IÀLGEBRA

L a paraula àlgebra prové del llibre Al-jahr wa’lmuqabalah, del matemàtic al-Hwarizmi (segle IX).

Amb aquest nom designaren, els europeus de seglesposteriors, la ciència que van aprendre en aquestllibre.

8

NOTES HISTÒRIQUES. ÀLGEBRA

Tartaglia,Ferrari

1

Omar Jayyam3

Viète5

El principal afany de l’àlgebra clàssica és la resolució d’equacions.En aquest sentit, l’àlgebra té més de 4000 anys d’antiguitat.Però no és fins a l’Edat Mitjana (segle IX) que, de la mà dels àrabs,sorgeix l’àlgebra pròpiament dita. Posteriorment, l’àlgebra àrab esva difondre, a través d’Espanya, cap a Europa, on va arribar a lamajoria d’edat als segles XVI i XVII.

200

Apogeu del feudalisme

S’invental’alfabetciríl·lic

Mor Carlemany

Primera croada

Cisma d’Orient

Regnesde Taifes

Invenció de la ballesta

Es construeixen lestermes de Caracal·la

Invenciódel llapis

Guerra delsSegadors

Richelieu

Carles I

Unió d’Espanya i Portugal

Batalla de Lepant

Al segle III, Diofant d’Alexan-dria escriu el primer tractat d’àl-gebra que coneixem. Hi propo-sa problemes i en la resoluciód’alguns utilitza el que ara ano-menem equacions algebraiques,aplicant-hi un simbolisme sem-blant a l’actual dels polinomisd’una indeterminada.

1

Al-Hwarizmi (780-850 aC), mem-bre destacat de «La casa de la sa-viesa» de Bagdad, exposa la ma-nera de resoldre sis tipus d’equa-cions de segon grau a l’inici dela seva obra Hisab al-jahr wa’lmuqabalah. Del títol d’aquesttractat es deriva l’actual deno-minació de l’Àlgebra.

2

Al-Hwarizmi2

Descartes5

Incendi de Londres

Invenció del telescopi

Omar Jayyam (1050-1123) de-fineix l’àlgebra com la ciènciade resoldre equacions. Aques-ta definició es va mantenir finsa les acaballes del segle XIX.

3 800

1100

9001000

1500

1600

Cardano,

4

Diofant

Els normandsconquereixenAnglaterra

Núñez de Balboadescobreix

l’oceà Pacífic

Avicenna

Fundació del monestir de

Santa Maria de Ripoll

9

1900

2000

Comença elconsum de te

Invenció de la fotografia

Guerra civil nord-americana

Invenció delmotor de gasolina

Primera Guerra Mundial

Caigudadel mur deBerlín

Invenció dels transistors

Avança la notació simbòlica enl’àlgebra gràcies a François Viè-te (1540-1603), el primer a uti-litzar lletres per simbolitzar tantles incògnites com les constants,i a René Descartes (1596-1650).Aquest últim tractà les propie-tats i transformacions de lesequacions algebraiques amb unsimbolisme algebraic molt sem-blant a l’actual.

5

Cardano (1501-1576) publicael primer mètode general de re-solució d’equacions de tercergrau, descobert per Tartaglia(1499-1557), i la solució de lesequacions de quart grau, des-coberta pel seu secretari Ludo-vico Ferrari (1522-1565).

4

Galois (1811-1832) desenvolu-pa la teoria de grups, Hamil-ton (1805-1865), Sylvester(1814-1877) i Cayley (1789-1857) formalitzen la teoria dematrius, i Cauchy (1789-1857)completa i formalitza la teoriade determinants.

7

Gauss (1777-1855), un dels mésgrans matemàtics de tots els temps,donà, amb només 22 anys, la pri-mera demostració del TeoremaFonamental de l’Àlgebra: To-ta equació polinòmica té, al-menys, una solució en el campcomplex.

6

Al segle XX apareix l’àlgebraabstracta que es dedica a estu-diar estructures algebraiques, ésa dir, sistemes d’elements entreels quals es defineixen opera-cions que compleixen determi-nades propietats. Així, els teore-mes demostrats sobre l’estructu-ra abstracta són immediatamentaplicables a qualsevol de les se-ves concrecions.

8

Apareixl’àlgebra

Cauchy,

7

Hamilton,Sylvester,

Cayley

8

300

Primera persecuciómassiva de cristians

Carles II

Gauss6

Guerra del Francès

Nobel de Medicina aSantiago Ramón y Cajal

1700 1800

Al teu CD trobaràs algunes notes històriques corresponents a aquest bloc. També hi pots llegir algunesbiografies de matemàtics insignes.

Karl Marx

S’inventala pólvoraa la Xina

7

Galois

Carrera espacial

10

ÀLGEBRA

F a més de vint-i-un segles es va publicar a la Xina el llibre dels Noucapítols sobre l’art de les matemàtiques. En el capítol vuitè es re-

solen problemes que condueixen a sistemes d’equacions lineals (finsi tot de quatre equacions amb cinc incògnites). En concret, el sistema

el resolen mitjançant la matriu ( )Aquesta matriu es transforma, per mitjà d’operacions entre les files,en aquesta altra:

( ) que significa

de la qual s’obtenen de manera successiva i immediata els valors dez, y i x.

Per tant, el que avui anomenem mètode de Gauss potser s’hauria dedir mètode de Chui-Chang suan shu (que és com es transcriu del xi-nès el títol del llibre esmentat, d’autor desconegut).

3x + 02y + 36z = 993x + 05y + 00z = 243x + 02y + 00z = 39

0 0 36 990 5 1 243 2 1 39

1 2 3 262 3 1 343 2 1 39

x + 2y + 3z = 262x + 3y + z = 343x + 2y + z = 39

REFLEXIONA I RESOL

Equacions i incògnites. Sistemes d’equacions

Una equació és una relació entre les incògnites quehi intervenen. És una dada.

Les incògnites, com el seu nom indica, són «descone-gudes» que volem conèixer.

Quan escrivim 2x + y = 5, estem dient:

– Quant valdran x i y de manera que 2x + y siguiigual a 5?

Com sabem, hi ha moltes respostes a aquesta pregunta:

x = 0, y = 5

x = 1, y = 3

x = 2, y = 1

Aquestes són només algunes de les infinites solucionsd’aquesta equació. (Comprova-ho.)

Per descobrir el valor de dues incògnites, necessitemdues dades (dues relacions entre les incògnites).

El sistema següent és un conjunt de dues dades (equa-cions) amb les quals podem trobar, inequívocament,els valors de x i de y:

→ x = 2, y = 1

Començarem reflexionant sobre les equacions i elssistemes d’equacions sota aquest punt de vista:

incògnites → preguntes

equacions → dades

2x + y = 5x – y = 1

ÀLGEBRASISTEMES D’EQUACIONS.MÈTODE DE GAUSS1

11

UNITAT 1

1. Podem dir que les dues equacions següents sóndues «dades diferents»? No és cert que la segona diuel mateix que la primera?

n Representa-les gràficament i observa que es trac-ta de la mateixa recta.

n Posa un altre sistema de dues equacions ambdues incògnites en què la segona equació sigui,en essència, igual que la primera. Interpreta’l grà-ficament.

2. Observa les equacions següents:

La tercera equació (3a) s’ha obtingut restant, mem-bre a membre, les dues primeres (1a) i (2a):

(3a) = (1a) – (2a)

Per tant, el que diu la tercera equació es dedueix delque diuen les altres dues: no hi aporta res de nou.

n Representa-les i observa que les dues prime-res rectes determinen un punt (amb aquestesdues dades es responen les dues preguntes:x = 2, y = 1) i que la tercera recta també pas-sa per aquest punt.

n Pensa una altra equació que també sigui «con-seqüència» de les dues primeres (per exemple:2 · (1a) + 3 · (2a), representa-la i observa quetambé passa per x = 2, y = 1.

3. Observa que el que diu la segona equació és con-tradictori amb el que diu la primera:

n Representa-les i observa que es tracta de duesrectes paral·leles, és a dir, no tenen solució co-muna, perquè les rectes no es tallen en cap punt.

n Modifica el terme independent de la segonaequació del sistema que has inventat en l’exer-cici 1 i representa de nou les dues rectes.

Observa que el que diuen ambdues equacionsés ara contradictori i que es representen mit-jançant rectes paral·leles.

2x + y = 52x + y = 7

2x + y = 5x – y = 1x + 2y = 4

2x + y = 54x + 2y = 10

n Ja fa temps que saps resoldre sistemes d’equacions.No obstant això, la seva gran importància justificaque en aquest curs els dediquem algunes unitats iaprenguem noves eines matemàtiques per resol-dre’ls amb més eficàcia.

Ens dedicarem, fonamentalment, a les equacionslineals, com, per exemple:

• 3x – 5 = 8

• x – 2y + 3z = 11

• 5x + 6y + z – t =

n Revisarem el que ja sabem de sistemes d’equa-cions, i prestarem atenció especial a:

– La interpretaciógeomètrica delssistemes de duesi tres incògnites.

Les equacions amb dues incògnites són rectes.I les de tres?Què significa que es tallin?I que siguin paral·leles?

– Quin tipus de transformacions serveixen persimplificar un sistema d’equacions, aproximant-nos a la solució, de manera que ni es perdin nis’afegeixin solucions.

n Aprendrem un mètode nou, anomenat «de Gauss»,mitjançant el qual resoldre sistemes de moltesequacions amb moltes incògnites serà una cosasenzilla i mecànica (si allò de «moltes» significamés de 6 o 7, seran els ordinadors els que s’encar-reguin de resoldre’ls).

259

114

32

EN AQUESTA UNITAT VEURÀS

12

1.1 SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS

Equació linealLes equacions següents són lineals

2x – 3 = 0; 5x + 4y = 20; 3x + 2y + 6z = 6; 5x – 3y + z – 5t = 0

Tenen la peculiaritat que són polinòmiques de grau 1. És a dir, les in-cògnites no estan elevades a cap potència, ni multiplicades entre si, nisota radicals, ni en el denominador…

No són lineals: 2x – 3y + = 5; 3xy – 2z = 0; x + 2y – sin z = 1

Una equació lineal amb dues incògnites representa una recta en el pla.Els punts de la recta són les solucions de l’equació.

Una equació lineal amb tres incògnites representa un pla en l’espai. Elspunts del pla són les solucions de l’equació.

Equacions equivalents

Per exemple:

+ = 1 és equivalent a 5x + 4y = 20 (representen la mateixa recta).

30x + 20y + 60z = 60 és equivalent a 3x + 2y + 6z = 6 (representenel mateix pla).

Sistemes d’equacions lineals

Un sistema d’equacions lineals amb dues incògnites representa un con-junt de rectes. La seva resolució consisteix a esbrinar si totes aquestestenen algun punt en comú i localitzar-lo.

Si les equacions del sistema tenen tres incògnites, representen plans.Resoldre el sistema és trobar el punt o els punts que tenen en comú totsels plans.

y

5x4

1z

Una equació lineal és una equació polinòmica de primer grau ambuna o diverses incògnites.

Diverses equacions donades conjuntament a fi de determinar la so-lució o les solucions comunes a totes aquestes formen un sistemad’equacions.

Dues equacions són equivalents quan tenen la mateixa solució(o les mateixes solucions).

Si els dos membres d’una equació els multipliquem o dividim per unmateix nombre diferent de zero, l’equació resultant és equivalent a laprimera.

Els sistemes d’equacions lineals sónespecialment interessants, i ens hidedicarem en aquesta unitat i en lessegüents. Per això, d’ara endavant,l’expressió sistema d’equacions o,simplement, sistema, la utilitzarem com asinònim de sistema d’equacions lineals.

SISTEMA

5x + 4y = 20

EQUACIÓ LINEAL AMB DUES INCÒGNITES

3x + 2y + 6z = 6

EQUACIÓ LINEAL AMB TRES INCÒGNITES

13

UNITAT 1

Sistemes equivalents

Per exemple: i són equivalents, perquè

ambdós tenen l’única solució x = 3, y = –2.

Transformacions en un sistema d’equacionsConsiderarem vàlida tota transformació que passi d’un sistema a un altred’equivalent. Per exemple:

¬ Multiplicar o dividir els dos membres d’una de les equacions per unnombre distint de zero.

­ Afegir-hi una equació que sigui combinació lineal de les altres o, al con-trari, suprimir-ne una equació que sigui combinació lineal de les altres.

® Substituir-ne una equació pel resultat de sumar-n’hi una altra multipli-cada per un nombre.

11y – 4z = –12x – 2y + z = 5

→(1a) – 3 · (2a)

3x + 5y – z = 3x – 2y + z = 5

3x + 5y – z = 3x – 2y + z = 5

11y – 4z = –12(1a) – 3 · (2a)

←→

3x + 5y – z = 3x – 2y + z = 5

3x + 5y – z = 33x – 6y + 3z = 15

(2a) · 3→

3x + 5y – z = 3x – 2y + z = 5

5x + y = 13x + y = 1

2x – 5y = 16x + 3y = –3

Dos sistemes d’equacions són equivalents si tenen les mateixessolucions.

Dos sistemes poden ser equivalents sense que ho siguin les equa-cions que els formen.

S’anomenen transformacions vàlides les que mantenen les solu-cions del sistema.

En la resolució de sistemes d’equacions hem de realitzar transforma-cions que, a més de vàlides, siguin convenients, és a dir, que ens apro-ximin a la solució. Per fer-ho utilitzarem, fonamentalment, les transfor-macions ¬ i ® descrites anteriorment.

Combinació lineal de diverses equacionsés l’equació que s’obté en multiplicar cadauna d’elles per un nombre i sumar els resultats membre a membre.

COMBINACIÓ LINEAL

EXERCICIS PROPOSATS

a)

b)

c)

d)x + y – z = 11

y = –4

x + y – z = 11x + 2y – z = 7

z = 2x + y = 7

x + y – z = 5x + y = 7

2x + 2y – z = 12

z = 2x + y = 7

x + y – z = 5x + y = 7

x + y = 53x = 12

x + y = 52x – y = 7

1. Sense resoldre’ls, explica per què són equivalents aquests sistemes:

x + y = 1

5x + y = 13

x + 3y = –32x – 5y = 16

14

1.2 INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA DELS SISTEMES D’EQUACIONS

Sistemes d’equacions amb dues incògnites

n Aquest sistema d’equacions té per solució x = 3,y = 1. Així doncs, és compatible i determinat.

Això significa que les dues rectes es tallen en el punt (3, 1).

n Aquest sistema és pràcticament igual que l’ante-rior, ja que les dues primeres equacions són lesmateixes i la tercera s’obté sumant, membre permembre, les anteriors.

La nova recta (de color vermell en el gràfic) passa pel punt (3, 1) enel qual es tallen les altres dues. El sistema és, també, compatible ideterminat.

n Les dues equacions diuen el mateix. Cada solu-ció d’una d’elles és també solució de l’altra. Lesdues rectes coincideixen. Per tant, són la mateixarecta. El sistema és compatible indeterminat.

n Aquest sistema no té solució. És incompatible.Quan s’intenta resoldre’l, s’arriba a expressionsabsurdes.

Les equacions diuen coses contradictòries. No tenen cap solució comu-na. Geomètricament, les dues rectes són paral·leles, ja que no tenen cappunt en comú.

n Aquest sistema és molt semblant al segon. Noméscanvia el terme independent de la tercera equació,que ja no passa pel punt (3, 1) en què es tallenles altres dues. Les tres rectes no tenen cap punten comú.

Així doncs, el sistema és incompatible.

2x + 3y = 93x – 5y = 45x – 2y = 6

2x + 3y = 94x + 6y = 12

2x + 3y = 94x + 6y = 18

2x + 3y = 93x – 5y = 45x – 2y = 13

2x + 3y = 93x – 5y = 4

Un sistema d’equacions pot tenir solució (compatible) o no tenir so-lució (incompatible).

Els sistemes compatibles poden tenir una solució (determinats) o in-finites solucions (indeterminats).

2x + 3y = 9

5x±

2y=

1 3

3x ± 5y = 4

2x + 3y = 9

3x – 5y = 4

2x + 3y = 9

4x + 6y = 12

5x±

2y=

± 6

2x + 3y = 9 3x ± 5y = 4

2x + 3y = 94x + 6y = 18

SISTEMES COMPATIBLES

• Determinats: solució única• Indeterminats: infinites solucions

SISTEMES INCOMPATIBLES: Sense solució

RECORDA

15

UNITAT 1

Sistemes d’equacions amb tres incògnitesObservem els sistemes següents amb les seves corresponents interpreta-cions geomètriques:

Sense solució.La tercera equació contradiu el que s’obté su-mant les altres dues.

2x + y – z = 11x + y – z = –20

3x + 2y – z = 3

Solució: Tots els punts de la recta on es tallenels plans són solució del sistema.

La tercera equació, en ser suma de les altresdues, no aporta informació al sistema.

2x + y – z = 11x + y – z = –20

3x + 2y – z = –9

Sense solució.La quarta equació contradiu la suma de les al-tres tres. Aquest pla (groc) no passa pel puntde tall dels altres tres.

2x + y – z = 11x – 3y = –20

4x + 2y + 5z = 87x + 4z = 3

Solució: x = 1, y = 7, z = –2La quarta equació és suma de les altres tres.El pla corresponent (groc) passa pel punt comú.

2x + y – z = 11x – 3y = –20

4x + 2y + 5z = 87x + 4z = –1

Solució: x = 1, y = 7, z = –2

Els tres plans es tallen en un punt.

2x + y – z = 11x – 3y = –20

4x + 2y + 5z = 8

EXERCICIS PROPOSATS

2. Resol i interpreta geomètricament els sistemessegüents:

a) b)

c) d)x + y + z = 6

y – z = 1z = 1

x + y + z = 6x + y + z = 0x – z = 0

x + y + z = 6y – z = 1

x + 2y = 7

2x + y = 13x + 2y = 4x + y = 3

3. a) Resol el sistema:

b) Afegeix-hi una tercera equació de maneraque continuï essent compatible.

c) Afegeix-hi una tercera equació de maneraque sigui incompatible.

d) Interpreta geomètricament el que has fet encada cas.

x + 2y = 3x – y = 4

1. Exercicis de reforç. Interpretaciógeomètrica de sistemes de dues i de tres incògnites.

16

1.3 SISTEMES ESCALONATS

n Els sistemes següents són extraordinàriament fàcils de resoldre:

De baix a dalt, anem obtenint el valor de cada incògnita que, substituï-da en les anteriors equacions, permet continuar-ne el procés. Aquestssistemes s’anomenen escalonats.

n També és escalonat el sistema següent. En tenir més incògnites queequacions, passem la incògnita «sobrant» al segon membre, amb laqual cosa les altres es calculen en funció d’aquestes:

→

Ja que totes les incògnites estan plantejades en funció de t, li donema aquesta un valor variable. Si anomenem t = λ, ens queda:

x = 11 – 5λ y = –3 + 3λ z = 11 – 3λ t = λ

Per a cada valor numèric que donem a λ obtindrem els correspo-nents valors de x, y, z, t.

Per exemple: per a λ = 0 s’obté x = 11, y = –3, z = 11, t = 0.

per a λ = 1 s’obté x = 6, y = 0, z = 8, t = 1.

n Encara que és menys evident, també és escalonat aquest sistema:

També anomenem escalonats aquests sistemes, encara que la seva fe-somia no ho suggereixi.

És clar que podem aïllar, successivament, la y enla 2a, la x en la 1a i, finalment, la z en la 3a.

3x – 5y = 112y = 4

x + y + z = 14

(3a) z = 11 – 3t(2a) y = 8 – z = 8 – (11 – 3t ) = –3 + 3t(1a) x = 5 + t – 2y = 5 + t – 2 (–3 + 3t ) = 11 – 5t

x + 2y = 5 + ty + z = 8

z = 11 – 3t

x + 2y – t = 5y + z = 8

z + 3t = 11

x + 2y – t = 5y + z = 8

z + 3t = 112t = 6

x – 3y + 2z = 75y – z = 6

3z = 12

2x + 3y = 145y = 10

Resol pas a pas cada un d’aquests tressistemes.

PROPOSTA

λ (lambda), µ (mu), ν (nu), són lletresgregues que solen utilitzar-se com aparàmetres.

NOTACIÓ

EXERCICIS PROPOSATS

4. Reconeix com a escalonats els sistemes següentsi resol-los:

a) b)

c) d)

5. Són escalonats aquests sistemes? Resol-los:

a) b)

c) d)

z + t = 3y + 3z – 2t = 4

2z = 2x – z + 2t = 5

x + y + z = 3x – y = 2

x + y + z = 72x – z = 4

2y + z = 12y = 1

x + 2y + 2z = 1

2x + 3z = 0x + 3y – z = 7

4x = 4

2x – 2t = 6x + y + 3z = 7

5x – z + t = 4

2x = 6x + y + 3z = 7

5x – z = 4

3x = 7x – 2y = 5

17

UNITAT 1

EXERCICIS PROPOSATS

6. Transforma en escalonats i resol:

a) b)

7. Transforma en escalonats i resol:

a) b)x + y + z = 6x – y – z = –4

3x + y + z = 8

x – y + 3z = –4x + y + z = 2x + 2y – z = 6

5x – 4y = 233x + 2y = 27

2x – 3y = 213x + y = 4

1. Transforma en escalonats els

sistemes següents:

a)

b)

c)

3x – y + 2z – 3t = 19x – 2y + 3z + 4t = –16

2x – y + z – t = 9x – y + 3z + 2t = –7

x + 5y – 3z = 72x – y + z = 114x + 3y – 4z = 3

x – 3y = 43x – 7y = 7

EXERCICIS RESOLTS

Com transformar un sistema en un altre d’escalonatVegem com es passa d’un sistema qualsevol a un altre d’escalonat.

a)

Fixa’t de quina manera els coeficients que són 1 ajuden a fer transfor-macions fàcils. Resolució: (2a) y = –2,5; (1a) x = –3,5.

b)

Resolució: (3a) z = 224/31; (2a) y = 151/31; (1a) x = 134/31

c)

Resolució: (1a) z = –1; (3a) t = –3; (2a) y = 3; (4a) x = 5

4z = –4– y + 2t = –9

5z + 3t = –14x – y + 3z + 2t = –7

– 21z – 15t = 66– y + 2t = –9

25z + 15t = –70x – y + 3z + 2t = –7

– 7z – 5t = 22– y + 2t = –9

– 5z – 3t = 14x – y + 3z + 2t = –7

2y – 7z – 9t = 40– y + 2t = –9

y – 5z – 5t = 23x – y + 3z + 2t = –7

3x – y + 2z – 3t = 19x – 2y + 3z + 4t = –16

2x – y + z – t = 9x – y + 3z + 2t = –7

Ja tenim el sistema en forma escalonada. Latransformació (*) s’ha fet, òbviament, per igua-lar els coeficients de la y, i així, poder elimi-nar-la sense recórrer a les fraccions.

x + 5y – 3z = 711y – 7z = 3

31z = 224

x + 5y – 3z = 7187y – 119z = 51

–187y + 88z = –275

x + 5y – 3z = 7–11y + 7z = –3–17y + 8z = –25

x + 5y – 3z = 72x – y + z = 114x + 3y – 4z = 3

x – 3y = 42y = –5

x – 3y = 43x – 7y = 7

(1a)

(2a) – 3 · (1a)

(1a)

(2a) – 2 · (1a)

(3a) – 4 · (1a)

(1a)

–17 · (2a) (*)

11 · (3a) (*)

(1a)

(2a)/17

–(3a) – (2a)

(1a) – 3 · (4a)

(2a) – (4a)

(3a) – 2 · (4a)

(4a)

(1a) + 2 · (2a)

(2a)

(3a) + (2a)

(4a)

3 · (1a)

(2a)

–5 · (3a)

(4a)

(1a) + (3a)

(2a)

(3a)/5

(4a)

18

1.4 MÈTODE DE GAUSS

El procediment que hem vist en la pàgina anterior per transformar unsistema d’equacions lineals en un altre d’escalonat s’anomena mètodede Gauss. La seva pràctica pot fer-se més còmoda si, prescindint de lesincògnites, ens limitem a utilitzar els nombres (coeficients i termes inde-pendents). Vegem com seria la resolució del segon exemple de la pàgi-na anterior:

( ) → ( ) → ( ) →→ ( )

Aquestes caixes numèriques s’anomenen matrius, i seran àmpliamentestudiades en la propera unitat. Simplifiquen el procés de transforma-cions successives. Cada una correspon a un sistema d’equacions. L’últimés escalonat i es resol fàcilment.

En finalitzar el procés, o en algun pas intermedi, podem trobar-nos ambun dels casos següents:

a) Una fila de zeros. Correspon a una equació trivial i en podem pres-cindir:

(0 0 … 0 | 0) , 0x + 0y + … + 0t = 0

b) Dues files iguals o proporcionals. Corresponen a equacions equiva-lents i en podem prescindir immediatament d’una:

( ) → ( )

c) Una fila de zeros, excepte el darrer nombre –que correspon al termeindependent– diferent de zero:

(0 0 0 … 0 | n) , 0x + 0y + … + 0t = n)

(n és un nombre diferent de zero)

Evidentment, es tracta d’una equació impossible. En aquest cas, reco-neixem immediatament el sistema com a incompatible.

… … … … …0 1 5 –2 6

… … … … …0 1 5 –2 60 3 15 –6 18

1 5 –3 70 11 –7 30 0 31 224

1 5 –3 70 187 –119 510 –187 88 –275

1 5 –3 70 –11 7 –30 –17 8 –25

1 5 –3 72 –1 1 114 3 –4 3

El mètode de Gauss consisteix a transformar un sistema d’equacionslineals en un altre d’escalonat. Per fer-ho, «fem zeros» sotmetent lesequacions a dues transformacions elementals:

• Multiplicar una equació per un nombre diferent de zero.

• Sumar a una equació una altra multiplicada per un nombre.

El procés es realitza molt avantatjosament si, en lloc de les equacions,utilitzem exclusivament els nombres –coeficients i termes indepen-dents– estructurats en matrius.

El mètode de Gauss és una generalització del mètode de reducció,que ja coneixes des de fa uns anys.

MÈTODE DE REDUCCIÓ

L’equació 0x + 0y + 0z = 0 afirma una trivialitat. Qualsevol terna de nombresés solució d’aquesta equació. S’anomenaequació trivial.

EQUACIÓ TRIVIAL

19

UNITAT 1

( ) ( )( ) El sistema ja està presentat en forma escalonada.

El sistema és compatible determinat. El resolem:

(3a) 13y = 0 → y = 0

(1a) –y + z = –2 → 0 + z = –2 → z = –2

(2a) x – 2y + z = 3 → x – 0 – 2 = 3 → x = 5

Solució: x = 5, y = 0, z = –2

0 –1 1 –21 –2 1 30 13 0 0

0 –1 1 –21 –2 1 30 11 2 –4

2 –5 3 41 –2 1 35 1 7 11

1. Resol pel mètode de Gauss el

sistema següent:

2x – 5y + 3z = 4x – 2y + z = 3

5x + y + 7z = 11

EXERCICIS RESOLTS

(1a) – 2 · (2a)

(2a)

(3-a) – 5 · (2a)

(1a)

(2a)

(3a) – 2 · (1a)

Diferents tipus de sistemes d’equacions

En finalitzar el procés, podem arribar a un dels casos següents:

I. ( ) n un nombre diferent de zero

nn un nombre qualsevol

Hi ha tantes equacions vàlides com incògnites. Pas a pas, obtenimun valor numèric per a cada incògnita.

És, per tant, un sistema compatible determinat.

II. ( ) Hi ha menys equacions vàlides que incògnites.

Les incògnites que estan de més es passen al segon membre, amb laqual cosa el valor de les altres es donarà en funció d’aquestes.

El sistema és compatible indeterminat. La solució general vindràdonada amb tants paràmetres com incògnites hàgim passat al segonmembre.

III. ( ) L’equació assenyalada no es pot complir mai.

El sistema és incompatible.

… … … … … …… … … … … …0 0 0 … 0 n

n nn nn nn nn0 n nn nn nn0 0 n nn nn

n nn nn nn nn0 n nn nn nn0 0 n nn nn0 0 0 n nn

20

EXERCICIS PROPOSATS

8. Resol aquests sistemes d’equacions mitjançant elmètode de Gauss:

a)

b)

c)

9. Resol mitjançant el mètode de Gauss:

a)

b)

c)

2x – y + w = 9x – 2y + z = 11

5x – y + z + w = 245x – 2y – z + 2w = 0

2x – y + w = 0x – 2y + z = 0

5x – y + z + w = 05x – 2y – z + 2w = 0

x – y + 2z = 2–x + 3y + z = 3x + y + 5z = 7

x – 2y = –3–2x + 3y + z = 42x + y – 5z = 4

3x – 4y + 2z = 1–2x – 3y + z = 25x – y + z = 5

x + y + z = 23x – 2y – z = 4

–2x + y + 2z = 2

2. Resol pel mètode de Gauss el

sistema següent:

x – 3y + 7z = 105x – y + z = 8x + 4y – 10z = –11

3. Resol pel mètode de Gauss elsistema següent:

x – 3y – 2z = 72x – y + 15z = 3x – 8y – 21z = 11

( ) ( )( ) → {La tercera equació desapareix perquè és proporcional a la segona. Elsistema ja està escalonat passant la tercera columna (la z) al terme in-dependent. El sistema és compatible indeterminat.

(2a) 7y – 17z = –21 → y = = –3 + z

(1a) x – 3y + 7z = 10 → x = 10 + 3 (–3 + z) – 7z = 1 + z

La solució és: x = 1 + λ; y = –3 + λ; z = λ

Si en comptes de prendre z = λ prenem z = 7λ, la solució es posariaaixí:

x = 1 + 2λ; y = –3 + 17λ; z = 7λ

177

27

27

177

177

–21 + 17z7

x – 3y + 7z = 10x – 7y – 17z = –21

1 –3 7 100 7 –17 –21

1 –3 7 100 14 –34 –420 7 –17 –21

1 –3 7 105 –1 1 81 4 –10 –11

( ) ( )( )La fila (0 0 0 | –7) representa l’equació 0x + 0y + 0z = –7, queés impossible. El sistema és incompatible.

1 –3 –2 70 5 19 –110 0 0 – 7

1 –3 –2 70 5 19 –110 –5 –19 4

1 –3 –2 72 –1 15 31 –8 –21 11

(1a)

(2a) – 2 · (1a)

(3a) – (1a)

(1a)

(2a)

(3a) + (2a)

(1a)

(2a) – 5 · (1a)

(3a) – (1a)

(1a)

(2a) desapareix

(3a)

2. Exercicis de reforç. Plantejament i resolució de problemes.

21

UNITAT 1

Això, més que un sistema d’equacions,n’és un conjunt.

Per a cada valor del paràmetre k hi ha un sistema d’equacions diferent.

D’aquests infinits sistemes, és possible que uns siguin compatibles i d’altresincompatibles. Discutir el sistema dependent del paràmetre és reconèixerels valors de k per als quals el sistema és d’un tipus o d’un altre.

x + y + kz = 1kx + (k – 1)y + z = kx + y + z = k + 1

EXERCICIS PROPOSATS

10. Discuteix, en funció del paràmetre k, aquestssistemes d’equacions:

a) b)

11. Discuteix aquests sistemes d’equacions en fun-ció del paràmetre k:

a) b)x + y + z = 1

y + kz = 1x + 2y = k

kx + y – z = 8x + y + z = 0

2x + z = k

4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 0

4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 1

Utilitzarem el mètode de Gauss:

( ) ( )• Si k = 1, la darrera fila és (0 0 0 | 1). El sistema és incompatible.

• Si k Þ 1, aleshores z = y = (1 – k2) = k2 + k

x =

És a dir, per a qualsevol k Þ 1, el sistema és compatible, determinat.

Solució: ( , k2 + k, )Atenció: No hi ha infinites solucions sinó infinits sistemes, un per acada valor de k. I cada un d’aquests té solució única, excepte el corres-ponent a k = 1, que no té solució. Per exemple, per a k = 2, el siste-ma és:

La solució és: x = –1, y = 6, z = –2

x + y + 2z = 12x + y + z = 2x + y + z = 3

k1 – k

k3 – k2 – 2k + 11 – k

k3 – k2 – 2k + 11 – k

k1 – k

k1 – k

1 1 k 10 –1 1 – k2 00 0 1 – k k

1 1 k 1k k – 1 1 k1 1 1 k + 1

1. Discuteix i resol, quan es

pugui, el sistema següent:

x + y + kz = 1kx + (k – 1)y + z = kx + y + z = k + 1

EXERCICIS RESOLTS

Discutir un sistema d’equacions dependent d’un o més paràmetresés identificar per a quins valors dels paràmetres el sistema és compa-tible, distingint els casos en què és determinat o indeterminat.

1.5 DISCUSSIÓ DE SISTEMES D’EQUACIONS

(1a)

(2a) – k · (1a)

(3a) – (1a)

3. Exercicis de reforç sobre discussióde sistemes d’equacions.

En el teu CD s’explica com s’ha de treballar:

amb DERIVE (4) ambCALCULADORA GRÀFICA (5), i amb software WIRIS (6) alguns aspectes d’aquesta unitat.

22

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

Sistemes amb més incògnites que equacions

Resol i interpreta geomètrica-ment els sistemes següents:

a)x + 3y – z = 1

2x + y – 2z = –3

b)x + 2y – z = 3

3x + 6y – 3z = 1

c)2x – 4y + 6z = 2x – 2y + 3z = 1

Aquests sistemes mai no tenen solució única. Poden tenir infinites solu-cions o no tenir-ne cap.

a) Passem z al segon membre i fem z = λ (paràmetre). Així el sistematindrà tantes equacions com incògnites.

x + 3y = 1 + λ (1a) x + 3y = 1 + λ x = –2 + λ2x + y = –3 + 2λ (2a) – 2 · (1a) – 5y = –5 → y = 1

z = λ

Les solucions del sistema són (–2 + λ, 1, λ).

Per a cada valor de λ obtenim una solució diferent.

Comprovació –2 + λ + 3 – λ = 12 (–2 + λ) + 1 – 2λ = –3

Són dos plans que es tallen en una recta.

b) x + 2y – z = 33x + 6y – 3z = 1

El sistema no té solució.

Són dos plans paral·lels.

c) 2x – 4y + 6z = 2x – 2y + 3z = 1

El sistema té infinites solucions.

Per resoldre’l prescindim d’una de les equacions i en l’altra passem zi y al segon membre.

x = 1 + 2y – 3z

y = λ

z = µ

Representen un mateix pla.

Les solucions són (1 + 2λ – 3µ, λ, µ)Per a cada parell de valors de λ i µ obtenimuna solució.

Les dues equacions són proporcionals. Qualsevolsolució de la primera també ho és de la segona.

Les dues equacions són incompatibles, ja que six + 2y – z = 3, hauria de ser 3x + 6y – 3z = 9.

1

ran (M) = ran (M') = 2

ran (M) = 1, ran (M') = 2

ran (M) = ran (M') = 1

ran (M) = ran (M') = 2

ran (M) = 1, ran (M') = 2

ran (M) = ran (M') = 1

ran (M) = ran (M') = 2

ran (M) = 1, ran (M') = 2

ran (M) = ran (M') = 1

23

1

Mètode de Gauss

Resol i interpreta geomètrica-ment els següents sistemes d’e-quacions:

a)

b)

c)3x + 2y = 6x + y = 1

3x + 2y = 0

2x + 3z = –13x – 2y – 2z = 55x + 2y + 14z = –9

x – y + z = 02x – y – z = 5x + 2y + z = –3

2x – 4y – z = 8

a) Hi apliquem el mètode de Gauss:

( ) ( )( ) ( )

→

Solució: (1, –1, –2)

El sistema representa quatre plans quetenen un punt en comú.

b) Com que cap dels coeficients de les incògnites és igual a 1, agafem laprimera equació com a referència:

( ) ( )( ) →

El sistema és compatible indeterminat, té infinites solucions. El reso-lem passant la tercera columna (z) al segon membre.

x = – – z

y = – – z

El sistema representa tres plans quetenen una recta en comú.

c) La primera i la tercera equació són contradictòries. El sistema és in-compatible. Ho comprovem aplicant-hi el mètode de Gauss:

( ) ( ) →

La tercera equació no es pot complir mai. El sistema no té solució;representa dues rectes paral·leles i una altra que les talla.

3x + 2y = 6y = –3

0x + 0y = –6

3 2 60 1 –30 0 –6

3 2 61 1 13 2 0

134

134

32

12

2x + 3z = –1– 4y – 13z = 13

2 0 3 –10 –4 –13 130 0 0 0

2 0 3 –10 –4 –13 130 4 13 –13

2 0 3 –13 –2 –2 55 2 14 –9

x = y – z = –1 + 2 = 1y = 5 + 3(–2) = –1z = –2

x – y + z = 0y – 3z = 5

9z = –18

1 –1 1 00 1 –3 50 0 9 –180 0 0 0

1 –1 1 00 1 –3 50 0 9 –180 0 –9 18

1 –1 1 00 1 –3 50 3 0 –30 –2 –3 8

1 –1 1 02 –1 –1 51 2 1 –32 –4 –1 8

2

(1a)

(2a) – 2 · (1a)

(3a) – (1a)

(4a) – 2 · (1a)

(1a)

(2a)

(3a)

(4a) + (3a)

(1a)

(2a)

(3a) – 3 · (2a)

(4a) + 2 · (2a)

(1a)

2 · (2a) – 3 · (1a)

2 · (3a) – 5 · (1a)

(1a)

(2a)

(3a) + (2a)

Solucions: (– – λ, – – λ, λ)134

134

32

12

(1a)

3 · (2a) – 1a

3a – 1a

24

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

Discussió de sistemes lineals

Discuteix i resol aquests siste-mes en funció del paràmetreque hi apareix:

a)

b)

c)

(Aquests sistemes en què elstermes independents són 0s’anomenen homogenis.)

x – z = 0x – y + az = 0x + ay + z = 0

x + my = m – 1mx + y = 2 – 2m

x + y + 2z = 3x + 2y + 3z = 5x + 3y + mz = 7

a) ( ) ( )( )

n Si m = 4, la darrera fila es pot suprimir. El sistema és compatibleindeterminat:

Solucions: (1 – λ, 2 – λ, λ)

n Si m Þ 4, el sistema és compatible determinat:

Solució: (1, 2, 0)

b) ( ) ( )Busquem els valors que anul·len el coeficient de la y en la segonaequació: 1 – m2 = 0 → m = ±1

n Si m = –1, la segona equació serà 0 · y = 2. El sistema és incom-patible.

n Si m = 1, la segona equació 0 · y = 0 es pot suprimir. El sistemaés compatible indeterminat. Només ens queda l’equació x + y = 0,que resolem si considerem la y com a paràmetre. Les solucionssón: (–λ, λ)

n Si m Þ ±1, el sistema és compatible determinat. Per a cada valorde m tenim un sistema diferent amb solució única:

( , )

c) ( ) ( )( )Per a cada valor de a tenim un sistema diferent amb solució única,que és (0, 0, 0).

Com que l’equació a2 + a + 2 = 0 no tésolució, el sistema sempre és compatibledeterminat.

1 0 –1 00 –1 a + 1 00 0 a2 + a + 2 0

1 0 –1 00 –1 a + 1 00 a 2 0

1 0 –1 01 –1 a 01 a 1 0

–m2 – m + 21 – m2

2m2 – m – 11 – m2

1 m m – 10 1 – m2 –m2 – m + 2

1 m m – 1m 1 2 – 2m

x + y + 2z = 3y + z = 2

(m – 4)z = 0

x = 3 – (2 – z) – 2z = 1 – zy = 2 – z

x + y = 3 – 2zy = 2 – z

1 1 2 30 1 1 20 0 m – 4 0

1 1 2 30 1 1 20 2 m – 2 4

1 1 2 31 2 3 51 3 m 7

3

(1a)

(2a) – (1a)

(3a) – (1a)

(1a)

(2a)

(3a) – 2 · (2a)

(1a)

2a – m · (1a)

(1a)

(2a) – (1a)

(3a) – (1a)

(1a)

(2a)

(3a) + a · (2a)

25

1

Plantejament i discussió d’un problema

Un caixer automàtic conté1330 € en bitllets de 10 €, 20 €i de m €. Hi ha en total 97 bit-llets i el nombre de bitllets de10 € és el doble del nombrede bitllets de 20 €.

a) Planteja un sistema d’equa-cions per esbrinar quantsbitllets hi ha de cada tipus.

b) Prova que si m [[ {5, 50, 100,200, 500} el sistema és com-patible determinat.

c) Argumenta si al caixer hipot haver bitllets de 100 €.

a) i b) Anomenem x, y, z el nombre de bitllets de 10 €, 20 € i m €

respectivament.

→ ( )( ) ( )

Per tant, si m [ {5, 50, 100, 200, 500} el sistema serà compatible de-terminat.

c) Si m = 100 tindríem 260z = 110 → z = que no té sentit en el

context del problema, ja que z ha de ser un nombre natural.

Per tal que el problema tingui solució vàlida ha de ser m = 50 i enaquest cas la solució és x = 64, y = 32, z = 1.

110260

x – 2y = 03y + z = 97(3m – 40)z = 110

1 –2 0 00 3 1 970 0 3m – 40 110

1 –2 0 00 3 1 970 40 m 1330

1 –2 0 01 1 1 9710 20 m 1330

x = 2yx + y + z = 9710x + 20y + mz = 1330

Per tal que el sistema sigui compatibleha de ser:

3m – 40 Þ 0 → m Þ403

4

Afegir una equació a un sistema d’equacions

Donat el sistema:

a) Com ha de ser l’equació quecal afegir-li perquè sigui in-compatible?

b) I perquè sigui compatible in-determinat?

2x – y + 2z = 1x + y – z = 3

a) Una equació que faci el sistema incompatible ha de ser de la forma:

a (2x – y – 2z) + b (x + y – z) = k amb k Þ a + 3b

Per exemple, amb a = 1 i b = 1: 3x + z = 7

b) El sistema serà compatible indeterminat si l’equació és de la forma:

a (2x – y + 2z) + b (x + y – z) = a + 3b

Per exemple (a = 1, b = 1):

3x + z = 4

5

Sistemes amb infinites solucions

Siguin S i S' dos sistemes dedues equacions amb dues in-cògnites que difereixen nomésen els termes independents. SiS té solucions infinites, pot S'tenir una única solució?

Siguin S: i S':

Com que S té infinites solucions, els coeficients de les incògnites i elstermes independents són proporcionals: a/a' = b/b' = c/c'

Si en S' es verifica a/a' = b/b' = d/d', aleshores S' tindrà també solu-cions infinites.

Però si a/a' = b/b' Þ d/d', el sistema S' serà incompatible. Per tant, S' no pot tenir una única solució.

ax + by = da'x + b'y = d'

ax + by = ca'x + b'y = c'

6

(1a)

(2a) – (1a)

(3a) – 10 (1a)

(1a)

(2a)

3 (3a) – 40 (2a)

26

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

PER PRACTICAR

Resolució i interpretació geomètrica dels sistemesd’equacions

12. Troba, si existeix, la solució dels sistemes se-güents i interpreta’ls gràficament:

a) b)

13. Comprova que aquest sistema és incompatible i raona quina és la posició relativa de les tresrectes que representa:

14. Resol i interpreta geomètricament el sistema:

15. Raona si aquests sistemes tenen solució i inter-preta’ls geomètricament:

a) b)

Sistemes escalonats

16. Resol els sistemes següents però reconeix prè-viament que són escalonats:

a) b)

c) d)

17. Transforma en escalonats i resol els sistemes se-güents:

a) b)

Mètode de Gauss

18. Resol aquests sistemes d’equacions lineals:

a) b)

19. Resol:

a) b)

20. Resol, si és possible, els sistemes següents:

a) b)

c) d)

21. Classifica els sistemes següents en compatibleso incompatibles:

a) b)

22. Estudia els sistemes següents i resol-los pel mè-tode de Gauss:

a) b)

23. Estudia i resol aquests sistemes pel mètode deGauss:

a) b)

c) d)x – y + 3z – 14t = 0

2x – 2y + 3z + t = 03x – 3y + 5z + 6t = 0

5x + 2y + 3z = 42x + 2y + z = 3x – 2y + 2z = –3

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

–x + y + 3z = –24x + 2y – z = 52x + 4y – 7z = 1

2x – 3y + z = 0x + 2y – z = 0

4x + y – z = 0

x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11x – 5y + 6z = 29

x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1

x + y + z = 3x + y – z = 3

z = 0

2x – 3y + z = 03x – y = 04x + y – z = 0

–x + 2y – z = 12x – 4y + 2z = 3x + y + z = 2

x + 2y + z = 32x – y + z = –1

x + 2y + z = 9x – y – z = –10

2x – y + z = 5

3x + 4y – z = 36x – 6y + 2z = –16x – y + 2z = –6

x + y – z = 13x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 1

3x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 3x + y + z = 0

2x + 5y = 16x + 3y – 2z = –2x + z = 4

– y + z = 1x – 2y – z = 2

3x – y + z = 3

2x – y = 75x + 3y = –17

2x – 3y + z = 03x – y = 0

2y = 1

x + y – t = 2y + z = 4y + t – z = 1

– y + z = 19z = 2

3x – y + z = 3

2x – y = 711y = –69

–x + 3y + 6z = 32/3x – 2y – 4z = 2

x + 2y – z = 32x + 4y – 2z = 1

–x + 2y = 02x + y = –1

(3/2)x – 3y = 0

x + 2y = 53x – y = 12x + 4y = 0

x + 2y = 12x – y = 35x + y = 8

3x + y = 2x – y = 1

5x – y = 42x + 2y = 1

27

1

Discussió de sistemes lineals

24. Discuteix els sistemes següents i resol-los quansigui possible:

a) b)

25. Discuteix els següents sistemes d’equacions:

a) b)

c) d)

26. Resol cada un dels sistemes següents per als va-lors de m que el fan compatible:

a) b)

27. Discuteix i resol en funció del paràmetre:

a) b)

PER RESOLDRE

28. Discuteix i resol en els casos en què sigui possible:

a) b)

c) d)

29. Discuteix els sistemes següents segons els valorsde a i interpreta’ls geomètricament:

a) b)

30. Es considera el sistema d’equacions lineals:

a) Troba un valor de a per al qual el sistemasigui incompatible.

b) Discuteix si hi ha algun valor del paràmetrea per al qual el sistema sigui compatible de-terminat.

c) Resol el sistema per a a = 0.

31. Considera el sistema d’equacions:

a) Hi ha una solució en què y sigui igual a 0?

b) Resol el sistema.

c) Interpreta’l geomètricament.

32. Troba un nombre de tres xifres sabent que aques-tes sumen 9; que, si del nombre donat se li restael que resulta d’invertir l’ordre de les seves xi-fres, la diferència és 198, i que la xifra de les de-senes és mitjana aritmètica de les altres dues.

* Si x és la xifra de les unitats, y la de les desenes i zla de les centenes, el nombre serà x + 10y + 100z.

33. A, B i C són tres amics. A li diu a B: si et dono latercera part dels meus diners, els tres en tindremla mateixa quantitat. Calcula el que té cadascú sientre els tres tenen 60 €.

34. Un magatzemista disposa de tres tipus de cafè:el tipus A de 9,8 €/kg; el B de 8,75 €/kg i el Cde 9,5 €/kg. Vol fer una mescla amb els tres ti-pus de 10,5 kg a 9,40 €/kg. Quants quilos decada tipus ha de mesclar si ha de posar el dobledel tipus C que dels tipus A i B?

2x – 2y – z = 4x + 2y – 2z = –1x – z = 1

x + 2y + 3z = 1x + ay + 3z = 2

2x + (2 + a)y + 6z = 3

x – y = 12x + 3y – 5z = –16x + αy – z = 0

αx – y = 1x – αy = 2α – 1

2x + y – 3z = 02x + az = 06x + ay – 9z = 0

x + 2z = 11x + y = 3

ax + y + 2z = 0

3x + 2y – z = 1x – z = 1

2x + 2y + (m + 1)z = 0

2x – 3y + z = 0x – ky – 3z = 0

5x + 2y – z = 0

x + y + z = 03x + 2y + az = 52x + y + z = 3

–x + my + z = 22x – y + 2z = 0–x – 3z = –2

x – y – 2z = 22x + y + 3z = 13x + z = 3x + 2y + 5z = m

x + 2y = 32x – y = 14x + 3y = m

3x + 2y + az = 15x + 3y + 3z = 2x + y – z = 1

x – 2y + z = 1mx + y – z = 13x + 4y – 2z = –3

x + y – z = 0x + 3y + z = 0

3x + ay + 4z = 0

x – y – z = kx – y + 2z = 1

2x + y + kz = 0

2x + y – z = 1x – 2y + z = 3

5x – 5y – 2z = m

2x – y = 4–x – y/2 = –2x + ky = 2

28

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

35. Una botiga ha venut 600 exemplars d’un video-joc per un total de 6384 €. El preu original erade 12 €, però també ha venut còpies defectuo-ses amb descomptes del 30 % i del 40 %. Si sa-bem que el nombre de còpies defectuoses ve-nudes va ser la meitat del de les còpies en bonestat, calcula a quantes còpies se’ls va aplicarel 30 % de descompte.

36. Un caixer automàtic conté 95 bitllets de 10, 20 i 50 € i un total de 2000 €. Si el nombre de bitlletsde 10 € és el doble que el nombre de bitllets de20 €, descobreix quants bitllets hi ha de cada tipus.

37. En un taller de joieria es fabriquen collarets amb50, 75 i 85 perles. Per fer-ho s’utilitzen en total17 500 perles i 240 tanques.

a) Quants collarets de cada mida s’han de fabri-car si es volen tants collarets de mida mitjanacom la mitjana aritmètica del nombre de co-llarets grans i petits?

b) Sense tenir en compte la condició anterior, éspossible fabricar el mateix nombre de colla-rets de cada mida?

38. En una botiga, per comprar 2 jaquetes i unabrusa ens cobren 200 €. Si tornem a la botiga icomprem una jaqueta, uns pantalons i tornem labrusa, ens cobren 100 €. Si fem una tercera visi-ta a la botiga i comprem 5 jaquetes, uns panta-lons i una brusa, quant ens cobraran?

* Expressa el preu dels pantalons i de les bruses enfunció del de les jaquetes.

39. Tres entitats financeres A, B i C ofereixen, res-pectivament, per a dipòsits superiors a 2000 €,un interès anual del 2 %, 3 % i K %. La Joana, enManel i en Daniel decideixen invertir els seus es-talvis en aquestes entitats durant un any. Si totsho fessin a A obtindrien en total uns beneficis de164 €; però si la Joana optés per A, en Manelper C i en Daniel per B, obtindrien 192 €; i si laJoana i en Manel es decidissin per B i en Danielper C, obtindrien 218 €.

a) Escriu un sistema d’equacions que descrigui lasituació.

b) Calcula, sense resoldre el sistema, la quantitatde diners invertits entre les tres persones.

c) Troba, si existeix, un valor de K per al qual hihagi infinites solucions. Resol el sistema pera l’esmentat valor de K i troba tres solucionsdiferents.

40. Una persona ha obtingut 6000 € de benefici perinvertir un total de 60 000 € en tres empreses:A, B i C. La suma dels diners invertits en A i Bva ser m vegades els invertits en C i els beneficisvan ser el 5% en l’empresa A, el 10% en la B iel 20% en la C.

a) Planteja un sistema d’equacions per esbrinarla quantitat invertida en cada empresa.

b) Prova que si m > 0 el sistema és comptabledeterminat.

c) Troba la solució per a m = 5.

41. Les edats d’un noi, el seu pare i el seu avi complei-xen les condicions següents: la suma de les edatsdel pare, del fill i el doble de la de l’avi fa 182 anys.El doble de l’edat del fill més la de l’avi fa 100 anysi l’edat del pare és a vegades la del seu fill.

a) Troba les edats dels tres suposant que a = 2.

b) És possible que a = 3?

c) Si a = 3 i en la primera condició la suma és200, què passa amb el problema?

42. Una marca comercial utilitza tres ingredients A,B i C en l’elaboració de tres tipus de pizzes P1,P2 i P3. La pizza P1 s’elabora amb 1 unitat de A,2 de B i 2 de C; la P2 s’elabora amb 2 unitats deA, 1 de B i 1 de C, i la P3 s’elabora amb 2 unitatsde A, 1 de B i 2 de C. El preu de venda al pú-blic és de 4,80 € per a la P1, 4,10 € per a la P2 i4,90 € per a la P3. Si sabem que el benefici ésde 1,60 € en cada una, troba quant li costa a lamarca comercial cada unitat de A, B i C.

QÜESTIONS TEÒRIQUES

43. Si tenim un sistema compatible indeterminat de2 equacions lineals amb 2 incògnites, es pot acon-seguir un sistema incompatible afegint-hi una ter-cera equació?

44. Si a un sistema de 2 equacions amb 2 incògnitesincompatible li afegim una altra equació, po-dríem aconseguir que fos compatible indetermi-nat? I determinat? Justifica les respostes.

45. Quantes solucions té el següent sistema si a ésdiferent de 1. I si a és igual a 1? Pot ser incom-patible?

x + y + 2z = 0(a – 1) x = 0

x + 3z = 0

Al CD que acompanya el llibre trobaràs una autoavaluació d’aquesta unitat. També hi trobaràs les solucions d’aques-ta autoavaluació perquè comprovis si ho has fet bé.

29

1

46. És possible convertir aquest sistema en compati-ble indeterminat si hi canviem un signe?

47. Donades les equacions:

a) Afegeix-hi una equació perquè el sistema si-gui incompatible.

b) Afegeix-hi una equació perquè el sistema si-gui compatible determinat.

Justifica en cada cas el procediment seguit.

48. Defineix quan dos sistemes d’equacions linealssón equivalents. Justifica si són equivalents o noels sistemes següents:

49. Siguin S i S' dos sistemes equivalents amb so-lució única que tenen iguals els termes indepen-dents. Podem assegurar que tenen iguals elscoeficients de les incògnites?

PER APROFUNDIR

50. Troba raonadament dos valors del paràmetre aper als quals el sistema següent sigui incompa-tible:

51. Discuteix els sistemes següents en funció delparàmetre a i resol-los en cas que siguin com-patibles indeterminats:

a) b)

52. Discuteix el sistema següent segons els valorsdel paràmetre a. Interpreta’l geomètricament:

53. Resol el sistema següent:

* Si sumes les cinc igualtats, n’obtindràs una altraamb què se’t poden simplificar molt els càlculs.

54. Ens diuen que x, y, z, t, w són nombres entersi que k val 36 o 38. Decideix raonadamentquin dels dos és el seu valor i resol el sistemasegüent:

55. Una colla formada per 6 obrers es compromet apodar els arbres d’una plantació. Treballen dedilluns a dissabte. Cada dia, cinc d’ells poden i elsisè els atén (reposa eines, els dóna aigua, arre-plega els troncs que cauen…). Cada obrer podael mateix nombre d’arbres cada dia, és a dir, sil’Albert poda 8 arbres un dia, podarà 8 arbrescada dia que intervingui.

Els resultats són:

Dilluns: 34 arbres podats.

Dimarts: 36 arbres podats.

Dimecres: 37 arbres podats.

Dijous: 38 arbres podats.

Divendres: 40 arbres podats.

Dissabte: No sabem si són 33 o 35 arbres podats.

Calcula quants arbres diaris poda cada un delssis obrers sabent que són nombres enters i quecap d’ells poda els sis dies.

x + y + z + t = 35x + y + z + w = 36x + y + t + w = 38x + z + t + w = 39

y + z + t + w = k

x + y + z + t = 17x + y + z + w = 16x + y + t + w = 15x + z + t + w = 14

y + z + t + w = 14

ax + y + z – 4 = 0x + y + z + 1 = 0x – ay + z – 1 = 0

ax + y – z = 02x + ay = 2–x + z = 1

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = 1

x + y + 2z = 0ax + y + 2z = 1

x + 3z = 22x + az = 3

x = 2y = 1z = –1

x + y + z = 2x + y – z = 4

3x – 2y + z = 52x – 3y + z = –4

x + y + z = 1x – y + z = 1x + y – z = 1