Libro Ayudantía Ingeniería Económica 1.pdf

Ayudantía Ingeniería

Económica

Material complementario para la cátedra

Libro que reúne la materia de la catedra Ingeniería Económica, con ejemplos y ejercicios

propuestos para complementar el estudio personal de cada alumno.

A u t o r : J ua n I g na c i o Ca r v a ja l D í a z

2

Índice

1. Diagrama Flujo de Caja……………………………………………………………. 3

2. Interés…………………………………………………………………………….... 4

3. Anualidades………………………………………………………………………... 11

4. Gradientes………………………………………………………………………….. 16

5. Inflación, interés real y nominal…………………………………………………… 22

6. Tabla de Amortización y Depreciación……………………………………………. 26

7. Flujo de Caja (Cash Flow)………………………………………………………… 30

8. Indicadores Económicos…………………………………………………………… 34

3

1. Diagrama Flujo de Caja

Un diagrama flujo de caja es una representación gráfica de un flujo de efectivo en una escala de

tiempo representada en una línea horizontal donde se ven reflejados los ingresos y egresos de

dinero. El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra que es lo dado y lo que

debe encontrarse.

Para su representación es necesario indicar la dirección de las flechas en el diagrama de flujo de

caja. Para ello una flecha hacia arriba indicará un flujo de efectivo positivo (Ingreso), inversamente,

una flecha hacia abajo indica un flujo de efectivo negativo (Egreso).

Años, meses, días, etc…

Durante la construcción de un diagrama flujo de caja, la estructura de un problema con

frecuencia se hace distintiva, por lo general es favorable definir primero el tiempo en el que ocurren

los flujos de efectivo esto establece la escala horizontal que se dividirá en tantos periodos

según corresponda. Luego de esto basta con colocar adecuadamente los ingresos o egresos para

poder completar el diagrama.

Si bien un diagrama flujo de caja es una representación gráfica de un problema de matemática

financiera, es la gran base para el desarrollo de este mismo.

4

2. Interés

Es el pago que debe realizar una persona o una entidad financiera por utilizar dinero prestad o,

esperando que este sea devuelto al cabo de un tiempo con un porcentaje de compensación por

dicho préstamo. El cálculo del interés se puede representar de la siguiente forma:

Interés = Monto Final - Monto Inicial

Ejemplo. Se solicita prestado a una entidad bancaria la suma de $200.000 con la

condición de pagar $215.000.

Interés = 220.000 - 200.000

Interés = 20.000

Ejemplo 2. Usted deposita $100.000 en un banco, y al cabo de un tiempo retira la suma

de $107.500.

Interés = 107.500 – 100.000

Interés = 7.500

2.1 Tasa de Interés Es el porcentaje al que está invertido un monto de dinero en un horizonte de tiempo determinado.

Viene dado por la siguiente formula:

Tasa de Interés (%) = ( Interés / Monto Inicial ) x 100

De acuerdo a los ejemplos anteriores se tiene lo siguiente.

Ejemplo. Se solicita prestado a una entidad bancaria la suma de $200.000 con la

condición de pagar $220.000.

Tasa de Interés (%) = ( 20.000 / 200.000 ) x 100 = 10%

Ejemplo 2. Usted deposita $100.000 en un banco, y al cabo de un tiempo retira la suma

de $107.500.

Tasa de Interés (%) = ( 7.500 / 100.000 ) x 100 = 7.5%

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2.2 Tipos de Interés

2.2.1 Interés Simple Es el pago que se efectúa por el uso de un capital ajeno a título de préstamo (ahorro o con sumo)

calculado sobre el valor original de la deuda, ignorando cualquier interés causado en periodos

anteriores. Expresado de otra manera, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es

el mismo. Para este tipo de interés se tienen las siguientes formulas.

Calculo Tasa Simple tasamensual = tasaanual

12

*Nota: Este cálculo se puede hacer con cualquier nomenclatura de tiempo.

VF = VP ( 1 + i * t ) Donde:

VF = Valor Futuro

VP = Valor Presente

i = Interés

t = Tiempo

*Nota: Para aplicar esta fórmula, el interés y el tiempo deben encontrarse en una misma unidad

de tiempo.

Ejemplo. Calcular el interés simple producido por 30.000 pesos durante 90 días a una

tasa de interés anual del 5 %.

tasadiaria = tasaanual = 0.05 = 0.000137 = 0.0137%

365 365

VF = 30.000 ( 1 + 0.000137 * 90 ) = 30.370

Interés = 30.370 – 30.00 = 370

6

Ejemplo 2. A cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25.000 pesos

invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.

VF = 25.000 ( 1 + 0.06 * 4 ) = 31.000

Interés = 31.000 – 25.000 = 6.000

2.2.2 Interés Compuesto

Se refiere al beneficio (o costo) del capital principal a una tasa de interés durante un cierto

periodo de tiempo, en el cual los intereses obtenidos al final de cada periodo no se retiran, sino que

se añaden al capital principal. Por lo tanto, los intereses se reinvierten, se gana interés sobre el

interés.

Se presentan 3 tipos de interés compuesto que se detallan a continuación.

2.2.2.1 Interés Efectivo ( i ) El interés efectivo es el tipo de interés i realmente abonado o cargado a las operaciones

financieras en un periodo de tiempo determinado. Para calcular la tasa se tiene:

Calculo de tasa compuesta tasaanual = ( tasamensual + 1 )

12 - 1

*Nota: Este cálculo se puede hacer con cualquier nomenclatura de tiempo.

VF = VP ( 1 + i )n

Donde:

VF = Valor Futuro

VP = Valor Presente

i = Interés

n = Periodo de capitalización

*Nota: Para aplicar esta fórmula, el interés y el tiempo deben encontrarse en una misma unidad

de tiempo.

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Ejemplo. Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de

$2.000.000 para que al cabo de 3 años se haya convertido en $2.360.00.

2.360.000 = 2.000.000 ( 1 + i )3

1.18 = ( 1 + i )3

3√1.18 = ( 1 + i )

i = 1.05672 – 1

i = 0.05672

Ejemplo 2. ¿En que se convierte un capital de $1.200.000 al cabo de 6 años a una tasa de

interés compuesto anual del 8%?

VF = 1.200.000 ( 1 + 0.08 )6

VF = 1.904.249,19

2.2.2.2 Interés Nominal ( j )

La tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real o efectiva. Es aquella tasa que estando

referida a una unidad de tiempo específica, capitaliza con frecuencias diferentes, por lo cual debe

convertirse a una tasa efectiva con el fin de reflejar en forma precisa consideraciones del valor

del tiempo. Para la conversión de tasa nominal a efectiva se tiene la siguiente formula.

( 1 + i ) = ( 1 + j / m )m

Donde:

i = Interés efectivo

j = Interés nominal

m = N° de capitalizaciones que ocurren dentro del periodo indicado en el interés nominal.

*Nota: Cuando el periodo de capitalización no está dado, la tasa de interés es efectiva. Si además

la tasa de interés no viene con un periodo de tiempo, se asume que es anual.

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Ejemplo. Calcular el valor ahorrado al cabo de 4 años, si usted depositó en una entidad

financiera $10.000 a una tasa de interés del 10% anual capitalizable semestralmente.

ia = 1.1025 – 1

ia = 0.1025

VF = 10.000 ( 1 + 0.1025 )

4

VF = 14.774,6

Ejemplo 2. ¿Cuál será el monto final acumulado en una cuenta que paga un 29% anual

capitalizable mensualmente, si usted realiza un depósito hoy de $100.000 y el tercer año

realiza un depósito de $50.000 al cabo de 8 años?

Años

ia = 1.3318 – 1

ia = 0.3318

VF = 100.000 ( 1 + 0.3318 )8

+ 50.000 ( 1 + 0.3318 )5

VF = 1.199.210,252

9

2.2.2.3 Interés efectivo para capitalizaciones continúas Cuando el número de capitalizaciones, en un año, es muy grande (se dice que “n” tiende al infinito)

como por ejemplo capitalizaciones por hora o por segundos, se denomina capitalización continua.

Para este caso en particular se puede aplicar la siguiente fórmula para encontrar el

interés efectivo.

i = e j – 1

Ejemplo. Usted solicita a una entidad financiera un préstamo para financiar la compra de

un automóvil. Para esto le ofrecen una tasa del 10% anual capitalizable continuamente.

¿Cuál es la tasa de interés efectiva que le están cobrando por el préstamo?

ia = e 0.1

– 1

ia = 0.105171

Ejercicios Propuestos

1. ¿Cuál será la tasa de interés aplicada al prestar $2.000 hoy, para cancelar $2.200 al final

del primer año?

2. Calcular el capital que impuesto al 3% de interés simple anual se ha convertido en 4

meses en 1.000 UF.

3. ¿Cuánto tiempo tardará un capital C invertido al 10% de interés simple anual en producir

un capital final igual al doble del mismo?

4. ¿Cuál fue el tipo de interés simple anual que permitió que por un capital de $224.440,75

se obtuvieran $64.775 de intereses en 7 años?

5. Si usted deposita $100.000, con un interés simple del 20% semestral, ¿qué cantidad

tendré en cuatro meses?

6. ¿Cuál será el capital final resultante de la inversión de un capital inicial de $2.000.000 al

6% de interés simple anual durante: a) 4 cuatrimestres b) 17 meses c) 120 días

7. Determinar los intereses y el capital final producido por $500.000 al 15% de interés

compuesto anual, durante 3 años.

10

8. Si usted solicito un préstamo por $1.500.000 con la obligación de cancelar toda la deuda

en un solo pago al cabo de 18 meses con un interés del 8.5% semestral ¿Cuánto deberá

pagar por el préstamo solicitado?

9. Usted deposita $ 1.200.000 al banco durante 260 días a una tasa de interés compuesto

trimestral del 6% ¿Cuánto dinero retirara al término de los 260 días?

10. Determine la tasa de interés anual, a la que deben invertirse $3.250.000.- para que en 5

años se obtenga un capital final de $ 4.200.000

11. Una empresa deposita $7.000.000 a una tasa de interés del 24% trimestral capitalizable

mensualmente, ¿cuál será el monto acumulado en 4 años?

12. Para poder pagar sus estudios superiores usted desea depositar $1.000.000. Para esto

usted evalúa la opción de 3 bancos. El primero le ofrece una tasa del 8% anual, el

segundo un 3.5% semestral capitalizado trimestralmente y el tercero un 8% a perpetuidad.

¿Cuál de estas tres opciones seleccionara?

13. Cuanto debe depositar para obtener dentro de 15 meses un capital de 1.850.000 que estará

sujeto a un interés del 6.6% anual capitalizado semanalmente?

14. Para poder financiar la futura compra de un vehículo usted deposito en un banco

2.500.000 a un interés del 5%. Sabiendo que el vehículo tiene un valor de 8.990.000 y

que usted lo podrá comprar dentro de 28 meses más ¿Cuánto dinero adicional necesitara

para poder comprar dicho vehículo?

15. Usted tiene la oportunidad de invertir hoy, en iguales condiciones de riesgo, $35.000.000

al 32% anual de interés simple o al 27% anual. ¿Cuál inversión deberá hacer? (Considere

un horizonte de tiempo para 1, 2 y 3 años).

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3. Anualidades

Es una sucesión de pagos, depósitos o retiros generalmente iguales, en intervalos de tiempo iguales.

3.1 Tipos de Anualidades 3.1.1 Anualidades vencidas

Son aquellos pagos que se hacen al final de cada periodo (t≠0), por ejemplo el pago de salarios a

empleados donde primero se realiza el trabajo y luego se efectúa el pago, se representa en el

diagrama flujo de caja de la siguiente manera (la dirección de las flechas dependerá si son ingresos

o egresos).

Las fórmulas para anualidades vencidas se presentan a continuación.

Ejemplo. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6%

de interés capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.

Meses

12

ia = 1.06168 – 1

ia = 0.06168

( 1 + ia ) = ( 1 + im )12

im = 0.005

VF = 46.240,09

Ejemplo 2. Cuanto se necesita depositar el día de hoy para realizar retiros de $200

semanales, si se tiene el dinero depositado durante 42 días al 38% anual capitalizable

mensualmente.

Semanas

Primero, se despeja el interés efectivo anual.

ia = 1.4537 – 1

ia = 0.4537

Luego al ser depósitos semanales, es necesario calcular el interés efectivo semanal.

( 1 + ia ) = ( 1 + isemanal )52

isemanal = 0.00722

Luego se calcula el valor presente con los datos del ejercicio.

VP = 1.170,25

13

3.1.2 Anualidades Anticipadas Una anualidad anticipada es aquella cuyo pago periódico vence al principio del intervalo de tiempo

(t=0), un ejemplo de este tipo de anualidades son el pago de la renta de una c asa. Se representa

en el diagrama flujo de caja de la siguiente forma (la dirección de las flechas dependerá si

son ingresos o egresos).

Las fórmulas para anualidades anticipadas son las siguientes.

Ejemplo. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con

pagos de $300.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% anual

capitalizado mensualmente.

Meses

ia = 1.12682 – 1

ia = 0.12682

( 1 + ia ) = ( 1 + im )

12

im = 0.01

VP = 25.246.464,19

14

3.1.3 Anualidades a perpetuidad

Una perpetuidad es una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y continúa para siempre,

es decir, se puede considerar que tiene un infinito número de pagos y por ello no se puede

determinar su monto. Este tipo de anualidades se presenta cuando se coloca un capital y únicamente

se retiran los intereses. Para esta anualidad solo se cuenta con la siguiente formula.

Ejemplo. Usted desea recibir retiros anuales perpetuos de $100.000, si la tasa de interés

es de un 5% semestral. ¿Cuánto debe depositar hoy para poder realizar dichos retiros?

( 1 + ia ) = ( 1 + isemestral )2

ia = 1.1025 – 1 ia = 0.1025

VP = 100.000

0.1025

VP = 975.609,756


1. Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.

a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.

b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.

c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.

2. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de

cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si

se carga el 12% con capitalización mensual?

3. Una persona deposita $15000 al final de cada mes en una cuenta que abona el 15% de

interés anual capitalizable bimensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 10

años.

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4. Los ex alumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su

mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $20.000.000 y el mantenimiento se estima en

$3.500.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva es del 7% anual.

5. Una persona desea ahorrar dinero para los gastos de Universidad de su hijo. De esta manera,

realiza depósitos anuales de US$1.000 en un banco tradicional que le ofrece una tasa del 5% anual.

Para esto hace su primer depósito en el quinto cumpleaños de su hijo, y el último depósito lo

efectúa en el décimo quinto cumpleaños. ¿Cuál es el monto de cada uno de cuatro retiros iguales,

programados para los cumpleaños 18, 19 ,20 y 21 a fin de retirar todos los fondos.

6. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad:

(a) $400.000 de contado

(b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al finalizar el

cuarto año.

¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?

7. Una compañía frutera dedicada a la siembra de cítricos empezara a producir dentro de 5

años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por

espacio de 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción.

8. Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer

un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada 5 años.

Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6%.

9. Después de una agotadora búsqueda de trabajo, tiene que optar entre dos ofertas

laborales, y no sabe por cual inclinarse, así que aplicara los conceptos de Evaluación de

Proyectos para evitarse la pérdida de tiempo. La primera empresa la ofrece un sueldo de

$600.000 (liquido) mensuales con un bono al final de año, equivalente a 2 veces su

sueldo y la segunda le ofrece un sueldo de $700.000 (liquido) mensuales. ¿Cuál será su

respuesta si su costo de oportunidad es del 0,3% mensual.

10. Calcular el valor actual de una renta semestral de $10,000 durante 5 años, si el primer

pago semestral se realiza dentro de 2 años y el interés es del 23% semestral.

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4. Gradientes

Una gradiente es una serie de pagos periódicos que tiene una ley de formación, que hace referencia

a que los pagos puedan aumentar o disminuir, con relación al pago anterior, en una cantidad

constante (uniforme) o en porcentaje (escalada).

4.1 Gradiente Uniforme

Es una serie de pagos periódicos tal que cada pago es igual al anterior aumentado o disminuido

(positivo o negativo) en una cantidad constante en pesos. Cuando la cantidad constante es

positiva se tiene un gradiente uniforme creciente, por el contrario cuando la cantidad constante es

negativa se tiene un gradiente uniforme decreciente. A la cantidad constante se caracteriza con la

letra G, y se representa en un diagrama flujo de caja de la siguiente forma.

La composición de un gradiente uniforme consta de un valor cuota (que no cambia) y la cantidad

constante uniforme a través del tiempo. La fórmula para el gradiente uniforme es la siguiente.

Donde:

VP = Valor Presente

C = Cuota

G = Gradiente

i = Interés

n = Numero de Periodos

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Ejemplo. Si un inversionista deposita hoy $40.000.000; $60.000.000 dentro de dos años

y $50.000.000 dentro de cuatro años. Si a partir del quinto año comienza a retirar el dinero,

sacando $10.000.000 el primer mes; $10.500.000 el segundo mes; y así sucesivamente

aumentando una cantidad creciente de $500.000 en los siguientes meses.

¿Qué tiempo le tomara agotar la cuenta si el interés asociado es del 12% anual

capitalizable mensualmente?

C = 10.000.000

G = 500.000

ia = 1.12682 – 1

ia = 0.12682

( 1 + ia ) = ( 1 + im )12

im = 0.01

Depósitos

VF60 = 40.000.000 * (1,01)60

+ 60.000.000 * (1,01)36

+ 50.000.000 * (1,01)12

VF60 = 214.855.246,5

x = 16,9244

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4.2 Gradiente en Escalada

El gradiente en escalada es una serie de pagos periódicos que aumenta o disminuye en

porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero

como en el caso del gradiente uniforme. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en el mismo

porcentaje entre cada período. Al aumento porcentual se describe con la letra E y se representa en

el diagrama flujo de caja de la siguiente forma.

La composición de un gradiente en escalada al igual que el gradiente uniforme consta de un valor

cuota (que no cambia), pero con la diferencia que la cantidad que cambia través del tiempo ahora

es una cifra porcentual. La fórmula para el gradiente uniforme es la siguiente.

Donde:

VP = Valor Presente

C = Cuota

E = Porcentaje de aumento del flujo

i = Interés

n = Numero de Periodos

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Ejemplo. Una persona desea solicitar un préstamo y de acuerdo a sus flujos anuales estima

que lo puede cancelar durante un periodo de 9 años con pagos anuales de acuerdo al

siguiente plan. Un pago de $500.000 el 1°año, $600.000 el 2° año y estos aumentaran en

un 10% anual desde ese momento en adelante. Determine el monto que estaría dispuesto a

prestarle el banco a una tasa de interés del 8.5% anual.

i = 8,5% anual

VP = 4.741,058,131


1. Usted ha ganado un premio que consiste en el pago de US$1.000 en el primer año, y a

partir del segundo año y hasta el quinto año se le pagara un 10% más del monto anterior.

Si usted decide que mejor le cancelen el premio en montos iguales anuales durante 7 años.

Calcule el valor de los montos si la tasa de interés es de un 8% anual.

2. Determinar el valor de contado de una activo, si financiando se adquiere así: una cuota

inicial de $450.000, dieciocho cuotas mensuales iguales de $40.000 cada una, y luego

cuotas trimestrales de $150.000 la primera, $160.000 la segunda, $170.000 la tercera y

así sucesivamente hasta finales del cuarto año: finalmente, seis meses después dela última

de estas cuotas trimestrales, un pago equivalente al 15% del valor contado. La tasa de

interés es del 36% anual.

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3. Usted quiere comenzar un negocio con el que espera tener enormes ganancia. Para esto

acude a distintas entidades financieras, pero debido al riesgo del negocio deciden no

prestarle el dinero. Ante esto usted acude donde “Don Vito Corleone” y consigue que le

presten $10.000.000 a una tasa del 1.2% efectivo semanal bajo las siguientes condiciones

y que el no pago a tiempo le puede costar su vida.

8 cuotas anuales que se incrementaran en $250.000 todos los años.

Dos pagos de $300.000 como muestra de buena fe al final del cuarto y séptimo

año y un pago de $500.000 al final del octavo año con un interés del 12% semestral

capitalizado mensualmente.

Dada las condiciones estipuladas por “Don Vito Corleone” se le pide determinar

a. El valor de la cuota.

b. Cuanto tendrá que rentar su negocio al término del octavo año para que ni usted ni

su familia corran el peligro de perder su vida y además el negocio.

4. Un inversionista decide reinvertir el 50% de las utilidades que obtiene mensualmente de

la empresa. En el banco le ofrecen una tasa del 12% anual. Se sabe que los ingresos

mensuales de la empresa, independiente del mes, son iguales a 5/4 de los costos de e se

mes. Estas utilidades se encuentran afectas a un impuesto del 20% mensual. Determinar

el valor total acumulado de la empresa al cabo de 3 años, si se sabe que el costo en el

primer mes de la empresa fue de 50.000, el segundo mes 52.000, el tercer mes 54.000 y

así sucesivamente.

5. 10 estudiantes recién ingresados piensan asociarse y crear un fondo de ahorros mensuales

de tal forma que al culminar sus 5 años de estudio posean un capital de $10'000.000 con

el propósito de fundar su propia empresa. Sus ingresos les permiten incrementar el ahorro

mensual en un 2% y la entidad financiera les ofrece un interés mensual del 2.5%.

¿Cuánto deberá ser el ahorro mensual inicial de cada uno de los estudiantes?

6. Usted va a depositar dentro de 6 meses $50.000, dentro de 9 meses $100.000, dentro de 1

año $150.000, y así sucesivamente hasta que hace el último depósito dentro de 4 años.

¿Cuánto tendrá en ese entonces acumulado, si los depósitos ganan un interés del 8%

trimestral?

7. Una persona ahorra mensualmente una parte de su sueldo con el fin de obtener un fondo

para casarse. Cree que las cuotas cada día deben ser más altas a medida que se acerca la

boda. Hoy empezó ahorrando$20.000 y cada mes se incrementará la cuota en un 5%. Su

matrimonio será dentro de cinco años. ¿Cuál será el fondo acumulado, sabiendo que el

interés es de un 3% semestral capitalizado bimensualmente?

21

8. 10 estudiantes recién ingresados a la UTEM piensan asociarse y crear un fondo de

ahorros mensuales de tal forma que al culminar sus estudios posean un capital de

$18.000.000 con el propósito de fundar su propia empresa. Sus ingresos les permiten

incrementar los depósitos en un 2% con respecto al mes anterior a partir del segundo mes,

el banco les ofrece un interés mensual del 30,7% anual capitalizado continuamente. Debido

a una crisis financiera a comienzos del quinto año el banco les cambia la tasa de interés, a

un 3,6% bimestral, por lo que deciden que a partir de comienzos de ese año, cambiaran el

depósito mensual, empezando con la misma cantidad que en el periodo 1 más un 2,8%,

este aumento será progresivo hasta finales de su carrera. ¿Cuánto deberá ser el ahorro

mensual inicial (periodo 1) de cada uno de los estudiantes para poder lograr dicho

propósito? (asuma que la duración real de la carrera es de 7 años).

9. ¿Cuánto debería depositarse hoy al 10% mensual para obtener los siguientes flujos

mensuales?

10. Se ofrece la administración de un restaurante durante un año y se garantiza que

compraran exactamente 6.000 almuerzos mensuales durante ese año, los cuales serán

pagaderos en un solo contado a razón de $500 cada uno, pero su valor total será

cancelado al final del año sin intereses, la persona calcula que el costo de los insumos de

cada almuerzo será de $200 los cuales deberán ser adquiridos y pagados al principio de

cada mes y su valor aumentara cada mes un 5%. El costo mensual de mano de obra se

considera estable en $250.000 y además, se requerirá una inversión inicial de $1.000.000

para la adecuación del restaurante. Suponiendo un interés mensual del 3%. Calcular cual

será el valor de su ganancia:

a) En pesos de hoy

b) en pesos futuros.

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5. Inflación, Interés real y nominal

La inflación es el aumento sostenido y generalizado del nivel de precios de los bienes y servicios

y factores productivos de una economía a lo largo del tiempo. Si existe inflación los pesos de hoy

no comprarán las mismas cosas que en un año más.

En la práctica, la inflación se mide a través del Índice de Precios al Consumidor (IPC) que mide

la evolución de los precios de una canasta promedio de bienes y servicios. Por lo tanto, la variación

del IPC no significa que todos los bienes y servicios de esta canasta varíen en el mismo porcentaje.

Por otro lado el IPC no es el precio de la canasta. 5.1 Tasa de interés real (UF)

Una tasa de interés real es aquella que denota un aumento del poder adquisitivo. Esto es,

conservando el poder adquisitivo del dinero, existe un incremento en el monto a pagar (o cobrar).

Un ejemplo es el de las tasas en UF + X% o tasas reflejadas como IPC + X%. Esto significa que

al cabo de un año el dinero debiera tener el mismo poder adquisitivo que el dinero que se invirtió.

5.2 Tasa de interés nominal (Pesos)

Una tasa de interés nominal es aquella que denota un crecimiento en el monto de dinero, sin

ajustar la moneda por inflación. Así la tasa de interés nominal no necesariamente significa un

incremento en el poder adquisitivo.

Un ejemplo de esto son los depósitos en pesos a 30 días de los bancos o los créditos en pesos. Si

hacemos un depósito por $ 1000 al 15% de interés anual en un año debiera recibir $ 1.150

¿Significa esto que seré $150 más rico al cabo de un año?

En equilibrio el banco debiera ser indiferente entre prestar a tasas reales o nominales, siempre y

cuando las tasas nominales incluyan las expectativas de inflación. Así surge la igualdad de Fisher.

( 1 + i ) = ( 1 + r ) * ( 1 + π )

Donde:

i = tasa de interés nominal

r = tasa de interés real

π = inflación esperada

23

Ejemplo. Usted solicita hoy un crédito por 3000 UF para adquirir una vivienda a 20 años

plazo con pagos mensuales e iguales entre sí (en UF) a una tasa real del 10% anual.

Determine el valor esperado en pesos de la cuota N°24 si la UF hoy tiene un valor de

$21.135 y las expectativas de inflación son: 4% primer año, 3,5% segundo año y de ahí

en adelante 3,25% anual es promedio.

ianual = 10%

( 1 + ia ) = ( 1 + im )12

im = 0,007974

C = 28,099 UF

Una vez calculado el valor de la cuota en UF, sabemos que este valor en si no es un

monto fijo puesto que la UF varia ya que es una unidad de cuenta reajustable de acuerdo

con la inflación. Y en este caso nos preguntan por el valor de la cuota N°24 en pesos, por

lo tanto lo que se hace es llevar el valor de la UF al valor futuro que se pide usando la

inflación.

UFhoy = 21.135

VF12UF = 21.135 ( 1,04 ) = 21.980,4 VF24UF = 21.980,4 ( 1,035 ) = 22.749,714

Por lo tanto ahora se puede calcular el valor de la cuota solicitada.

C24 = 28,099 UF * 22.749,714

C24 = 639.244,2137

24

Ejemplo 2. Suponga que solicita un crédito por 150 UF, deberá cancelarlo en 7 años con

una tasa de interés del 5,8% real anual. Determinar el valor de la cuota anual (en pesos, e

igual para todos los periodos), si la inflación durante los 4 primeros años es de 6,2% y los

últimos 3 años es de 3,7%. El valor de la UF hoy es de $22.433,5

ianual = 5,8% real

Primeros 4 años Últimos 3 años ( 1 + i ) = ( 1 + r ) * ( 1 + π ) ( 1 + i ) = ( 1 + r ) * ( 1 + π )

ia = ( 1,058 * 1,062 ) -1 ia = ( 1,058 * 1,037 ) -1

ia = 0,1236 ia = 0,097146

150 UF = $3.365.025

C = $546.142,7

Una vez visto los dos ejemplos tanto en UF como en pesos ($), se nota la diferencia entre ambos,

por una parte cuando se trabaja en pesos se utiliza la igualdad de Fisher para obtener la tasa de

interés nominal, mientras que cuando se trabaja en UF lo que se busca es obtener el valor futuro

de la UF a través de la inflación. Obviamente esto queda dispuesto a los datos entregados.

25


1. Se desea solicitar un préstamo por 5000 UF para poder crear una empresa. La intención

de usted es no perder autonomía financiera por lo que cancelara el crédito en 10 años en

cuotas iguales vencidas, mensuales en UF con un interés del 8,2% semestral capitalizado

mensual. Si la UF el día de hoy vale $21.125 y el banco central ha proyectado que para

los 4 primeros años las expectativas de inflación son de: 3,6% – 3,9% – 4,3% – 4,8%.

Determine el valor en pesos de la cuota N° 42.

2. Un mes después del nacimiento de su hijo, un padre deposita $1.000 mensuales para en el

futuro poder pagar la universidad, 5 años más tarde nace su hija, y al mes de nacer decide

dividir su depósito mensual en 3/10 para su hijo y 7/10 para la hija. El banco genera un

interés real anual del 2% los primeros 5 años, 3% los siguientes 6 años y 3,5% anual

capitalizable semestralmente en lo que resta. Determinar cuánto retirara cuando cumplan

18 años cada uno sabiendo que la inflación es de un 2,8% los primeros 5 años, 3,5% los

siguientes 6 años y un 3,2% lo que resta.

3. Usted desea depositar una cantidad X de dinero en el banco A y B. El banco A genera un

interés real del 2% el primer año y un interés nominal del 6% el segundo año, con lo cual

usted espera poder realizar retiros mensuales vencidos de $30.000 durante 2 años y un

retiro adicional de $106.000 al final del segundo año. Por su parte el Banco B usted desea

retirar $90.000 al final del primer año y $120.000 al final del tercer año, este Banco

genera un interés real del 1,5% el primer año, un interés real del 1,9% el segundo año y

un 7,5% anual capitalizable quincenalmente el tercer año. La inflación correspondiente es

de un 2%, un 2,8% y 3,5% anuales respectivamente. Determine la cantidad total disponible

de dinero que debe tener el día de hoy para poder realizar dichos retiros.

4. Como futuro ingeniero usted decide a la edad de 30 años comprar una vivienda de la

siguiente manera:

a. Dar como pie el monto ahorrado en UF en una institución financiera que le ofrece

una rentabilidad del 15% real anual capitalizado mensualmente durante el periodo

que este se mantuvo trabajando antes de la compra de la vivienda.

b. Solicitar un crédito por la diferencia entre el precio de la vivienda y el pie, el cual

se cancelará en 5 años con cuotas mensuales de $250.000 a una taza de 15% anual

capitalizado semanalmente.

Considerando que usted el día de hoy tiene 25 años, recibe una renta bruta 60UF y que el

monto que decide ahorrar mensualmente para la compra del departamento es el 20% del

total de su sueldo. Además se estima que la inflación para los primeros 2 años es de un

1.5% y de un 1.8% desde el tercero en adelante y que la UF hoy tiene un valor de

$22.604,76. Calcule el valor del departamento en pesos.

26

6. Tabla de Amortización y depreciación

Se entiende por amortización, el re-embolso gradual de una deuda o la obligación de devolver un

préstamo recibido, cuyo importe se va reintegrando en varios pagos diferidos en el tiempo.

Los métodos más frecuentes para repartir el importe en el tiempo y segregar el valor principal de

los intereses son el sistema Francés y Alemán, y están basados en el concepto del interés

compuesto

El sistema Francés corresponde a generar cuotas iguales (formula ya conocida).

El sistema Alemán o sistema de amortizaciones iguales.

6.1 Sistema Francés (Cuotas iguales)

Periodos Principal Amortización Interés Cuota

0

VP0

1

VP1 = VP0 – A1

A1 = C – I1

I1 = VP0 * i

C

2

VP2 = VP1 – A2

A2 = C – I2

I2 = VP1 * i

C

3

VP3 = VP2 – A3

A3 = C – I3

I3 = VP2 * i

C

n

VPn = VPn-1 - An

An = C - In

In = VPn-1 * i

C

Para calcular cuota se utiliza la formula ya conocida anteriormente para anualidades.

27

6.2 Sistema Alemán (Amortizaciones iguales)


0

VP0

1

VP1 = VP0 – A1

A = VP0 / n

I1 = VP0 * i

A + I1

2

VP2 = VP1 – A2

A = VP0 / n

I2 = VP1 * i

A + I2

3

VP3 = VP2 – A3

A = VP0 / n

I3 = VP2 * i

A + I3

n

VPn = VPn-1 - An

A = VP0 / n

In = VPn-1 * i

A + In

Ejemplo. La empresa de transportes “Buses Fierro” desea comprar un nuevo bus para su

flota, para ello pedirá un préstamo por 35.000.000 a una tasa del 4,0% anual capitalizado

bimensualmente. El préstamo será pagado en 5 cuotas anuales, con amortización fija.

Préstamo = $35.000.000

Interés = 4% anual capitalizado bimensualmente

ia = 0,040776 A = 35.000.000 / 5 = 7.000.000


0 35.000.000

1 28.000.000 7.000.000 1.427.160 8.427.160

2 21.000.000 7.000.000 1.141.728 8.141.728

3 14.000.000 7.000.000 856.296 7.856.296

4 7.000.000 7.000.000 570.864 7.570.864

5 0 7.000.000 285.432 7.285.432

28

6.3 Depreciaciones

La depreciación es la expresión contable del proceso de obsolescencia, particularmente, del

deterioro, que experimentan algunos activos fijos. Se define formalmente como el proceso de

pérdida de valor contable que sufren los activos fijos en el transcurso de su vida útil. La

consecuencia más directa de aquello es que en la medida que avanza el tiempo de servicio del

activo fijo, decrece el valor contable de este. Luego, los activos fijos depreciables tienen una vida

útil limitada, desde el punto de vista legal y contable, la cual se acaba cuando el valor contable

de este, es cero, es decir; cuando ha sido completamente depreciado.

Las depreciaciones en Chile están regularizadas por el servicio de impuestos internos “SII”, quienes

elaboran una tabla con la vida útil de todos los activos, para poder calcular la depreciación

se tienen las siguientes formulas.

Donde:

Dt = Depreciación en el periodo t

VA = Valor inicial del activo

VS = Valor de salvamento o valor residual del activo al final de su vida útil


1. Para financiar la compra de un sistema home theater, usted ha solicitado un préstamo por

1.000.000 a un 12% anual capitalizado cuatrimestralmente que se pagara en un periodo

de 8 meses, dentro de los cuales habrá 2 meses de gracia con pago de interés.

2. La empresa “Doble Cruz Ltda.” Ha solicitado un préstamo por 7.500.000 a una tasa del

3.4% anual que será pagado en 5 cuotas anuales iguales, pero con 2 periodos de gracia sin

pago de interés.

3. Para poder adquirir muebles y otros para su nuevo departamento, usted solicito un

préstamo a su banco de confianza. El primer préstamo de $7.700.000 lo solicito en marzo

del 2010 acordando su cancelación en 30 cuotas mensuales iguales y vencidas a una tasa

de interés del 20% capitalizado cuatrimestralmente. El día 1 de febrero del 2011 solicito

29

otro crédito al mismo banco por un valor de $5.500.000 pagadero en 20 cuotas trimestrales

iguales y vencidas con 5 periodos de gracia a una tasa de interés del 12% anual

capitalizado trimestralmente.

Hace una semana, se encontró con una ejecutiva comercial amiga y lo convence de

refinanciar sus créditos con el banco de la competencia donde ella trabaja ofreciéndole 35

cuotas mensuales a una tasa de interés del 7% semestral capitalizado mensualmente.

Usted acepto esta opción, se le pide determinar

a. El monto a pagar al banco de confianza para saldar su deuda total, sabiendo

que este le cobra a usted la deuda del capital más 3 intereses consecutivos en

el primer préstamo y 2 intereses consecutivos en el segundo préstamo (estos

intereses corresponden a la 2da y 3era cuota (respectivamente) siguientes a la

última pagada antes de amortizar la deuda.

b. El valor de la nueva cuota del crédito solicitado al banco de la competencia

para el refinanciamiento.

4. Gracias a la libertad y pocas leyes que regulan los créditos de consumo, a la señora

Carmen la casa comercial “Del Pueblo S.A.” le ofrece un crédito de consumo de

$2.500.000 pagadero en 36 cuotas mensuales e iguales, además de 3 pagos especiales al

final de cada año por un valor de $120.000 y para ambos pagos se asocia una tasa de

interés del 30% anual capitalizado cuatrimestral. La señora Carmen por su parte es dueña

de casa y solo tiene como ingreso la pensión de su marido que asciende a $220.000 y al

verse afligida por las deudas que tiene, toma el crédito ofrecido por la casa comercial.

Ahora bien la señora Carmen sabe que solo puede disponer de un 25% de su ingreso para

pagar las cuotas de dicho crédito, pero asume el riesgo de solicitarlo.

a. ¿Cuál es el valor efectivo de la cuota?

b. ¿Cuánto cancelara a la casa comercial “Del Pueblo S.A.” por dicho crédito de

consumo?

c. Suponiendo que la señora Carmen cumplió con todas las cuotas mensuales y que

en la cuota N°24 decide pagar el saldo de su deuda con la condición de pagar el

remanente más la suma de tres intereses consecutivos ¿Cuánto tendría que pagar

para sanar su deuda?

5. Don Miguel al verse afligido por una deuda de $7.000.000 decide solicitar un préstamo a

comienzos de enero de 2012 en el “Banco Infeliz”. Debido a su situación financiera

actual acuerda comenzar a pagar a principios de abril de 2012, la forma de pago pactada

con el Banco fue la siguiente: cancelar 10 cuotas trimestrales y 3 cuotas especiales de

$800.000 canceladas en julio de cada año. El interés impuesto por el Banco es de 15%

semestral capitalizado bimensual.

Don Miguel decide refinanciar su crédito con otro banco en julio de 2013, pero el

“Banco Infeliz” le impone como condición cancelarle el saldo capital más 3 intereses

consecutivos sobre las cuotas trimestrales con un interés del 2%. Calcular el total a pagar

al “Banco Infeliz”.

30

7. Flujo de Caja (Cash Flow)

El flujo de caja es un documento o informe financiero que muestra los flujos de ingresos y

egresos de efectivo que ha tenido una empresa durante un periodo de tiempo determinado

(horizonte de evaluación). Los ingresos y egresos de caja pueden ocurrir mensualmente,

diariamente o en forma continua, pero por simplicidad se adopta la convención de considerar que

ocurren en un instante: al final de cada año.

7.1 Estructura de un flujo de caja La estructura del flujo de caja refleja los factores que determinan los montos monetarios que se

recibirán del proyecto. Cuando se evalúa desde el punto de vista de la empresa, se distinguen dos

conceptos: flujo operacional y flujo de capitales.

El primero se refiere a los ingresos/egresos obtenidos con la explotación del negocio que

pagarán/descontarán impuestos.

31

a. Ingresos por Ventas: Son el producto entre el volumen de ventas de los

productos/servicios que ofrece el proyecto y sus respectivos precios (sin IVA).

b. Intereses por Depósitos: son las ganancias de intereses obtenidas por inversiones financieras

del proyecto.

c. Ganancias/Pérdidas por venta de Activos: Éstas ocurren cuando se liquida inversión fija

que tiene un valor contable inicial y que se deprecia legalmente en el tiempo, existirá una

ganancia de capital cuando el valor de reventa (valor económico) es superior a su valor

libro, la ganancia será igual a la diferencia entre ambos valores y se considerará como un

ingreso. Al contrario, si el valor de liquidación es inferior a su valor libro, entonces existirá

una pérdida de capital igual a la diferencia, y que se considerará como un egreso.

d. Costos Fijos: Son los costos en que el proyecto debe incurrir para mantener en

funcionamiento el proyecto en cada período y que son independientes del volumen de

producción.

e. Costos Variables: éstos dependen del volumen de producción, y pueden incluir la compra

de insumos, mano de obra directa, distribución, etc.

f. Depreciaciones Legales: es la asignación de una cuota que supone considerar el desgaste,

agotamiento o envejecimiento de un activo de inversión.

g. Amortización de los activos intangibles: Diferente a la depreciación de activos fijos, no

tienen una vida útil definida, por lo que cada empresa deberá determinar la vida útil de su

intangible considerando que ésta debe ser la menor entre la vida útil estimada y la duración

de su respaldo legal.

h. Pago de Intereses por Créditos (también llamado Gastos Financieros): Corresponde al

servicio de las deudas comprometidas, el que es determinado por la tasa de interés de los

créditos y del saldo impago de la deuda hasta ese momento. Para definir este ítem, se

considera la fracción del pago que corresponde sólo a intereses, por ser los únicos costos

reales para el proyecto, puesto que la amortización corresponde al pago del capital de la

deuda (devolver el dinero prestado).

i. Pérdidas del Ejercicio Anterior (PEA): La legislación tributaria permite reconocer como

gasto contable las pérdidas contables del año anterior, éstas se pueden acumular hasta por

cinco años, con excepción de algunas las actividades (agrícolas y forestales), las que

pueden acumular pérdidas de ejercicios anteriores por períodos superiores o

indefinidamente. El principio que subyace en este ítem, es que una fracción de los costos

32

del ejercicio anterior (que fueron superiores a los ingresos) no descontaron los impuestos

que le correspondía, y por tanto, se les acepta descontarlo en el período siguiente.

j. Utilidad Antes de Impuestos: La suma (con sus correspondientes signos) de las partidas

anteriores nos permite calcular las utilidades contables que el proyecto generará en un

periodo determinado. Si es positiva se pagarán impuestos, si es negativa se podrá

acumular como pérdida del ejercicio anterior para el periodo siguiente.

k. Impuesto de Primera Categoría: La actual legislación impositiva chilena exige que las

empresas paguen un impuesto a las utilidades contables (llamado Impuesto de Primera

Categoría), el porcentaje alcanza a un 17%, y no discrimina entre los destinos que pueden

tener esas utilidades (reinversión en el negocio o repartición entre los dueños del proyecto).

l. Utilidad Después de Impuestos (Neta): Corresponde a la diferencia entre las Utilidades

Antes de Impuestos y el pago de Impuesto de Primera Categoría. Es decir, corresponde a

las utilidades contables que se “llevarán” los dueños del proyecto. En tanto que el flujo de capitales se refiere a las inversiones necesarias para iniciar el negocio, su

financiamiento y su recuperación al final del proyecto, y éstas no pagan ni descuentan impuestos.

a. Inversión en Activo Fijo: Corresponde a los recursos involucrados para adquirir los

activos fijos necesarios para la explotación del proyecto. Usualmente incluye terrenos,

edificios, maquinaria, vehículos, etc. La mayoría de estos activos son legalmente

depreciables (salvo los terrenos), lo que se refleja en la cuenta de depreciación del flujo

operacional.

33

b. Inversión en Activo Fijo Intangible: Son aquellos activos fijos adquiridos que carecen de

forma corpórea y que se corresponden con derechos adquiridos mediante contratos legales.

Incluyen las marcas de fábricas, patentes de invención, nombres comerciales, etc…

c. Inversión en Capital de Trabajo: Corresponde a la valoración de los recursos monetarios

y físicos que requiere un proyecto para mantenerse en funcionamiento, la necesidad de

estos recursos se origina en los desfases entre los pagos de costos y los flujos de ingresos.

El capital de trabajo puede ir variando de año en año, dependiendo, por ejemplo, del

volumen de producción, cambio en las condiciones de financiamiento de las compras de

materias primas o ventas. Si las variaciones del capital de trabajo son significativas,

puede justificarse la estimación del capital de trabajo para cada año.

d. Valor de Mercado: El valor de mercado representa el valor vigente de un bien (activo) o

servicio donde se va a desarrollar una operación entre un vendedor y un comprador.

e. Recuperación del Capital de Trabajo: En el flujo de caja se considera que la inversión en

capital de trabajo se recupera íntegramente. Esto se explica porque en el flujo operacional

se han considerado todos los ingresos y costos de operación de cada periodo, y si se está

agregando un capital adicional para financiar el déficit transitorio, este capital debe

quedar sobrante en el balance de ingresos y cosos del periodo. Si el capital de trabajo

requerido para el periodo siguiente es igual al del periodo anterior, entonces éste se irá

recuperando y reinvirtiendo sucesivamente. Si no fuesen iguales, entonces se recuperaría

parcialmente una parte o se requería una nueva reinversión en éste

f. Préstamo: Corresponde al financiamiento proveniente de créditos obtenidos en

instituciones financieras. Se considera con valor positivo porque constituye un ingreso,

aunque posteriormente se devuelva mediante las amortizaciones.

g. Amortizaciones: Corresponde a la disminución del saldo impago de un préstamo. Por lo

tanto se considera que la suma de las amortizaciones es igual al monto del crédito.

.

34

8. Indicadores Económicos

8.1 Valor Actual Neto (VAN)

El Valor actual neto mide la riqueza equivalente que aporta el proyecto medido en dinero del

período inicial (calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros,

originados por una inversión), sobre la mejor alternativa de uso del capital invertido en un proyecto

de igual riesgo.

Es el excedente que queda para el (los) inversionista(s) después de haber recuperado la inversión

y el costo de oportunidad de los recursos destinados. Para calcular el valor actual neto se tiene la

siguiente formula.

Donde:

Fi = Flujo neto del periodo i

r = Tasa de descuento del proyecto

I0 = Inversión

n = Números de periodos

Maximizar el VAN equivale a maximizar la riqueza del inversionista, por lo tanto el criterio de

decisión con este indicador es el siguiente.

I. VAN > 0, conviene hacer el proyecto porque aporta riqueza.

II. VAN = 0, se está indiferente entre hacer o no el proyecto.

III. VAN < 0, no conviene realizarlo, es mejor destinar el capital a su uso alternativo.

Algunas características del VAN son las siguientes.

I. Reconoce que un peso hoy vale más que un peso mañana.

II. Depende únicamente del flujo de caja y el costo de oportunidad.

III. Propiedad aditiva: VPN (A+B) = VPN (A) + VPN (B)

IV. No sólo permite reconocer un proyecto bueno, sino que también permite comparar

proyectos.

Ejemplo. Reconocido dentro de su grupo de amigos como un(a) experto(a) evaluador(a)

35

de proyectos, su mejor amigo le plantea un negocio del cuál no sabe si formar parte o no.

Consiste en una fábrica de helados, donde de acuerdo a estudios realizados por

$5.000.000, su estrategia comercial debiera considerar un precio de $600 por unidad el

primer año de operación y reajustarlo en $30 todos los años siguientes.

La proyección de demanda supone vender 28.000 unidades durante el primer año, luego

duplicar sus ventas gracias a una agresiva campaña de marketing y para los dos años

siguientes aumentar las ventas en 15.000 unidades.

Las inversiones en activos fijos, corresponden a $15.000.000 en terrenos, $20.000.000 en

construcciones que se deprecian contablemente en 10 años y realmente en 40 años y cuyo

valor residual (de toda la inversión) asciende al 25% de su valor inicial. Además se debe

realizar una inversión en maquinarias para la elaboración de los helados por $10.000.000

que se deprecian contablemente en 5 años y realmente en 7 años.

Los costos fijos de operación ascienden a $3.000.000 anuales y los costos variables para

el primer año son de $360 por unidad. Para los siguientes años, los costos variables por

unidad descienden en $10 de acuerdo a la curva de aprendizaje que enfrenta la empresa.

Por otra parte, el capital de trabajo equivale a 6 meses de costos de operación en el año 1

y la suma de este ítem se recupera íntegramente al final del horizonte de eva luación.

Considere además que la tasa de impuesto de 1ª categoría es de 17% sobre las utilidades

y que el valor de desecho del proyecto se calcula a través del método contable.

a. Calcule para los activos fijos, el monto de la depreciación y el valor libro de los

activos (realice tabla si estima pertinente).

b. Con lo que ha calculado considerando un horizonte de evaluación de 4 años;

construya el flujo de caja.

c. Si de acuerdo a lo conversado con su amigo, éste enfrenta un costo de oportunidad de

un 18%. ¿Qué recomendaciones realizaría con respecto al negocio de los helados?

Tabla de Depreciación

Activos $ Vida Útil Depreciación Valor Residual Valor Libro G o P

Terrenos 15000000 15000000

Construcciones 20000000 10 2000000 12000000

Maquinarias 10000000 5 2000000 2000000

Total 45000000 4000000 11250000 29000000 -17750000

Ingresos y Costos asociados

36

Años 0 1 2 3 4

Precio 600 630 660 690

Demanda 28000 56000 71000 86000

Ingresos por venta 16800000 35280000 46860000 59340000

Costos variables 10080000 19600000 24140000 28380000

Costos fijo 3000000

Kdt 6540000

Recuperación Kdt 6540000

Flujo de Caja

Año 0 1 2 3 4

Ingresos 16800000 35280000 46860000 59340000

Costos fijos -3000000 -3000000 -3000000 -3000000

Costos variables -10080000 -19600000 -24140000 -28380000

Depreciacion -4000000 -4000000 -4000000 -4000000

G o P -17750000

PEA -280000

UAI -280000 8400000 15720000 6210000

Impuesto (17%) -1428000 -2672400 -1055700

UDI -280000 6972000 13047600 5154300

Depreciación 4000000 4000000 4000000 4000000

PEA 280000

G o P 17750000

Flujo Operacional 3720000 11252000 17047600 26904300

Inversión -45000000

Kdt -6540000

Recuperación Kdt 6540000

Valor residual 11250000

Flujo de capitales -51540000 0 0 0 17790000

Flujo de caja -51540000 3720000 11252000 17047600 44694300

Calculo Valor actual Neto

VAN = -6.877.928

Por lo tanto al ser el VAN < 0, no conviene realizar el proyecto

37

Cuando se tienen proyectos con distinto horizonte de tiempo ¿se puede usar el VAN para

determinar cuál proyecto se debe realizar? La respuesta es sí, pero se debe utilizar usando un

mínimo común múltiplo de sus vidas útiles como proyectos, una vez realizado este proceso se

puede definir a través del VAN que proyecto realizar.

8.2 Tasa Interna de Retorno (TIR) Es la tasa de descuento que iguala el valor actual de los egresos con el valor futuro de los

ingresos previstos, se utiliza para decidir sobre la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión.

Para ello, la TIR se compara con una tasa mínima o tasa de corte. Si la tasa de rendimiento del

proyecto - expresada por la TIR- supera a la tasa de corte, se le acepta; en caso contrario, se le

rechaza.

En otras palabras, se define como aquella tasa a la cual se hace cero el valor actual neto, por lo

tanto si la TIR es mayor que el costo de oportunidad del capital (TIR>r) se selecciona el proyecto.

Problemas de la Tasa Interna de Retorno

I. Puede haber más de una TIR.

Si se trata de proyectos simples o “bien comportados” (un solo cambio de signo en

los flujos) habrá una sola TIR.

Si hay dos o más cambios de signo pueden existir varias tasas para las que el VPN es

cero, en cuyo caso el indicador pierde sentido.

Proyectos para los que no existe TIR. Por ejemplo, cuando todos los flujos son

positivos.

II. Proyectos mutuamente excluyentes

III. Proyectos con distinta vida útil

La tasa interna de retorno representa la rentabilidad promedio del proyecto. Por lo que

no es lo mismo tener una TIR de 20% para un proyecto de 3 años que para otro de 5

años, como consecuencia, la tasa interna de retorno no permite comparar proyectos con

distinta vida útil, aun cuando la inversión sea la misma.

IV. El costo de oportunidad del capital varía en el tiempo

38


1. Se le ha pedido evaluar un proyecto de instalar un local de Burger King en Santiago,

cadena norteamericana de comida rápida orientada a la venta de hamburguesas, y que

ofrece franquicias para operar a nivel internacional. Las estimaciones de demanda indican

ventas anuales de 30.000 “combos” por año, a un precio promedio de $1.900 cada combo.

El costo unitario es de $600 por combo. Los costos fijos están dados por sueldos,

arriendo y servicios varios, ascienden a $2.500.000 mensuales. Para poder operar es

necesario invertir $5.000.000 para comprar una franquicia de Burger King que dura 5

años, al cabo del cual expira. Esta franquicia es depreciable en este mismo plazo. Se

requerirá además comprar equipos productivos por un monto de $17.000.000, los que se

deprecian linealmente en un período de 5 años, al cabo del cual tendrán un valor residual

del 20% de su valor de compra. El proyecto requiere un capital de trabajo de $5.000.000.

Su proyecto tiene acceso a endeudamiento con una tasa de interés del 7% anual. La tasa

de impuestos es de 17%. El tasa de descuento apropiada para este proyecto es de 11.2 %.

Confeccione el flujo de caja.

2. Un estudio estima posible desarrollar un proyecto que permita ganar una licitación con la

que se venderán inicialmente y por 2 años veinte mil toneladas anuales del producto X, a

$1.000.- por tonelada. En el año 3 las ventas suben a 25 mil toneladas a $1.100.- c/u y en

los años posteriores las 25 mil toneladas se venden a $1.200.- c/u.-

Para un volumen de producción de hasta 20 mil toneladas se requieren inversiones por:

- Terreno $ 10 millones

- Obras Físicas 25 millones

- Maquinarias 15 millones

- Gastos de Puesta en marcha 9 millones

Para incrementar la capacidad productiva se requiere de maquinaria adicional por valor

de $3 millones y con capacidad adicional de 5 millones toneladas anuales. Los costos de

fabricación unitarios son:

- Mano de Obra $ 100 - Materiales 150

- Costos Indirectos 50

Para volúmenes de 25 millones toneladas o más, se consigue un descuento del 10 % en la

compra de materiales. Los costos fijos de fabricación ascienden a $3.000.000.-, que se

incrementan en $500.000.- al llegar a una producción de 25 millones toneladas o más.

39

Hay una comisión de ventas del 3% sobre ventas y unos gastos fijos de venta de

$500.000 anual. Los gastos de administración son de $1 millón que crecerán en

$500.- mil a partir del año 3, monto que se mantendrá anualmente hasta la vida útil del

proyecto.

La depreciación del activo fijo se hace linealmente en 10 años hasta valor residual 0 y el

activo nominal se amortiza en 3 años.

La Gerencia estima una necesidad de capital de trabajo equivalente a seis meses del costo

total que implica desembolso el primer año. Esta inversión se recupera, con igual valor, el

5º año.

Al final del año 5 deberá liquidarse el proyecto pues termina el contrato licitado. A esa

fecha, se estima vender el terreno y el resto del activo fijo a su valor contable. Tasa de

impuesto10% y de costo capital 15%. Para la realización además e consiguió un préstamo

por el 20% de la inversión total al 10% de interés anual a ser devueltos en 4 cuotas

iguales a partir del año 1.

Realice el Flujo de caja para este proyecto

3. Se tiene una planta ubicada sobre un predio agrícola, en la cual se procesan metales

sometiéndolos a procesos de galvanización (principalmente barreras de contención de

carreteras y torres de alta tensión), el valor de mercado de la planta es de 4,5 millones de

U$. Su valor libro es cero. Para los próximos 4 años se espera que los resultados sean los

siguientes:

Ventas 16,5 MM U$

Costo variable planta 8,4 MM U$

Costo fijo planta 3,3 MM U$

Depreciación planta 3,3 MM U$

Al final del período el valor residual de la planta es 0 (de mercado). Se desea evaluar las

siguientes alternativas:

a) Arrendar el predio a 3 MM$ anuales y vender la planta inmediatamente a 4,5 MM$

b) Modificar la planta para que además produzca tubos de metal extruidos, se produce

en base a las mismas materias primas anteriores, con ello las ventas serían el doble y

los costos variables de la planta se incrementarían a 12,87 MMU$, el resto de los costos

permanecen iguales. Las nuevas instalaciones cuestan 12 MMU$ y se financian

en un 50% con un crédito pagadero en 4 cuotas con amortizaciones iguales y un interés

sobre el saldo de 10% anual (real). La vida útil de las nuevas instalaciones es

de 4 años, el valor residual sigue siendo 0.

40

La tasa de descuento relevante es de 8%

a) Construya el flujo de caja de las dos alternativas

b) ¿Cuál es la alternativa más conveniente? 4. Usted trabaja en una empresa minera que ha descubierto un yacimiento de oro, objetivo

para el cual se ha gastado, hasta el momento, US$10 millones (en exploración y estudios).

Los estudios de ingeniería demuestran que sería factible explotar el yacimiento

construyendo una mina a rajo abierto y una planta de procesamiento anexa al yacimiento,

generando producción durante 4 años (25.000, 50.000, 50.000 y 40.000 onzas de oro,

respectivamente). La construcción de la mina cuesta US$9 millones y la de la planta US$25

millones. Se requiere además equipos de movimiento de mineral por US$10 millones. El

capital de trabajo asciende a US$3 millones y se recupera íntegramente al final del período

de evaluación. Los parámetros del activo fijo se señalan a continuación:

Activo Vida Útil

Contable

(Años)

Valor Residual

(%)x

Mina Planta

Equipos Mina

4 10

5

0% 50%

30%

El costo variable de producción es de US$200 por onza de oro y el costo fijo es de US$2

millones por año. El precio de venta estimado del oro es de US$600 por onza. Considere

que el proyecto obtiene un crédito por el 40% del total de las inversiones (incluido el capital

de trabajo), de cuota fija a tres años con una tasa del 8% anual.

a) Calcule para cada uno de los activos, el monto de la depreciación, el valor libro y valor

residual al final del año 4 de operación.

b) Calcule para el préstamo, para cada año el monto de la cuota y su correspondiente

amortización e intereses.

c) Considerando una tasa de descuento del 10%, una tasa de impuesto a las utilidades de

un 17% y un horizonte de evaluación a 4 años; construya el flujo de caja del proyecto

puro. ¿Cómo decide sobre si le conviene o no el proyecto? En particular, ¿Es conveniente

este proyecto?

41

5. El Famoso Juan “Choro” Zapata es un joven cadete del equipo más grande del futbol chileno,

gracias a que fue el goleador del equipo “popular” la temporada pasada en la sub18, los

dirigentes del club le ofrecieron 2 opciones de contrato para subir al primer equipo. La

primera, es un contrato por tres años con un sueldo fijo de $3.000.000 mensuales. La

segunda, es un contrato también por tres años, pero con un sueldo variable el cual está

estipulado de la siguiente forma: $1.500.000 mensuales durante el primer año,

$2.500.000 mensuales el segundo año y $5.500.000 mensuales el último año. El “Choro”

Zapata estima que con $500.000 mensuales puede vivir normalmente en un mes, pero lo

que no transa es el deseo de regalar a sus padres una casa a fin de año la cual vale

$20.000.000 y que pagaría en efectivo. La tasa de oportunidad anual es de un 6%. Sin

embargo dada su nula historia anterior en el sistema financiero, Juan “Choro” Zapata no

está seguro que los bancos quieran prestarle dinero. ¿Qué contrato le aconsejaría usted

escoger en el caso de tener o no la oportunidad de endeudarse?

6. Ante la interminable prolongación del verano debido al calentamiento global, el dueño de

una pastelería, ubicada en el centro de Santiago, estudia la posibilidad de adquirir los

equipos e instalaciones necesarias para producir helados. Un proveedor de equipos

industriales le ofrece una instalación completa en $3.000.000 con la que puede producir

3000 helados en el año. Su vida útil es de 10 años. El precio neto de venta es de $500 por

helado y el empresario estima que los costos directos de producción alcanzarían a $300

por unidad. Los costos fijos incrementales son sólo de 200.000/año por tratarse de una

actividad marginal de la pastelería. La mejor alternativa que posee el empresario para

invertir su dinero le reporta un 8% real anual. La tasa de impuesto a las utilidades es 17%.

a) Se le solicita asesorar a este empresario respecto a la conveniencia del negocio (Calcular

VAN y TIR).Para ello suponga que todos los precios se mantendrán constantes y que el

empresario vende todo lo que produce. Considere un horizonte de evaluación de

10 años y el valor residual del activo igual a $1.000.000 (valor de mercado). Los equipos

e instalaciones se deprecian en 10 años.

b) Determine si es conveniente financiar la mitad de la inversión con un préstamo a 10

años, cuotas constantes, con una tasa real de 10% anual.

42

8.3 IVAN

Como se mencionó anteriormente, el mejor indicador para realizar un proyecto es teniendo un

VAN > 0 y que su orden de prioridad será por la maximización de este, no siempre es posible

realizar todos los proyectos con VAN positivo.

Si se tuviera a disposición una cantidad lo suficientemente grande de dinero para poder realizar

una serie de proyectos claramente se realizarían todos aquellos con un VAN positivo, pero

cuando existen restricciones de capital ¿Cómo se selecciona cual o cuales realizar? Para esto se

buscará obtener el máximo VAN posible por cada unidad monetaria invertida. En ese caso se

debe maximizar un indicador llamado IVAN:

IVAN = VAN / Inversión

Una vez determinado el IVAN, se jerarquiza de mayor a menor para seleccionar los proyectos en

los cuales se invertirá.

Ejemplo. 1.- A continuación se presenta la información completa acerca de una cartera

de proyectos en la cual usted debe dar la recomendación debida (cual o cuales realizar),

según las presentes condiciones:

a. Sin restricción de capital.

b. Con restricción de capital.

c. Si todos los proyectos son excluyentes entre sí.

Proyectos 0 1 2 3 4 5

A -100 10 20 60 80 100

B -200 70 80 80 90 50

C -250 80 90 100 90 80

D -150 50 60 70 80 90

E -300 100 90 80 70 100

F -450 300 20 20 20 300

G -150 50 50 50 50 50

Primero se calcula el VAN de cada proyecto.

43

Proyectos 0 1 2 3 4 5 VAN

A -100 10 20 60 80 100 $ 87,43

B -200 70 80 80 90 50 $ 82,37

C -250 80 90 100 90 80 $ 83,38

D -150 50 60 70 80 90 $ 108,16

E -300 100 90 80 70 100 $ 35,30

F -450 300 20 20 20 300 $ 54,22

G -150 50 50 50 50 50 $ 39,54

Si no existe restricción de capital, se realizan todos los proyectos, puesto que todos tienen

VAN positivo.

Si existe restricción de capital se jerarquiza por IVAN (de mayor a menor), teniendo en

cuenta la cantidad de capital disponible para invertir.

Proyectos IVAN

A 0,87431931

B 0,41187264

C 0,33353534

D 0,72104903

E 0,11765838

F 0,12048702

G 0,26359559

Por ejemplo si se tuviesen $450 para invertir, se seleccionaran en el siguiente orden los

proyectos: A, D y C.

Si los proyectos fueran excluyentes entre sí, se escoge aquel que posea mayor VAN.

8.4 Beneficio Anual Uniforme Equivalente (BAUE)

En ocasiones los inversionistas se verán enfrentados a proyectos que se pueden repetir periódica

e indefinidamente. Es decir, al cabo de la vida útil del mismo es posible repetir la inversión y

obtener los mismos flujos. El problema que surge es cómo proceder en la comparación de dos o

más proyectos con diferentes vidas útiles, en donde al menos uno de ellos es repetible.

Una posibilidad para comparar proyectos repetibles de diferente vida útil, es recurrir al factor de

recuperación del capital y distribuir el VAN de cada proyecto con la tasa de costo de oportunidad

del dinero en N cuotas iguales, siendo N el número de períodos de vida útil de cada proyecto.

La cuota así determinada se denomina BAUE.

44

El criterio es elegir el proyecto con mayor BAUE (siempre y cuando los proyectos tengan el

mismo riesgo).

8.5 Costo Anual Uniforme Equivalente

Al igual que lo visto anteriormente con el BAUE, en algunas ocasiones se presentan proyectos

repetibles que producen los mismos ingresos y difieren entre sí sólo en los costos de inversión y

operación. En este caso conviene distribuir el valor presente de los costos en n cuotas iguales.

La cuota así determinada se denomina CAUE.

El criterio para elegir el proyecto es aquel que posea el menor CAUE.

Ejemplo. Pérez construcciones debe elegir entre dos piezas para un equipo. La pieza A

tiene un costo USD 800.000 y se calcula que tendrá una duración de 5 años, además esta

requerirá anualmente de USD 100.000 para mantenimiento. La pieza B tiene un costo de

USD 950.000 pero durara 7 años, y sus costos de mantenimiento serán de USD 80.000

por año. Pérez incurre en todos los costos de mantenimiento al final del año. La tasa de

descuento apropiada de Pérez construcciones es de un 15%. Si los proyectos son

repetibles ¿Qué maquina pieza debería comprar?

Pieza A

Pieza A 0 1 2 3 4 5

Inversión -800000

Costos -100000 -100000 -100000 -100000 -100000

VAN = 1.135.266,62

CAUE = 338.652,44

45

Pieza B

Pieza A 0 1 2 3 4 5 6 7

Inversión -950000 Costos -80000 -80000 -80000 -80000 -80000 -80000 -80000

VAN = 1.282.833,6

CAUE = 308.342,35

Por lo tanto, se debe seleccionar la pieza B.


1. Los siguientes proyectos constituyen alternativas de inversión para usted por una sola

vez:

Proyecto Inversión VAN al 10%

A 15000 5000

B 25000 10000

C 30000 8000

D 40000 11000

a. Si su capital propio es de $ 70.000 y los proyectos no son divisibles y la tasa de

interés en el mercado financiero es de un 10%. ¿Qué proyectos realiza?

b. ¿Cambia su decisión si su capital propio es de $ 100.000?

2. Una empresa está analizando 2 tipos de fachadas para su nuevo edificio en construcción.

La fachada tipo A es en metal anodizado. Requiere mantenimiento y reparaciones

menores estimadas en $500 cada 3 años. Su costo inicial sería de $250.000. La alternativa

B es una fachada de concreto la que debe pintarse inicialmente (hoy) a un costo de

$ 80.000 y repintarse cada 5 años con un incremento de $ 8.000 cada vez. Se espera que

la vida útil del edificio sea de 23 años, con un valor de rescate que sube en $ 25.000 si se

usa fachada metálica. ¿Qué alternativa seleccionaría para su nuevo edificio en construcción

si la tasa de retorno es de un 15%?

3. Usted como futuro ingeniero está contemplando comprar un automóvil para cuando

egrese de su carrera y sus opciones preferidas son 2. El primer auto que cotiza es un Audi

A4 que cuesta USD 20.000 y tiene un costo esperado de mantención bajo, de USD 1.000

46

por año (pagadero al comienzo de cada año, después del primer año), pero una vida útil

de solo 4 años. El segunda auto es un BMW que cuesta USD 20.000 y tiene un costo

esperado de mantención de USD 2.000 por año (después del primer año) y una vida útil

de 6 años. Ninguno de los dos autos tiene valor residual. Si la tasa de interés es de 10%

anual. ¿Qué auto compraría?

4. Una escuela está considerando la opción de comprar un transporte para sus alumnos. El

vehículo tendría un costo inicial de $7 millones, una vida útil de 6 años y un valor de

salvamento de $4,5 millones al final de ese período. Los costos anuales de mantenimiento

serían de $720.000 y el pago al chofer se estima en $2,4 millones al año; ambos gastos se

pueden expresar como pagos a fin da cada año. Una empresa de transporte le ofrece un

vehículo en arriendo, con un chofer incluido; de acuerdo al contrato, la escuela debería ir

pagando el arriendo por adelantado y además, deberá pagar $380.000 cada año por

concepto de mantenimiento. Si la TMAR es de 12% anual, ¿Cuál es la cantidad que

deberá pagarse como renta anualmente, que haga indiferente ambas alternativas?

5. La corporación R&B está estudiando seis alternativas de inversión que son las

presentadas en la siguiente tabla.

Proyecto Inversión inicial Ingreso Actual Vida Útil

A1 1200 240 40

A2 1500 450 35

B1 2400 820 45

B2 2600 840 38

C1 3600 1500 30

C2 8500 1700 35

Si el valor residual esperado a la vida útil de cada proyecto es igual al 15% de la

inversión inicial requerida. La tasa de descuento es del 20% y sólo los proyectos que

aparecen asignados con la misma letra son mutuamente excluyentes indique:

a. ¿Qué proyectos se debe realizar si no existe restricción de capital?

b. Si es presupuesto está restringido a $7.000 ¿qué proyectos se deben realizar?

c. Indique si se requiere o no capital adicional y si es así ¿cuánto sería este?

6. Un amigo suyo está evaluando comprar un auto para trabajarlo como colectivo en la línea

4030 Santiago-Puente Alto, con un recorrido de 100 km ida y vuelta, dando 6 vueltas en

el día. Está evaluando dos opciones de vehículos, un Nissan Sentra o un Chevrolet Corsa.

Los datos son los siguientes:

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Nissan Corsa

Capacidad 4 pasajeros 4 pasajeros

Inversión Inicial $6.000.000 $4.400.000

Costo Combustible $40 por km $45 por km

Costo anual

mantenimiento

$300.00

$400.00

Vida útil 3 años 4 años

Valor residual 50% inversión 40% inversión

La demanda por el tramo es de 20 personas diarias en cada dirección y el precio del

pasaje en una dirección es de $1000. La tasa de descuento del mejor proyecto alternativo

de su amigo es 10%.

Nota: asuma que su amigo trabaja 250 días al año, y que no existen impuestos.

a. Realice el flujo de caja para cada una de las opciones o los diagramas de flujo y

calcule VAN.

b. ¿Qué auto recomienda Ud. que compre su amigo? ¿Por qué?

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