Les matematiques de les bombolles 13-14
-
Upload
treugenidors -
Category
Documents
-
view
29 -
download
0
Transcript of Les matematiques de les bombolles 13-14
-
[Les matemtiques de les bombolles ] Autora: Sara El Yaacoubi Curs: 2n Batxillerat
Tutor: Antonio Relao Institut: IES Eugeni dOrs
Departament: Matemtiques 2014
-
1
ndex
1.Introducci .............................................................................................. 2
2. Objectiu .................................................................................................. 5
3. Metodologia ........................................................................................... 6
4. Bombolla de sab, primeres preguntes i primeres observacions. .......... 7
5. Superfcie mnima ................................................................................. 10
5.1.Qu s una superfcie ? ................................................................... 10
5.2.Qu vol dir superfcie mnima? .................................................... 10
5.3.Experiments i observacions ................................................................ 12
6.Les lleis de Plateau ................................................................................ 17
6.1.Biografia de Plateau ........................................................................ 17
6.2.Les lleis de Plateau .......................................................................... 18
6.3.Experiments i observacions ............................................................. 23
7.Problema de Steiner .............................................................................. 26
7.1.Biografia de Steiner ......................................................................... 26
7.2.Qu s el problema de Steiner i en qu consisteix? ........................ 27
7.3.Experiments i observacions ............................................................. 30
8.Figures geomtriques que formen les pellcules de sab. Experiments i
observacions ............................................................................................ 35
9. Conclusi .............................................................................................. 67
10. Biografia ............................................................................................. 69
-
2
1.Introducci El meu treball tracta essencialment sobre les bombolles de sab,
concretament des dun punt de vista matemtic . Lany passat, al final de
de curs, ens van donar una llista de temes per escollir el nostre treball de
recerca. Jo no tenia ni idea qu escollir i com que magraden i sem donen
bastant b les matemtiques, volia fer alguna cosa que hi tingus a veure.
Llavors vaig anar a parlar amb el professor de matemtiques, lAntonio, i
aquest em va proposar a mi i a una altre companya aquest tema. Al
comenament em va estranyar molt, em semblava una tonteria que no
tenia res a veure amb les matemtiques, tot i que tamb, em semblava un
tema molt curis i interessant. Al principi ens va proposar dos tipus de
treballs diferents sobre el mateix tema, un tractava destudiar la fsica que
hi apareixen en les bombolles de sab, i laltre sobre la part matemtica,
que es la que vaig escollir jo.
Un cop escollit aquest tema, tot seguit, vaig comenar a buscar
informaci, a mida que anava llegint i sabent ms del tema, minteressava
ms. Em va semblar impressionant la quantitat de matemtiques que
intervenen en les bombolles de sab: la superfcie mnima, les lleis de
Plateau, el problema de Steiner,...
Al comenament mha costat molt encaminar el treball, no sabia per on
comenar. Llavors, el tutor del meu treball mhavia recomanat que
comences pels experiments, ja que era la part ms llarga i difcil. I
efectivament, fer els experiments es el que em va costar ms. Em va
costar trobar el material, i qual el vaig trobar havia de fer les dissolucions i
provar la que manava millor, fer les estructures, que al principi semblava
molt fcil per ho he agut dintentar moltes vegades. B, quan finalment
em van sortir les estructures vaig comenar els experiments al laboratori
de linstitut i amb lajuda del tutor. Alguns experiments hem van sortir a la
primera i daltres vaig haver de repetir-los moltes vegades.
Quan vaig buscar informaci sobre aquest tema em va sortir un concepte
anomenat superfcie mnima, aquest concepte s un apartat extens, no en
el sentit teric sin en el prctic, ja que apareix en tots els experiments.
Aquest apartat es fonamental perqu s el qu passa amb qualsevol
-
3
pellcula o bombolla de sab, que s del que tracta el meu treball. En
matemtiques es una superfcie que tendeix a disminuir al mnim l'rea
total de la seva superfcie i aix saplica a les bombolles de sab. Les
bombolles de sab poden ajudar a resoldre problemes matemtics molt
complexos sobre lespai amb aquesta propietat (superfcie mnima) , ja
que sempre busquen la menor rea possible de superfcie amb un contorn
determinat.
Les pellcules de sab ,com he dit abans, sempre minimitzen la seva rea
de la superfcie, s a dir, minimitzen la seva energia de la superfcie. La
esfera s la millor manera de dur a terme aquest procs quan no est
sotmesa a cap contorn.
Dintre de la superfcie mnima hi apareix una altre propietat matemtica,
les lleis de Plateau, que tracten dunes investigacions que va dur a terme
Joseph-Antoine Ferdinand Plateau, un fsic belga, amb pellcules i
bombolles de sab on va proposar tres lleis experimentals. La primera diu
que tres superfcies de pellcules de sab que suneixen en un mateix
punt sempre formen angles de 120, la segona dona a conixer que
quatre de les lnies, formades per lencreuament de tres superfcies, que
es creuen en un punt, l'angle que formen per cada parell d'elles s de 109
graus i 28 minuts. La tercera i ultima llei anomena que una superfcie de
sab que es pot moure lliurement sobre una superfcie que es creua,
forma un angle de 90 graus.
En aquest tema, tamb hi apareix el problema de Steiner que consisteix en
trobar l'arbre mnim, es a dir la mnima distancia on es poden unir tres o
ms punts. Aquest problema va ser proposat per Jacob Steiner, un
matemtic alemany que es centrava en la geometria, linteressant es que
les pellcules de sab sense saber matemtiques resolen perfectament
aquest problema. Com veurem ms endavant en el transcurs dels
experiments vaig anar comprovant tots aquests fets.
Els lquids tenen una propietat anomenada tensi superficial , que s la
tendncia que tenen les molcules a ajuntar-se al centre de la superfcie .
Aquesta propietat es pot observar, per exemple, amb lexperiment de la
mitja lluna. Aquest experiment suposa que quan en un lquid com l'aigua
-
4
barrejat amb sab hi submergim una estructura de filferro amb una
determinada geometria i amb un fil que penja a la part inferior, s'obt una
imatge en la qual el fil tendeix a ascendir , fent que la superfcie de la
bombolla de sab produda sigui la mnima possible i si intentem
augmentar la superfcie baixant el fil , aquest tendeix a tornar a la seva
posici inicial . La tensi superficial s la que tira del fil cap amunt .
Hi ha ms experiments que explicar en lapartat de la part prctica,
tamb hi veureu les fotos que vaig fer en el laboratori, ja que tot el
material que hi ha en el treball es original (les fotos, els vdeos...).
Jugant amb el sab i experimentant, a part de passar-mho molt b, com
podeu veure, vaig aprendre moltes coses.
-
5
2. Objectiu Objectiu principal:
El meu objectiu principal era estudiar els aspectes matemtics relacionats
amb les bombolles i pellcules o superfcies de sab des dun punt de vista
teric i prctic.
Objectius ms especfics:
- Contestar les primeres preguntes sobre les bombolles de sab i observar-
les.
- Estudiar la superfcie mnima
- Investigar les lleis de Plateau
- Estudiar el problema de Steiner
- Investigar factors i propietats de laigua i el sab que intervenen en les
bombolles de sab
- Construir figures geomtriques per observar les teories (superfcie
mnima, lleis de Plateau, problema de Steiner...)
- Experimentar, gravar i fotografiar per confirmar les teories, lleis,...
- Utilitzar diversos mtodes per calcular la catenria,...
-
6
3. Metodologia
Primer vaig comenar a buscar tota la informaci possible de diferents
fonts i vaig comparar-les. Tot seguit vaig fer una selecci de tota la
informaci que vaig creure que era important. A continuaci vaig intentar
entendre tota la informaci i escriure-la amb les meves prpies paraules.
En la part experimental he buscat informaci sobre la superfcie mnima i
els experiments que podria fer. Tamb vaig buscar el material i el
procediment que havia de fer per poder-los dur a terme. Tamb vaig
haver dinvestigar els elements que intervenen en les bombolles de sab,
perqu tinguessin ms resistncia i millor consistncia per poder fer b els
experiments. Al comenament em va costar perqu es un tema poc
conegut i no es fcil trobar informaci, per poc a poc vaig anar trobant
bastant informaci interessant amb lajuda del professor.
El que em va costar ms va ser fer les estructures de filferro i les figures
geomtriques fetes amb palletes. Els primers assaigs no van sortir gaire
b perqu les figures no em sortien per amb ms practica vaig anar
millorant i finalment em van sortir, encara que em port molt de temps
en fer-les. Desprs daquest procs vaig comenar a filmar i fotografiar els
experiments.
-
7
4. Bombolla de sab, primeres preguntes i
primeres observacions.
Les preguntes inicials que havia de respondre, sn les que estan ms
relacionades amb la meva experincia amb les bombolles de sab:
- Qu s una bombolla?
- Per qu fem servir sab, i altres productes?
- Quines formes adquireix?
o Per que s esfrica si est a laire?
o Perqu adquireix altres formes el sab si obtenim una
pellcula ?
Una bombolla de sab s una proporci daire envoltat per una pellcula
daigua i un element tensioactiu, en aquest cas el sab, en forma
desfera . El volum de la bombolla de sab es determina a partir de la
quantitat daire emmagatzemada al seu interior. La esfera s la superfcie
que emmagatzema menys energia, es a dir, es la que ocupa menys
superfcie. Qui provoca aquest efecte s la tensi superficial.
La tensi superficial s lefecte fsic que tenen els lquids, i aix causa que
la superfcie posseeixi propietats elstiques. Laigua, quan reposa en un
receptacle, forma una superfcie quasi plana que pot deformar-se sense
trencar-se, a ms a ms, pot aguantar petites tensions i diminuts pesos.
Totes les molcules de les que est feta la substancia, satreuen les unes a
les altres, per amb una petita fora, ja que laigua i tots els lquids tenen
la propietat de contenir una capa elstica. Com acabo de dir, les molcules
satreuen entre si en totes les direccions, per les molcules que estan a
la superfcie noms reben la fora de les de sota i les laterals perqu no
tenen altres molcules que les atreguin.
-
8
En altres paraules, es forma una fina capa que s atreta fortament cap al lquid, aquest esdeveniment fa que sigui ms difcil travessar aquesta fina capa.
Les bombolles aparentment sn transparents si les mires b tenen colors,
aquests colors sn producte de la " interferncia " de les ones de la llum
que reboten en les dues cares de la bombolla de sab ( l'externa i interna
) , com que la bombolla no t un gruix constant les ones es creuen entre si
en diferents fases i aix genera que es cancellin les ones i es formin
diferents colors (fenomen d'interferncia en la llum ).
Fem servir el sab i altres productes per poder formar bombolles de sab
ms duradores i ms grans. Per entendre per qu es formen les bombolles
cal analitzar el que passa quan utilitzem la frmula que fem servir, s a dir,
laigua i el sab, tamb podem afegir glicerina.
El que passa realment perqu es formin les bombolles es que les
molcules d'aigua en barrejar-se amb les del sab, es fan ms elstiques,
ja que el sab dona elasticitat per la combinaci de la tensi superficial i
l'efecte marangoni, quest efecte que fa que es distribueix la concentraci
de sab perqu la tensi superficial sigui la mateixa en tots els punts de la
pellcula de sab. La glicerina s'afegeix per disminuir l'evaporaci i fer mes
duradores les bombolles i permet que no es trenquin rpidament, tamb
fa que la substncia sigui ms flexible i fcil d'estirar. s a dir, la fora que
s'uneix a una molcula amb una altra disminueix i aix permet que
puguem veure com les bombolles s'eleven i esclaten.
Les bombolles en el fons i en termes fsics sn un contenidor de gas i la
llei de gasos diu que tot gas exerceix una pressi constant i igual en
qualsevol part de l'interior del cos que el cont. s a dir la pressi s igual
en qualsevol punt dins del contenidor , el que passa s que aquest
contenidor no s " slid ", sin que s dinmic i flexible, i normalment
arriba a un punt d'equilibri entre la fora que el gas (aire ) exerceix sobre
les parets interiors de la bombolla en tractar d'expandir-se i la fora de la
bombolla en mantenir-se tancada (tensi superficial).
-
9
Llavors, s esfrica perqu la fora de contracci de la bombolla s igual
en qualsevol fragment de la paret interna de la bombolla , i la fora
d'expansi de l'aire tamb s igual en qualsevol fragment de la paret
interna, ambdues sn dinmiques. Llavors si tenim un cos que exerceix
una fora d'empenta igual en totes direccions i un altre que el cont
exercint una fora de contracci igual a tot direccions ... l'nica manera
que pot complir amb aquestes condicions s la esfrica.
En altres paraules, no hi ha motius pels quals una bombolla tingui ms
fora en un costat que en un altre (si est flotant), tampoc pot ser que
l'aire dins d'aquesta pressioni ms d'un costat que d'un altre. La fora es
reparteix per igual. En aquest cas la forma esfrica s la ms lgica.
Com a exemple a un altre nivell per les mateixes raons s el sol. El sol s
esfric perqu l'energia d'expansi s com d'un gas i la fora que ell cont
s la gravetat.
Vaig obtenir diversos tipus de pellcules de sab utilitzant diferents
filferros que van actuar com a suport.
En introduir un filferro a la dissoluci de sab i extreure'l amb molta cura
perqu no esclati, obtenim una pellcula de sab que s'agafa al contorn
del filferro. Per exemple, si introdum un filferro amb forma de
circumferncia obtindrem una superfcie plana en forma de cercle .
Una de les propietats que comparteixen les bombolles de sab s la
superfcie mnima. La pellcula de sab, per la fora de cohesi interna
de les molcules que la formen, tendeix a tenir lrea mnima possible
(tensi superficial) . s a dir , si els seves molcules es poden acostar ms
les unes a les altres fent disminuir lrea, ho faran.
Si fem servir una estructura de filferro que no sigui plana , tamb
obtindrem superfcies mnimes , per seran superfcies corbades. s a dir,
depn de la forma del filferro podem obtindr una superfcie o una altre,
per totes mnimes.
El meu objectiu com he explicat abans s estudiar els aspectes matemtics
que hi apareixen, per aix a continuaci desenvolupar per apartats
aquets aspectes.
-
10
5. Superfcie mnima Una de les propietats ms importants matemtiques relacionades amb les
pellcules de sab s el concepte de superfcie mnima. Ens haurem de
respondre unes quantes preguntes per poder dur a terme aquest treball.
5.1.Qu s una superfcie ?
Aquesta seria la primera pregunta que ens vendria al cap.
Jo crec que intutivament tots tenim una idea del qu s una superfcie. En
matemtiques una superfcie s una porci o subconjunt de naturalesa
bidimensional dins de l'espai ambient en qu vivim. Per aclarir lidea,
lespai en que vivim t naturalesa tridimensional, com nosaltres mateixos,
en el que distingim tres dimensions: lalada, lallargada i lamplada.
Tanmateix, dintre del mon tridimensional existeixen altres objectes
geomtrics de dimensions inferiors. La ms senzilla es la corba, una corba
s unidimensional perqu nomes ens podem desplaar sobre ella en una
direcci. Aix doncs, hi ha altres objectes geomtrics que son
bidimensionals que els anomenem superfcies, s a dir, proporcions de
lespai tridimensional que tenen naturalesa bidimensional. Una superfcie
t naturalesa bidimensional perqu en aquesta mateixa noms ens podem
desplaar en dos dimensions.
5.2.Qu vol dir superfcie mnima?
En matemtiques sentn per superfcie mnima a la superfcie que t
lrea mnima amb una corba tancada com a contorn.
En el cas que hem treballat nosaltres el contorn depn de la forma que li
donem al filferro. Aquesta propietat matemtica es deriva de l'efecte de la
tensi superficial que tenim en la barreja d'aigua i sab.
La tensi superficial s una fora en lrea(superfcie) que sencamina cap
a l'interior del lquid. En fer-ho el lquid es comporta com si estigus
envoltat per una membrana invisible.
-
11
Illustraci 1: Esquema de superfcie mnima (Esquema fet per mi)
Aix s exactament el que passa amb les bombolles i pellcules de sab.
Que quan es formen comencen a contraures fins al mxim per tenir la
mnima superfcie possible.
Quan vaig fer els experiments mitjanant la immersi d'un marc de filferro
en una soluci de sab, es va formar una pellcula de sab amb un lmit,
que en aquest cas va ser el marc de filferro, aquesta pellcula era
totalment llisa i tesa, perqu? Perqu s la superfcie amb la mnima rea
de totes les possibles que tenen com a contorn el filferro. Poden haver
diverses superfcies mnimes amb diferents rees, tot depn del lmit que
li posis, ja sigui filferro, palletes, etc. Tamb poden ser planes, corbades,
etc.
A continuaci hi ha exemples de superfcie mnima .
-
12
5.3.Experiments i observacions
Experiment de la mitja lluna
MATERIAL :
- Fil
- Filferro
- Sab (fairy)
- Glicerina
- Aigua
PROCEDIMENTS :
1. Elaborem un cercle incomplet de filferro i el completem amb un fil
sense tibar. Deixem un extrem per poder-la agafar.
2. Dissolem en un receptacle laigua, el sab i la glicerina.
3. Fiquem el semi cercle en la dissoluci i observem, tamb podem
moure el fil per veure com es contrau i intenta ocupar el mnim
espai.
OBSERVACINS:
En aquest experiment observem que encara que el sab tingui molt espai
per expedir-se , sempre intentar ocupar lespai ms redut possible. Les
molcules tendeixen a apropar-se unes a les altres, en el cas del contorn
del filferro no tenen prou fora per modificar-lo, per si en el cas del fil.
-
13
Illustraci 2: Estat inicial.
Illustraci 3: Al introduir-la en la dissoluci. Podem contemplar com el sab redueix la superfcie,
exemple de superfcie mnima.
-
14
Tamb podem comprovar el mateix:
1. Elaborant un cercle complet de filferro i el completem amb un fil
sense tibar. Deixem un extrem per poder-la agafar.
2. Dissolent en un receptacle laigua, el sab i la glicerina.
3. Ficant el cercle complet en la dissoluci
4. Petem lexterior del fil, tot seguit apropem els dos fils lligats al
filferro formant un cercle.
5. Observar
OBSERVACINS:
Quan movem el fil podem observar com es contrau i intenta ocupar el
mnim espai (superfcie mnima) i com es va adaptant a cada situaci nova
(en apropar els dos extrems del fil fent-los lliscar sobre el filferro).
Podeu veure els dos experiments en la nostre pagina web :
http://bombdesabo.blogspot.com.es/ (els vdeos 14 i 15).
-
15
.
illustraci 4.
-
16
illustraci 5.
-
17
6.Les lleis de Plateau Tal i com he comentat en la introducci en Plateau va experimentar
molt amb bombolles i pellcules de sab i va poder enunciar tres lleis
experimentals.
6.1.Biografia de Plateau
Joseph-Antoine Ferdinand Plateau va nixer a Brusselles, Blgica , el 14
doctubre del 1801 i va morir a Gant, Blgica, el 15 de setembre del 1883.
Va ser un fsic belga. En 1832 va inventar el fenaquistoscopi, un dels
recursos de la cinematografia.
Va dur a terme investigacions amb bombolles i pellcules de sab sobre
la capillaritat entre lmines primes lquides i en 1861 va demostrar que
les superfcies resultants sn mnimes. La realitzaci d'aquests resultats els
va enunciar mitjanant les lleis de Plateau.
Desprs de quedar-se cec, va dur a terme el seu estudi de les bombolles
de sab. Dissenyava els filferros i, amb la collaboraci de la seva dona i els
seus fills, que li explicaven les formes de les bombolles obtingudes, va
arribar a conclusions experimentals que va deixar recollides en una
coneguda monografia sobre el tema.
La resoluci matemtica del problema va trigar molt de temps en arribar i
no va ser fins a mitjans dels anys 70 on es van demostrar les tesis de
Plateau. Les lleis de Plateau expliquen l'estructura de les bombolles de
sab en les escumes i controlen amb quin angle es poden trobar les
pellcules de sab.
-
18
Ilustracin 6: Joseph-Antoine Ferdinand Plateau. Font: Google images
6.2.Les lleis de Plateau
Primera llei: "Tres superfcies de sab es creuen al llarg d'una lnia.
L'angle format pels plans tangents* a dues superfcies que es creuen , en
qualsevol punt al llarg de la lnia dencreuament de les tres superfcies, s
de 120 graus ".
A aquest tipus dangles que formen diversos plans en l'espai, se'ls dona el
nom dangles diedres. I efectivament, els angles que es formen sn
exactament de 120.
-
19
Ilustracin 7: Triple bombolla (Aqu vaig superposar angles de 120)
Plateau va descobrir qu passa quan diverses lamines de sab es troben
en un punt :
Segona llei: "Quatre de les lnies, totes formades per lencreuament de
tres superfcies, que es travessen en un punt i l'angle format per cada
parell d'elles s de 109 graus i 28 minuts".
Els angles triedres sn els angles tridimensionals, i sn els que es formen
en el vrtex d'un prisma (regular o irregular).
-
20
Ilustracin 8
Tot i que s molt difcil mesurar els angles amb lajut del programa
Geobebra he pogut mesurar aproximadament aquests angles:
-
21
illustraci 9
Amb valors raonables de 109,33 i 105,84 (pensem es molt difcil
aconseguir els angles perfectament en el pla de la foto).
-
22
Tercera llei: "Una pellcula de sab que es pot moure lliurement sobre
una superfcie creuada formant un angle de 90 graus".
Ilustracin 10: Semi esfera.
Tamb va treure la conclusi de que les pellcules de sab sn fetes de
superfcies senceres i llises.
Jean Taylor va demostrar, utilitzant la teoria de la mesura per estudiar
lrea de minimitzaci, que les diferents configuracions de les lleis de
Plateau sn inestables i l'escuma rpidament tendeixen a reordenar-se
perqu s'ajustin a aquestes normes.
-
23
6.3.Experiments i observacions
Volem visualitzar la forma que adquireix una pellcula sabonosa en una
estructura de un cub fet amb palletes de refresc. Les superfcies formades
sn "superfcies mnimes.
MATERIAL :
- Aigua
- Sab (Fairy)
- Glicerina
- 12 palletes de refresc
PROCEDIMENT :
1. Primer fem lestructura del cub amb les palletes i fil
2. Desprs fem la dissoluci de sab; fiquem en un recipient gran:
aigua, sab (millor fairy), una mica de glicerina, ja que dona ms
estabilitat a la dissoluci i fa mes resistents les pellcules de sab.
3. Introdum cada estructura de filferro i observem.
OBSERVACIONS:
En el cub podem observar amb claredat la segona llei de Plateau. "Quatre
de les lnies, totes formades per lencreuament de tres superfcies, que es
travessen en un punt i l'angle format per cada parell d'elles s de 109
graus i 28 minuts". Tamb s una superfcie mnima.
Tamb podem observar que les pellcules formades formen angles de
120.
Per visualitzar la tercera llei de Plateu vaig haurem de fer lexperiment
de diferents bombolles en contacte.
-
24
MATERIALS:
- Una Palleta de refresc
- Sab (fairy)
- Glicerina
- Aigua
- Plat
PROCEDIMENT:
1. Dissoluci: aboquem en un receptacle laigua, el sab i la
glicerina.
2. Agafem el plat i li posem una mica de la dissoluci.
3. Xuclem amb una palleta una mica de la dissoluci i bufem en el
plat.
4. Ens sortir una bombolla semicircular, la primera la fem una
mica gran. Tornem a xuclar una mica de la dissoluci amb la
palleta i bufem al costat de la primera bombolla, fent aix una
segona bombolla una miqueta ms petita. Repetim aquest
procediment fent una tercera bombolla de la mateixa mida de la
segona.
5. Observem.
OBSERVACINS:
Observem que ens surt la tercera llei de plateau : "Una pellcula de sab
que es pot moure lliurement sobre una superfcie creuada formant un
angle de 90 graus", un altre clar exemple de superfcie mnima.
I finalment per veure la tercera llei de Plateau haurem de fer al mateix
procediment que en lanterior experiment, noms que en comptes de fer
-
25
una semi bombolla dintre duna altre, haurem de fer tres semi bombolles
unides.
Primera llei de Plateau
Segona llei de Plateau
Tercera llei de Plateau
-
26
7.Problema de Steiner
7.1.Biografia de Steiner
Jakob Steiner va nixer a la vila de Utzenstorf, Cant de Berna el 18
de mar de 1796 i va morir l1 dabril de 1863 a Berna. Va ser un
matemtic sus.
Desprs de la publicaci al 1832 del seu Systematische
Entwickelungen va rebre un grau honorfic de la Universitat de
Knigsberg, grcies a la influncia de Jacobi (Carl Gustav Jacob Jacobi
1804-1851), que va promoure el 1834 la creaci d'una nova ctedra de
geometria a Berln amb el suport dels germans Alexander i Wilhelm
von Humboldt. Steiner va ocupar aquesta ctedra.
L'obra matemtica de Steiner es va centrar en la geometria, que va
desenvolupar. En el seu camp, va sobrepassar a tots els seus
contemporanis. Les seves investigacions es distingeixen per la seva
generalitzaci, la riquesa de les seves fonts i per les seves
demostracions. Ha estat considerat el major geni de la geometria pura.
-
27
7.2.Qu s el problema de Steiner i en qu consisteix?
El problema de Steiner consisteix en trobar l'arbre mnim que
interconnecta diversos punts d'una xarxa . Va ser proposat pel matemtic
alemany Jacob Steiner a principis del segle XIX .
Com que s un problema genric , engloba un ampli ventall de situacions i
problemes de telecomunicacions , transport...
D'aqu prov la seva importncia i l'inters que durant anys s'ha mostrat
en trobar una soluci vlida . I dic vlida perqu s'ha de valorar el
comproms entre el temps de resoluci , que pot arribar a dies per a casos
complexos, i els errors que es poden cometre en l'aproximaci. La soluci
ptima no s fcil de trobar en un temps raonable.
El problema de Steiner no es pot resoldre en poc temps. Pel que s'han
utilitzat mtodes heurstics, s a dir, un procs per poder resoldrel amb
ms detall. Aquest procs rep el nom d IDEAL que consisteix en
identificar el problema, definir i presentar-lo; explorar les estratgies
viables; avanar en les estratgies, aconseguir la soluci i tornar per
avaluar els efectes de les activitats. Tamb han fet una selecci del millor
mtode per fer servir i poder resoldre el problema. Era un problema molt
complex, per amb una mica d'aigua i sab es pot trobar la soluci.
En les solucions de Steiner les lnies segueixen angles de 120 com passa
amb el sab, en els experiments es veu millor.
Grcies a Steiner es poden trobar els punts que uneixen 4 punts amb la
distancia ms curta.
Per aclarir-ho ms he dibuixat diferents connexions que hi poden haver
entre quatre punts i he mesurat cada un dels cassos per comparar i veure
que la teoria quadra amb els clculs :
Per unir 4 punts :
He dibuixat un rectangle amb lalada de 10 cm i amb la longitud de 8 cm.
-
28
Illustraci 11: Aquesta seria la connexi entre quatre punts ms simple i amb ms distancia entre els
punts, de 36 cm per ser concrets. No hi ha un punt on es trobin els quatre sin que es connecten entre
s. La
Illustraci 12: La distancia dels punts on es troben s de 26 cm.
Illustraci 13: El punt on s troben els quatre punts t una distancia de 20 cm.
Illustraci 14: Arbre de Steiner. No hi ha connexi directa entre els punts (A,B,C i D), sin que els uneixen els punts de Steiner: S1 i S2 . Que sn per disminuir la longitud total dels lligams.
-
29
Illustraci 15: La distancia que uneix els quatre punts s de 18 cm.
Aix doncs, podem veure qu laportaci de Steiner permet unir diversos
punts amb la mnima distncia.
Poden haver diferents arbres de Steiner per a un conjunt donat de vrtexs
inicials, com per exemple el de tres punts.
Illustraci 16: Arbre de Steiner de tres punts.
Experimentant amb sab i aigua veurem ms endavant ms exemples.
-
30
7.3.Experiments i observacions
Per fer els experiments he utilitzat diferents estructures amb diferents
punts.
Per tots he utilitzat el mateix procediment i material noms canvia el
nombre de forats, femelles i cargols que es necessiten. En aquest apartat
he fet tres experiments. El primer per unir tres punts, el segon per unir
quatre i el tercer per unir sis punts.
MATERIAL :
- 2 Placas planes i transparents de plstic o de metacrilat, que siguin
iguals (placa 1 i placa 2)
- 4 Cargols de 3cm
- 12 Femelles
- Una broca i un trepant
- Aigua
- Sab (fairy)
- Glicerina
PROCEDIMENT :
1. Agafem les dos plaques planes i les fem un forat, als quatre extrems
amb una broca que sadapti als cargols mitjanant un trepant. Ens
quedaria 4 forats en cada placa. Desprs, agafem la placa 1 li posem
els 4 cargols en els forats, tot seguit situem la placa 2 a sobre de la
primera i les unim amb les femelles deixant un espai entre elles de 2
o 3 cm.
2. Preparem la dissoluci : dipositem en un recipient laigua, el sab i la
glicerina.
3. Fiquem lestructura en la dissoluci i bufem amb una palleta de
refresc, prviament introduda en una dissoluci de sab, en un dels
segments que uneix dos astes.
-
31
4. Observem.
En el de tres punts he necessitat 3 cargols de 3cm i 9 femelles, en el
de sis punts he necessitat 6 cargols de 3 cm i 18 femelles.
OBSERVACIONS:
En aquests casos podem observar que depn si bufem o xuclem es formen
diferents formes, aix doncs podem comprovar que totes les formes
intenten ocupar la mnima superfcie possible. I el ms important que
sempre es creen pellcules de sab amb la mnima distancia entre elles.
A continuaci he posat unes fotos que vaig fer al laboratori i a casa per veure els experiments .
illustraci 17: Arbre de Steiner, tres punts.
-
32
illustraci 18: Arbre de Steiner, quatre punts
-
33
illustraci 19: Arbre de Steiner, sis punts.
-
34
illustraci 20: Amb el Geogebra hem obtingut angles de 120 ....
-El problema de Steiner es til per dissenyar una circuit, carretera,
conducci amb el mnim de recorregut que uneix els punts que vulguem.
Tamb t aplicacions en el disseny de circuits elctrics i xarxes de
telecomunicacions.
-
35
8.Figures geomtriques que formen les
pellcules de sab. Experiments i
observacions
Abans de veure les figures geomtriques, hi ha una pregunta qu ens hem
de fer sobre totes aquestes que hi apareixen:
- Perqu s creen les pellcules de sab quan endinsem les
estructures en la soluci?
Doncs b, aquestes s formen perqu lrea d'un lquid es comporta com
una membrana estirada a causa de la tensi superficial. La tensi
superficial s causa per les forces que es comporten sobre les molcules
de la superfcie d'un lquid. Dins d'un lquid , una molcula es troba tota
envoltada per molcules i a conseqncia daix s atreta cap a dins del
lquid per les molcules que l'envolten. Aquesta fora d'atracci tendeix a
arrossegar les molcules de la superfcie cap a l'interior del lquid. Llavors
el sab t l'efecte de disminuir la tensi superficial de l'aigua per permet
que les pellcules de sab siguin ms estables. Les pellcules de sab fan
mnima l'rea de la superfcie i mnima la seva energia potencial, i aix les
fa ms estables. La formaci d'una pellcula de sab necessita energia i
aix doncs la superfcie tendeix a contreures per minimitzar aquesta
energia. Fenomen conegut com superfcie mnima.
Aix saplica a totes les figures que hi ha a continuaci.
Desprs de fer els experiments amb les pellcules de sab he pogut trobar les
segents figures geomtriques:
-
36
Pellcules de sab que s formen amb el tetraedre :
Qu s un tetraedre?
Per entendre com es formen les pellcules de sab, primer hem de saber
qu s un tetraedre. Un tetraedre s un poliedre de quatre cares (convex),
i les seves cares triangulars, trobant-se tres d'elles en cada vrtex. Si les
quatre cares del tetraedre sn triangles equilters, iguals entre si, es
denomina tetraedre regular. El tetraedre s el smplex tridimensional.
EXPERIMENT:
s un experiment sobre superfcie mnima , energia i tensi superficial
realitzat amb palletes en forma de tetraedre i una barreja sabonosa.
MATERIALS:
- 6 palletes de refresc de 8 cm
- Sab (Fairy)
- Aigua
- Glicerina
PROCEDIMENT:
1. Primer agafem les palletes de refresc i construm un tetraedre
deixant un extrem per poder subjectar-lo
2. Tot seguit preparem la dissoluci de sab : agafem un recipient
amb aigua (la que necessitem) , li afegim sab (fairy
preferiblement) i glicerina per donar estabilitat a les pellcules
de sab. Podem posar la quantitat que veiem necessria.
3. Introdum el tetraedre en la dissoluci.
4. Observem el qu passa i traiem conclusions.
-
37
OBSERVACINS:
Desprs de submergir l'estructura explicada anteriorment en la dissoluci
sabonosa i treure-la, he pogut veure com es formen unes lmines planes
de sab i vaig veure que hi ha un punt on es troben les 3 pellcules de
sab, aquest punt era el centre del tetraedre, i shan format sense trencar-
se.
En aquest cas, del tetraedre, es formen sis lmines o pellcules de sab
que es sostenen en les vores de les palletes de la figura . Aquestes lmines
es tallen en quatre arestes i les arestes es troben en un punt en el centre
del tetraedre.
En aquesta figura tamb hi apareix la segona llei de Plateau:"Tres
superfcies de sab es creuen al llarg d'una lnia. L'angle format pels plans
tangents a dues superfcies que es creuen , en qualsevol punt al llarg de la
lnia dencreuament de les tres superfcies, s de 120 graus ".
Illustraci 21: pellcules de sab que es creen en un tetraedre.
-
38
Illustraci 22: Aqu podeu contemplar els tres angles de 120.
triangle curvilini:
Qu s?
El triangles curvilini es un triangle que t tots els seus costats formats per
arcs.
EXPERIMENTS:
MATERIAL :
- 2 Placas planes i transparents de plstic o de metacrilat, que siguin
iguals (placa 1 i placa 2)
- 3 Cargols de 3cm
- 9 Femelles
- Una broca que i un trepant
- Aigua
- Sab (fairy)
-
39
- Glicerina
PROCEDIMENT :
1. Fem la estructura : agafem les dos plaques planes i les fem un forat, a
dos extrems i un en mig amb una broca que sadapti als cargols
mitjanant un trepant. Ens quedaria 3 forats en cada placa. Desprs,
agafem la placa 1 li posem els 3 cargols en els forats, tot seguit
situem la placa 2 a sobre de la primera i les unim amb les femelles
deixant un espai entre elles de 2 o 3 cm.
2. Preparem la dissoluci : dipositem en un recipient laigua, el sab i la
glicerina.
3. Endinsem lestructura en la dissoluci i bufem amb una palleta de
refresc, prviament introduda en una dissoluci de sab, en el
segment que uneix les tres astes, aix es forma el triangle curvilini.
4. Observem.
Tamb ho podem fer daquesta manera :
MATERIALS:
- 10 Palletes de refresc
- Tisores
- Fil
- Agulla
- Sab (fairy)
- Glicerina
- Aigua
- Filferro
-
40
PROCEDIMENT:
1. Agafem les palletes de refresc i li tallem, amb unes tisores, a
cada una 8 cm. A continuaci fem un forat a cada extrem de les
9 palletes per introduir un fil i unir-la amb una altre, seguim aix
successivament fins fer un triangle 3D. Desprs enganxem un
tros de fil ferro per poder subjectar el tub.
2. Fiquem el triangle en la dissoluci de sab, aigua i glicerina.
3. Quan triem la estructura de la dissoluci bufem amb una
palleta de refresc, prviament introduda en una dissoluci de
sab, en el segment que uneix les tres.
4. Observem.
Podem observar el mateix que lanterior experiment.
OBSERVACIONS:
En submergir el tetraedre obtinc el mateix que vaig obtenir anteriorment,
per quan agafo la palleta, prviament introduda en una dissoluci, i bufo
en el punt on es troben les lamines de sab, s crea un triangles curvilini.
Aix passa perqu quan introdueixo aire sexerceix una pressi constant a
linterior i arriba a un punt dequilibri entre la fora que laire actua sobre
les parets interiors del triangle quan vol expandir-se i la fora del triangles
que vol mantenir-se tancat. Llavors, com que les lamines que es formen
principalment en el tetraedre no es trenquen i continuen tibant per la
tensi superficial, al introduir aire es creen arcs, que ve a ser el triangle
curvilini.
-
41
Illustraci 23: Triangle curvilini en un tetraedre.
Illustraci 24: Triangles curvilini en les plaques planes.
-
42
La cinta de mbius ( cinta de mebius):
Qu s?
Una Cinta de Mbius o Banda de Mbius (Mebius) s una superfcie amb
una sola cara i una sola vora. Es tracta d'una superfcie de dues
dimensions no orientable amb noms un costat quan est submergit en
l'espai tridimensional. Va ser descoberta de forma independent pels
matemtics alemanys August Ferdinand Mbius 1 i Johann Benedict
Listing2 al 1858.
La cinta de Mebius t tres propietats:
- Superfcie duna sola cara.
-Superfcie duna sola vora: Es pot comprovar fcilment seguint la vora amb el dit i veient que arribem on havem comenat per havent recorregut tota la vora de la superfcie. -superfcie no orientable: s a dir, en un mateix punt tenim dues orientacions diferents.
1 August Ferdinand Mbius: va nixer el 17 de novembre de 1790, a Schulpforta, Saxnia,
Alemanya i va morir al 26 setembre de 1868, a Leipzig. Va ser un matemtic alemany i
astrnom teric. s molt conegut pel seu descobriment de la Cinta de Mbius, al costat del
matemtic alemany Johann Benedict Listing. Era descendent de Mart Luter.
2 Johann Benedict Listing: va nixer el 25 de juliol de 1808, a Frankfurt, i va morir el 24 de
desembre de 1882, a Gttingen. Va ser un matemtic aleman . El 1847 public Vorstudien zur
Topologie . En 1858 descobreix les propietats topolgiques del que actualment es coneix amb
el nom de Cinta de Mbius
-
43
EXPERIMENT:
MATERIAL :
- Filferro
- Sab (fairy)
- Glicerina
- Aigua
PROCEDIMENT :
1. Agafem un tros de filferro recte, subjectem el filferro pels
extrems, girem un dels extrems i lunim amb laltre que no esta
girat fent un cercle, aquesta seria la cinta de Moebius. Deixant
sempre un extrem per poder subjectar-lo.
2. Preparem la barreja daigua, sab i glicerina en un vas gran, a
continuaci introdum la cinta de Moebius en aquesta i quan
la traiem fem esclatar el segment de sab del mig.
3. Observem el que passa.
OBSERVACINS:
Quan introdueixo la cinta, tota la superfcie queda coberta per lamines de
sab. Quan petem la lamina del mig veiem com es crea automticament la
cinta de Mebius. Comprovem que la superfcie s duna sola cara i una
sola vora, tamb que s una superfcie no orientable. s un exemple de
superfcie mnima i tensi superficial.
Podeu veure el vdeo en la nostre pagina web : http://bombdesabo.blogspot.com.es/ (vdeo
13).
-
44
Illustraci 25: Cinta de Mebius. Es veu clarament la pellcula de sab.
-
45
Illustraci 26: Cinta de Mebius.
-
46
La catenoide
Qu s?
La catenoide s la superfcie que s'obt per rotaci d'una catenria al
voltant d'un eix coplanar, perpendicular a l'eix de simetria i que no la talli.
s una superfcie mnima, ja que la pellcula de sab esta sotmesa a la
tensi superficial.
Illustraci 27: Esquema catenoide.
La catenria en matemtiques s la corba que adopta forma duna
cadena, corda o cable perfectament flexible, amb massa distribuda
uniformement per unitat de longitud.
Lequaci de la catenria t la funci estndard que s : y=a*cosh(x/a),
on: y s la coordenada cartesiana y, x s la coordenada cartesiana
x, cosh s la funci del cosinus hiperblic i a s el factor descala.
Podeu observar lefecte del factor descala en forma de catenria. Aquest
factor podria estar pensat com el quocient entre la tensi horitzontal en el
cable i el seu pes per unitat de longitud. s a dir, un equilibri entre les
forces verticals i les forces horitzontals, sense la variaci de la longitud de
cada tram encara que estigui sotmesa a forces.
-
47
Els primers matemtics que van plantejar el problema van suposar que la
corba era una parbola. Huygens, als 17 anys, va demostrar que no ho era,
per no va trobar l'equaci de la catenria.
L'equaci va ser donada per Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens i
Johann Bernoulli en 1691.
EXPERIMENT:
MATERIALS:
- Aigua
- Sab (fairy)
- Glicerina
- Filferro
PROCEDIMENT:
1. Primer agafem dos trossos de filferro, tot seguit subjectem per
cada un dels extrems del 1r tros de filferro i lunim fent un cercle ,
llavors fem el mateix amb laltre tros. Ens quedar 2 cercles.
2. Preparem la dissoluci daigua, sab i glicerina.
3. Aguantem els dos cercles de filferro de la mateixa mida que hem
fet avan i subjectem un a cada m i posem un sobre laltre
deixant uns centmetres despai, i els introdum en la dissoluci de
sab unides com si fossin un sol cercle.
4. Observem.
OBSERVACINS:
Quan les vaig treure de la dissoluci, vaig petar la lamina del mig i a
mida que anava separant les anelles de filferro sanaven creant la
catenoide i les catenries , on la h i la a variaven. Com ms gran era la
h ms petita s feia la a fins que arribava a un punt on es separaven i
desapareixia la catenoide.
Ho vaig provar amb diferents mides de cercle de filferro.
-
48
Illustraci 28: Catenoide (h,a)
-
49
I per observar les variacions que es feien vaig fer una taula de valors de h i
a :
N a(cm) h(cm)
1 65 1
2 59 25
3 55 35
4 5 4
5 42 42
6 32 42
7 2 38
-
50
Com podem comprovar amb les segents imatges (cada quadrat s 1cm) :
Illustraci 29: Catenoide (mesures 1,2)
-
51
Illustraci 30: Catenoide (mesures 3,4)
-
52
Illustraci 31: Catenoide (mesures 5,6,7)
-
53
Tot seguit vaig utilitzar el programa Geogebra per veure si la taula que
vaig preparar prviament observant les imatges que vaig obtenir al
laboratori quadra amb la formula de la catenria [f(x)= x*arcosh(R/x)]
Primer vaig introduir les dades:
R(radi) = 6.5 + ENTER
Tot seguit la formula : [f(x)= x*arcosh(R/x)] +ENTER
Desprs vaig identificar cada punt per A1,A2...A7 amb les seves dades de
la taula de valors:
[Ax=(a,h)]
A1=(6.5, 1) + ENTER
A2=(5.9,2.5) + ENTER
I aix successivament fins a completar tots els punts...
A7=(2,3.8) + ENTER
I podem veure com tot quadra :
Illustraci 32: Catenria. Aqu podem observar que la teoria s demostrable en la practica.
-
54
Per assegurar-me del tot vaig fer una funci duna catenria i vaig
comprovar que s igual que les imatges de la segent manera :
Primer introdum el radi :
R=6.5 + ENTER
Tot seguit li donem un nombre a la a que sigui del 0 al 6.5, i desprs li
donem a clic dret i seleccionem propiedades del objeto. A continuaci
cliquem en deslizador i introdum en la casella de Min: 0 , i en la
casella de Mx : 6.5
aix
Llavors ens sortir com una mena de recta amb un punt que hi posa a,
aquest punt ens servir per poder observar el comportament de la
catenria. Aix mateix introdum la funci : [f(x)= a*cosh(x/a)] + ENTER
La formula inicial era [R=a*cosh(h/a)] i la que necessitem s la formula de
la h, llavors, per aconseguir-la allem la h de la formula inicial. Quan ho
fem introdum la formula de la h, que seria [h=a*arcosh(R/a)] + ENTER
Desprs daix ens sortir la catenria de dalt .
Tot seguit fiquem [x=h] perqu ens pugui dibuixar el lmit dret de la
catenria. A continuaci fiquem la segona funci que s la mateixa que la
f(x) anterior per negativa perqu ens surti la segona catenria en la part
de baix, s a dir : [g(x)= -f(x)] + ENTER
-
55
I finalment introdum [x= -h] perqu ens dibuixi el lmit esquerra que
representaria el filferro.
Ara a mida que anem movent la a de la recta la catenoide canviar. Aqu
us deixo uns exemples :
Illustraci 33: Catenoide Geogebra.
-
56
Illustraci 34: Aix doncs, s veu clarament que com ms petita s fa la a ms gran es torna la h.
I per finalitzar he agafat unes quantes imatges que vaig fer al laboratori i
les he comparat amb la funci que surt i aquests van ser els resultats:
-
57
illustraci 35.
-
58
OBSERVACINS: la teoria quadra raonablement amb els experiments.
-
59
Superfcie de scherk
Qu s?
La superfcie de Scherk s un exemple d'una superfcie mnima.
Scherk 3 descriu dues superfcies mnimes al 1834, la seva primera
superfcie s una superfcie doblement peridica, la seva segona superfcie
s individualment peridica. Les dues superfcies sn parell luna de laltre.
Quan dic parell, hem refereixo a que sn d'un sol parmetre de
superfcies mnimes que comparteixen les mateixes dades de Weierstrass
data (una pea fonamental de disciplina que utilitza les tcniques del
clcul diferencial i el clcul integral, per estudiar els problemes de la
geometria).
3 Heinrich Scherk: Heinrich Scherk: Heinrich Ferdinand Scherk va nixer el 27 doctubre de 1798
i va morir el 4 doctubre de 1885. Va ser un matemtic alemany destacat pel seu treball en
superfcies mnimes i la distribuci dels nombres primers. Tamb va ser el director de la tesi
d'Ernst Kummer. Al 1825 va publicar els seus quatre tractats matemtics a Berln.
-
60
EXPERIMENT:
MATERIALS:
- 10 Palletes de refresc
- Tisores
- Fil
- Agulla
- Sab (fairy)
- Glicerina
- Aigua
- Filferro
PROCEDIMENT:
1. Agarrem les palletes de refresc i li tallem, amb unes tisores, a cada
una 6,7 cm. A continuaci fem un forat a cada extrem de cada
palleta per introduir un fil i unir-la amb una altre, repetim aquest
procediment fins fer un cub de 3D sense acabar.
2. Desprs enganxem un tros de fil ferro per poder subjectar el tub.
3. Finalment introdum lestructura en la dissoluci de sab, aigua i
glicerina, i fem esclatar una de les parts del cub.
4. Observem.
OBSERVACINS:
Quan vaig treure lestructura no hem sortia la superfcie de scherk
directament sin que vaig haver danar provant i trencant lmines fins que
em va sortir.
Es forma com una mena de superfcie tridimensional que la miris per on la
miris t forma de catenria. Exemple de superfcie mnima.
-
61
Illustraci 36: Superfcie de Scherk.
-
62
Paraboloide hiperblic
Qu s?
Una paraboloide s una qudrica. s una s una superfcie tridimensional i
doblement reglada, s a dir que t dues rectes, anomenades generatriu, i
quan es desplacen sobre una o ms corbes, sanomenen directrius.
Aquesta superfcie es pot construir a partir de rectes. Per la seva
aparena, tamb li donen el nom superfcie de cadira de muntar.
MATERIALS:
- 10 Palletes de refresc
- Tisores
- Fil
- Agulla
- Sab (fairy)
- Glicerina
- Aigua
PROCEDIMENT:
1. Agafem les palletes de refresc i li tallem, amb unes tisores, a
cada una 6,7 cm. A continuaci fem un forat a cada extrem de
les 9 palletes per introduir un fil i unir-la amb una altre, seguim
aix successivament fins fer un triangle 3D.
2. Fiquem el triangle en la dissoluci de sab, aigua i glicerina.
3. Quan triem la estructura de la dissoluci trenquem amb una
agulla una de les parets.
4. Observem.
OBSERVACIONS:
-
63
Al treure el tetraedre, vaig comenar a provar esclatant lmines fins que
em va sortir. Vaig observar que era una superfcie tridimensional amb
forma de cadira de muntar. s una superfcie mnima.
Illustraci 37: Paraboloide hiperblic.
-
64
Octaedre (Rosa dels vents)
Qu s?
Loctaedre s un poliedre de vuit cares . Amb aquest nombre de cares pot
ser un poliedre convex 4 o un poliedre cncau5.
MATERIALS:
- 12 Palletes de refresc de 8 cm
- Tisores
- Fil
- Agulla
- Sab (fairy)
- Glicerina
- Aigua
PROCEDIMENT:
1. Agafem les palletes de refresc fem un forat a cada extrem de cada
palleta per introduir un fil i unir-la amb una altre, repetim aquest
procediment fins fer un octaedre.
2. Introdum lestructura en la dissoluci de sab.
3. Observem
4 Poliedre convex: s un cos geomtric que les seves cares sn planes i tanquen una grandria
limitada que t una zona que s'assembla a l'exterior d'una circumferncia.
5 Poliedre cncau: s un cos geomtric que les seves cares sn planes i tanquen una magnitud
finita que t una part que s'assembla a la zona interior d'una esfera.
-
65
OBSERVACINS:
En introduir aquesta figura en la dissoluci quan la movem dun costat a
laltre podem comprovar que al centre es forma com una mena de
brixola o tamb anomenada rosa dels vents.
Tamb es pot veure que s com una fusi duna forma de brixola i un
octaedre.
-
66
Illustraci 38: Rosa dels vents.
-
67
9. Conclusi
Finalment he pogut aconseguir els meus objectius i per cada objectiu he
arribat a les conclusions que hi ha a continuaci :
- Estudiar la superfcie mnima:
1. Aquesta propietat matemtica es deriva de l'efecte de la tensi
superficial que es troba en la barreja d'aigua i sab.
2. El sab t lefecte de disminuir la tensi superficial dels lquids
permetent la creaci de pellcules de sab amb la tendncia de
situar-se en superfcies mnimes, s a dir, minimitzant al mxim la
seva rea.
3. Les bombolles de sab poden ajudar a resoldre problemes
matemtics molt complexos sobre lespai amb aquesta propietat
(superfcie mnima) , ja que sempre busquen la menor rea possible
de superfcie entre dos punts.
- Investigar factors i propietats de laigua i el sab que intervenen en
les bombolles de sab:
1. Laigua i el sab sn els principals factors que intervenen en les
bombolles de sab.
2. Les molcules d'aigua en barrejar-se amb les del sab, per la
combinaci de la tensi superficial i l'efecte marangoni, es fan
ms elstiques, i permet que en fer les bombolles no es
trenquin rpidament i que la substncia sigui ms flexible i fcil
d'estirar.
3. La superfcie duna bombolla esta composta per ions de sab
separats per molcules d'aigua. L'amplada de la pellcula de
sab decreix fins a aconseguir una superfcie equilibrada. I
cadascuna de les superfcies mnimes t una tensi superficial
associada que s la causa de que la bombolla sigui esfrica.
-
68
- Construir figures geomtriques per observar les teories (lleis de
Plateau, problema de Steiner, doble bombolla...):
1. Vaig construir diferents estructures de filferro i algunes de
palletes.
2. Vaig preparar diferents dissolucions daigua i sab.
3. Al laboratori amb les estructures i les barreges he pogut
observar les lleis de Plateau, trobar larbre de Steiner amb
diferents punts, contemplar les superfcies mnimes i lefecte de
la tensi superficial.
4. He conegut noves superfcies, com la de Scherk, la cinta de
Mebius i el paraboloide hiperblic.
- Experimentar, gravar i fotografiar per confirmar les teories, lleis,...:
1. He pogut fer tots els experiments que hem vaig plantejar al
comenament .
2. Vaig poder gravar els experiments posant en prctica la
teoria i vaig fotografiar els resultats importants.
- Utilitzar diversos mtodes per calcular la catenria,...:
1. Primer vaig agafar totes les fotos de la catenoide que vaig fer
en els meus experiments i desprs he calculat la a i la h i vaig
fer una taula de valors.
2. Desprs vaig fer els clculs a un programa anomenat
Geogebra i vaig posar una foto per comparar si la teoria
coincidia amb la practica.
-
69
10. Biografia
- www.Wikipedia.com
- http://verso.mat.uam.es/web/index.php?option=com_docman&task=doc_download&
gid=99&Itemid=78%E3%80%88%3Des&lang=es
- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=31&cad=rja&ved
=0CC8QFjAAOB4&url=http%3A%2F%2Falbertofest.matcuer.unam.mx%2FMisc39%2F
Galaz_f.pdf&ei=35TUUqSRIoWe0QWjpYCgBQ&usg=AFQjCNHBSkZrrVpiehOxYiv9i98V
CllQKA&sig2=XTDtg2uNorCRi2WVNhaGXw
- http://topologia.wordpress.com/2013/02/24/superficies-de-scherk/
- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=
0CDAQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.mat.ub.edu%2Ffuturs_ub%2Factivitats%2FM
atefest%2F2012%2Ftriptics%2FG14_Bombollessab%25C3%25B3.pdf&ei=IZXUUqOyD
qS50QW0rIHgCA&usg=AFQjCNHjv-
bJvgFEQETjQCZWaHv0RlHTnw&sig2=ORJjHzfsE5d88Gj4znMNBQ
- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=10&cad=rja&ved
=0CHAQFjAJ&url=http%3A%2F%2Fwww.xena.ad%2Flcf%2Fmars2012%2Fbulles%2Fpl
ateau-c.doc&ei=IZXUUqOyDqS50QW0rIHgCA&usg=AFQjCNGem6DsfRtTQUiM1c_ulI-
3UiaRjw&sig2=Xr10Wqb54v-v33fjhiIilw
- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&ved=
0CDgQFjAB&url=http%3A%2F%2Fneo.lcc.uma.es%2Fpdf-
charlas%2Fgsp.pdf&ei=ZJXUUrjzIoTK0QWMtIDYCA&usg=AFQjCNFhADiZ8u_JEHtiwnC
_aYMnyGBeYw&sig2=LU5wf1xi-HkVKBI8hnT8Iw
- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&cad=rja&ved=
0CEsQFjAD&url=http%3A%2F%2Fwww.fing.edu.uy%2Finco%2Fgrupos%2Fcecal%2Fh
pc%2Fproyectos%2Famstp%2Fdocs%2FAMSTP.pdf.gz&ei=ZJXUUrjzIoTK0QWMtIDYCA
&usg=AFQjCNHPBha8DJ4ADaWgyKmPbljbtXEvZg&sig2=xudD6_9VJj6YLU6fF9dyRw
- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&cad=rja&ved=
0CFwQFjAF&url=http%3A%2F%2Fbibing.us.es%2Fproyectos%2Fabreproy%2F11542%
2Ffichero%2FCap%25C3%25ADtulo%2B2%25252Fel%2BProblema%2Bde%2BSteiner.
pdf&ei=ZJXUUrjzIoTK0QWMtIDYCA&usg=AFQjCNETp3s8Rply6tuAseP52vIQIwWdqw&
sig2=iNI9jzCeFcHXJTDipFX2vA
- https://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=7&cad=rja&ved=
0CEcQFjAG&url=http%3A%2F%2Fwww.ricardpeiro.es%2Fpoliedres%2Fcatenoide.ht
m&ei=tZXUUra5Mcin0AXyiYDoCg&usg=AFQjCNHKGc_c86YtXJ0mim1bxpvbZhV4Yg&si
g2=pKiI0xjVrSfK4wWxW2C-lQ