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25 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO

TEORIA DE

EXPONENTES 2

El último teorema de Pierre de Fermat, es uno de los teoremas más famosos de la historia de la matemática; cuyo enunciado es: No existen números enteros x; y; z que verifiquen la ecuación:

, cuando n es mayor que dos

CAPACIDADES

Al estudiar este capítulo el

alumno será capaz de:

Identificar los elementos de la

potenciación.

Reconocer las propiedades de

los exponentes.

Analizar las propiedades de la

teoría de exponentes y

radicales.

Aplicar las propiedades de la

teoría de exponentes en la

solución de ejercicios y

problemas.

Identificar y comprobar los

teoremas de radicación.

Aplicar las propiedades de las

ecuaciones exponenciales.

Reconocer las expresiones con operaciones que se repiten indefinidamente.

Realizar operaciones de

multiplicación, potenciación,

división y radicación.

El enunciado de este teorema quedó anotado en un margen de su

ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría traducida al latín

por Bachet publicado en 1621. La nota de Fermat fue descubierta

póstumamente por su hijo Clemente Samuel, quien en 1670 publica

este Libro con las numerosas notas marginales de Fermat.

Concretamente Fermat escribió en el margen de la edición de La

Aritmética de Bachet lo siguiente: “Es imposible descomponer un

cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general,

una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del

mismo exponente. He encontrado una demostración realmente

admirable, pero el margen del libro es muy pequeña para ponerla”

Recientemente, en 1994, Andrew John Wiles demostró este

teorema. Por dicha demostración se ofrecieron cifras millonarias

durante años.

Wiles nació el 11 de abril de 1953 en Cambridge182, Inglaterra.

Según afirma el propio Wiles, su interés por este teorema surgió

cuando era muy pequeño.


2. TEORÍA DE EXPONENTES

Son fórmulas que relacionan a los exponentes de las expresiones

algebraicas de un solo término en las operaciones de multiplicación,

división, potenciación y radicación en un número limitado de veces.

Definiciones previas

CASO DEFINICIONES EJEMPLOS

Exponente natural

Exponente nulo

Todo número diferente de cero

elevado al exponente cero es igual a la unidad.

( )

(√ )

Exponente negativo

Todo número diferente de cero elevado a un exponente negativo se invierte.

(

)

(

)

Exponente fraccionario

√

Se expresa equivalentemente como los radicales donde el numerador de dicho exponente es el exponente del radicando y el denominador representa al índice del radical.

√

√

𝑏𝑛 𝑏, 𝑠𝑖 𝑛 𝑏 𝑏…𝑏, 𝑠𝑖 𝑛 𝑛

n veces

El exponente natural indica las

veces que se repite la base.

Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y los cubos. Diofanto (III d.C.) ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias. Así x, xx¸ xxx, etc. para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x. Renato Descartes (1596-1650) introdujo la notación , , , , Aunque la palabra raíz proviene

del latín radix, la radicación fue

conocida por los hindúes y por

los árabes mucho antes que por

los romanos. Las reglas para

extraer raíces cuadradas y

cúbicas aparecieron por primera

vez en textos hindúes.


Es la operación aritmética que tiene por objeto multiplicar por sí mismo

un número llamado base (b) tantas veces como indica otro número

llamado exponente(n). Su algoritmo se expresa por:

exponente

base potencia

𝒃𝒏 𝑷 𝑏𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 … 𝑏 𝑃

n veces

( ) ( )

2.1. Ley de los signos de la

potenciación:

I) Si la base es positiva, la

potencia es positiva así el

exponente sea par o impar.

Ejemplo:

a) ( )

b) ( )

II) Si la base es negativa, la

potencia es positiva si el

exponente es par:

Ejemplo

a) ( )

b) ( )

II) Si la base es negativa, la

potencia es negativa si el

exponente es impar:

Ejemplo

a) ( )

b) ( )

2.2. Observación del teorema 5

2.1. Potenciación

Teoremas Fundamentales de la potenciación

TEOREMA GENERALIZACIÓN EJEMPLOS

1. Producto de Potencias de Igual Base

1)

2)

2. Cociente de Potencias de Igual Base

1)

2)

3. Producto de Potencias de Diferente Base

( ) 1) ( )

2) ( )

4. Cociente de Potencias de Diferente Base

(

)

1)

(

)

2)

(

)

5. Potencia de Potencia (Ver 2.1)

{[( ) ] } 1) {[( ) ] }

2) {[( ) ] }


Es la operación aritmética inversa a la potenciación que consiste en hallar un número “r” llamado raíz (en la potenciación se llama base), que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad b, llamado radicando. Su algoritmo se expresa por:


6. Exponente de

exponente

(

)

(

)

√

7. Potencia de una raíz

(√

) √

(√

)

√

2.3. Ley de los signos de la

radicación:

I) Si el radicando es positivo, la

raíz es positiva así el índice sea

par o impar.

Ejemplo:

a) √

b) √

II) Si el radicando es negativo y

el índice es impar, la raíz es

negativa.

Ejemplo

a) √

b) √

III) Si el radicando es negativo y

el índice es par, la raíz no existe.

Ejemplo

a) √

b) √

.

Teoremas Fundamentales (continuación)

𝑏𝑚𝑛𝑝 𝑏𝑚𝑛𝑝 x

y

𝑏𝑚𝑥 𝑏𝑦

2.2. Radicación

Teoremas Fundamentales de la radicación

radicando

índice de la raíz

símbolo de la raíz

√𝒃𝒏

𝒓 ⇔ 𝒓𝒏 𝒃 𝒏 𝒏 𝟐

raíz


8. Raíz de un producto

√

√

√

√

√

√

9. Raíz de un cociente

√

√

√ √

√

√


√√√

√√ √

√

√

2.4. Observación del teorema N° 10

2.5. Algunas propiedades de la

radicación

√

√

√

√

√

,

√

,

√

| |,

√ √

Teoremas Fundamentales de la radicación (continuación)


10. Raíz de una raíz (Ver 2.4)

√√√

√

√√√

√

11. Raíz de raíz con

radicando

√ √ √

√

√ √ √

√

Son aquellas operaciones con exponentes y radicales que se repiten

indefinidamente y que tienen una regla de formación.

CASO GENERALIZACIÓN

1

√ √ √ …

√

√ √ √ …

√

√

Ejemplo:

2 √

√

√

…

√

√

√

√

…

√

Ejemplo:

3

√ ( ) √ ( )

√ √ √

Ejemplo:

√ √ √

2.3. Casos especiales


CASO GENERALIZACIÓN

4 √ ( ) √ ( )

√ √ √

√ √ √

Ejemplo:

5

√

√

Ejemplo:

6

√ √

√

√ √

√

Ejemplo:

7

√ √

√

√ √

√

Ejemplo:

8 √ √ √ …

√

√ √ √ …

√

Ejemplo:

9 √ √ √ …

√

√ √ √ …

√

Si “n” es par

Si “n” es impar

¿Alcanzaría todo el trigo

del mundo para pagar el

juego de ajedrez?

El ajedrez tiene su origen en un

juego hindú denominado

Chaturanga, que posiblemente

se fusionó con otro juego griego

denominado Petteia, ambos

juegos existen desde la

antigüedad, las primeras

apariciones del juego actual son

de los alrededores del año 500

de nuestra era, y llegó a Europa

a través de los árabes.

Cuenta la leyenda que el rey

indio Iadava acababa de perder a

su hijo en una batalla y un

ciudadano (Sessa) que se enteró

quiso alegrarlo enseñándole el

juego del ajedrez. Parece ser

que el rey quedó fascinado con

el juego y era tan grande su

agradecimiento que ofreció a

Sessa para que él pidiese lo que

quisiera.

Lo único que pidió Sessa fue

trigo. Le pidió al rey que le diera

un grano de trigo por la primera

casilla del ajedrez, dos por la

segunda, cuatro por la tercera, y

así sucesivamente multiplicando

por dos, hasta llegar a la última

casilla, la número 64.

El número de granos de trigo

solicitado sería: S = 1 + 2 + 22 +

23 + ... + 263

S = 1 8 44 6 74 4 07 3 70 9

55 1 615( Dieciocho trillones

cuatrocientos cuarenta y seis mil

setecientos cuarenta y cuatro

billones setenta y tres mil

setecientos nueve millones

quinientos cincuenta y un mil

seiscientos quince).

Casos especiales (continuación)


EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE EXPONENTES

1. Si

y (

)

Halla A+B

Solución:

… ⏟

… ⏟

… ⏟

… ⏟

… ⏟

… ⏟

2. Reducir:

Solución:

(

)

,

( )

( )

3. Reducir: (

) ,

Solución:

Factorizando

Producto de extremos y medios

√

4.Simplificar:

Solución:


√

√

√

5. Reducir:

√

Solución:

√

=

:

6. Simplificar:

Solución:

(

√ √

√

√( )

)

(

)

(√ √

√ ) (

)

√

√

7. Simplificar:

(√ √

√

√(

) ) (

)

Solución:

√ √

√ √

√ √

√ √

8. Efectuar:

Solución:

=√

√


9. Si

Hallar:

Solución:

P=

Remplazando:

en P

P=

√ √ √

10. Si √ √ √

Y √ √ √

Hallar: √

Solución:

(Por casos especiales 3)

(remplazando el valor de S en V)

√ √ √

(√

)

Finalmente: √

√

√ √ √ √

…

√ √ √ …

√

√ √ √ √

…

√

11. Si √ √ √ …

Hallar:

Solución: (Por casos especiales 1)

Luego:

√

√

12. Si:

;

Hallar:

Solución: (Por casos especiales 5)

Si:

Si:

Luego: (√

)


√

√

√

√

√( )

√

13. Reducir:

Solución:

14. Si

Calcular: P=

Solución:

Remplazando en P

P=

P = 27

√ √ √ √√√

√ √ √ √√√

√

√

√

√

√

15. Simplificar:

Solución:

√

16. Si se cumple:

Calcula: R=

Solución:

De

Remplazando en R

R=

R = 3 + 3 + 9 + 27 = 42


APLICA TUS CONOCIMIENTOS

( )

1) Calcular:

Respuesta: 1

√

2) Hallar:

Respuesta: 6

(

)

3) Hallar el valor de:

Respuesta: 2

[(

) (

) (

)

]

4) Reducir:

Respuesta: 5


[( )

]

[( )

]

5) Reducir:

Respuesta: 1

[

] [

]

6) Calcula:

Respuesta: 1

7) Hallar x en:

Respuesta: 3

√ √ √ √ √

8) Reducir:

Respuesta: 7


√ √ √ √

√ √ √ √

9) Hallar el valor de N:

Respuesta: 1

√ √ √ √ √

10) Simplificar:

Respuesta: 7

√ √

√

…

√

√

√

…

11) Hallar el valor de:

Respuesta: 1

√

12) Reducir:

Respuesta: 24


√

13) Reducir:

Respuesta: y

√ √ √

√ √ √ …

14) Hallar: ( ) Si:

√ √ √

L √ √ √ …

Respuesta: 1

15)Hallar S en:

Respuesta: 10

16) Si ,

Respuesta: 256


( ) ( )

√ √

√

√

√

√

√

√

2.6. Algunas observaciones y

propiedades importantes

√

√

√ √

Si

= n

√ √

√

√

Son aquellas ecuaciones que llevan la incógnita en el exponente de una

potencia, o puede encontrarse como base de la potencia.

2.4. Ecuaciones exponenciales

CASO GENERALIZACIÓN EJEMPLOS

M O

N Ó

M I

C A

S

1.

Igu

ald

ad d

e b

ases

,

Si

Resolver: Solución: -Expresando el segundo miembro como potencia

-Igualando exponentes y resolviendo la ecuación

2.

Igu

ald

ad d

e

exp

on

ente

s

Si ( , )

( ) ( )

Resolver:

Solución: -Igualando las bases y resolviendo la ecuación

3.

Igu

ald

ad d

e b

ase

y ex

po

nen

te

(ecu

acio

ne

s t

rasc

en

de

nta

les)

Si

Resolver:

Solución: Descomponiendo el exponente en el segundo miembro

-Igualando las bases y exponentes para luego resolver

4.

An

alo

gía

de

térm

ino

s

O si

√

Resolver:

Solución: Expresando el segundo miembro como exponente fraccionario

T R

I N

Ó M

I C

A S

5.

Cam

bio

de

vari

able

Son ecuaciones con tres términos y mediante un cambio de variable se convierte a una ecuación de segundo grado

,

Resolver:

Solución:(Usando las propiedades de las potencias

Haciendo el cambio de variable

(resolviendo)

Sustituyendo y por e igualando exponentes

x= 0; x= -1


EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES

1. Resolver:

Solución: Igualando exponentes(caso 1)

3x+5 = 6x + 20

Resolviendo la ecuación

6x -3x = -20 + 5

3x = -15

x=

x= - 5

( )

( )

2. Resolver:

Solución: Factorizando

3. Resolver:

Solución: Por cambio de variable ( caso 5 )

Haciendo un cambio de variable y ordenando

Resolviendo la ecuación: y = 4 , y = -5

Sustituyendo “y” por e igualando exponentes

En el primer caso

(cumple la igualdad)

En el segundo caso

(no cumple la igualdad)

(

)

(

)

4. Resolver:

Solución: Factorizando


( )

5. Resolver:

Solución: Igualando las bases para igualar los exponentes y

resolver la ecuación

6. Resolver:

Solución: Expresando en bases iguales e igualando

exponentes

√

7. Resolver:

Solución:

Preparando en el segundo miembro para aplicar la

analogía de términos (caso 4)

Resolver:

Solución: Aplicando el caso 2 de igualdad de exponentes

Para que las bases sean iguales consideramos el exponente igual a cero


1) Demostrar que:

)

√

b)

√

c) √

2) Resolver:

Respuesta: x=

3) Resolver:

Respuesta:

4) Resolver:

Respuesta:

APLICA TUS CONOCIMIENTOS


5) Hallar a en:

Respuesta: a= 11

:

6) Resolver:

Respuesta: C.S={ }

7) Resolver: √

Respuesta: x= 9

8) Resolver:

Respuesta x= 5


9) Resolver:

Respuesta: x=

10) Resolver:

√

Respuesta: x=

11) Si

hallar el valor de √

Respuesta:√

12) Resolver: Si

Dar el menor valor de x

Respuesta:


13) Hallar “n” en:

Respuesta: n = 2

14) Resolver: (

)

√

Dar el valor de

Respuesta:

15) Resolver: √ √

Respuesta: x=

16) Resolver: √ √

√

Respuesta: x= √


√ √ √

( )

RECUERDA

*

{[( ) ] }

*√

√ √

√ √

√

TAREA DOMICILIARIA

1) Reducir: (

)

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

2) Simplificar:

a) 100 b) 130 c) 4090 d) 6000 e) 7290

3) Simplificar: √√√

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

4) Si Hallar

a) 2 4 b) 36 c) 128 d) 256 e) 512

5) Simplificar: √ √ √ √ …

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7


6) Efectuar: √ √ √

+ √ √

√

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 11

7) Reducir:

( )

a) 1 b) 2 c)

d)

e) 15

8) Calcular: [(

)

]

√

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9) Resolver:

a) 1 b) 2 c)

d)

e) 15

10) Resolver:

√

a) 1 b) 2 c)

d)

e) 15

11) Simplifique: √ √ √ √ √

a) √

b) √

c) √

d) √

e) √

√ √ √

√ √ √

√ ( )

√ √ √

√ ( )

RECUERDA

*En los radicales sucesivos

Si las bases son iguales

En el producto se tiene:

(todos los signos son

positivos)

En el cociente

Se tiene:

(los signos son intercalados)

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