limites y continuidad

Límites y Continuidad.Guía Didáctica Unidad III.

22/08/2009Universidad Centroccidental Lisandro AlvaradoM.Sc. Jorge Eliecer Hernández Hernández

Archivo: Límites y ContinuidadAutor : M.Sc. Jorge E. Hernández H.Fecha : 22/08/2009

Capítulo I. Límites.

Objetivos a desarrollar.

- Definición intuitiva de Límite.- Definición de Límites Laterales.- Existencia del Límite.- Límite de algunas funciones notables.

I.1. Introducción.

La noción de “límite”, como palabra ordinariamente usada, la tenemos asociada al significado de frontera, de borde, de separación entre objetos. Por ejemplo, si pensamos en dos bolas de billar muy cercanas, tanto que parecen tocarse (véase figura), el punto del espacio que falta para que las bolas, en realidad se unen, lo podríamos llamar límite.

x

Similarmente, cuando nos desplazamos sobre una línea recta numerada, horizontalmente hasta llegar lo más cercano que podamos al número 2, sin tocarlo, el mismo punto al que nos acercamos se convierte en el punto límite.

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Nos hacemos una pregunta: ¿Hacia que punto o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la misma?Antes de darle una respuesta a esta pregunta, veamos el siguiente gráfico.

Cuando nos acercamos a usando las aproximaciones obtenemos los valores

las cuales son aproximaciones al valor si queremos podemos aproximarnos aún más hacia y encontrar más acercamiento al valor

Ahora veamos un ejemplo numérico:

Sean Vamos a crear una tabla de valores para

usando las siguientes aproximaciones:

3


estas son aproximaciones a

x

Lo que observamos en el lado derecho de la tabla son, precisamente, aproximaciones al valor 9. Entonces, si nos aproximamos al valor con aproximaciones menores que 3, encontramos aproximaciones a 9, en este caso, también menores que 9.

Sin más preámbulo, veamos las definiciones siguientes.

I.2. Límites laterales de una función.

Definición : El valor numérico aproximado que encontramos por medio de las imágenes de las aproximaciones menores que un valor determinado

usando la función f, se denomina “límite lateral izquierdo de f cuando x tiende al valor a”, y se denota por

2,5 6,25 2,75 7,5625 2,90 8,41 2,95 8,9401 2,99 8,994 2,999 8,9994aproximación 3 9

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Nota: Este símbolo representa un valor numérico aproximado, es decir, es un número. El símbolo representa la forma en la cual nos aproximamos hacia en este caso, el acercamiento es por el lado izquierdo.Definición : El valor numérico aproximado que encontramos por medio de las imágenes de las aproximaciones mayores que un valor determinado

usando la función f, se denomina “límite lateral derecho de f cuando x tiende al valor a”, y se denota por

Nota: Este símbolo representa un valor numérico aproximado, es decir, es un número. El símbolo representa la forma en la cual nos aproximamos hacia en este caso, el acercamiento es por el lado derecho.

Para ilustrar estas definiciones usaremos la tabla anterior; las aproximaciones a son todas menores que 3, es decir, x tiende a 3 por el lado izquierdo; además, hemos encontrado que las imágenes de

estas aproximaciones por medio de la función son

aproximaciones al valor numérico 9; entonces podemos escribir:

I.2 Límite de una función,

Definición :El valor numérico único, encontrado cuando x tiende hacia el valor numérico “a”, por la izquierda y por la derecha, se denomina “ límite de la función f cuando x tiende a , y se denota por

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Nota: Como anteriormente, este símbolo representa a un único número. El símbolo representa la forma en como nos aproximamos hacia el valor “a”; en este caso la ausencia de los signos “+” y “-“, indica que x se acerca al valor “a” en ambos sentidos, derecha e izquierda.

II. 3 Teorema: Existencia del límite.

Teorema :

El límite de una función f cuando x tiende al valor numérico “a”, existe, es decir, es un valor numérico L, si y solo si

De acuerdo al teorema anterior podemos decir entonces que el límite de una función f no existe cuando x tiende al valor numérico “a” si y solo si los límites laterales son distintos o alguno de ellos no es un valor numérico definido.

II.4 Límite de algunas funciones notables.

4.1 Para la función constante: tenemos:

4.2 Para la función identidad: tenemos:

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4.3 Para la función potencial: tenemos:

4.4 Para la función polinomial: tenemos:

4.5 Para la función racional: tenemos:

4.6 Para la función algebraica: tenemos:

si existe y n es impar, ó si existe, es positivo

y n es par.

Ejemplos.

1. Sea Encuentre

Respuesta:Observamos que la función f es un polinomio, en consecuencia, usando 4.4 tenemos:

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2. Sea Encuentre

Respuesta:Como podemos ver, f es una función racional; por otra parte, como

es un punto del dominio de f: entonces podemos usar 4.5, y obtener:

3. Sea Encuentre

Respuesta:

Hagamos Esta función está definida por el radicando

mostrado en la definición de la función f. Para calcular este límite podemos valernos de 4.6, pero necesitamos evaluar

ya que es impar. Veamos:

Tenemos entonces que este límite existe. En consecuencia, usando 4.6, el resultado pedido es:

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II. 6 Propiedades de los límites.

En esta clase veremos algunas propiedades de los límites que nos ayudaran en el cálculo de los mismos, así como también la manera de encontrarlos en los puntos límite de los intervalos en los cuales se divide el dominio de las funciones ramificadas.

Teorema: Propiedades de los límites.

Sean f y g funciones para las cuales existen y

Entonces:

a)

b)

c) si

Este teorema se convierte en una herramienta útil a la hora de encontrar el valor de límites propuestos correspondientes a suma o resta, multiplicación y división de funciones. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos.

1. Encuentre el límite siguiente:

Respuesta:

Observando la función notamos que es la suma

de dos funciones:

y

9


y para cada una de estas tenemos que:

y

es decir, ambos límites existen. En consecuencia, usando la parte a) del teorema, tenemos:

2. Encuentre el límite siguiente:

Respuesta:

Hagamos Entonces, la función h es la división de la

función y la función De esta manera, podemos usar la parte c) del teorema anterior. Para cada una de estas funciones tenemos que:

y

es decir, los límites existen, y además, el límite de la función del denominador es distinto de cero. Por lo tanto:

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I.7 Límite de funciones Ramificadas.

Ahora veremos la forma de calcular límites de funciones ramificadas; no hay mucha diferencia en la forma en que hemos procedido anteriormente. Veamos un ejemplo.

Sea Encuentre:

Respuesta:

Observemos que el dominio de esta función está dividido, y el punto de división es

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Capítulo II. Continuidad.

II.1 Introducción.

La idea intuitiva de lo que conocemos por trazo continuo es el dibujo de una línea sin saltos, es decir, el trazo de un lápiz sin despegar la punta del papel. Esta idea se traspone al gráfico de una función y de esto se deduce la definición de continuidad de una función. Observemos los siguientes gráficos.

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Estos gráficos muestran lo que es trazo continuo y trazo no continuo. De acuerdo a esto definimos entonces lo que es una función continua.

II.2 Continuidad en un punto.

Definición: Decimos que una función es continua en un punto si se cumplen las siguientes condiciones:

a) existe

b) existe

c)

La primera de estas condiciones nos dice que la función debe estar definida en el punto donde se requiere la continuidad, es decir, en dicho de otro modo, debe ser un número real.La segunda condición nos habla acerca de la aproximación de la función a un valor numérico por el lado izquierdo y por el lado derecho, valor numérico que debe ser el mismo. Recordemos que la existencia del límite depende de la igualdad de los límites laterales.La tercera condición condiciona la continuidad a la igualdad del valor de la función en es decir, con el valor numérico obtenido en el límite.

Definición: Una función no es continua en un punto si deja de cumplir alguna de estas condiciones.

Ejemplo: una función continua.

La función es continua en En efecto,

a) , es decir, existe ya que es un número real.

b) , ya que es una función polinómica

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c) De las anteriores, la condición es obvia.

Ejemplo: una función discontinua en

La función es discontinua en En efecto,

a. no existe como valor numérico ya que al sustituir en la función, el denominador se anula, y la división entre cero no está definida.

Tan solo el hecho de la función no cumpla esta condición basta para concluir que la función no es continua.

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II. 3 Continuidad en un intervalo.

Definición: Una función es continua en un intervalo si es continua

en todos los puntos .

En el ejemplo b) la función es continua en los intervalos y pero es discontinua en cualquier intervalo que contenga a o

II.4 Función continua.

Definición: una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.

En el caso de la función cuadrática , decimos que es continua ya que

para cualquier punto x en la función es continua. Caso contrario, la función no es continua en ya que la función no es continua en

Ejemplos.

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1. Determinar si la función es continua.

2. Determinar si la función

es una función continua.

Solución de 1.

Queremos probar que es continua en cualquier punto de R. Sea cualquier número en R. Probaremos la continuidad de la función en este punto.

Primero, notemos que la función tiene como dominio a todos los

números reales, por tanto, existe, y tiene como valor a

Por otra parte, se tiene que

Lo que nos indica que el límite existe.Por último, es obvio, de los resultados obtenidos, que el límite y el valor de la función en el punto son iguales.Concluimos entonces que la función es continua en el punto y como a fue escogido en forma arbitraria, sigue que la función es continua en cualquier valor numérico para x.

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Solución de 2.

Según la definición de la función, vemos que en hay un cambio en la forma de obtener los valores de , por lo que vamos a analizar la continuidad de esta función en ese preciso valor.

Es claro que cuando la función toma el valor de , por lo tanto

la primera de las condiciones de continuidad es satisfecha.Ahora,

y

Se deduce que el límite de la función no existe, por lo tanto la función no es continua en en consecuencia, no es continua.

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