Lógica de Proposiciones y de Predicado · PDF fileUT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y...

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  • Franco D. Menendez

    LABIA

    FACET - UNT

    Universidad Nacional de Tucumán Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología

    Lógica de Proposiciones

    y de Predicado

  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) »Cada lógica da lugar a un lenguaje para realizar declaraciones acerca de los objetos y para realizar razonamientos acerca de las propiedades de esos objetos. »Las declaraciones en un lenguaje lógico están construidas de acuerdo a un conjunto predefinido de reglas de formación denominadas Reglas de Sintaxis.

    »El lenguaje natural no es adecuado para llevar a cabo un razonamiento lógico. ⋄El lenguaje natural es muy rico en contenido y no puede ser descrito formalmente. ⋄El significado de una oración es ambiguo.

    »Un lenguaje lógico tiene cierta sintaxis y el significado o semántica, de una declaración o proposición expresada en este lenguaje esta dado por una interpretación en su estructura. Dados un lenguaje lógico y su semántica, podemos tener una o mas sistemas de comprobación para este sistema lógico.

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  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica)

    »La lógica proposicional es el sistema lógico con la semántica mas simple. Sin embargo muchos de los conceptos y técnicas utilizadas para estudiar la lógica proposicional es generalizada para la lógica de predicado de primer orden. En la lógica de predicado existen proposiciones atómicas y proposiciones compuestas. Los hechos o proposiciones atómicas pueden ser interpretadas como verdaderas o falsas. »Las consecuencias del conjunto de proposiciones es una estructura cerrada . Que pueden ser verdaderas para todas las interpretaciones posibles llamada tautología (“verdad universal”).

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  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica)

    El alfabeto L del lenguaje formal, es un conjunto conformado por tres conjuntos sin

    elementos en común (conjuntos disyuntos). Ellos son:

    »1.- El conjunto V de variables proposicionales. Este conjunto es infinito y

    enumerable.

    V = { p1, p2, ....., pn, .... }

    »2.- El conjunto K de conectores proposicionales.

    K = {  }  { ,  ,  ,  )

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  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica)

    »3.- El conjunto P de símbolos de puntuación o paréntesis. Este conjunto es de naturaleza impropia.

    P = { ( , ) }

    En consecuencia el alfabeto, correspondiente a un lenguaje formal para la lógica, está definido por la unión de los tres conjuntos antes detallados.

    L = V  K  P La letra «p» que representan proposiciones, reciben el nombre de «variables lógicas». Estas variables reciben los siguientes dos valores V y F, por lo que a esta lógica recibe el nombre de «Lógica Bivalente». Ejemplo 1: El niño juega

    Ejemplo 2: El niño juega y no llora

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  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) »Conectores Proposicionales

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    CONECTIVO DENOMINACIÓN LECTURA EN ESPAÑOL

     Conjunción Y

     Disyunción O

     Implicación o

    Condicional

    si ... entonces

     Bicondicional o

    Equivalencia

    si y sólo si ... entonces

     Negación No

  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica)

    Símbolos de Puntuación Los símbolos de puntuación permiten ordenar grupos de palabras y separarlos de otros. En la lógica se utiliza signos de puntuación para evitar equívocos. EJEMPLO

    p  q  r

    (p  q)  r

    p  (q  r)

    Se podrán utilizar paréntesis, corchetes y llaves, significando lo mismo desde el punto de

    vista de la sintaxis del lenguaje formal.

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  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica)

    Cadenas de Caracteres: Concatenación CADENA VACÍA: es aquella cadena que no contiene ningún signo o símbolo del alfabeto L y la denotamos de la siguiente forma: " < > ". CONCATENACIÓN: Cuando colocamos dos cadenas, una a continuación de la otra, obtenemos otra cadena y que la representaremos por " ᴖ " y que es una ley de composición interna a la que denominamos concatenación, es asociativa pero no es conmutativa. ( A ᴖ B ) ᴖ C es lo mismo que A ᴖ ( B ᴖ C ) A ᴖ B es diferente de B ᴖ A CADENA NEUTRA: La cadena vacía es denominada también cadena neutra a derecha e izquierda para la concatenación ( no altera a la cadena concatenada con ella ). A ᴖ < > = < > ᴖ A = A

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  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica)

    El lenguaje del Calculo de Proposiciones (EBF) El conjunto de EBF constituye el lenguaje del calculo proposicional. Por lo que este conjunto (F) es un subconjunto del alfabeto L. REGLAS DE BUENA FORMACION: El conjunto F de todas las EBF, se define como un conjunto de Reglas Recurrentes, denominadas Reglas de Buena Formación. REGLA I: Una variable proposicional cualquiera es una EBF. " p  V; p  F o lo que es lo mismo V  F REGLA II: REGLA II-1: Si A es una EBF, entonces  A es una EBF REGLA II-2: Si A y B son EBF, entonces (A * B) es una EBF, donde * K – { }

    REGLA III: es también denominada la regla de CLAUSURA. Solamente las cadenas formadas

    por las Reglas I, II-1 Y II-2 son EBF.

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  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) »Definición Algebraica de la semántica del Lenguaje Proposicional: A los efectos de poder tratar de la manera booleana la semántica del lenguaje, confundiremos los valores de verdad (FALSO, VERDADERO) con la dupla (0,1);

    »Evaluación de las EBF: sea F una formula conformada por p0, p1, …. pk, la semantica no dice bajo que condición px son verdaderos o falsos. Lo que permite es una interpretación de la distribución de valores de verdad del mismo, el cual determina el resultado de F.

    »Ejemplo (p  (q  r))

    Donde δ(p)=0 , δ(q)=1 δ( r) =1

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  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) Definición por Recurrencia de la Semántica de las EBF Sea δ una distribución de verdad que posee las variables proposicionales p1,p2,…. Pn cuyos valores tomados del conjunto son {0,1}donde su notación será de la forma δ (p1). Definimos una aplicación Fδ del conjunto F de las EBF sobre el conjunto Z={0,1}.

    Fδ = F  { 0,1 } La Función por recurrencia se define de la siguiente manera:

    1.Fδ (p) = δ (p) : " p  V

    2.Fδ ( A) = ’ δ (A) = 1 - Fδ ( A)

    3.Fδ (A  B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MIN ((Fδ (A ), Fδ ( B))

    4.Fδ (A  B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MAX ((Fδ (A ), Fδ ( B))

    5.Fδ (A  B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MAX ((Fδ ( A ), Fδ ( B))

    6.Fδ (A  B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MIN ((Fδ (A  B ), Fδ ( B  A))

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  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TAUTOLOGIA, CONTRADICCION E INDEFINICION Los otros usos mas que realizaremos de la tabla de verdad es: 1.Para determinar el valor de verdad de las proposiciones. 2.Para determinar el carácter de las proposiciones. 3.Para descubrir relaciones entre proposiciones dadas. 4.Para determinar la validez de razonamientos. Definimos »Avaloración: al conjunto de combinaciones de los valores de verdad de una formula.

    »Dominio: alude solamente a aquellos casos de avaloración verdaderos. Se define dominio pleno cuando todas las avaloraciones tienen resultado verdadero siempre. El dominio se dice vacío cuando en la avaloración solo figuran F.

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  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TAUTOLOGIA, CONTRADICCION E INDEFINICION Ejemplo: (p  q) ; (p  q)  ( p  q) ; p  ( p  q)

    Los enunciados o fórmulas del primer tipo, aquellos que a veces son falsos y otras

    verdaderos, reciben el nombre de INDEFINIDOS. Los del segundo tipo, siempre verdaderos,

    se denominan TAUTOLOGÍAS; los del tercer tipo, siempre falsos, son denominados

    CONTRADICCIONES.

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    p q (p  q) (p  q)  ( p  q) p  ( p  q)

    V V V V V V F F

    V F V F V F F F

    F V V V V V F V

    F F F V V V F F

  • UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica)

    Validez y Consecuencia »Definición: Una fórmula proposicional A es satisfactoria si su valor es verdadero en alguna interpretación. Una interpretación satisfactoria es