LEYES DE KIRCHHOFF

Existen circuitos que son tan complejos que no pueden resolversemediante la ley de Ohm, ya que tienen muchas ramas o fuentes depotencia, por lo tanto, se necesitan otros métodos para resolvercircuitos complejos. Sin embargo, cualquier otro método aplicado, nodebe violar la leu de Ohm, ya que esta es la base de la teoría decircuitos de corriente continua.

LEYES DE KIRCHHOFFSe desarrollaron diversos métodos de resolución de circuitos complejos

basados en los experimentos de un físico alemán llamadoGustav Kirchhoff ,

cuyas principales contribuciones científicas estuvieron en el campo de los

circuitos eléctricos, la teoría de placas, la óptca, la espectroscopia y la emision

de radiacion de cuarpo negro. Kirchhoff propuso el nombre de radiación de

cuerpo negro en 1862. Es responsable de dos conjuntos de leyes fundamentales

en la teoría clásica de circuitos eléctricos y en la emisión térmica. Aunque

ambas se denominan Leyes de Kirchhoff, probablemente esta denominación es

más común en el caso de las Leyes de Kirchhoff de la ingenieria eléctrica.

Estas leyes no inician una teoría nueva, sino que presentan un método

de empleo de los principios ya conocidos. Alrededor de 1857 Kirchhoff llego a

dos conclusiones como resultado de sus experimentos:• LKT o LKV : “la suma de las caídas de tensión en cualquier trayectoriacerrada es igual a la suma de las fuerzas electromotrices en esa trayectoria”.

• LKC : “la corriente que llega a determinado punto de unión, o nodo, en uncircuito es igual a la corriente que abandona ese punto”.

Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la

conservacion de la energia y la carga de los circuitos eléctricos.

Ambas leyes son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para hallar

corrientes y voltajes en cualquier punto de uncircuitoeléctrico. Estas se pueden

emplear para resolver tanto los circuitos reducibles como los circuitos

irreducibles, calculando sus valores desconocidos de voltajes, intensidades,

resistencias, etc.

A pesar de su aparente sencillez, constituyen herramientas muyeficaces cuando se trata de resolver circuitos difíciles y complejos.Aunque estas leyes son sencillas en si, las matemáticas que senecesitan para aplicarlas se complican conforme los circuitos sehacen más complejos.

Método de resolución de problemas.El empleo de las leyes de Kirchhoff para calcular los valoresdesconocidos de un circuito lleva consigo la resolución de variasecuaciones simultáneas. Se dice que dos o más ecuaciones sonsimultáneas cuando representan las relaciones que hay entrecantidades desconocidas que existen en el mismo instante. Seresuelven eliminando una o más de las cantidades desconocidasempleando la adición, sustracción, sustitución o comparación. Laresolución de problemas de circuitos que llevan consigo elplanteamiento de ecuaciones simultáneas puede hacerse mejorempleando el siguiente procedimiento:

1. Marcar todos los elementos del circuito con un nombre yun valor.

2. Asignar a cada rama del circuito una dirección decorriente dibujando una flecha a lo largo de la rama que indiquela dirección del flujo de electrones.

3. 3. Marcar todos los puntos de conexión de elementos delcircuito con una letra de referencia.

4. Escribir las ecuaciones de las intensidades para cadaunión de tres o más elementos del circuito. Cuando seestablezcan estas ecuaciones, las corrientes que entran en launión se consideraran algebraicamente positivas y las quesalen negativas.

5. Escribir las ecuaciones de voltaje para cada caminocerrado del circuito. Indicar los voltajes desconocidos en funciónde las intensidades y resistencias. Indicar las polaridades de losvoltajes. Cuando se establezcan las ecuaciones de los voltajesse deben seguir las siguientes reglas: a) El voltaje de unafuente es positivo cuando la dirección de la corriente que pasapor el va del terminal negativo al positivo y negativo en casocontrario; y b) la polaridad del voltaje en una resistenciadependerá e la dirección del flujo de electrones dentro de ella.Cuando esta dirección es opuesta ala dirección en que se hatrazado el voltaje lazo, el voltaje de la resistencia es negativo.Cuando coinciden la dirección del flujo de electrones y laasignada al lazo, el voltaje es positivo.

6. En las ecuaciones de corriente del paso 4 anotar elnúmero de corrientes desconocidas. Resolver simultáneamentelas ecuaciones de voltajes y corrientes.

7. Los voltajes desconocidos pueden determinarseempleando la ley de Ohm.

8. Comprobar las respuestas obtenidas sustituyendo susvalores en las ecuaciones de voltaje y corriente no empleadasde manera que todos los valores de las corriente desconocidassean empleados al menos una vez.

Cuando se ha conseguido cierta practica en el empleo de lasleyes de Kirchhoff, los pasos 4 y se pueden reducir a poner soloaquellas ecuaciones que son necesarias para la resolución.

La aplicación de las leyes de Kirchhoff para hallar valoresdesconocidos en los circuitos mediante este procedimiento se puedeexplicar mejor mediante ejemplos. Aplicación a circuitos reducibles.El numero de ecuaciones independientes que pueden emplearse essiempre una menos que el numero total de nudos en el circuito. Ejemplo: Hallar la distribución de corrientes y las caídas de tensión en cadaresistencia del circuito de la figura.

Solución:Nudo C:i1 + i2 – I T = 0 (Ecuación I)Nudo F:I T – i1 – i2 =0 (Ecuación II)Lazo ABCDEFA:Es – I Tr1 – i1r2 – i1r3 – i1r4 = 0 (Ecuación III)Si se toma en dirección opuesta el camino de este lazo, es decirAFEDCBA, entonces: i1r 4 + i1r 3 +i1r 2 + IT r 1 – Es = 0Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación III:360 – 20I T – 20i1 – 48i1 – 52i1 = 0Efectuando la reducción de términos semejantes:360 – 20I T – 120i1 = 0 (Ecuación IV)Lazo ABCFA:Es – I Tr1 – i2r5 – i2r6 = 0360 – 20I T – 300i2 – 300i2 = 0360 – 20I T – 600i2 = 0 (Ecuación V)Lazo FCDEF:i2r6 + i2r5 – i1r2 – i1r3 – i1r4 = 0300i2 + 300i2 – 20i1 – 48i1 – 52i1 = 0600i2 – 120i1 = 0 (Ecuaciones VI)Incógnitas básicas: I T, i1 e i2.De la ecuación I se despeja I T.i1 + i2 – I T = 0I T = i1 + i2Sustituyendo i1 + i2 por I T en la ecuación IV .360 – 20(i1 + i2) – 120i1 = 0

360 – 20i1 – 20i2 – 120i1 = 0Reduciendo términos semejantes:360 – 140i1 – 20i2 = 0 (Ecuación VII)De la ecuación anterior se despeja una incógnita en función de laotra:i1= = 2.57 – 0.143i2 (Ecuación VIII)Sustituyendo el valor de i1 en la ecuación VI se puede hallar i2.600i2 – 120(2.57 – 0.143i2) = 0600i2 – 120(2.57) + 120(0.143i2) = 0600i2 – 308.4 + 17.16i2 = 0617.16i2 = 308.4i2 = = 0.4997 ASustituyendo el valor encontrado de i2 en la ecuación VIII se obtienei1,i1 = 2.57 – 0.143(0.4997) = 2.57 – 0.0714 = 2.4986 A. ≈ 2.5 A.Sustituyendo los valores conocidos de i1 e i2 en la ecuación de I T:IT = 2.5 + 0.5 = 3 ALas caídas de tensión se pueden calcular mediante la ley de Ohm.

er1 = I Tr1 = 3 x 20 = 60 V

er2 = i1r2 = 2.5 x 20 = 50 V

er3 = i1r3 = 2.5 x 48 = 120 V

er4 = i1r4 = 2.5 x 52 = 130 V

er5 = i2r5 = 0.5 x 300 = 150 V

er6 = i2r6 = 0.5 x 300 = 150 V

Aplicación a circuitos irreducibles. Hallar la distribución de intensidades y las caídas de tensión en cadaresistencia del siguiente circuito.

Solución:Se desconocen las direcciones de las corrientes por lo que se asignacualquier dirección a las corrientes, recordando que de obtener unaintensidad con signo negativo, este nos indicara que se escogió ladirección incorrecta, aun así la magnitud de la intensidad serácorrecta independientemente dela dirección escogida.

Basados en la figura, escribiendo todas las ecuaciones deintensidades y voltajes, sustituyendo valores conocidos y haciendo lascombinaciones necesarias, se tiene para:Nudo C:i1 – i2 – i3 = 0 (Ecuación I)Nudo D:i2 – i4 – i5 = 0 (Ecuación II)Nudo F:i3 + i4 + i5 – i1 = 0 (Ecuación III)Lazo ABCDEFA:- Es1 + i1r1 + i2r2 – Es2 = 0-90 + 15i1 + 60i2 – 30 = 0-120 + 50i1 + 60i2 = 0 (Ecuación IV)Lazo ABCFA:- Es1 + i1r1 +i3r3 = 0-90 + 15i1 + 30i3 = 0 (Ecuación V)Lazo EDCFE:Es2 – i2r2 + i3r3 = 030 – 60i2 + 30i3 = 0 (Ecuación VI)Lazo CDFC:i2r2 + i4r4 – i3r3 = 0

60i2 +12i4 + 30i3 = 0 (Ecuación VII)Lazo EDFE:Es2 + i4r4 = 030 + 12i4 = 0 (Ecuación VIII)Lazo ABCDFA:-Es1 + i1r1 + i2r2 + i4r4 = 0-90 + 15i1 +60i2 + 12i4 = 0 (Ecuación IX)Despejando i1 de Ecuación I:i1 = i2 + i3 (Ecuación IA)Despejando i2 de la ecuación II:i2 = i4 + i5 (Ecuación IIA)Ordenando ecuación V :90 = 15i1 + 30i3 (Ecuación VA)Sustituyendo la ecuación IA en VA:90 = 15(i2 + i3) + 30i390 = 15i2 + 15i3 + 30i390 = 15i2 + 45i3Despejando i2:i2= = 6 – 3i3 (Ecuación X)Despejando i3 en función de i2:i3 = 2i2 – 1 (Ecuación XI)Sustituyendo ecuación XI en ecuación X :i2 = 6 – 3(2i2 – 1) = 6 – 6i2 + 37i2 = 9i2 = 1.286 ASustituyendo valor de i2 en ecuación XI: i3 = 2(1.286) – 1 = 2.572 – 1i3 = 1.572A.Sustituyendo valores de i2 e i3 en ecuación IA:i1 = – 2.5 A* La dirección de i4 no fue la correcta pero el signo (-) se sigueutilizando para los cálculos en los que se vea involucrado i4.Sustituyendo valores de i2 e i4 en ecuación IIA y despejando i5:1.286 = – 2.5 + i5

I5 = 1.286 + 2.5 = 3.786 ADeterminando las caídas de tensión con ley de Ohm:

er1 = 2.858 x 15 = 42.87 V

er2 = 1.286 x 60 = 77.16 V

er3 = 1.572 x 30 = 47.16 V

er4 = 2.500 x 12 = 30.00 V

Comprobando: sustituir valores en ecuación III:i3 + i4 + i5 – i1 = 1.572 – 2.5 + 3.786 – 2.858 = 0

Ley de Kirchhoff para corrientes (LKC).En cualquier punto de unión o nodo de un circuito, la corriente quellega es igual a la corriente que sale. La corriente no puede originarseo acumularse en un punto o nodo. Por cada electrón que llega aun

punto, debe salir otro. De no ser así, se originaria un potencial y lacorriente finalmente cesaría cuando el potencial fuese igual al de lafuente de energía. Por lo tanto, si se asigna polaridad positiva a lacorriente que entra a un punto y polaridad negativa a la corriente quesale de el, la suma algebraica de las corrientes en cualquier punto esigual a cero.

A partir de circuitos paralelos, la suma de las corrientes de las

ramas es igual a la corriente total que entra a las ramas y también ala corriente total que sale de las ramas.

Esta ley se puede establecer algebraicamente como:∑ IEntrada = ∑ ISalida, o bien:∑ IEntrada – ∑ ISalida = 0

Para comprender mejor esta ley, podemos asemejarla a un casocotidiano y simple, el agua que fluye por un sistema de tubería. Lacantidad de líquido que sale es igual a la cantidad de agua que entra;los litros que entran por minuto debe ser igual a la cantidad de litrosque salen por minuto. Esta útil es más práctica y útil en los circuitosen paralelo.Aplicación de LKC.La ley de Kirchhoff de corriente no suele aplicarse sola, sino encompañía de la LKT al resolver un problema. Esto se demuestra con elsiguiente ejemplo:

Encontrar la corriente que fluye a través de la resistencia de 3Ω

en el circuito, mediante las leyes de Kirchhoff.Solución:Existen dos trayectorias en este circuito: ABCDEFA y ABGHEFA.Aplicando LKT a ambas trayectorias:2I TOT + 6 I1 = 6 (Ecuación I)2I TOT + 3I2 = 6 (Ecuación II)I TOT = i1 + i2

Por lo que sustituyendo I TOT en ecuación I y II obtenemos:8I1 + 2I2 = 6 (Ecuación III)2I1 + 5 I2 = 6 (Ecuación IV )Ahora debe eliminarse I1 para encontrar I2:

8I1 + 20I2 = 24-(8I1 + 2I 2 = 6)

18I2 = 18La corriente I2 a través del resistor 3Ω es:18I2 = 18I2 = 1A* Este circuito también podría haber sido resuelto mediante ley deOhm, inténtalo.

Ley de Kirchhoff para tensiones o voltajes (LKT oLKV).

La ley de Voltaje de Kirchhoff solo se puede aplicar a mallas cerradas.Indica la relación entre las caídas de tensión en cualquier trayectoriacerrada de un circuito y las fuentes de tensión en esa trayectoria. Lostotales de estas dos cantidades siempre son iguales. Esparticularmente útil en circuitos en serie. También se expresa como“la suma de las caídas de tensión o voltaje a lo largo de unatrayectoria cerrada en un circuito, es igual a cero”.

Se expresa matemáticamente como:

∑ EFUENTE = ∑IRLas polaridades de referencia para las tensiones en cada uno de

los elementos de un circuito, son seleccionadas al recorrer un lazo enel sentido de las manecillas del reloj. Si al finalizar el calculo de uncircuito obtenemos un resultado negativo, solo esta indicando que lafuente de referencia se tomo erróneamente y que la polaridad realesta con el signo o polo positivo en la parte superior.

La ecuación de LKC da como resultado una caída negativa, esdecir elevación de voltaje.

Una analogía que nos puede servir para la mejor comprensiónde los caídos o elevaciones de voltaje es lo que implica recorrer unatrayectoria sobre el suelo. Subiendo y bajando por el suelo uncaminante llega finalmente de regreso al punto de partida puesto queno hubo una ganancia neta en la altura, la suma de las caídas odescensos negativos, que equivalen a una elevación, debe ser cero.

Aplicación de la LKT

Cuando los circuitos a resolver son simples, la LKT corresponde alaLey de Ohm. Por ejemplo, en el circuito A, la cantidad de corrientesimplemente se calcula con la ecuación EFUENTE = IR.60 = 20I + 10I60 = 30II = 2A

En cambio, al haber dos fuentes de tensión en el circuito B al notener la dirección de la corriente se corre el riesgo de elegir laerrónea; si suponemos que la Intensidad gira en el sentido de lamanecilla del reloj, la corriente en B seria con la ecuación ∑EFUENTE =∑IR.60 – 75 = 20I + 10I-15 = 30II = -0.5 A

Por lo tanto en el circuito B, la corriente es de 0.5 A pero en ladirección contraria a la elegida.

Glosario.• Circuito reducible . Circuitos que pueden ser reducidos a uncircuito sencillo, de una sola resistencia equivalente con una solafuente de alimentación.

• Circuitos irreducibles . No se pueden convertir en circuitossencillos; los hay de dos tipos:

• Los que contienen una sola fuente de alimentación.

• Los que tienen más de una sola.

• Nodo. Unión de dos o más conductores.

• Lazo. Cualquier trayectoria cerrada en un circuito.

• Malla. Designación de un lazo que no tiene ramas que loatraviesen.

Características mallas cerradas:

• Debe tener una o más fuentes de voltaje.

• Debe tener una trayectoria completa para que la corriente fluyade cualquier punto en la malla, regresando al mismo.