Limites en el Infinito

2

Funciones, Límite y Continuidad

Límites al infinito

Límites infinitos

tiempo

(años)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10

20

30

40

50

60

clientes

f

¿Cuál es el máximo número esperado de

clientes al cual se tiende en

el largo plazo?

Analicemos …

¿ ?

¿ ?

50

+∞→t

Entonces: 50)(lim =

+∞→

tft

Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se

aproxima la función cuando t crece indefinidamente.

3

4

Límites al infinito

Si los valores de la función f (x) tienden al número L

cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:

lim ( )x

f x L→+∞

=

De manera similar, valores de la función f (x) tienden

al número M cuando x disminuye indefinidamente,

se escribe:

lim ( )x

f x M→−∞

=

5

y = f (x)y

y = L

y = M M

L

lim ( )x

f x L→+∞

=

lim ( )x

f x M→−∞

=

x

Por ejemplo….

• Ejemplo• f(x) = x / (x – 3)• Para x = 1000 ���� y = 1000/997 = 1,003• Para x=10000 ���� y = 10000/9997 = 1,0003• Para x = 100000 ���� y = 1,00003• Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y

cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega.

• Otro ejemplo

• y = x / (x2 – 4)Para x = 1000 � y = 1000/999996 = 0,001Para x=10000 � y = 10000/9999996 = 0,0001Para x = 100000 � y = 0,00001Para x = 1000000 � y = 0,000001

Está ya claro que:Lím f(x) = 0x� +∞

Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguirá una sucesión de valores idéntica, aunque ahora negativos.

Lím f(x) = 0x� –∞

La función presenta una recta asíntota horizontal que es y = 0.Si los dos límites hallados fueran de distinto valor, la función tendría dos asíntotas horizontales: y = L1 e y = L2

1º) El límite de la función f(x)=k, tanto en -∞ como en +∞: lím k = kx→-∞Lím k=kx→+∞

1.- Cálculo de límites en el infinito

2º) El límite de la función f(x)=x, tanto en -∞ como en +∞:

lím x=-∞ x→-∞lím x=+∞ x→+∞

9

límite al infinito para funciones polinómicas

1

1 1 0( ) n n

n nf x a x a x a x a−

−= + + + +…

lim ( ) lim n

nx x

f x a x→±∞ →±∞

=

Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el

infinito, se halla el límite del término de mayor grado

(término dominante).

Ejemplos:

a) 32 59lim

3 6xx x

→+∞

− + −

b) )5( 24

lim +−+−+∞→

xxxx

Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valor

de los siguientes límites?

10

+∞=+∞→

n

xxlim

=

+∞→

nx x

1lim

=

−∞→

nx x

1lim

Interrogante . . . . .

EjemploF(x)=1/x

0

0

1

1 1 0

1

1 1 0

( )n n

n n

m m

m m

a x a x a x af x

b x b x b x b

−

−

−

−

+ + + +=

+ + + +

…

…

1

1 1 0

1

1 1 0

lim ( ) lim

n n

n n

m

m mx x

m m

m

a x a x a x a

xf xb x b x b x b

x

−

−

−→±∞ →±∞

−

+ + + +

=

+ + + +

…

…

Divida el numerador y denominador entre el x elevado

al mayor grado del denominador y calcule el límite de la

nueva expresión:

Resolución:

Límite al infinito para funciones racionales

11

12

Para funciones racionales:

1

1 1 0

1

1 1 0

( )n n

n n

m m

m m

a x a x a x af x

b x b x b x b

−

−

−

−

+ + + +=

+ + + +

…

…

Resolución simplificada:

Calcular el límite, tomando en cuenta el término

dominante del numerador y del denominador:

m

m

n

n

x xb

xalim

±∞→

13

Operaciones con expresiones infinitas

Ejemplos resueltos

Se dividen numerador y denominador entre la mayor potencia de x que aparezca.Si hay raíces en el denominador se multiplica y se divide por la expresión conjugada del denominador.

Se opera la expresión antes de calcular los límites, o bien, si hay raíces como en este ejemplo, se multiplica y divide por la expresión conjugada.

CASOS DE INDETERMINACIÓN (Tratar cada caso según su expresión)

0----0

±∝

----±∝

∝ - ∝ 0 · ∝ 00 ∝ 0 1 ∝

Ejemplo

18

Ejercicios:

32

542

2

lim+

+

+∞→ x

x

x

x

xx

x 21

34

lim−

−

+∞→

x

xx

x 21

34

lim−

−

−∞→

3

72lim

−

+

+∞→ x

x

x

1.

2.

3.

4.

Calcule los siguientes límites