencias, como si Leibniz tuviera
muy claro cules eran las consecuencias a sacar.
El material en el que debe contextualizarse la Consequence de
generala puede englobarse en cuatro grandes bloques: una serie de citas, ms o
menos detalladas, dispersas por su correspondencia, en especial con Oldenburg y
Fabri; un conjunto de escritos en latn con formato de opsculo y slo
incidentalmente referidos al problema de la adhesin (LH XXXVII, III, 69 f-114
v); tres folios (LH XXXVII, III, 115 r-118 r) redactados en latn sobre un tipo de
papel diferente, carente de cualquier estructura o ttulo y de una gran sobriedad
expositiva; y, finalmente, un grupo de escritos en francs que muestran unprogresivo desarrollo de la estmctura y las ideas que cuajan de modo ntido en la
Consequence de IHypothese generalle (LH XXXVII, III, 128 f-151 v). Diversos
indicios permiten datar los escritos en latn en los alrededores de 1682.
Pese a que el ttulo de esta obra aparece en el Bodemankatalog, y en el
propio manuscrito de la mano de Leibniz, el registro del Leibnizarchiv careca de
dato alguno al respecto. Por ello, para la correcta datacin del texto, hubo que
recurrir a la marca de agua del papel*2. sta se revel particularmente ntida. Se tratade una flor de siete ptalos por encima de un guante. Es una marca de agua bien
conocida tanto por los especialistas en Leibniz como por los especialistas en escritos
de finales del siglo XVII francs. Corresponde al perodo parisino de Leibniz, ms
concretamente, a los aos 1673/5. Los datos paleogrficos confirman esta datacin.
Cfr.: LH XXXVII, III, 150-1. Este texto ha sido editado en: Studia leibnitiana, Band XXVIII/1
(1996), pgs. 1-16.
2Debo manifestar mi profundo agradecimiento al Pr. Dr. H. Breger, Director del Leibnizarchiv,quien, personalmente, se encarg de atender mi peticin a este respecto.
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La correspondencia refleja claramente que el inters de Leibniz por los experimentos
de Boyle y Huygens est centrada en los alrededores de 1673, mientras que las
posteriores apariciones del tema de la adhesin a partir de la dcada de los 80 se
sita en tomo al problema de la cohesin de los cuerpos tal y como es tratada en los
escritos latinos. Hay adems toda una serie de rasgos temticos que pueden servir
para una datacin relativa. As, por ejemplo, las alusiones a los pliegues como
elementos explicativos comienzan a proliferar a partir de los aos 1675-6. Sin
embargo, hacia esos aos empieza a ser abandonada la teora del choque que
considera ste como resultado de una pluralidad de choques ms pequeos e
independientes, teora sta caracterstica de la Theoria abstracti. Ambos
elementos estn presentes en estos escritos. Tambin al perodo de 1670/1 pertenece
la utilizacin de la luz como factor homogeneizador de los movimientos de que har
gala la Consequence d'une Hypothese generalle.Aunque la referencia a otros textos
no abunda, la Recherche de la Raison de ces phenomenes, cita explcitamente el
artculo de Chr. Huygens de 1673 (cfr.: LH XXXVII, III, 143 v) y hay numerosos
detalles (indicados en las notas finales) que parecen remitir a las Propositiones
qucedam physiccede finales de 1672.
El contenido del opsculo es fcil de resumir. Galileo haba observado que
dos placas de mrmol o metal perfectamente pulidas se adheran fuertemente hasta el
punto de que tirando de una de ellas podemos alzarlas ambas. Por chocante que
parezca, Galileo explic el fenmeno por el horror vacui.En principio el problema
pareca resoluble apelando a la presin ejercida por el aire en la parte exterior de las
placas. Tal fue, en efecto, la solucin dada por R. Boyle. Pero en un artculo
publicado en el Journal de Savants de la edicin de Amsterdam el 25 de julio de
1673, pags. 112-3 y recensionado en Philosophical Translation, vol. 7, n 86, pags.
5027-9, cuatro das ms tarde, Chr. Huygens mostraba que el fenmeno se produca
incluso en ausencia total de aire. La solucin huygeniana planteaba la existencia,
tambin en el vaco, de algn tipo de presin externa a las placas que las haca
mantenerse unidas. Al parecer, Leibniz tuvo ocasin de leer la propuesta de Boyle
durante su viaje a Inglaterra a comienzos de 1673 y las de Huygens a su regreso de
tal viaje.
La serie de escritos de Leibniz mencionados anteriormente describen
reiteradamente los experimentos de Galileo, Guericke, Huygens, Boyle y Torricelli,
analizando y criticando las teoras propuestas por estos autores para explicarlos.
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Algunos incluyen tambin la propuesta de nuevos experimentos a hacer o ya hechos.
Los opsculos en francs dejan muy claro que para dar cuenta del fenmeno de la
adhesin habr de postularse algn tipo de causa o razn de ser, no bastando la mera
constatacin de un vnculo como algo ltimo y peculiar de la materia. En este
sentido, la unin es vista como un proceso, el resultado de una actividad y no el
principio del cual partir para explicar las cosas, algo que ocurre en los escritos
latinos. Entre los mecanismos propuestos, Leibniz tiene primero a mano el ya
sugerido en laHypothesis physica nova del invierno de 1670/71, a saber, la presin
ejercida por una materia sutil en virtud de su natural agitacin intema, que penetra
incluso en un recipiente vaco. Pero lo que los textos aqu analizados muestran es la
progresiva insatisfaccin que esa solucin genera en su propio autor. Poco a poco,
los escritos en francs, van mostrando que, para explicar la adhesin de las placas, es
necesario algo ms que la agitacin intema. El centro explicativo comienza as a
desplazarse al hecho mismo del movimiento general que busca disipar las
heterogeneidades. El movimiento que llena el universo tiene tendencia a aunar la
materia unificndola y homogeneizndola. Ahora bien, si identificamos la
Naturaleza con ese movimiento general, podemos afirmar que la Naturaleza tiene
tendencia a la uniformidad. La mejor manera de entender esta uniformidad es como
carencia de intersticios, de vaco, en su interior. En este sentido, la disolucin de los
cuerpos ser vista como un ejemplo de la ruptura de su continuidad interna. Por
tanto, puede afirmarse que la naturaleza trata de impedir la discontinuacin de los
cuerpos sensibles. La hoja 150 v se refiere a tal proposicin como "cette regle ou
cette loix de la Nature". El que la Naturaleza impida la discontinuacin es, pues, una
autntica ley natural, ms concretamente, la ley de la continuacin de los cuerpos
sensibles.No estamos, pues, ante la teora clsica que exiga la unidad de un cuerpo
para declarar su continuidad, ni en una teora de resabio cartesiano que exigiese la
repeticin uniforme para llegar a esta conclusin. Tampoco nos encontramos ante la
exigencia, para conformar un continuo, de una serie ordenadora externa a l como
ocurra en la Theoria motu abstraed. No obstante, an no nos enfrentamos a la
reciprocidad de orden y continuidad caracterstica del perodo de madurez. Lo que
aqu se afirma es una especie de paso previo, a saber, que unidad y continuidad
tienen una fuente comn: el movimiento general, la Naturaleza. No hay
coimplicacin y ni siquiera reciprocidad entre ellos, sino participacin en un
fundamento comn. Pero el problema no es de ndole estrictamente fsica, por ms
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que las discusiones se restrinjan a ese plano. Una breve nota marginal muestra que
los problemas de la condensacin y rarefraccin son analizados por Leibniz teniendo
delante la necesidad de explicar racionalmente el milagro de la Eucarista. El que la
Naturaleza impida la discontinuacin de los cuerpos sensibles permite entender su
continuidad y el mantenimiento de su unidad con independencia de lo que ocurra
con su espritu unificador. De este modo, servira de garante a la transubstanciacin.
El resultado, que podra parecer sorprendente (hay un hilo temtico que abarca desde
la preocupacin por la adhesin de placas en el perodo parisino hasta la teora del
vnculo substancial), no lo es tanto. El hecho de que ya en 1673/5 Leibniz tuviese en
mente el problema eucaristico al tratar el problema del continuo solo confirma el
entrelazamiento que existe entre ambas teoras.
El inters de la Consequence de VHgeneralle es mltiple. P
parte, muestra el modo que tena Leibniz de entender los experimentos sobre el vaco
durante su perodo parisino. Por otra, arroja una luz completamente nueva sobre el
problema del continuo en Leibniz. Naturalmente esto conlleva que la Consequence
de I'Hypothese generalley toda la temtica que la envuelve, abre ms preguntas de
las que cierra. Un censo sobre la base de la Edicin de la Academia, los escritos
filosficos y matemticos editados por Gerhardt, los opsculos publicados por
Couturat, alrededor de 4.000 hojas de manuscritos y algunos otros materiales, arroja
un cmputo de 49 ocurrencias de la ley de continuidad. Por supuesto, no pretendo
que este cmputo sea exhaustivo, pero s creo que esta muestra puede ser
suficientemente representativa. En ningn momento despus de 1675 se habla, como
hace la Consequence de l'Hypothese generalle de ley de la continuacin de los
cuerpos sensibles, ni se afirma literalmente que la naturaleza impida la
discontinuacin. Adems, no he encontrado ninguna "ley de continuidad" o "de la
continuacin" ni ninguno de sus enunciados en el perodo comprendido entre 1675 y
1687, si bien carecemos de la datacin de cinco textos. Es entonces la "ley de la
continuacin" un caso de la "ley de continuidad"? Ante todo, la ley de la
continuacin lo es de los cuerpos sensibles, precisamente, aquello que pasar a partir
de 1676 a formar parte de los entes por agregacin y, por tanto, algo
caractersticamente discontinuo. Slo la introduccin del vnculo substancial hubiese
permitido hacer de los cuerpos orgnicos un orden, convertirlos en algo continuo.
Ahora bien, el milagro de la Eucarista es precisamente uno de los temas presentes
en la preocupacin leibniciana por la adhesin de las placas.
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Un segundo elemento a tener en cuenta es la diferencia que pueda haber entre
"continuidad" y "la continuacin". Ciertamente, mientras la "continuidad de las
partes" es una expresin neutra en cuanto al sujeto que ejerce esa continuidad, "la
continuacin entre las partes" seala que el agente est en las partes mismas. No
obstante, esta diferencia tiende a esfumarse, pues lo que impide la discontinuacin
no son las partes sino la Naturaleza. Lo importante es esto: las partes poseen
continuidadporque estn ordenadas, son una continuacin de la otraporque estn
unidas. El trnsito de hacer nfasis en la unidad a hacerlo en el orden es el trnsito de
1675 a 1676. En cualquier caso, no se trata de una reedicin de la doctrina
escolstica. Unidad y continuacin no son premisa y consecuencia, sino resultados
ambos de un fundamento comn. Llegamos as al tercer elemento que pudiera
separar la ley de la continuidad de la ley de la continuacin. Desde luego no se
volver a afirmar tras 1675 que la Naturaleza impida la discontinuacin, pero debo
confesar mi impotencia para establecer matices significativos que separen esta
enunciacin de las caractersticas a partir de 1687. La "Naturaleza" identificada aqu
con el movimiento general, pasar a significar posteriormente la causa de las
apariencias. Es ms, definida ella misma como movimiento, la enunciacin
presupone ese elemento dinmico que luego se hara explcito en las enunciaciones
de la ley de continuidad posteriores. Queda distinguir entre "impedir" y "no actuar",
"no transitar", "no mutar", al cabo, la diferencia entre un verbo transitivo y otros que
no lo son, lo cual nos vuelve a remitir a la primera de las diferencias sealadas.
Finalmente, en lo que respecta a las relaciones de ambas con los sistemas en los que
se encuadran, sealemos que la ley de continuidad guarda con el principio general
del orden la misma relacin que la ley de la continuacin con un corolario de aqul:a
el equilibrio universal . En definitiva, la ley de la continuacin de los cuerpos
sensibles no es, estrictamente, la ley de continuidad, si bien su parentesco es algo
ms que un simple "parecido de familia". Resulta, pues, fuera de toda duda que,
mucho antes de 1687, el sistema posea ya una estructura capaz de distribuir
enunciados acerca del continuo identificable con una ley de continuidad. Por tanto, si
Leibniz dice que en 1687 enunci por vez primera la ley de continuidad, tal vez
hayamos de darle la razn, pero matizando que ya entre 1673 y 1675 haba
enunciado la ley de la continuacin de los cuerpos sensibles.
3Cfr.: Leibniz, Primee Veritates, 1689, en Opuscules et fragments indits de Leibniz, par Louis
Couturat (en lo sucesivo, C), Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1966, pag. 519.
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Este es el fin de nuestra presentacin y, a la vez, el comienzo de las
preguntas. Cmo puede explicarse el largo parntesis entre 1675 y 1687 sin una
sola enunciacin, cuando estaba claro que el sistema necesitaba una ley de
continuidad? por qu la ley de la continuacin o su inevitable anlogo, la ley de
continuidad, no aparecen en el Pacidius Philalethi por ejemplo? por qu
desapareci la ley de la continuacin pese a que el problema de la adhesin
reaparecer espordicamente en sus escritos? Ignoro en gran medida las respuestas a
estas preguntas, lo que s creo saber es que, el mero hecho de plantearlas, exige una
profunda transformacin del modo hasta ahora habitual de interpretar la teora
leibniciana del continuo.
Los dibujos de este texto son obra de quien suscribe.
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G. W. Leibniz, Consecuencia de la Hiptesis general publicada hace algn
tiempo para explicar e I F e n m e n o d e la a d h e s i n en e l v a c o o
e n un l u g a r d e l c u a l s e ha s a c a d o e l a i r e 1, 1 6 7 3 / 5 .
I ll Experiencias hechas: Los licores no fluyen de un tubo estrecho abierto slo
por un lado aunque se invierta (2) con tal que la altura del licor no sea muy grande,
pues hay alturas determinadas, segn el tipo del licor, (no siendo necesaria una muy
grande para los licores ms pesados) que lo hacen caer, como el agua, que necesita
de cerca de 30 pies y el mercurio de 27 pulgadas de altura.
Si la experiencia se hace en el aire libre, como por ejemplo, si un tubo de vidrio
abierto en la parte superior se tapa por la parte inferior, se llena de agua y se invierte
despus diestramente, el agua no podr fluir.
Fenmeno l.2 Los licores no fluyen de un vaso que est abierto slo por un
agujerof.]
Fen. 2.Siempre que la altura del licor no se aumente demasiado, segn el tipo de
licor, hasta cierta medida determinada, puesto que entonces caen.
Fenm. 3. Se ha observando que si el tubo est en un recipiente del cual se ha
sacado el aire con la bomba del Sr. Guericke, el licor fluye, como si hubiese un
agujero en lo alto del tubo[.]
Fenm. 4Pero cuando en el agua, o cualquier otro licor que haya permanecido en
el vaco, se purga de aire o se agota la materia propia para producir aire, haciendo
continuamente pequeas burbujas, se obtiene al fin que cuando se utiliza este agua
purgada de aire en el tubo, no fluye. Aunque la experiencia est hecha en el vaco y
hay quienes no aceptan del vaco [.]
Fenm. 5No obstante, cuando ha recibido un choque o cuando una nueva burbuja
de aire se engendra en el fondo del agua o cuando se la hace entrar, llegando a subir
a una cierta altura del tubo, entonces el licor se separa y cae como de ordinario.
/8/ Fenm. 6 Esta altura es justamente la misma que la altura a la que el licor
permanece todava suspendido (antes de caer como de ordinario).
Fenm. 7. Lo mismo ocurre con el mercurio fuera del recipiente. Pues, como el
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G. W. Leibninz
agua ordinaria, bien que de un peso pequeo, cae en el recipiente en el que se ha
hecho el vaco, puesto que el obstculo del aire ha sido superado, por lo mismo el
mercurio ordinario cae en el aire libre, porque su peso es grande. Pero como (por el
fenmeno precedente) el agua aunque sin aire, purgada, no cae en el recipiente, por
lo mismo el mercurio purgado no cae en el aire aunque su altura sea ms grande que
de ordinario y tenga hasta 70 pulgadas en lugar de 27.
Fenm. 8 Si un licor purgado permanece largo tiempo en el vaco en un cierto
lugar, es preciso que el choque sea ms fuerte para separarlo.
Fenm. 9.Se haba credo que dos placas bien unidas no se separaran a causa de
la presin del aire, pero se ha probado que la misma adhesin tiene lugar tambin en
el vaco o en un recipiente sin aire3.
Fenm. 10 El sifn de dos brazos desiguales produce su efecto tanto en el vaco
como en el aire.
De estos fenmenos se pueden sacar, en primer lugar, las siguientes
consecuencias:
Consecuencia 1. Que el temor al vaco no contribuye en nada. De otro modo, la
diferencia del recipiente lleno o vaco y del licor natural o purgado no cambiara los
fenmenos4.
Consec. 2 Que la resistencia del aire es la causa del fenmeno 1. como parece
segn los fenm. 2. y 3.
Consec. 3Que la adhesin de dos placas en el vaco no proviene ni de una cierta
cola insensible ni de ninguna otra razn que se pueda 191encontrar en los cuerpos
unidos mismos, sino de una presin exterior. La razn se halla en que, de otro modo,
la separacin transversal de dos poros correspondientes y adheridos juntos en las
placas sera tan difcil como la directa: contra el fenm. 9 pues se ha hallado que las
dos placas se deslizan fcilmente, la una perpendicular a la otra (igual en el vaco)
mientras resisten a la separacin5.
Consec. 4. Se sigue, pues que queda siempre cierta materia en la cavidad del
recipiente en el cual se saca el aire, que puede ejercer esta presin sobre los dos
cuerpos adheridos juntos. No digo, por tanto que haya poros en el vidrio para el paso
de esta materia, pues se puede explicar todo esto por la sola propagacin de la
presin, la cual pasa por todos los hasta lo indefinido6.
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Consecuencia de la hiptesis general
Es preciso tambin que la presin de esta materia no sea ms fuerte que la del aire,
pues, de otro modo, las placas no caeran venciendo la columna de aire, contra el
clculo. Y, sin embargo, parece ser ms fuerte, porque sostiene el mercurio a una
altura el doble que de ordinario. Digo el doble por no decir que basta con unir estas
dos presiones juntas. Pero es preciso examinar la presin de las placas, pues puede
ser que haya dos presiones y que haga falta ms fuerza que para vencer el aire, como
con el mercurio purgado.
Consec. 5.En fin es preciso tambin que esta presin se haga por un movimiento, o
por un esfuerzo de una materia menos gmesa que el aire sensible. /10/ Queda en este
momento dar Razn por una Hiptesis de la manera en que se produce esta presin7.
Y si se responde que esta presin no es igual a causa de que las partes del licor
purgado que corresponden a las partes continuas del vidrio entre los poros, no son
presionadas por los dos lados y que as hay ms materia presionante de un lado que
del otro, se sigue que hace falta considerar la cantidad de la apertura o de la materia
sutil que presiona, si es que esta desigualdad es la causa de la suspensin. Y, en
consecuencia, el poco de materia que se encuentra en la burbuja, no iguala toda la
presin de la materia sutil hacia la parte inferior del vidrio ni de la materia sutil que
entra libremente por la apertura del tubo hacia abajo. Se tiene, por tanto, la eleccin
o por [se interrumpe]
Si el lquido se separa cuando la burbuja no toca el vidrio, experiencia [se
interrumpe]
Cuando se pmebe con el mercurio: hasta la altura posible, a saber, si lo sobrante se
separar solamente y el resto permanecer suspendido en lo alto.
Experiencia a hacer sobre esta materia con las dos placas8.
*Cunta altura [alcanza] el mercurio purgado de aire.
Es preciso dejar las placas en el vaco en un licor como en el agua, para ver si
habr alguna diferencia.
Experiencia a hacer[:] sujetar el tubo en el vaco o romperlo en lo ms alto para
ver si cae entonces. Principalmente habiendo quedado un largo tiempo en reposo.
Experiencia a hacer con las placas agujereadas.
Si las placas son golpeadas juntas, cuando se aproximan una a otra.
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G. W. Leibninz
Experiencia con una bomba succionadora: si acaso el vaco purgado de aire puede
[hacer] burbujas, esto regulara el contenido, o si acaso pompas ms pesadas, si el
licor ha sido largo
/1 1/ Es preciso hacer la experiencia de si con el mercurio purgado de aire, el
mercurio no cae antes de que la burbuja haya llegado a 27 pulgadas de altura[.]
Consec. 6.Se puede explicar bien e\ fenmeno9 o la adhesin de dos placas en el
vaco por un licor o materia fluida en la cual se supone la existencia de un
movimiento en todos sentidos, por lo que las ondas golpean las superficies
exteriores de las placas[.]
Pero ser difcil explicar por este movimiento de una materia sutil en todos los
sentidos el fenmeno del licor purgado de aire. Pues el movimiento de esta materia
sutil continuar igualmente cuando se engendre aire en el licor y como es capaz de
presionar el licor hacia la superficie del vidrio, a pesar de su peso, ser tambin
capaz de impedir que una pequea burbuja de aire penetre entre los dos y se dilate
como vemos que hace. No basta con decir que esta materia sutil encuentra lugar en
la burbuja, golpea as el licor suspendido de ambos lados y lo hace reposar lo mismo
que lo ha presionado contra el vidrio. Pues, sin insistir sobre el que esta misma
presin impedir la generacin de la burbuja, y por tanto, que no bastar que la
burbuja se coloque entre el licor y la superficie interior del vidrio, es preciso
considerar que el pequeo golpe del movimiento en todos los sentidos de la materia
sutil insinuado en una pequea burbuja, no puede igualar ni destruir todos los otros
que el licor recibe de todos lados y por los que es empujado hacia la materia interior
del vidrio. Y es preciso observar que hay en esto una gran diferencia entre la presin
universal de una cosa, como la de la Atmsfera, y la presin del movimiento en
todos sentidos del licor. Pues la presin universal es igual aunque haya solamente un
pequeo paso, como cuando el Mercurio suspendido en el tubo de Torricelli cae si
se agujerea el tubo en la parte superior con una aguja, puesto que la Masa hace un
esfuerzo general de distribuir igualmente las fuerzas por todas partes. Pero el
Movimiento de un licor en todos sentidos, es particular a cada parte de la masa9. Si
ste no es un esfuerzo como el de la fuerza [el resto est tachado]... como nosotros
experimentamos en el aire, en el cual el /12/ movimiento no es en todos los sentidos
y en el cual no hay ondas para este efecto, aunque el esfuerzo sea en todos sentidos.
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Consecuencia de la hiptesis general
Si se explica el movimiento en todos sentidos de esta manera, por un simple
esfuerzo, lo apruebo enteramente y me servir de l yo mismo posteriormente. Pero
creo no tener necesidad de otra cosa que del aire, del cual estamos persuadidos por
tantas experiencias, sin emplear una materia puramente supuesta que pasa por los
poros del vidrio. Creo igualmente que la Hiptesis supondra que el movimiento en
todos sentidos de la materia pasando por los poros del vidrio (para ocupar el lugar
cuando se saca el aire) y encerrado en la pequea burbuja no sera capaz de igualar
todos los otros golpes con que esta materia se combate a s misma. Pues si hay
poros, el susodicho movimiento en todos los sentidos atravesando el vidrio, har
caer el lquido purgado que est suspendido en el tubo a causa de que el licor
suspendido no es presionado por los dos lados, como ocurre cuando se da entrada al
aire pinchando el tubo de Torricelli en la parte superior.
Consec.7 Parece que se puede extraer de estos fenmenos juntos una observacin
general, a saber, que la Naturaleza trata de impedir la discontinuacin de los
cuerpos sensibles10. Pues igual en el vaco, donde no hay cuerpos /13/ sensibles, los
dos slidos no se separan simplemente, como se ve por el fenmeno 9 de las placas:
ni dos lquidos, por el fenmeno 9, 10 o sifn de brazos desiguales; ni un slido de
un lquido por los fenmenos 5 y 7 del licor purgado de aire.
Pero tan pronto como se interpone un cuerpo sensible que se puede extender o
tomar un mayor volumen entonces esta adhesin cesa, y los cuerpos adheridos se
separan, porque todo el lugar entre los dos puede ser rellenado por el aire que se
extiende por este efecto11. Por tanto lo que da razn de esta regla /14/ o de esta ley de
la Naturaleza, dara razn igualmente al mismo tiempo de todos estos fenmenos.
Para dar razn de un fenmeno de la Naturaleza es preciso siempre tratar de
explicarlo por otros fenmenos y evitar Hiptesis tanto como sea posible. Y por este
efecto he tratado de dar razn de todos los efectos de la naturaleza (al menos de un
modo general) sin utilizar una Hiptesis u otro principio que este fenmeno
incontestable del movimiento de la luz del Sol alrededor de la Tierra en el ecuador y
en los crculos paralelos al ecuador, de lo cual se saca la consecuencia de otro
movimiento hacia los polos por los meridianos porque la materia ms gruesa que la
de la luz, pero menos gruesa que los cuerpos sensibles, que son rechazados del
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ecuador y paralelos por el movimiento de la luz, no pudiendo ir hacia el centro, a
causa de los cuerpos ms gmesos, es apartada hacia los polos. Pues la luz, por su
rapidez, trata o de disipar o de rechazar todos los obstculos y todos los cuerpos
heterogneos o demasiado gruesos que perturban su movimiento hacia el lugar
donde el movimiento es menos rpido, es decir, hacia el centro y (en caso que no
puede hacia el centro), hacia el polo12. Pero en el caso de que los cuerpos no puedan
/15/ ser apartados ni disipados, el movimiento general le hace al menos ocupar el
lugar y la situacin ms propia segn la conveniencia universal, para ser impedido lo
menos que sea posible. Mediante estas consecuencias necesarias de un fenmeno
general incontestable, intento dar razn de los fenmenos ms particulares del peso
del resorte y del mismo im n13; y creo poder sacar igualmente alguna consecuencia,
sin hacer ninguna hiptesis nueva,para dar razn de estos fenmenos de la adhesin
en el vaco o de la ley de la continuacin de Cuerpos sensibles.
Pues segn lo que espero mostrar en otra parte ms ampliamente, se sigue de este
movimiento pblico, la Regla general del equilibrio universal, es decir, se
encuentran fuerzas iguales por todas partes. De suerte que el peso compensa el
resorte, la velocidad compensa la pequeez, /16/ la firmeza del obstculo el esfuerzo
superado. En consecuencia, si hay un lugar mal provisto de fuerzas y que no opone
mucha resistencia para equilibrar los cuerpos ambientes, toda la naturaleza se
esforzar para hacerle justicia y lo separar tanto como le sea preciso de todas las
otras partes del mundo y esto en un momento. Es fcil de aplicar esto a nuestro
propsito, pues tan pronto como se separan dos cuerpos, como dos placas, es preciso
que se encuentre un cuerpo con un esfuerzo cualquiera entre ellos. No a causa del
miedo al vaco, sino porque toda la masa acta contra un lugar donde no hay
esfuerzo. Pues hay [el resto de la frase est tachada], a saber, el del peso que trata de
separar los cuerpos y que bien puede igualar el del resorte de un poco de aire que se
introduce despus. Respondo a esta objecin bastante difcil en apariencia que la
fuerza del peso, o de un resorte (como de hierro) es finita. Y llega al reposo teniendo
su trmino. La del aire es infinita pues se abrira siempre; sera preciso, pues, en este
lugar, o aire o un cuerpo que resista a la presin general14.
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Consecuencia de la hiptesis general
Notas del traductor
*La estructura y terminologa caractersticas de la Consequence de VHypothese gemmile va
componindose a travs de los sucesivos escritos en francs (cfr.: LH XXXVII, III, 128 r-149 v). El
opsculo por el fondo y la forma, ms directamente relacionado con la Consequence de VHypothese
gemm ile es el De Vunion des corps purges d'air qui se trouvent joint pa r une pression distente (sic)
de celle de Vatmosphere (LH XXXVII, III, 128 r-135 v). Escrito, como la Consequence de
VHypothese gemmile en 4, usa slo una columna a la izquierda y rellena el resto con notas o dibujos.
Est dividido en dos secciones bajo los encabezados: "Phenomenes, ou Experiences toutes faites" y
"De ces phenomenes on peut tirer premierement les Consequences suivantes". En total se enumeran
seis consecuencias de las cuales la quinta se prolonga en un largo discurso de cinco hojas. La hoja en
el que se recogen las otras cuatro consecuencias y el comienzo de la quinta aparece ostensiblemente
tachado.
2La enumeracin de los diferentes experimentos realizados en torno al problema del vaco o
de la adhesin de placas es una caracterstica de los textos que, siguiendo el catlogo de Bodemann
van del LH XXXVII, III, 91 r al 150 v. En la Recherche de la Raison de ces phenomenes avec des
Experiences projettes pou r s en claircir d'avantage; et une Hypothese Nouvelle (LH XXXVII, III,
136 r-148 v), una pretendida numeracin de prrafos termina en el nmero tres y posteriormente
resultan todos tachados. El De Vunion des corps purges, enumera hasta un total de 10 experimentos
de Galileo, Huygens, Pascal y Boyle. Pero los mismos experimentos, as como otros de Torricelli y
Guericke, sern de nuevo revisados en los escritos de los alrededores de 1682, tales como los escritos
sin ttulo LH XXXVII, III, 99 v, ss. (numerando un total de 19, con frecuentes tachaduras que a veces
abarcan folios enteros -en particular LH XXXVII, III, 101 v y 102 v-), el De Firmitate corpomm
(LH XXXVII, III, 69 r-70 v), la Propos itio Experimentomm Novorum qu itu s sumios omnes
controversies circa ris presionem videntur definiri po sse (LH XXXVII, III, 107 r-114 v), el De
Nova pressione eris subtilioris edam intro locum ere communi exhaustum deprehensa et in dere
libero pressionem cylindro eris crassi ortam longe superative, (LH XXXVII, III, 115 r-116 v) y
los escritos sin ttulo LH XXXVII, III, 91 r-99 v. Estos ltimos, carecen de numeracin interna de
los fenmenos estudiados y reinician, una y otra vez, el estudio de los mismos experimentos. Algunos
de ellos, tales como sumergir las placas adheridas en agua, parecen ser la realizacin de experimentos
propuestos en la Consequence de VHypothese gemmile. Adems, especialmente la Propos itio
Experimentomm Novorum , suele describir experimentos ideados por Leibniz referentes al tema (cfr.:
LH XXXVII, III, 113 r).
3
La primera de las citas del problema de la adhesin de placas que hemos podido localizar
en los escritos de Leibniz, es un prrafo tachado de las Propositiones qudam physic , (cfr.:
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G. W. Leibninz
comienzos/Otoo-1672, dritter Entwurf, prop. 22, AK VI, 3, 39), en donde se explica este fenmeno
por el movimiento universal que da lugar a la uniformidad de las partes de un cuerpo. En la
correspondencia, la primera mencin de este fenmeno se sita en una carta a Oldenburg de 8 de
marzo de 1673. En ella Leibniz sugiere a su interlocutor que indague la reaccin de Boyle ante una
comunicacin de Huygens que probablemente constitua un anticipo del artculo ms arriba
mencionado (cfr.: Ak III, 1, 41). Ante la carencia de una respuesta por parte de Oldenburg, Leibniz
insiste en los mismos trminos el 26 de abril de 1673 (cfr.: Ak III, 1, 86). Con fecha 5 de junio de
1673, Oldenburg le responde que Boyle asegura haber hecho el experimento en el vaco con el
resultado de la separacin de las placas. En una carta de 18/28 de noviembre de 1676, Leibniz da la
razn a Huygens frente a Boyle en el sentido de que las placas no se separan ni an en el vaco.
Tambin la proposicin 13 de la carta a Honorato Fabri de 17 de mayo de 1677 hace mencin del
problema de la adhesin de placas y se halla en el contexto de una serie de proposiciones que
recuerdan las que aparecen en la Consequence de VHypothese gem m ile (cfr.: Ak III, 2, 135).
ocupando progresivamente un segundo lugar. El De duabus tabulis plan i in loco clauso aqua pleno
dive llendis (LH XXXVII, III, 118), que posiblemente es un trabajo preparatorio a una carta a Edm
Mariotte de finales de julio, principios de agosto de 1682 (cfr.: Ak III, 3, 677), est dedicado
exclusivamente a la adhesin de placas, problema que se soluciona aludiendo a la plenitud del
recipiente incluso en el vaco, si bien no se aportan mayores explicaciones. El Pro pressione ris
contra Funiculum (LH XXXVII, III, 117 r-v), de los alrededores de 1680, aunque hace referencia a
la adhesin de placas, tiene por tema central la elasticidad del aire. Tambin aparece citado el
problema en el De Nova pressione eris , (habla de "marmora polita" en vez de placas, cfr.: LH
XXXVII, III, 116 r). Por su parte, el De Firmitate corporum (LH XXXVII, III, 69 r-70 v), segn la
edici n de la Academia un escrito preparatorio a la carta de Leibn iz a Edm Mariotte de 14-IX -1682
(cfr.: Ak III, 3, 712 ss.), da un pequeo giro al poner la adhesin de placas como ejemplo para
explicar la cohesin de los cuerpos. Se renuncia con ello a explicar el fenmeno mismo y el escrito se
limita a enumerar posibles soluciones: el peso, la elasticidad del aire o de otro cuerpo slido o lquido
que llene el recipiente en que se encuentran las placas. No hay decisin por una u otra alternativa,
aunque se asegura que la solidez de los cuerpos ha de explicarse tambin por la presin de un fluido
que lo llena todo. En los escritos sin ttulo LH XXXVIII, III, 91 r-106 v, la gravedad de la columna
de aire, solucin ligada al nombre de Guericke, es rechazada igualmente como va explicativa porque
el fenmeno se sigue produciendo en el vaco, asumindose sin ms que la adhesin de placas es un
ejemplo de la coherencia de los cuerpos. La discusin pasa entonces a la misma naturaleza de la
gravedad y el aire, as como a la presin ejercida por ste. Esto contrasta con la Recherche de la
Raison de ces phenomenesque, haciendo referencia a "un petit Essay imprim il y a deux ans" intenta
dar cuenta de la solidez de los cuerpos por la existencia de un esfuerzo interno. Ciertamente en el
En los escritos sobre el vaco de la dcada de los 80, el tema de la adhesin de placas va
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Consecuencia de la hiptesis general
pargrafo 22 de la Hypothesis physica nova puede leerse: "omnia enim dura sunt motu quodam
intestino in se redeunte" (Leibniz, Hypothesis physica nova, Invierno-1670/71, 22, Ak VI, 2, 230).
*Una afirmacin semejante puede encontrarse en el escrito sin ttulo LH XXXVII, III, 98 v,
el cual concluye, que todo lo que vulgarmente se atribuye al horror al vaco y lo que los cientficos
adscriben al peso del aire (soluciones de Galileo y Guericke), se debe a un "conatum Naturce ad
uniformitatem".
5sta es la base del Pro pressione ris contra Funiculum (LH XXXVII, III, 117 r-v),
escrito contra la teora del funculo cuya alusin (cfr.: 117 v) a la carta de un jesuta del ao 1680
permite datarlo en los alrededores de esta fecha. D el mismo modo, los escritos sin ttulo LH X XXV II,
III, 91 r-106 v rechazan la posibilidad de que la unin de las placas sea resultado de un vnculo que
las una como lo demuestra su capacidad de deslizamiento horizontal. En efecto, desde la Recherche
de la Raison de ces phenomenes la unin es vista como algo activo, o bien resultado de una accin,
por parte de los cuerpos que la conforman, sean stos slidos o lquidos. Por ello se critica la teora de
Bacon segn la cual la simple substraccin del aire causa la unin de los cuerpos (cfr.: LH XXXVIII,
III, 143 r).
6Esto es un abandono, cuando menos parcial, de lo defendido en laRecherche de la Raison
de ces phenomenes (cfr.: LH XXXVII, III, 141 r) y de las prolijas explicaciones acerca de los poros
procedente del De Vunion des corps purges (cfr.: LH XXXVII, III, 130). Este escrito analizaba
detalladamente las consecuencias que para la teora se seguiran de la existencia de poros en los
cuerpos, y planteaba tres posibilidades. La primera es que un poro coincida con otro poro, lo cual,
razona Leibniz, no contribuye ni a la unin ni a la separacin de la placas. Una segunda posibilidad es
que un poro coincida con la parte slida de la placa, en cuyo caso la tendencia a separarse originada
por el aire que penetra en l se ve compensada por la tendencia a la unidad de la presin que se ejerce
desde fuera de la parte slida. Por ltimo, si coinciden dos partes slidas, hay entre ellas una tendencia
a la unidad debida a la presin externa. As pues, la presencia de poros no influye para nada en la
unin o no de las placas. En el seno de estas descripciones Leibniz se pregunta tambin si la
separacin de las placas produce sonido.
En elDe Vunion des corps purgesuna cruz de grandes proporciones serva para invalidar el
primer folio dedicado a la quinta consecuencia que, en esencia, era una explicacin del fenmeno de
adhesin de placas en virtud de la agitacin interna de una materia sutil que penetra incluso en el
recipiente vaco (cfr.: LH XXXVII, III, 129 r-v). Desde el momento en que, como vimos en la nota
anterior, se deja de lado la importancia para nuestros fenmenos de la existencia de poros, tambin las
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teoras que apelen a la presencia de una materia sutil deben ser rechazadas (cfr.: Leibniz, Recherche
de la Raison de ces phenomenes, LH XXXVII, III, 146 v ss y Propositiones qudam physic,
comienzos/Otoo-1672, prop. 22, Ak VI, 3, 39). De hecho, el De Nova pressione eris (cfr.: LH
XXXVII, III, 115 r-116 v) llega a presentar el experimento de las placas como refutacin de la
existencia de un aire sutil que penetra por los poros de los cuerpos. A partir del De Vunion des corps
purges se ha producido, en efecto, una importante matizacin. Las placas estn unidas, no por la
presin de una materia sutil que penetre por los poros del recipiente, sino en virtud de la presin del
aire que resta en el vaco (cfr.: LH XXXVII, III, 130 r). Sin embargo, la Consequence de V.Hypothese
gem m ile , prefiere hacer recaer el peso explicativo sobre la presin universal, que se trasladara al
interior del recipiente por la elasticidad, siquiera sea mnima, de sus paredes.
8Tambin en el De l'union des corps purges se describen nueve experimentos bajo el
encabezado "Experiences faire en cette matire" (cfr.: LH XXXVII, III, 135 r). De ellos al menos
los cinco primeros han sido tachados.
9E1De l'union des corps purges marcaba, una notable diferencia entre el caso de la adhesin
de placas y el del tubo invertido en la cubeta. Pese a que ambos fenmenos se explican por la presin
de la atmsfera, el lquido del tubo cae en cuanto ste es pinchado. Por contra, las placas slo se
separan por una burbuja de aire que penetra entre ellas o por un pequeo golpe. La razn hay que
buscarla en la naturaleza de los lquidos, que, al plegarse, transmiten con mayor facilidad el aire de lo
que lo hacen las placas slidas (cfr.: LH XXXVII, III, 131 r). Con ello se introduce la nocin de
pliegue que ser vinculada estrechamente al problema del continuo, en especial a partir de 1675
(recurdese, por ejemplo, el Pacidius philalethi, 29-VIII/10-XI-1676, Ak VI, 3, 555). En la
Recherche puede advertirse un nuevo matiz en estos planteamientos. Tras aludir a una "regla general
demostrada en otra parte", aclara que en los lquidos ("continues") las partes superiores ejercen
presin sobre las inferiores en razn de la altura que los separa. Adems, los lquidos ("continues") se
empujan entre s en razn de su densidad ("de l'espece de leur consistence") sin que haya que tener en
cuenta la cantidad de los mismos en contacto. La combinacin de ambos hechos permitira explicar,
por una parte, el fenmeno del sifn de brazos de desiguales y, por otra, que la burbuja de aire pueda
separar dos placas compensando la presin ejercida por toda la atmsfera (cosa que se analiza
detenidamente en LH XXXVII, III, 144 r-145 r). Pero cuando se trata de dos placas adheridas, ya no
estamos ante dos lquidos, sino ante un slido presionado por el movimiento del ter. Aqu hemos de
vrnosla, pues, con un choque que no es tal, sino que oculta una pluralidad de pequeos choques
independientes unos de otros que se compensan entre s (cfr.: LH XXXVII, III, 145 r-v). La
innovacin que esto supone respecto del De l'union des corps purges , es la asociacin explicita del
carcter plegable de los lquidos con su continuidad y, a la vez, el mantenimiento de la existencia de
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Consecuencia de la hiptesis general
pequeos choques independientes en el caso de dos slidos que interaccionan, algo caracterstico de la
Theoria motus abstracti. Esta diferencia entre cuerpos slidos y lquidos permite, adems, distinguir
entre una solidez primitiva y una sensible (cfr.: LH XXXVII, III, 137 v). La solidez primitiva tiene su
origen en el movimiento del ter y su descripcin coincide con ste tal y como apareca en los dos
escritos del invierno de 1670/71. Incluso se retoma la afirmacin de la divisin al infinito y la
existencia de mundos cada vez ms pequeos. Aunque esta solidez primitiva ha sido la base de la
solucin boyleana al problema de la adhesin de placas, se necesita algo ms, pues la simple agitacin
del ter es demasiado dbil. Leibniz contina con un anlisis crtico de diversas hiptesis sobre el
tema sin terminar de aclarar qu sea eso de la "solidez sensible". La pgina siguiente de laRecherche
de la Raison (LH XXXVII, III, 146 r), comienza anunciando que se ha terminado el estudio de las
hiptesis de los dems, todas ellas susceptibles de crtica, y se pasa a la elaboracin de las teoras
propias. Antes que ello ocurra, el texto se interrumpe en 146 v.
10Esta expresin no est aislada en el seno de lo s escritos franceses que engloban la
Consequence de VHypothese generalle. La consecuencia sexta del escrito De Vunion des corps
purges , posee el carcter de una observacin ms general, consistente en que "la nature tache
d'empecher la discontinuation des corps sensibles" (LH XXX VII, III, 131 v). Inmediatamente
despus el manuscrito se interrumpe sin que sea posible apreciar la existencia de un punto final.
Destaquemos de esta observacin general la universalidad de su enunciado. Aunque se mencionan los
fenmenos que la apoyan, de lo que se habla aqu no es ya de placas, tubos o sifones, sino de "la
naturaleza". Esto marca una cesura importante con las consecuencias anteriores, pues se abandona la
explicacin pormenorizada de los experimentos. A partir de su aparicin, se convierte en el eje
alrededor del cual gira todo el problema. Hasta una veintena de hojas del De Vunion des corps purgs
tratan de sistematizar, de explicar, de aclarar qu es la naturaleza, por qu trata de impedir la
discontinuacin y cmo lo hace. Por "Naturaleza" se entiende el movimiento general del pleno que
todo lo llena. La Naturaleza tiene un efectivo esfuerzo, una capacidad de actuar que se manifiesta
especialmente en el vaco. Esta tendencia natural afecta slo a los cuerpos sensibles, o, como dice en
otra parte "grossiers", no a las minsculas partes de que stos pudieran constar. Tal restriccin resulta
importante pues hace compatible los textos aqu analizados con, por ejemplo, la Demonstratio contra
Atom os suma ex Atomorum contactu de octubre de 1690. El eje de esta refutacin del atomismo era
pecisamente la idea de que si la cohesin de los cuerpos se originase por el simple contacto de sus
superficies no habra elasticidad ni disolucin. En efecto, si la coherencia se entiende como simple
contacto, todo choque ser inelstico o bien, dependiendo de la forma de los tomos, dar siempre
como resultado un compuesto. Es ms, imaginando los tomos delimitados por superficies lisas, la
unin de estas superficies habr de ser instantnea, en el momento en que su coincidencia sea total, el
compuesto ser coherente, pero nunca antes. En realidad, tampoco podr hablarse de un despus de
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los tomos individualmente. Una vez la cohesin entre ellos se ha establecido, no puede imaginarse un
movimiento que los separe (cfr.: GP VII, 287). La idea de que el movimiento general de la naturaleza,
afecte nicamente a los cuerpos sensibles, trata de impedir, precisamente, el dejar la puerta abierta al
atomismo.
1hiendo la materia movimiento o esfuerzo, la condensacin consistir en la concentracin
de los esfuerzos que constituyen la materia en un pequeo receptculo. La rarefraccin ser, por
contra, su dispersin por un gran espacio. As entendida la rarefraccin elimina toda la problemtica
en torno a la existencia del vaco. No hay verdadero vaco, a lo sumo, la cmara que contiene nuestras
placas adheridas poseer una baja concentracin de materia, quiero decir, una gran dispersin de una
escasez de esfuerzos. Por su parte, la condensacin nos ha preparado para explicar otros fenmenos
"sans qu'on doiue plus avoir peur de ces deux grands phantmes d'une philosophie peu fonde: de la
penetration des dimensions du Vuide que quelques uns ont cre impossible mme au Toutpuisant -la
question sstant chauff l'ocasion des controverses de l'Eucharistie- et du Vuide" (Leibniz,
Recherche de la Raison de ces phenomenes, LH XXXVII, III, 143 v). As pues, los problemas que
venimos discutiendo no son problemas estrictamente fsicos. Bajo una tal apariencia subyace un
importante problema teolgico. Siendo la materia puro esfuerzo, condensarla no implica cambiarla de
ningn modo esencial. Ahora bien, la Theoria motu abstraen estableca que aquello que recoge, que
"recuerda" los diferentes conatus es el alma. La ley de la continuacin de los cuerpos sensibles, el
mantenimiento de la continuidad por parte de la Naturaleza, es tambin un modo de explicar la unidad
de los cuerpos, aspecto esencial para entender lo que ocurre en la Eucarista. Pero, precisamente el
mantenimiento de la unidad del compuesto sustancial por el afianzamiento de su continuidad, el
racionalizar el milagro eucaristico, fue la tarea encomendada al vnculo substancial!. Los primeros
brotes de la teora leibniciana del continuo conducen directamente a la carta a des Bosses de 19 de
mayo de 1716!.
12Tambin la Recherche de la Raison de ces phenomenes, comienza la pgina 144 r
haciendo profesin de humildad. Afirma que, para poder dar cuenta de todos los fenmenos es preciso
guardarse de hacer hiptesis en la medida de lo posible. De esas hiptesis en la Recherche slo
quedaba libre el hecho de la presin del aire. Esta idea ya haba aparecido en el De l'union de corps
purges (cfr.: LH XXXVII, III, 130 r), donde se enunciaba la tendencia a impedir la discontinuacin
por parte de la naturaleza. La pgina 132 r hace referencia a "un petit trait pas encor publi, ny
meme assez poli pour l'exposer l'hazard de la censure publique" el cual contiene la proposicin
segn la cual el movimiento general trata de amasar la materia heterognea para hacerla menos
heterognea (la referencia bien pudiera ser a las Propositiones qudam physic , comienzos/Otoo-
1672, especialmente las props. 23 y 24, Ak VI, 3, 39 ss.). Leibniz razona larga y detalladamente cmo
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Consecuencia de la hiptesis general
el movimiento de una materia que llenase el espacio en torno a una esfera, terminara por agrupar los
cuerpos en sus polos. Nuestro autor lo ve tan claro que no duda en aadir al final del razonamiento
"Q.E.D.". Posteriormente se tachan las tres letras y se agrega que esta esfera rodeada de una materia
fluida en movimiento puede ser tomada a imagen de la tierra, concluyendo por fin que la naturaleza
(en minsculas ahora), se opone a la discontinuacin de los cuerpos sensibles. Leibniz mismo se da
cuenta de que est muy alejado de las cubetas, las bombas de vaco y el mercurio, por lo que seala
que la relacin entre esta proposicin y los fenmenos se aclarar a continuacin por el anlisis de las
objeciones que puedan hacerse a sus propuestas. En total son seis las objeciones que se analizan,
llegando a la poco concluyente afirmacin de que el esfuerzo de la naturaleza o movimiento general
tiende a unir los cuerpos heterogneos o a disgregarlos si son susceptibles de disgregacin. En
realidad es el propio vaco el que hace que los cuerpos se unan, pero la presencia de aire en el
recipiente pone de manifiesto "el esfuerzo que la naturaleza hace contra la discontinuacin de los
cuerpos sensibles". El resultado no puede estar ms alejado del matemtico "Q.E.D.". Ahora resulta
que el movimiento general puede tanto unir como disgregar, que el aire que resta en el recipiente
tiende tanto a unir los cuerpos como a separarlos y que el vaco es necesario para que se manifieste el
esfuerzo del pleno universal. La salvedad es que, en el presente escrito, se introduce la luz en lugar del
simple "movimiento general" que all apareca. Por qu introducir la luz en lugar del movimiento
general es algo que aclara la Hypothesis physica nova: "Lux nihil aliud, quam rei agitado instentina"
(Leibniz, Hypothesis physica nova , invierno-1670/71, 56, Ak VI, 2, 247). La luz corno agente
causal de la distribucin de cuerpos y materiales es un recurso frecuente de la Hypothesis physica
nova (cfr.: Invierno-1670/71, 5 y ss., Ak VI, 2, 224 ss. -pasaje en donde, por cierto, se enuncia la
infinita divisibilidad del continuo-), la Summa Hypotheseos physic nov (cfr.: segunda mitad de
1671, dritter Entwurf, 7 y 17, Ak VI, 2, 344 y 347), las Propositiones qudam physic (cfr.:
comienzos/Otoo-1672, props. 8-14, Ak VI, 3, 19-29) y la carta a Fabri de 1677 (cfr.: Prop. 17, Ak
III, 2, 138). En la pgina LH XXXVII, III, 98 v de los escritos sin ttulo, se establece el carcter no
violento y recproco de la tensin y la comprensin para afirmar como consecuencia que la
compresin ejercida sobre los cuerpos proviene de la luz del Sol. La luz ejerce una presin sobre los
cuerpos rechazando las partes de stos hacia el centro de la Tierra. Cuando los cuerpos son
rechazados por el centro, o bien chocan con otros que les impiden el movimiento o bien se produce
una tendencia a la disgregacin. De este modo, la luz provoca presin y comprensin en el ter
sometindolo a un flujo perpetuo, el cual, a su vez, tiende a la distribucin uniforme tanto del mismo
movimiento como de la materia.
13LaRecherche de la Raison de ces phenomenes (cfr.: LH XXXVII, III, 137 r) lanza como
hiptesis, aunque sin posterior anlisis, la idea de que la unin de los cuerpos en el vaco est
vinculada con la naturaleza de los imanes. Tambin el De l'union des corps purge s, postula que los
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problemas de la adhesion, la gravedad y la imantacin, tienen una naturaleza comn, la tendencia de
la luz a redistribuir homogneamente la materia (cfr.: LH XXXVII, III, 130 r). Algo semejante se
deca en laHypothesis physica novaponiendo adems este fenmeno en conexin con el movimiento
del ter hacia los polos (cfr.: Invierno-1670/1, 3 4 bis y 35, Ak VI, 2, 238), en la Theoria motus
abstracti (cfr.: Invierno-1670/1, Def. 22 y Th. 20, Ak VI, 2, 264 y 270 respectivamente) y, muy
particularmente, en lasPropositiones qudam physic, que explica los fenmenos de la imantacin y
la gravedad por un "conatum presionum ad quilibrium" (comienzos/Otoo-1672, prop. 22, Ak VI, 3,
38 y prop. 29 Ak VI, 3, 54).
14Este prrafo final es particularmente enjundioso. El texto asume como natural la distincin
entre movimiento pblico o correspondiente al sistema (obsrvese que se ha tachado la palabra
"General") y movimiento puro o privado, que se establece en el Leges Reflexionis et refractionis
Demonstratce de la segunda mitad de 1671 (cfr.: Ak VI, 3, 314). Apenas tres lneas ms abajo de tal
distincin, prosigue diciendo: "Ita descensus gravium non minus a systematis quilibrio est, quam
ascensus liqui in agua ab quilibrio aqu alioquin turbato". Pero la idea de semejante equilibrio
aparece ya en laHypostesis physica nova, 20, (cfr.: Invierno-1670/71, Ak VI, 2, 228) y de un modo
que evoca la parte final de la Consequence de lHypothese generalleen el 57 de la misma obra (cfr.:
Ak VI, 2, 247 ss.). Las Propositione qudam physic, por una parte, afirman que todo medio
continuo tiende al equilibrio universal (cfr.: comienzos/Otoo-1672, dritter Entwurf, prop. 36, Ak VI,
3, 65 s.) y, por otra, pone en conexin el equilibrio con la armona (cfr.: Op. cit., prop. 30, Ak VI, 3,
57). Como es bien sabido, la reciprocidad de continuidad y armona es algo caracterstico del perodo
de madurez. De hecho, el Prim Veritates, de los alrededores de 1689, retoma el ejemplo de la
balanza y cita a Arqumedes como padre del postulado de que si "brachiis libr et ponderibus positis
qualibus, omnia sint in quilibrio" (C 519). Ahora bien, de qu es ejemplo este
postulado? es un ejemplo del principio segn el cual "omnia ab una parte se habent ut ab alia parte in
datis [determinatibus], etiam in qusitis seu consequentibus omnia se eodem modo habitura
utrinque" (loe. cit.). Esto es, el equilibrio de la balanza es un ejemplo del axioma "datis ordinatis
etiam qusita sunt ordinata", base del principio generai del orden (cfr.: Leibniz, Lettre de M. L sur un
principe generai utile l'explication de lois de la nature par la consideration de la sagesse divine ,
pour servir de replique la rponse du R. P. D. Malebranche , 1687, GP III, 51-2). Sobre la
vinculacin entre este principio y la ley de continuidad, puede verse el Specimen Dynamicum pro
admirandis Natur Legibus circa corporum vires et mutuas actiones detegentis et ad suas causas
revocandis, de 1695, (cfr.: Pars II, GM VI, 249-50). Es ms, esa "Regla del equilibrio universal"
recuerda bastante a una ley de conservacin y, de hecho, existe tambin un texto de madurez donde se
vincula la ley de continuidad y la ley de la conservacin de la fuerza (cfr.: Leibniz, Essay de
Dinamique sur les loix du mouvement,o il e st monstr, qu'il ne se conserve pas la mme Quantit de
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Consecuencia de la hiptesis general
rAction motrice , 1695, GM VI, 229). En definitiva, hay un paralelismo casi perfecto entre las
relaciones que guarda la ley de continuidad con el principio general del orden y las leyes de
conservacin, de una parte, y la ley de la continuacin y ese corolario de aqullas que al cabo sera la
"Regla del equilibrio universal", de la otra.
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Prefacio al Opsculo sobre la Cuadratura aritmtica
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Introduccin.
El Prefacio al opsculo sobre la cuadratura aritmtica del crculo, tiene,
segn las fuentes, dos dataciones. Una es finales de 1675 y la otra otoo de 1676. A
nuestro entender, la ms probable es la primera, ya que guarda un profundo parecido
con la carta a Oldenburg de 30-II-167512y con la carta remitida a La Roque a finales
de 1675 . La lista de precursores que all se cita es muy semejante con la que
proporciona este texto. El original abarca tres pginas y tres cuartos de otra y ha sido
editado por Gerhardt3, aunque con algunos errores que hemos tratado de enmendar.
Como su propio nombre indica, estamos ante el prefacio al escrito De
Quadratura Arithmetica Circuli, Ellipseos et Hyperbol, cujus corollarium est
Trigonometria sine Tabulis,terminado en el ao 1675 y entregado primero a Saudry,
despus a Hansen y, tras diferentes avatares, a D. Elsevir, para que se encargara de
su edicin una vez Leibniz abandon Pars. En este opsculo, adems de la
cuadratura aritmtica del crculo se expona el mtodo para el desarrollo de series
que permitiesen hallar el arco a partir del seno o el seno a partir del arco, mtodo ste
que no perteneca al propio Leibniz. Comoquiera que la edicin sufri un sin fin de
retrasos, cuando estuvo preparada, Leibniz haba encontrado ya su propio mtodo
para el desarrollo de tales series. De aqu que acabase por descartar su publicacin e
indito permanece hasta nuestros das salvo una edicin parcial4. Afortunadamente,
el prefacio de dicho escrito ha corrido mejor suerte por tratarse de un breve, pero
conciso texto, en el que Leibniz hace un repaso, como dice l mismo, por sus
antecedentes, por lo que se ha hecho y se ha de hacer para, al fin, aportar su
aproximacin a la cuadratura del crculo o, lo que es lo mismo, al nmero n. Este
escrito presenta ligeras variaciones respecto a sus predecesores. As, en la carta a
Oldenburg anteriormente mencionada, las cuadraturas "aproximatorias" son
clasificadas en numricas o lineales. Las primeras son ejemplificadas por
'Cfr.: Ak III, 1, 202 y ss.
2Cfr.: Ak III, 1, 338.
3Cfr.: Die mathematischen Schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz, ed. von G. D. Gerhardt, 7
vols., Georg Olms Verlag, Hildesheim-New York, 1971 (en lo sucesivo GM), vol. V, pgs. 93-8.
4Cfr.: Scholtz, L.Die exakte Grundlegung der Infinitesimalrechnung bei Leibniz , Marburg, 1934.
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Arqumides, Ludolf de Colonia y Wallis, en tanto que las segundas son
ejemplificadas por Snell y Huygens. Las cuadraturas exactas, por su parte, sern
mecnicas o aritmticas. Estas son caracterizadas porque no vienen dadas por ciertos
nmeros, sino por una serie infinita de nmeros. Y en este momento, a diferencia del
Prefacio, se menciona a Mercator y a la cuadratura de la hiprbole de W.
Brounckers. Aparte se hallan la cuadratura analtica y la geomtrica, que se realiza
mediante constmcciones geomtricas. La cuadratura analtica se efecta a travs de
una expresin algebraica con un nmero finito de partes. Bsicamente sta es
tambin la clasificacin que aparece en la carta a La Roque, con la salvedad de que,
para la cuadratura geomtrica se propone tambin el nombre de "fsica".
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G. W. L.Prefacio a l opsculo sobre la cuadratura aritmtica del 1675.
/9 3/ Puesto que el problema de la Cuadratura del Crculo se encuentra en todos
los lugares y en brillantes estudios de investigacin, escritos adems por hombres
absolutamente expertos y clebres en Geometra, ser valioso exponer brevemente la
naturaleza de la cuestin (que parece haber sido buscada desde siempre), qu se
defendi antes de nosotros, qu rechazamos y qu quedar por hacer a la
posterioridad.
Cuando Pitgoras y sus discpulos expusieron los elementos de la Geometra
rectilnea, despus redactados en un cuerpo por Euclides, ya se demostr que, para
cualquier figura rectilnea plana dada, puede crearse un cuadrado igual, lo cual es
evidentemente muy simple y, en cierto modo, es una medida de lo que queda.
Empez entonces a pensarse si no podra crearse una figura rectilnea igual al crculo
y, por tanto, igualarlo al cuadrado. Y esto es lo que vulgarmente se llama la
cuadratura del crculo, pues si pudiera describirse cierto Tringulo, u otro Polgono
cualquiera, igual al crculo, en todo caso sera en potencia igual al cuadrado. Y
puesto que Arqumedes seal que un Tringulo rectngulo cuya altura sea de un
2
radio y la base como la circunferencia extendida en recta, sera el doble del crculo ,
si alguien encontrase alguna recta igual a la circunferencia del crculo, dara con
nuestra cuadratura.
Al llegar aqu, algunos que oyen la explicacin, se admiran al ver facilsimo
lo que tanto tiempo han buscado los Gemetras, pues qu ms fcil, que hallar una
recta igual a la circunferencia circundando el crculo con un hilo material y despus
extendindolo en lnea recta y midindolo? Con el mismo derecho pueden decir que
el crculo se cuadra fcilmente si una masa de cera, primero circular, despus se
vuelve una figura cuadrada, o si el agua de un cilindro cavado en madera se pasa a
uno excavado en forma cuadrada, pues, a partir de la altura del agua, aparece cmo
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es el crculo -que es la base del cilindro- al cuadrado -que es la base del madero o
prisma excavado- y si el agua se eleva el doble o triple ms alto en el prisma que en
el cilindro, el crculo ser la mitad del cuadrado o un tercio y, de tal modo, otro
cuadrado que sea el doble o el triple, ser igual al crculo, en lo cual no hay ningn
problema para la Geometra. Es sabido, en verdad, que no es tal cosa la que buscan
los Gemetras, sino un camino para su investigacin por el que, sin /9 4/el crculo
material o su transformacin o aplicacin al plano, pueda encontrarse y designarse la
recta igual a la circunferencia, o tambin el lado del cuadrado igual al crculo, con
cierto arte y regla o instrumento que tenga la capacidad de formar una lnea recta,
como son aqullos con los que se describen los Crculos, Elipses u otras lneas. Por
consiguiente, no se busca la cuadratura del crculo por el hilo extendido en recto, ni
tampoco por la rueda hecha rodar en el plano o la regla aplicada en contacto
sucesivo con las partes materiales de la circunferencia. De aqu, adems, que no sea
la que se busca la cuadratura del crculo mostrada por el contacto con la Hlice de
Arqumedes, ni por tal la vendi Arqumedes . Sin duda la Hlice es una lnea curva
que describe un recorrido avanzando por los radios alrededor del centro y de ste
hacia la circunferencia, tocando al plano subyacente con su vrtice inmvil y
dejando en l rastros de su movimiento, compuesto a partir de lo recto y lo circular.
En esta medida se entiende que el movimiento de los radios alrededor del centro y el
recorrido en el radio es uniforme o proporcional. Tal lnea no est en nuestro poder,
pues (sin un crculo material) hasta ahora no hemos podido hacer que los radios se
muevan siempre con velocidad igual o proporcional alrededor de los centros y a lo
D
largo del radio. Adems, si ya estuviese
descrita, debera aplicarse cierta regla
tangente a esta hlice sacada materialmente
del plano, por la cual se determinara
necesariamente la recta igual al crculo.
Por otra parte, con el Problema de la
Cuadratura del Crculo est conectado el
problema de la seccin universal del Angulo,
o Trigonometra Geomtrica, cuyos ngulos
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Elementos) inscribirse y circunscribirse otros dos con el doble nmero de lados o
ngulos que se tenan, y esto puede continuarse al infinito, cayendo siempre el
crculo entre los ltimos inscrito y circunscrito. Es decir, si comienzas por los
trgonos, se sigue por los hexgonos, dodecgonos, 24agonos, 48agonos, 96agonos,
inscritos y circunscritos de modo semejante, pudindose proceder de este modo
hasta donde quieras y, puesto que en estas bisecciones de los polgonos siempre
puede tenerse geomtricamente el rea con bastante exactitud numrica, siempre se
tendrn las reas entre las que cae el crculo, aproximndose siempre al mismo y, de
esta manera, puede hacerse que el error sea menor que cualquiera dado, esto es, si se
me pide un nmero que exprese la razn de la circunferencia al dimetro tan
aproximada que no difiera en verdad como la centsima a la milsima u otras partes
de la unidad, esto puede hacerse continuando la biseccin. Este mtodo lo comenz
Arqumedes, Metius lo llev ms lejos, pero mucho ms lo prolong la increble
labor producida por Ludolfo de Colonia, quien, si hubiese conocido los compendios
nacidos hoy da, al menos habra visto aliviado su trabajo en gran parte. A partir de
las proporciones halladas, para el uso en los muy pequeos, basta la Arquimdica, a
saber, que la circunferencia es al dimetro como 22 a 711; en las medianas, la de
Metius, que es como 355 a 113; en las grandes basta con que se use la fraccin de
Ludolpho, que es como ... /96/a ... Hallada la razn del dimetro a la circunferencia,
puede medirse con facilidad cualquier otro arco por medio de la Tabla de Senos.
Pues, si alguien extrae de la tabla el seno de medio minuto y lo duplica, tendr la
cuerda de un minuto o el arco mismo, que es la 21600ava parte de la circunferencia.
La cuerda que se desea puede suponerse, con mediocre exactitud, igual a su arco y,
de este modo, para encontrar la longitud correspondiente, por ejemplo, a siete
grados, puesto que contiene 420 minutos, basta encontrar la longitud de la cuerda de
un minuto a partir de la Tabla y multiplicarla por 420. Si alguien quiere proceder
an con mayor exactitud, puede usar del mismo modo los minutos y segundos del
seno.
Y, ciertamente, esta cuadratura del Crculo por partes, aunque sea Racional,
se llama no obstante Mecnica. Es exacta tambin la que muestra la magnitud
buscada del Crculo o arco exactamente, y sta es Linealo Numrica,es decir, o por
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Prefacio al opsculo de la cuadra tura a ritmtica del crculo
el trazado de lneas o por la expresin de los valores. El valor puede expresarse
exactamente por la cantidad o por la progresin de la cantidad, cuya naturaleza y
modo de continuacin se conoce. Por la cantidad, por ejemplo, si se da algn
nmero racional o irracional o tambin Algebraico, incluido en cierta ecuacin, por
el que se expresa el valor del arco del crculo. Por progresin, si se muestra cierta
progresin, de la cual se da la regla de continuacin al infinito, que expresa
exactamente, tomada toda a la vez, el valor del arco o del crculo. La primera
expresin la llamo Analtica, la posterior, en fin, com