Limites: Definición: El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Por ejemplo: Consideremos la función 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 1 dada por la grafica de la figura y observemos en el punto x =2 situado en el eje de abscisas (eje x):

Qué ocurre cuando nos acercamos al punto 2 moviéndonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2.1, 2.01, 2.001. Vemos en la figura que en este caso las imágenes (valores de y) de dichos puntos sobre la curva, f(2.1), f(2.01), f(2.001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, es el valor y =3. Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1.9, 1.99, 1.999 en este caso las imágenes (valores de y) f(1.9), f(1.99), f(1.999) se acercan también al mismo valor, y =3. Concluimos que el límite de la función f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cual expresamos como:

lim𝑥𝑥→2

𝑥𝑥2 − 1 = 3 Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el límite de una función en un punto es el valor en el eje “y” al que se acerca la función, f(x), cuando la x se acerca, en el eje x a dicho punto. Una definición más rigurosa de límite es:

Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe

Nota: no es necesario que f este definida en 𝑎𝑎 para que el límite exista Propiedades de los límites (teoremas): Estas propiedades usualmente se les conoce como teoremas. Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. En este curso, través de ejemplos estableceremos, sin demostración, algunos teoremas importantes que nos permitirán hacer el cálculo de límites de funciones.

Ejemplos

Ejercicios

1. Evalúe el siguiente límite: ( )

3

9729

3xx

x xLím→

−

−

( ) ( )

( )

3 2

9 9

2

9

9

729 ( 9) ( 9 81)3 3

3( 9) ( 9 81)33

( 9)

x x

x

x

x x x xx x x x

xx x xxx x

x

Lím Lím

Lím

Lím

→ →

→

→

− − + +=

− −

+− + +=

−−

−=

⋅

2( 9 81) ( 3)( 9)

x x xx x+ + +

−2

9

2 2

( 9 81) ( 3)

[(9) 9(9) 81]( 9 3) 3(9) (6) 3(9)(6) 1629 9

x

x x xx

Lím→

+ + +=

+ + += = = =

2. Evalúe el siguiente límite:

0

( 4 2) ( 3)9 3x

x xL í m

x→

+ − +

+ −

0

0

0

( 4 2) ( 3)9 3

( 4 2) ( 3) ( 4 2) ( 9 3)9 3 ( 4 2) ( 9 3)

[( 4

x

x

x

x xL í m

x

x x x xL í m

x x x

L í m

→

→

→

+ − +

+ −

+ − + + + + +=

+ − + + + +

=) 4x+ − ] ( 3) ( 9 3)

[( 9x x+ + +

) 9x+ −

0

] ( 4 2)

x

x

xL í m→

+ +

=( 3) ( 9 3)x x

x+ + +

0

( 3) ( 9 3)( 4 2) ( 4 2)

3(6) / 4 9 / 2 4.5x

x xL í m

x x→

+ + +=

+ + + +

= = =

3. Evalúe el siguiente límite: 3

232

8 27

4 9.

t

tL í mt→

−−

4. Evalúe el siguiente límite: 2

2 13 2 42

( ).

( )x

x xL í m

x→−

+ + −+

5. Evalúe los siguiente límites:

a) 0

2

9 3.

xL í mx x→ + −

b)

3

0

1 6 1h

hL í m

h→

+ −

c) 3 2

3 23

2 5 2 3

4 13 4 3x

x x xL í mx x x→

− − −− + −

6. Evalúe los siguiente límites:

a)

2

29

( 81)( 3)

( 9)x

x x

xL í m→

− −

−

b) Evaluar: 0

2

9 3.

xL í mx x→ + −

c) 21

3 10x x

xx

Lím→−

− +

+

Limites laterales o unilaterales

Para probar que una función tenga limite es necesario probar que tanto por la derecha, como por la izquierda se aproximan a un mismo número, o sea que para que un límite exista es necesario que el limite cuando x se aproxima al número 𝑎𝑎 a través de valores por la izquierda 𝑎𝑎 (𝑥𝑥 → 𝑎𝑎−) sea igual al límite cuando x se aproxima al número 𝑎𝑎 a través de valores por la derecha de 𝑎𝑎 (𝑥𝑥 → 𝑎𝑎+), si esto no sucede el limite no existe.

Si lim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿1 𝑦𝑦 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿2 ,

para que el limite exista es necesario que 𝐿𝐿1 = 𝐿𝐿2

Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones. Consideremos la siguiente representación gráfica de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), en la que existe una discontinuidad cuando 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎

notemos que cuando tiende hacia "a" por a derecha de "a" la función tiende a 2, pero cuando

tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1.

Escribimos 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎−para indicar que 𝑥𝑥 tiende hacia "a" por la izquierda, es decir, tomando valores menores que "a". Similarmente 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎+indica que tiende hacia "a" por la derecha, o sea, tomando mayores valores que "a". Utilizando ahora la notación de límites, escribimos y . Estos límites reciben el nombre de límites laterales; el límite por la izquierda es 1 y el límite por la derecha es 2.

Ejemplo ilustrativo 1:

Determine los límites unilaterales y bilaterales en 𝑥𝑥 = 1 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 2 de la función:

Ejercicios 1) 2) 3)

Limites Infinitos Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado. Crecimiento infinito:

Decrecimiento infinito:

Teorema de límite13:

Propiedades de los límites infinitos

23

2 5

9x

xL í mx→

−− 2

3

23

23

2 5 2 5 1

9

2 5 2 5 1

9

2 5

9

(3)( )0 ( )0

(3)( )0 ( )0

x

x

x

xL í mx

xL í mx

xL í mx

→

→

→

− −= = = − ∞

− −−−

− −= = = + ∞

+ +−+

−∴ = ∞

−

Evalúe los siguiente límites: a)

2

52

2

32

5( )x

x xx

Lím→

+ −+ − +−

2 2

2

5 5

2

2 2 2 2 4 10 2 8

32 32 2 32 32 0 0

5 ( ) 5( )

( ) ( ) ( )

( )

[ ( )] [ ] [ ]x

x

x x

x

Lím

Lím→

→

= − − = −+ − − + − −+−

− + − + − − + − −+−

=

= = = =

2

52

2

32

5( )x

x xx

Lím→

+ −= + ∞

+ − +−∴

b)

x 532( )x− +

– 1.99 – 0.7920399001

Limites al Infinito Propiedades de limites al infinito: Si 𝑛𝑛 es cualquier entero positivo, entonces

a) lim𝑥𝑥→+∞1𝑥𝑥𝑛𝑛

= 0

b) lim𝑥𝑥→−∞1𝑥𝑥𝑛𝑛

= 0

Evalúe los siguiente límites:

a) ( )2

xL í m x x x→+ ∞

+ −

( )( ) ( )

( )

22 2 2 2

2 2

2 2

2 2

22

2 2

22

1 ( ) 11

1

1 1

11

1 1 121 1 0 11 1

x x

x x

x x

x x

x

x x x x x x x x xL í m L í m

x x x x x x

x x x xL í m L í mx x x x x x

xxL í m L í m

x xx x xx x

L í m L í mx x x x

xx

L í m

x

→+ ∞ → + ∞

→ + ∞ → + ∞

→ + ∞ → + ∞

→ + ∞ → + ∞

→ + ∞

+ − + + + −=

+ + + +

+ −= =

+ + + +

= =++ + +

= =+ +

++

= = =+ +

+ +

b) Lim𝑥𝑥→+∞

8𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−14𝑥𝑥3+2𝑥𝑥2−3

c) Lim𝑥𝑥→+∞

3𝑥𝑥2

4−𝑥𝑥2