limites y continuidad de funciones 2011-12

8/4/2019 limites y continuidad de funciones 2011-12

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TEMA 1 LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Funcin real de variable real

Una funcin f de variable real es una relacin que asocia a cada nmero real x, de la

variable independiente, un nico nmero y=f(x), de la variable dependiente, que sedenomina imagen de x por f.

Al conjunto de los valores de x a los que se les asocia alguna imagen se le denomina

Dominio de f (Dom f). Al conjunto de los valores de y que son imagen de algn x se le

denomina Recorrido de f (Im g).

Ejemplo:Un ejemplo de funciones son las sucesiones de nmeros reales:

f: N R

n anPoner vosotros otros ejemplos

Lmites de funciones

Una de las caractersticas de las funciones que ms nos interesa estudiar es su tendencia.

En muchas ocasiones, nos interesa saber hacia donde tiende la funcin cuando la

variable x tiende al infinito o a un valor finito. Vamos a desarrollar estas ideas primero

de una forma intuitiva (grficamente), para despus pasar a hacerlo de una forma ms

rigurosa o formal (analticamente).

Intuitivamente:

-Observa la siguiente grfica de una funcin. Estudia el dominio y el recorrido de la

funcin, as como su continuidad. Escribe el valor de cada lmite que se indica y saca

conclusiones:

Ies Africa Matemticas II Curso 2011-12 Enrique Jan 1


2/13

=

=

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

1

1

4

4

2

2

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

x

x

x

=

=

=

=

=

=

+

+

+

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

)(lim

4

4

2

2

0

0

xf

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

x

-Representa la grfica de una funcin teniendo en cuenta el valor de los lmites

siguientes. Estudia adems el dominio y la continuidad de dicha funcin.

0)0(

0)(lim

0)(lim

)(lim

)(lim

0

0

1

1

=

=

=

+=

=

+

+

f

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

4)(lim

2)(lim

)(lim

)(lim

3

3

1

1

=

=

+=

+=

+

+

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

noexistef

xf

xf

x

x

)4(

5)(lim

5)(lim

4

4

=

=

+

1)Limite de una funcin en el infinito.


1)2(

0)(lim

0)(lim

1)(lim

0)(lim

)(lim

2

2

3

=

=

=

=

=

+=

+

+

f

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x


3/13

-Diremos que el lmite de f(x) cuando x tiende a + ( ) es L, y se expresa:Lxf

x=

+)(lim ( Lxf

x=

)(lim ), cuando se verifica que a medida que x va tomando

valores ms grandes (pequeos), los valores correspondientes de la funcin se van

aproximando cada vez ms a L.

Formalmente:

Diremos que Lxfx

=

)(lim si se verifica que ,0> podemos encontrar un x0 tal

que si x>x0 (o xx0 (x

Ejemplos:

1)Las funciones potenciales tienden a cuando x tiende a .



4/13

2)Hay funciones que no tienen lmite cuando x tiende a . Como por ejemplo:f(x) = senx ; f(x) = cosx ; f(x) = tgx

Ejercicio:

Halla los siguientes lmites:

a)32

3lim xxxx

++

b)3 2

2lim ++

xx

c) ( )xx

225lim

+d) ( )x

xlog2lim

+

e)xx

x

x + 22

2lim f)

x

x

+ 2

1lim g)

1

1lim

2 ++ xxh)

x

x

+

3

2lim

2)Limite de una funcin en un punto.

-Diremos que el lmite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda es + ( ),

y se expresa += )(lim xfcx ( = )(lim xfcx ), si se cumple que a medida que xtoma valores cada vez ms prximos a c y menores que c, los valores correspondientes

de f(x) van siendo cada vez mayores (menores).

-Diremos que el lmite de f(x) cuando

x tiende a c por la derecha es + ( ), y se expresa +=+

)(lim xfcx

(

=+

)(lim xfcx

), si se cumple que a

medida que x toma valores cada vez ms

prximos a c y mayores que c, los

valores correspondientes de

f(x) van siendo cada vez mayores (menores).

-Diremos que el lmite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda

es L, y se expresa Lxfcx

=

)(lim ; si se cumple que a medida que

x toma valores cada vez ms prximos a c y menores que c, los

valores correspondientes de f(x) van aproximndose cada vez ms a L.

-Diremos que el lmite de f(x) cuando x tiende a c por la derecha es

L, y se expresa Lxfcx

=+

)(lim ; si se cumple que a medida que x

toma valores cada vez ms prximos a c y mayores que c, los valores correspondientes

de f(x) van aproximndose cada vez ms a L.



5/13

-En general diremos que Lxfcx

=

)(lim cuando existen los lmites laterales y

coinciden:

=

)(lim xfcx

Lxfcx

=+

)(lim .

Formalmente:

Diremos que Lxfcx

=

)(lim , si para cualquier 0> , podemos encontrar un 0> tal

que: si , +


6/13

+

=++=

=

+=++

=+

+=++

.mindet

)()(

acinerIn

l

l

+==+ =

+=+

+=

=

+=+

.det0)(

)()(

)(

)()(

In

l

ll

l

-Divisin: -Potenciacin:

=

=

=

=

.det0

0

.det)(

)(

00

0

0

0

In

In

l

l


7/13

[ ] [ ] 22lim)()(lim 33 =+=++

xxxhxfxx

4)Clculo de lmites

a)Lmites cuando x tiende a

-Indeterminacin

:

i)Cociente de polinomios:

==++

++ +

+

qpsi

qpsiba

qpsi

x

b

a

xbbx

xaax qpxqq

pp

x

0

/lim

.....'

.....'lim

1

1

*(multiplicando y dividiendo el numerador por xp, y el denominador por xq, todos los

trminos restantes tienden a 0).

Ejemplos:

==

+

++x

x

xx

xx 2

3lim

21

123lim

2

03

lim2

123lim

3

2

==++

++ xxx

xx

xx

4

3

4

123lim

2

2

=++

+ xx

xx

x

ii)Cociente de otras expresiones infinitas:

-Cuando en el numerador, el denominador o en ambos aparecen expresiones radicales,

se opera como en el apartado anterior pero teniendo en cuenta que:n pp xaax ...' 1 ++ se comporta como npn xa / cuando x

Ejemplos:

32

32lim

29

12lim2

==+

++ xx

xx

xxx

=

=

++ x

x

x

xx

xx 5

2lim

53

4lim

2/33

-Cuando en el cociente aparecen expresiones potenciales, exponenciales, y logartmicas,

hay que tener en cuenta el orden del infinito que representan, en general:

Orden infinito exponenciales>orden infinito potenciales>orden infinito logartmicas.

Ejemplos:

+=+ 305

2limx

x

x

0loglim 2 =+ x

xx

+=+ 7

5'1limx

x

x



8/13

03

2lim =

+ x

x

x0

5

loglim

10

2 =

+ xx

xx

-Indeterminacin :

-Expresiones en las que el lmite se ve a simple vista:

+==

=

+

+++

2/32/3

4

53 lim

9

2lim

9

425lim xxx

x

xxx

xxx

=

+

x

x x

x4'1

2lim

2

23

-Diferencia de cocientes de polinomios:4

4lim

1

)1(3lim

1

3lim

22

=

=+

+=

+

+++ x

x

x

xxxxx

x

xx

xxx

-Diferencia de radicales:

( ) ( (( ) 4

1

4lim

24lim

24

2424lim24lim

22

222 =

=

+

=

+

+=

+++ x

x

xxx

x

xxx

xxxxxxxxx

xxxx

-Indeterminacin 1 :

-En general, cuando tenemos una potencia, debemos estudiar la tendencia de la base y el

exponente:

03

2

13

2lim =

=

+

x

x x

x +=

=

+

2

3

12

3lim

x

x x

x

-Cuando 1)(lim = xfx y = )(lim xgx , tendremos que

=1)(lim )(xg

xxf , que es

una indeterminacin que resolveremos:[ ] )(1)(lim*

)()(limxgxf

xg

x

xexf

= :

*(se obtiene transformando la expresin teniendo en cuenta que en n

n

+

11 )

( ) ( )10

3513

6lim351

13

53lim

35

13

53lim eee

x

x xxx

x

xx

x

xx ===

+

+

-Lmites cuando x

Hay que tener en cuenta que )(lim)(lim xfxfxx

=+ :

( ) ( ) ( ) =+=+=+ ++ 13lim1)()(3lim13lim232323 xxxxxx

xxx



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b)Lmites cuando x tiende a un nmero c :

-En general, haremos )()(lim cfxfcx = :

( ) 8131lim 422

==+ +

x

xx

+=+=

9

3

2lim 2

3x

xx

-Cuando = )(lim xfcx , hay que hallar los lmites laterales para obtener el signo del

=

+ ==

+

2lim

2

lim

2lim

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

(asntota vertical x = 2 )

-Indeterminacin0

0:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) 5

4

31

2lim

321

22lim

67

4lim

223

2

2=

++

=+

+=

+

xx

x

xxx

xx

xx

x

xxx

( )( )

( ) 092lim9

92lim

9

182lim

2/12

32/12

2

32

2

3==

=

x

x

x

x

x

xxx

-Indeterminacin :

4

1

2

1lim

4

42lim

4

4

2

1lim

22222=

+=

+

=

xx

x

xx xxx

1321lim

2

1

32

2lim

2

11

32

1lim2

1

2

222

32

1lim

====

eeee

x

x xxxx

xx

xx

x

xxx

Continuidad de funciones

-Continuidad en un punto:

Diremos que f(x) es continua en x = c si se cumplen las siguientes condiciones:

1) lxfcx

=

)(lim , siendo Rl

2) f est definida en c, es decir, f(c) existe.

3) Adems )()(lim cflxfcx == (esta ltima condicin resume a las dems).



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-Si una funcin no es continua en un punto, diremos que presenta una discontinuidad

en ese punto. Hay distintos casos en los que se puede presentar una discontinuidad:

a)Discontinuidad inevitable de salto infinito:

Alguno de los lmites laterales es infinito.

Ej:

1

1)(

=

xxf tiene una discontinuidad de salto infinito en x = 1 ya que

= 11

lim1 xx

+=+ 11

lim1 xx

x = 1 asntota vertical

b)Discontinuidad inevitable de salto finito:

Los limites laterales no coinciden por lo que no existe el )(lim xfax

Ej:

=

2

2/1)(

xsix

xsixxf

f(x) es continua en { }2,0R : En x=0 hay una discontinuidad de salto infinito,en x=2 hay una discontinuidad de salto finito. Representa la funcin.

Teorema de Bolzano

Si f(x) es continua en [a, b] y signo de f(a) signo de f(b), entonces existe al menosun ( )bac , tal que f(c) = 0.La demostracin de forma grfica es evidente .



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Observacin:Aunque la funcin no sea continua en [a, b] signo f(a) = signo f(b), puede ocurrir

que corte al eje X en el intervalo (a, b).

Aplicacin del teorema:

-Probar que la ecuacin x3 3x + 40 = 0 tiene alguna solucin real. Aproximar su

valor hasta las dcimas.

Sol: Tenemos que probar que la funcin f(x) = x3 3x + 40 tiene alguna raz real. En

primer lugar f(x) es continua en R ya que es una funcin polinmica. Adems por

tanteo vemos que f(-4) = -12 y f(-3) = 22, por lo que por el teorema de Bolzano

podemos afirmar que existe ( )3,4 c tal que f (c ) = 0. Por tanteo vemos que laraz es aproximadamente .7'3c

Consecuencias del teorema de Bolzano:

1)Teorema de los valores intermedios (Darboux):

Si f es continua en [a, b], entonces para cualquier nmero k , tal que f(a) < k < f(b),

existe un nmero s, tal que f (s) = k.

Ej:

Dada la funcin f(x) = senx + cosx, demuestra que existe un punto )4,0(c tal quef (c ) = -1.

2)Si f y g son continuas en [a, b] y se cumple que f(a)g(b), entonces existe

un nmero ( )bas , tal que f(s) = g(s).

Ej:

Probar que las grficas de las funciones f(x) = Lnx y g(x) = e-x se cortan en algn

punto del intervalo [1, 2].

Teorema de Weierstrass



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Si f es continua en [a, b], entonces tiene un mximo y un mnimo absolutos en ese

intervalo. Es decir, existen dos nmeros, c y d, del intervalo [a, b], para los que se

cumple: Si [ ] bax , )()()( cfxfdf

Ej:

-Dada la funcin:1

1)(

=

xxf . Tiene mximo y mnimo absolutos en el intervalo

[2, 5]? Y en el intervalo [0, 2]?.


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