librodemicroeconomiadezambranoguerra

8/2/2019 librodemicroeconomiadezambranoguerra

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Notas de Microeconoma IUniversidad del Rosario

Andrs Zambrano Jos Alberto Guerra ngela Snchez

September 18, 2006


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Contents

Introduccin ix

I Teora del Consumidor 1

1 Nociones Primitivas 31.1 Mercancas y precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Conjunto de consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Conjunto presupuestal (restriccin presupuestaria) . . . . . . . . 7

1.3.1 Numerario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Variaciones de la recta presupuestaria . . . . . . . . . . . 10

2 Preferencias y su Representacin 15

2.1 Relaciones de preferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Axiomas de la teora del consumidor . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Representacin de las Preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Utilidad Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Tasa Marginal de Sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Elasticidad de Sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Algunas funciones de utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.1 Preferencias Homotticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.2 Preferencias Cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.3 Preferencias que no cumplen supuestos tradicionales . . . 322.7 Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7.1 Preferencias especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Eleccin del Consumidor 37

3.1 Problema de Maximizacin de la Utilidad (PMU) . . . . . . . . . 373.1.1 Planteamiento del problema y de su solucin . . . . . . . 383.1.2 Propiedades de la demanda marshalliana (x(p; w)) . . . . 453.1.3 Propiedades de la Utilidad Indirecta (v(p; w)) . . . . . . . 47

3.2 Problema de Minimizacin del Gasto (PMG) . . . . . . . . . . . 49

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iv CONTENTS

3.2.1 Planteamiento del problema y de su solucin . . . . . . . 493.2.2 Propiedades de la Demanda Hicksiana . . . . . . . . . . . 53

3.2.3 Propiedades de la funcin de gasto . . . . . . . . . . . . . 543.3 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1 Funcin de Utilidad Indirecta y Funcin de Gasto Mnimo 57

3.3.2 Demanda Marshaliana y Demanda Hicksiana . . . . . . . 58

3.3.3 Demanda Hicksiana y Funcin de Gasto . . . . . . . . . . 593.3.4 Demanda Marshaliana y la Funcin de Utilidad Indirecta 59

3.4 Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.1 Efecto de los impuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.2 Recuperacin de las Preferencias . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Funciones de Demanda 63

4.1 Demandas individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.1 Demanda Marshaliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.2 Demanda Hicksiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.3 Ecuacin de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.4 Medidas de bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 Demanda Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2 Obtencin de la demanda agregada . . . . . . . . . . . . . 934.2.3 Tipos de curva de demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.4 Desplazamientos de la curva de Demanda Agregada . . . 944.2.5 Bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 Preferencia Revelada 995.1 El Axioma Dbil de Preferencia Revelada . . . . . . . . . . . . . 99

5.1.1 Ley de demanda compensada . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.1.2 Ecuacin de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.1.3 Recuperacin de preferencias a partir de la preferencia

revelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 El axioma fuerte de la preferencia revelada . . . . . . . . . . . . 1095.3 Extensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.3.1 Los nmeros ndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6 Eleccin Intertemporal 1136.1 Restriccin presupuestaria intertemporal . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.1 Construccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.1.2 Inacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.1.3 Desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.2 Preferencia por el consumo intertemporal . . . . . . . . . . . . . 1176.3 La solucin y esttica comparativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


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CONTENTS v

6.3.1 Preferencia revelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3.2 Ecuacin de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7 Eleccin bajo incertidumbre 121

7.1 Teora de la Utilidad Esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.1.1 Preferencias entre loterias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.1.2 Discusin sobre la teora de la utilidad esperada . . . . . 124

7.2 Loterias y Aversin al Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2.1 Cmo medir la aversin al riesgo . . . . . . . . . . . . . . 1287.2.2 Informacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

II Teora del Productor 131

8 Produccin 133

8.1 Conjuntos de produccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.1.1 Propiedades de los conjuntos de produccin . . . . . . . . 1358.1.2 Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9 Maximizacin de los benecios 143

9.1 El principio de Le Chatelier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.2 Axioma dbil de la maximizacin de benecio . . . . . . . . . . . 148

10 Problema de la minimizacin del costo 151

11 Maximizacin de benecios a partir de la produccin 155

11.1 Competencia Perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.2 Competencia Imperfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

12 Dualidad Teora del Productor 159

12.1 Recuperacin de la Funcin de Produccin. . . . . . . . . . . . . 16012.1.1 Enfoque grco de la Dualidad: . . . . . . . . . . . . . . . 162

13 La Geometra del Costo y de la Oferta en el caso de un soloproducto 163

13.1 Diferencia entre el Corto y Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . 16313.1.1 Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16313.1.2 Corto Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

13.2 Relacin entre el corto y el largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . 169


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vi CONTENTS

III Equilibrio Parcial 175

14 Equilibrio Competitivo 17714.1 El equilibrio en el corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17914.2 El equilibrio en el largo plazo y con libre entrada . . . . . . . . . 18014.3 El control de los precios, los impuestos y cuotas de produccin . 183

14.3.1 El control de precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18314.3.2 Los impuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185


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Prefacio

La economa, como ciencia social, estudia las distintas interrelaciones que ocur-ren entre los agentes de una sociedad en el contexto de un mercado. Quiz laparticularidad de esta ciencia, que la distingue de las otras ciencias sociales, sonlos instrumentos de los que se vale para lograr su objetivo: el uso formal de lasmatemticas y la estadstica. Sin embargo, esta ciencia no es autocontenida nitampoco logra describir perfectamente la complejidad de estas interrelaciones.Es por esto que es necesaria la interdisciplinariedad de la economa con otrasciencias sociales y con las ciencias exactas. Esta interdisciplinariedad ha sidoparticularmente importante en los ltimos aos, prueba de esto es que varios delos ltimos premios Nobel de Economa han sido cientcos que han incursion-ado en esta ciencia a travs de ciencias sociales como la psicologa, o a travsde ciencias exactas como la matemtica y la estadstica.

Dentro de la Economa, la Microeconoma es cada vez ms importante en eldesarrollo de la teora. Lograr comprender el funcionamiento del mercado desdelos agentes es cada vez ms necesario para comprender los distintos problemasque se formulan en el mbito macroeconmico.

En el mercado se consiguen una gran variedad de libros de Microeconoma,cada uno de ellos dieren en los enfoques, el nivel de profundizacin y en lostemas que abordan. Mientras existen unos con un nivel avanzado de matemti-cas y son el texto gua de maestras y doctorados con un buen nivel, existenotros que dan las nociones de la microeconoma de una manera bsica y no muyformal, que estn diseados para el pregrado. El propsito de este libro es crearun texto con un nivel intermedio dedicado nicamente a los temas del consum-idor, productor y equilibrio parcial, temas que han sido reconocidos como losprimeros al momento de ensear la microeconoma. En principio, este libro hasido diseado como gua para los primeros cursos de Microeconoma en la Uni-versidad del Rosario. Esperamos que ste sea de ayuda, se difunda y pueda serusado por otras personas.

Ya que a lo largo del texto se quiere dar una formulacin de la teora con un

grado de formalidad considerable, el libro se destaca porque en el texto principalse seguir la descripcin de la teora teniendo en cuenta las interpretaciones delos conceptos y en los pies de pgina se har nfasis en la descripcin matemticade dichos conceptos y algunas demostraciones de los teoremas. Esto se hace conel n de permitir hacer su lectura de acuerdo a las necesidades de quin lo utilice.De esta forma, se recomienda la lectura cuidadosa de los pies de pgina para

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viii PREFACIO

aquellos que lo requieran o bien porque sus preferencias los lleven a leerlos.


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Introduccin

Las notas se componen de un resumen comprehensivo de los principales textosde Microeconoma seguidos por los programas de pregrado y posgrado de lasprincipales universidades en todo el mundo. Este libro se concentra principal-mente en la teora neoclsica que es hasta ahora la ms aceptada. Aunque estateora ha sido largamente criticada,1 tambin es cierto que ha demostrado ciertasolidez a lo largo del desarrollo de la teora econmica.

La teora econmica se caracteriza por imponer bastante estructura a losmodelos, en otras palabras, se encarga de establecer un buen nmero de supuestos.Muchos de ellos no son ciertos en la realidad, sin embargo se hacen necesarioscuando queremos focalizar nuestra atencin en una situacin en particular. Sibien la exclusin de un supuesto irreal puede acercar ms a la realidad el mod-elo, tambin es cierto que esta relajacin del supuesto puede llevar a que estecomplique de forma innecesaria, es decir, puede que se lleguen a resultadossimilares pero utilizando herramientas mucho ms sosticadas, en este caso notiene sentido excluir dicho supuesto. El problema de los supuestos se da cuandola exclusin pueda llevar aconclusiones signicativamente distintas.Al respecto,

Friedman sugiri que lo importante no era que la teora reejar todos los pro-cesos que involucraba la eleccin; por el contrario, debera examinarse si losresultados que arroja la teora son los mismos que suceden en la realidad. Porlo tanto, lo interesante ser poder demostrar que el agente se comporta como si("as if") cumpliera lo que dice la teora.

Este libro continua con esta losofa aunque desde una perspectiva crtica.Aqu se sealan las distintas crticas que se han hecho a la teora y algunas de lasextensiones que se han hecho con el n de corregir algunas de las diferencias entrela teora y la realidad y volverla ms til. El texto se divide en tres secciones:teora del consumidor, teora del productor y equilibrio parcial. La primeraseccin estudia el comportamiento del consumidor y los procesos que lleva a cabopara realizar su eleccin. La segunda seccin se centra en el comportamientode las rmas y los distintos problemas que debe solucionar. La ltima seccin

muestra cmo interctuan el consumidor y el productor en el mercado desde laperspectiva del equilibrio parcial.

1 Ver por ejemplo corrientes heterodoxas como el institucionalismo y el evolucionismo.

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x INTRODUCCIN


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Part I

Teora del Consumidor

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Chapter 1

Nociones Primitivas

"Often, you will notice we make certain assumptions purely for the sake ofmathematical expediency. The justication for proceeding this way is simple, and itis the same in every other branch science. These abstractions from "reality" allow us

to bring to bear powerful mathematical methods that, by the rigor of the logicaldiscipline they impose, help extend our insights into areas beyond the reach of our

intuition and experience" Jehle y Reny (2001)

(Resumen de: Cap. 1 Jehle y Reny, Cap. 2 MWG, Cap. 2 Varian,Economa Intermedia, Cap. 2 Debreu)

La teora del consumidor neoclsica describe el comportamiento de los indi-viduos teniendo en cuenta que ste se encuentra en una economa de mercado, esdecir, en un escenario donde los bienes y servicios que un consumidor adquiere

estn disponibles para la compra. De esta forma, el problema de un consum-idor puede resumirse como la eleccin de varios bienes y servicios que estndisponibles en el mercado. Es por eso que antes de comenzar debemos denirestos bienes y servicios, los cuales se llamarn mercancas, y a cada una de el-las le asociaremos un precio. La eleccin de varias mercancas la llamaremoscanasta.

Ahora bien, no todos tenemos acceso a toda clase de mercancas o inclusopodemos tener un acceso limitado solo a determinadas cantidades de estas.Teniendo en cuenta este hecho se denir entonces el conjunto de consumo,denido este como la coleccin de canastas que la persona realmente puedealcanzar.1 Posteriormente introduciremos la nocin de conjunto presupuestalcomo todas las canastas que la persona puede comprar dada su riqueza. Acontinuacin, se hablar del conjunto de posibilidades de consumo que resulta deintersectar el conjunto de consumo con la restriccin presupuestal. Las canastasque se encuentran en este conjunto sern nuestro centro de atencin ya queel problema que debe resolver el consumidor, desde el punto de vista de lamicroeconoma, es escoger la canasta que se encuentre en este conjunto que ms

1 Note que esto no tiene nada que ver con la riqueza del individuo.

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4 CHAPTER 1. NOCIONES PRIMITIVAS

le satisfaga. Por ltimo, nos concentraremos en describir las posibles variacionesdel cojunto presupuestal debido a cambios en precios, ingreso o la existencia de

impuestos o subsidios.

1.1 Mercancas y precios

Para la denicin de estos conceptos primero debemos denir un nmero nitode intervalos de tiempo que deben estar numerados en orden cronolgico de talforma que el presente sea el primer periodo. De una forma similar, el espaciodebe estar subdividido en un nmero nito de regiones (lugares). Los bienesy servicios, distinguidos segn sus caractersticas fsicas, tiempo y lugar, sellamarn mercancas. Por ejemplo, una barca de madera en una costa es unamercanca distinta a una barca de madera en el desierto. Ms an, una bufandagris en Paris en verano es distinta a la bufanda gris en Paris en invierno.2

Por simplicidad se asumir que el nmero de mercancas es nita e igual a L,indexados segn ` = 1;:::;L. La cantidad de una mercanca se expresa medianteun nmero real.3 Una canasta de mercancas (o accin) puede ser expresadamediante el vector x = (x1; x2;:::;xL) que pertenece a RL4 y ser una lista delos montos de las distintas mercancas, donde xl es la cantidad del bien l quepiensa adquirir. A RL se le llamar espacio de mercancas.

Example 1 Suponga que en un mercado existe 4 mercancas: panes de lapanadera del barrio hecho el da de hoy, panes de la panadera del barrio hechoayer en la tarde, balones de ftbol nuevos marca Golty y botellas de agua de 500ml. De esta forma, el espacio de mercancas est representado por R4. As,el punto x = (2; 2; 1; 0) 2 R4 indica una canasta que contiene dos panes de la

panadera del barrio hecho el da de hoy, dos panes de la panadera del barriohecho ayer en la tarde, un baln de ftbol nuevo marca Golty y ninguna botellade agua de 500 ml.

Por simplicidad y mejor entendimiento, usualmente el anlisis se realizarpara dos bienes, i.e L = 2 (por tanto una canasta ser un punto en el espacioR2). Aun cuando se pierde informacin, esto puede resultar til cuando sequiere analizar el comportamiento de una mercanca ya que las dems se puedenagregar como una nica mercanca. Por ejemplo, si se quiere analizar en detallela demanda de balones de ftbol nuevos marca Golty, vale la pena trabajar conesta mercanca y otra que agregue todas las otras mercancas que existan en elmercado.

2 Como lo sugiere Debreu "la descripcin temporal y espacial es un tema central en

economa. El estudio de los cambios en las fechas lleva a las teoras del inters, ahorro,inversin y capital, conocido tambin como nanzas. El estudio de los cambios en el espaciotiene que ver con las teoras espacial, de transporte, comercio internacional e intercambio".

3 Normalmente se asume que estas cantidades son no negativas. Sin embargo, en algunoscasos, es usual utilizar nmeros negativos para denotar insumos.

4 Recuerde que R = fx : 1 < x < 1g, por tanto R2 = R R = f(x1; x2) : x1 2 R; x2 2Rg y RL = f(x1; x2;:::;xL) : x1 2 R; x2 2 R;:::;xL 2 Rg.


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1.2. CONJUNTO DE CONSUMO 5

Para cada mercanca, digamos h, se asocia un nmero real, su precio ph.Este puede ser interpretado como la cantidad pagada hoy por un agente por

cada unidad de la mercanca h que le ser entregada. As, un vector de precioses una l-tupla p = (p1; p2;:::;pL), que tambin pertenece a RL.5 Estos preciospueden ser los normalmente conocidos pero tambin pueden ser salarios, rentas,etc. Note que un mismo bien puede tener distintos precios segn el tiempo yel lugar donde est denido. En el rea de las nanzas, el mercado de futurosmuestra el precio de distintos bienes que estarn disponibles en el futuro. Porejemplo, un saco de caf puede tener un valor distinto si est disponible hoy osi est disponible en algn momento del futuro.

Los precios pueden ser positivos (mercancas escasas), nulos (mercancas li-bres como el aire) o negativos (mercancas nocivas conocidas tambin comomales, e.g basura). El hecho de que estos precios sean positivos, nulos o nega-tivos no es una propiedad intrnseca de la mercanca; depende del gusto de losagentes, de la tecnologa, los recursos, etc. Por ejemplo, durante mucho tiempo,la materia fecal era considerada nociva y la gente pagaba para que esta fueraretirada (precio negativo); sin embargo, debido a nuevas tecnologas, esta puedeutilizarse como abono para plantas de tal forma que en algunas partes se pagaun precio positivo por esta.

El valor de una canasta es la cantidad de dinero que un individuo debe pagaren el mercado para adquirir dicha canasta. Dadas las anteriores deniciones,podemos calcular el valor de una canasta mediante el producto interno p x, esdecir,

PLl=1plxl.

Example 2 Continuando el ejemplo anterior, suponga que el vector de preciosde este mercado es p = (2; 1; 5; 1). Note que el pan viejo vale la mitad quelo que vale el pan nuevo e igual que la botella de agua. Si el individuo quiere

comparar la canasta antes mencionada,x = (2; 2; 1; 0)

, deber pagarp x =

2 2 + 1 2 + 5 1 + 1 0 = 11.

1.2 Conjunto de consumo

El conjunto de consumo de un individuo esta compuesto por todas las canastasque son posibles de adquirir en el mercado, de tal forma que puede estar limitadopor restricciones fsicas. El ejemplo ms simple es que a un consumidor le seraimposible consumir cantidades negativas de pan o de agua. As, el conjuntode consumo X puede denirse como un subconjunto del espacio de mercancas,X RL, siendo L el nmero de bienes en la economa. Sus elementos son lascanastas de consumo que un individuo puede consumir dadas las restriccionesfsicas impuestas por su ambiente. Por ejemplo, si L = 2, (vase 1.1, la siguientegrca es tomada de MWG (1995)) siendo los bienes carne y ocio en un da,se tendra que ambos bienes deben ser positivos pero adems que el consumode ocio en un da no puede superar las 24 horas (vase la siguiente gura). De

5 Es p or esto que en economa matemtica se dice que el espacio de precios es un espaciodual al espacio de mercancas.


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igual manera, el conjunto de consumo entre pan en Bogot o pan en Cali sercomo se muestra en la grca: existe una imposibilidad de comer un pan en Cali

mientras se est en Bogot. La siguiente grca plantea el problema cuando elconsumidor requiere un mnimo de consumo de agua y de pan para sobrevivir.La ltima de las grcas muestra cuando uno de los bienes es perfectamentedivisible (x2) y el otro (balones) nicamente pude ser consumido en cantidadesenteras positivas.

1. 2.

Horas de Pan enOcio Bogot

24

Carne Pan en Cali3. 4.

Litros de x2Agua

4

4 Tajadas de pan 1 2 3 Balones

X X

X

X

Figure 1.1: Conjuntos de consumo

Adems de las restricciones fsicas que pueden darse, existen algunas re-

stricciones que se deben a legislaciones, como por ejemplo una jornada laboralmxima, u otras cuestiones.Por ahora, la nica restriccin que vamos a imponer es que las cantidades

sean no negativas, de esta forma se dene

X = RL+ =

x 2 RL : xl 0 para l = 1;:::;L

;

Este conjunto se caracteriza por tener las siguientes propiedades:

1. ; 6= X RL+

2. X es cerrado6

6 Existen varias deniciones de un conjunto cerrado. Una de ellas es que A se dice cerradosi contiene sus puntos de acumulacin. Usualmente el conjunto de puntos de acumulacin esdenotado por A0. Se dice que x 2 A0 si existe una sucesin fxng A tal que xn ! x. Esta

denicin es equivalente a que si hacemos una bola de cualquier tamao alrededor de x, enesa bola siempre existirn puntos de A.

Cuidado, que un conjunto no sea cerrado, no signica que este sea abierto. Existen conjuntosque son cerrados y abiertos al mismo tiempo y conjuntos que no son cerrados ni abiertos.De hecho, los conjuntos que no tienen lmites son abiertos y cerrados, por ejemplo R. Losconjuntos que tienen varios lmites y algunos de estos hacen parte del conjunto mientras queotros no, no son abiertos ni cerrados, por ejemplo [5; 10).


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1.3. CONJUNTO PRESUPUESTAL (RESTRICCIN PRESUPUESTARIA)7

3. X es convexo7

4. 0 2 X8

La primera propiedad, que el conjunto sea no vaco, nos dice que el conjuntode consumo debe tener por lo menos una canasta. La siguiente propiedad exigeque el conjunto contenga sus lmites, si los tiene. La tercera propiedad indicaque si dos canastas se encuentran en el conjunto, la combinacin entre ellastambin va a estar all. La ltima propiedad permite que el consumidor tomela decisin de no consumir nada.9

La grca 1.1 y la grca 1.3 son conjuntos convexos, mientras que la 1.2y la 1.4 no lo son. Si modicaramos la grca 1.1 al imponer la restriccin deque es obligatorio tomar algo de ocio en el da de tal forma que no fuera posibleescoger un punto a lo largo del eje x donde las cantidades de ocio son cero,estaramos frente a un conjunto de consumo abierto, pues no contendra dicho

lmite.

1.3 Conjunto presupuestal (restriccin presupues-taria)

Adems de las restricciones fsicas anteriormente mencionadas se encuentran lasrestricciones econmicas del consumidor, su consumo est limitado por aquellascanastas de consumo que el individuo puede comprar. Se supone que los preciosde las L mercancas son conocidos por todos los agentes del mercado; de igualmanera se asumir que el vector de precios es estrictamente positivo, esto es

p = (p1;:::;pl) 0. Tambin se supone que los consumidores no inuyen en

lo precios, es decir se comportan como precio aceptantes. Este supuesto esvlido cuando la demanda del consumidor por cualquier bien representa slouna pequea fraccin de la demanda total del bien.

De esta forma, una canasta de consumo depende de dos cosas: los preciosdel mercado p, y el nivel de riqueza del individuo w: Por lo tanto se deneel conjunto presupuestal (o walrasiano) como Bp;w = fx 2 RL+ : p x wg.Esto signica que la canasta se podr comprar si su costo no excede su riqueza

7 Un conjunto X se dice convexo si para todo x; x0 2 X entonces x00 = ax + (1 a)x0 2 Xpara cualquier a 2 [0; 1]. En este caso, x00 se conoce como la combinacin convexa entre x yx0.

Note que x00 representa a todos los puntos de la lnea que une a x y x0. Entre ms seacerque a a 1, ms se acerca x00 a x; y entre ms se acerque a 0, ms se acerca a x0. Paraverlo claramente tome x = (8; 4) y x0 = (4; 8). Cuando a = 1, x00 = x. Si a = 0, x00 = x0.Cuando a = 1=2, x00 = (6; 6), justo en la mitad de los dos puntos. Si a = 1=4, x00 = (5; 7),

ms cerca de x0. Y si a = 3=4, x00 = (7; 5), ms cerca de x.As, que un conjunto sea convexo implica que la lnea que une a dos puntos cualesquiera de

ese conjunto, debe estar totalmente dentro dicho conjunto.8 Note que el cumplimiento de esta propiedad lleva a que el conjunto sea no vaco (primera

propiedad).9 Para que un conjunto sea de consumo no necesariamente debe cumplir las anteriores

propiedades. Como se vi, los conjuntos de consumo tienen formas diversas.


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(ingreso). Note que este conjunto tambin cumple las propiedades mencionadasanteriormente para el conjunto de consumo.

La interseccin entre el conjunto de consumo y el conjunto presupuestalse denominar el conjunto de posibilidades de consumo. Este conjunto estarcompuesto por todas las canastas que el individuo encuentre disponibles en elmercado y que pueda comprar. Si suponemos que el conjunto de consumo es elortante positivo, como se deni antes, entonces el conjunto de posiblidades deconsumo es el mismo conjunto presupuestario. As, el problema del consumidorpuede ser establecido como escoger una canasta de consumo x de Bp;w.10

Para el caso de dos bienes (el cual, como ya se mencion anteriormente,demandar gran parte de nuestro curso por facilidad) si se observan los pre-cios (p1; p2) y la cantidad de dinero que el consumidor tiene para gastar w, larestriccin presupuestaria o conjunto presupuestario ser

p1x1 +p2x2 w

siendo p1x1 la cantidad de dinero que el consumidor gasta en el bien 1, yp2x2 la cantidad de dinero que gasta en el bien 2, y por tanto la expresinanterior nos est diciendo que lo que el consumidor gasta en el consumo de losdos bienes no puede superar su riqueza inicial. Por ltimo se entender comorecta presupuestaria todas aquellas cestas que cuestan exactamente w:

p1x1 +p2x2 = w

La gura 3 representa lo anterior.

x2recta presupuestaria

w/p2 p1x1+p2 x2=wpendiente: -p1/p2

Conjunto

presupuestario

Bp,w

x1w/p1

Figure 1.2: Recta presupuestaria

Esta ecuacin puede reexpresarse como x2 = wp2 p1p2

x1, si el individuogastara toda su renta en el bien 1 su consumo sera x1 = wp1 , por tanto los

10 Cuidado, este problema puede no tener solucin si dicha interseccin entre el conjunto deconsumo y el conjunto presupuestal no existe.


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cortes con los ejes representa la cantidad de cada bien si el individuo decidieragastar todo su ingreso en comprar slo uno de los bienes.

La pendiente de esta recta es p1=p2 lo que indica cuntas unidades delbien 2 necesita consumir el individuo para satisfacer exactamente la restriccinpresupuestal si reduce su consumo del bien 1 en una unidad, es decir, mide larelacin en la que el mercado est dispuesto a sustituir el bien 2 por el bien 1.En trminos matemticos, para derivar esta relacin hay que preguntarse si elconsumidor va a aumentar el consumo del bien 1 en 4x1 en cunto deber mod-icar el consumo del bien 2 (4x2) para satisfacer su restriccin presupuestal?

Para resolverlo se toma la restriccin presupuestal

p1x1 +p2x2 = w

luego se le suman las variaciones en el consumo de cada bien

p1(x1 + 4x1) +p2(x2 + 4x2) = w

luego se restan las ecuaciones anteriores y se tiene que

p1 4 x1 +p2 4 x2 = 0

Esto nos dice que el valor total de la variacin de su consumo debe ser cero puesno hay un cambio en el ingreso. Despus se halla la pendiente

4x2= 4 x1 = p1=p2

que es la relacin a la que puede sutituirse el bien 2 por el 1 satisfaciendo almismo tiempo la restriccin presupuestaria. La pendiente de la recta presupues-taria tiene signo negativo ya que si se desea consumir una mayor cantidad delbien 1 tiene que consumirse una cantidad menor del bien 2. Esto puede enten-derse como el costo de oportunidad de consumir el bien 1.

Example 3 Supongamos que solo tenemos pan viejo, cuyo precio es 1, y pannuevo, cuyo precio es 2. Ahora suponga que el ingreso es de10. De esta forma,todas las canastas de pan viejo y nuevo que puede comprar esta dada por laecuacin x1 + 2x2 10, donde x1 es pan viejo y x2 es pan nuevo. As, lomximo que puede comprar de pan viejo son 10 unidades, mientras la cantidadmxima que puede comprar de pan nuevo son 5 unidades.

1.3.1 Numerario

Teniendo en cuenta lo anterior, suponga que multiplicamos todos los precios y elingreso por la constante s = 1=p2. As que la ecuacin de la recta presupuestalla podemos ver como p1

p2x1 + x2 =

wp2

. Esto puede ser interpretado como que elprecio del segundo bien es uno mientras el precio del primer bien es p1=p211 y su

11 Esto puede ser interpretado como el precio relativo del primer bien con respecto al preciodel segundo bien.


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ingreso w=p2. Como se dijo anteriormente, esta ser la misma recta presupues-taria a la que se tena antes de multiplicar por la constante s. Esto signica

que el consumidor solo se jar en los precios relativos y uno en los absolutos.Este hecho permitir que siempre podamos igualar el precio de un bien a unosin perder generalidad en el problema, esto puede llegar a ser til porque desa-parece un precio y tendremos una variable menos de que preocuparnos. Cuandoel precio de determinado sea igualado a uno este bien se denominar numerario.

1.3.2 Variaciones de la recta presupuestaria

Como vimos, la recta presupuestal depende de los precios y de la riqueza del in-dividuo, y estos a su vez pueden estar afectados por la existencia de impuestos osubsidios. Si estos parmetros cambian entonces el conjunto presupuestal tam-bin debe ser modicado. En esta seccin mostraremos las distintas variaciones

del conjunto presupuestal.

Variaciones de la renta

Supongamos primero que existe un incremento en la renta percibida del con-sumidor, w0 > w. Esto lleva a que exista un desplazamiento paralelo haciaafuera de la recta como se muestra en la gura 1.3 e implica que el corte delos ejes sea ms lejano al origen, w0=pi > w=pi para i = 1; 2. Este desplaza-miento hace que el nuevo conjunto presupuestal contenga el anterior conjuntopresupuestal, Bp;w Bp;w0 , es decir, el individuo podr comprar las mismascanastas de antes e incluso unas con cantidades mayores.Si por el contrario ex-iste una disminucin de la riqueza, la recta se desplazar paralelamenta haciaadentro. Note que los desplazamientos son paralelos porque la pendiente de la

recta presupuestal se mantiene constante ya que esta no depende de la riqueza,est depende nicamente de los precios y estos no han sido modicados.

x2

w/p2

w/p2

x1

w/p1 w/p1

Figure 1.3: Variacin de la recta presupuestaria ante un aumento en el ingreso


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Variaciones del precio de un bien

Supongamos que el precio del bien 1 aumenta, p0

1 > p1, esto lleva a que existauna rotacin de la recta hacia adentro como lo muestra la gura 1.4. Estohace que el nuevo conjunto presupuestal este contenido en el anterior conjunto,Bp0;w Bp;w, es decir que el individuo ya no puede comprar algunas canastasque antes s poda comprar. Note que cambia tanto el corte en el eje x1 porqueel precio del bien 2 no ha sido modicado, como la pendiente de la recta que sevuelve ms acostada. El anlisis es anlogo si cambiara el precio del bien 2.

x2

w/p2

x1w/p1 w/p1

Figure 1.4: Variacin de la recta presupuestaria ante un aumento de p1

Multiplicar ambos precios por una misma cantidad equivale a dividir la rentapor esa misma cantidad (si se multiplica tanto los precios como la renta por unaconstante t la recta presupuestaria no vara).

tp1x1 + tp2x2 = w es lo mismo que p1x1 +p2x2 = w=t

Variaciones simultneos de precios y renta

Tambin es posible que existan cambios simultneos en estas variables, puedepasar que cambien solo los precios o que haya un cambio de los precios y dela riqueza al mismo tiempo. En el caso en que cambien solo los precios si

p2 sube ms que p1 se da que p1=p2 disminuye en valor absoluto y la rectapresupuestal se tornar ms horizontal. En el caso contrario, la pendiente sevolver ms vertical. Si los dos precios cambian en la misma proporcin, digamos, la pendiente permanecer inmovil pero se provocar un desplazamiento dela recta hacia adentro si > 1, en cuyo caso equivale a una disminucin del

ingreso, o hacia afuera si 0 < < 1, lo cual equivaldra a un aumento del ingreso.Para ver esto note que la nueva restriccin presupuestaria puede escribirse comop1x1 + p2x2 = w, que es lo mismo que p1x1 + p2x2 = w=, donde w= < wsi > 1 o w= > w si 0 < < 1. Note que la nueva pendiente es p1=p2 =p1=p2 y los cortes w=p1 y w=p1, estos ltimos tambin varan dependiendode la magnitud de .


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En el caso en que w disminuye y p1 y p2 aumentan, disminuirn los puntosde corte en los ejes (ya que varan w=p1 y w=p2), entonces hay un desplaza-

miento hacia adentro de la recta. Note tambin que si los precios y el ingresoaumentan en la misma proporcin la recta presupuestaria permanecer igual yaque tendramos que p1x1 + p2x2 = w que es lo mismo que p1x1 +p2x2 = w.La interpretacin de esta hecho puede ser si existe una inacin perfectamenteequilibrada en la que todos los precios y todas las rentas varan en una mismatasa, el conjunto presupuestario de las personas no se ver alterado y por tantono puede afectar la decisin ptima de nadie.

Existencia de impuestos, subvenciones o racionamiento

Muchas veces la economa poltica necesita de la utilizacin de impuestos y sub-sidios para lograr algunos propsitos. La existencia de estos impuestos afectaalgunas variables econmicas y una de estas es la restriccin presupuestal. Ex-

isten distintos tipos de impuestos y subsidios:1. Impuesto de suma ja: el Estado se lleva una cantidad ja ( T) de dinero

independientemente de la conducta que lleve el consumidor, la recta pre-supuestal se desplaza paralelamente hacia adentro ya que la renta serw T, as que corresponde a una disminucin del ingreso. En el caso deun subsidio de suma ja el estado le entrega al individuo una suma ja dedinero.

2. Impuesto sobre la cantidad: el consumidor tiene que pagar por cadaunidad que compra de ese bien. Este impuesto es exactamente lo mismoque un precio ms alto. Supongamos que un impuesto t se cobrar so-bre cada unidad del bien 1, la nueva recta presupuestaria del individuoser (p1 + t)x1 + p2x2 = w lo que implica que su pendiente sea ms in-

clinada. As, el estado recaudar tx1. En el caso de una subvencin osubsidio a la cantidad el Estado le da al consumidor una cantidad dedinero por cada unidad que compre del bien. Esto puede verse como unadisminucin del precio de tal forma que la nueva recta presupuestal ser(p1 s)x1 +p2x2 = w.

3. Impuesto sobre el valor o ad valorem: es un impuesto sobre el precio delbien y no sobre la cantidad que se compra de l (e.g IVA). Si el bien 1 tieneun precio de p1 y est sujeto a un impuesto sobre las ventas cuyo montoes 12 el precio real que tiene que pagar el consumidor ser (1 + )p1. ElEstado obtendr p1. En el caso de un subsidio o subvencin ad valoremelEstado da el subsidio segn el precio del bien que se quiere subvencionar,(1 )p1.

4. Racionamiento: consiste en establecer la cantidad mxima que puede con-sumir el individuo. Por ejemplo suponga que se impide el consumo dex1 mayor que un cierto nivel x01, la recta presupuestaria ser como en lagura 1.5

12 Note que este debe ser un porcentaje.


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x2

w/p2

x1x1 w/p1

Figure 1.5: Cambio en la recta presupuestaria ante racionamiento

Muchas veces el racionamiento puede utilizarse simultneamente con im-puestos al consumo, por ejemplo cuando un consumidor slo debe pagarun impuesto sobre el consumo del bien 1 si ste es superior a x01; y portanto la curva presupuestaria se torna ms inclinada a la derecha de esepunto tal como se muestra en la gura 1.6.

x2

w/p2pendiente=-p1/p2

pendiente=-(p1+t)/p2

x1x1 w/p1

Figure 1.6: Racionamiento con impuestos de consumo

Example 4 (Tomado de MWG) En la vida real la restriccin presupuestal deun individuo puede distar un poco de la forma simplicada anterior, por ejemplosi se est contemplando el intercambio de mercado entre un bien de consumo(x2) y el ocio (x1) Asumiendo que el precio del bien de consumo es 1 (p2 = 1) yque el consumidor gana un salario s13 por hora que trabaje durante las primeras

13 Note que la interpretacin del salario es como el precio de consumir una hora adicional


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8 horas, y obtendr un salario s0 por horas adicionales (donde s0 > s). Deigual forma se enfrenta a una tasa de impuesto t por peso sobre el ingreso

laboral ganado arriba del monto M. Por tanto la restriccin presupuestal deeste individuo ser como se muestra a continuacin (gura 1.7).

x2

w pendiente=-s(1-t)

M

pendiente=-s

pendiente=-s

x116 w/s

Figure 1.7: Una recta presupuestal ms real

de ocio (recuerde que el ocio es visto como un bien)


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Chapter 2

Preferencias y su

Representacin

(Resumen de: Cap. 1 MWG Cap. 3 Varian, Economa Intermedia,Cap. 3 Nicholson, )

Una parte importante de la economa es aquella que intenta modelar la ac-tividad econmica como una interaccin de los agentes individuales econmicosque van trs un inters privado. Inicialmente se harn algunas consideracionespartiendo desde un esquema abstracto, el objetivo principal ser el de desarrol-lar la teora de la decisin. Esta teora tiene dos enfoques: el enfoque basado enpreferencias y el enfoque basado en eleccin1 . El primero de ellos, y ms tradi-

cional, asume que el individuo tiene relaciones de preferencia sobre el conjuntode posibles elecciones que satisfacen axiomas de racionalidad. El segundo giraen torno a las decisiones que el individuo ha tomado y as desarrollar la estruc-tura de eleccin de cada individuo2 . Como veremos despus, ambos enfoquesnos llevarn a conclusiones similares. En este captulo nos concentraremos en elprimer enfoque.

2.1 Relaciones de preferencia

2.1.1 Axiomas de la teora del consumidor

En este enfoque (el enfoque basado en las preferencias) las relaciones de

preferencia se asumen como las caractersticas primitivas de los individuos. Lateora se expone inicialmente suponiendo los axiomas de racionalidad acerca

1 Para una exposicin ms detallada de lo que a continuacin se presentar vase Ritchr(1971) "Rational choice, -cap. 2 in preferences, utility and demand"

2 Este enfoque es ms conocido como el enfoque de las preferencia revelada, posteriormente(en las sesiones 9 y 10) se profundizar en este tema

15


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16 CHAPTER 2. PREFERENCIAS Y SU REPRESENTACIN

de la eleccin de los consumidores y luego se analizan las consecuencias deestas preferencias para el comportamiento (las decisiones que ellos hacen). Este

enfoque es el ms tradicional pero hace los supuestos sobre objetos que no sonobservables como lo son las preferencias.

El punto de partida es un conjunto de alternativas posibles, denotado porX. Este conjunto puede ser el mismo conjunto de consumo, que es el casoen el que nos concentraremos, pero tambin pueden ser decisiones como qucarrera estudiar. Los gustos del individuo estn resumidos por una relacin depreferencia que se denota por %. Esta es una relacin binaria en el conjunto dealternativas X que permite la comparacin de un par de alternativas x; y 2 X.Si se tiene x % y se leer x es al menos tan bueno como y. Partiendo de esto sepueden establecer las siguientes relaciones

relacin de preferencia estricta : x y , x % y pero no y % x; y se leex es estrictamente preferido a y

relacin de indiferencia : x y , x % y y y % x; y se lee x es indiferentea y

En la teora econmica se asume que las preferencias de los individuos sonracionales

Denition 5 La relacin de preferencia% es racional si posee las siguientesdos propiedades:

completitud: para todo x; y 2 X se tienex % y o y % x (o ambos). Dice queun individuo tiene una preferencia bien denida entre dos posibles alternativas.

transitividad: para todo x;y;z 2 X; si x % y y y % z entonces x % z.

Algunos autores incluyen otra propiedad llamada reexividad, esta supone

que cualquier cesta es al menos tan buena como ella misma x % x. Sin em-bargo no se menciona en la denicin porque puede derivarse de la completitud.Todas estas propiedades han sido criticadas a lo largo del desarrollo de la micro-economa a travs de la economa experimental principalmente.3 Sin embargo,tambin se ha mostrado que sin estos supuestos pueden llegarse a conclusiones

3 Por un lado, la completitud no siempre se cumple ya que dicho proceso de introspeccinrevela lo difcil que es evaluar alternativas que estn lejos de la experiencia comn. Porejemplo, preere usted el Guriltai Shul o el Khorkhog? Ambos son platos tradicionales dela cocina mongola que nosotros, los autores, tampoco hemos probado. Solamente son citadospara demostrar la debilidad de la completitud. La reexividad tambin presenta problemasempricos. Para la conducta de los adultos este supuesto puede parecer vlido, sin embargose ha encontrado que el supuesto no puede mantenerse para la conducta de nios pequeos.

Por su parte, la segunda propiedad puede ser refutada por varias razones. Una de ellas esla de diferencias apenas perceptibles o no perceptibles. Por ejemplo, si se pone a un individuo

a escoger entre una taza de azcar y otra con la misma cantidad de azcar ms un granoadicional muy probablemente a ste individuo le sea indiferente una taza o la otra, si as sesiguiese el ejercicio, enfrentando distintos pares de tazas cuya nica diferencia radica en ungrano ms, la relacin que dominara sera la de indiferencia. Pero, si al nal se enfrenta laprimera taza con aquella que tiene mil granos ms de azcar, la diferencia ser perceptible yla preferencia del individuo ser estricta.

Otra inconsistencia puede surgir cuando un comportamiento intransitivo puede ser explicado


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2.1. RELACIONES DE PREFERENCIA 17

similares, por ejemplo mediante la preferencia revelada, lo que mostrara suvalidez.

Partiendo de la denicin de racionalidad de % puede establecerse la sigu-iente proposicin que obtiene propiedades para y .

Proposition 6 Si% es racional entonces

1. es irreexiva (x x nunca se mantiene), y transitiva (six y yy z;entonces x z)

2. es reexiva (x x se mantiene para todo x), transitiva (si x y yy z; entonces x z) y simtrica (si x y;entonces y x)

3. six y % z entonces x z.4

De acuerdo a esto, algunas (no todas, ya veremos porqu) preferenciasracionales pueden representarse grcamente mediante curvas de indiferen-cia. As, dada la relacin de preferencias % y una canasta de consumo x, puedendenirse tres conjuntos de canastas de consumo (vase la gura 2.1)

1. El conjunto de indiferencia (curva de indiferencia): es el conjunto de todaslas canastas que son indiferenetes a x; fy 2 X : y xg

2. El conjunto contorno superior o conjunto preferido dbilmente: es el con-junto de todas las cestas que son al menos tan buenas como x; fy 2 X : y % xg

3. El conjunto contorno inferior: es el conjunto de todas las cestas para lascuales x es al menos tan buenas como ellas mismas; fy 2 X : x % yg

como el resultado de varios comportamientos racionales. La paradoja de Condorcet es unejemplo de ello. Supongamos que se tienen tres alternativas fx;y ;zg y tres agentes cuyaspreferencias estn dadas por

x 1 y 1 zy 2 z 2 xz 3 x 3 ysi se tomar la eleccin social de acuerdo al voto por mayora se tendra que x y pero

a la vez que y z y tambin que z x, obteniendo x y z x:::Otro posible inconveniente de esta propiedad se da cuando la manera en que las alternativas

son presentadas importan a la hora de hacer la eleccin, esto es conocido como el problema dela proposicin o del recuadro (Kahneman y Tversky, 1984). Algunas decisiones intransitivastambin pueden darse cuando existen cambios en los gustos de los individuos, este cambio enlos gustos tienen importantes alcances en el anlisis de conductas adictivas (Schelling, 1979).El punto de vista del cambio de gustos otorga una estructura muy bien denida para pensaren decisiones no racionales (Elster, 1979 y 2000).

4

Proposition 7 Proof. 1. Irreexividad: si x x =) x % x pero no x % x (violandocompletitud)

Transitividad: si x y =) x % y pero no y % x. Si y z =) y % z pero no z % y. Porlo tanto x % z pero no z % x =) x z

2. Ejercicio3. Ejercicio


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x2

x1

Contorno

superior

Curva de

indiferencia

Contorno

inferior

x

Figure 2.1: Conjuntos de canastas de consumo: conjunto de indiferencia, con-torno superior e inferior

Debe aclararse que las curvas de indiferencia que representan distin-tos niveles de preferencias no pueden cortarse. La demostracin a loanterior es sencilla. Note que x z y que z y, por transitividad deberacumplirse que x y lo cual obviamente se viola si estamos hablando de dos cur-vas de indiferencia que representan niveles distintos de preferencia (vase gura2.2).

x2

x1

z

y

x

Figure 2.2: Las curvas de indiferneica no pueden cortarse

Tambin se realizarn los supuestos de que las preferencias cumplen conunas propiedades de deseabilidad, estas son la monotonicidad y la no saciabilidadlocal. Para denir monotonicidad es necesario asumir que siempre es posibleconsumir mayores cantidades de un bien.

Denition 8 Monotonicidad : la relacin de preferencias% enX es mon-tona si x 2 X; y x5 implica y x. Es estrictamente montona si y x yy 6= x implica que y x:

5 Signica que y debe tener un nmero mayor de todos los bienes que x, es decir yl > xlpara todo l = 1; 2; L.


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2.1. RELACIONES DE PREFERENCIA 19

x2 x2

x

x1 x1

Figure 2.3: Insaciabilidad local

Este supuesto se aplica nicamente si las mercancas son "bienes" y no"males". Este supuesto parece suciente porque cualquier mal puede ser vistocomo un bien. Por ejemplo, la basura, visto como un mal, puede ser redenidacomo una mercanca llamada "ausencia de basura". Qu otros ejemplos puededar? Este supuesto tambin asume que siempre se quiere ms a menos. Noteque si las preferencias son estrictamente montonas entonces las preferenciasson montonas.

Denition 9 Localmente no saciada : sostiene que para cualquier canastax 2 RL+ y cualquier distancia arbitraria (llamaremos esta distancia " > 0),existe una canasta y 2 RL+ distanciada de x por" tal que y x:

6

Es decir, para cualquier canasta usted traza un crculo alrededor de ella, la

insaciabilidad local Esta propiedad s permite la existencia de males; sin em-bargo, no permite que todas las mercancas sean males. Si esto fuera as nosenfrentaramos a un problema trivial donde la solucin ptima (punto de sa-ciedad) es x = 0. En general, la insaciabilidad local no permite puntos desaciedad. Otra de las implicaciones de la no saciabilidad local (y por tanto de lamonotonicidad) es que se habla de curvas de indiferencias delgadas. La gura2.3 muestra que, ante curvas de indiferencia gruesas, todas las canastas lo su-cientemente cercanas a un punto del conjunto de indiferencia serian indiferentesviolando as la no saciabilidad local.

Otro supuesto central de las preferencias, que se encontrar muy a menudoen la economa, es el de convexidad. La convexidad de las preferencias explicalos intercambios que un consumidor quiere hacer entre los distintos bienes.

Denition 10 Convexidad (denicin 3.b.4 y 3.b.5): la relacin de pref-6 Formalmente, una relacin de preferencias es localmente no saciada si para todo x 2 X

y todo > 0;existe un y 2 X tal que ky xk " y y x (siendo esta la distancia euclidiana

kx yk =

"LX

l=1

(xl yl)2

#1=2)


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erencias% enX es convexa si8x 2 X el contorno superior es un conjunto con-vexo y estrictamente convexa si el contorno superior es estrictamente convexo. 7

Como puede intuirse, las curvas de indiferencia relacionadas a preferenciasconvexas pueden tener segmentos rectilneos mientras que las estrictamente con-vexas debe ser curvas de indiferencia que sean curvilneas. Estas son suposi-ciones fuertes pero bastante importantes a la hora de modelar el comportamientodel consumidor. La convexidad puede verse como una expresin formal de lainclinacin de los agentes econmicos hacia la diversicacin. Es decir, si x yentonces 12x+

12y (una mezcla por la mitad de estas dos cestas) no puede ser peor

que x o que y, en el caso de la convexidad, y debe ser estrictamente preferidaen le caso de la convexidad estricta.8

2.2 Representacin de las Preferencias

Las preferencias del consumidor son centrales para analizar la eleccin, la util-idad es una manera de describirlas. Las funciones de utilidad son tiles parapropsitos analticos. Si las preferencias se pueden resumir por una funcin deutilidad se pueden utilizar tcnicas de programacin matemtica para resolverel problema del consumidor. Una funcin de utilidad u(x) es una funcin quele asigna un valor nmerico a cada elemento en X formando as un escalafnentre las canastas de acuerdo a las preferencias individuales.

Denition 11 Una funcin u : X ! R es una funcin de utilidad que repre-senta la relacin% si para todo x; y 2 X

x % y , u(x) u(y)

Note que la funcin de utilidad que representa las preferencias no es nica.Cualquier transformacin montona de u(:)9 es una nueva funcin de utilidadrepresentando las mismas preferencias que u(). Es decir, es slo el escalafnde las alternativas lo que interesa. La propiedad de que las funciones de util-idad son invariantes a cualquier transformacin estrictamente montona se lellama ordinalidad ya que el nfasis radica en la ordenacin de las cestas de bi-enes. Las propiedades cardinales son aquellas que no se mantienen ante talestransformaciones.

La posibilidad de representar las preferencias mediante una funcin de util-idad esta ntimamente relacionada con la racionalidad.

7 Esto es, una relacin de preferencias es convexa si y % x y z % x entonces y +(1 )z % xpara cualquier 2 [0; 1]. Una relacin de preferencias % en X se dice estrictamente convexasi para todo x, se tiene y % x; z % x y y 6= z implica que ay + (1 a)z x para todo a 2 (0; 1).

8 Este supuesto tambin tiene problemas. Por ejemplo, digamos Pepe es indiferente entrela canasta x, compuesta por un vaso de jugo de naranja y ninguno de leche, y y, un vaso deleche y ninguno de jugo de naranja. No obstante, muy probablemente preferir las mercancasseparadas que una combinacin de medio vaso de jugo y medio de leche.

9 Una transformacin montona es una funcin v(x) = f(u(x)), donde f : R ! R es unafuncin estrictamente creciente, es decir, x y , f(x) f(y). Ejemplos de transformacionesmontonas puede ser: f(u) = 3u, f(u) = u + a, f(u) = u3, f(u) = ln(u)


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2.2. REPRESENTACIN DE LAS PREFERENCIAS 21

Proposition 12 una relacin de preferencias% puede ser representada por unafuncin de utilidad slo si es racional. (ver prueba en MWG)

Sin embargo, existen algunas preferencias racionales que no pueden ser rep-resentables; por ejemplo, las preferencias lexicogrcas. Este tipo de prefer-encias, llamadas as por su similitud con el orden de los diccionarios, indicanque la canasta preferida ser la que tenga la mayor cantidad del primer bien;en el caso de que las dos canastas a comparar tengan la misma cantidad delprimer bien se procede a comparar la cantidad del segundo bien y as sucesiva-mente. Estas preferencias son completas, transitivas, estrictamente montonasy estrictamente convexas.10 Sin embargo, no pueden ser representables ya quenunca dos canastas son indiferentes, esto implica que no sea posible asignarle unnmero a cada canasta porque los nmeros reales no alcanzaran. Para asegurarque siempre exista una representacin para cada canasta debemos asegurar quelas preferencias sean continuas.

Denition 13 Continuidad: la relacin de preferencias se dice continua si,dado quex y, entonces una canasta parecida a x debe ser al menos tan buenacomo una canasta parecida a y.

La continuidad sostiene que las preferencias de los consumidores no exhibesaltos. Una forma equivalente de enunciar la continuidad es que los contornossuperior e inferior son cerrados; es decir, incluyen sus fronteras. Note que laspreferencias lexicogrcas no cumplen esta propiedad.

Example 14 Suponga de nuevo el caso de Piln, esta vez con preferenciaslexicogrcas que le dan prioridad a las hamburguesas. Suponga una canasta(2; 1) que es preferida a (1:99; 2). Sin embargo, la canasta (2; 2) se preferir a(2; 1), an cuando es una pequea variacin de (1:99; 2), esto muestra que este

tipo de preferencias no son continuas.Proposition 15 Si una relacin de preferencias% es racional y continua en-tonces existe una funcin de utilidad continua11 que la representa. (ver pruebaen MWG)

Usualmente trabajaremos con funciones de utilidad diferenciables para propsi-tos analticos. Sin embargo, es posible que algunas preferencias no puedanrepresentarse con funciones diferenciables; por ejemplo, cuando los bienes seconsumen en proporciones jas. Al imponer diferenciabilidad de las funcionesse est condicionando a que los conjuntos de indiferencia sean supercies suavesde tal forma que la tasa a la que se sustituyan las mercancas dependan de losniveles de consumo. Las dems restricciones que hasta ahora hemos impuestosobre las preferencias se traducen en restricciones sobre la forma de la utilidad:

10 Puede el lector corroborar esto?11 Intuitivamente una funcin f es continua en x si en cualquier punto x0 que sea muy cercano

a x, su imagen es una buena aproximacin del valor de f en x. Si f es continua en todos lospuntos del dominio entonces podemos decir que la funcin es continua. Para una revisin msdetallada de esta denicin vase (?). Ahora bien, si la derivada existe en cualquier puntoentonces la funcin es diferenciable y por tanto continua.


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1. La propiedad de monotonicidad12 implica que la funcin de utilidad escreciente: u(x) > u(y) si x y:

2. La propiedad de preferencias convexas implican que u(:) es cuasicncava.13

De igual forma, la convexidad estricta de las preferencias implican la cua-sicncavidad estricta de u(:).

Estas propiedades sobre la funcin de utilidad son de carcter ordinal, mien-tras la continuidad es cardinal ya que las transformaciones montonas no nece-sariamente deben ser continuas.

2.3 Utilidad Marginal

La utilidad marginal denir cmo vara la utilidad del individuo cuando obtieneuna cantidad adicional de una mercanca. En trminos matemticos, la utilidad

marginal respecto al bien 1 ser

U M g1 =@u

@x1

La monotonicidad de las preferencias implica que la utilidad marginal seapositiva. Adems, a menudo se supone que la utilidad marginal es decrecienteya que entre ms consuma de un bien menor es la utilidad adicional que mereporta, esta nocin fue introducida por Marshall. Por ejemplo, despus dehacer ejercicio, el primer vaso de agua que nos tomamos nos brinda una enormesatisfaccin. La satisfaccin adicional que nos representa el segundo vaso esmenor a la que nos dio el primer vaso. De esta forma, si seguimos tomandoagua, el dcimo vaso, si es que llegamos all, nos brindar utilidad pero nodemasiada al compararla con la del primer vaso.

Sin embargo, esto impone la restriccin de que la funcin de utilidad seacncava,14 lo cual es ms restrictivo que la cuasiconcavidad, donde no nece-sariamente se da que la utilidad marginal sea decreciente. Al respecto, Hickssugiri que lo que se deba tener en cuenta eran las cantidades relativas de lasmercancas ( x2

x1) y cmo esta relacin afectaba el deseo de intercambiar mer-

cancas. Esto ltimo es representado por la Tasa Marginal de Sustitucin y elhecho de que esta sea decreciente, lo cual veremos a continuacin.

2.4 Tasa Marginal de Sustitucin

En la teora econmica, el intercambio que un individuo est dispuesto a dar en-tre dos bienes es conocido como relacin o tasa marginal de sustitucin (TMS).

12 Recuerde que si las preferencias son montonas se conoce que si se traza una lnea desdeel origen, esta slo cortar las curvas de indiferencia una vez.

13 La funcin de utilidad es cuasicncava si el conjunto

y 2 RL+ : u(y) u(x)

es convexopara todo x. Equivalentemente, u es cuasicncava si, para todo x; y 2 X, u(ax + (1 a)y) M infu(x); u(y)g

14 Recuerde que una funcin cncava se caracteriza porque la segunda derivada con respectoal mismo argumento es negativa, lo que llevara a una utilidad marginal decreciente.


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2.4. TASA MARGINAL DE SUSTITUCIN 23

Grcamente se reere a la pendiente de la curva de indiferencia en un determi-nado punto y ser la relacin en que el consumidor estar dispuesto a sustituir

el bien 1 por el bien 2. Supongamos una cesta de consumo x = (x1; x2) quepertenece a una curva de indiferencia. La TMS nos dir cunto est dispuestoa sacricar el individuo de x1 (4x1) para consumir una unidad ms de x2, detal forma que quede en la curva de indiferencia inicial. Esto puese entendersemejor con un ejemplo.

Example 16 Suponga que tenemos una economa con dos bienes: hamburgue-sas y gaseosas. Suponga que Piln tiene dos hamburguesas y diez gaseosas. SiPiln intercambia cuatro gaseosas por dos hamburguesas y se siente igual debien (le resulta indiferente) que con la anterior canasta diremos que su TMS enese punto es2, es decir, por una hamburguesa est dispuesto a dar 2 gaseosas.

Tambin podemos denir la TMS en trminos de utilidades marginales. Para

formular matemticamente este concepto debemos mantener constante la util-idad para asegurar que nos encontramos en la misma curva de indiferencia.Suponiendo que existen dos bienes, por lo tanto u = u(x1; x2), derivamos total-mente esta ecuacin obteniendo:

du = 0 = @u@x1 dx1 +@u

@x2dx2, donde dxl es la variacin en el consumo de un

bien.Despejando de all dx2=dx1 se tendr que

dx2dx1

= @u@x1@u@x2

As, la pendiente de la curva de indiferencia o TMS ser

T M S = UM g1UM g2

El signo de la TMS es negativo siempre y cuando las dos mercancas seandeseables o las dos mercancas no sean deseables. Esto es intuitivo ya que si seobtiene una cantidad mayor del bien 1 debera recibirse una cantidad menor delbien 2 para conservar el mismo nivel de utilidad. Por el contrario, si tengo unmal y un bien, la TMS ser positiva.

El supuesto de convexidad de las preferencias implica que la TMS sea decre-ciente, esto es @ TM S

@x2x1

0, ya que cuando el consumidor posee grandes cantidades

de uno de los bienes estar dispuesto a intercambiar una gran cantidad de stepara obtener algo del otro bien que carece. De esta manera se reeja el intersdel individuo por diversicar y tener una cantidad apropiada de todos los bienes,a esto se refera Hicks.

Example 17 Siguiendo con el ejemplo anterior, la convexidad implica que siahora Piln quiere hacer de nuevo un intercambio su TMS debe ser menor quela anterior; ahora por una hamburguesa debe dar menos de 2 gaseosas ya que notiene tantas como tena antes. Esto quiere decir que a medida que vaya inter-cambiando un bien por otro y que quiera seguir intercambindolo, las cantidadesque estoy dispuesto a sacricar deben ser menores


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2.5 Elasticidad de Sustitucin

Suponga que tenemos una funcin y = f(x). La elasticidad de y con respectoa x nos indica la variacin porcentual de y ante una variacin porcentual dex. Formalmente "y;x =

dy=ydx=x =

dydx

xy =

d(ln y)d(ln x) .

15 Este concepto puede aplicarsetambin a la TMS. As, mientras la TMS mide la pendiente de una curva de in-diferencia, la elasticidad de sustitucin mide su curvatura. Ms concretamente,la elasticidad de sustitucin mide la variacin porcentual del cociente entre lascantidades dividida por la variacin porcentual de la TMS, mantenindose jala utilidad.

Si (x2=x1) es la variacin del cociente entre las cantidades y T MS es lavariacin de la tasa marginal de sustitucin, entonces la elasticidad de sustitu-cin se denir como:

=

(x2=x1)x2=x1TMS

TMSEsta elasticidad indica cmo vara el cociente entre las cantidades de mer-cancas cuando vara la pendiente de la curva de indiferencia. Utilizando derivadaspodemos expresar la elasticidad de sustitucin de la siguiente forma:

= d(x2=x1)dTMST MS(x2=x1)

=d(ln(x2=x1 )

d(lnT MS)

2.6 Algunas funciones de utilidad

En algunas aplicaciones (particularmente economtricas) es comn centrarseen preferencias donde es posible deducir la relacin de preferencia completa apartir de un solo conjunto de indiferencia, dos ejemplos son las preferenciashomotticas y las preferencias cuasilineales. Este tipo de preferencias tambin

tienen implicaciones sobre las funciones de utilidad. Estas propiedades son decarcter cardinal ya que no se conservan ante transformaciones montonas, lonico que podemos asegurar es que existe al menos una funcin de utilidad condicha forma especca.

Para obtener una curva de indiferencia de una funcin de utilidad debemosigualar la funcin a una constante u(x1; x2) = k, y luego despejar x2. De estaforma obtendremos todas las combinaciones entre x1 y x2 que producen la mismautilidad k. A continuacin se mostrarn algunos ejemplos de funciones de utili-dad dadas las preferencias del individuo. Con el n de visualizarlos se manejarndos mercancas. Vale la pena resaltar que las siguientes funciones de utilidadno son del todo realistas pero facilitan algunos procedimientos matemticos.

2.6.1 Preferencias Homotticas

Denition 18 Una relacin de preferencias montona es homottica si todoslos conjuntos de indiferencia estn relacionados por su expansin proporcional

15 Esto es cierto ya que d(ln x) = dxx

.


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2.6. ALGUNAS FUNCIONES DE UTILIDAD 25

a travs de rayos; esto es, si x y entonces x y, para todo > 0.16

En palabras, si tengo que dos canastas son indiferentes entonces al du-plicar ambas canastas estas seguirn siendo indiferentes. Este hecho puedeobservarse en la siguiente grca 2.4.Si las preferencias son homotticas ten-dremos que la TMS depende nicamente del cociente entre las cantidades delas dos mercancas. Es decir, si se tiene T M S(x1; x2) = (x1=x2) entoncesT MS(tx1; tx2) = (x1=x2). Esto quiere decir que la pendiente de todas las cur-vas de indiferencia son iguales si se evaluan en el punto donde se intersectan conun rayo que pase por el origen. Los ejemplos ms comunes de estas preferenciasson los sustitutos perfectos, complementarios perfectos, la Cobb-Douglas y laCES, que es su forma generalizada.

x2

2x

x 2y

Figure 2.4: Homotticas

Sustitutos perfectos

Dos bienes son sustitutos perfectos si el consumidor est dispuesto a sustituiruno por otro a una tasa constante. La caracterstica esencial de estas mercancas

16 Una denicin anloga es que una relacin de preferencia continua en X es homottica siy solo si admite una funcin de utilidad homognea de grado uno.

El grado de homogeneidad de una funcin puede encontrarse mediante dos mtodos:

1. Multiplicador: se multiplica las cantidades por una misma constante y se observa cmovara la utilidad, u(tx1; tx2) = tku(x1; x2). De esta forma el grado de homogeneidades igual a k.

2. Teorema de Euler: Si se tiene una funcin u(x1; x2) y se realiza@u(x1;x2)

@x1x1 +

@u(x1;x2)@x2

x2 = k u(x1; x2), el grado de homogeneidad de la funcin u() lo dar elvalor de k.

Si k = 0, la funcin de utilidad es homognea de grado 0, es decir que si se aumenta elconsumo de ambos bienes en una misma proporcin el nivel de utilidad no se ver afectado.Si 0 < k < 1, quiere decir que a cambios (de igual proporcin) en el nivel de consumo, el nivelde utilidad aumentar menos que proporcionalmente. Si k = 1, es homognea de grado1 y quiere decir que a cambios proporcionales en el nivel de consumo de los bienes, el nivelde utilidad aumentar en la misma proporcin. Si k > 1; quiere decir que a cambios (de igualproporcin) en el nivel de consumo, el nivel de utilidad aumentar ms que proporcionalmente.


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es que la curva de indiferencia tiene una pendiente constante (TMS constante).Un ejemplo es la mantequilla y la margarina. Las preferencias pueden ser rep-

resentadas por una funcin de utilidad que en este caso sera

u(x1; x2) = ax1 + bx2

En donde a; b miden el valor que tienen los bienes 1, 2 para el consumidor.Esto quiere decir que el consumidor siempre estar dispuesto a intercambiar unaunidad del bien 1 por a=b unidades del bien 2. Es decir, la T MS = a=b(vasela gura 2.6). Esta clase de preferencias son homotticas, la funcin de utilidades homognea de grado uno y la elasticidad de sustitucin es igual a innito.

Figure 2.5: Funcin de utilidad, sustitutos perfectos

Complementarios perfectos

Se da cuando las mercancas se complementan en cierto sentido, e.g zapato delpie derecho y zapato del pie izquierdo. Al consumidor le gustan los zapatospero no le sirve de nada llevar uno solo o llevar dos del izquierdo y ninguno delderecho. Otro ejemplo es el caf y el azcar, mucha gente los consume siempreen proporciones jas. Una cantidad adicional de una mercanca no tiene ningnvalor para el individuo. La forma funcional de la utilidad (vase gura 2.7) es

u(x1; x2) = Min fax1; bx2g

donde a; b indican las proporciones que se consumen de cada bien. Es decirque 1=a unidades del bien 1 deben ir acompaadas de 1=b unidades del bien 2.

La curva de indiferencia ser como en la gura 2.8


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Figure 2.6: Curva de indiferencias, sustitutos perfectos

Figure 2.7: Funcin de utilidad, complementarios perfectos


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Figure 2.8: Curva de indiferencia, complementarios perfectos

Esta funcin de utilidad tambin es homognea de grado uno. La T M S =

f

1 cuando x2x1 >ab

indefinida cuando x2x1 =ab

0 cuando x2x1 0.

2. La mercanca 1 es deseable; esto es, x + e1 x para todo x y > 0.

Esto signica que si tengo dos canastas indiferentes y le sumo alguna canti-dad del numerario a las dos canastas, las nuevas siguen indiferentes. Note que enla denicin no se utiliza como espacio R2+ porque se asume que no existe lmiteinferior para el numerario. Suponiendo que tenemos dos bienes, una relacinde preferencia continua en X = (1; 1) R+ es cuasilineal con respecto a laprimera mercanca si y solo si admite una funcin de utilidad de la forma

u(x1; x2) = x1 + v(x2)

y se dice que la funcin de utilidad es lineal en x1. Note que las preferenciaspor sustitutos perfectos tambin es cuasilineal. Otro ejemplo concreto de estafuncin de utilidad es u(x1; x2) = x1 + ln x2. La siguiente grca muestra laforma de estas preferencias (ver gura 2.10)

Figure 2.10: Funcin de utilidad cuasilineal

Y su curva de indiferencia es como muestra en la siguiente gura 2.6.2


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En el caso de las preferencias cuasilineales note que la utilidad marginal delnumerario siempre es constante (e igual a uno) en cualquier punto. Luego, sicalculamos la T MS est solo depender de las otras mercancas. Esto implicaque el deseo de una persona de renunciar a una unidad de x2 para conseguiruna unidad ms de x1 depende nicamente de la cantidad que tenga de x2.

Males

Un mal es una mercanca que no le gusta al consumidor, es decir que su funcinde utilidad se ver disminuda si existe consumo de ese bien. En general, lascurvas de indiferencia sern como las que se presentan en la gura 2.6.2 si su

funcin de utilidad es expresada como u (x1; x2) = ax1

bx2.

17

All el individuoestar mejor entre ms lejos se encuentre del eje que representa el mal. En estecaso la TMS tendr pendiente positiva porque existe un bien que no es deseable.

17 Cuidado, este tipo de representacin es cuasilineal; sin embargo, pueden existir otrasrepresentaciones de males que no sean cuasilineales.


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Neutrales

Un bien es neutral si al consumidor le da igual consumir el bien o no consumirlo,es decir que su funcin de utilidad no depende del consumo de ese bien. Por mscantidades que le den de ese bien su utilidad no se ver afectada. Este tipo depreferencias pueden asociarse a preferencias cuasilineales. La forma funcionalcuando el individuo es neutral al bien 2 es la siguiente

u(x1) = ax1

La curva de indiferencia se muestra en la gura 2.11

x2

x1

Figure 2.11: Preferencias por un bien neutral (x2) y uno deseado.

2.6.3 Preferencias que no cumplen supuestos tradicionales

Existen otro tipo de funciones que no cumplen con los supuestos mencionadosanteriormente; sin embargo, pueden resultar tiles para el anlisis de algunassituaciones.

Preferencias no convexas

En general, las preferencias no son convexas si el individuo preere consumir losbienes por separado, de esta forma el individuo est dispuesto a pagar cada vezms por las sucesivas unidades adicionales (la TMS no es decreciente). Comose dijo antes, un ejemplo de estas preferencias se da cuando la combinacin dedos canastas resulta en una canasta menos apetecida (jugo de naranja y leche).Para observar esto ms claro podra mirarse la gura 2.12 y hacer la combinacinconvexa de las cestas extremas, de este modo se intuye que la cesta media seencontrara en una curva de indiferencia menor que las cestas extremas.

un ejemplo de estas funciones de utilidad estara compuesta por la siguienteforma funcional

u(x1; x2) = M ax fax1; bx2g

siendo las grcas de la funcin de utilidad (gura 2.13) y de la curva deindiferencia (gura 2.14)


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x2

x1

Cesta

media

Figure 2.12:

Figure 2.13: Funcin de utilidad de una Mximo

Figure 2.14: Curva de indiferencia de la Mximo


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*x

Preferencias con punto de saciedad

Existen funciones de utilidad donde existe un punto de saciedad y cualquierdesviacin del punto representar una menor utilidad para el individuo. Lasiguiente grca (gura 2.6.3) muestra este caso, allx representa el punto dondese alcanza la mxima utilidad.

2.7 Extensiones

2.7.1 Preferencias especiales

En algunos estudios la calidad suele ser determinante para el consumo de unartculo u otro. En algunos modelos se asume que bienes iguales de distintacalidad son, en s, bienes distintos. Otros modelos suelen suponer que la calidad

es un bien por s mismo. Por ejemplo puede pensarse una funcin u = u(q; Q)donde qes la cantidad consumida y Q es la calidad de ese consumo. Esta funcintiene algunas dicultades cuando la percepcin de la calidad del bien dependede distintos atributos.

Otra forma (asumiendo que se consumen los bienes x; y) que tiene en cuentala calidad sera u(x; y) = u [Q(x; y); A(x; y)]18 donde Q es una funcin de lacalidad y A representa otros atributos de la canasta x; y. La calidad tambinse ha modelado teniendo en cuenta que la calidad de un producto es incierta yesta se supone correlacionada al precio del mercado. De esta forma se tendraque u(x; y) = u(x; px; y).19

Tambin es posible que las decisiones tomadas en un perodo afecten lautilidad de perodos posteriores, este es el caso de la adiccin y de los hbitos.20

All la utilidad podra modelarse como u = u(xt; yt; st), donde st =

1Xi=1

xt1 es

18 Vase Lancaster (1971), Consumer demand: a new approach19 Vase Stiglitz (1987). "The causes and consequences of the dependece of quality on price".

JPoE20 Vase Becker (1988) "A theory of rational addiction"


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2.7. EXTENSIONES 35

el parmetro que relaciona estos hechos.


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Chapter 3

Eleccin del Consumidor

(Resumen de: Cap 4 (?), Cap 5 y 8 Varian Intermedio, Cap 8 (?), Cap 3 (?),Cap 1 y 2 (?), Seccin 2.5 Deaton & Muellbauer).

El problema de decisin al que se enfrentar el individuo puede enunciarsede dos maneras. El primero de ellos es escoger las canastas de tal forma queel individuo logre la mayor satisfaccin posible, teniendo en cuenta que tieneuna cantidad limitada de ingreso y existen unos precios que hay que pagar poradquirir mercancas. El segundo de ellos consiste en jar un nivel de utilidadque se quiere alcanzar y elegir las cantidades de mercancas que lleven al menorgasto posible logrando la utilidad requerida. Estos dos problemas son dos carasde una misma moneda que llevarn a soluciones similares.

En la primera seccin se plantear el primer problema mencionado. Lasdemandas ptimas obtenidas se llamarn demandas marshalianas y la utilidadmxima que se logra a travs de ellas se llamar utilidad indirecta. Cada unade estas variables cumplirn unas propiedades tiles al momento de analizarlas decisiones del consumidor. En la segunda seccin plantearemos el segundoproblemas, de nuevo hallando las demandas ptimas, que esta vez se llamarnhicksianas o compensadas, y con ellas la funcin de gasto mnimo. Estas tam-bin cumplirn algunas propiedades interesantes. Por ltimo, observaremoscomo ambos problemas son duales, esto es, llegan a soluciones similares, ymostraremos cmo resolviendo un problema podemos llegar a las solucionesdel otro problema. Lo anterior se conoce como dualidad.

3.1 Problema de Maximizacin de la Utilidad

(PMU)De este modo, el problema ser hallar una cesta que se encuentre en el conjuntode posibilidades de consumo que le permita alcanzar el mayor nivel de utilidadfactible. A lo largo de este captulo se supondr que la relacin de preferenciasque caracteriza al consumidor es racional, continua, no saciada localmente y

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38 CHAPTER 3. ELECCIN DEL CONSUMIDOR

convexa; en otras palabras, asumiremos que las preferencias son representablespor una funcin de utilidad continua y cuasicncava.

Aun cuando algunos detractores de este enfoque arman que ninguna per-sona real podra hacer los clculos rpidos necesarios para maximizar su utilidad,Friedman argumenta, rerindose al jugador de billar, que "ste tampoco puedehacer los clculos rpidos necesarios para dar un golpe de acuerdo con las leyesde la fsica, pero esas leyes predicen su conducta. (...) el modelo de la max-imizacin de la utilidad predice muchos aspectos de la conducta, an cuandonadie lleve una computadora con su funcin de utilidad programada" (?).

De esta manera, el supuesto de la maximizacin de la utilidad est diciendoque si un individuo es abordado a la salida de un supermercado, justo despusque ha realizado su compra, y se le pregunta "Ud., teniendo exactamente lamisma cantidad de dinero, la misma variedad de productos y la misma informa-cin que tena al momento de realizar su compra, habra escogido una canastade consumo distinta a la que escogi?" la respuesta a esta pregunta por partedel individuo debera ser "No, absolutamente no" ya que de lo contrario, porqu escogi esa canasta y no la otra?

3.1.1 Planteamiento del problema y de su solucin

Suponiendo que el conjunto de consumo es X = RL+, que los precios son es-trictamente positivos (p 0) y el nivel de riqueza del individuo es tambinestrictamente positivo, w > 0. El Problema de Maximizacin de la Utilidad(PMU) ser

Max u(x) (3.1)

s:a px w (3.2)

x 2 X (3.3)

Lo que signica que el consumidor maximizar su funcin de utilidad (ecuacin3.1) sujeto a que el gasto que haga en la compra de los bienes sea menor o igualal ingreso del que dispone (ecuacin 3.2, que como ya se sabe es su conjuntopresupuestal) y adicionalmente, que la cesta que escoja sea factible es decir quepertenezca a su conjunto de consumo (ecuacin 3.3). En general, se tendr queel individuo escoger una canasta sobre la recta presupuestal debido al supuestode insaciabilidad local.1

Proposition 20 El problema de la maximizacin de la utilidad tiene solucin

si todos los precios son estrictamente positivos (p 0) y la funcin de utilidadu(x) es continua

1 Recuerde que la insaciabilidad local lleva a que cualquier punto en el interior del conjuntopresupuestal sea superado por alguno del lmite. Ahora bien, dado que la insaciabilidad localno permite dos males, los puntos que superan a los del interior estarn justo sobre la restriccinpresupuestal.


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3.1. PROBLEMA DE MAXIMIZACIN DE LA UTILIDAD (PMU) 39

Si u(x) es diferenciable, la maximizacin restringida se realiza por el mtododel Lagrange2 y la canasta ptima de consumo se obtiene mediante las condi-

ciones de primer orden. Suponiendo que se tienen dos bienes, el problema delLagrangiano quedar de la siguiente forma

$ = u(x1; x2) + (w p1x1 p2x2)

de esta forma, las condiciones de primer orden sernc.p.o:

@$

@x1= 0 :

@u(x1; x2)

@x1 p1 = 0 (3.4)

@$

@x2= 0 :

@u(x1; x2)

@x2 p2 = 0 (3.5)

@$@

= 0 : w p1x1 p2x2 = 0 (3.6)

Note que de las dos primeras condiciones (ecuaciones 3.4 y 3.5) se obtieneque en el ptimo

=@u=@x1

p1=

@u=@x2p2

Esto quiere decir que en el ptimo, cada uno de los bienes debe presentar elmismo cociente entre el benecio marginal y el coste marginal. Si no fuese as, unbien prometera ms disfrute marginal por peso gastado que otro y por lo tanto,estara indicando que el individuo no est gastando sus recursos adecuadamentey que sera posible aumentar el nivel de utilidad cambindose a otra cesta.

Reordenando esta expresin tendremos

T MS =@u=@x1@u=@x2

=p1

p2

Esto signica que para maximizar la utilidad se debe igualar la pendientede la recta presupuestal con la pendiente de la curva de indiferencia. Esa igual-dad implica que la tasa a la cual el individuo est dispuesto a intercambiaruna unidad de un bien por una unidad del otro debe igualarse a la tasa a lacual podra intercambiarlas en el mercado. Si la curva de indiferencia no fueratangente a la restriccin presupuestaria podra existir una canasta factible quepermitira alcanzar un mayor nivel de utilidad. Por ejemplo, dado el caso que@u=@x1@u=@x2

> p1p2 , esto signicara que si el individuo sacrica una unidad de x2

para consumir ms de x1, quedando en la misma curva de indiferencia, gastaramenos dinero; es decir, ahora le sobrara dinero que puede usar para comprarms de la mercanca y as aumentar su utilidad. De esta forma, el consumidordeber comprar ms de x1 y menos de x2 hasta que se cumpla la igualdad.

2 Una muy buena revisin sobre la existencia de la solucin y las condiciones para hallarsoluciones utilizando el mtodo de Lagrange se encuentra en Sundaram (1996).


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Mientras tanto, la tercera condicin de primer orden (3.6) nos dir que debe-mos gastar todo el ingreso. Esto signica que la canasta ptima se da cuando la

curva de indiferencia es tangente a la recta presupuestal. Ahora bien, al resolverel PMU se obtienen dos elementos importantes: el conjunto de cestas ptimasque escoge el consumidor (que es el conjunto de solucin del PMU), y el valorde la utilidad mxima (que es el valor que toma la utilidad luego de resolver elPMU).

A la canasta de consumo que resuelve el PMU se le llamar DemandaMarshalliana y se denota como una cesta de consumo x(p; w) 2 RL+. Cuando% es estrictamente convexa (y por tanto la funcin de utilidad es estrictamentecuasicncava), x estar compuesto por un nico elemento; mientras que si % esdbilmente convexa x ser un conjunto.3 La gura 3.1.1 muestra estos hechos,mientras que en su parte izquierda la demanda marshalliana es nicamenteun punto, la parte derecha muestra que la demanda marshalliana podra sercualquier punto perteneciente a un rango de cestas es decir, puede ser unacorrespondencia.

x2 x2

x1 x1

x(p,w)

Bp,w Bp,w

x(p,w)

Example 21 Si la relacin de preferencias% es estrictamente convexa la solu-cin, en el caso en que se tenga Arroz y Coco como los nicos 2 bienes que seconsumen, podra ser algo as como demandar 2 libras de Arroz y un Coco. Porel contrario, si la% es convexa la solucin podra ser demandar entre 4 y 6libras de Arroz y entre uno y dos cocos.

Para cada vector de precio estrictamente positivo (p 0) y un nivel deriqueza positivo (w > 0), el valor de la utilidad evaluada en la cesta de consumoptima u(x) para cualquier x 2 x(p; w) se denota como la Funcin de Util-idad Indirecta v(p; w). Esta funcin se deber interpretar como el mximonivel de utilidad que el consumidor puede alcanzar dados unos precios en elmercado y su ingreso. Note que la funcin de utilidad indirecta depende de la

forma de la funcin de utilidad escogida. Luego, si se hace una transformacinmontona, la utilidad indirecta debe hallarse reemplazando las demandas en lafuncin de utilidad inicial (sin transformar).

3 Note entonces que cuando la funcin de utilidad es estrictamente cuasicncava tendremosuna funcin de demanda marshaliana, mientras que cuando sea nicamente cuasicncavadebemos hablar de correspondencia marshaliana.


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3.1. PROBLEMA DE MAXIMIZACIN DE LA UTILIDAD (PMU) 41

Por otro lado, el multiplicador Lagrangiano , la variable que creamos parasolucionar el problema, tambin tiene su respectiva interpretacin. ste usual-

mente se identica con el precio sombra de relajar la restriccin. En este caso,cuando se encuentra en el ptimo, es la utilidad marginal de una unidad adi-cional de ingreso.4

Example 22 Por su complejidad tomaremos una funcin de utilidad CES paramostar el proceso de maximizacin

u(x1; x2) = (x1 + x

2)

1=

donde0 6= < 1;el problema del consumidor ser

maxx1;x2

(x1 + x2)

1= s:a p1x1 +p2x2 w

el lagrangiano ser$ = (x1 + x

2)

1= + (w p1x1 p2x2)

c.p.o:

@$

@x1= 0 : (x1 + x

2)

(1=)1x11 p1 = 0 (3.7)

@$

@x2= 0 : (x1 + x

2)

(1=)1x12 p2 = 0 (3.8)

@$

@= 0 : w p1x1 +p2x2 = 0 (3.9)

Tomando las ecuaciones 3.7 y 3.8 se obtiene

x1 = x2

p1p2

1=(1)(3.10)

utilizando 3.9 y 3.10 se obtendr el valor del bien x2, para el cual se tiene

x2(p; w) =p1=(1)2 w

p=(1)1 +p

=(1)2

(3.11)

4 Para demostrarlo se utilizar la regla de la cadena para saber cul es el cambio en lautilidad ante un incremento de w. Teniendo en cuenta que u(x1; x2) y que xl(p; w), se obtendrque u(x1(p; w); x2(p; w)). As, diferenciando totalmente con respecto al ingreso (hallando lautilidad marginal del ingreso) y reemplazando las condiciones de primer orden se tiene:

@u@w

= @u@x1

@x1@w

+ @u@x2

@x2@w

= p1@x1@w

+ p2@x2@w

= (p1@x1@w

+ p2@x2@w

)

Ahora bien, si se diferencia la restriccin presupuestal (ley de Walras) con respecto al ingresose obtendr que:

p1@x1@w

+ p2@x2@w

= 1

Reemplazando este resultado en la anterior ecuacin, se obtiene lo deseado. Este preciosombra siempre ser positivo lo que implica que a mayor ingreso mayor utilidad.


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Siendo la expresin 3.11 la demanda marshalliana de parte del consumidorhacia el bien 2. Ahora,

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