Libro A4 - 13 Analisis Combinatorio

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Walter Olivera Ricalde

FACTORIAL DE UN NÚMERO (n!)

Se define factorial de un número “n” (es un número entero y positivo); al producto indicado de los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n y se denotado por n!

n!: factorial de n ó n factorial

Ejemplo:

5! : factorial de 5

8! : factorial de 8

Observación:

COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL DE UN NÚMERO (n!!)

La definición de cofactorial de un número, dependerá de la naturaleza de éste es decir; si es par o impar. Es decir:

*

Ejemplo:

*

Ejemplo:

PRINCIPIO DE CONTEO

I. PRINCIPIO DE LA ADICIÓN:

Si se puede realizar un primer procedimiento de “m” maneras, mientras que un segundo procedimiento se puede realizar de “n” maneras; y no se puede realizar los dos procedimientos simultáneamente; entonces realizar cualquiera de ellos se pueden realizar de:

Ejemplo 01. En un salón de 18 hombres y 20 mujeres se elige al azar un delegado que represente al salón. ¿Cuántas posibilidades hay para elegir dicho representante?a) 20 b) 18 c) 19 d) 38 e) 48

Solución

–1–

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Walter Olivera Ricalde Se puede elegir uno de los 18 hombres ó Se puede elegir uno de las 20 mujeres Hay 18 + 20 = 38 posibilidades. Rpta.

II. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN:

Supongamos que un primer procedimiento se puede efectuar “m” maneras y un segundo procedimiento “n” maneras pero en este caso que se efectúa el primero y seguido del segundo entonces se pueden efectuar de:

Ejemplo02. Del problema anterior; en lugar de elegir un solo representante, se desea elegir una pareja formada por un hombre y una mujer. ¿Cuántas son las posibilidades de elegir?a) 380 b) 300 c) 360 d) 400 e) 420

Solución

Escogemos uno de los 18 hombres; él puede hacer pareja con cualquiera de las 20 mujeres. Cada hombre tiene 20 posibilidades de hacer pareja. Dado que hay 18 hombres; entonces hay maneras de hacer pareja

360 maneras de elegir una pareja Rpta.

COMBINACIONES

Combinar “n” elementos tomándolos de “k” en “k” , es formar con los “n” elementos todos los grupos diferentes entre sí de “k” elementos cada uno

El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k. Se puede calcular por:

Ejemplo 03. Combinar los elementos A, B, C y D tomados de 2 en 2. Además indicar el número de combinaciones obtenidas.a) 4 b) 8 c) 12 d) 6 e) 18

Solución

Los elementos: A, B, C y D Las combinaciones:

A B B CA C B DA D C D

Son en total 6 combinaciones.

Si solo nos interesa el número de combinaciones usaremos la formula:

Rpta.

PERMUTACIONES

Permutar n elementos tomándolos de k en k, es ordenar de todas las maneras posibles los n elementos tomando k elementos para cada ordenamiento.

–2–


El número de permutaciones de n elementos tomando k a la vez, se puede calcular mediante:

Ejemplo 04. Permutar los elementos A, B, C y D tomándolos de 2 en 2. Además indicar el número de permutaciones.a) 12 b) 6 c) 8 d) 4 e) 10

Solución

Los elementos: A, B, C y D Las permutaciones:

A B B A C A D AA C B C C B D BA D B D C D D C

Son 12 permutaciones.

Si solo nos interesa el número de permutaciones aplicaremos la formula:

= Rpta.

PERMUTACIÓN LINEAL

Cuando un grupo de “n” elementos diferentes se deben permutar todos entre si en línea recta.

Ejemplo 05. Se tiene los dígitos 1, 2 y 3 ¿De cuántas maneras se puede ordenar?a) 4 b) 3 c) 6 d) 12 e) 5

Solución:

El ordenamiento posible entre los 3 dígitos es:123; 132; 312; 321; 231; 213 Son 6 ordenamientos.

Si quisiéramos solo el total de ordenamientos o permutaciones, bastará aplicar la fórmula:

Rpta.

PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

Tanto en las combinaciones como en las permutaciones que hemos visto los elementos que han intervenido son diferentes entre si. A continuación vamos a analizar el caso en que participan elementos repetidos, elementos que no son distinguibles entre si y para ello usaremos la siguiente formula.En general, si hay n elementos u objetos con de un tipo, con de un segundo tipo; …,

de un k-enésimo tipo; donde ; entonces el número de permutaciones de los n elementos está dado por:

–3–


Ejemplo 06.¿Cuántas son las permutaciones, de todas las letras de la palabra PAPI?a) 8 b) 4 c) 16 d) 12 e) 10

Solución

:hay 4 letras en total: hay 2 letras de P: hay 1 letra de A: hay 1 letra de I

Rpta.

PERMUTACIÓN CIRCULAR

Se refiere cuando, de cuantas maneras diferentes se pueden sentar un grupo de personas en una mesa redonda y para ello bastará saber la formula:

Ejemplo 07. Si se sientan 4 personas A, B, C y D alrededor de una mesa circular, ¿Cuántas disposiciones circulares distintas se pueden realizar tomando a uno de ellos como fijo?a) 4 b) 12 c) 3 d) 8 e) 6

Solución

Para este caso necesariamente uno de ellos debe estar inmóvil o fijo.

Rpta.

Nota: Cuando se trata de un arreglo circular cuando 2 o más estén fijos o inmóviles.

Ejemplo 08. ¿De cuántas maneras distintas, 7 amigos se ubican alrededor de una mesa a cenar; si tres de ellos en particular siempre están juntos?a) 120 b) 144 c) 125 d) 122 e) 126

Solución

Supongamos los 7 amigos.A, B, C, D, E, F y G, siempre juntos A, B y C veamos:

Permutación interna de A, B y C es lineal

–4–

A

B

C

D

E

F

G


. Rpta.

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo 01. Calcule el valor de W en:

a) 3600 b) 3500 c) 2500 d) 2600 e) 1500

Solución:

Rpta.

Ejemplo 02. Halle el valor de “a!”. Si a) 4 b) 12 c) 8 d) 9 e) 6

Solución:

Nos piden: Rpta.

Ejemplo 03. Simplifique la expresión:

a) 2!! b) 4!! c) 6 d) 4 e) 2

Solución:

Rpta.

–5–


Ejemplo 04. Simplificar la expresión:

a) 8 b) 9 c) d) e) 50

Solución:

Rpta.

Ejemplo 05. Hallar “x” en la siguiente ecuación:

a) 6 b) 4 c) 2 d) 8 e) 10

Solución:

Recuerda

(Igualación de términos)

Rpta.

Ejemplo 06. En un salón de clase hay 15 alumnas y 24 alumnos. ¿Cuántas parejas diferentes se pueden formar con los alumnos de este salón?a) 120 b) 240 c) 300 d) 360 e) 450

Solución:

Por el principio de la multiplicación. Rpta.

Ejemplo 07. El profesor WOR tiene en su estante 5 libros de RM y 8 libros de Aritmética, ¿De cuántas maneras diferentes se puede coger un libro de RM y otro libro de Aritmética?a) 20 b) 25 c) 40 d) 30 e) 35

Solución:

Por el principio de la multiplicación.

Rpta.

Ejemplo 08. Juan consulta en tres tiendas comerciales para comprar un televisor, donde le ofrecieron 3,5 y 6 líneas de crédito, respectivamente, todas diferentes. ¿De cuántas maneras distintas puede adquirir su televisor escogiendo una de las líneas de crédito?a) 10 b) 12 c) 9 d) 14 e) 90

–6–

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Walter Olivera Ricalde Solución:

Por el principio de la adición.Observa que Juan puede adquirir el televisor en cualquiera de las tres tiendas (I ó II ó III)

Tienda I ó Tienda II ó Tienda III 3 + 5 + 6 = Rpta.

Ejemplo 09. Una persona desea viajar de Lima a Trujillo. Y dispone de 2 líneas aéreas, 2 líneas terrestres y 1 ruta marítima. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar su viaje?a) 10 b) 5 c) 4d) 4 e) 9

Solución:

Por el principio de la adición.Es evidente que si la persona elige viajar por línea aérea, entonces ya no viaja por línea terrestre ni por mar y viceversa. Es decir, los eventos A, B, C son excluyentes (A ó B ó C).Evento “A”: Viajar por aire (De 2 formas ≠)Evento “B”: Viajar por tierra (De 2 formas ≠)Evento “C”: Viajar por mar (De 1 sola manera)

Entonces:

Nº de viajes= 5 maneras diferentes Rpta.

Ejemplo 10. ¿De cuántas maneras pueden ubicarse alternadamente cinco parejas de esposos, para jugar pocker alrededor de una mesa circular?a) 2200 b) 2880 c) 2800 d) 3200 e) 3100

Solución:

=

Pueden ordenarse alternadamente de 2880 formas distintas. Rpta.

Ejemplo 11. ¿Cuántas ensaladas, que contienen exactamente 4 frutas podemos hacer si disponemos de 10 frutas diferentes?a) 200 b) 180 c) 210 d) 190 e) 240

Solución:

Para preparar la ensalada bastará escoger 4 frutas de las 10 frutas. Si queremos ver de cuan tas maneras vamos ha preparar, usaremos la combinación.

–7–

1

1

22

3

3

4

45

5

MujerHombre

Elemento dereferencia

o punto fijo

LIMATRUJILLO

Aire

Tierra

Mar

o

o


=210 ensaladas distintas. Rpta.

Ejemplo 11. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de la fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el número de personas era:a) 12 b) 18 c) 20 d) 14 e) 16

Solución:

Sea: n: Número de personas y cómo las estrechadas de mano se dan cada 2 personas (sin interesar el orden)

# De estrechadas de mano:

El número de personas es 16 Rpta.

Ejemplo 12. Los cuatro hermanos de la familia Olivera desean sentarse en una banca. ¿De cuantas maneras se podrán sentar?a) 10 b) 20 c) 8 d) 24 e) 16

Solución:

Se trata de una permutación lineal Rpta.

Ejemplo 13. De A a B hay 6 caminos diferentes y de B a C hay 4 caminos diferentes. ¿De cuantas maneras se puede hacer el viaje de A hacia C pasando por B?a) 276 b) 424 c) 576 d) 368 e) N.A.

Solución:* Para la Ida:

De “A” a “B” hay 6 manerasDe “B” a “C” hay 4 manerasNro. de maneras de “A” a “C” pasando por “B”.

Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Simplificar la siguiente expresión:

a) 26 b) 18 c) 30d) 14 e) 13

2. Sabiendo que:

Hallar el valor de X.

a) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 15

3. Simplificar:

a) 1 b) 5 c) 3d) 2 e) 4

–8–

A B C

6 caminos 4 caminos


4. Dado: ; hallar "n".

a) 4 b) 6 c) 10d) 8 e) 12

5. Calcular:

a) 24 b) 26 c) 20d) 18 e) 22

6. Hallar: “n” en:

a) 18 b) 9 c) 7d) 19 e) 14

7. Silvia puede viajar de Sicuani a Cuzco por vía aérea usando 2 líneas de transporte aéreo o por vía terrestre a través de 3 líneas de ómnibus ¿De cuantas formas puede realizar el viaje de Sicuani a Cusco?a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 3

8. Juan desea comprar un libro de álgebra que es vendido en 3 lugares distintos; frente a la UNSAAC en dos puestos de venta; en la Avenida el Sol en 3 librerías y en la feria de libros en 4 kioscos diferentes ¿De cuántas maneras puede obtener el libro de álgebra? a) 9 b) 10 c) 45d) 30 e) 24

9. Antonio desea cruzar un río para ello puede utilizar 2 botes, 3 lanchas pequeñas o un deslizador ¿De cuántas formas podrá cruzar el río utilizando uno de los medios de transporte señalados?a) 6 b) 8 c) 12d) 3 e) 24

10. Ofelia tiene 2 polos distintos, 3 pantalones diferentes y 3 pares de medias. ¿De cuántas maneras distintas puede vestirse utilizando dichas prendas?a) 12 b) 18 c) 6d) 8 e) 24

11. Con cinco varones y ocho señoritas. ¿Cuántos equipos de natación diferentes pueden formarse si estos deben ser mixtos y de dos integrantes?a) 12 b) 40 c) 24d) 13 e) 30

12. Tres viajeros llegan a Quillabamba donde hay cuatro hoteles. ¿De cuantas maneras distintas pueden tomar sus habitaciones ubicándose en hoteles diferentes?a) 16 b) 10 c) 12d) 20 e) 24

13. De un grupo de 7 personas se desea seleccionar un comité que este integrado por cuatro personas. ¿De cuántas maneras se podrá hacer esto?a) 10 b) 16 c) 18d) 35 e) 12

14. De cinco hombres y cuatro mujeres se debe escoger un comité de seis personas. ¿De cuántas maneras se podrá hacer esto si en el comité deben haber dos mujeres?a) 30 b) 36 c) 42d) 25 e) 45

15. Al término de una reunión hubieron 28 estrechones de mano. Suponiendo que cada uno de los participantes fue cortes con cada uno de los demás el número de personas presentes era.a) 14 b) 56 c) 28d) 8 e) 7

16. En una urna hay 6 fichas numeradas. ¿De cuantas formas se puede extraer por lo menos 4 fichas? a) 20 b) 23 c) 18d) 22 e) 24

17. En una mesa circular se encuentran servidos 6 vasos de refresco, entre ellos hay uno de naranja. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ubicarse 6 personas en sus asientos, si entre ellos hay 4 personas que no les gusta el refresco de naranja?a) 720 b) 240 c) 180d) 360 e) 120

18. Reduzca la expresión:

a) 28/3 b) 49/6 c) 38/3d) 59/6 e) 8

19. Hallar “x” en:

a) 10 b) 6 c) 8d) 5 e) 12

–9–


20. Mariana puede viajar de Lima a Italia por vía aérea o por vía marítima y tienen a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas marítimas. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?a) 10 b) 15 c) 6d) 7 e) 5

21. Felicia ha recibido en su cumpleaños 1 falda roja, una falta azul y una falda verde; además le obsequiaron una blusa blanca y otra crema. Si desea probarse las prendas recibidas ¿De cuántas maneras distintas puede lucirlas, si se pone falda y blusa?a) 8 b) 12 c) 6d) 7 e) 5

22. Julio posee 3 camisas y 3 pantalones y 2 pares de zapatos, todas prendas diferentes. ¿De cuántas maneras distintas puede lucir una vestimenta constituida por camisa, pantalón y zapatos?a) 14 b) 16 c) 8d) 18 e) 9

23. Se escoge un comité de 4 personas de 5 varones y 6 mujeres. ¿De cuantas maneras distintas se podrá escoger dicho comité, si entre ellos debe haber por lo menos 2 varones? a) 300 b) 420 c) 125d) 215 e) 452

24. Un equipo de vóley se sientan a dialogar en una mesa circular. ¿de cuantas maneras se pueden sentar dichas jugadoras, si tres de ellas deben estar siempre juntas?a) 22 b) 24 c) 12 d) 36 e) 6

25. Un alumno tiene 6 tarjetas con las letras de la palabra “OSIOSO”, desea colocar en hilera uno a continuación del otro. ¿Cuántas palabras podrá obtener?a) 60 b) 30 c) 40d) 720 e) 360

26. De un conjunto de tres estudiantes, se desea formar una junta directiva integrada por un presidente y un secretario. ¿Cuántas direcciones diferentes pueden formarse?a) 10 b) 6 c) 9d) 5 e) 8

27. De cuántas maneras diferentes pueden sentarse cinco personas en una banca?

a) 120 b) 24 c) 720d) 15 e) 12

28. Rosa ha olvidado la contraseña de su correo electrónico. Ella sabe que uso todas las letras de su nombre (en mayúsculas) y los dígitos de su edad, pero no recuerda el orden. ¿Cuántas posibles contraseñas ha podido generar Rosa, usando estos caracteres? Examen 2008.a) 2160 b) 720 c) 360d) 120 e) 580

29. ¿De cuántas maneras 3 hombres y 2 mujeres podrán alinearse en una fila si los hombres tienen que estar juntos y la mujer también?a) 10 b) 6 c) 8d) 24 e) 12

30. De un grupo de 5 peruanos 7 chilenos y 6 argentinos se quiere seleccionar un comité de 10 personas de tal modo que en el se encuentren 3 peruanos 4 chilenos y 3 argentinos ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer dicha selección?a) 70 b) 700 c) 7000d) 70000 e) 350031. ¿Cuántas banderas diferentes de 5 franjas verticales se puede formar, si debe tener 3 franjas blancas y 2 franjas rojas?a) 5 b) 6 c) 20d) 10 e) 14

32. Carlos, su novia y los tres hermanos de ella se sientan alrededor de una fogata. ¿De cuántas formas diferentes pueden hacerlo si Carlos y su novia siempre están juntos?a) 10 b) 6 c) 8d) 5 e) 12

33. Un estudiante tiene 10 libros de matemática y el otro tiene 8 libros de física ¿De cuántas formas pueden intercambiar dos libros de uno por dos del otro?a) 1260 b) 620 c) 540d) 840 e) 1620

34. Cuatro personas abordan un auto en el que hay cuatro asientos. Si solo dos de ellos saben conducir. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse?a) 4 b) 12 c) 10d) 24 e) 30

35. ¿De cuantas maneras distintas se pueden ordenar linealmente 8 monedas, las

–10–

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Walter Olivera Ricalde cuales 5 so de 50 céntimos y 3 son de 20 céntimos?a) 24 b) 56 c) 48d) 120 e) 720

36. ¿De cuántas formas pueden sentarse 7 personas en un sofá si tiene solamente 4 asientos?a) 24 b) 120 c) 48d) 840 e) 720

37. Walter invita a su novia y a sus tres futuros cuñados a una cena, que se realiza en una pollería cuyas mesas tenían la forma de un pentágono regular. ¿De cuantas maneras distintas se podrán ubicar, si Walter y su novia siempre están juntos?a) 4 b) 10 c) 8d) 12 e) 6

38. Un grupo de 5 amigos se van de paseo al Valle Sagrado, en un auto que tiene 2 asientos adelante y 3 atrás. ¿De cuantas formas se podrán ubicar, si sólo 2 de ellos saben manejar?a) 10 b) 48 c) 16d) 24 e) 120

39. En la tienda “Topitop” hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones. ¿De cuantas maneras puedo escoger las prendas que me gustan?a) 120 b) 100 c) 480d) 240 e) 200

40. Si en la primera rueda de una liga de fútbol se juegan 91 partidos. ¿Cuántos equipos compiten?a) 14 b) 15 c) 13d) 12 e) 16

01. E 11. B 21. C 31. D02. B 12. E 22. D 32. E03. D 13. D 23. D 33. A04. B 14. A 24. E 34. B05. E 15. D 25. A 35. B06. C 16. D 26. B 36. D07. C 17. B 27. A 37. D08. A 18. B 28. B 38. B09. A 19. D 29. D 39. E10. B 20. D 30. E 40. A

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Libro A4 - 13 Analisis Combinatorio

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