1 1. MAGNETISMO Los primeros fenmenos magnticos observados estaban relacionados, sin duda, con los llamadosimanesnaturales,quesontrozosdemineraldehierroencontradosjuntoala antiguaciudaddeMagnesia(dedondevieneeltrminomagntico).Estosimanes naturalestienelapropiedaddeatraerelhierronoimantado,siendoelefectom pronunciadocercadealasregionesdelimnllamadaspolos.Eraconocidoporlos chinos, antes del ao 121 de nuestra era, que una barra de hierro, despus de haber sido colocadacercadeunimnnaturalestaadquirayconservabalapropiedaddelos imanes naturales y si dicha barra se suspendida librementede modo que pudiera girar alrededordeunejeverticalsecolocaaproximadamenteenladireccinNorte-Sur.El uso de los imanes para facilitar la navegacin puede hacerse remontar al siglo undecimo al menos. Elestudiodelosfenmenosmagnticosselimitdurantemuchosaosalosimanes obtenidosdeestaforma.Hastaqueen1819nosedemostrqueexistaunarelacin entrelosfenmenoselctricosymagnticos:Enaquelao,elfsicodansHans ChristianOersted(1770-1851)observqueunimnquepuedegirarlibrementesobre sueje(unaagujamagntica)sedesvaalencontrarseenlaproximidaddeunhilo conductor que transporta una corriente. Doce aos ms tarde, tras intentos que duraron variosaos,Faradayobservqueseproduceenuncircuitoelctricosegenerauna corriente instantnea, cunado en otro circuito prximo se establece o se interrumpe una corrienteelctrica.Pocotiempodespus,sedescubriquealacercarseoalejarseun imndeuncircuitoelctricoseproduceelmismoefecto.EltrabajodeOersted demostrquepuedenproducirseefectosmagnticosporelmovimientodecarga elctricas, y el de Faraday y Henry, que pueden obtenerse corrientes por el movimiento de imanes. Actualmentesecreequelosllamadosefectosmagnticosprocedendelasfuerzas originadasentrecargaselctricasenmovimiento.Estoes,lascargasmvilesejercen fuerzas magnticas entre s, adems las fuerzas puramente elctricas dadas por la ley de Coulomb.Comenzaremos,porconsiguiente,elestudiodelmagnetismoconsiderando las fuerzas que existen entre cargas mviles. Puestoqueloselectronesestnenmovimientoalrededordelncleoatmico,ycada electrnpareceestarenrotacinconstantealrededordeunejequepasaporl,cabe destacar que cada tomo presenta efectos magnticosy de hecho se ha encontrado que ases.Lasposibilidadesquelaspropiedadesmagnticasdelamateriafueronfueran consecuencia de las partculas minsculas del tomo, fue sugerida por Ampere en 1820. Claro est que esta teora no ha sido comprobada an. 1.1Campo magntico. Induccin Sepuedeadoptarelpuntodevistadequetodacargaenmovimientocreauncampo magntico en el espacio que la rodea y este campo es el que ejerce una fuerza sobre otra carga que se mueve en l. Adems de un campo magntico que se crea existe un campo electrostticoquerodealacargaestonoenmovimiento.Unasegundapartcula cargada, situada en estos campos combinados, experimenta una fuerza debida al campo 2 elctrico independientemente de estar en movimiento o en reposo. El campo magntico ejerceunafuerzasobreellanicamentesiestenmovimiento.Sedicequeexisteun campomagnticoenunpuntosiseejerceunafuerzasobreunacargamvilquepasa por dicho punto. SepuededefinirunvectorBllamadoinduccinmagntica,quecaracterizaelcampo magntico del mismo modo que el vector E caracteriza el campo elctrico. El valor de la induccin magntica B en cualquier punto se define con la relacin: sen v qFB* *=Ecuacin 1-1 Donde q es el valor de la carga; v su velocidad; el ngulo formado por v y la direccin del campo magntico y F la fuerza que acta sobre la carga mvil en el punto. Si F se expresa en newtons, q en culombios y v en metros por segundo, se dice que B se mide en webers por metro cuadrado. As un weber por metro cuadrado es la induccin magntica de un campo magntico en el cual una carga de un culombio, que se mueve conunacomponentedevelocidadperpendicularalcampoesigualaunmetropor segundo, est sometida a una fuerza de un newton. seg m coulnewtonmWeber/ *1 12= O sea, puesto que un culombio por segundo es igual a un amperio: m amperionewtonmWeber*1 12=Enelsistemacgs,Bsemideenmaxwellsporcentmetrocuadradoogauss.Puede demostrarse que: 24210 1 1mwebercmMaxwellgauss= =O sea 2410mwebergauss = Ecuacin 1-2 Los mayores valores de la induccin magntica que se puede obtener en un laboratorio esdelordende10web/m2 oseade100.000gaussyelcampomagnticoterrestrela induccinessolodealgunascienmilsimasdeweberpormetrocuadrado,estoes, algunas dcimas de gauss. 1.2Lneas de induccin, Flujo magntico. Uncampomagnticoaligualqueuncampoelctrico,puederepresentarseporlneas llamadaslneasdeinduccin,cuyadireccinencadapuntoeselvalordelvector induccinmagntica.Porconvenio,elnmerodeestalneasporunidaddesuperficie normal a su direccin se hace igual al valor de la induccin. Como unidad de induccin se eligi el weber por metro cuadrado, de modo que un weber sera igual a un lnea de induccin.Anlogamenteenelsistemacgs,seeligicomounidaddeinduccinel maxwell por centmetro cuadrado, de modo que un Maxwell sera igual a una lnea. 3 El nmero total de lneas de induccin que atraviesan una superficie se denomina flujo magntico a travs de la superficie y se representa por . En el caso especial en que B es uniforma y normal a la superficie infinita A, A B * = Ecuacin 1-3 PuestoqueBsemideenwb/m2 yAenm2,elflujosemideenwebber.Comola induccin B en un punto es igual al flujo por unidad de rea, esta cantidad se denomina frecuentemente densidad de flujo. 1.3Campo magntico sobre un conductor. Las primeras observaciones registradas sobre campos magnticos creados por corrientes elctricasfueronobservadasporOersted,quien descubriqueunaagujaimantadaque puedegiraralrededordeunejeyestprximaaunhiloconductorporelcualcircula unacorrienteelctrica,tiendeacolocarseconsuejelongitudinalperpendicularal conductor.ExperienciasposterioresrealizadasporBiotySavart,yporAmpere, condujeron a una relacin por medio de la cual se puede calcular la densidad de flujo en cualquier punto del espacio que rodea un circuito por el que pasa una corriente. Comosepuedeverenlafigura1elcampomagnticoquerodeaunconductorson figurasconcntricasconelhiloysituadasenplanosperpendicularesal.Seobserva quecadalneadeinduccinesunalneacerrada,yenesteaspectolaslneasde induccindifierendelaslneasdefuerzadeuncampoelctricoqueterminansobre cargaspositivasynegativas.Estapropiedaddelaslneasdeinduccinescierta, cualquiera que sea la forma del circuito que crea el campo; cada lnea de induccin se cierra sobre si misma. Fig 1-1 Campo magntico sobre un conductor. 1.4Campo magntico sobre una espira circular. En muchos dispositivos que utilizan una corriente para crear un campo magntico, tales como un electroimn o transformador; el hilo que transporta la corriente est arrollado enunabobina.Enlafigura2seveelconductorylaslneasdeflujoquerodeanuna espira circularyseencuentran enunplanoque pasaporsu eje.Enrealidad,elcampo tiene tres dimensiones y podemos hacernos una idea de l imaginando que el plano gira alrededor del eje; hay que recordar que cada lnea de induccin es una curva cerrada. 4 Fig 1-2 Lneas de induccin que rodean una espira circular. 1.5Campo magntico en un solenoide. La densidad de flujo producida en cualquier punto por una corriente que circula por un arrollamiento solenoidal, es simplemente la resultante de las densidades de flujo creadas en dicho punto por cada espira del solenoide. Utilizando la ecuacin de Biot y Savart se puede demostrar que en cualquier punto del eje o prximo a l y no demasiado cerca de sus extremos se verifica que: lNIB0 = Ecuacin 1-4 Siendo N el nmero total de espiras, l la longitud del solenoide e I la corriente elctrica que circula por el conductor. El campo completo se puede ver en al figura 3. Obsrvese en la ecuacin 4 el radio del cilindro sobre el cual fue bobinado el conductor no afecta la ecuacin. Fig 1-3 Campo magntico en un solenoide. 1.6Campo magntico en un toroide. Unarrollamientotalcomosemuestraenlafigura4sedenominatoroide.Puede imaginarse que es un solenoide que se ha encorvado hasta adquirir la forma circular, de forma que sus extremos se han unido. Prcticamente todo el flujo magntico se confina enelinteriordeltoroideyladensidaddeflujoencualquierpunto,dentrodel arrollamientoestdadaporlaecuacin4enlacuallrepresentalalongituddela 5 circunferencia media del toroide. Cabe destacar que el flujo fuera del toroide es cercano a cero. Fig 1-4 Campo magntico producido en un toroide. 1.7Excitacin magntica. Laspropiedadesmagnticasdelamateriapuedenmedirseycalcularsefcilmente cuandolasustanciaadoptalaformadeanillo,porqueelcampomagnticocreadopor unacorrienteelctricaenelarrollamientomagnetizanteestconfinadacompletamente al interior del anillo. Ninguna lnea de induccin atraviesa la superficie de la sustancia hacia el espacio exterior. CuandolassustanciasmagnticassoncilndricasoenformadeU,comosucedecon frecuencia,laslneasdeinduccinatraviesanlasuperficieenciertaszonasllamadas polos.Lasregionespordondelaslneasdeinduccinsalendelcuerposedenominan polos nortes, y las regiones por donde entran se llaman polos sur. Unhiloquetransportaunacorrienteounacargamvilestnsometidosaunafuerza cuandoseencuentranenlacercanadeunpolomagntico.Esdecir,loscampos magnticospuedenproducirsebienpor,corrientesquecirculanenlosconductores,o porlospolosmagnticos.Parallevaracaboelestudiodelmagnetismoconsuficiente generalidad y tener en cuenta estos dos efecto magnticos, se define una nueva cantidad vectorial H, a la que se denominar excitacin magntica. La expresin completa para H tiene dos trminos, uno de los cuales expresa el efecto de las corriente que circulan por los conductores y otro, el de los polos magnticos. En el caso del anillo de Rowland, en donde no hay polos magnticos, el segundo trmino es nulo. Eltrminoqueexpresaelefectoproducidoporlascorrientesquecirculanenlos conductotes que est formado por la ley de Biot-Savart y se diferencia por el trmino de m0 241Ri idlsendH= Ecuacin 1-5 LadireccindedHeslamismaquedB.Siseaplicalaecuacinanterioralanillode Rowland se puede obtener la expresin completa como sigue: lNiH=Ecuacin 1-6 Obsrvese que la excitacin magntica de una sustancia no depende de la sustancia que formaelanillo.Sisehaceunanlisisdimensionaldelaexcitacinmagnticanos podemosdarcuentaqueseexpresaenamperiosvueltapormetro,oenamperiospor metro. Si se desean incluir el efecto de N. Al igual que la induccin magntica, el valor 6 y direccin de H pude representarse por medio de lneas de fuerza magntica que pasan porelpunto.DentrodeunanillodeRowlandlaslneasdefuerzamagnticatienenla misma forma que las lneas de induccin magntica, aunque no siempre sucede as. ParaunanillodeRowlanddedensidaddeflujoseexpresacomo lNiB = yla excitacin magntica como lNiH=de lo cual se deduceH B = Ecuacin 1-7 Hayunaclasificacindelosmaterialesmagnticostomandocomoreferenciaelvaci que tiene una permeabilidad de igual 7010 4= henrios/metro. Se define la permeabilidad relativa de un material como la relacin del material sobre la permeabilidad del vaco como: 0mr= Ecuacin 1-8 Y se acostumbra no a dar la permeabilidad del material sino la permeabilidad relativa de los materiales. 1.8Materiales diamagnticos. Aquellosmaterialesqueexperimentanunapequeafuerzaderepulsinsonllamados materialesdiamagnticos.Denuestraexperienciasehaencontradoqueelbismuto, plata, cobre son de estos tipos de materiales. La permeabilidad de estosmateriales es un pocomenosalapermeabilidaddelvacoenelespaciolibre.Lapermeabilidadde algunos materiales diamagnticos se puede citaren la siguiente tabla: Tabla 1.1. Materiales diamagnticos materialPermeabilidadrelativa Bismuto0.999 981 Berilio0.999 987 Cobre0.999 991 Metano0.999 969 Plata0.999 980 Agua0.999 991 1.9Materiales paramagnticos.Tambinexistenmaterialesqueexperimentanunafuerzadeatraccin.Sustanciasque son impulsadas hacia el centro de un solenoide con una pequea fuerza, estos materiales son llamados paramagnticos. Estos materiales tienen una permeabilidad un poco mayor alapermeabilidaddel vacoenel espaciolibre.Unalista brevedeestosmaterialesse pueden ver en la tabla 1.2. 7 Tabla 1.2. Materiales paramagnticos materialPermeabilidadrelativa Aire1.000 304 Aluminio1.000 023 Oxigeno1.000 330 Manganeso1.000 124 Paladio1.000 800 Platino1.000 014 1.10Materiales ferromagnticos. Hay materiales que experimentan no solo una gran fuerza de traccin en el experimento delanillodeRowlandsinoqueaumentansignificativamenteelflujoproducidoenel vaco.Estosmaterialessonllamadosferromagntico,lafuerzadeatraccin experimentada por este tipo de material puede llegar a ser 5000 veces la experimentada enelvaco.Soloexistentresmaterialesferromagnticosenlanaturalezaellossonel hierro,nquelyelcobalto;peroafortunadamenteestosmaterialesabundanenla naturaleza y se pueden usar para la construccin de mquinas elctricas. Desafortunadamenteestetipodematerialnotieneuncomportamientolinealentrela relacin B vs H y se necesita un tratamiento matemtico mas extenso para comprender el funcionamiento de este tipo de materiales. Inicialmente, la permeabilidad del material dependedelahistoriamagnticadeeste.Fenmenollamadohistresis.Enefecto, puede existir flujo en el hiero an en ausencia de un campo exterior; cuando el material se encuentra en este estado se llama imn permanente. Acausadelarelacincomplicadaentreladensidaddeflujoylaintensidaddeuna sustanciaferromagntica,noesposibleexpresarBcomofuncinanalticadeH.En lugardeesto,sedalarelacinentrelasdosmagnitudesmedianteunagrficaouna tabla y esta grfica se le llama curva de imantacin o magnetizacin de la sustancia (ver figura 5). Fig 1-5 Curva de magnetizacin del hierro templado. 8 1.11 Dipolos magnticos: Paraentenderelcomportamientodelosmaterialesferromagnticosdebemosecharun vistazocomoestnconstruidasuestructuramolecular.Esbienconocidoquelos electrones orbitan los ncleos a una velocidad constante. La corriente es definida como una carga que pasa a travs de un punto dado en un segundo, un electrn describe una trayectoriacircularyestedescribeunanillo.Cuandosemultiplicalacorrienteporla superficieencerradaporel,seobtieneloqueseconocecomomomentoorbital magntico. Unelectrnestcontinuamentegirandosobresupropioejeaunavelocidad determinada. El efecto de spining involucra cargas circulantes y denota un electrn con un momento de spining. El momento magntico de una tomo es obteniendo combinando estos dos efectos y el efectomagnticosedeterminadependiendodelacantidadquetenganestosdos momentos.Elcampomagnticonetoproduceuncampolejanoqueessimilaraaquel producido por un corriente en una espira. N S Fig 1-6 Dipolos magnticos. 1.12 Dominios magnticos. Enlassustanciasdiamagnticasyparamagntica,ladensidaddeflujodebidalalas corrientes electrnicas es despreciable comparada con el campo aplicado. Mientras que enlassustanciasferromagnticaspuedesermilesdevecesmayorqueelcampo aplicado. La conclusin es que en una sustancia ferromagntica han de actuar sobre los imanesmolecularesalgunainfluenciaalimentadoradistintadelcampoaplicado.Esto solopuedeproducirseporunaaccinmutuaentrelasmolculas,efectoquees despreciableenlassustanciasdiamagnticasyparamagnticas.Esteprimer sealamiento fue sealado por Pierre Weiss en 1907. Lassustanciasferromagnticasestnformadasporcientosdeestosdominios magnticosqueledanelcomportamientodescritoenlafigura5.Cunadosetieneun pedazodematerialvirgen,estosdipolosseencuentranorientadosalazaryelflujo magntico total es nulo debido a que los dipolos tienen orientaciones diferentes. Cuandoelpedazodematerialescolocadoenuncampomagnticoexternotodoslos dipolostiendenaalinearseenelmismosentidodelflujoexcitador.Unaformade conseguirelcampoexcitadorescolocarunabobinaquetransportaunacorriente elctricacomoenelcasodelanillodeRowland.Sepuedeverexperimentalmenteque algunosdipolossealineanmsomenosenlamismadireccindelcampomagntico. Estos dominios tienden a hacer crecer el campo magntico a expensas de los dominios vecinos.Elcrecimientodeldominiosolocambiasuslmites.Elmovimientodellos 9 lmites,sinembargo,dependedelaestructuradelosgranosdelmaterial.Tambinse puedeexperimentarquelosdominiosrotansusdipolosmagnticosenladireccindel campo aplicado. Como resultado, la densidad del campo magntico crece. Fig 1-7 Dominios magnticos. Lacorrienteenlabobinaestablece unlaunaintensidadde campoHenelmaterial,la cualsepuedeconsiderarcomounavariableindependiente.LaintensidaddecampoH establece un campo magntico con densidad B. el establecimiento de la densidad B hace crecer loslmites de los dominios y este movimiento puede ser reversible. Si se sigue aumentadolaexcitacinmagnticaHincrementandolacorrigenenlabobina,la densidaddelcampomagnticoBllegarasermsfuerteporquehaymasdipolos magnticos alineados a favor del campo. Si se aprecia el movimiento de los dipolos en un principio el crecimiento de B es lento, luego se incrementa rpidamente, y luego se muylentonuevamente(verfig5)yfinalmentesevuelvecasiplano.Lacurvaas generada es conocidacomolacurvademagnetizacino simplementelacurvaBvsH deunmaterialmagntico.Cadamaterialmagnticotienesupropiacaracterstica.La zona donde la curva cambia de pendiente se llama el codo. La saturacin magntica se presenta despus del codo. 1.13Histresis. Unacurvadeimantacin,talcomoapareceenlafigura5,expresalarelacinentrela densidaddecampoBylaexcitacinmagnticaH,siempreycuandolamuestrase encuentredesimantadaylaexcitacinmagnticaaumentedesdecero.As,sila corrienteenlabobinamagnetizanteenelarrollamientodeunanillodesimantado aumente de modo continuo, desde cero hasta que la excitacin magntica H corresponda alaabcisaOe,ladensidaddeflujoBestdadaporlaordenadaOf.Sipartiendodel estado desimantado, la excitacin magntica se aumenta, primero desde Og y despus se debe disminuir hasta Og, y despus se debe disminuir hasta Oe, el estado magntico de la muestra Viena dado por la trayectoria Oabc. La densidad de flujo, se ha reducido hasta OhenlugardeOf.Siseanulaahoralacorrientedemagnetizante,lacurvacontinua hasta el punto d, en el cual la densidad de flujo Od. Fig 1-8 Comportamiento de histresis. Sevequeladensidaddeflujoenlamuestranodependenicamentedelaexcitacin magntica,sinotambindelahistriamagnticadelamisma.Pordecirloas,la muestratienememoriamagnticayrecuerdaquehasidoimantadahastaelpuntob, 10 aunquesehayasuprimidodespuslacorrientemagnetizante.Enelpuntodseha convertidoenunimnpermanente.Estecomportamientodelasustanciaevidenciado porhechodelacurvaB-Hnocoincide,aldisminuirH,conlaobtenidacuandoH aumenta, se denomina histresis. El trmino significa literalmente quedarse atrs. Fig 1-9 Comportamiento de la curva de histresis. Enmuchosaparatoselctricos,talescomotransformadoresymotores,haymasasde hierrosituadasencamposmagnticoscuyosentidocambiacontinuamente(excitadas concorrientealterna).Estoes,laexcitacinmagnticaHcambiadesde0hastacierto valorenunsentido,despusseanula,aumentanuevamentehastaunvalor,peroen sentido contrario, disminuye nuevamente hasta cero hasta anularse nuevamente y repite elcicloindefinidamente.Ladensidaddeflujoseinviertetambinperodelaforma como se muestra en la figura 9 describiendo una curva cerrada en el plano B-H llamada ciclo de histresis. Fig 1-10 Curva de histresis. 1.14CIRCUITOS MAGNTICOS Esimportanteobservarqueuncampomagnticoesunfenmenodeparmetro distribuido;estoes,estdistribuidoenunaregindelespacio.Comotal,unanlisis riguroso requiere del uso de las variables de distancia tal como estn contenidas en los 11 smbolosdedivergenciayrotacional.Sinembargo,encondicionesapropiadases posibleaplicarunanlisisdeparmetroconcentradoaciertasclasesdeproblemasde campo magntico, tal como se aplica al anlisis de circuitos elctricos. En el problema de circuito magntico la exactitud y precisin de tal anlisis es mucho menor, empero, que en los problemas de circuito elctrico debido a la variacin relativamente pequea delapermeabilidadentreconductoresyaisladoresmagnticos,comosemencion antes. El anlisis de un circuito magntico sigue la tendencia de un anlisis sencillo de un circuito elctrico de c.c y se aplica a sistemas excitados por seales de c.c. o, mediante unaaproximacinincremental,aunaexcitacindec.a.defrecuenciabaja.Suutilidad estribaendeterminareltamaodeloscomponentesmagnticosdeunaparato electromagntico durante las etapas de diseo, en calcular inductancias, y en determinar las densidades de flujo en el entrehierro en clculos de potencia y de par de torsin. Comencemos con unas cuantas definiciones: 1.15 Potencial magntico. Pararegionesenlasquenoexistendensidadesdecorrienteelctrica,locualescierto para los circuitos magnticos que estudiaremos, la intensidad del campo magntico, H, puede ser definida en trminos del potencial magntico escalar como = = dl H H . ; Ecuacin 1-9 Se ve que tiene la dimensin de amperios, aunque, a menudo, se emplea "amperios-vueltas"comounaunidadpara.Frecuentementeseusaeltrminofuerza magnetomotriz(fmm)paraunaelevacindepotencialofuentedeenergamagntica. Paraunacadadepotencial,sueleusarseeltrminocadadereluctancia.Existendos tiposdefuentesdefmmencircuitosmagnticos:lacorrienteelctricaylosimanes permanentes. Por lo general, la fuente de corriente elctrica consta de una bobina de un ciertonmerodevueltas,N,queportaunacorrienteconocidacomolacorrientede excitacin. Ntese que el nmero de vueltas, M es adimensional. 1.16 Flujo magntico.Las lneas de corriente o de flujo en un campo magntico se conocen como lneas de flujo magntico, y se denotan por el smbolo , y tienen la unidad weber en el sistema SI. El flujo est relacionado a B por la integral de superficie =sds B. Ecuacin 1-10 1.17 Reluctancia.Lareluctanciaesuncomponentedelaimpedanciamagntica,untantoanlogaala resistenciaencircuitoselctricos,conexcepcindequelareluctancianoesun componente de prdida de energa. Se define por una relacin anloga a la ley de Ohm: = Ecuacin 1-11 La unidad en el sistema SI de la reluctancia magntica es el henry-1. Si suponemos que la unidad de flujo tiene slo un componente direccional, B, y que es uniforme sobre una seccintransversaldeunrea,Am,tomadaperpendicularaladireccindeB,se convierte en = BAm. Tambin suponemos que H no vara a lo largo de la longitud lm en la direccin de B, yse convierte, reordenando, en 12 mmmmAlA Bl H = == ..Ecuacin 1-12 1.18Permeancia. La permeancia, , es el recproco de la reluctancia y tiene la unidad henry en el sistema SI.Lapermeanciaylareluctanciaseempleanambasparadescribirlascaractersticas geomtricasdeuncampomagntico,principalmenteparaelpropsitodecalcular inductancias. Basadosen11y12,podemosahoraconstruirlasrelacionesresumidasenlatabla1.3. En esta tabla, l es la longitud y A es el rea de la seccin transversal del paso del caudal de corriente en el circuito elctrico o del flujo en el circuito magntico. En la tabla 1.3 se puede verificarse que la unidad de reluctancia es H-1. A causa de que es anloga a I, y que es anloga a R, las leyes para resistencias conectadas en serie o en paralelo son igualmente vlidas para las reluctancias. Tabla 1.3 Analoga entre un circuito magntico y un circuito elctrico de cc. Circuito Magntico Circuito Elctrico FlujoCorriente, I FmmVoltaje,V ReluctanciaResistencia R = 1 / A Permeancia Conductancia G = 1/R Permeabilidad Conductividad Ley de ohm =/Ley de ohm I= V/R 1.19 Circuito magntico de un toroide. Ahora se analizar el anillo de Rowlad para observar la aplicacin de la analoga entre variablesmagnticasyelctricas.Siseobservalafigura11delaizquierdaseveuna fuente magnetomotriz que no es ms que la bobina sobre el circuito magntico. Lafuerzamagnetomotrizserepresentaporunafuentedetensin.Lapolaridades representadaporunaNquerepresentaelpolonorte,yrepresentaellugarpordonde salen las lneas de flujo. El polo sur se representado por una S y representa el lugar por donde entran la lneas de flujo. La polaridad se debe determinar de acuerdo a la regla de lamanoderecha,elpulgarrepresentaelsentidodelacorrienteyloscuatrodedos restantes el sentido del flujo. Latrayectoriadelflujoesrepresentadaporunaslneasrectasqueunendospuntos especficos.Aligualquelosconductoreselctricosenestaslneasnosepresenta ningn tipo de prdida. El circuito debe tener una reluctancia , esta vara cada vez que se cambie de material, dereaohayalongitudescomplicadasdeobtener.Elcircuitototalsepudeverenla figura11. 13 Fig 1-11 circuito elctrico equivalente de un toroide. 1.20 Circuitos magnticos con entrehierro. Un entrehierro en un circuito magntico es una pequea grieta de material que se llena de aire como se muestra en la figura 12. En esta zona hay un cambio de material y por endedebehaberunareluctanciaadicional.Enelcircuitohabrndosreluctancias,una debidaalmaterialmagnticodealtapermeabilidadyotradebidaalaire. Desafortunadamentelapermeabilidaddelaireesbaja(cercanaaladelvaco)ypor consiguientelareluctanciaenestesectoresaltahaciendoqueallsepierdagran cantidad de fuerza magnetomotriz aunque la longitud del entrehierro sea pequea. Otro factor que se debe tenerse en cuenta en el momento de trabajar con entrehierro es la dispersin del flujo que aparece en esta zona. Si se analiza el circuito magntico este presenta una trayectoria cmoda y definida al flujo pero al llegar al entrehierro hay una disminucindelapermeabilidad,ademstodoelcircuitomagnticoestrodeadode aire lo que le da una ampliacin del rea transversal. Fig 1-12 Circuito magntico con entrehierro. 1.21 Circuitos magnticos con varias fuentes. En la figura 1.10 se puede ver un toroide con dos bobinas en la figura de la izquierda se puedeverqueelflujoproducidoporlasdosbobinasvanenelmismosentidoloque hace que el flujo se refuerza o el efecto de las dos fuentes sea aditivo. En la figura de la derecha el flujo producido por las dos bobinas va en sentido contrario lo que hace que el flujo total sea la diferencia de los dos. Al presentarse esta situacin se puededarseelcasoqueunafuenteconsumafuerzamagnetomotrizmientraslaotra produzca.Oqueambasfuentesgenerenfuerzamagnetomotriz.Paraanalizareste fenmeno se debe hacer el mismo anlisis de las fuentes de tensin que se hacan en los circuitos elctricos. 14 Fig 1-13 circuito magntico con varias fuentes 1.22 Ley de Faraday. Supongamos que hay dos espiras de un hilo conductor como estn en la figura 4 y en la bobinadeladerechasehancolocadounabaterayunaresistenciavariable;estosdos elementoshacenquelacorrientevarieneltiempo.Silacorrienteesvariableenel tiempo hace que el flujo producido en la espira tambin sea variable en el tiempo. Si se coloca un voltmetro en los extremos de la bobina de la izquierda se puede observar que hayunatensininducidaquevaraconlamismarapidezquelohaceelcampo magntico producida por la primera bobina. Fig 1-14 Experimento de Faraday. Lavariacindelflujopudeserdebidaaunavariacintemporaldelflujomagnticoo una variacin de la posicin relativa en la espira respecto del mismo o una combinacin de las dos causas anteriores. En el primer caso se habla de una fem de transformacin, ya que este es el tipo de fenmeno que se produce en los transformadores; en el segundo caso, se habla de la fem de movimiento. El valor de la fem inducida depende solo de la magnituddelavariacindelflujo,condependenciadequesuvariacinsedebaa variacioneseneltiempooacambiosgeomtricos.Laleydelainduccin electromagnticafue enunciada por Faraday en 1831 y dice que el valor absoluto de la fem inducida viene dado por la rapidezde variacin del flujo abarcado y que su sentido estalquetiendeaestablecerunacorrientequeseoponealavariacindeflujoquela produce | | edtd= Ecuacin 1-13 15 1.23 Ley de Lenz: H. F. E. Lenz (1804-1864) fue un fsico alemn que sin conocer los trabajos de Faradayy Henry, repiti casi simultneamente muchos de sus experimentos. La ley que lleva su nombre constituye una regla til para conocer el sentido de una fem inducida. Esta ley establecequeelsentidodeunafeminducidaestalqueseoponealefectoquela produce. El descubrimiento delenz hizo que la ecuacin de la tensin inducida cambie a dtd = e Ecuacin 1-14 1.24Autoinductancia. VolvamosnuevamentealanillodeRowlandquehemostrabajadohastaahora.Una corrientecambianteeneltiempoestableceuncampomagnticocambianteenel material magntico. El flujo variante en el tiempo induce una tensin de acuerdo a la ley de Faraday que dice: dtdN= e Ecuacin 1-15 Laautoinductanciaotambinllamadainductanciaosimplementeinductanciadeuna bobinasedefinecomolarelacinentreelcambiodiferencialenlosconcatenamientos de flujo y el cambio diferencial de la corriente, es decir: didN= LEcuacin 1-16 Donde L es la inductancia de la bobina medida en Henrios. La tensin inducida puede expresarse en trminos de la inductancia como: dtdiLdtdididN = =e Ecuacin 1-17 EstaeslaformadelaleydeinductanciadeFaradayqueseusacomnmenteenel anlisisdecircuitoselctricos.Laecuacindelainductanciaestablecequela inductancia de una bobina es de 1H si la corriente que varia a razn de 1A/s induce una tensin de 1V en la bobina. Elconceptodeinductanciaesmuytilporquebrindaunmtodoabreviadopara expresarlafeminducidaenlabobinadirectamenteentrminosdelacorrientequese produceenella.Sinesteconcepto,primerotendraquedeterminarseelflujoenel circuito magntico causado por la corriente y despus aplicarse la ley de la induccin de Faraday para obtenerse la fem inducida. Como=Nieslafmmaplicaday=l/Aeslareluctanciadelcircuitomagntico,el flujo en el circuito magntico es= Ni Ecuacin 1-18 Luego, la inductancia se puede expresar como: =2NL Ecuacin 1-19 Si se analiza la ecuacin de la inductancia es evidente que la inductancia depende de las dimensionesfsicasdelcircuitomagnticoydelapermeabilidaddelmaterial magntico.Silainductanciaestdevanadasobreunmaterialnomagntico,la inductanciaesconstante.Silabobinaestdevanadasobreunferromagntico,la 16 inductancia no es constante, sino que es una funcin de la densidad del flujo magntico enelncleo.Sinembargo,alanalizarmquinaselctricassuelepresuponersequees constante, en el entendido que la mquina est operando en la regin lineal de la curva B-H, donde la permeabilidad del material es constante. SiseanalizaelanillodeRowlandquesehavenidotrabajandohastaelmomentose puede dar la expresin exacta para el flujo del toroide: ) ln(2 abhNi = Ecuacin 1-20 Luego, la expresin exacta para la inductancia de un toroide o anillo de Rwland es: ) ln(22abhNdidN L = = Ecuacin 1-21 Elcircuitoelctricoequivalentedeltoroidesemuestraenalfigura15dondeResla resistenciadelabobina.Ancuandolaresistenciadelabobinaesunparmetro distribuido, es prctica comn presentarla como un parmetro concentrado. Fig 1-15 Circuito elctrico equivalente en serie del anillo de Rowland. 1.25Inductancia mutua: ConsideraelanillodeRowlandqueseveenlafigura16peroestaveztienedos bobinas.Unacorrientei1varianteeneltiempo,estableceunflujo1enlabobina1.Cuando se deja abierta la bobina 2. Este flujo induce una tensin en la bobina 2. Fig 1-16 Circuitos elctricos acoplado magnticamente. Parte del flujo 1 enlaza la bobina 2 y se puede llamar 21, este flujo induce una tensin en la bobina 2. Luego: dtdiLdtdN1111 1e = = dtdiMdtdididNdtdN12111212212 2e = = = Donde L1 es la inductancia de la bobina 1, 17 1212 21MdidN= Ecuacin 1-22 M21 corresponde a la inductancia mutua de la bobina 2 a la bobina 1. De forma semejante, si la bobina 2 conduce una corriente i2 mientras que la bobina 1 se deja abierta y crea un flujo 2 ; este flujo inducir una fem en la bobina 2. Parte de este flujo 12 encadena la bobina 1 e induce una tensin en ella. De la siguiente forma: dtdiLdtdN2222 2e = = dtdiMdtdididNdtdN21222121121 1e = = = Donde L2 es la autoinductancia de la bobina 2 y 2121 12MdidN= Ecuacin 1-23 Corresponde a la inductancia mutua de la bobina 2 a la bobina 1. 1.26 Bobina real con ncleo de hierro. Yahemosdichoquelasmquinaselctricashacenusodelcampomagnticocomo mediodeacoplamientoparalaconversindeenerga.Paraobtenermquinasconel menortamaoposibleesprecisoobtenercamposmagnticoselevados.Comoseha vistoenapartadosanteriores,esosepuedeconseguirusandograndescantidadesde corrienteoutilizandomaterialesdealtapermeabilidadmagntica.Esaeslarazndel uso de materiales ferromagnticos en la construccin de mquinas elctricas.De paso, dichosmateriales,queposeenexcelentespropiedadesmecnicas,sirvencomo elementos estructurales para el soporte de conductores y su aislamiento. Consideremoselanillo deRowlandquetieneNespirasconunncleo dehierrocomo aparece en la figura 12 a la cual se le aplica una tensin senosoidal de valor efectivo Va. Supongamosquelabobinaesrealyelefectodelaresistenciaesdespreciable.La tensin inducida esdtdNa= VDeformaquesilatensinessenosoidalpura,elflujoenelncleovaradeforma senosoidalyvadesfasado90enretrasoconrespectoalafemE,cuyovaloreficaz vendr dado por: ) ( ) ( wt sen tm =) (wt NwsendtdNm=Tomandoelvalorrmsdelatensininducida 2ermspe= ;lafrecuenciaylavelocidad angularestrelacionadasporf 2 w = .Latensininducidaenvaloresrmsqueda expresada como: pfN 44 . 4 E = Ecuacin 1-24 18 1.27 Forma de onda de la corriente de excitacin. Paraproducirunatensininducidasobreunabobinasenecesitaunflujomagntico variableeneltiempodevalor,paraestableceresteflujosenecesitaunafuerza magnetomotriz , y para establecer una fuerza magnetomotriz se necesita una corriente i(t) que tambin sea variable en el tiempo. Comoseexplicenapartadosanterioreslarelacinentrelaexcitacinmagnticayel flujo no es una relacin lineal sino tiene un comportamiento descrito en la figura 5. de tal forma que la corriente de excitacin cambia de forma. Si el material magntico est en la zona lineal, la corriente cambia en la misma proporcin que el flujo y por ende la tensin tiene un crecimiento lineal en esta zona. Si la densidad mxima del flujo Bm corresponde con la zona de saturacin magntica de lacaractersticaB-Hdelcircuitomagntico,larelacinentreelflujoylaintensidad dejadeserlineal,deformaquesielflujomagnticovaradeformasenosoidalenel tiempo, la intensidad no cambia de la misma manera dada la no relacin lineal entre las dos variable como se muestra en la grfica 17 Fig 1-17 Forma de onda de la corriente en vaco de un circuito magntico. La forma sensiblemente puntiaguda de la onda senosoidal de la intensidad en vaco hace que al desarrollar esta en las componentes de Fourier aparezca un tercer armnico muy pronunciado,quecomosevermsadelante,tieneimportantesrepercusionesenla conexindetransformadorestrifsicosydelasmquinasengeneral.Ademsse observa un cierto adelanto en los flancos de subida y bajada respecto a la forma de onda delflujo.Estaformadeondanosenosidaldelacorrigenimpedirsurepresentacin como fasor en el plano complejo, y por tanto la implicacin del clculo simblico a los circuito magnticos, perdiendo as una importantsima herramienta de anlisis. Para evitar estos percances es conveniente definir una corriente senosoidal equivalente J que cumpla con las dos condiciones siguientes: -El valor eficaz de dicha corriente es el que mide un ampermetro en serie con la bobina. -Eldesfasedelacorrienterespectoalatensinaplicadaestalquejustifiquela potencia activa consumida por la bobina. Esta potencia activa consumida se debe en parte al efecto Joule en los conductores, de valorI2R,yenpartealasprdidasporhistresisycorrientesparsitasenelncleo magntico. Estas prdidas en el circuito magntico estn causadas por los fenmenos de histresis y corrientes de Foucault. En ambos casos, las prdidas especficas (W/Kg) son 19 funcindelainduccinmagnticaBmsiendoproporcionalesalafrecuenciaparalas prdidasporhistresisPhyalcuadradodelafrecuenciaparalasprdidasporlas corrientesparsitasPf.Lasprdidasespecficassepuedenexpresarporlafrmula propuesta por Steinmetz: 2m F m h F h fefB K fB K p P P + = + =(w/kg)Ecuacin 1-25 El coeficiente vara entre 1.5 y 2.0 segn las caractersticas de la chapa. Laprimeradelasdoscondicionesanterioresnosdefineelmdulodelfavorde intensidadylasegundasuargumentorespectoalatensinaplicada.Estasdos condicionessepuedendibujareneldiagramafasorialdelafigura1.15.Endicho diagramafasorial,elfasordelaintensidadseharepresentadocomolasumadedos componentesJyJFeLalaprimeradeellaseslaresponsabledelestablecimientodel campo magntico en el ncleo y de vencer la cada de tensin magntica mediante la fuerzamagnetomotrizN1I. Lasegundaeslacomponentedesfasadaquejustificala existencia de prdidas de potencia activa en el ncleo magntico. Fig 1-18 Diagrama fasorial de las corrientes y tensiones en un circuito magntico. Este diagrama fasorial corresponde con el circuito equivalente de la bobina real que se muestra en la figura 19. La tensin V de la bobina se descompone en la cada de tensin VrqueseproduceenlapropiaresistenciadeldevanadoylatensininducidaEes debidaalavariacindelflujo,queseaplicaalconjuntoformadoporlareactanciade magnetizacinjXoporlaquecirculalaintensidadmagnetizante,enparaleloconla resistencia equivalente RFe, por la que circula la componente activa de la intensidad. En el caso del circuito magntico ideal o sin prdidas el valor de RFe se hace infinito y se obtiene el circuito equivalente de una bobina formada solamente por una resistencia en serie con una inductancia: Fig 1-19 Circuito equivalente de una bobina real. 20 1.28 Prdidas magnticas. Enelanlisisdelasprdidasdeunamquinaelctricasedividenentresgrandes categoras:prdidasenelcobre,perdidasmecnicasyprdidasmagnticas.Las prdidasmecnicasseoriginanporlarotacindelelementogiratorio(rotor)deuna mquinaysepuedendividirentrescategoras,prdidasporfriccin,prdidaspor friccinenlasescobillasyprdidasporventilacin.Lasdosprdidasporfuentes magnticas(prdidasenelhierrooprdidasenelncleo)sonlasprdidaspor corrientes parsitas y las prdidas por histresis. 1.29 Perdidas por corrientes parsitas. Si un flujo magntico que vara en el tiempo se encadena con una bobina, se induce una tensin en ella de acuerdo a la ley de Faraday. Como la bobina est devanada sobre un material magntico, el mismo flujo variante en el tiempo tambin induce una tensin en el ncleo. Debida a que el ncleo es tambin un buen conductor elctrico se inducen en l unas corrientes elctricas a lo largo de dicha trayectoria. La ubicacin y la trayectoria de esa corriente son tales queencierran el flujo magntico que las produce. En efecto, existen tantas trayectorias cerradas en torno al campo magntico dentro del ncleo como seaimaginable.Enlafigura20semuestranalgunastrayectoriasparalascorrientes inducidas en un material magntico slido cuando la intensidad de flujo aumenta con el tiempo.Elpatrnenremolinodetalescorrientescirculantesenunmaterialmagntico essemejantealdelosremolinosqueseformanenelaireoagua,ydeestehechose derivasunombrecomocorrientesparsitas,corrientesenremolinoocorrientesde Foucault. Fig 1-20 Corrientes parsitas en un ncleo magntico slido. Conforme aumenta el flujo en el material magntico, tambin lo hace la fem inducida en cada trayectoria circular. El incremento de la fem inducida hace incrementar la corriente en esa trayectoria, la energa se convierte en calor en la resistencia de la trayectoria. Al sumar las prdidas de potencia en cada lazo dentro del material magntico, se obtiene la prdidatotaldepotenciaenelmaterialocasionadaporlascorrientesparsitas.Esta prdida de potencia se llama prdidas por corrientes parsitas. Lascorrientesparsitasestablecentambinsupropioflujomagntico,elcualtieneoponerse al flujo magntico original. Por los tanto, las corrientes parsitas no solo dan 21 como resultado las prdidas por calentamiento del ncleo, sino que tambin ejercen un efectodesmagnetizanteenelcircuitomagntico.Enconsecuenciasedebeaplicarmas fuerzamagnetomotrizparaproducirelmismoflujoenelncleo.Elefecto desmagnetizanteseincrementaamedidaquesenosacercamosalejedelncleo magntico.Elefectoconjuntodeladesmagnetizacineslaconcentracindelflujo magntico hacia la superficie exterior del material magntico. Esto obliga a que la parte interior del ncleo sea magnticamente intil. Los efectos adversos de las corrientes parsitas pueden reducirse al mnimo si el ncleo magnticoseconstruyeconaltaresistenciaenladireccinenlaquefluyenlas corrientesparsitas.Enlaprcticaestoseconsigueconstruyendoelncleomagntico apilandopiezasdelgadasdematerialmagntico.Lapiezadelgada,conocidacomo lminaestcubiertaconunbarnizolacayseconsiguecomercialmenteenespesores que van desde 0.36mm a 0.70mm. El recubrimiento delgado hace que las lminas estn razonablemente aisladas de forma elctrica entre s. El ncleo magntico construido con laminacinobligaalascorrientesparsitasaseguirtrayectoriaslargasyestrechas dentro de cada lmina. El resultado neto es la reduccin de las corrientes parsitas en el material magntico. Si suponemos que la densidad de flujo vara de forma senosoidal con el tiempo, pero es uniformeencualquierinstantesobrelaseccincirculardelncleomagntico,puede demostrase que las prdidas por corrtiens parsitas es: V B f K Pm e e2 2 2 = Ecuacin 1-26 DondePesonlasprdidasporcorrientesparsitas,envatios(W),Keesunaconstante que depende de la conductividad del material magntico, f es la frecuencia, en hertz, es el espesor de la lmina, en metros; Bm es la densidad mxima de flujo, expresada en teslas y V es el volumen del material magntico, en metros cubicos. Fig 1-21 Ncleo magntico laminado. 1.30Prdidas por histresis. Cadavezquesehacerecorreralmaterialmagnticosuciclodehistresisseproduce unaprdidadepotenciaalaquecomnmentesedenominaprdidaporhistresis,la cual surge de la friccin molecular a medida que los dominios magnticos son forzados a invertir sus direcciones por la fmm aplicada. 22 Despusdevariosciclosdemagnetizacin,elciclodehistresissevuelvesimtrico, comoseapreciaenlafigura10.Laenergaporunidaddevolumen(densidadde energa) que se suministra al campo magntico cuando la densidad de flujo se cambia de Br (punto a) a Bm (punto c) a lo largo de la trayectoria abc es: =BmBrdB H w .1 Lacualessimplementeelreasombreadaabcdea.Amedidaquesedisminuyela densidad de flujo Bm (punto c) a B (punto e) a lo largo de la trayectoria ce, la densidad de energa liberada por el campo magntico es: =BrBmdB H w .2 Lacualessimplementeelreasombreadacdec.Hemostrazadolamitaddelciclode histresis. La sprdidas de la densidad de energa durante este semiciclo es w1-w2. La otramitad,alseridnticaoriginalamismaprdidaenladensidaddeenerga.Por consiguiente,originalamismaprdidaenladensidaddeenerga.Porconsiguiente,la prdida total de la densidad de energa es: ) ( 22 1w w w =Que presenta el rea total del ciclo de histresis. En general la ecuacin no puede avaluarse analticamente porque es imposible expresar H como una funcin simple de B. pero puede graficarse a escala la histresis y medir su rea. Por medio de pruebas en varios materiales ferromagnticos, Charles Steinmetz propuso que la prdida por histresis se puede expresar como: V fB K Pm h h2=Ecuacin 1-27 DondePeslaprdidaporhistresis,envatios;Khesunaconstantequedependedel materialmagnticoyneselexponentedeSteinmetzapartirdelaexperienciaseha encontrado que n vara de 1.5 a 2.0. 1.31Fuerza sobre un conductor que transporta una corriente. Cuando un conductor que transporta una corriente se encuentra en un campo magntico, seejercenfuerzasmagnticassobreloselectronesenmovimientosobreelconductor. Estasfuerzassetransmitenalasustanciaqueformaelconductory,portanto,el conductor, en conjuntoexperimenta una fuerza o un movimiento, o ambas a la vez. Un motorelctricooelcuadromvildeungalvanmetroestnsometidosdurantesu funcionamientoalmomentoejercidosobreundevanadoquetransportalacorrientey que se encuentra en un campo magntico. Lafigura22representa unaporcindelconductorrectilneodelongitudlyseccion A dentro del cual circula una corriente de intensidad i. Un campo magntico de densidad deflujoBesperpendicularalconductor.Puestoquelafuerzasobreelconductoren conjuntoeslaresultantedelasfuerzasejercidassobrelascargasmvilessituadas dentro de l. Expresaremos la intensidad de la corriente en el conductor en funcin del nmero n de cargas mviles por unidad de volumen, de la carga q de cada una de ellas y de su velocidad v. se ha demostrado que esta relacin es: 23 Fig 1-22 Fuerza sobre un conductor. nqvA i =La fuerza f sobre cada conductor ser: qvB f = El nmero de cargas en la longitud l ser: nlA N =Por consiguiente, la fuerza resultante ser: nlAqBv Nf F = =Y puesto quenqvA i = , se puede escribir como: ilB F =O en forma general la fuerza sobre un conductor depende de la corriente que circula por l,delalongituddelconductorenelcampomagnticoydeladensidaddelcampo magntico. Laregladelamanoizquierdapuedetambinusarseparaencontrarelsentidodela fuerzasobreelconductorsituadoenuncampomagntico.Dadoqueelsentido convencional de la corriente es el mismo que el movimiento de las cargas positivas, el dedoindice sealaelsentidodelcampo;eldedomedio,elsentidodelacorriente yel dedo pulgar, el sentido de la fuerza. La ecuacin de la fuerza sobre el conductor se aplica al caso especial de un conductor rectilneoperpendicularauncampomagnticouniforme.Enelcasogeneral, consideramosunpequeoelementoconductordelongituddlqueformaunngulo con el campo magntico. La fuerza dF sobre este elemento es: ) ( idlBsen dF =Para un conductor rectilneo de longitud l situado en un campo uniforme, esta expresin se reduce a: ) ( ) ( ixB l ilBsen F = = Ecuacin 1-28 1.32Fuerza sobre un cuadro rectangular. En la figura 23 se presenta un cuadro rectangular de hilo conductor cuyas dimensiones sonayb.lanormalalplanodelcuadroformaunngulo conladireccindeun campomagnticouniforme.ElcuadropuedegirarsobreunejeOOytransportauna corrientedeintensidadI(hadeidearseundispositivoparahacerentrarysalirla corrigendelcuadro,obien,paraintercalarungenerador.Estosehaomitidoenel esquema para simplificarlo). 24 Losladoscdyefdelcuadradosonperpendicularesalcampo.Porlotanto,seejercen sobre ellos fuerzas iguales y de sentido apuesto de valor: iaB F =DirigidasverticalmenteHaciaarriba,laqueseejercesobrecd,yverticalmenteacalla abajo se ejerce sobre ef. Los lados ce y df forman un ngulo con el campo. Sobre ellos actan fuerzas iguales y de sentido apuesto, de valor: ) ( ibBsen F =Dirigida hacia la derecha la que se ejerce sobre df y hacia al izquierda la que se ejerce sobre ce. (estas fuerzas, en realidad, estn dirigidas a lo largo da cada lado del cuadro y son representadas como fuerzas nicas en la figura 1.19). Fig 1-23 Fuerza ejercida sobre un conductor cuadrado. Lafuerzaresultantesobreelconductorcuadradoescero,puestoquelasfuerzas ejercidassobrelosaldosdelaespirasonigualesydesentidoopuesto.Elmomento resultante T, por el contrario, no es nulo, ya que las fuerzas sobre cd y ef constituyen un par. )) ( ( ) ( bsen x iaB T =El momento es mximo cuando a=90, o sea, cuando el plano el plano del cuadrado es perpendicular al campo, y es nulo cuando el ngulo es cero, es decir cuando el plano de laespiraesperpendicularalcampo.Laposicinreequilibrioestableesaquellaenla cual cd es el lado ms elevado. Dado que ab es el rea A del cuadrado, la ecuacin anterior se puede escribir como: ) ( iABsen T =Sielcuadradoesdevanadoconespirasmuyprximas,quetieneNvueltas,entonces, evidentemente: ) ( NiABsen T = Ecuacin 1-29 1.33Par de fuerzas sobre una barra imantada: Se demostr en la seccin anterior que el momento que acta sobre un circuito cerrado dehiloconductor,quetransportaunacorrienteelctricadeintensidadIyabarcaun reaA,cuandoestcolocadaconsuplanoperpendicularalcampomagnticode densidad B, esta dado por: BiA T =25 AhoraseconsideraunabarraimantadadelongitudlyseccinA,colocada perpendicularmente en un campo exterior dbil. Supongamosquetodaslascorrienteselectrnicasestnalineadasconsusplanos paralelos al campo y que su alineacinno es alterada o afectada por el campo externo. Si hay n circuitos por unidad de volumen, habr en total nAl de tales circuitos, y si cada uno abarca un rea a, el momento resultante que acta sobre ellos ser: xl inaA Bx nAl x Bia T ) ( ) ( ) ( = =La magnitud entre parntesis de la ecuacin anterior es de gran importancia. El producto ia (corriente multiplicada por el rea) se denomina momento magntico de un circuito. Multiplicando por el nmero, n, de circuitos por unidad de volumen, se tiene ian, que es el momento magntico por unidad de volumen, o intensidad de imantacin. Finalmente, multiplicandoporelreaA,obtenemosunamagnitudqueexpresalascaractersticas peculiaresdelospolos.Definimoslamasamagnticamdecadaunadelascaras externas por la ecuacin: ianA m =Puestoqueiseexpresaenamperios,ayAenmetroscuadradosynesunnmero abstractodivididoporelvolumenenmetroscbicos,lasdimensionesdelamasa magntica son amperios-metro. Finalmentesepuedeobtenerunaexpresinparaelparenunabarramagnticapor medio de las dos ecuaciones anteriores de la forma: Bml T =Como ml=(ian)x(Al) se da el momento magntico por unidad de volumen por volumen de imn, esta magnitud representa el momento magntico total del imn. Sielcuerpomagnticoexterioreselterrestre,ylabarramagnticapuedeoscilar librementeenunplanohorizontal,elefectodelmomentoBmlserunarotacinhasta que el eje del imn sea paralelo a la componente vertical del campo terrestre. Cuando esto tiene lugar se encuentra siempre que un polo seala la direccin norte. Este polo se denomina polo norte del imn, denominndose el otro polo sur. La ecuacinBml T =se puede interpretar como sigue: supongamos que sobre cada polo del imn, o masa magntica m, se ejerce una fuerzaBm F =Teniendo esta fuerza del mismo sentido que B sobre el polo norte, y opuesto a B sobre elpolosur(fig24).Puestoquelospolosestnseparadosporunadistancial,el momento sobre el imn es: Bml Fl T = =Como ya se haba demostrado. Podemosconsiderarportanto,elpar,comodebidoalascorrienteselectrnicas,y calcular su momento mediante la ecuacin: xl ianA Bx T ) ( =Obiencomoproductoporfuerzasejercidassobrelospolosdelimn,yentoncesel momento se calcular mediante la ecuacin: Bml T = Ecuacin 1-30 26 Fig 1-24 Fuerzas ejercidas sobre una barra imantada. 1.34Balance de energa general. Vamosaconsiderarelcircuitomagnticodelafigura25queesunconvertidorde energa elemental, este consta de un circuito magntico en forma de E y una parte mvil en forma de I, en al parte en forma de E se coloca una bobina con N nmero de vueltas. Uno de los principales principios de la fsica es la conservacin de la energa ydice la energa no se crea ni se destruye solo se transforma. Este fenmeno se puede aplicar al circuito de la figura 25. Las energas que se tienen son: la elctrica que provienen de la fuente que alimenta la bobina, la energa magntica, y la energa trmica que se disipa en forma de calor estas se puede relacionar por la frmula:mec m eW W W + = Ecuacin 1-31 Fig 1-25 Convertidor electromecnico elemental. Segnlaecuacin31,unapartedelaenergatotalaportadaalsistemaelctricose emplea para producir la energa que se cede al sistema mecnico, otra parte se almacena como energa asociada al campo magntico y una tercera parte (normalmente pequea)sedegradaaenergatrmicacomoconsecuenciadelasirreversibilidadesasociadasal proceso (prdidas en los conductores, prdidas por histresis y corrientes de foucault en el hierro y rozamientos mecnicos). Con el objetivo de separar los efectos y analizar lo esencial del fenmeno, se considera quelasprdidasporefectoJouleenlosdevanadosquedanintegradasenlafuentede alimentacinabasedeincrementarlaparteresistivadesuimpedanciainternaenuna cuantadeterminada,quelasprdidasmecnicasconstituyenunapartemsdela energamecnicacedidayquelasprdidasdebidasalcampomagnticoobienson nulas o se engloban en la energa magntica almacenada en le mismo. Lo que resulta en una mquina elctrica elemental sin prdidas. 27 Consideremos que sucede en un intervalo de tiempo dt durante el cual la intensidad en labobinavaraylapiezamvilsufredesplazamientosinfenitisimales.Entonces,se podr escribir el balance elemental de la energa como: mec m edW dW dW + = Ecuacin 1-32 1.35 Energa electrica absorvida. Si se le aplica las ecuaciones de kirchoff al circuito de la figura 25 nos queda: ) ( ) ( t Ridtdt Ri e Va+ = + = Si multiplicamos ambos lados de la expresin por idt, la energa elctrica neta aportada a la bobina durante un intervalo de tiempo dt nos queda: id eidt idt Ri V dWa e= = = ) ( Ecuacin 1-33 1.36Energa del campo magntico. Para obtener el trmino de dWm del balance de energa, es necesario primero conocer el valordelaenergaalmacenadaenelcampomagnticoparaunaposicindeterminada de la pieza mvil. Imaginmonos por un momento que, manteniendo la pieza mvil en unaposicinfijasealientalabobinaconcorrientecontinua.Deacuerdocondicha ecuacin,ydadoquealnohabermovimientoseverificaqueentodomomentoque dWmec=0 y se podr escribir: id dW dWm e= =Supongamosasmismoquelarelacinentrelascorrientesyenlacesdeflujoviene dada, para esa posicin fija de la pieza mvil, por la curva de magnetizacin de la figura 26. Durante el transitorio de la conexin en el que la intensidad cruce desde cero hasta su valor final I1 y los enlaces de flujo desde cero hasta 1, toda la energa aportada por la fuente se emplea en el incremento de la energa magntica almacenada en el campo, es decir: = =1 10 0 id dW Wm m Cualquiervariacinposteriordelatensinaplicadaprovocarunavariacinenlos valoresdecorrienteyflujoqueseestablezcanenrgimenpermanente,verificndose que: = 21 id Wm Fig 1-26 Energa almacenada en un campo magntico. 28 Ambas integrales rayadas A y B en la figura 26 son aplicables a cualquier sistema que comprendauncircuitomagnticosinprdidas.SiseadmitequelasNespirasdela bobinaconectanelmismoflujo,severificaque = / N ylaexpresinsepuede reescribir como: d Nid id dWm = = = Ecuacin 1-34 1.37 Energia mecanica en un sistema lineal. Para determinar la variacin de la energa mecnica es necesario conocer la velocidad y la fuerza en funcin del tiempo: = tmecvdt t f W0) ( Realizando cambio de variables sobre la ecuacin anterior, se obtiene: = = ) () 0 ( 0) , ( ) (t xxtmecdx x F dtdtdxt f W Para analizar las relaciones anteriores se puede utilizar como ejemplo el electroimn que seilustraenlafigura25.Enestafiguraseharepresentadoungrficodelarelacin existente entre los enlaces de flujo y la corriente i, para dos condiciones extremas de la posicin relativa del yugo del electroimn. Para la misma corriente i, al disminuir la distancia x, disminuye la reluctancia y se incrementan los enlaces de flujo . Enelgrfico-idelafigura26,lareginsombreadarepresentalaintegraldela corriente i() con respecto a para una posicin x fija. Como se ha determinado en la ecuacindelaenergamecnica,estareginrepresentalavariacindelaenerga elctricaenuncircuitomagnticoqueseenergizamanteniendoconstantelaposicin del yugo (x). En un sistema conservativo, la energa es una funcin del estado. Esto quiere decir que enestossistemaselincrementodeenergaacumuladanodependedelatrayectoria utilizadaparaalcanzarundeterminadoestado,sinodelvalordelasvariablesenlos estados iniciales y finales del proceso. Fig 1-27 Diagrama -i de un electroimn elemental. Paradeterminarlaenergaacumuladaenelcampo,esnecesariocalcularladiferencia entrelasenergaselctricaymecnicadelsistemadespusdelproceso.Sielsistema 29 mecnico est detenido, no existe variacin en la energa mecnica del convertidor y por lotantotodalaenergaelctricaqueentraenlamquinaseconvierteenenerga acumulada en el campo, entonces: = = ) () 0 () , (tmec eW d x i W La ecuacin anterior puede integrarse por partes y se obtiene: = imecdi x i d x i W0) , ( ) , ( En la ecuacin anterior, el trmino integral de define como la coenerga en el campo y se expresa como Wc. En la figura 1.24 se observa que la coenerga es el rea bajo la caracterstica -i. Fig 1-28 coenerga y energa en el campo. En la figura 28 se observa que un sistema electromecnico donde la posicin x es constante cumple la siguiente relacin: '.mec mecW W i + = De las definiciones anteriores de energa y coenerga en el campo magntico se destacan las siguientes observaciones: 1)Para la energa, el enlace de flujo es la variable independiente, y la corriente i es la variable dependiente. 2)Para la coenerga, la corriente i es la variable independiente y el enlace de flujo es la variable dependiente. Sielsistemafsicoeslineal,esdecir,silarelacinentrelosenlacesdeflujoyla corrienteidelconvertidorelectromecnicoesproporcional,laenergaylacoenerga son iguales, esto se puede observar en la figura 29. Fig 1-29 convertidor electromagntico lineal. Se puede determinar que: Li = 30 2 22'Li iW Wmec mec= = = Ahora consideremos el caso en el cual el circuito magntico es movido una distancia dx enuntiempodtenunaregindondeelcampoesmantenidoconstante.Laenerga aportadaalsistemadebeserceroporquelosvaloresinicialesyfinalesdelflujoson iguales. Entonces para un sistema conservativo se tiene: 0 = +m mdW dx FLa fuerza actuante sobre el circuito magntico es: dxdWFmm =Cuando el flujo es mantenido constante. Esta ecuacin claramente demuestra que la rata de decrecimiento de la energa almacenada con respecto al desplazamiento determina la fuerza desarrollada por el dispositivo magntico. Sisetieneuncircuitodondehayuncambiodeflujodylacorrientesemantiene constante la ecuacin se convierte en: Id dWm =Donde 2 IddWmec =La energa puede ser expresada como: m mecdW dW 2 =Para un sistema conservativo se tiene: m m mecdW dW dx F 2 = +La fuerza mecnica se puede calcular como: dxdWFmmec = Ecuacin 1-35 Manteniendo la corriente constante. La energa puede ser funcin ya sea de la corriente I o del desplazamiento x[Wm(I,x)] o enfuncindelflujoydeldesplazamientox[Wm(,x)],unaformaconvenientede expresarlostrminosdelasecuacindefuerzaentrminosdederivadasparciales como: xx WFmm =) , ( Cuando el flujo es mantenido constante xx I WFmm=) , ( Cuando la corriente es mantenida constante. Ahoravamosaexpresarlafuerzamagnticaenfuncindelainductanciadelos circuitosmagnticos.Laratadecambiodelaenergaalmacenada,cuandoelflujoes constante es: xLixi NdxdWm ==2212 La fuerza magntica se puede expresar como: xLi Fm=221Ecuacin 1-36 31 Se puede demostrar tambin que la ecuacin anterior se cumple cuando la corriente es mantenida constante. Estaecuacinesmuysimpledeusarensistemasmagnticoslinealesporquesepuede determinarfcilmentelainductanciadeuncircuitomagnticousandoelconceptode reluctancia. EJEMPLO 1-1. Encuentre la fueraza magnetomotriz necesaria para establecer un flujo de 10mWb en un anillo de seccin circular. El dimetro interno del anillo es de 20cm, y el externo es de 30cm.Lapermeabilidadrelativadelmaterialesde1200.Cualeslareluctanciadela trayectoria magntica? EJEMPLO 1-2. Unabobinade400vueltasestuniformementedistribuidaalolargodeuntoroidede seccin transversal cuadrada y lleva una corriente de 200A, El radio interno del toroide es de 10cm y el externo es de 12cm. La permeabilidad relativa del material es de 1500. Determinar: a)El flujo en el anillo. b)La reluctancia del anillo. c)La inductancia equivalente del anillo. EJEMPLO 1-3. La estructura de hierro que se muestra en la figura tiene una permeabilidad relativa de 2500. La estructura tiene una bobina de 1500 vueltas. Determinar: a)Cual es la reluctancia de la estructura de hierro. b)Determinelaenergaalmacenadaenelsistemasiesteseexcitaunconcampo magntico de densidad 1.1T. EJEMPLO 1-4. Un relevador elctrico de 12V y 60Hz tiene 1000 vueltas y consume 12mA eficaces de corriente.Supongaqueelsistemamagnticodelrelevadoractacomouninductor lineal y no tome en cuenta la resistencia. a)Cual es la fuerza magnetomotriz que opera en la estructura magntica. b)Cual es el flujo mximo en el relevador. c)Cual es la reluctancia en la estructura magntica. EJEMPLO 1-5. Enlafigurasemuestradeuninductorqueestconstruidodehierroytieneun entrehierro de aire. 32 a)Cual es la reluctancia de la trayectoria de hierro. b)Siseaplicaunatensindecorrientealternade60Hzde120Veficacesala entrada de la bobina. Cual es el flujo magntico mximo en el hierro. c)Cual es la corriente eficaz que se requiere para establecer este flujo. EJEMPLO 1-6 Unsolenoideconncleodeairede300vueltasyde0.5mdelongitudtieneunacapa sencilla de conductores enrollados con un radio de 0.02m. Halle la inductancia L. HlS NL 2845 . 0) 02 . 0 ( * 300 * 10 42 2 7 20= = = EJEMPLO 1-7. Halle la inductancia de un solenoide de ncleo de aire que tiene varias capas, si N=300, r1=9mm, r2=25mm, l=20mm Hx x xxr r l rr NL 58510 160 10 180 10 54) 10 9 ( * 300 * 6 . 31) ( 10 9 66 . 313 3 32 3 21 2 1212=+ += + += EJEMPLO 1-8. Supongaquesetieneuntoroideconncleodeairecomosemuestraenlafiguracon una seccin circular de radio 4mm. Halle la inductancia si la bobina tiene 2500 vueltas y el radio medio es de 20mm. mHrS NL 14 . 302 . 0 2) 004 . 0 ( * 2500 * 10 422 2 7 20= = = EJEMPLO 1-9. Suponga que un toroide con ncleo de aire tiene 700 vueltas, un radio interno de 1cm, un radio externo de 2cm, y una altura de a=1.5cm. Halle la inductancia. 33 mHxxrr a NL 02 . 110 110 2ln2015 . 0 * 700 * 10 4ln222 2 71220=|||

\|=|||

\|= EJEMPLO 1-10. Un ncleo de hierro colado que se muestra en la figura tiene un radio interno de 7cm y un radio externo de 9cm. Halle el flujo si la fmm en la bobina es de 500Av. m r l 503 . 0 2 = = m AvlFH / 995503 . 0500= = =La curva B-H aparece en la figura adjunta y se tiene una B=1.140T, por consiguiente el flujo es: mWb BS 456 . 0 02 . 0 * 14 . 12= = = EJEMPLO 1-11. El Circuito magntico de la figura est construido de dos secciones una en forma de C y unasegundaenformadeI,estasestnconstruidasdehierrocolado.Hallelacorriente que debe circular por la bobina de 150 vueltas si la densidadde flujo en el circuito en forma de I debe ser de B2=0.8T. m x S4110 2= ,m x S4210 6 . 3=m l 34 . 0 12 . 0 11 . 0 11 . 01= + + =m l 12 . 0 01 . 0 01 . 0 14 . 02= =El flujo en la seccin 2 es: Wb x S B42 210 88 . 2= = La densidad de flujo en la parte 1 es: TSB 44 . 111= = De la curva de H-B para el hierro colado m Av H / 37 . 4841 = ,m Av H / 5 . 21872 =La fmm total del cirucito magntico es: Av l H l H 18 . 4272 2 1 1= + = La corriente en la bobina debe ser: A I NI 84 . 2 = = 34 EJEMPLO 1-12. El circuito magntico de la figura es de hierro colado con una longitud media l1=0.44m y seccin transversal 4cm2. La longitud del entrehierro es de la=2mm y la bobina tiene N=400vueltas.Hallelacorrientequedebecircularporlabobinaparaestablecerun flujo de =0.441 mWb en el espacio de aire. La densidad de flujo para el circuito es TSB 1 . 1 = = Para el entrehierro de aire se cumple: m Av H H B / 2 . 8753520= = Para el hierro colado se cumple: m Av H / 57 . 928 =Av l H l Ha a3 . 21591 1= + = Lacorrientequedebecircularporla bobina es: 5.39A. EJEMPLO 1-13. Elncleodelcircuitomagnticodelafiguraesdehierrocoladoytieneunaseccin transversalS1=4cm2yunalongitudmediadel1=0.338m.Elespaciodeairetieneuna longitud la=2mm y un rea aparente Sa=4.84cm2. Determinar el flujo , si por la bobina circula una corriente I=1A y tiene N=1000 vueltas. Como se puede apreciar en el ejemplo anterior, enelairesecaelamayorcantidaddefuerza magnetomotriz,sepuededecirqueenestese cae una fuerza de 700Av. m AvlHaa/ 350000 ==T H Ba439 . 0 = = mWb S Ba212 . 0 = = La densidad de flujo en el hierro colado es: TSBh5321 . 0 = = De la grfica se puede obtener H: Hh=275.078Av/m Av l Hh h97 . 92 = = Avh a t97 . 792 97 . 92 700 = + = + = Comolafuerzamagnetomotriztotalesmenorquelos1000Avaplicadossedebe realizar otra aproximacin. Vamos a subir la cada en el aire a 850Av. m AvlHaa/ 425000 ==T H Ba534 . 0 = = mWb S Ba258 . 0 = = 35 TSBh646 . 0 = = m Av Hh/ 06 . 364 =Av l Hh h123 = = Avh a t973 123 850 = + = + = Que resulta muy cercana a lo 1000 Av de excitacin. EJEMPLO 1-14. Elcircuitomagnticodelafiguraesconstruidoenlaseccin1deunaaleacinde niquel-hierroytienel1=16cm,S1=2.25cm2,yenlasegundapartedeacerocoladocon l2=8cm, S2=8cm2. Halle las densidades de flujo en cada seccin. EnlasfigurasdeHvsBsepuedeapreciarqueelacerocoladoeselpeorconductor magntico y por ende all hay una mayor cada de fuerza magnetomotriz, para empezar la iteracin se dice que en al seccin 1 hay una cada de 900Av. m AvlH / 562511== ,delagrficarespectivasepuedecalcularladensidaddeflujo B1=0.765T,elflujosepuedecalcularcomo=0.172mWb,ladensidadenelsegundo segmento es B2=0.215T, la intensidad de flujo H2= 44.42Av/m, la fuerza magnetomotriz que se cae en esta seccin es =3.55Av, la fuerza magnetomotriz total es 903.55 Av. EJEMPLO 1-15. El circuito de la figura es construido de una aleacin de nquel-hierro, en la mitad tiene unabobinade500vueltas,laslongitudesmediasson:l2=l3=10cmyl1=4cm.Hallela corriente en la bobina, si se desea establecer un flujo 3=0.173mWb. 36 Comolastrayectoriasl3yl2son igualessepuedeconsiderarque por las dos secciones va el mismo flujo,porconsiguienteelflujoen la seccin 1 es: mWb 346 . 03 2 1= + = Ladensidaddeflujodelas secciones 1 y 3 es 1.15T, la fuerza magnetomotrizenlassecciones2 y 3 es H2=H3=238.22Av/m. Para la seccin 1 se tiene una densidad de flujo B1=1.53T y la intensidad de flujo es H1=238.22Av/m; la fuerza magnetomotriz total del circuito es: Av l H l H l H l H 35 . 332 2 1 1 3 3 1 1= + = + = lacorrientequecirculaporlabobinaes I=66.7mA. EJEMPLO 1-16. Elcircuitomagnticodelafiguratieneunentrehierroconunalongitudla=1mmy seccin transversal aparente de Sa=1.7cm2. Si en el entrehierro se desea tener un flujo de 3=0.06mWb que corriente debe tener la bobina de 500v para establecer el cometido; el ncleo est construido de acero colado. Lafuerzamagnetomotrizenel entrehierro se puede expresar como: Av lSl Haaaa a a86 . 2800= = = Lafuerzamagnetomotrizdela trayectoria 3 es: TSB 4 . 0333= = ;H3=1083.33Vv/m 3=H3l3=108.3Av Lafuerzamagnetomotriztotaldeestaramaesb=a+3=389.16Av;estamismafmm se establece en la trayectoria 2; ya que estn en paralelo. La intensidad se puede calcular comoH2=2/l2=3891.6Av/m,ladensidaddeflujoseriaB2=0.693Tyelflujosera 2=0.0945mWb,elflujototalenlatrayectoria1eslasumadelosdosflujos 1=1+1=0.1545mWb,ladensidaddeflujoesB1=0.515,laintensidaddeflujoenla zona 1 es H1=1718.75Av/m y la fmm es 1=68.75Av. La fuerza magnetomotriz total es t=1+b=457.9Av, la corriente I=0.92A. EJEMPLO 1-17. Lasdospartesdelcircuitomagnticodelafigurasonconstruidasdeunaaleacin nquel-hierro.LaparteenformadeItieneunalongitudLI=16cm,yunaseccin transversalSI=6cm2,LaparteenformadeCtieneunalongitudLC=34cmyunrea transversaldeSC=4cm2,tienedosentrehierrosdeairedela=0.5mmconunrea Sa=7cm2.Determinelacorrienteenlabobina1sisedebeestablecerunflujode120Wbenelncleo,labobina1tieneN1=200vueltas,porlabobina2pasauna corriente I2=0.5A, y tiene N2=200 vueltas. 37 LadensidaddeflujoquesedebetenerenelentrehierroesdeBa=0.171,lafuerza magnetomotriz es Av lSaaaa41 . 1360= = EnlaseccinenformadeIsetieneunadensidadigualaBI=0.2,quegenerauna intensidad de flujo de HI=41.32Av/m y una fuerza magnetomotriz I=6.61Av. EnlaseccinenformadeCsetieneunadensidadigualaBC=0.3,quegenerauna intensidaddeflujodeHC=61.98Av/myunafuerzamagnetomotrizC=21.07Av.La fuerzamagnetomotriztotalest=C+I+a=164.09Av.Lafuerzamagnetomotriz producidaporlabobina2es100Av,porconsiguientelafuerzamagnetomotrizdela bobina 1 es de 64.09 Av y por la bobina 1 debe circular una corriente de I1=-0.32A. EJEMPLO 1-18. Dosbobinasidnticasestnenrolladascomoseindicaenlafigura.Elncleoes construidodeunmaterialdenquel-hierro,elcircuitomagnticotieneunaseccin S=6cm2 en toda su extensin. Las longitudes medias son l1=l3=14cm, L2=4cm. Halle las fmm en las bobinas para que el flujo en la extremidad derecha sea de 0.7mWb. Siseanalizalaseccindeladerecha, B3=1.16,H3=239.67Av/m,3=33.55Av. En la seccin del centro la fmm se debe mantener, por consiguiente H2=838.7Av/m,B2=1.437T, 2=0.858mWb,elflujoenelextremo izquierdoes1=2+3=1.558mWb,la densidades B1=2.59,nosepuedehallar porqueelmaterialentraensaturacin.Recalculandoelflujonosqueda1=2-3=0.158mWb,ladensidaddeflujoB1=0.263T,laintensidaddeflujoes H1=54.33Av/m,lafuerzamagnetomotrizes1=7.6Av.Lafuerzamagnetomotrizenel ladoizquierdoes=41.15Av,ladeladerechaes=67.1Av.Lacorrienteenla izquierda es I=1.37A, en la derecha es I=2.24A. EJEMPLO 1-19. Cual es la corriente en la bobina, si esta tiene 1600 vueltas y se necesita establecer una densidaddeflujode0.1Tenelentrehierro.Cualeslainductanciadelcircuito magntico? Cual es la energa almacenada? Asuma que la relacin B-H del material es HHB+=7505 . 1, todas las dimensiones estn en centmetros. La fuerza magnetomotriz en el entrehierro es de Av lBaaa77 . 9750= = En la trayectoria de la derecha se tiene una fmm Av lBBd71 . 55 *5 . 1750== mWb S Bd d d32 . 0 * = = ladensidadenla seccin d esT Bd05 . 0'=38 Av x lBBd89 . 11 10 46 * 86 . 25 *5 . 17502 '= == Para la seccin en la izquierda se tiene Avd i89 . 11' '= = LadensidaddeflujoenestaseccinesB=0.05Telflujoqueseestableceesde 0.16mWb,ladensidaddeflujoenlaotraseccines0.02T,laintensidaddeflujoes 10.14Av/m, la fuerza magnetomotriz total es 13.18Av. EJEMPLO 1-20. Un conductor de 4m de largo yace a lo largo del eje y y transporta una corriente de 10A. Halle la fuerza sobre el conductor si el campo en la regin es de 0.05T en el eje x. k i jx lxB I F 0 . 2 ) 05 . 0 4 ( 10 ) ( = = = EJEMPLO 1-21. Halle las fuerzas por unidad de longitud sobre dos conductores paralelos, largos si cada uno lleva una corriente de 10A en la misma direccin y la distancia de separacin es de 0.2m. T erIB5 012= = m N e lxB I F / 1 ) (4 = = EJEMPLO 1-22. El movimiento de un medidor de DArsonoval tiene un campo radial uniforme de 0.1T y un resorte de restauracin con un torque =5.87e-5 Nm, donde el ngulo de rotacin estenradianes.Labobinatiene35vueltasymide23mmpor17mm.Quengulode rotacin produce una corriente de 15mA en la bobina. Nm e nBlIw505 . 2= = Esta bobina gira hasta que el torque sea igual al del resorte 5 510 87 . 5 10 05 . 2 = x xrad 349 . 0 = 39 2EL TRANSFORMADOR El transformador es la mquina elctrica ms sencilla de construir, ms eficiente y ms usada hoy en da. Esta mquina est compuesta por dos devanados, uno que se llamar primarioqueseconectaraunafuentedecorrientealternayotroquesellamar secundario y se conecta a la fuente. Untransformadorpuedeentoncesconsiderarsecomouncircuitomagnticoquetiene dosdevanadosunopordondeentraenergaelctrica(primario)yotropordondesale (secundario). Enresumenuntransformadoresunaapartoesttico(portalraznhayvariosautores quenoloconsideranmquina)deinduccinelectromagnticadestinadoatransformar niveles de corriente en una intensidad a niveles de otra intensidad. Fig 2-1. Partes del transformador. 2.1Ley de faraday aplicada al transformador. LeydeFaraday:enlaantigedadsepudoestablecerquesecreabaunatensinenun conductor cada vez que se le acercaba o se alejaba un imn permanente y lamagnitud de la tensin inducida dependa de la velocidad de acercamiento o alejamiento al igual quesupolaridad.Tambinsenotquecuandoseacercabaunconductoraotroporel cual circulaba una corriente elctrica variable en este se induca una tensin. Estos dos sucesos fsicos llevaron a proponer al seor Faraday la ley de las tensiones que dice as: Latensininducidafem(fuerzaelectromotrizinducida)enuncircuitoes numricamente igual a la derivada respecto al tiempo, del flujo que la atraviesa como se muestra en la ecuacin. tE =Ecuacin 2-1 Ordinariamente se utiliza con esta ecuacin el convenio de signos del tornillo corriente deroscasderechas.Simiramoshaciaelcircuito,seconsiderapositivalafemcuando ocasionaunacorrientequetengaelsentido(convencional)delasagujasdelrelojy d/dt se considera positiva si hay un aumento del flujo que se aleja del observador. 40 Sielflujomagnticoqueatraviesauncircuitovaraunacantidadfinitaenun intervalo de tiempo t, la fem media inducida est dada por: tE = 2.2Principio de funcionamiento. Sea un circuito magntico formado por chapas magnticas y rodeado por dos bobinas B1 yB2,dondelabobinaB1seconectaalosterminalesdeungeneradordecorriente alterna.Estabobinadeahoraenadelantesellamarprimaria,yactacomouna inductancia;al ser atravesada por una corriente variable produce un flujo en el circuito magnticoquerecorrertodoelcircuitomagnticoyseconcentrarenl.Cuandoun flujo magntico atraviesa la misma bobina se crea una tensin E1 en los terminales que tiende a oponerse a latensin de alimentacin V1 (ver fig 2.2). Fig 2-2. Circuito equivalente del transformador Este flujo tambin atravesar la bobina B2, llamada tambin bobina secundaria, y crear una tensin E2 inducida en de la misma frecuencia del primario. Si en el secundario se conecta una impedancia, por esta y el devanado va a circular una corrienteI2,estanosepuedecreardelanada,sinosetransfieredesdeelprimario,es decir hay una induccin de corriente. Y a su vez la corriente inducida en el secundario aumentar la corriente I1 del primario. Aspues,untransformadorpuedeserconsideradocomoungrupodearrollamientoso grupo de devanados elctricamente independientes y acoplados entre s por un circuito magntico. Paraqueelacoplamientodeloscircuitosseamximo,elflujodebeseraltoydebe haberunapequeareluctanciaenelcircuitomagntico.Estoconllevaaquelos transformadoresseanconstruidosdeunmaterialquetengaunaaltapermeabilidad relativa(materialesferromagnticooalgunasdesusaleaciones)ydebeserlaminado para evitar altas prdidas. El flujo que atraviesa ambos bobinados del transformador viene dado por la expresinAlNI Fmmr 0 == Ecuacin 2-2 41 Seentiendeporreluctancialanaturalezadelmaterialqueseoponealacreacindel flujo magntico. 2.3Estudio de los flujos del transformador. Seconsiderareltransformadordesolodosdevanadosparaserestudiado,yaquecon msdevanadoslasecuacionessecomplicaran.Sinembargo,loquesesacaparados devanados puede aplicarse para ms de ellos. SupongamosquelabobinadelprimarioestconstruidadeN1numerodevueltasyel secundarioporN2,tambinsuponemosquelabobina1tomaenergadelafuentede alimentacin y el secundario da energa a una impedancia. Por la bobina 1 circular una corriente I1 y por la bobina 2 circular una corriente I2. La corriente I1 producir un flujo 11 y la corriente I2 producir el flujo 22 . Entre la dos bobinas habrn flujos de enlace 12 y 21 estos flujos son producidos en la bobina correspondiente al primer subndice y atravesarn la bobina del segundo. Encadabobinahabrnflujosdedispersind1yd2debidasalacaractersticasdel circuito magntico y el aire que las rodea. Loqueconllevaatener1y2flujosqueatraviesanlosdevanadosprimarioy secundario. Fig 2-3. Flujos presentes en un transformador Se pueden hallar las relaciones entre cada uno de los flujos de la siguiente manera: 12 11 1 + =21 1 11 + =d 21 22 2 + =12 2 22 + =d 21 12 + =M Larelacindeflujotil21queatraviesaelsecundarioalflujototalproducidoporel primario recibe el nombre de coeficiente de acoplamiento del primario al secundario K1. 11211= KAnlogamente se define el coeficiente de acoplamiento del secundario al primario K2. 42 22122= K Ecuacin 2-3 2.4Coeficientes de autoinduccin de primario y secundario. Lainductanciadecualquierdevanadoesdirectamenteproporcionalalnmerode vueltas,flujoeinversamenteproporcionalalacorriente,sepuedenhallarlas inductancias propias de cada devanado y las inductancias de dispersin por medio de: 1111 11IN L=111 1IN Ldd=2222 22IN L=221 2IN Ldd=La inductancia mutua se puede hallar como 21211212ININ M = = Ecuacin 2-4 2.5Ecuaciones del transformador ideal. En la figura 2-4 se pueden observar las principales variables elctricas que influyen en un transformador ideal. Fig 2-4 Variables elctricas de un transformador. La tensin inducida en el primario se puede hallar por medio de: tILtIL I R e++ =212111 1 1 1. . .De igual manera la tensin inducida en el secundario tiene la forma de: tILtIL I R e++ =222121 2 2 2. . .Ahorabien,comoL12yL21coincidenconladefinicindelainductanciamutuaM, podemos escribirlas como: tIMtIL I R e++ =2 111 1 1 1. . .Y la tensin en el secundario puede hallarse como: tILtIM I R e++ =22212 2 2. . .43 Lasecuacionesanterioressonmuyfrecuentespararepresentareltransformadorenla teora de circuitos. Enelectrnicasuelenrepresentarselasecuacionesen lasqueaparecen loscoeficientes de autoinduccin de fugas las cuales sern deducidas a continuacin. De acuerdo con el transformador que se dibuj arriba se pude describir: '1 1 1 1. e I R e + ='2 2 2 2. e I R e + =Siendo: tN e=11'1 tN e=22'2 Donde F1 y F2 son los flujos que atraviesan los devanados primario y secundario. Puesto que M d + =1 1y M d + =2 2obtenemos : tNtN eM+= 111'1 tNtN eM+= 222'2 Ahora bien: ) ( ) (1 1 1 111111 1I LtNt tNIN Ld dd dd=== ) ( ) (2 2 2 222222 2I LtNt tNIN Ld dd dd=== Y por lo tanto, finalmente tNtIL I R eMd++ =. . .111 1 1 1 tNtIL I R eMd++ =. . .222 2 2 2 Dondesepuedeverquelastensionesesonigualesaunacaidadetensinenla autoinductancia de dispersin ms una cada de tensin debida al flujo en comn. De acuerdo con lo acostumbrado en los libros de electrotecnia, se llamaran L1 y L2 a los coeficientes de autoinduccin Ld1 y Ld2. Con esta nueva notacin las ecuaciones se transforman a: tNtIL I R eM++ =. . .111 1 1 1Ecuacin 2-5 tNtIL I R eM++ =. . .222 2 2 2Ecuacin 2-6 2.6El transformador ideal. Eltransformadoridealesaquellamquinaelctricaquecumpleconlassiguientes condiciones: 1)Lapermeabilidaddelncleoestanelevadaqueelflujocomnestproducido por una fmm despreciable. 44 AlNI Fmmr 0 ==Y hay que recordar que una permeabilidad muy elevada equivale a una reluctancia del circuito magntico casi nula. 2)las resistencias de los devanados primario R1 y secundario R2 son nulas. 3)Las prdidas por corrientes parsitas en el ncleo son despreciables. 4)Elflujoqueseestableceenelcircuitomagnticodelncleoatraviesaaambos devanados por igual, o dicho de otra manera son nulas. Teniendo en cuenta estas hiptesis, se establecern a continuacin las propiedades ms importantes del transformador. 1 ) la relacin entre las tensiones inducidas en el primario e1 y secundario e2 es igual a la relacin del nmero de espiras en los devanados primarios N1 y secundarios N2. tN eM=1 1 tN eM=2 2 Y dividiendo ambas aeeNN= =2121Ecuacin 2-7 A la relacin a se llamar de ahora en adelante la relacin de transformacin. 2) La relacin entre las corrientes del primario I1 y secundario I2 es sensiblemente igual a la inversa de la relacin de transformacin a. Para demostrar esto se pude decir que la fuerza magnetomotriz que entra al primario es igual a la del secundario. a IINNI N I N1.12212 2 1 1= = = = Ecuacin 2-8 3)Lasimpedanciasconectadasalprimarioosecundariossevenreflejadasenel primario o secundario: 1211 211222/Z aIEaa IaEIEZ = = = = Ecuacin 2-9 4)Lapotenciatomadadelprimarioesigualalapotenciaentregadaalacargaenel secundario 1 1 1I V P= , 2 1 1 111 2 2 2P P I VaIaV I V P = = = =Ecuacin 2-10 2.7Circuito equivalente del transformador ideal. De acuerdo a las deducciones anteriores se puede elaborar el circuito equivalente como semuestraenlafigura2.5.Estecircuitoconstadeunafuentedealimentacinenel primario,unafuerzacontraelectromotrizE1inducidaenelprimarioqueseoponeala tensindelafuente,unatensininducidaenelsecundarioE2,unacorrienteque proviene de la fuente I1 y se traslada al secundario I2. y un smbolo del transformador en medio de ellos.45 Fig 2-5. Circuito equivalente del transformador ideal. 2.8El transformador real. Hayunaspequeasdiferenciasquetieneeltransformadorrealconrespectoalideal como se van a mencionar a continuacin: La primera diferencia entre el transformador real y el ideal es que en el primero no tiene un permeabilidad elevada, es decir que para producir una fem inducida en cualquiera de los devanados se debe tener una corriente pequea en el primario para producir un flujo. Siseconsideraqueeldevanadosecundarionotieneningntipodecarga(sus terminales estn al aire)y se aplica una tensin de alimentacin Va al primario, en este se debe inducir una tensin E1 dada por la ecuacin: tN eM=1 1 ParaquehayaestafuerzacontraelectromotrizE1debeexistirunflujoquecreaesta tensinparaqueseopongaalatensinVa.Comoahoraeltransformadornoesideal serprecisoreconocerlaexistenciadeunafuerzamagnetomotrizF=N1I10paracrear dichoflujo,locualimplicaqueeltransformadorabsorbaunaciertacorrienteenel devanado primario, an en el caso de que el secundario est abierto. A esta corriente se le llama corriente en vaco y se le designa por I0. Ahoravamosasuponerquesecolocaunacargaenelsecundario;entoncesporeste devanadocircularunacorrienteI2quedarlugaralflujo22.Elflujocomn permanecer invariable puesto que hallamos con anterioridad que para transformadores ideales se cumple que: tN eM=1 1 Esdecir,elflujocomnpermanecerinvariabledadoquedebeincluirunafuerza contraelectromotriz igual a al tensin aplicada, la cual es independiente de la tensin en el secundario. Por lo tanto al circular una corriente por el secundario, la corriente en el primario aumentar su amplitud para equilibrar la fuerza magnetomotriz creada por ella. Entonces podemos suponer la corriente del primario como respuesta de dos partes. Una lacorrientedeexcitacinovacoI0yotralacorrientedecargareflejadaIL comose muestra en la siguiente ecuacin: '2 0 1I I I + = Ecuacin 2-11 46 Aspues,I0eslacorrientenecesariaparacrearunafuerzacontraelectromotrizque equilibrael voltajeaplicadoyILdalugara lafuerzamagnetomotrizquecompensala corriente en el secundario I2. Hay que tener en cuenta que la forma de onda de la corriente en vaco es distorsionada debidoalosciclosdehistresisylarelacinnolinealentreladensidaddeflujoyla excitacin magntica de un circuito magntico. Este efecto se puede ver en la figura 2.6 Hay que recordar que la forma no senosoidal de la corriente en vaco produce armnicos decorrientequeasuvezgenerancalentamientoenotrosequipodepotenciaoenlos generadores. Fig 2-6 Forma de onda de la corriente en vaco de un transformador. La segunda diferencia entre los transformadores ideales y reales es que las prdidas en el ncleo no son despreciables. Como hasta ahora hemos visto la corriente en vaco del transformador es empleada solamente para crear un flujo magntico para compensar la tensinaplicadaenelprimarioyparanadasehantenidoencuentalasprdidasenel ncleo. Sinembargo,essabidoqueelncleoconsumeciertaenergaquesevaagastarenla orientacin de los dipolos del ncleo o en los llamados ciclos de histresis. Y otra parte seinduceenelncleodebidoalascorrientesparsitas.Dichodeotramaneraasse conecteuntransformadorenvacoesteconsumepotenciayaestaselellamalas prdidasdeltransformador.ComosepuedeobservarlacorrienteenvacoI0tienedos componentes a saber: Im. Corriente de magnetizacin, esta corriente est en fase con el flujo. IH: que representa las corrientes de Eddy y se encuentra en fase con la tensin aplicada. Fe mI I I + =0Ecuacin 2-12 Suelesucederquelacorrienteenvacienlostransformadoresesdel4al8%dela corrientedecargaynosecometeunerrorsignificativosisesuponequelaformade onda de las corrientes en vaco son senoidales. Si se hace el diagrama fasorial de las corrientes en vaco se pude ver mejor la relacin entre ellas. 47 Fig 2-7 Diagrama fasorial de las corrientes en vaco. 2.9Circuito equivalente de un transformador real. Uncircuitoequivalenteesaquelquepuededescribircongranexactitudel comportamiento elctrico de un aparato. Y a partir de l es fcil obtener las ecuaciones que rigen su comportamiento. Comopuntodepartidasetomarelcircuitodeltransformadoridealqueseveenla figura2-5.yseleagregaranalgunoselementosquedescribenconexactitudel comportamiento del real. Como punto de partida se deben agregar unas resistencias y unas inductancias en cada unodelosdevanadosdeltransformador.Laresistenciaesdebidaaquelosdevanados sonconstruidosdecobreoaluminio,estossonmaterialesfsicosquetienenuna resistividadalolargodelconductor,esdecirnoesunelementoconcentradosino distribuido;perosuefectosepuedeestudiarcomounaresistenciaR1yR2que represente estos efectos. Hayquerecordarquesiemprequehayaunacorrientesolidariaaestahabrunflujo magntico. Este flujo se concentra en un circuitomagntico compuesto por una fuerza magnetomotriz expresada como el producto de la corriente por el nmero de vueltas de la bobina y una reluctancia. Hay que recordar que la inductancia se expresa por medio de la formula: =2NL Ecuacin 2-13 Fig 2-8. Transformador ideal con los efectos de resistencia e inductancia de los devanados. Elsegundoefectoquesedebetenerpresenteeslacorrienteenvaco,estatienedos efectos una debida a las corrientes parsitas o de Eddy IFe y otra a los ciclos de histresis IH estos efectos se pueden representar por una inductancia y una resistencia ficticias (no presentesfsicamenteenel transformador)enparalelocon eldevanadoprimariocomo se muestra en la figura 2-9. 48 Fig 2-9 Transformador ideal con los efectos de corrientes de Eddy e histresis. Lasimpedanciasdemagnetizacinsesuelencolocarenelprimariodeltransformador paradecirqueestasseusanparacrearelflujoenelncleo.Aunqueestassepueden dibujar en el secundario para evitar las operaciones matemticas que reflejan su efecto al primario. Fig 2-10 Circuito equivalente total de un transformador real. Siconsideramosnuevamentelascorrientesenvacosenosoidales(comosesabenoes totalmente cierto) podemos hacer un diagrama fasorial de las tensiones, y corrientes del transformador real. Para iniciar partimos de la tensin y corriente del secundario. Tomaremos la tensin en el secundario V2 con una referencia a cero grados; la corriente de este devanado I2 est desfasada un ngulo 2 dado por la impedancia de carga. En la resistencia e inductancias deldevanadosecundariosepresentanunascadasdetensinVR2yVX2 debidasala circulacindelacorrienteI2poreldevanadosecundario.Latensinenalresistencia VR2 estenfaseconlacorrienteylatensinVX2 estdesfasada90conrespectoala corriente. La tensin inducida en el secundario E2 es la suma de las tres componentes: 2 2 2 2 R XV V V E + + = Ecuacin 2-14 Fig 2-11 Diagrama fasorial del devanado secundario. La tensin reflejada en el devanado primario debida a la tensin en el secundario est en faseconesteltimoysumagnitudvariadeacuerdoalarelacindetransformacin como se expresa en la ecuacin: 49 2121NNEE=Comoguaparasaberlamagnitudsedebeanalizarsieltransformadoreselevadoro reductor. Si el transformador es elevador la tensin en el primario debe ser ms alta; por el contrario, si el transformador es reductor la tensin en el primario debe ser mas baja. Algo similar sucede con las corrientes; cuando por el secundario circula una corriente, en el primario hay una que es un reflejo de esta y la llamaremos corriente reflejada del secundarioalprimarioysehallapormediodelaecuacindelacorrientecomolo expresa la siguiente ecuacin: 2112NNII=De forma contraria a lo que sucede con las tensiones, si el transformador es elevador la corrientereflejadaenelprimarioesmaspequeaqueladelsecundarioysiel transformadoresreductorlacorrienteesmsgrandehayquerecordarquesolose afectan las magnitud de la corriente y no el ngulo. Fig 2-12 Diagrama fasorial de las corrientes y tensiones reflejadas del secundario al primario. Ahoraanalizaremosquelesucedealascorrientesytensionesenelprimario,La corrientedelprimarioI1eslasumadetresefectosasaber,porunladosetienela corriente del secundario reflejada al primario I*2, se tiene una corriente en vaco que es la suma de la corriente de magnetizacin IFe y la corriente de histresis IH que forma la corriente en vaco I0 comose demuestra en la siguiente ecuacin: *2 0 1I I I + = Lastensionestienenuncomportamientosimilaralasdelsecundario;Latensinenla fuente V1 es la suma de la tensin reflejada en el secundario E1 ms la cada de tensin en la resistencia del primario VR1, ms la cada de tensin en la inductancia del primario VX1 como se muestra en la siguiente ecuacin: 1 1 1 1 R XV V E V + + = Ecuacin 2-15 2.10 Circuitos referidosdel transformador. En lugar de trabajar con dos circuitos, el primario y el secundario algunos programas de computador usan todos los valores de tensiones, corrientes e impedancias; ya sea en el primario o secundariopara facilitar los clculos a estos circuitos se les llaman modelos 50 simplificados y hay dos uno simplificado al primario y otro simplificado al secundario aunque el que ms se usa es el referido al primario. Para obtener el transformador reflejado al primario los valores de corriente,tensiones e impedancias del primario se dejan en su valor predeterminado as como las impedancias de magnetizacin. En cambio, las tensiones del secundario se deben reflejar al primario por medio de la relacin E1=E2*a, donde a es la relacin de transformacin, la corriente delsecundarioreflejadaalprimarioseobtienepormediodeI1=I2/aylasimpedancia delsecundarioseobtienenpormediodeZ2=Z2*a2 yelcircuitoequivalentesepuede ver con exactitud en la figura 2-13. Fig 2-13 Circuito equivalente del transformador referido al primario. Algunos autores no les gusta el transformador referido al primario sino al secundario y sesigueelsiguienteprocedimiento:lascorrientes,tensioneseimpedanciasdel secundario no se les aplica ninguna transformacin; La tensiones del primario se deben referiralsecundariopormediodesuecuacinE2=E1/a,lascorrientespormediode I2=I1*a,lasimpedanciasdeldevanadopormediodeZ1=Z1/a2 ylaimpedanciasde magnetizacinpormediodeZ0=Z0/a2.Elcircuitoequivalentesepuedeverenlafigura 2-14. Fig 2-14 Circuito equivalente del transformador referido al secundario. 2.11 Obtencion de los parametros del transformador. Laobtencindeloscuatroparmetrosbsicosdeltransformador,impedanciadel primario, impedancia del secundario, impedancia de magnetizacin y corriente en vaci se pueden hallar por medio de dos pruebas sencillas que se llaman prueba en vaco y la prueba de corto circuito. Paraelensayodecircuitoabiertosedebealimentarelprimarioatensinnominalal mismotiempoqueel secundario notienenada conectadoentresusterminales(esten vaco).Comoprimario,sepuedeseleccionarelladodealtatensinoelladodebaja tensinsoloseafectanlasmagnitudesdelascorrientesytensionesysedebeteneren cuentaporqueladosetomaronlasmedidas.Perohayalgunasnormasqueindican claramente que esta prueba se debe realizar por el lado de baja tensin, ya que algunas veces es difcil conseguir una tensin aplicable al lado de alta ya sea por seguridad o por presupuesto(porejemplo,enelcasodetransformadoresdepotenciade220KV/34.5 51 KVdondeesdifciltenerlatensindelladodealta).Ademslascorrientesquese manejan en esta prueba son bajas. Parapodertenerunamedicindelosparmetrossedebentomarlosdatosdetensin, corrienteypotenciapormediodeunvoltmetro,ampermetroyunvatmetro.La conexindeestosinstrumentossepudeverenalfigura2-15.Comonosaleninguna potenciadelsecundario,esevidentequetodalapotenciaqueentraseperderyesta potencia ser la suma de las prdidas en el cobre del primario y las prdidas en el hierro. Comopuedeverseenalfigura2-15,porelsecundarionocirculaningunacorrientey por ende all no se presenta ningn tipo de prdidas, ahora si analizamos el primario hay unasprdidasenelcobredelprimariooenlaresistenciaR1yunasprdidasenla resistenciademagnetizacinRFe.Comosehadichoconanterioridad,lacorrienteen vaco es del orden del 4 al 8% de la corriente nominal; adems las impedancias de los devanados son pequeas comparadas con las impedancias de la rama de magnetizacin. Con gran precisin se pude suponer que las prdidas all registradas son las prdidas en el hierro PFe. Fig 2-15. Prueba de circuito abierto. Comoyasabemos,lasprdidasenelhierrosondebidasala