Lenguaje proposicional

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS

BLOQUE I: EL LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN ACTIVIDADES NO PRESENCIALES- (fuera del horario de clase)

Curso 2006/07

Nota: Para resolver cualquier duda relacionada con estas actividades, ves a las tutorías de tu profesora (previa confirmación email). Prof: Mª Jesús Castel [email protected]

Ejercicios propuestos para formalizar con el lenguaje proposicional (escribe en tu C. Bitáctoras el tiempo aproximado que tardaste en hacerlos)

Ejercicio 1º.- prop Formalizar las siguientes sentencias:

1S1: “Iremos al cine o al teatro”. Variables proposicionales: ci: iremos al cine te: iremos al teatro

Fbf ci ∨ te

1S2: “No ocurre que 2+2 = 5”

Variables proposicionales: su: 2 + 2 son 5

Fbf ¬su

1S3: “Dos y dos cuatro, tres y tres ocho y tú te comes un bizcocho”

Variables proposicionales: cu: dos y dos cuatro tr: tres y tres ocho bi: te comes un bizcocho

Fbf cu ∧ tr ∧ bi

1S4: “Vinieron, pero llegaron muy tarde”

Variables proposicionales: vi: vinieron ll: llegaron tarde

Fbf vi ∧ ll

1S5: “Aunque no hace frío da gusto ver cómo se caen las hojas”

Variables proposicionales: fr: hace frío ho: ver cómo se caen las hojas

Fbf ¬fr ∧ ho

1S6: “Sólo si hago la pelota al profe, aprobaré Lógica”

Variables proposicionales: ap: aprobar Lógica pe: hacer la pelota al profe

Fbf ap → pe

1S7: “No es cierto que la lógica sea difícil”

Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07

Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 2

Variables proposicionales: di: la lógica es difícil

Fbf ¬di

1S8: “Si eres puntual, iremos juntos, pero si llegas tarde iré con María”

Variables proposicionales: pu: eres puntual ju: iremos juntos ma: iré con María

Fbf (pu → ju) ∧ (¬pu → ma)

1S9: “O somos novios o amantes, o ninguna de las dos cosas”

Variables proposicionales: no: somos novios am: somos amantes

Fbf (no ∨ am) ∨ ¬(no ∨ am)

1S10: “Si lo hizo Juanito o es tonto o un espabilado”

Variables proposicionales: hi: lo hizo Juanito to: Juanito es tonto es: Juanito es espabilado

Fbf hi → to ∨ es

1S11: “O estudias y trabajas, o serás un desgraciado”

Variables proposicionales: es: estudias tr: trabajas de: eres un desgraciado

Fbf (es ∧ tr) ∨ de

1S12: “El dinero es importante pero la sabiduría más”

Variables proposicionales: im: el dinero es importante sa: la sabiduría más importante que el dinero

Fbf im ∧ sa

Ejercicio 2º.-prop Formalizar y estudiar si algunas son equivalentes:

Variables proposicionales: cl: Pablito clavó un clavito. mt: Pablito tiene un martillito.

Sentencias Fbf 2S1: “Pablito clava un clavito si tiene un martillito” mt → cl

2S2: “Pablito no clava un clavito a menos que tenga un martillito” ¬mt → ¬cl = cl → mt

2S3: “O Pablito no clava un clavito o tiene un martillito” ¬cl ∨ mt

2S4: “Ni Pablito tiene un martillito ni clavó un clavito”. ¬mt ∧ ¬cl



2S5: “Pablito no clava un clavito si no tiene un martillito” ¬mt → ¬cl

2S6: “No es cierto que Pablito no clave un clavito y no tuviera un martillito” ¬(¬cl ∧ ¬mt)

2S7: “Para que Pablito clave un clavito es suficiente que tenga un martillito” mt → cl

2S8: “Para que Pablito clave un clavito es necesario que tenga un martillito” cl → mt

2S9: “Una condición necesaria, aunque quizá no suficiente, para que Pablito clave el clavito es que tenga un martillito”

cl → mt

2S10: “Sólo si Pablito tiene un martillito clavará el clavito” cl → mt

2S11: “Pablito clavará el clavito sólo si tiene un martillito” cl → mt

2S12: “Pablito clava el clavito a menos que no tenga un martillito” ¬cl → ¬mt

2S13: “Pablito clava el clavito a menos que tenga un martillito” ¬cl → mt

Ejercicio 3º.-prop

¿Se puede formalizar la sentencia?¿Por qué? 2S14: “Pablito clavó un clavito, ¿qué clavito clavó Pablito?” Respta: No porque la sentencia ¿qué clavito clavó Pablito? es interrogativa, no es declarativa y no se admite en lpo. Ejercicio 4º.-prop Juanito me dijo que se presentaría en septiembre a Lógica o Álgebra, si al final se presentó a Lógica y a Álgebra ¿Es cierto que se presentó a las dos?

Respta: Formalización: lo: Juanito se presentó a Lógica; al: Juanito se presentó a Álgebra; Juanito se presentó a Lógica o a Álgebra: lo ∨ al Juanito se presentó a Lógica y a Álgebra: lo ∧ al. Si porque de la primera sentencia lo ∨ al no podemos determinar a cuál de las dos se presentó, pero de la segunda lo ∧ al, sí que podemos afirmar que se presentó a las dos, porque esta sentencia es verdadera si ambas proposiciones se verifican.



Ejercicio 5º.- prop Escribe, de 5 formas diferentes, sentencias en lenguaje natural que sean equivalentes a la siguiente:

“Si salgo al patio veré a mi vecinita Puri”.

4S1: “No salgo al patio a menos que vea a mi vecinita Puri”

4S2: “Salgo al patio sólo si veo a mi vecinita Puri”

4S3: “Para que salga al patio es necesario que vea a mi vecinita Puri”

4S4: “Para ver a mi vecinita Puri es suficiente con salir al patio”

4S5: “Veo a mi vecinita Puri si salgo al patio”

Ejercicio 6º.-prop Formaliza los siguientes argumentos:

ARG-1

Variables proposicionales: Los periodistas cuentan historias falsas:hf Los periodistas son ingeniosos: in los famosos no salen en la tele…: te; la gente se vaya de paseo: pa La tele se muere…: mu

Sentencias Fbf P1: “Los periodistas cuentan historias falsas y son ingeniosos sólo si los famosos no salen en la tele a decir tonterías.”

hf ∧ in → ¬te

P2: “Es suficiente que los famosos salgan en la tele a decir tonterías para que la gente se vaya de paseo” te → pa

P3: “O la gente no se va de paseo o la televisión se muere en tres días.” ¬pa ∨ mu

Q: “Por tanto, para que los periodistas no cuenten historias falsas pero sean ingeniosos es necesario que los famosos no salgan en la tele a decir tonterías”

hf ∧ in → ¬te



ARG-2

Variables proposicionales: Irme de tu casa: ir; tienes buen humor: hu; eres cariñoso con mi madre: cm me preparas la comida todos los días: td

Sentencias Fbf P1: “Sólo si no tienes buen humor me iré de tu casa.”

ir → ¬hu

P2: “Me iré de tu casa si no me preparas todos los días la comida” td → ir

P3: “Si eres cariñoso con mi madre es que tienes buen humor.” cm → hu

Q: “Luego, tanto si eres cariñoso con mi madre como si no lo eres, me preparas la comida todos los día” cm ∨ ¬cm → td

Ejercicio resuelto. Formalización de sentencias con el lenguaje predicativo

Con el siguiente marco conceptual formaliza las sentencias propuestas:

Dominio Predic. Propiedad Predic. Relación Constantes D= {animales} De(x): x es delfín;

Fo(x): x es foca; J(x): x es juguetón;

V(x,y): x vive con y;

Fli: fli; Flo: flo; Flu: flu;

Sentencias Fbf

S1: “Fli, Flo y Flu son delfines” De(fli) ∧ De(flo) ∧ De(flu)

S2: “Los delfines son juguetones” ∀x[De(x) → J(x)]

S3: “Algunos delfines son juguetones” ∃x[De(x) ∧ J(x)]

S4: “Algunos delfines viven con focas” ∃x[De(x) ∧ ∀y(Fo(y) → V(x,y))]

S5: “Todos los delfines viven con todas las focas” ∀x[De(x) → ∀y(Fo(y) → V(x,y))]

S6: “Algunos delfines viven con todas las focas” ∃x[De(x) ∧ ∀y(Fo(y) → V(x,y))]

S7: “Algunos delfines viven con algunas focas” ∃x[De(x) ∧ ∃y(Fo(y) ∧ V(x,y))]

Ejercicios propuestos para formalizar con el lenguaje predicativo (escribe en tu C. Bitáctoras el tiempo aproximado que tardaste en hacerlos)



Ejercicio 1º.-pred Formalizar las siguientes sentencias en el Dominio propuesto Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación

D={Carles Lógicus, Cristine Alegre, Javi Hierbas, Chusita, Anita, Mario}

Javi H:ja Anita: an Mario:ma Chusita:ch Carles:ca Crsitine:cr

P(x): x es profesor A(x): x es alumno Hb(x): x es hab. otro planeta Ca(x): x está cachas Du(x): x se hace duro Gi(x): x va al gimnasio Cv(x): x es calvo Ba(x): x es bajo Br(x): x s barrigón Ma(x): x está macizo

Ex(x,y): x tiene éxito con y

Sentencias Fbf 1S1: “Carles Lógicus, Cristine Alegre y Chusita son profesores”

P(ca) ∧ P(cri) ∧ P(ch)

1S2: “Anita y Mario son alumnos” A(an) ∧ A(ma)

1S3: “Mario está cachas pero Anita no” Ca(ma) ∧ ¬Ca(an)

1S4: “Al menos un alumno está cachas” ∃x[A(x) ∧ Ca(x)]

1S5: “Javi Hierbas es un habitante de otro planeta” Hb(ja)

1S6: “Carles Lógicus es bajo, calvo, barrigón pero está macizo, aunque no va al gimnasio”

Ba(ca) ∧ Cv(ca) ∧ Br(ca) ∧ Ma(ca) ∧ ¬Gi(ca)

1S7: “Javi Hierbas va al gimnasio y por eso tiene éxito con Carles”

Gi(ja) ∧ Ex(ja,ca)

1S8: “Todos los alumnos tienen éxito con Carles”. ∀x[A(x) ∧ Ex(x,ca)]

1S9: “Ningún alumno que no sea cachas, tiene éxito con Carles”

¬∃x[A(x) ∧ ¬Ca(x) ∧ ¬Ex(x,ca)]

1S10: “Algún alumno cachas tiene éxito con Carles”. ∃x[Ca(x) ∧ Ex(x,ca)]

1S10: “Sólo los profesores que van al gimnasio tienen éxito con Javi Hierbas”

∀x[P(x) ∧ Ex(x,ja) → Gi(x)]



Ejercicio 2º.-pred Formalizar las siguientes sentencias en el Dominio propuesto

Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación D={personas}

P(x): x es profesor A(x): x es alumno Al(x): x es alto Ma(x): x está macizo Du(x): x se hace el duro Gi(x): x va al gimnasio

Mex(x,y): x tiene más éxito que y

Sentencias Fbf 2S1: “Todos los alumnos se hacen los duros”

∀x[A(x) → Du(x)]

2S2: “No existe ningún profesor que se haga el duro”

¬∃x[P(x) ∧ D(x)]

2S3: “Existe un profesor que tiene más éxito que cualquier alumno”

∃x {P(x) ∧ ∀y[A(y) → Mex(x,y)]}

2S4: “Si todos los sujetos son alumnos entonces no existe ninguno que vaya al gimnasio”

∀xA(x) → ¬∃x[A(x) ∧Gi(x)]

2S5: “En general, cualquier sujeto tiene más éxito que otro si y sólo si, éste va al gimnasio y el otro no”

∀x∀y[Mex(x,y) ↔ Gi(x) ∧ ¬Gi(y)]

2S6: “Cualquier sujeto tiene más éxito que otro sólo si éste se hace el duro y el otro no”

∀x∀y [Mex(x,y) → Du(x) ∧ ¬Du(y)]

2S7: “Todos los profesores que van al gimnasio tienen más éxito que algún alumno que no vaya”

∀x{P(x) ∧ Gi(x) → ∃y[A(y) ∧ Mex(x,y)]}

2S8: “Sólo algunos alumnos van al gimnasio” ∃y[A(y) ∧Gi(x)]

2S9: “No existe ningún individuo que sea alumno”

¬∃xA(x)

2S10: “No todos los individuos son alumnos” ¬∀xA(x)



Ejercicio 3º.-pred Formalizar las siguientes sentencias en cada dominio Di.

Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación

D1= {personas} D2 = {alumnos informática}

I(x): x es alumno de Informática

AmL(x,y): x ama Lógica

Sentencias Fbf D1 D2

1S1: “Todos los alumnos de Informática aman Lógica”

∀x[I(x) → AmL(x)] ∀x[AmL(x)]

1S2: “Algún alumno de Informática ama Lógica”

∃x[I(x) ∧ AmL(x)] ∃x[AmL(x)]

1S3: “Ningún alumno de Informática ama Lógica”

∀x[I(x)→¬AmL(x)] ∀x[¬AmL(x)]

1S4: “Sólo los alumnos de Informática aman Lógica”

∀x[AmL(x) → I(x)] ∀x[AmL(x)]

Ejercicio 4º.-pred Formaliza los siguientes argumentos:

ARG-1

Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación

D={personas} H(x): x es hombre Fe(x): x es feliz No(x): x tiene novia Lu(x): x es lunática En(x): x está enamorado So(x): x es solterona curiosa

Enc(x,y): x se encuentra con y Du(x,y): x endulza la vida a y

Sentencias Fbf

P1: “Cualquier hombre que se quiera ser feliz y no tenga novia encontrará a alguna lunática dispuesta a endulzarle la vida”.

∀x[H(x)∧Fe(x)∧¬No(x) → ∃y(Lu(y)∧Enc(x,y)∧D(y,x))]

P2: “A algunos hombres enamorados y felices les sucede que se encuentran únicamente con solteronas curiosas.

∃x[H(x) ∧ En(x) ∧ Fe(x) ∧ ∀y(Enc(x,y) → So(y))]

P3: “Únicamente las solteronas curiosas son lunáticas”

∀x[Lu(x) → So(x)]

P4:”Cualquier hombre no está enamorado a menos que no tenga novia”

∀x[H(x) ∧ En(x) → ¬No(x)]

Q:“Luego, hay solteronas curiosas que no son lunáticas”

∃x[So(x) ∨ ¬Lu(x)]



ARG-2 Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación

D={personas} Puri: pu Luis: lu Javier:ja

E(x): x estudia D(x): x hace deporte Pe(x): x es perezosa

Am(x,y): x es amigo de y Tr(x,y): x trabaja con y

Sentencias Fbf

P1: “Cualquiera que estudie y haga deporte es amigo de Luis”.

∀x[E(x) ∧ D(x) → Am(x,lu)]

P2: “Si Puri es perezosa no es amiga de Luis, pero sino lo es, trabajará con Javier.

[Pe(pu) → ¬Am(su,pu)] ∧ [¬Pe(pu) → Tr(pu,ja)]

P3: “Sabemos que nadie trabaja con Javier” ¬∃xTr(x,ja)

Q: Susanita no estudia o no hace deporte” ¬E(pu) ∨ ¬D(pu)

ARG-3 Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación

D={animales} Fu:fu Fa:fa

Ga(x): x es gato Gu(x,y): a x le gusta y

Sentencias Fbf P1: “A todos los gatos les gusta el queso o los ratones o ambas cosas”

∀x[Ga(x) → Gu(x,queso) ∨ Gu(x,rat)]

P2: “ Fu y Fa son gatos” Ga(fu) ∧ Ga(fa)

P3: “A nadie que le guste el queso le gusta el jamón ∀x[Gu(x,queso) →¬Gu(x,jam)]

P4: “Únicamente a los que les gusta la Coca-Cola les gustan los ratones”

∀x[Gu(x,rat) → Gu(x,coc)]

P5: “A Fa no le gusta lo que le gusta a Fu, y sí le gusta lo que no le gusta a Fu”

∀x[(Gu(fu,x) → ¬Gu(fa,queso)] ∧ ∀x[¬Gu(fu,x) → ¬Gu(fa,x)]

P6: “A Fa le gusta el jamón y la Coca-Cola” Gu(fa,jam) ∧ Gu(fa,coc)

Q: ¿Cual es el gato al que le gusta el queso y no le gustan los ratones?

∃x[Ga(x) ∧ Gu(x,queso) ∧¬Gur(x,rat)]

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