Ley de Fourier

Sea J la densidad de corriente de energía (energía por unidad de área y por unidad de tiempo), que se establece en la barra debido a la diferencia de temperaturas entre dos puntos de la misma. La ley de Fourier afirma que hay una proporcionalidad entre el flujo de energía J y el gradiente de temperatura.

J=K ∂T ∂x

Siendo K una constante característica del material denominada conductividad térmica.

Consideremos un elemento de la barra de longitud dx y sección S. La energía que entra en el elemento de volumen en la unidad de tiempo es JS, y la que sale es J’S. La energía del elemento cambia, en la unidad de tiempo, en una cantidad igual a la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente.

JS−J'S=− ∂J ∂x S dx

Esta energía, se emplea en cambiar la temperatura del elemento. La cantidad de energía absorbida o cedida (en la unidad de tiempo) por el elemento es igual al producto de la masa de dicho elemento por el calor específico y por la variación de temperatura.

( ρ Sdx )c ∂T ∂t

Igualando ambas expresiones, y teniendo en cuenta la ley de Fourier, se obtiene la ecuación diferencial que describe la conducción térmica

∂T ∂t =α ∂ 2 T ∂ x 2   α= K ρ c

Solución analítica

Supongamos una barra metálica de longitud L, conectada por sus extremos a dos focos de calor a temperaturas Tay Tb respectivamente. Sea T0 la temperatura inicial de la barra cuando se conectan los focos a los extremos de la barra.

Al cabo de cierto tiempo, teóricamente infinito, que en la práctica depende del tipo de material que empleamos, se establece un estado estacionario en el que la temperatura de cada punto de la barra no varía con el tiempo. Dicho estado está caracterizado por un flujo J constante de energía. La ley de Fourier establece que la temperatura variará linealmente con la distancia x al origen de la barra.

T a + T b − T a L x

Para describir el estado transitorio buscamos una solución de la forma T(x, t)=F(x)·G(t), variables separadas

∂T(r,t) ∂t =α ∂ 2 T(r,t) ∂ 2 x 1 α 1 G(t) dG(t) dt = 1 F(x) d 2 F(x) d 2 x =− ω 2

El signo negativo asegura el carácter transitorio.

Integramos la primera ecuación diferencial

dG(t) dt +α ω 2 G(t)=0 G(t)=G(0)·exp(−α ω 2 t)

Integramos la segunda ecuación diferencial

d 2 F(x) d 2 x + ω 2 F(x)=0

Es una ecuación diferencial similar a la de un MAS, cuya solución es a·sen(ωx+δ)

La temperatura en cualquier punto x a lo largo de la barra, en un instante determinado, T(x, t) es la solución de la ecuación diferencial, que es una combinación de dos términos, la que corresponde al régimen permanente más la del régimen transitorio.

T(x,t)= T a + T b − T a L x+ ∑ n=1 ∞ a n exp(−α ω n 2 t) sin( ω n x+ δ n )

Condiciones de contorno

En x=0, T(0, t)=Ta, temperatura fija del extremo izquierdo de la barra

0= ∑ n=1 ∞ a n exp(−α ω n 2 t) sin( δ n )   δ n =0

En x=L, T(L, t)=Tb, temperatura fija del extremo derecho de la barra

0= ∑ n=1 ∞ a n exp(−α ω n 2 t) sin( ω n L)    ω n L=nπ

El régimen variable general de temperaturas de la barra es

T(x,t)= T a + T b − T a L x+ ∑ n=1 ∞ a n exp( −α n 2 π 2 L 2 t ) sin( nπ L x )

Distribución inicial de temperaturas

Solamente, queda por determinar los coeficientes an, identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas en la barra T(x, 0)=T0 en el instante t=0.

T(x,0)= T a + T b − T a L x+ ∑ n=1 ∞ a n sin( nπ L x ) f(x)= ∑ n=1 ∞ a n sin( nπ L x )    f(x)=  T 0 − Ta − T b − T a L x

Más abajo, se proporcionan los detalles del cálculo de los coeficientes   a n del desarrollo en serie al lector interesado.

La temperatura en cualquier punto de la barra x, en un instante t, se compone de la suma de un término proporcional a x, y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.

T(x,t)= T a + T b − T a L x+ ∑ n=1 ∞ a n exp( −α n 2 π 2 L 2 t ) sin( nπ L x )   a n ={ 2 nπ (2 T 0 − T a −T b ) n impar 2 nπ ( T b − T a )  n par

El valor de α=K/(ρc) nos da una medida de la rapidez con la que el sistema alcanza el estado estacionario. Cuanto mayor sea α antes se alcanza el estado estacionario

Ley de Fourier

La conducción térmica está determinada por la ley de Fourier, que establece que el flujo

de transferencia de calor por conducción en un medio isótropo es proporcional y de sentido

contrario al gradiente de temperatura en esa dirección. De forma vectorial:

donde:

: es el vector de flujo de calor por unidad de superficie (W m-2).

: es una constante de proporcionalidad, llamada conductividad térmica (W m-1 K-

1).

: es el gradiente del campo de temperatura en el interior del material ( K m-1).

De forma integral, el calor que atraviesa una superficie S por unidad de

tiempo viene dado por la expresión:

El caso más general de la ecuación de conducción, expresada en

forma diferencial, refleja el balance entre el flujo neto de calor, el calor

generado y el calor almacenado en el material3

donde:

: es la difusividad térmica,

: es el operador laplaciano del campo de temperatura,

que mide el flujo neto de calor,

: es el calor generado por unidad de volumen,

: es la densidad del material,

: es el calor específico del material,

: es la variación de temperatura con el tiempo.

La ecuación de conducción, que es un caso particular de la ecuación de Poisson, se

obtiene por aplicación del principio de conservación de la energía.

El estado estacionario

La ecuación diferencial que describe la conducción térmica

ρ es la densidad c es el calor específico K es la conductividad térmica

En el estado estacionario la temperatura de los puntos de la barra no cambia con el tiempo, ∂T/∂t=0, ∂T/∂x es constante, de acuerdo a la ley de Fourier

El signo menos indica que la temperatura disminuye a lo largo de la barra: el foco caliente está en x=0, y el foco frío en x=L.

S es el área de la sección trasversal de la barra  dQ/dt es la potencia de la fuente de calor colocada en uno de los extremos de la

barra. K una constante característica del material denominada conductividad térmica.

En el estado estacionario t→∞

Conociendo la potencia de la fuente de calor, la temperatura fija T0 del extremo x=L y la temperatura T de dicho punto x de la barra podemos determinar el coeficiente K de conductividad térmica.

Ejemplo:

La potencia de la fuente de calor colocada en un extremo  de la barra es 4.0 W El otro extremo de la barra, se mantiene a la temperatura de un baño consistente

en una mezcla de hielo y agua T0=0 ºC La barra metálica es un cilindro de L=25 cm de longitud y r=5 mm de radio

El termómetro se coloca en la posición x=3 cm, y mide una temperatura máxima de T=53.6 ºC un tiempo suficientemente grande después de haber conectado la fuente de calor.

Se conecta la fuente de calor

La temperatura en cualquier punto x a lo largo de la barra, en un instante determinado, T(x, t) es una combinación de dos términos, la que corresponde al régimen permanente T(∞, x) más la del régimen transitorio.

Condiciones de contorno:

En x=L, T(L, t)=T0, temperatura fija del extremo derecho de la barra

En x=0, la potencia de la fuente calor dQ/dt=cte es constante, para todo t, que de acuerdo a la ley de Fourier equivale a

Derivamos la expresión de la temperatura T(x,t) respecto de x

Hemos determinado la fase δn, ahora las frecuencias angulares ωn valen

El régimen variable general de temperaturas de la barra es

Solamente, queda por determinar los coeficientes an, lo que se conseguirá identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas en la barra T(x, 0)=T0 en el instante t=0.

Hacemos la siguiente integración

Para integrar hacemos el cambio de variable z=πx/L, dz= πdx/L

Integramos dos veces por partes

De acuerdo con estos resultados, despejamos los coeficientes an del desarrollo en serie

Integramos de nuevo, por partes

Fijarse que a+bπ=0

Así, la temperatura en cualquier punto de la barra x, en un instante t, se compone de la suma de un término proporcional a x, y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.

En la figura, se representa la temperatura de un punto x de la barra en función del tiempo t, después de haber conectado la fuente de calor en el instante t=0. Alcanza una temperatura Tmáx después de un tiempo teóricamente infinito.

 

Se desconecta la fuente de calor

Ponemos el reloj a cero, t=0.

La distribución inicial de temperaturas corresponde al estado estacionario de la etapa anterior.

El estado estacionario se alcanza después de un tiempo infinito. Todos los puntos de la barra tienen la misma temperatura del baño T(x, ∞)=T0.

La temperatura en cualquier punto x a lo largo de la barra, en un instante determinado, T(x, t) es una combinación de dos términos, la que corresponde al régimen permanente T(∞, x) más la del régimen transitorio.

Condiciones de contorno:

En x=L, T(L, t)=T0, temperatura fija del extremo derecho de la barra

En x=0, se ha desconectado la fuente calor dQ/dt=0, para todo t, que de acuerdo a la ley de Fourier equivale a

Derivamos la expresión de la temperatura T(x,t) respecto de x

Hemos determinado la fase δn, ahora las frecuencias angulares ωn valen

El régimen variable general de temperaturas de la barra es la suma del estado estacionario más el estado transitorio

Solamente, queda por determinar los coeficientes an, lo que se conseguirá identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas T(x, 0) en la barra

Tenemos que calcular los coeficientes an de la función

Haciendo el cambio de variable z=πx/L, la función f(z) se escribe

Calculamos los coeficientes an de forma similar al caso anterior

El resultado es

En la figura se muestra, cómo la temperatura del punto x de la barra, estudiado en el apartado anterior, va disminuyendo con el tiempo hasta que alcanza la temperatura del baño térmico T0.

CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO

Considerando estado estacionario, se debe tomar en cuenta que no puede existir acumulación ni desaparición de calor en la pared, por lo que la velocidad de flujo de calor se ha establecido en forma estable creando una distribución de temperatura que no varia con el tiempo por consiguiente este flujo debe ser igual en cualquier punto de la pared.

Con esto se puede analizar casos de transmisión de calor en paredes simples de hornos, tuberías o depósitos esféricos, entre otros.

Si K es independiente de la temperatura, puesto que es una constante específica para cada material y A también es constante, las únicas variables de la ecuación correspondiente a la Ley de Fuorier son la temperatura T y la distancia y.

EJEMPLO DE CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO

Un reactor cilíndrico de acero inoxidable de espesor 6mm, tiene una temperatura exterior de 15ºC y temperatura interna es 35ºC, la densidad del medio nutriente es 1050kg/m3 y Cp de 1.3 cal/gºC. Determinar el tiempo de enfriamiento del equipo con y sin aislante. Calcular el espesor de aislante (lana de vidrio, corcho, lana de algodón) que se necesita para que el aislante se enfríe en 10horas. Las dimensiones del reactor se muestran en el siguiente gráfico.

Determinamos la variación de temperatura, el área y volumen del reactor.

Volumen:

Área:

Variación de temperatura:

Cálculo de velocidad de transferencia de calor - 

Cálculo del tiempo de enfriamiento sin aislante:

Cálculo del espesor para que el reactor de enfríe en 10 horas:

Esquema gráfico de Rw - Resistencia global:

R – Resistencia térmica

k – Conductividad térmica del material

A – Área

B – Espesor

Raislante – Resistencia del aislante

Racero – Resistencia del acero

Rw –Resistencia global

Cálculo de la resistencia del acero:

Cálculo de la resistencia de la lana de vidrio:

Cálculo del espesor de la lana de vidrio:

Cálculo de la resistencia del corcho:

Cálculo del espesor del corcho:

Cálculo de la resistencia de la lana de algodón:

Cálculo del espesor de la lana de algodón:

La siguiente tabla muestra la variación del espesor del aislante (lana de vidrio, corcho, lana de algodón) en función del tiempo hasta las 20 horas:

En la representación gráfica de la tabla anterior, se puede observar que la lana de algodón al tener una conductividad térmica mayor (0.05W/mK) necesita mayor espesor para aislar al reactor, mientras que el corcho y la lana de vidrio al tener una conductividad térmica de 0.043W/mK y 0.041W/mK respectivamente, requieren un menor espesor para aislar al reactor.

La conducción no estacionaria o transitoria ocurre cuando se varían las condiciones de frontera de un sistema. La temperatura de cada punto varía con el tiempo hasta que se alcance una distribución de temperatura de estado estable. Para estudiar este fenómeno se observó el tiempo que transcurrido para intervalos de temperatura determinados, y se determinó el coeficiente convectivo de transferencia de calor para un cilindro al sumergirse en un baño termostático con un agitador marca Masterline Forma Scientic, modelo 2095 Bath & Circulator. Luego de obtener el coeficiente convectivo para cilindro de PVC se realizó el mismo procedimiento con el cilindro de de material desconocido para determinar la conductividad térmica de dicho material.

CONDUCCIÓN DE CALOR UNIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO

Existen varias cantidades, pero entre ellas hay dos que son de mucha importancia de interés practico en el estudio de problemas de conducción de calor. Dichas cantidades son la razón de flujo de calor y la distribución de la temperatura. Las razones de flujo de calor tratan de la demanda de energía en un sistema dado, cuando se requiere una distribución de temperaturas conveniente para diseñar de manera adecuada el sistema, desde el punto de vista de los materiales. En un suceso cualquiera, una vez que es conocida la distribución de la temperatura es posible determinar las razones de flujo de calor con ayuda de la denominada Ley de Fourier.

La distribución de la temperatura es lineal, y el flujo de calor es constante de un extremo a otro de una placa, para el caso de la ecuación radial produce.

Y por lo tanto la distribución de la temperatura está en forma logarítmica.

T = M ln r + N

Conducción Estacionaria Unidimensional

El caso más sencillo de conducción es el que se establece en sólidos de caras paralelas de manera que el flujo será unidireccional, cuando dicho sólido se encuentre en equilibrio termodinámico sin variar su temperatura en el tiempo, lo que se denomina régimen estacionario y que implica que no existe acumulación de calor, y que además no existan fuentes o sumideros de calor en si seno, es decir, sin generación de calor.

El calor transmitido por conducción por unidad de tiempo y por unidad de superficie, es decir, el flujo de calor Q, es proporcional al gradiente de temperatura dT/dx, siendo x la dirección del flujo y el área normal a éste. El coeficiente de proporcionalidad del flujo de calor es una propiedad física del medio, denominada conductividad térmica l, de manera que

Esta ecuación expresa la Ley de conducción de Fourier, donde el signo negativo indica que para existir un flujo de calor de dirección positiva se precisa un gradiente de temperatura negativo en dicha dirección, es decir, que la temperatura disminuye en dicha dirección.

La conductividad térmica l es una propiedad física de cada sustancia, y puede variar ligeramente en función de la temperatura y de las características particulares del material, como puede ser el contenido de humedad de los materiales constructivos. En los casos que el material no sea homogéneo, como las fábricas de ladrillo, o que su estructura sea anisótropa,

como es el caso de la madera, será preciso determinar la conductividad para la dirección del flujo considerado.

Calor y equilibrio térmicoCuando se ponen en contacto dos sistemas (“1” y “2”) a diferente temperatura (por ejemplo, T2 > T1) se produce, de acuerdo con el segundo principio de la termodinámica, un flujo de calor desde el de más temperatura al de menos hasta que ambas temperaturas se igualan.

Si consideramos un sistema formado por las dos partes en contacto (sistema conjunto que no estará en equilibrio, por no estar todo él a la misma temperatura), entonces si el sistema está aislado térmicamente del exterior (por paredes adiabáticas)

Por ser una propiedad extensiva el calor total es la suma de lo que va a cada parte

que nos dice que todo el calor que sale de uno de los subsistemas va a parar al otro, sin desaparecer por el camino

El resultado es una temperatura intermedia entre las iniciales de ambas partes. La temperatura final puede coincidir con el punto

de fusión o el de ebullición si en uno de los sistemas ocurre un cambio de fase parcial. Si no ocurre, la temperatura final es una media ponderada de las dos iniciales

Gráficamente, sería lo siguiente: Tenemos inicialmente dos subsistemas a temperaturas diferentes, el calor que entra en el 1 sale del 2. Esto se ve como una recta creciente, para la temperatura del medio 1 y una decreciente para la del medio 2. Inicialmente cada parte tiene una temperatura distinta. El equilibrio se alcanza cuando las rectas se cortan. El valor del calor en ese punto es el que sale de una parte y entra en la otra.

Si sí hay cambio de fase, es preciso analizar si el calor que sale de uno de los sistemas es suficiente para producir un cambio de fase de toda la sustancia o de solo una parte de ella. Por ejemplo, si ponemos en contacto 1 kg de hielo a 0°C con 1 kg de agua a 10°C, del agua solo salen 41.8 kJ, cuando se necesitan 334 kJ para fundir todo el hielo. Por ello, solo se funden 41.8/334 = 0.125 kg y el resultado final son 875 g de hielo y 1125 g de agua, ambos a 0°C.

En el caso particular de que se pongan en contacto dos cantidades de la misma sustancia (por ejemplo, que se vierta agua caliente en un baño de agua fría), la temperatura final se puede poner en función de las masas respectivas (suponiendo calores específicos independientes de la temperatura)