Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)

[(p ) q) ^ p]) q,

la tabla de valores de verdad es

p q p ) qV V VV F FF V VF F V

(p ) q) ^ pVFFF

[(p ) q) ^ p]) qVVVV

Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.

() March 28, 2014 1 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)

[(p ) q) ^ p]) q,

la tabla de valores de verdad es

p q p ) qV V VV F FF V VF F V

(p ) q) ^ pVFFF

[(p ) q) ^ p]) qVVVV

Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.

() March 28, 2014 1 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)

[(p ) q) ^ p]) q,

la tabla de valores de verdad es

p q p ) qV V VV F FF V VF F V

(p ) q) ^ pVFFF

[(p ) q) ^ p]) qVVVV

Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.

() March 28, 2014 1 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)

[(p ) q) ^ p]) q,

la tabla de valores de verdad es

p q p ) qV V VV F FF V VF F V

(p ) q) ^ pVFFF

[(p ) q) ^ p]) qVVVV

Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.

() March 28, 2014 1 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)

[(p ) q) ^ p]) q,

la tabla de valores de verdad es

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(p ) q) ^ pVFFF

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Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.

() March 28, 2014 1 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)

[(p ) q) ^ p]) q,

la tabla de valores de verdad es

p q p ) qV V VV F FF V VF F V

(p ) q) ^ pVFFF

[(p ) q) ^ p]) qV

VVV

Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.

() March 28, 2014 1 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)

[(p ) q) ^ p]) q,

la tabla de valores de verdad es

p q p ) qV V VV F FF V VF F V

(p ) q) ^ pVFFF

[(p ) q) ^ p]) qVV

VV

Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.

() March 28, 2014 1 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)

[(p ) q) ^ p]) q,

la tabla de valores de verdad es

p q p ) qV V VV F FF V VF F V

(p ) q) ^ pVFFF

[(p ) q) ^ p]) qVVV

V

Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.

() March 28, 2014 1 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)

[(p ) q) ^ p]) q,

la tabla de valores de verdad es

p q p ) qV V VV F FF V VF F V

(p ) q) ^ pVFFF

[(p ) q) ^ p]) qVVVV

Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.

() March 28, 2014 1 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Modus Ponens - a�rmar a�rmando)

[(p ) q) ^ p]) q,

la tabla de valores de verdad es

p q p ) qV V VV F FF V VF F V

(p ) q) ^ pVFFF

[(p ) q) ^ p]) qVVVV

Ejemplo Si sale el sol, entonces no hay nubes y es así que sale el sol;luego, no hay nubes.

() March 28, 2014 1 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.

p q r p)q q)r

V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V

(p)q)^(q)r)

VFFFVFVV

p)r

VFVFVVVV

[(p)q)^(q)r)])(p)r)

VVVVVVVV

() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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[(p)q)^(q)r)])(p)r)

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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[(p)q)^(q)r)])(p)r)

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

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Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

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Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

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Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

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Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

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Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

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Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo (Silogismo hipotético de Aristóteles)

[(p ) q) ^ (q ) r)]) (p ) r) ,

Como tenemos tres proposiciones simples la tabla de valores tendrá ocho�las.p q r p)q q)r

V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V V VF V F V FF F V V VF F F V V

(p)q)^(q)r)

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() March 28, 2014 2 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo p ) q : Si quieres a tu novia, la respetas.

q ) r : Si respetas a tu novia, la escuchas cuando te habla.

p ) r : Si quieres a tu novia, la escuchas cuando te habla.

() March 28, 2014 3 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo p ) q : Si quieres a tu novia, la respetas.

q ) r : Si respetas a tu novia, la escuchas cuando te habla.

p ) r : Si quieres a tu novia, la escuchas cuando te habla.

() March 28, 2014 3 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Ejemplo p ) q : Si quieres a tu novia, la respetas.

q ) r : Si respetas a tu novia, la escuchas cuando te habla.

p ) r : Si quieres a tu novia, la escuchas cuando te habla.

() March 28, 2014 3 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Proposiciónp y q son lógicamente equivalentes si y solo si p , q es una tautología.

Demostración1) Primero veremos que si p y q son lógicamente equivalentes entoncesp , q es una tautología.

2) Segundo veremos que si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.

() March 28, 2014 4 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Proposiciónp y q son lógicamente equivalentes si y solo si p , q es una tautología.

Demostración1) Primero veremos que si p y q son lógicamente equivalentes entoncesp , q es una tautología.

2) Segundo veremos que si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.

() March 28, 2014 4 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Proposiciónp y q son lógicamente equivalentes si y solo si p , q es una tautología.

Demostración1) Primero veremos que si p y q son lógicamente equivalentes entoncesp , q es una tautología.

2) Segundo veremos que si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.

() March 28, 2014 4 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Proposiciónp y q son lógicamente equivalentes si y solo si p , q es una tautología.

Demostración1) Primero veremos que si p y q son lógicamente equivalentes entoncesp , q es una tautología.

2) Segundo veremos que si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.

() March 28, 2014 4 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Demostración de 1) Si p y q son lógicamente equivalentes entonces p , qes una tautología.

Como p y q son lógicamente equivalentes no podemos tener que una sea Fy la otra sea V.

Luego la tabla de verdad de p , q se reduce a

p q p () qV V VF F V

De donde se sigue que p , q es una tautología.

() March 28, 2014 5 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Demostración de 1) Si p y q son lógicamente equivalentes entonces p , qes una tautología.

Como p y q son lógicamente equivalentes no podemos tener que una sea Fy la otra sea V.

Luego la tabla de verdad de p , q se reduce a

p q p () qV V VF F V

De donde se sigue que p , q es una tautología.

() March 28, 2014 5 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Demostración de 1) Si p y q son lógicamente equivalentes entonces p , qes una tautología.

Como p y q son lógicamente equivalentes no podemos tener que una sea Fy la otra sea V.

Luego la tabla de verdad de p , q se reduce a

p q p () qV V VF F V

De donde se sigue que p , q es una tautología.

() March 28, 2014 5 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Demostración de 1) Si p y q son lógicamente equivalentes entonces p , qes una tautología.

Como p y q son lógicamente equivalentes no podemos tener que una sea Fy la otra sea V.

Luego la tabla de verdad de p , q se reduce a

p q p () qV V VF F V

De donde se sigue que p , q es una tautología.

() March 28, 2014 5 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Demostración de 2): Si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.

Como p , q es una tautología, tenemos que p , q es siempre verdadera.

Para que un si y sólo si sea verdadero necesitamos que las dosproposiciones tengan el mismo valor de verdad.

Luego p y q tienen el mismo valor de verdad es decir son lógicamenteequivalentes.

() March 28, 2014 6 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Demostración de 2): Si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.

Como p , q es una tautología, tenemos que p , q es siempre verdadera.

Para que un si y sólo si sea verdadero necesitamos que las dosproposiciones tengan el mismo valor de verdad.

Luego p y q tienen el mismo valor de verdad es decir son lógicamenteequivalentes.

() March 28, 2014 6 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Demostración de 2): Si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.

Como p , q es una tautología, tenemos que p , q es siempre verdadera.

Para que un si y sólo si sea verdadero necesitamos que las dosproposiciones tengan el mismo valor de verdad.

Luego p y q tienen el mismo valor de verdad es decir son lógicamenteequivalentes.

() March 28, 2014 6 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Demostración de 2): Si p , q es una tautología entonces p y q sonlógicamente equivalentes.

Como p , q es una tautología, tenemos que p , q es siempre verdadera.

Para que un si y sólo si sea verdadero necesitamos que las dosproposiciones tengan el mismo valor de verdad.

Luego p y q tienen el mismo valor de verdad es decir son lógicamenteequivalentes.

() March 28, 2014 6 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p

v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)

Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)

Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)

Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)

Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)

Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)

Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)

Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)

Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)

Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)

Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)

Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)

Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)

Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)

Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)

Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)

Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)

Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

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Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)

Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)

Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

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Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)

Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)

Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

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Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)

Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

(p^q)_r,(p_r)^(q_r)(p_q)^r,(p^r)_(q^r)

Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

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Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

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Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

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Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

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Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

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(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

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Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

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Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

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[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

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Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

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(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

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Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

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Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

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Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

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Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

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Contrarecíproco p ) q v q )v p

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[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

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Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

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Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

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Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)

Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

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Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

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Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

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Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q

(p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

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Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

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Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

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Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)

Ley de Absorción[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

(p^q)^r,p^(q^r)(p_q)_r,p_(q_r)

Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

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Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

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Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Leyes Lógicas o Tautologías

Nombre ProposiciónProposiciónequivalente

Tautología

Involución v (v p) p v (v p), p

Idempotenciap ^ pp _ p

pp

(p ^ p), p(p _ p), p

Conmutatividadp ^ qp _ q

q ^ pq _ p

(p ^ q), (q ^ p)(p _ q), (q _ p)

Asociatividad(p ^ q)^r(p _ q)_r

p ^ (q ^ r)p _ (q _ r)

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Distributividad(p ^ q)_r(p _ q)^r

(p _ r) ^ (q _ r)(p ^ r) _ (q ^ r)

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Ley de De Morganv (p _ q)v (p ^ q)

v p^ v qv p_ v q

v(p_q),(vp^ vq)v(p^q),(vp_ vq)

Contrarecíproco p ) q v q )v p (p)q),(vq)vp)Implicación p ) q v p _ q (p ) q), (v p _ q)Ley de Absorción

[(p ^ q) _ p][(p _ q) ^ p] p

[(p ^ q) _ p], p[(p _ q) ^ p], p

() March 28, 2014 7 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

De�niciónUna función proposicional de una variable o indeterminada x , es todaoración en la que �gura x como sujeto u objeto directo, la cual, seconvierte en proposición para cada valor particular de x .

Las funciones proposicionales serán denotadas por P (x) , Q (x) , etc.

() March 28, 2014 8 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

De�niciónUna función proposicional de una variable o indeterminada x , es todaoración en la que �gura x como sujeto u objeto directo, la cual, seconvierte en proposición para cada valor particular de x .

Las funciones proposicionales serán denotadas por P (x) , Q (x) , etc.

() March 28, 2014 8 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

De�niciónUna función proposicional de una variable o indeterminada x , es todaoración en la que �gura x como sujeto u objeto directo, la cual, seconvierte en proposición para cada valor particular de x .

Las funciones proposicionales serán denotadas por P (x) , Q (x) , etc.

() March 28, 2014 8 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

EjemploAnalicemos la siguiente función proposicional

si x2 = 9 entonces x = 3,

No es una proposición, por que no podemos decidir sobre su verdad ofalsedad�ésta depende de los valores que tome la variable x .

P (3) es una proposición verdadera,P (�3) es una proposición falsa,P (1) es una proposición verdadera.

() March 28, 2014 9 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

EjemploAnalicemos la siguiente función proposicional

si x2 = 9 entonces x = 3,

No es una proposición, por que no podemos decidir sobre su verdad ofalsedad�ésta depende de los valores que tome la variable x .

P (3) es una proposición verdadera,P (�3) es una proposición falsa,P (1) es una proposición verdadera.

() March 28, 2014 9 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

EjemploAnalicemos la siguiente función proposicional

si x2 = 9 entonces x = 3,

No es una proposición, por que no podemos decidir sobre su verdad ofalsedad�ésta depende de los valores que tome la variable x .

P (3) es una proposición verdadera,P (�3) es una proposición falsa,P (1) es una proposición verdadera.

() March 28, 2014 9 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Podemos transformar funciones proposicionales en proposiciones medianteun proceso llamado de cuanti�cación

El cuanti�cador universal: �8 x : P (x)�, se lee �Para todo x , severi�ca P (x)�o �Para cada x , se veri�ca P (x)�.

El cuanti�cador existencial: �9 x : P (x)�, se lee �Existe un x , tal quese veri�ca P (x)�o �Existe al menos un x , tal que se veri�ca P (x)�.

Una función proposicional P (x) cuanti�cada universalmente, 8 x : P (x) ,es verdadera si y sólo si todas las proposiciones particulares asociadas aP (x) son verdaderas.

En cambio, para que la función proposicional P (x) cuanti�cadaexistencialmente, 9 x : P (x) , sea verdadera, sólo se necesita la verdad dealguna de las proposiciones asociadas a P (x) .

() March 28, 2014 10 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Podemos transformar funciones proposicionales en proposiciones medianteun proceso llamado de cuanti�cación

El cuanti�cador universal: �8 x : P (x)�, se lee �Para todo x , severi�ca P (x)�o �Para cada x , se veri�ca P (x)�.

El cuanti�cador existencial: �9 x : P (x)�, se lee �Existe un x , tal quese veri�ca P (x)�o �Existe al menos un x , tal que se veri�ca P (x)�.

Una función proposicional P (x) cuanti�cada universalmente, 8 x : P (x) ,es verdadera si y sólo si todas las proposiciones particulares asociadas aP (x) son verdaderas.

En cambio, para que la función proposicional P (x) cuanti�cadaexistencialmente, 9 x : P (x) , sea verdadera, sólo se necesita la verdad dealguna de las proposiciones asociadas a P (x) .

() March 28, 2014 10 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Podemos transformar funciones proposicionales en proposiciones medianteun proceso llamado de cuanti�cación

El cuanti�cador universal: �8 x : P (x)�, se lee �Para todo x , severi�ca P (x)�o �Para cada x , se veri�ca P (x)�.

El cuanti�cador existencial: �9 x : P (x)�, se lee �Existe un x , tal quese veri�ca P (x)�o �Existe al menos un x , tal que se veri�ca P (x)�.

Una función proposicional P (x) cuanti�cada universalmente, 8 x : P (x) ,es verdadera si y sólo si todas las proposiciones particulares asociadas aP (x) son verdaderas.

En cambio, para que la función proposicional P (x) cuanti�cadaexistencialmente, 9 x : P (x) , sea verdadera, sólo se necesita la verdad dealguna de las proposiciones asociadas a P (x) .

() March 28, 2014 10 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Podemos transformar funciones proposicionales en proposiciones medianteun proceso llamado de cuanti�cación

El cuanti�cador universal: �8 x : P (x)�, se lee �Para todo x , severi�ca P (x)�o �Para cada x , se veri�ca P (x)�.

El cuanti�cador existencial: �9 x : P (x)�, se lee �Existe un x , tal quese veri�ca P (x)�o �Existe al menos un x , tal que se veri�ca P (x)�.

Una función proposicional P (x) cuanti�cada universalmente, 8 x : P (x) ,es verdadera si y sólo si todas las proposiciones particulares asociadas aP (x) son verdaderas.

En cambio, para que la función proposicional P (x) cuanti�cadaexistencialmente, 9 x : P (x) , sea verdadera, sólo se necesita la verdad dealguna de las proposiciones asociadas a P (x) .

() March 28, 2014 10 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Podemos transformar funciones proposicionales en proposiciones medianteun proceso llamado de cuanti�cación

El cuanti�cador universal: �8 x : P (x)�, se lee �Para todo x , severi�ca P (x)�o �Para cada x , se veri�ca P (x)�.

El cuanti�cador existencial: �9 x : P (x)�, se lee �Existe un x , tal quese veri�ca P (x)�o �Existe al menos un x , tal que se veri�ca P (x)�.

Una función proposicional P (x) cuanti�cada universalmente, 8 x : P (x) ,es verdadera si y sólo si todas las proposiciones particulares asociadas aP (x) son verdaderas.

En cambio, para que la función proposicional P (x) cuanti�cadaexistencialmente, 9 x : P (x) , sea verdadera, sólo se necesita la verdad dealguna de las proposiciones asociadas a P (x) .

() March 28, 2014 10 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Ejemplo: Analicemos la siguiente proposición: �Todos los bebes enproceso de gestación tienen derecho a vivir�.

Los elementos son los bebes en proceso de gestación y la cualidad: tienenderecho a vivir

P (x) : x tiene derecho a vivir

y el cuanti�cador universal se re�ere al conjunto A de todos los bebes enproceso de gestación.

() March 28, 2014 11 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Ejemplo: Analicemos la siguiente proposición: �Todos los bebes enproceso de gestación tienen derecho a vivir�.

Los elementos son los bebes en proceso de gestación y la cualidad: tienenderecho a vivir

P (x) : x tiene derecho a vivir

y el cuanti�cador universal se re�ere al conjunto A de todos los bebes enproceso de gestación.

() March 28, 2014 11 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Ejemplo: Analicemos la siguiente proposición: �Todos los bebes enproceso de gestación tienen derecho a vivir�.

Los elementos son los bebes en proceso de gestación y la cualidad: tienenderecho a vivir

P (x) : x tiene derecho a vivir

y el cuanti�cador universal se re�ere al conjunto A de todos los bebes enproceso de gestación.

() March 28, 2014 11 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:

8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.

Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente

�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó

�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos

v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen

derecho a vivir

9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir

() March 28, 2014 12 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:

8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ó

cualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.

Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente

�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó

�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos

v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen

derecho a vivir

9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir

() March 28, 2014 12 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:

8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.

Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente

�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó

�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos

v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen

derecho a vivir

9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir

() March 28, 2014 12 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:

8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.

Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente

�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó

�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos

v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen

derecho a vivir

9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir

() March 28, 2014 12 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:

8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.

Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente

�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó

�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos

v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen

derecho a vivir

9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir

() March 28, 2014 12 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:

8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.

Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente

�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó

�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos

v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen

derecho a vivir

9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir

() March 28, 2014 12 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Ejemplo (continuación):Tenemos la siguiente proposición verdadera:

8 x 2 A : P (x) se lee:para cada x en A, x tiene derecho a vivir, ócualquiera sea x , x tiene derecho a vivir.

Si negamos la proposición anterior, obtenemos una proposición falsa, delmodo siguiente

�No todos los bebes en proceso de gestación tienen derecho a vivir� ó

�Existen bebes en proceso de gestación que no tienen derecho a vivir�, ensímbolos tenemos

v (8x 2 Z : P (x))No todos los bebes en proceso de gestación tienen

derecho a vivir

9x 2 Z :v P (x) Existen bebes en proceso de gestación que no tienenderecho a vivir

() March 28, 2014 12 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias

v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)

Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:

9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.

8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.

() March 28, 2014 13 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias

v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)

v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)

Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:

9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.

8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.

() March 28, 2014 13 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias

v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)

Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:

9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.

8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.

() March 28, 2014 13 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias

v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)

Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:

9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.

8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.

() March 28, 2014 13 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias

v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)

Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:

9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.

8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.

() March 28, 2014 13 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias

v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)

Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:

9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.

8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.

() March 28, 2014 13 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

Para negar una función proposicional cuanti�cada existencialmentese cambia el cuanti�cador en universal, y se niega la funciónproposicional. Es decir, tenemos las siguiente equivalencias

v [8x : P (x)] � 9x :v P (x)v [9x : P (x)] � 8x :v P (x)

Ejemplo: Sea P (x) : x + 1 < 5. Tenemos que x se re�ere a númerosreales, así:

9x : P (x) , es verdadera porque P (1) es Verdadera.

8x : P (x) , es falsa porque P (7) es Falsa.

() March 28, 2014 13 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

El siguiente ejemplo muestra la importancia del dominio o conjunto dede�nición de la variable x .

Ejemplo: Dada la función proposicional: P (x) : x2 = �1, consideremoslas proposiciones9x 2 R : P (x) Es falsa porque no existe ningún número real tal que x2 = �1,

9x 2 C : P (x)Es verdadera porque existe el número complejo x = 0+ 1ital que (0+ 1i)2 = �1.

() March 28, 2014 14 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

El siguiente ejemplo muestra la importancia del dominio o conjunto dede�nición de la variable x .

Ejemplo: Dada la función proposicional: P (x) : x2 = �1, consideremoslas proposiciones

9x 2 R : P (x) Es falsa porque no existe ningún número real tal que x2 = �1,

9x 2 C : P (x)Es verdadera porque existe el número complejo x = 0+ 1ital que (0+ 1i)2 = �1.

() March 28, 2014 14 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

El siguiente ejemplo muestra la importancia del dominio o conjunto dede�nición de la variable x .

Ejemplo: Dada la función proposicional: P (x) : x2 = �1, consideremoslas proposiciones9x 2 R : P (x) Es falsa porque no existe ningún número real tal que x2 = �1,

9x 2 C : P (x)Es verdadera porque existe el número complejo x = 0+ 1ital que (0+ 1i)2 = �1.

() March 28, 2014 14 / 14

Funciones Proposicionales. Cuanti�cación

El siguiente ejemplo muestra la importancia del dominio o conjunto dede�nición de la variable x .

Ejemplo: Dada la función proposicional: P (x) : x2 = �1, consideremoslas proposiciones9x 2 R : P (x) Es falsa porque no existe ningún número real tal que x2 = �1,

9x 2 C : P (x)Es verdadera porque existe el número complejo x = 0+ 1ital que (0+ 1i)2 = �1.

() March 28, 2014 14 / 14