b) El vector b8

c8

es la suma de b8

con el opuesto de c8, o el que sumado a c

8da b

8:

Unidad 1. El lenguaje de la Fsica y la Qumica12

cY

Xb

a + b + c

a + ba

Y

X

a + b + c

b

c

a

cY

X

c

b

b c

cY

Xb

b c

a) Podemos calcular la suma de dos formas: la primera (izquierda), realizando, enprimer lugar, la suma de dos de ellos (a

8y b

8, por ejemplo) y sumndole al resulta-

do el tercero, y la segunda, colocando los tres vectores uno a continuacin delotro y uniendo el origen del primero con el extremo del tercero (derecha):

ACTIVIDADES DEL FINAL DE LA UNIDAD

1. Escribe la relacin dimensional entre las siguientes magnitudes derivadas y las magnitudes fundamentales: volumen molar, velocidad angular, perodo ylongitud de onda.

El volumen molar es el cociente entre el volumen y el nmero de moles: Vm

= ;por tanto, sus dimensiones sern: [V

m] = L3 mol1.

La velocidad angular es el cociente entre un ngulo (adimensional) y un tiempo. Susdimensiones sern: [u ] = T1.El perodo es un tiempo; por tanto, [T ] = T.

La longitud de onda es una longitud; entonces, [l ] = L.

2. Qu propiedades, de las mencionadas en la actividad anterior, son intensi-vas? Y vectoriales?

Intensiva, el volumen molar, y vectorial, la velocidad angular.

3. Dados los vectores de la figura, cuyos valores y direcciones se indican:

a) Calcula geomtricamente la suma delos tres vectores; b) determina el vectorb88 c

88; c) obtn las componentes cartesia-

nas de cada uno; d) comprueba que secumple: a

88 b

88= a b cos = ax bx + ay by.

Vn

Actividades del final de la unidad

c

c = 4

a = 5

b = 6

Y

Xb

a

30

c) Las componentes cartesianas del vector a8

son:

ax= a cos = 5 cos (30) = 5 0,87 = 4,35

ay= a sen = 5 sen (30) = 5 (0,5) = 2,5

b) Y, por tanto, la expresin del vector a8

es:

a8

= ax u

8x+ a

y u

8y= 4,35 u

8x 2,5 u

8y

b) Los vectores b8

y c8, al estar orientados segn los ejes X e Y, respectivamente, solo

tienen una componente: la correspondiente al eje sobre el que se encuentran.

b) En el caso del vector b8, orientado en el sentido positivo del eje X, su componente

Y es nula, by= 0, y su componente X coincide con su mdulo:

b) bx= 6 8 b8 = 6 u8

x

b) El vector c8, orientado en el sentido positivo del eje Y, tiene la componente X nu-

la, cx= 0, y su componente Y coincide con su mdulo:

b) cy= 4 8 c8 = 4 u8

y

d) Vamos a comprobar que las dos expresiones que permiten calcular el producto es-calar de los vectores a

8y b

8dan el mismo resultado:

a8

b8

= a b cos = 5 6 cos 30 = 30 0,87 = 26,1

a8

b8

= ax b

x+ a

y b

y= 4,35 6 + (2,5) 0 = 26,1

4. Dados los vectores a88 = 9 u88x 12 u88y, b

88= 12 u88y y c

88= 17 u88x, determina:

a) el que tiene mayor mdulo; b) el vector que sumado a a88 da b88; c) un vector

unitario en la direccin de c88; d) el producto escalar de b

88por c

88; e) el ngulo

que forman a88 y b88.

a) El mdulo de cada vector es:

a = = = 15

b = = 12

c = = 17

b) Luego, el de mayor mdulo es el vector c8.

b) Llamaremos v8

= x u8x

+ y u8yal vector que sumado a a

8da b

8; es decir, al vector

que cumple:

a8

+ v8

= b8

b) Para que dos vectores sean iguales, deben serlo sus componentes, por lo que sedebe cumplir:

b) ax+ x = b

x8 9 + x = 0 8 x = 9

b) ay+ y = b

y8 12 + y = 12 8 y = 24

b) Luego el vector v8

es:

b) v8

= 9 u8x+ 24 u

8y

c) Un vector unitario en la direccin de c8

es:

b) u8c= = = u

x

c8

c

17 u8x

17

(17)2 + 0202 + 122

ax2 + ay2 92 + (12)2

Unidad 1. El lenguaje de la Fsica y la Qumica 13

b) El vector unitario debe especificar tanto la direccin como el sentido; por esou8c= u

8xy no u

8x, como poda pensarse.

d) El producto escalar de b8

por c8

es:

b)b8

c8

= bx c

x+ b

y c

y

b)b8

c8

= 0 (17) + 12 0 = 0

b) como era de esperar, ya que estos vectores son perpendiculares.

e) A partir de las dos expresiones que nos permiten calcular el producto escalar dedos vectores:

a8

b8

= a b cos = ax b

x+ a

y b

y

b) Despejando:

cos = = = 0,8

b) Luego, el ngulo que forman los vectores a8

y b8

es:

= arccos (0,8) = 143,13

5. La qumica cuntica utiliza, como unidad de longitud, el radio de Bohr. Buscasu factor de conversin a metros.

El radio de Bohr, que es el radio de la primera rbita del modelo de Bohr, se calculacomo sigue:

a0=

donde h = 6,626 1034 J s es la constante de Planck; K = 9 109 m3 kg s 4 A 2 , laconstante de Coulomb; e, la carga del electrn, y m, su masa.

Segn eso, el radio de Bohr es:

a0= 5,29 10 11m

6. El perodo de oscilacin de un muelle es:

T = 2

Determina las unidades de k en el S.I.

Para conocer las unidades de la constante, primero despejamos k en la ecuacin:

k = 4 2

Las magnitudes de la ecuacin son:

[m] = M ; [T ] = T

Por tanto, las dimensiones de la constante son:

[k] = M T 2

Y sus unidades, en el S.I., sern kg s2.

mT 2

mk

h2

4 2 m e2 K

ax b

x+ a

y b

y

a b9 0 + (12) 12

15 12

Unidad 1. El lenguaje de la Fsica y la Qumica14

7. La unidad ms comn de potencial elctrico es el voltio, y la de presin, el pas-cal. Encuentra las relaciones de equivalencia de estas unidades derivadas conlas unidades fundamentales del S.I.

Para relacionar el voltio con las unidades fundamentales, utilizamos la expresin quedefine el potencial elctrico:

V =

donde Epes la energa potencial, y q, la carga.

La ecuacin de dimensiones de ambas magnitudes es:

[Ep] = L2 M T 2

[q ] = T I

Por tanto, las unidades del potencial elctrico son:

[V ] = L2 M T 2 T 1 I 1 = L2 M T 3 I 1

Y el voltio est relacionado con las unidades fundamentales; as:

1 V = 1 m2 kg s 3 A 1

Por otro lado, la presin se define como la fuerza ejercida por unidad de superficie:

P =

Estas magnitudes tienen las siguientes ecuaciones de dimensiones:

[F ] = L M T 2 ; [S ] = L2

Por tanto, la ecuacin de dimensiones de la presin ser:

[P ] = L M T 2 L 2 = L 1 M T 2

El pascal est relacionado con las unidades fundamentales del siguiente modo:

1 Pa = 1 m 1 kg s 2

8. Escribe, en notacin cientfica, el valor de la unidad de masa atmica expre-sada en kilogramos.

La unidad de masa atmica es, por definicin, la doceava parte de la masa de un to-mo de C-12.

La masa de un mol de tomos de C-12 es 12 g, y en esa cantidad hay 6,022 1023 to-mos de C; por tanto, cada tomo de C pesar:

m = = 1,993 10 23 g

La doceava parte de ese nmero es la unidad de masa atmica:

1 u = 1,661 10 24 g = 1,661 10 27 kg

12 g6,022 1023 tomos

FS

Ep

q

Unidad 1. El lenguaje de la Fsica y la Qumica 15

9. Indica cul es el instrumento ms adecuado para medir las siguientes magni-tudes, as como su rango de medida y su umbral de sensibilidad:

a) Las dimensiones de un campo de ftbol. Un campo de ftbol mide, aproxi-madamente, 100 m de largo por 50 de ancho. Para medir esas longitudes pode-mos utilizar una cinta mtrica. Rango de medida: desde 0 hasta 120 metros. Sen-sibilidad: 1 cm.

b) Las dimensiones de un microprocesador. Un microprocesador mide unospocos milmetros; por tanto, el mejor aparato con que podemos medirlo es uncalibre o pie de rey. Rango de medida: desde 0 hasta 50 cm. Sensibilidad: desde0,01 cm.

c) La temperatura de un beb. Con un termmetro que mida en el rango de 20 Ca 50 C y cuya sensibilidad detecte dcimas de grado centgrado.

d) El tiempo que tarda un coche de frmula 1 en dar la vuelta a un circuito.Se puede medir con un cronmetro digital con un rango de medida de 0 a 10 mi-nutos y que pueda distinguir, al menos, centsimas de segundo.

e) El volumen de una disolucin preparada en el laboratorio de qumica. Conun matraz aforado o una pipeta. El rango depende del tipo de matraz: uno de 1 Lpuede medir hasta 1 L; mientras que el de la pipeta est comprendido entre 0 y100 mL. En cuanto a la sensibilidad, el matraz aforado no tiene escala, solo lamarca de aforo; la pipeta descrita tiene una sensibilidad de 0,1 mL.

10. Para calibrar una balanza se ha pesado un patrn de 1 kg cinco veces, obte-niendo las siguientes lecturas: 1,0015 kg; 0,9999 kg; 0,9998 kg; 1,0012 kg;1,0003 kg. Es exacta la balanza? Es precisa? Cul es el valor ms probablede la masa del objeto? Cul es el error estadstico?

La exactitud mide la cercana entre el valor real y el valor medido. La medida msalejada del patrn, 1,0015 kg, tiene un error absoluto de 0,0015 kg, lo que suponeun error relativo del 0,15%; por tanto, podemos decir que la balanza es exacta.

La precisin depende del error aleatorio de las mediciones. Si el valor medio es:

m_

= = 1,0005 kg

entonces, el error estadstico, o dispersin, resulta:

Dm = ( ++ )

1/2

= 0,0003 kg

Es un valor muy pequeo y, por tanto, la balanza puede considedarse precisa.

La expresin correcta de la medida es:

m = (1,0005 0,0003) kg

11. Para medir la densidad de un lquido se ha utilizado un recipiente cuyo volu-men se ha calibrado: V = 25,00 0,01 cm3. Se ha pesado el lquido que llenabael recipiente, obtenindose el valor de 25,023 0,005 g.

(1,0012 1,0005)2 + (1,0003 1,0005)2

5 4

(1,0015 1,0005)2 + (0,9999 1,0005)2 + (0,9998 1,0005)2

5 4

1,0015 + 0,9999 + 0,9998 + 1,0012 + 1,00035

Unidad 1. El lenguaje de la Fsica y la Qumica16

Cul es la densidad del lquido? Cul es el error?

La densidad del lquido se obtiene con la expresin:

p = = = 1,00092 g/cm3

Para calcular su error, hay que aplicar el clculo de propagacin de errores:

Por tanto, la densidad del lquido es:

p = (1,0009 0,0004) g/cm3

12. Para medir la resistencia de un circuito elctrico, hemos efectuado varias me-diciones de la diferencia de potencial del circuito al cambiar la intensidad dela corriente, y hemos obtenido:

Representa los datos en una grfica, y propn un modelo matemtico que seajuste a ellos.

Los datos, representados en una grfica, son:

Parece haber una relacin lineal entre la diferencia de potencial y la intensidad decorriente, salvo por el segundo dato, que podra tratarse de un error. Si prescindimosde ese dato y hacemos un ajuste lineal de los datos restantes, obtenemos una rectade ecuacin:

I = 0,07927 + 1,6576 V

Su representacin grfica se muestra en la ilustracin de la pgina siguiente:

mV

25,02325,00

Unidad 1. El lenguaje de la Fsica y la Qumica 17

5

00

2 4 6 8 10 12

10

15

20

V (V)

I (A)

14

( )2

+ ( )2DVVDmm Dp = mV = ( )2

+ ( )2 = 0,0004 g/cm30,0125,000,00525,02325,02325,00

V (voltios)

RESULTADO DE LAS MEDICIONES

1,27 3,09 4,96 10,97 12,25

I (amperios) 2,0 2,1 8,2 18,0 20,3

500

2 4 6 8 10 12

10

15

20

V (V)

I (A)

14

Unidad 1. El lenguaje de la Fsica y la Qumica18