1

LIBRO RECOPILACIÓN PSU EJERCICIOS DEMRE

CONTENIDOS EJERCICIOS PSU RESPUESTAS ENSAYOS

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA 2010

2

INDICE

Contenido Página 1 Números Enteros, operatoria, propiedades 3 2 Números racionales, operatoria, propiedades 10 3 Potencias, propiedades, aplicaciones 20 4 Operatoria algebraica 26 5 Simbología 38 6 Razones y proporciones 42 7 Tanto por ciento 49 8 Raíces, propiedades, aplicaciones 57 9 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de

ecuaciones 64

10 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 79 11 Ecuación de segundo grado 83 12 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 85 13 Funciones, operatoria, tipos de funciones 88 14 Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de

Pitágoras, teorema de Euclides 108

15 Congruencia de triángulos 129 16 Semejanza de triángulos 133 17 Cuadriláteros 141 18 Polígonos 152 19 Ángulos en la circunferencia 153 20 Relaciones métricas en la circunferencia, círculo 162 21 Poliedros, volumen 166 22 División interior y exterior 173 23 Trigonometría 175 24 Probabilidad 183 25 Estadística 198 26 Transformaciones isométricas 209 27 Teorema de Tales 221 28 Evaluación de suficiencia de datos 226 29 Respuestas 243 30 Resumen contenidos Primer año medio 248 31 Resumen contenidos Segundo año medio 258 32 Resumen tercer año medio 269 33 Resumen Cuarto año medio 280 34 Ensayo 1 290 35 Ensayo 2 308 36 Ensayo 3 329 37 Ensayo 4 348 38 Ensayo 5 365 39 Ensayo 6 384

3

RESUMEN PSU MATEMATICA I. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES ( IN, IN0 ) Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3, …} se denominan “números naturales”. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2, …} llamado “conjunto de los números cardinales”. NÚMEROS ENTEROS (Z) Los elementos del conjunto Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …} se denominan “números enteros” Algunos subconjuntos de Z son: Z+ = {1, 2, 3, …} enteros positivos Z +0 = {0, 1, 2, … } enteros no negativos

Z- = {-1, -2, -3, …} enteros negativos Z −0 = {0, -1, -2, -3, …} enteros no positivos

1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, … 2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … y también: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, … MÚLTIPLO Y DIVISOR

En la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a. REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un número entero es divisible: Por Cuando 2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres. 4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son Ceros. 5 La última cifra es cero o cinco. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez. 7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las Cifras restantes es múltiplo de siete. 8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve. 10 Termina en cero. 11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.

4

NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, … TEOREMA FUNDAMENTAL Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores de números primos MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Es el mayor divisor común entre dos o más enteros. CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Se descomponen los números en factores primos: 1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor. 2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor. OPERATORIA EN Z ADICIÓN i. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo común. ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto. MULTIPLICACIÓN i. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo. ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo. OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación. VALOR ABSOLUTO Es la distancia que existe entre un número y el 0

DEFINICIÓN:

5

OBSERVACIONES: 1) 0 ≤ r < d 2) La división por cero no está definida. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: 1. Resolver los paréntesis. 2. Realizar las potencias. 3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. 4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. RELACIÓN DE ORDEN EN Z Si a y b son números enteros, entonces diremos que: i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo. ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo. iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez). iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez). EJEMPLO PSU-1: Si al entero (– 1) le restamos el entero (– 3), resulta A) – 2 B) 2 C) 4 D) – 4 E) ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-2: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 = A) m + n + 1 B) 10m + n + 1 C) 100m + n + 1 D) 100m + 10n + 1 E) 10(m + 1) + n EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, ¿cuál es el valor de –nm –(n + m)? A) -11 B) -5 C) 5 D) 7 E) -7

6

EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna? A) 11 B) 20 C) 21 D) 0 E) 7 EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tarde depositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el banco? A) $ 8p B) $ 10p C) $ 12p D) $ 16p E) $ 14p EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el último número de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último número de cada columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x? A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 16 EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá un número impar de círculos III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos figuras consecutivas es 2 A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

x 4 20 4 9 8 13 24 16 55

7

EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) En total hay 27 monedas II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero III) En el monedero hay $600 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III EJEMPLO PSU-9: Se define baba b +=◊ y a # b = 2a - 4b, para a y b números enteros, el valor de (2 ◊ 5) # (-2) es: A) 82 B) 66 C) 60 D) 38 E) 22 EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11), . . . , resulta A) 41x - 2 B) 61x + 25 C) 41x - 109 D) 41x + 109 E) 41x - 21 EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 0 $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos? A) De 1 forma B) De 2 formas C) De 4 formas D) De 3 formas E) De 6 formas EJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, a partir de hoy? A) Viernes B) Sábado C) Lunes D) Miércoles E) Jueves

8

EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno? A) $280 B) $200 C) $120 D) $100 E) $ 40 EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3), respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tres artículos T? A) 6n - 14 B) 6n – 6 C) 5n – 14 D) 3n – 14 E) 3n - 6 EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r son enteros positivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q? A) p = nq + r B) q = np + r C) q = np D) p = nq

E) q1

1qp

+=

EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas? A) 8 B) 6 C) 9 D) 10 E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a A) -12 B) -7 C) -2 D) 4 E) 12

9

EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene factores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P? A) 7 B) 5 C) 4 D) 3 E) 1 EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es:

5

6

2

000.1)E

6000.1

)D

2

000.1)C

2000.1

6)B

12000.1

)A

•

EJEMPLO PSU-20: La suma de tres números impares consecutivos es siempre: I) divisible por 3 II) divisible por 6 III) divisible por 9 Es(son) verdadera(s): A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-21: La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto a estos números, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La suma del menor y el mayor es 0 II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) El mayor menos el menor es 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

10

II. NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son todos aquellos números de la forma ba con a y b números

enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q.

2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si dc

,ba ∈Q, entonces:

OBSERVACIONES

1. El inverso aditivo (u opuesto) de ba es -

ba , el cual se puede escribir también como

ba

oba

−

−

2. El número mixto Acb se transforma a fracción con la siguiente fórmula:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si dc

,ba ∈Q, entonces:

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

OBSERVACIÓN

El inverso multiplicativo (o recíproco) de ba es 0acon,

ab

ba

1

≠=

−

11

RELACIÓN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES 1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos: a) igualar numeradores. b) igualar denominadores. c) convertir a número decimal. 2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. NÚMEROS DECIMALES Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico. a) Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales b) Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte entera y el período. Ejemplo: 0,444.... = 0,4 c) Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período. Ejemplo: 24,42323 ... = 24,423 OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES 1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Así por ejemplo: 0,19 3,81 + 22,2 26,20 2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto.

Así por ejemplo: 3,21 · 2,3 963 642 7,383

12

3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10. Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100 224: 120 y se dividen como números enteros TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN 1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número.

Por ejemplo: 3,24 = 100324

2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período.

Por ejemplo: 2,15 = 99

2215 −

3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Por ejemplo: 5,34 = 90

53534 −

EJEMPLO PSU-1: 5•

5,005,0

A) 0,5 B) 0,05 C) 0,005 D) 50 E) 500

EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a =32 , b =

65 y c =

83 de menor a mayor es

A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c D) c < a < b E) c < b < a EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 ⋅ 2,5 + 10 = A) 0 B) -20 C) 60 D) 75 E) 250

13

EJEMPLO PSU-4: =−53

89

A) 0,15 B) 0,5 C) 0,52 D) 0,525 E) 2

EJEMPLO PSU-5: Si a 65 se le resta

31 resulta:

92

)E

34

)D

32

)C

21

)B

21

)A −

EJEMPLO PSU-6: 25,0

83

1

75,083

1

−+

−

38

)E

4)D3

16)C

316

)B

315

)A

−

EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces r

rt − =

A) 80,89 B) 80,9 C) 88,9 D) 89 E) Ninguno de los valores anteriores

14

EJEMPLO PSU-8: En la igualdad R1

Q1

P1

−= , si P y R se reducen a la mitad, entonces

para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe A) duplicar. B) reducir a la mitad. C) mantener igual. D) cuadruplicar. E) reducir a la cuarta parte. EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención. Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internet A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: =++x1

x1

x1

3

3

x

3)E

x31

)D

x3

)C

x

1)B

3)A

15

EJEMPLO PSU-11: Si RH21

P = , entonces H-1 es igual a:

P2R

)E

PR2

)D

RP2

)C

P2R

)B

RP2

)A

−

−

EJEMPLO PSU-12: =⋅+21

61

31

41

)E

32

)D

91

)C

152

)B

125

)A

EJEMPLO PSU-13: =+⋅

⋅−

8,366,28,326,2

8,96,7

)E

4,1928,2

)D

4,195

)C

4,195

)B

31

)A

−

−

16

EJEMPLO PSU-14: =−

+

41

1

231

3)E1)D611

)C

31

)B

23

)A

EJEMPLO PSU-15: =⋅

+

2)5,0(

5,010050

A) 10 B) 1 C) 0,1 D) 0,25 E) 0,75 EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha caminado 7.850 metros. ¿Cuánto le falta por recorrer? A) 4,45 km B) 4,55 km C) 5,55 km D) 5,45 km E) 6,62 km EJEMPLO PSU-17: Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la relación correcta

entre las fracciones:a3

p = 1a

3t

−=

1a3

r+

=

A) p

17

EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?

18)b2a3(5

$)E

18b2a3

$)D

)b3a2$()C5

ba$)B

3ba

$)A

+⋅

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado hasta los 31

2

litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo?

32

1)E

31

3)D

23

2)C

32

2)B

31

2)A

EJEMPLO PSU-20: =•+32

41

31

214

)E

121

)D

51

)C

41

)B

21

)A

18

EJEMPLO PSU-21: Se define a ∗ b =ab1 , entonces a ∗ (b ∗ c) es igual a:

abc

)E

cab

)D

abc

)C

bca

)B

abc1

)A

EJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí y distintos de cero. Si

P =ba + d y Q =

ca + d, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre

verdadera(s)? I) P - Q ≠ 0

II) bc

QP

=

III) P Q = 22

dbca

+

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-23: =

++

+

111

1

11

1

21

)E

53

)D

1)C52

)B

25

)A

19

EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11,3 segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Javier llegó después de Marcelo II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al llegar a la meta III) Arturo llegó primero A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos de azúcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, ¿por cuál número se debe multiplicar n para obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan? A) 33,3 B) 200 C) 1.200 D) 6 E) 0,03

EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d números enteros positivos. Si da

ba

S += , entonces 1S − es:

)db(abd

)E

a2db

)D

adb

)C

bdabad

)B

a2bd

)A

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-27: 2)2,0( − = A) 5 B) 10 C) 25

D) 251

E) 51

20

III. POTENCIAS EN Z DEFINICIÓN

PROPIEDADES 1. n0 = 0, si n ∈Z+ 2. n1 = 1 3. Si n es par, n)1(− = 1

4. Si n es impar, n)1(− = -1

Signos de una potencia: na =

<

≠

imparesny0asiNegativo

paresny0asiPositivo

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS Sean a y b ∈ Z, m y n ∈ Z+ 1.- Multiplicación de potencias de igual base

2.- División de potencias de igual base

3.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente

4.- División de potencias de distinta base e igual exponente

DEFINICIÓN

OBSERVACIÓN:

00 no está definido POTENCIA DE UNA POTENCIA

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO

POTENCIAS DE BASE 10

010 = 1 110 − =101 =0,1

21

110 = 10 210 − =1001 =0,01

210 = 100 310 − =1000

1 =0,001

310 = 1000 Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:

1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k · n10 , en que 1 ≤ k < 10 y n ∈ Z.

2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p · 10n, en que p es el menor entero y n ∈ Z. 3. Un número esta inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima,

centésima...) abcde = a · 210 + b · 110 + c · 100 + d · 110 − + e · 210 −

EJEMPLO PSU-1: =+−

−−

1

11

5

43

125

)E

75

)D

57

)C

1235

)B

3512

)A

EJEMPLO PSU-2: =⋅⋅

0003,060000002,00009,0

A) 10-15 B) 10-12 C) 10-7 D) 10-6 E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-3: El orden de los números: M = 4,51⋅ 610 − ; N = 45,1⋅ 510 − y P = 451⋅ 710− , de menor a mayor, es A) M, N, P B) P, M, N C) N, M, P D) P, N, M E) M, P, N

22

EJEMPLO PSU-4: =

−−

32a

21

6

6

5

5

6

a21

)E

a81

)D

a21

)C

a8)B

a8)A

−

−

−

EJEMPLO PSU-5: Si x22 = 8, ¿cuántas veces x es igual a 9? A) 6

B) 29

C) 3

D) 23

E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-6: =−+ −−− 432 224

6)E8)D

61

)C

41

)B

81

)A

−

−

EJEMPLO PSU-7: 23 )a3()a2( • = A) 72a2 B) 72a5 C) 6a5 D) 36a6 E) 36a5

23

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la mitad de 62 ? A) 25 B) 23 C) 16

D) 3

21

E) 6

21

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?

n22n

nnn2

n2nn

a2)a2()III

aaa)II

aaa)I

=

=−

=⋅

A) Solo I B) Sólo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III EJEMPLO PSU-10: ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41?

32

00

24

27)III

7676)II

52)I

−

⋅−⋅

+

A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II, III E) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresión n1n21n

263184

−+− ⋅⋅

⋅es

A) n2 B) 4⋅ n2 C) 2 D) 6 E) 36

24

EJEMPLO PSU-12: =⋅⋅

000.000.2000006,0106,3 6

15

7

6

5

4

1008,1)E

1008,1)D

1008,1)C

1008,1)B

1008,1)A

−

−

−

−

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

EJEMPLO PSU-13: En la igualdad 44n4nn 24444 =+++ , el valor de n es:

22)D21)C11)B211

)A

E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-14: (0,2) – 2

= A) 5 B) 10 C) 25

D) 251

E) 5

EJEMPLO PSU-15: =−−

−

52

156

ba

ba

9)Eba)D

ba)C

ba)B79

)A

33

204

108

−

−

−

−

−

EJEMPLO PSU-16: Si x399 =⋅ . Entonces x= A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 27

25

EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es: A) 5.000 ⋅ 33 bacterias B) 5.000 ⋅ 34 bacterias C) 5.000 ⋅ 39 bacterias D) 5.000 ⋅ 360 bacterias E) 5.000 ⋅ 3180 bacterias EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3?

64)4()III

144)II

641

4)I

x1

3x

x

=

=⋅

=

−

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-19: Si 3102,5p −•= y q = 3102 −• , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades se cumple(n)?

2,3qp)III

1004,1qp)II

102,7qp)I5

3

=−

•=•

•=+−

−

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III EJEMPLO PSU-20: Si P33 xx =+ − , entonces xx 99 −+ es igual a: A) P2 B) P2 + 2 C) P2 – 2 D) P2 – 1 E) 3P

26

IV. ALGEBRA y FUNCIONES EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal. USO DE PARÉNTESIS En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas: Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis. Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis. Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera. OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIÓN DE POLINOMIOS Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS MONOMIO POR MONOMIO: Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir,

a ···· (b ···· c) = (a ···· b) ···· c MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir, a(b + c + d) = ab + ac + ad

27

POLINOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay. PRODUCTOS NOTABLES:

∗∗∗∗ Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

∗∗∗∗ Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2

∗∗∗∗Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

∗∗∗∗ Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

∗∗∗∗ Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac

∗∗∗∗ Suma de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

∗∗∗∗ Diferencia de cubos: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3 EJEMPLO PSU-1: La expresión 44 ba − se puede escribir como A) 4)ba( −

B) 22 )ba()ba( −+

C) )ba)(ba( 33 +−

D) )ba)(ba( 2222 −+

E) )ba)(ba( 33 +−

EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a − b)2, entonces a · b =

)pn(4)E4

pn)D

4pn

)C

4pn

)B

2pn

)A

22

44

−

−

−

−

−

28

EJEMPLO PSU-3: La expresión 2y

aay:

yxxy −− es igual a:

axy

)E

y

)1y(xa)D

yax

)C

xya

)B

0)A

3

2−

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1?

ab2ba

)ab()III

)ba(ba

)II

a233a2

)I

22

2

2

22

−+

−

−

−++

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-5: El doble de [ ]))b(a( −−−− A) 2a + 2b B) a - b + 2 C) a + b + 2 D) a + b E) -2a - 2b EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y, ¿cuánto mide el ancho del rectángulo? A) 2x + y B) 4x + 2y C) 7x + 4y D) x + 2y

E) 27 x + 2y

29

EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es 2x2 + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x - 3), el otro lado mide A) (x + 8) B) 2(x + 8) C) 2(x - 4) D) 2(x - 3) E) 2(x + 4)

EJEMPLO PSU-8: Si b1

aentonces,36b

1bay9

b1

a 222

−=−

=+

A) -9 B) 6 C) 4 D) 3 E) 1 EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresión algebraica 2x2 − 6x − 20 ? I) 2 II) (x − 5) III) (x + 2) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide 2z , entonces ¿cuánto

mide el lado de un cuadrado que tiene igual área que el triángulo?

A) 4z

B) 22z

C) z

D) 2z

E) 4z2

EJEMPLO PSU-11: Si x = −3, entonces (x − 2)( 2x2 − 3) = A) − 45 B) − 75 C) 15 D) 75 E) 105

30

EJEMPLO PSU-12: Si x e y son números enteros diferentes de 0, entonces =+xy

yx

2)Exy

y2x2)D

1)Cxy

yx)B

xyyx

)A22

+

+

+

EJEMPLO PSU-13: =+−−− )3w2)(3w2(2)2w3( 2 A) 2w – 12w - 14 B) 2w – 12w + 22 C) 2w – 12w -5 D) 2w – 12w + 13 E) 2w – 12w + 14 EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es: A) 9 B) 16 C) 18

D) 1027

E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k2 + k – 6? A) k + 1 B) k + 2 C) k – 6 D) k – 3 E) k – 2

31

EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2 II) El área de la región achurada es (a + b)2 III) El área de AEFD es b2 + ab A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III EJEMPLO PSU-17: Si x es un número entero mayor que 1 y el área de un rectángulo se expresa como (x2 + 5x – 6), ¿cuál de las siguientes opciones puede representar a sus lados? A) (x – 1) y (x – 5) B) (x + 2) y (x – 3) C) (x – 1) y (x + 6) D) (x + 1) y (x – 6) E) (x – 2) y (x – 3) EJEMPLO PSU-18: Dada la expresión xxyyxyx 222 +++ , ¿cuál(es) de las siguientes

expresiones es (son) factor(es) de ella? I) xy + 1 II) x + 1 III) y + 1 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-19: Si n es un número natural, una expresión equivalente a ( )22n3n 33 −− − es:

)3n(2

)3n(2

)3n(2

)3n(

)3n(2

38)E

316)D

34)C

32)B

32)A

−

−

−

−

−

⋅−

⋅

⋅

⋅−

⋅

32

EJEMPLO PSU-20: =−−⋅−−−⋅ a:]aa)aa(aa[a A) –a2 B) –a C) a D) 2a E) a - 2

EJEMPLO PSU-21: =−−

−−+

4a26a2

6a34a5

10a2a3

)E

)2a(33a2

)D

)2a(35a2

)C

)2a(35a2

)B

)2a(313a2

)A

−−

−−

−+

−−

−+

EJEMPLO PSU-22: Si mx2 – mp2 = 1 y x – p = m, entonces (x + p)2=

4

3

2

m

1)E

m

1)D

m

1)C

m1

)B

1)A

EJEMPLO PSU-23: a – a(1 –a) A) 1 - a B) a C) 0 D) –a2 E) a2 EJEMPLO PSU-24: Si 29bay10ba 22 =+=⋅ , entonces el valor de (a – b)2 es: A) 9 B) 19 C) 29 D) 49 E) No se puede determinar el valor

33

EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 2)nm( + – 4mn? A) (m – n)2 B) m2 – 2 + n2 C) m2 – 4mn + n2 D) 2m – 4mn + 2n E) 2m – 2mn + 2n

EJEMPLO PSU-26: Sea m ≠ 0, al simplificar la expresión m2mrm −

resulta:

2mr1

)E

2rm

)D

2r1

)C

2r

)B

0)A

−

−

−

−

EJEMPLO PSU-27: Al sumar tx con m se obtiene

2tx+

, entonces ¿cuál es el valor de de

m?

)2t(t2

)E

)2t(tx2

)D

2tx

)C

)2t(tx2

)B

0)A

+−

+−+−

+

EJEMPLO PSU-28: (30 + 5)2 – (30 + 5)(30 – 5) =

A) 0 B) 50

C) 300 D) 350 E) 450

34

EJEMPLO PSU-29: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b). El primero le costo $a y el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costo el tercero? A) $ a B) $ 7a C) $ (3a – b) D) $ (3a + 2b) E) $ (a + 2b) EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 14 E) Ninguno de los anteriores

EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es 2x3 y el largo es el doble del ancho.

¿Cuánto mide su perímetro?

x6)Ex9)D2x9

)C

x3)B2x9

)A2

EJEMPLO PSU-32: Si x61

cyx4

1b,

x21

a === , entonces la expresión x – (a + b + c)

equivale a:

x127

)E

x1211

)D

12x11

)C

x127x

)B

x1211x12

)A

2

2

−

−

35

EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura: Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área achurada. II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas del cuadrado de lado a y el lado de b.

III. a(a + b) > a2 + b2 A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada? A) 8 – x B) 64 – 4x2 C) 64 – x2 D) 8 – x2 E) 64 – x4 EJEMPLO PSU-35: Si )ba(b#ay)ba(ba 222 +=+=∇ , ¿a cuánto equivale la expresión

A) -2m2 + 8p2 B) -2m2 + 6mp + 8p2 C) 8m2 + 6mp – 2p2 D) -2m2 + 3mp + 8p2 E) Ninguna de las anteriores EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual a A) -10 B) 10 C) 13 D) -25 E) 25

36

EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de otro cilindro P, entonces I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios deben ser iguales. II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales. III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales. Es (son) verdadera(s) A) sólo I. B) sólo II. C) sólo III. D) sólo I y II. E) sólo I y III

EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n33n

n 2 +− es igual a:

A) 6 B) 9 C) 14 D) 17 E) 18

EJEMPLO PSU-39: =

−

+ yx

32

yx32

22

22

22

22

yx64

)D

yx92

)C

yx94

)B

yx34

)A

−

−

−

−

E) Ninguna de las expresiones anteriores EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la región achurada se expresa como:

3

)yz(x)E

2

xy)D

xz)C

)zy(x)B

)yz(x)A

+

−

−

37

EJEMPLO PSU-41: para que la expresión =

−

++

−

+−

yx

yx1

yxyx

1sea positiva, se debe cumplir

necesariamente que: A) xy < 0 B) x < 0 C) xy > 0 D) y < 0 E) x > y EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, ¿cuál es el valor de la expresión 432 xxx +− ? A) -9 B) -3 C) -1 D) 1 E) 3

EJEMPLO PSU-43: ¿Cuál es el valor de x2 – 2xy, si x = 2 e y = – 1?

A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 0 EJEMPLO PSU-44: a – [–a – (–a + b – c)] = A) –a + b – c B) a + b – c C) –a – b + c D) a – b – c E) a + b + c

EJEMPLO PSU-45: (3m – 5p)2 =

A) 6m2 – 10p

2

B) 9m2 – 25p

2

C) 9m2 – 15mp + 25p

2

D) 9m2 – 30mp – 25p

2

E) 9m2 – 30mp + 25p

2

38

V. SIMBOLOGÍA:

∗∗∗∗ Números natural cualquiera = n

∗∗∗∗ El antecesor de un número = n – 1

∗∗∗∗El sucesor de un número = n + 1

∗∗∗∗Número natural par = 2n

∗∗∗∗ Número natural impar = 2n – 1

∗∗∗∗El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1) 2

∗∗∗∗El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1

∗∗∗∗El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2

∗∗∗∗ Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1

∗∗∗∗ El inverso aditivo u opuesto de un número = – n

∗∗∗∗El inverso multiplicativo o recíproco de un número = n1

∗∗∗∗El triple de un número = 3n

∗∗∗∗Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d = 10d + u

∗∗∗∗ Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u

∗∗∗∗La razón o cuociente entre p y q = q

p

∗∗∗∗ El valor absoluto de un número = | n |

∗∗∗∗p es directamente proporcional a q = )tetancons(kq

p=

∗∗∗∗ p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante) EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x – 3) se expresa por: A) [2(x-3)]2 B) 2(x2 – 32) C) (2x – 6)2 D) 2(x – 3)2 E) (x2 – 32)2

39

EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: “Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 más que a ti, me quedo con 4”?

A) 455x2

=+

B) x55x2

=+

C) x95x

=+

D) x95x2

=+

E) 455x

=+

EJEMPLO PSU-3: El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribe

2

2

2

2

2

)d3()2d()E

d3)d2d()D

)d3()d2d()C

)d3(d2d)B

d3d2d)A

⋅+

⋅+

⋅+

⋅+

⋅+

EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo al cuadrado, se expresa como

22

2

2

22

2

)n(n)E

)n(n)D

n1

n)C

n1

n)B

n1

n)A

−+

−+

+

+

+

EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un círculo aumenta en ε unidades, entonces el área del nuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas, como

2

2

22

22

2

)r()E

)r()D

)r()C

r)B

r)A

επ

επ

επ

επ

επ

+

+

+

+

+

40

EJEMPLO PSU-6: “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t”, se escribe

t

m25m

)E

tm

5m

)D

tm

m5)C

t

m5m

)B

tmm5

)A

2

2

2

2

+

+

+

+

+

EJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 25% de la edad de Juan (J). Si hace dos años Juan tenía 10 años, ¿en cuál de las siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de María y Juan?

102Jy4J

2M)E

10Jy4J

2M)D

102Jy4J

2M)C

102Jy4J

2M)B

102Jy4J

2M)A

=+=+

==−

=−=+

=−=−

=+=−

EJEMPLO PSU-8: hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de sus edades en a años más? A) (11 + 3a) años B) (11 + 2a) años C) (11 + a) años D) (8 + 3a) años E) (5 + 3a) años EJEMPLO PSU-9: La expresión: “El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado del doble de (3 – b)” se representa como:

[ ]

[ ]

[ ]2222

2

22

22

)b3(2)b3(2)E

)b3(2)b3(2)D

)b3)(b3(2b3(2)C

)b3(4)b3(4)B

)b3(2b3(2)A

−=+

−=+

−+=+

−=+

−=+

41

EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectángulo es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es: A) (4x + 16) metros B) (2x + 8) metros C) (2x + 16) metros D) (4x + 8) metros E) (4x + 32) metros EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebraico de este problema? A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291 B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291 C) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291 D) (x – 1)2 x2 (x + 1)2 = 291 E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291 EJEMPLO PSU-12: La expresión: “para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4 unidades”, se expresa como A) 2a + c + 4 = 18 B) 2(a + c) – 4 = 18 C) 2(a + c) + 4 = 18 D) 4 – 2(a + c) = 18 E) 2a + c – 4 = 18 EJEMPLO PSU-13: Compré x kg de café en $ 36.000 y compré 40 kg más de té que de café en $ 48.000. ¿Cómo se expresa el valor de 1 kg de café más 1 kg de té, en función de x?

A) 40x

000.48x000.36

++

B) 40x

000.48x000.36

−+

C) 000.4840x

000.36x +

+

D) 000.4840x

000.36x −

+

E) 40000.48

x000.36

+

42

VI. RAZONES y PROPORCIONES

RAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe ba o a: b.

Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.

PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe by

ax

= ó x: a = y : b

Y se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios. TEOREMA FUNDAMENTAL En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b) ⇔ (x b = y a) OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k ≠ 0 PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.

OBSERVACIONES: En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el origen PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = ..........= xn yn = k k : constante OBSERVACIONES: En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera

43

EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:

I. A y B son directamente proporcionales. II. El valor de x es 2. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas

diarias. II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales. III. La constante de proporcionalidad es 3.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces ¿cuántos duraznos hay en la quinta? A) 54 B) 77 C) 84 D) 126 E) 210

A 10 15 20 B 3 x 1,5

44

EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

9)E4)D2)C41

)B

21

)A

EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la razón de sus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas? A) 180 mm 120 mm 90 mm B) 420 mm 180 mm 120 mm C) 320 mm 240 mm 160 mm D) 510 mm 120 mm 90 mm E) Ninguna de las medidas anteriores

EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al número b1 y cuando a

toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es:

415

)E

101

)D

85

)C

58

)B

10)A

EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es A) 50 km B) 65 km C) 67,5 km D) 62,5 km E) ninguno de los valores anteriores.

45

EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N A) aumenta al doble. B) disminuye a la mitad. C) aumenta en dos unidades. D) disminuye en dos unidades. E) se mantiene constante.

EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a y1 . Según los

datos registrados, el valor de ba , es

A) 256 B) 16

C) 161

D) 64

E) 641

EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la distancia entre dos ciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellas? A 1,75 km B 17,5 km C 175 km D 1.750 km E 17.500 km EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K = A) 4: 7 B) 4: 3 C) 7: 4 D) 3: 7 E) 3: 4

z y 8 2 a 4 1 16

41

b

46

EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas es

TVP ⋅

= constante, donde P es la presión del gas, V su volumen y T su temperatura

absoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A volumen constante la presión es directamente proporcional a la

temperatura II) A temperatura constante la presión es inversamente proporcional al

volumen III) A presión constante el volumen es inversamente proporcional a la

temperatura A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus volúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántos litros tiene la mezcla total? A 6 litros B 10 litros C 12 litros D 14 litros E 16 litros EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razón entre mujeres y hombres es m: h. ¿Cuál es la expresión que representa el número de mujeres?

hm40

)E

hmh40

)D

h)hm(40

)C

m)hm(40

)B

hmm40

)A

+

+

++

47

EJEMPLO PSU-15: El gráfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 36 II) El valor de t1 es 9 III) El valor de m1 es 36 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada 3 hombres, ¿cuántas mujeres asistieron al evento? A) 8 B) 21 C) 24 D) 28 E) 32 EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, ¿cuántos hombres se necesitan para fabricar x artículos en un día?

x50h

)D

h50x

)C

hx50

)B

50hx

)A

E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, ¿cuántas personas hay en febrero? A) 416 B) 4.000 C) 12.500 D) 15.000 E) 17.500

48

EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre dichas variables representan este hecho?

A) 2ux

= y w • v = 8

B) x – u = 2 y w + v = 8

C) x • u = 2 y 8vw

=

D) x + u = 2 y w – v = 8 E) x + w = 10 EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t días en hacer un jardín, otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el mismo jardín, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 días. ¿Cuántos días se demorará Y trabajando solo? A) 30 B) 28 C) 25 D) 20 E) 15 EJEMPLO PSU-21: Si el índice de crecimiento C de una población es inversamente proporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos índices se cumple: A) D = 0,5C B) D = C2

C) D = C5,0

D) D = 0,125C

E) D = C125,0

EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días, trabajando 8 horas diarias II) El número de electricistas y el número de días son variables directamente proporcionales III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3 A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

49

TANTO POR CIENTO El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de la proporción es 100:

P: Es el tanto por ciento C: Es la cantidad de referencia Q: Es el porcentaje El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es

P% de C = C100P

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS i) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar

a% de C ± b% de C = (a ± b)% de C ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos INTERÉS SIMPLE Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por la fórmula: OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital

permanece inalterable. INTERÉS COMPUESTO Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad. La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es:

n

F 100i

1CC

+=

El a% del b% de C = C100b

100a

⋅⋅

⋅+=

100i

n1CCF

50

OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capital para producir nuevos intereses. EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de los cajeros, ¿cuál es el total de trabajadores? A) 108 B) 72 C) 180 D) 90 E) 54 EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157,5. Calcular el interés simple anual. A) 5% B) 5,25% C) 5,5% D) 5,75% E) 15,75% EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos más dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada pantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos? A) $ 45.000 B) $ 50.000 C) $ 57.150 D) $ 72.000 E) $ 81.900 EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, más un 8% de las ventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes? A) $ 254.625 B) $ 532.000 C) $ 1.275.000 D) $ 1.812.500 E) $ 3.962.500

51

EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían 10 vasos para llenar el jarro. II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitarían 4 vasos para llenar el jarro. III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro. A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personas sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B. II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habría quedado en éste, menos del 50% de sus asientos vacíos. III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la capacidad de B. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III EJEMPLO PSU-7: Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregar A) 4 litros. B) 24 litros. C) 40 litros. D) 60 litros. E) ninguno de los valores anteriores.

52

EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. ¿Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1? A) 5,0 B) 5,1 C) 5,2 D) 6,0 E) 6,3 EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original? A) Se mantiene igual. B) Aumenta en un 4%. C) Disminuye en un 4%. D) Aumenta al doble. E) Disminuye a la mitad. EJEMPLO PSU-10: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5% del precio de un artículo?

I) 81 del precio del artículo

II) El precio del artículo multiplicado por 12,5 III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2 de cerámica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta $P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces el costo total es de: A) $ 145⋅P B) $ 170⋅P C) $ 175⋅P D) $ 245⋅P E) $ 195⋅P

53

EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el valor de ab es:

358

)E

1835

)D

3518

)C

835

)B

7400

)A

EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividad extraprogramática: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades? A) Menos del 91%. B) Entre el 91% y el 93%. C) Entre el 93% y el 95%. D) Entre el 95% y el 97%. E) Más del 97%. EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60 m2 en el primer piso y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un 60% más cara, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el costo total C en alfombras? A) C = 1,6• p •100 + p• 100 B) C = 0,6• p • 100 + p •100 C) C = 0,6• p • 60 + p • 40 D) C = p• 60 + 0,6 •p • 40 E) C = 1,6 •p •60 + p•40 EJEMPLO PSU-15: El día lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) Faltó la cuarta parte del curso II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa el 25% del curso A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

54

EJEMPLO PSU-16: Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento es:

%30)E%20)D

%3)C

%61

)B

%51

)A

EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es geometría, el 10% es álgebra y el resto astronomía. Luego las páginas dedicadas a la astronomía son: A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 28 EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del precio marcado de una mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $ 600, ¿cuánto me descuentan? A) $ 555 B) $ 510 C) $ 255 D) $ 45 E) $ 90 EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente: “Antes $ 400, ahora $ 300”. Con respecto al precio original, ¿cuál es el porcentaje de rebaja?

A) 34 %

B) 10% C) 25% D) 33,3% E) 75% EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los que practican teatro y los que no practican es 1: 5 respectivamente. ¿Qué porcentaje practica teatro en relación al total del curso? A) 20% B) 80% C) 16,6…..% D) 83,3…..% E) No se puede determinar

55

EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000 más un 2% de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende $ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto recibe como sueldo, ese mes, cada empleado? M P A) $ 288.000 $ 72.000 B) $ 288.000 $ 172.000 C) $ 388.000 $ 172.000 D) $ 960.000 $ 240.000 E) $ 960.000 $ 340.000 EJEMPLO PSU-22: Un banco paga interés con una tasa anual del 100%. Si se abre una cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo año habrá en la cuenta, en pesos,

A) 1.000 + 1.000 ⋅12100

B) 1.000 + 1.000 12

12100

•

C) 2.000

D) 1.000 12100

•

E) 1.000 12

12100

1

+•

EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quinta parte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Las gallinas que no son blancas son T54

II) El 20% de las gallinas son blancas III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el número de gallinas que son blancas A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en un 15%. ¿Por cuál número se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio? A) Por 15% B) Por 0,15 C) Por 1,5 D) Por 1,15 E) depende del precio de cada artículo

56

EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés compuesto n veces al año, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t años está dada

por: nt

n1001

1CP

+= .Al invertir $50.000 al 6% anual de interés compuesto

trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:

4

3

4

3

4

)015,1(000.50)E

)015,1(000.50)D

)18,1(000.50)C

)06,1(000.50)B

)06,1(000.50)A

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

EJEMPLO PSU-26: En una liquidación de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya ha sido rebajado en un 70%. ¿Cuánto costaba el abrigo antes de la liquidación? A) $ 21.450 B) $ 23.571 C) $ 28.050 D) $ 55.000 E) $ 115.500 EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000 de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artículo en $ 19.800, ¿a cuánto asciende el valor de las estampillas de descuento? A) $ 600 B) $ 750 C) $ 792 D) $ 800 E) $ 19.200 EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razón entre los alumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. ¿Qué porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total de alumnos del curso? A) 83, 3 % B) 80% C) 20% D) 16, 6 % E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-29: ¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $1.000, durante tres años, para obtener una ganancia de $ 157,5? A) 5,0% B) 5,5% C) 5,27% D) 5,25% E) 5,05%

57

VII. RAÍCES Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único real b, no negativo, tal que nb = a 0b,abba nn ≥=⇔=

Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b, tal que nb =a Rb,abba nn ∈=⇔=

OBSERVACIONES

1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES REAL

2. La expresión n ka , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de

exponente fraccionario nk

n k aa =

3. ,aa 2 = para todo número real

PROPIEDADES Si nn bya están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:

MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE nnn baba ⋅=• DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE

0b,ba

b

an

n

n≠=

POTENCIA DE UNA RAÍZ

( ) 0a,aa mnn m >= RAÍZ DE UNA RAÍZ

nmn m aa = AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ

++ ∈∈= Ra,Zmaa mn mn PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE

+∈⋅=• Rb,a,baba mn nmmn FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL

+∈⋅= Rb,abab n nn

58

RACIONALIZACIÓN Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz

Fracciones de la forma cb

a

Fracciones de la forma cqbp

a

+

EJEMPLO PSU-1: 272125 −

arminerdetpuedeseNo)E

33)D

32)C

34)B

316)A

EJEMPLO PSU-2: =−++−+254

8161

541

6

anterioresvaloreslosdeNinguno)E207

856)D

20151

)C

52

46

27

)B

2061

)A

++−

+−

EJEMPLO PSU-3: =• ++ 3 1x3 2x2 aa

1x

3x

x3

6 3x3

3x3

a)E

a)D

a)C

a)B

a)A

+

+

+

+

59

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, –1?

xx)III

xx)II

xx)I

2

2

2

=

=

−=

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas. EJEMPLO PSU-5: 3443 )22()22()22()22( +−++− es un número: A) Racional positivo B) Racional negativo C) Irracional positivo D) Irracional negativo E) No real

EJEMPLO PSU-6: 3 2

2 =

1)E2)D

8)C

2)B

4)A

6

6

3

3

EJEMPLO PSU-7: Si a2 = , c5yb3 == entonces ¿cuál(es) de las expresiones

siguientes es(son) equivalentes a 60 I) 2bc

II) 4 224 cba

III) bca2 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

60

EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión 7

1472 + resulta

4)E272)D

22)C

142)B

32)A

+

+

+

EJEMPLO PSU-9: =−+− 38212

520)D

510)C

15)B

23)A

−

+

+

E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-10: =−+ 2:)24251250(

40)E32)D

58)C

210)B

10)A

EJEMPLO PSU-11: =++++

++++3 55555

55555

55555

55555

23

32

65

5)E

5)D

1)C5)B

5)A

61

EJEMPLO PSU-12: Si t3232 =−−+ , entonces el valor de t2 – 2 es:

2)E2)D

32)C

0)B232)A

−

−

EJEMPLO PSU-13: =−a1)25,0(

a

2a

2a

a1

a

21

)E

21

)D

21

)C

21

)B

21

)A

−

−

−

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de

22 x5xy ++= I) (2,5) II) (2,-5) III) (2,-1) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II y III E) Ninguno de ellos EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?

24

6)III

333)II

82)I

+

⋅

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

62

EJEMPLO PSU-16: =−

−+ 22

3

22

6

2236

)E

2296

)D

296)C

22

3)B

0)A

−

−

−

EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

xx)E

1x)D

xx1

)C

xx1

)B

xx)A

<

>

>

<

>

EJEMPLO PSU-18: =⋅ −3 3x 2727

3x

3x

3x

9x3

9x

3)E

9)D

3)C

33)B

2727)A

−

+

+

−

−

⋅

⋅

EJEMPLO PSU-19: Dados los números reales 23− ,311

− , 7− , 32− ,3

14− , al

ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el centro es:

3

14)E

311

)D

7)C

23)B

32)A

−

−

−

−

−

63

EJEMPLO PSU-20: =+− )253)(325(

0)E47)D7)C

524)B

525)A −

EJEMPLO PSU-21: El número 162 es igual a:

( )14

4

4

2)D

2)C

32)B

2)A

E) Ninguno de los números anteriores

64

VIII. ECUACIONES: (a) Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita. (b) Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contenga fracciones. (c) Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos: Paso 1: Leer con atención el problema. Paso 2: Anotar los datos del problema. Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por un literal (letra). Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación. Paso 5: Resolver la ecuación. Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos. PROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un

número. La fracciónba de un número x se calcula multiplicando

ba por x.

PROBLEMAS DE DÍGITOS Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un número de la

forma x y z queda representado por x · 102 + 101 + z · 100 PROBLEMAS DE EDADES En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda:

Edad pasada (hace b años)

Edad Actual Edad futura (dentro de c años)

x - b x x + c y - b y y + c

B. ECUACIONES LINEALES: La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:

212

212AB )yy()xx(d −+−=

65

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son

PENDIENTE DE UNA RECTA Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA Sea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces: (α = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0)

L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva (α = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º < α < 180º) si y sólo si (m < 0)

L es paralela al eje y L tiene pendiente negativa ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es

66

CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la ecuación anterior se escribe:

Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posición ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Toda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y los números A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta. Si se despeja y en función de x se obtiene la ecuación principal:

BC

nyBA

mdondeBC

xBA

y−

=−

=−

+−

=

RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:

RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces:

67

SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales. Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones. OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta en un sistema de ejes coordenados. MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades. i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (figura 1). ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2). iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3).

21 LL ∩ 2121 LLLL ==∩ =∩ 21 LL ∅ (Vacío) RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos: sustitución y reducción. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita. MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.

68

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Sea el sistema:

=+

=+

222

111

cybxa

cybxa Entonces:

* El sistema tiene solución única si 2

1

2

1

bb

aa

≠

* El sistema tiene infinitas soluciones si 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

==

* El sistema no tiene solución si 2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

≠=

EJEMPLO PSU-1: La ecuación de una recta es x – my – 2 = 0. Si el punto (–2, 8) pertenece a esta recta, entonces el valor de m es A) –2 B) –3

C) –21

D) 21

E) 2 EJEMPLO PSU-2: Una recta que contiene al punto P1 de coordenadas (1, 3) tiene pendiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene al punto P2 de coordenadas (8, 2). Ambas rectas se cortan en el punto P cuya abscisa x vale A) − 5 B) − 2 C) 2 D) 5

E) −21

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación52

15x1

=− ?

A) - 5 B) 5 C) – 25 D) 25 E) – 35

69

EJEMPLO PSU-4: En un supermercado el precio de costo de un kilogramo de pan es de $ 600 y lo venden en $ 820; las conservas de mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en $ 1.060. Si la política de asignación de precios del supermercado es lineal, ¿cuál es el precio de venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400? A) $ 600 B) $ 580 C) $ 547 D) $ 537 E) $ 530 EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces ¿cuál de las siguientes opciones representa a la ecuación de la recta L1?

)2x(45

y)E

2x54

y)D

)2x(54

y)C

)2x(45

y)B

2x45

y)A

−−=

−=

−=

−=

−=

EJEMPLO PSU-6: La relación entre las temperaturas Fahrenheit y Celsius es lineal. Si se sabe que 32º F corresponde a 0º C y 212º F corresponde a 100º C, entonces ¿cuál es la temperatura en grados Celsius que corresponde a 55º F aproximadamente? A) – 21º C B) – 12,7º C C) 12,7º C D) 23º C E) 25,9º C EJEMPLO PSU-7: La ecuación (2 – k)x + 3y – 4 = 0 representa una recta perpendicular a la recta cuya ecuación es – 6x + y – 9 = 0. ¿Cuál es el valor de k? A) 20

B) 23

C) 8

D) 27

E) 613

70

EJEMPLO PSU-8: Si ==− xentonces,9x3

1

83

)E

38

)D

29

)C

92

)B

29

)A

−

−

−

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 3x + y = 4 con y + x = 0?

A) B) C)

D) E)

EJEMPLO PSU-10: En el sistema,

−=+

=−

11y4nx9myx3

¿Qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el par (1,−3) ? m n A) − 2 1 B) − 2 − 1 C) 2 1 D) 4 −23 E) Ninguno de los valores anteriores

71

EJEMPLO PSU-11: En la figura, la ecuación de L1 es y + x = 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) L1 // L2 II) La ecuación de L2 es y = -x + 3 III) Ambas rectas tienen igual inclinación respecto del eje x A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-12: La intersección de las rectas y = 5 – x e y = x – 1 es el punto: A) (2,3) B) (2,1) C) (3,-2) D) (0,2) E) (3,2) EJEMPLO PSU-13: Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tendrá Juan en un año más? A) 21 años B) 20 años C) 16 años D) 15 años E) 11 años EJEMPLO PSU-14: Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean repartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar la cuenta y si cada uno pone $ 6.500 sobran $ 500. ¿Cuál es el valor de la cuenta? A) $ 20.000 B) $ 22.000 C) $ 25.500 D) $ 26.000 E) $ 29.500

72

EJEMPLO PSU-15: La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos de harina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo de harina?

)p3s$()E

2ps

$)D

2p3s

$)C

2p3s

$)B

)p3s$()A

+

−

+

−

−

EJEMPLO PSU-16: Si x311x2

3−

−=− , entonces ¿cuánto vale x?

4)E2)D52

)C

74

)B

72

)A

−

EJEMPLO PSU-17: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es: A) 9 B) 16 C) 18

D) 1027

E) Ninguno de los valores anteriores EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuación x = a? A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a). B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0). C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a). D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0). E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a).

73

EJEMPLO PSU-19: Un padre reparte 12.000 hectáreas entre sus tres hijos. Al menor le da x

hectáreas, al del medio los 32 de las hectáreas del menor y al mayor la mitad de las

hectáreas de su segundo hijo. El hijo mayor recibió A) 2.000 hectáreas B) 4.000 hectáreas C) 5.333,3 hectáreas D) 6.000 hectáreas E) 8.000 hectáreas

EJEMPLO PSU-20: ¿Para qué valor de k el sistema

=+

=−

3y2x32kyx5

no tiene solución?

A) 2 B) -2

C) -310

D) -34

E) -23

EJEMPLO PSU-21: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 13

2x−=

+ ?

A) -9 B) -5 C) -1

D) 31

E) 1 EJEMPLO PSU-22: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO es equivalente a la ecuación 0,03x = 5,2?

2,5x103)E

2,5x1003

)D

51

5x1003

)C

102,5x3)B

526

x03,0)A

2

2

=⋅

=

=

⋅=

=

−

−

74

EJEMPLO PSU-23: Si

=+

=+

32

b1

a1

6ba, entonces ba ⋅ =

1)E32

)D

31

)C

9)B3)A

EJEMPLO PSU-24: Dada la recta de ecuación y = 2x y (2,1) es el punto medio del segmento que corta a la recta en P y al eje x en Q. Las coordenadas del punto P son:

23

,21

)B

1,21

)A

C) (4,2) D) (2,4) E) (1,2) EJEMPLO PSU-25: En un local de flores se venden claveles por unidades. Juan y Luis compran en el local 1 ramo de claveles cada uno. El ramo de Juan tiene 12 claveles y le costo $ a. ¿Cuánto pagó Luis por su ramo si tiene 4 claveles más que el de Juan? A) 4a B) 16a

C) 3a

D) 4a3

E) 3a4

EJEMPLO PSU-26: La señora Pilar acostumbra a comprar todas las semanas 3 kilogramos de plátanos y 2 kilogramos de manzanas. Cierta semana gastó $1.850. Como en la semana siguiente los plátanos habían subido $ 50 por kilogramo y las manzanas habían bajado $ 30 por kilogramo, cambio su costumbre y compró 2 kilogramos de plátanos y 3 kilogramos de manzanas y gastó $1.910. ¿Cuánto costaba el kilogramo esa cierta semana? A) $450 B) $350 C) $400 D) $346 E) $292

75

EJEMPLO PSU-27: Al ubicar los puntos A(-1,-2), B(5,-2) y C(5,3), en el sistema de ejes coordenados, se pude afirmar que:

BCtrazodelpuntounes)5,0()III

XejealparaleloesAB)II

BCAB)I ⊥

Es(son) correcta(s): A) Solo II B) Solo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-28: Según el sistema

−=−

+=+

b3a7yxb3a7yx

, ¿cuál es el valor de y?

A) 6b B) 3b C) b D) -b E) -3b EJEMPLO PSU-29: Dada la recta L, donde a y b son positivos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La pendiente de la recta L es negativa. II. El punto (a, b) pertenece a la recta.

III. La recta L es perpendicular a la recta y = b

ax .

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III EJEMPLO PSU-30: Tres números enteros consecutivos suman cero. Entonces es verdadero que: I) El número mayor y el menor suman cero II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) La diferencia entre el mayor y el menor es cero A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

76

EJEMPLO PSU-31: En la figura se muestra el gráfico de la recta de ecuación y = px + q. ¿Cuál es el valor de q? A) 1 B) 2 C) 0 D) -1 E) -2 EJEMPLO PSU-32: Si 24)4x2(23 =+⋅ , entonces x es igual a: A) -4 B) 0 C) 3 D) 4 E) 36 EJEMPLO PSU-33: Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a: A) -20 B) -10 C) -30 D) 10 E) 30 EJEMPLO PSU-34: Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte? A) 250 cm y 50 cm B) 150 cm y 150 cm C) 175 cm y 125 cm D) 200 cm y 100 cm E) Ninguna de las medidas anteriores EJEMPLO PSU-35: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de AD y de BC no es un número real II) La pendiente de DC es cero III) La pendiente de AB es positiva A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

77

EJEMPLO PSU-36: Hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de sus edades en a años más? A) (11 + 3a) años B) (11 + 2a) años C) (11 + a) años D) (8 + 3a) años E) (5 + 3a) años EJEMPLO PSU-37: Jorge compró tres artículos distintos en $ (4a + b). El primero le costó $ a y el segundo $ (2a – b). ¿Cuánto le costó el tercero? A) $ a B) $ 7a C) $ (3a – b) D) $ (3a + 2b) E) $ (a + 2b) EJEMPLO PSU-38: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es A) 6 B) 7 C) 8 D) 14 E) ninguno de los anteriores.

EJEMPLO PSU-39: Si 42

1t2=

−, entonces t =

27

)E

29

)D

23