Escuela NacionalAutónoma de MéxicoEscuela Nacional Preparatoria Número 2

''Erasmo Castellanos Quinto''

Leyes de Kepler

Grupo: 651Alumna: Bonilla Fernández Alin Dennise

Fecha: 05 de agosto del 2015

Objetivo de la investigación:

Conocer el significado de las tres leyes de Kepler del movimiento planetario así como la importancia cientifica e historica.

Estudiar el caso de la fuerza gravitatoria como caso especialmente importante de las fuerzas centrales.

Participar, de modo directo y sencillo en la obtención de una de las leyes más importantes de la Física.

Desarrollo:

Johannes Kepler fue un científico alemán de principios del S.XVII recordado principalmente por descubrir las tres leyes referentes al movimiento de los planetas sobre su órbita alrededor del sol. Sus estudios y trabajos le llevaron a convertirse en el matemático imperial de Rodolfo II.

En 1584 ingresó en el seminario protestante de Adelberg y en 1589 comenzó su educación universitariaen teología en la Universidad Protestante de Tübingen. Allí le influenció un profesor de matemáticas, Michael Maestlin, partidario de la teoría heliocéntrica del movimiento planetario desarrollada en principio por el astrónomo polaco Nicolás Copérnico. Kepler aceptó inmediatamente la teoría copernicana al creer que la simplicidad de su ordenamiento planetario tenía que haber sido el plan de Dios.

Johannes Kepler(1571-1630)

A partir del análisis de los datos astronómicos del danés Tycho Brahe (1546 - 1601), el alemán Johannes Kepler (1571 - 1630) estableció sus tres leyes del movimiento planetario que constituyen una descripción cinemática del mismo. Kepler no pudo, sin embargo, averiguar la causa física —dinámica— de tales resultados. Fue a partir de estas tres leyes del movimiento planetario de Kepler como el inglés Isaac Newton (1643 - 1727) pudo deducir su Ley de Gravitación Universal.

Las leyes de Kepler:

Comenzaremos enunciando las tres leyes de Kepler. Estas describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Su generalidad es mayor pues se aplican a cualquier sistema de dos cuerpos tal que la dirección de la fuerza coincida con la línea que los une y cuya magnitud sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Primera ley: Los planetas se mueven describiendo órbitas elípticas con el Sol situado en uno de sus focos.

Segunda ley: El vector que une al sol con el planeta en cuestión barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley tambiÉn es conocida como la ley de las áreas.

Tercera ley: El cuadrado del periodo de la órbita es proporcional al cubo del semieje mayor de la orbita.

La Primera Ley de Kepler: Órbitas Elípticas

“Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.”

Esta sencilla frase engloba toda una revolución a una época que recién comenzaba a salir del sistema geocéntrico, y que además ahora, debía aceptar que las “esferas” celestes, no eran al fin y al cabo esferas.

Esta Ley es simplemente enunciativa, y nos dice que todo los planetas siguen en su trayectoria alrededor del Sol una elipse, y que sobre uno de los focos de la misma se encuentra siempre el Sol. Claro, no nos dice cual es la causa de ello, y habría que esperar a Newton para que esta saliera a la luz.

¿Qué mantiene unida a nuestra galaxia (y a las más distantes)? Se creyó por mucho tiempo que había un inmenso agujero negro en el centro, pero ese centro estaba oscurecido por nubes de polvo y por lo tanto no era fácil de observar. Recientemente fueron construídos telescopios de alta resolución, sensibles a la luz infraroja, los cuales pueden ver a través del polvo, y han mostrado una gran concentración de estrellas moviéndose rápidamente cerca

del centro de la galaxia, en órbitas que obedecen las leyes de Kepler. Este sitio de la red muestra la elipse de una estrella orbitando al centro una vez cada 15.2 años, y los cálculos deducen una masa de aproximadamente 3.7 millones de soles, más menos 1.5 millones.

Muchos planetas han sido descubiertos de esta forma, pero la mayoría de ellos están demasiado cerca a las estrellas (se mueven en una escala de tiempo de semanas) y son muy grandes. El descubrir planetas similares a la Tierra es difícil--el vaivén es más pequeño y necesitamos observarlo durante muchos años para obtener una periodicidad del orden de un año.

La Segunda Ley de Kepler: Ley de las Áreas

“El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.”

Esta es un poco más compleja, tratemos de intuir su significado. Si pudiéramos extender una cuerda entre el Sol y un planeta, por ejemplo la Tierra, esta sería el radio vector. Kepler descubrió de los datos de observaciones astronómicas, que si se tomaba el tiempo en que el radio vector tardaba en recorrer una determinada superficie, este tiempo siempre era el mismo para superficies iguales. Pero ¿que significado tiene esto?... bien, podemos sacar dos conclusiones muy interesantes de esta segunda ley: la primera es que debido a que la órbita es un elipse (primera ley), cuando el planeta se encuentra más alejado del Sol, para que la superficie cubierta por el radio vector sea la misma que cuando está más cercano a este en tiempos iguales, el planeta debe trasladarse a menor velocidad. Es decir, la velocidad de traslación de los planetas no es constante, es más veloz cuando está más cerca del Sol (perihelio) y menos cuando está más alejado (afelio). La segunda, es que gracias a esta Ley, por primera vez los astrónomos contaron con una herramienta matemática que les permitió calcular las órbitas planetarias y hacer predicciones fidedignas sobre ellas.

Otra explicación:

Cuando el planeta está más cerca del Sol (a la derecha en la figura anterior), debe moverse a mayor velocidad que cuando está más lejos del mismo (a la izquierda en la figura anterior), para conseguir así que, en el mismo tiempo, las dos áreas triangulares barridas sean iguales (velocidad areolar = cte). Descubiertas ya sus dos primeras leyes, publicadas en su “Astronomia Nova” (1609), y que hacen referencia al movimiento de cada planeta dado, Kepler investigó una tercera ley que relacionara el movimiento de los distintos planetas. Así, en su obra “De Harmonice Mundi” (1619), de acuerdo con su idea mística de encontrar una ley armoniosa del mundo que explicara lo observado (armonía en el sentido de relaciones matemáticas —como las de las proporciones en las cuerdas de los instrumentos que generan los sonidos musicales— y que llevaría a los planetas a moverse rítmicamente como si entonaran canciones en homenaje al Dios creador —algo ya propuesto por Pitágoras en el s. VI a.C.—.

La clave de la 2da. ley de Kepler es que, aunque la órbita es simétrica, el movimiento no lo es. Un planeta se acelera al acercarse al Sol, obtiene su máxima velocidad al pasar en su máxima aproximación, y luego se desacelera.

Lo que ocurre se entiende mejor en términos de energía. Conforme se retira el planeta del Sol (o el satélite de la Tierra), este pierde energía al sobreponerse de la atracción gravitacional, y se desacelera, como una piedra tirada hacia arriba. Y al igual que la piedra, vuelve a ganar su energía (completamente--no hay resistencia al aire en el espacio) al regresar.

¿Estamos lo más cerca del Sol?

Aproximadamente el 4 de Enero, en un 1.5%, no lo suficiente como para que el Sol se aprecie distinto.

Esta es una forma rápida para demostrar esta asimetría (aunque probablemente no tenga tiempo para cubrirla en clase). Dibuje una elipse, con el eje largo y una línea perpendicular a

dicho eje a través del Sol)

Entonces ocurre (pura casualidad) que el equinoccio de primavera y el de otoño, cuando el día y la noche son iguales, típicamente el 21 de Marzo, Septiembre 22 ó 23, caen muy cercanos a esta línea perpendicular.

¿Si la órbita fuera exactamente un círculo? (en cuyo caso, lo que llamamos "eje largo", sería completamente arbitrario, un diámetro igual que cualquier otro), entonces, de acuerdo a la segunda ley de Kepler, la Tierra se movería a una velocidad constante y pasaría el mismo tiempo en el verano que en el otoño. ¡De hecho, pasa aproximadamente dos días menos en la parte del invierno! (Tome un calendario y cuente los días de un equinoccio al otro). Eso puede significar que

La parte del invierno es más corta, oLa Tierra se mueve más rápido en la parte del invierno

En realidad, ambas condiciones son ciertas, si la Tierra está lo más cercana a Sol alrededor de Enero 4. La "mitad" de la elipse (determinada por la línea perpendicular definida arriba) que está más cercana al Sol es más pequeña (demuéstrelo con un dibujo de una elipse que sea notoriamente ovalada), y de acuerdo a la segunda ley de Kepler, la Tierra se mueve más rápida al estar más cerca del Sol.

El hecho de que el hemisferio norte esté más cerca del Sol a mediados de invierno y lo más retirado a mediados del verano, hace que se moderen las estaciones, haciéndolas más suaves.

En el hemisferio sur, los haría más crudos, aunque los grandes océanos ayudan a moderar su efecto.

Pero el eje de la Tierra se mueva alrededor de un cono, con un ciclo de 26000 años. En 13000 años, estaremos lo más cerca del Sol a mediados del verano, y el clima se hará más extremo. Esto puede ser un efecto ligado a los orígenes de la edad de hielo, pero no tenemos tiempo para los detalles.

La Tercera Ley de Kepler: Ley Armónica.

“El cuadrado del período orbital sideral del planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.”

Donde T2 es el período orbital sideral al cuadrado y A3 es la distancia media al Sol al cubo.

Esta Tercera Ley nos dice que sin importar el planeta del Sistema Solar que elijamos, el cociente de T2/ A3 nos dará siempre el mismo resultado. Como K es constante para los distintos planetas que orbitan el Sol, entonces también podemos formularla de esta otra manera:

Pero ¿que utilidad pudo tener esta Tercera Ley escrita de la forma anterior para los astrónomos de esa época?, ¡pues mucha!, ya que sabiendo tres de los datos se podía calcular el cuarto simplemente despejando la ecuación correspondiente. Además, esta Ley dejaba intuir algún tipo de “orden” oculto subyacente que parecía gobernar a todos los planetas en sus órbitas.

El cuadrado del período de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.

P2=kR3 Esta ley relaciona el tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta al Sol (su período) con su distancia media al Sol. Así que conociendo una de estas dos cantidades, es posible conocer la otra.

En la siguiente tabla se muestran las distancias de los planetas al Sol (medidas en Unidades Astronómicas) y su período (medido en años terrestres).

Una Unidad Astronómica es la distancia media de la Tierra al Sol y vale aproximadamente 150,000,000 Km

Planeta Distancia al Sol Período

Mercurio 0.837 0.24

Venus 0.723 0.61

Tierra 1 1

Marte 1.52 1.87

Júpiter 5.2 11.8

Saturno 9.54 29.47

Urano 19.18 8

Neptuno 30.06 164.81

Plutón 39.44 247.69

Puede comprobarse directamente la tercera ley de Kepler con los datos de cualquier planeta, por ejemplo, para Urano

842=7056=19.183.

Tras el descubrimiento de las tres leyes de movimiento planetario, Kepler intentó buscar la causa del mismo. Puesto que los planetas se aceleraban al acercarse al Sol y reducían su velocidad al alejarse del mismo (como indica la segunda ley kepleriana), el astrónomo alemán pensó que la causa estaba en la presencia del astro central y, como el magnetismo actuaba a distancia, sugirió que la fuerza magnética sería la verdadera causa del movimiento planetario (no en vano, el inglés Gilbert acababa de descubrir en 1600, en su obra “De Magnete”, que la Tierra era un gigantesco imán, intentando quizá justificar las órbitas planetarias mediante una fuerza de atracción magnética). 8 Lo importante es que, aunque Kepler no acertara al proponer la fuerza magnética como causa real del movimiento planetario, sí introdujo dos novedades importantes en la ciencia: - Una primera, al plantearse que el movimiento de los planetas podía tener una causa física (una fuerza o “vis” debida a otro objeto, aunque para él la fuerza producía una velocidad proporcional a ella, en lugar de la fuerza newtoniana, que produce una aceleración proporcional a ella). - Y una segunda, al proponer que las leyes observadas en la Tierra (para él el magnetismo) eran válidas en los cielos, acabando también con una larga época de explicaciones más místicas que científicas.

No en vano, el famoso astrónomo moderno norteamericano Carl Sagan (1980), recordando que Kepler se vio en la necesidad de hacer predicciones astrológicas para la realeza por razones de subsistencia, se refería a éste diciendo: “El último astrólogo científico fue el primer astrofísico”. Lo cierto es que el gran Kepler murió en 1630 sin conocer la verdadera causa del movimiento planetario, causa que comenzaría a ser vislumbrada por Newton 35 años después cuando éste se planteara la posibilidad de extender la fuerza gravitatoria observada en la superficie terrestre hasta la órbita de la Luna.

Aunque las tres leyes de Kepler fueron por él obtenidas para el movimiento de los planetas alrededor del Sol, con la posterior generalización de Newton, dichas leyes también valen para cualquier movimiento bajo la acción de la gravedad, por ejemplo, también las verifican los satélites (naturales o lunas y los artificiales) orbitando alrededor de un planeta.

Bibliografia:http://www.upf.edu/pdi/dcom/xavierberenguer/recursos/fig_calc/_4_/estampes/1_13.htm

http://ocw.upm.es/apoyo-para-la-preparacion-de-los-estudios-de-ingenieria-y-arquitectura/fisica-preparacion-para-la-universidad/contenidos/mecanica/unidad_14_interacc_gravit_vitores.pdf

http://www.fisica.unam.mx/personales/romero/FC2014/Kepler-RP-VRR.pdf

http://www.phy6.org/stargaze/Mkepl3laws.htm

http://simplementeeluniverso.blogspot.mx/2012/05/las-leyes-de-kepler.html

http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/kepler/html/

Comentario:

Con esta investigación comprendí lo importante que son las leyes de Kepler, Kepler sentó los cimientos de la mecánica celeste, gracias a eso podemos enviar vehiculos espaciales a diferentes lugares del sistema solar, o satélites artificiales alrededor del nuestro, tan comunes, útiles y numerosos en estos tiempos. Se atrevió a desafiar los prejuicios de su época, no solo los ajenos sino también, lo que es mucho más difícil y meritorio, los propios.

Por ello le debemos nuestro más sincero respeto a tan ilustre personaje, sobre cuyos cimientos Sir Isaac Newton describiría la primera interacción de la naturaleza que logramos comprender: la Gravedad.