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Ley de Biot Savart. EjemplosSe dispone de una espira cuadrada de lado L, por la quecircula una intensidad de corriente i. Hallar el vector inducción magnética B producido por dicha espiraen el punto P situado sobre el eje de la espira a una distanciax del centro de la misma.

x

L/2

x

y

L

i

i

z

u

P

Resultado:

Eduardo Grumel - 2010

Ley de Biot Savart. EjemplosSolución:

Primeramente vamos a calcular el campo de inducción magnética B que genera uno de los lados de la espira cuadrada.

v

u

L/2i

r-L/2

α

γm

v

u

γB

dl

2

Ley de Biot Savart. Ejemplos

20

4 r

rldiBd

)rr ×⋅=

πµ

De la figura podemos deducir que:

20 sen

4 r

dlidB

απ

µ ⋅⋅=

22 vur +=

Recordemos la ley de Biot-Savart

Ley de Biot Savart. Ejemplos

v

utg =α

γγπα cos2

=

−= sensen

u

vtg =γ

( )γtguddvdl ⋅==

γγ dudv ⋅⋅= 2sec

r

u=γcos

3

Ley de Biot Savart. Ejemplos

20

20 cos

44 r

dvi

r

sendlidB

γπ

µαπ

µ ⋅⋅=⋅⋅=

Entonces:

2

20 cossec

4 r

duidB

γγγπ

µ ⋅⋅⋅⋅=

2

2

0

coscos

cos

4

⋅

⋅⋅⋅=

γγ

γγπ

µu

duidB

Ley de Biot Savart. Ejemplos

u

didB

γγπ

µ cos

40 ⋅⋅=

∫∫ ⋅⋅⋅⋅==

m

du

idBBlado

γ

γγπ

µ0

0 cos4

2

mlado senu

iB γ

πµ ⋅

⋅⋅=

20

De la figura encontramos que:

4

Ley de Biot Savart. Ejemplos

( )22

0

2/

2/

2 Lu

L

u

iBlado

+⋅

⋅⋅=

πµ

Con este resultado, hallamos el valor de la componente Bx,lado

( )22 2/

2/

Lu

Lsen m

+=γ

Ley de Biot Savart. Ejemplos

( )22

0

2/

2/

2 Lu

L

u

iBlado

+⋅

⋅⋅=

πµ

x

L/2

x

y

L

i

i

z

u

Blado

Bx,ladoβ

( )β

πµ

senLu

L

u

iB ladox ⋅

+⋅

⋅⋅−=

22

0,

2/

2/

2

5

Ley de Biot Savart. Ejemplos

u

Lsen

2/=β

x

L/2

x

y

L

i

i

z

u

Blado

Bx,ladoβPero:

( )22 2/Lxu +=

( ) ( ) ( ) u

L

LLx

L

Lx

iB ladox

2/

2/2/

2/

2/2 22

2222

0, ⋅

+

+

⋅+⋅

⋅−=π

µ

Ley de Biot Savart. Ejemplos

( ) 2/

4/

4/2 22

2

220

,Lx

L

Lx

iB ladox

+⋅

+⋅⋅−=

πµ

Considerando que cada lado contribuye al campo total de la misma forma.

( ) 2/

4/

4/244

22

2

220

,,Lx

L

Lx

iBB ladoxtotalx

+⋅

+⋅⋅−⋅=⋅=

πµ

( ) 2/

1

4/2 2222

20

,LxLx

LiB totalx

+⋅

+⋅⋅⋅−=

πµ