limites continuidad
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Prof.: Ing. Antonio Chong Escobar 1 CAPITULO CAPITULO 5 : : CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1 5.1 DEFINICION DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO DEFINICION DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO Sea Sea f un un función función definida definida en en un un intervalo intervalo abierto abierto que que contiene contiene a “c” “c”. Decimos Decimos que que f es es continua continua en en “c” “c” si si: Con Con esta esta definición definición se se establecen establecen tres tres condiciones condiciones: 1. Que Que existe existe. 2. Que Que f(c) f(c) existe existe (es (es decir, decir, “c” “c” está está en en el el dominio dominio de de f) f). úl i úl i l l d l d i i l i l ) c ( f ) x ( f lim c x = → ) x ( f lim c x → 3. Y por por último último que que los los resultados resultados anteriores anteriores sean sean iguales iguales. Si Si cualquiera cualquiera de de estas estas tres tres condiciones condiciones no no se se cumple, cumple, entonces entonces f(x) f(x) es es discontinua discontinua en en x=c x=c. 1 ) c ( f ) x ( f lim c x = → Un Un punto punto de de discontinuidad discontinuidad se se denomina denomina removible removible, si si la la función función puede puede definirse definirse o redefinirse redefinirse en en x = c, c, de de modo modo que que se se haga haga continua continua la la función función. Caso Caso contrario, contrario, el el punto punto de de discontinuidad discontinuidad se se denomina denomina no no removible removible. 2
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Prof.: Ing. Antonio Chong Escobar 1
CAPITULO CAPITULO 55: : CONTINUIDAD DE FUNCIONESCONTINUIDAD DE FUNCIONES5.1 5.1 DEFINICION DE CONTINUIDAD EN UN PUNTODEFINICION DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO
SeaSea ff unun funciónfunción definidadefinida enen unun intervalointervalo abiertoabierto quequecontienecontiene aa “c”“c”.. DecimosDecimos queque ff eses continuacontinua enen “c”“c” sisi::qq
ConCon estaesta definicióndefinición sese establecenestablecen trestres condicionescondiciones::11.. QueQue existeexiste..
22.. QueQue f(c)f(c) existeexiste (es(es decir,decir, “c”“c” estáestá enen elel dominiodominio dede f)f)..
úl iúl i ll l dl d ii i li l
)c(f)x(flimcx
=→
)x(flimcx→
33.. YY porpor últimoúltimo queque loslos resultadosresultados anterioresanteriores seansean igualesiguales..
SiSi cualquieracualquiera dede estasestas trestres condicionescondiciones nono sese cumple,cumple, entoncesentoncesf(x)f(x) eses discontinuadiscontinua enen x=cx=c..
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)c(f)x(flimcx
=→
UnUn puntopunto dede discontinuidaddiscontinuidad sese denominadenomina removibleremovible,, sisi lalafunciónfunción puedepuede definirsedefinirse oo redefinirseredefinirse enen xx == c,c, dede modomodo queque sesehagahaga continuacontinua lala funciónfunción.. CasoCaso contrario,contrario, elel puntopunto dedediscontinuidaddiscontinuidad sese denominadenomina nono removibleremovible..
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55..22 CONTINUIDADCONTINUIDAD DEDE FUNCIONESFUNCIONES CONOCIDASCONOCIDAS
LaLa mayoríamayoría dede laslas funcionesfunciones concon laslas queque sese haha trabajadotrabajadoenen precálculoprecálculo,, sonson continuascontinuas enen todastodas partespartes óó continuascontinuasenen todastodas partes,partes, exceptoexcepto enen algunosalgunos puntospuntos..
TEOREMATEOREMA (continuidad(continuidad dede funcionesfunciones conocidas)conocidas)
LasLas siguientessiguientes funcionesfunciones sonson continuascontinuas enen todotodo númeronúmero realreal“c”“c” dede susu dominiodominio::** PolinomialesPolinomiales..** Racionales,Racionales, exceptoexcepto enen dondedonde susu denominadordenominador eses cerocero..** V lV l b l tb l t** ValorValor absolutoabsoluto..** RaízRaíz nn--ésimaésima..** SenSen(x)(x) yy coscos(x)(x)** Tan(x),Tan(x), cotcot(x),(x), secsec(x)(x) yy csccsc(x)(x) (excepto(excepto enen dondedonde elel
denominadordenominador eses cero)cero)3
5.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES 5.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONESCON FUNCIONES
SiSi ff yy gg sonson funcionesfunciones continuascontinuas enen “c”,“c”, entoncesentoncestambiéntambién lolo sonson:: KfKf,, f+gf+g,, ff--g,g, ff..gg,, f/gf/g (ésta(ésta ultimaultimasiempresiempre queque g(c)g(c) ≠≠ 00)) ff nn (f(f )) 11/n/n (ésta(ésta últimaúltima siempresiempresiempresiempre queque g(c)g(c) ≠≠ 00),), ff nn,, (f(f )) 11/n/n (ésta(ésta últimaúltima siempresiemprequeque f(c)>f(c)>00,, sisi nn eses par)par)..
TEOREMATEOREMA (del(del límitelímite dede composicióncomposición dede funciones)funciones)SiSi yy sisi ff eses continuacontinua enen L,L, entoncesentoncesL)x(glim
cx=
→
)L(f))x(glim(f))x(g(flim ==
EnEn particular,particular, sisi gg eses continuacontinua enen “c”“c” yy ff eses continuacontinuaenen g(c),g(c), entoncesentonces lala composicióncomposición fogfog eses continuacontinua enen “c”“c”
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)(f))(g(f))(g(fcxcx →→
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5.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO5.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
La función f es continua por la derecha en “a” si:La función f es continua por la derecha en “a” si:
)a(f)x(flimax
=+→
y continua por la izquierda en b si: y continua por la izquierda en b si:
DecimosDecimos queque ff eses continuacontinua enen unun intervalointervalo abiertoabierto sisieses continuacontinua enen cadacada puntopunto dede eseese intervalointervalo..
)b(f)x(flimbx
=−→
DecimosDecimos queque ff eses continuacontinua enen unun intervalointervalo cerradocerrado[[a,ba,b]] sisi eses continuacontinua enen ((a,ba,b),), continuacontinua porpor lala derechaderechaenen “a”“a” yy continuacontinua porpor lala izquierdaizquierda enen “b”“b”..
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IndiqueIndique queque tipotipo dede continuidadcontinuidad presentanpresentan laslas siguientessiguientesfuncionesfunciones::
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5.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO5.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
SeaSea ff unauna funciónfunción definidadefinida enen [[a,ba,b]] yy seasea “w”“w” ununnúmeronúmero entreentre f(a)f(a) yy f(b)f(b).. SiSi ff eses continuacontinua enen [[a,ba,b],],entoncesentonces existeexiste alal menosmenos unun númeronúmero “c”“c” entreentre aa yy b,b,
ll fftaltal queque f(c)=wf(c)=w..
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