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CARRERA DE INGENIERIA CIVILzFABAB LI(R )A1

Lneas de Influencia

Propiedades de lneas de InfluenciaValor Mximo de las accionesAplicacin a vigas y armaduras isostticasLneas de influencia en estructuras hiperestticasPrincipio de Maller-BreslauDEFINICINEn la mayor parte de las estructuras las cargas exteriores actuantes tienen un nico punto de aplicacin fijo. Sin embargo hay tambin muchos casos en los que el punto de aplicacin de alguna fuerza puede variar a lo largo de la estructura: por ejemplo un puente recorrido por un vehculo, o una viga carril sobre la que apoya una gra. En estos casos los esfuerzos y deformaciones en la estructura dependen de la posicin que ocupa la carga, y en particular el valor mximo de cada uno de ellos se produce en una cierta posicin, en principio desconocida, de la carga. Al ser las cargas mviles se requiere por lo tanto un anlisis ms complejo que en el caso de cargas fijas, y para ello se utilizan las lneas de influencia.

Se define la lnea de influencia de un esfuerzo o de una deformacin como la funcin que proporciona la variacin de dicho esfuerzo o deformacin, para las distintas posiciones de la carga mvil a lo largo de la estructura, y para un valor unitario de dicha carga. Por lo tanto hay una lnea de influencia para cada esfuerzo o deformacin de la estructura, y para cada carga mvil distinta que acte sobre ella. Todas las lneas de influencia se expresan en funcin de algn parmetro que define la posicin de la carga mvil en su trayectoria.

Ejemplo. Considrese una viga biapoyada con una carga vertical mvil F.

El valor de la reaccin en A, es R=F(L-Z)/L

La lnea de influencia de la reaccin en A es la funcin que define el valor de dicha reaccin para un valor unitario de la fuerza mvil. Representa, para una abscisa determinada, el valor de la reaccin R , al aplicar la carga unitaria en dicha abscisa.

LI(RAA)=1-Z/LPor medio del estudio de las lneas de influencia se puede determinar cual es la posicin ms desfavorable de la carga para el esfuerzo o la deformacin estudiados, as como dicho valor mximo.Los primeros estudios sobre lneas de influencia para esfuerzos se deben a Winkler en 1868, quien posteriormente las aplic al diseo de puentes en 1872. Al mismo tiempo Mohr present en 1868 el concepto de lnea de influencia de una deformacin, como resultado de sus estudios sobre la deformada elstica de una viga.Los supuestos bsicos que se emplean para estudiar las lneas de influencia son:

Estructura con material elstico y lineal, con lo que es aplicable el principio de superposicin.

Una sola fuerza mvil de mdulo unidad. Este supuesto se introduce para facilitar el estudio inicial, pero ms adelante se estudian otros tipos de cargas.

La carga es mvil sobre una trayectoria que se supone en principio recta, pero ms adelante se ver que puede ser de forma cualquiera.

La carga mvil mantiene siempre la misma direccin y sentido de aplicacin, es decir que se traslada paralelamente a s misma y no gira. Ms adelante se ver que esta condicin tampoco es indispensable.

LNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS ISOSTTICAS

En las vigas estticamente determinadas, es posible calcular cualquier esfuerzo interno de la misma, utilizando nada ms que las ecuaciones de equilibrio esttico, por lo que stas son suficientes para hallar cualquier lnea de influencia.

El proceso de clculo suele consistir en determinar inicialmente las lneas de influencia de las reacciones en los apoyos, y posteriormente las de los esfuerzos internos, que se calculan con ms facilidad cuando se conocen las reacciones.

Ejemplo. Sea una viga con dos apoyos y un voladizo, recorrida por una carga unitaria vertical, como se indica en la figura. z2 m10 mABC1

La lnea de influencia de la reaccin en A, supuesta positiva hacia arriba, se obtiene tomando momentos respecto de B

La lnea de influencia de la reaccin en B, supuesta asimismo positiva hacia arriba, se obtiene del equilibrio vertical del conjunto.

RzA1210 AB 6/51LI(R )A RRzBA1210 AB -1/51LI(R )B

Para hallar la lnea de influencia del cortante en C se asla el tramo izquierdo o derecho de la viga, segn interese.Si la carga est a la izquierda de C, se asla tramo derecho de la viga. QRzzCB21007Si la carga est a la derecha de C, se asla eltramo izquierdo de la viga. QRzzCA1210712 AB -1/51/2LI(Q )C -1/2C Si la carga est a la izquierda de C, se asla eltramo derecho. MRzzCB52207Si la carga est a la derecha de C, se asla eltramo izquierdo. MRLzzCA122712 AB -15/2LI(M )C C

Para el momento flector en C se aplica la misma tcnica LNEAS DE INFLUENCIA EN CELOSAS ISOSTTICAS

En este caso las lneas de influencia no son continuas, ya que las cargas slo pueden estar situadas en los nudos. Como las diversas barras estn desconectadas a flexin unas de otras, y su comportamiento es lineal, ocurre que la lnea de influencia cuando la carga mvil est entre dos nudos es tambin lineal. Por tanto es suficiente con hallar la lnea de influencia para la carga aplicada en los distintos nudos de su trayectoria, y unir los valores discretos obtenidos mediante lneas rectas. De esta forma se obtiene una lnea quebrada que es la lnea de influencia buscada.Ejemplo. En la celosa de la figura la carga unitaria se mueve en el cordn inferior. ABCDEFGHJKLM 1 z 6 L L

Las lneas de influencia de las reacciones se calculan aplicando el equilibrio de todo el conjunto RzLRzLAG1661AHJKLMGRA 5/64/63/62/61/6 1AHJKLMGRG 5/64/63/62/61/6 Para determinar el esfuerzo en el tirante vertical BH se considera el equilibrio vertical del nudo H: el elemento BH est sometido a un esfuerzo unidad cuando la fuerza est justo en H, y tiene un esfuerzo nulo cuando la fuerza est en otros nudos. 1AHJ KLMGNBH

Para la diagonal AB, el equilibrio vertical del nudo A indica que NR NR AB=- 2

La lnea de influencia del esfuerzo en AB es igual a la de la reaccin en A pero cambiada de escala. Sin embargo, hay que notar que cuando la carga est en A el esfuerzo en AB es nulo, por lo que la lnea de influencia en el tramo AH es distinta y llega a cero en el punto A.

AHJKLMGNAB _ __ _

Para el elemento AH, el equilibrio horizontal del nudo A indica que: NNRAHABA/2

El esfuerzo en este elemento vara de la misma forma que la reaccin en A. Pero, al igual que en el caso anterior, si la carga est justo en A el esfuerzo en AH es nulo, por lo que su lnea de influencia cae hasta cero en el tramo AH.AHJ KLMGNAH _ __ _

Para la diagonal CK es ventajoso usar el mtodo de las secciones, efectuando un corte como se indica en la figura siguiente. ABCDEFGHJKLM 1

Si la carga est entre A y J, se asla la parte derecha NRCKG2

Si la carga est entre K y G se asla la parte izquierda NRCKA2Si la carga est en el tramo JK,

La lnea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y K. La figura siguiente muestra el resultado.AJKLMGNCK _ __ _ _ __ _H _RA_ _RG

Para el montante CJ se aplica el mtodo de las secciones con un corte como el indicado en la figura siguiente, y se asla el trozo de estructura que interese en cada caso.

ABCDEFGHJKLM 1 Si la carga est entre A y J, se asla la parte derechaNRCJG

Si la carga est entre K y G se asla la parte izquierdaNRCJA

Si la carga est en el tramo JK, la lnea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y KAHJKLMGNCJ 3/6 2/6

Para el cordn inferior JK se aplica el mtodo de las secciones con el mismo corte anterior, y se toma momentos respecto al punto C, a fin de que aparezca slo el esfuerzo en JK.

Si la carga est entre A y J, se asla la parte derechaNRJKG4Si la carga est entre K y G se asla la parte izquierdaNRJKA2

Si la carga est en el tramo JK, la lnea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y K.AHJ KLMGNJK 8/6

EMPLEO DEL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

El Principio de los Trabajos Virtuales brinda un mtodo muy interesante para la determinacin de lneas de influencia en estructuras isostticas. Si en una estructura isosttica se elimina el esfuerzo cuya lnea de influencia se desea hallar, la estructura se convierte en un mecanismo, con lo cual puede tener movimientos de slido rgido, que se producen sin acumulacin de energa elstica. De acuerdo con elPrincipio de los Trabajos Virtuales se cumple que el trabajo virtual de todas las fuerzas que actan sobre la estructura es nulo, al no acumularse energa elstica:

W=U=0 (1.1)

Sobre la estructura, transformada en mecanismo, actan las siguientes fuerzas: la fuerza unitaria mvil, el esfuerzo cuya lnea de influencia se desea hallar, llamado genricamente E, y las reacciones en los apoyos, que no producen trabajo virtual.Si se aplica sobre la estructura un desplazamiento virtual en la direccin del esfuerzo E cuya lnea de influencia se busca, la estructura adopta una configuracin deformada como slido rgido. En esta configuracin deformada se denomina E al desplazamiento virtual en la direccin del esfuerzo buscado Y i al desplazamiento en la direccin de la fuerza unitaria mvil. El trabajo virtual producido por ambas fuerzas es:W=.E+.1(2)De donde se calcula el valor de la lnea de influencia:E=-I/E (3)Si se elige el desplazamiento virtual de tal manera que valga la unidad (E=1) Se obtiene:E=-I(4)Esta expresin indica que la lnea de influencia de un esfuerzo cualquiera en una estructura isosttica es igual a la deformada - cambiada de signo - que adopta la trayectoria de la carga mvil, cuando se aplica un desplazamiento virtual unitario en la direccin del esfuerzo.

Esta deduccin es general, sea cual sea el tipo de esfuerzo. Para reacciones, el desplazamiento virtual unitario se impone en la direccin supuesta para la reaccin. Para esfuerzos internos, se debe imponer un desplazamiento virtual unitario relativo entre las dos caras donde acta el esfuerzo interno. Adems debe tenerse cuidado de que al imponerse esta deformacin relativa unitaria se mantengan constantes las dems deformaciones, de tal forma que los otros esfuerzos existentes en la seccin no produzcan trabajo virtual.

Es importante hacer notar que al haberse obtenido la lnea de influencia como una deformada, el signo del esfuerzo E debe interpretarse como positivo cuando la fuerza mvil acta en la direccin de la deformada y negativo cuando acta en sentido contrario.Aunque aqu se ha presentado como una mera utilizacin del Principio de los Trabajos Virtuales, este mtodo fue presentado por Mller-Breslau en 1887, conjuntamente con su mtodo para el clculo de lneas de influencia en estructuras hiperestticas, que se explica ms adelante.

Ejemplo. En una viga simplemente apoyada, la lnea de influencia de la reaccin en A se obtiene desplazando hacia arriba una unidad el apoyo A y calculando la deformada de la estructura, que gira como un slido rgido alrededor de B. GAB

Para el esfuerzo cortante en C, punto medio de AB, se aplica un movimiento vertical relativo de valor unidad entre ambas caras, manteniendo el mismo giro en ambas. Con ello el momento flector en C no produce trabajo virtual.1/2Q =-G=1/2G.CiGCd=1/2 CIAB -1/2

Para el momento flector en C se impone un giro relativo unitario entre ambas caras, manteniendo la flecha continua entre ellas, a fin de que el cortante no produzca trabajo virtual. 1/2 rad 1/2 rad M =-CGIAB 1/2

OTROS TIPOS DE CARGAS MVILES

El concepto de lnea de influencia ha sido presentado como la variacin de una magnitud cualquiera de la estructura cuando una carga unitaria mvil se mueve sobre ella. En la realidad son muy pocos los casos en los que la carga mvil es una nica y de mdulo unidad: lo habitual es que se trate de conjuntos de cargas mviles situadas a distancias fijas unas de otras y con mdulos diferentes (por ejemplo las cargas debidas a un vehculo).

Tambin puede ocurrir que sobre una viga muy larga acten varias cargas puntuales situadas muy prximas unas a otras, que se pueden representar como una carga distribuida (por ejemplo las cargas debidas a un tren sobre un puente muy largo). Se hace por lo tanto necesario aplicar el concepto de lnea de influencia a estas otras situaciones.

Al haberse supuesto comportamiento lineal, se cumple que la lnea de influencia debida a un sistema de cargas cualquiera es igual a la suma de las lneas de influencia de cada una de las cargas. A su vez cada una de stas es igual a la lnea de influencia debida a la carga unidad, multiplicada por el valor real de la carga. Esta consideracin general se puede expresar de forma analtica distinta segn sea el tipo de carga.

Trenes de cargas puntuales

Sea un conjunto de N cargas puntuales p1 situadas a unas distancias d a la primera de ellas (con d1=0) y sea LI(z) la lnea de influencia de un esfuerzo cualquiera E, calculada para una carga unitaria, y que se denomina lnea de influencia bsica. Para situar el tren de cargas en la viga se emplea la coordenada de posicin de la primera carga z, por lo que las restantes cargas estn situadas en unas posiciones Z=Z-D I=N-1.

El valor del esfuerzo E en una posicin cualquiera del tren de carga esPPEP LI zP LI zdiiiNiiiN()(),,11

Esta expresin indica que el valor del esfuerzo E debido al tren de cargas se calcula sencillamente sumando el valor que tiene la lnea de influencia z1bsica en la posicin de cada carga, multiplicado por el valor de la carga z2correspondiente, con su signo. Z3PLI(z)

La expresin analtica de la lnea de influencia correspondiente al tren de cargas se obtiene sumando, para cada carga, la lnea de influencia bsica, trasladada en la separacin de dicha carga respecto de la primera (z-d ) y multiplicada por el valor de la carga P .

En realidad la principal aplicacin prctica de las lneas de influencia es la determinacin de los valores mximos de los esfuerzos, por lo que raras veces se recurre a obtener la expresin analtica completa de la lnea de influencia del tren de cargas. Para la determinacin de los valores mximos de los esfuerzos se parte de la lnea de influencia bsica para una carga unidad y se determinan, por inspeccin, las posiciones crticas que puede adoptar el tren de cargas alrededor de cada punto mximo de dicha lnea de influencia bsica, teniendo en cuenta el mdulo y la direccin de las cargas.Cargas distribuidaEl caso de una carga distribuida mvil es similar al de un tren de cargas puntuales, pero considerando que las cargas estn infinitamente prximas. Sea una carga distribuida mvilde mdulo q(x), actuando sobre una zona de la viga de longitud d. La posicin de esta carga en la viga se define mediante la coordenada z de su extremo izquierdo.LI(z) El valor del esfuerzo E, en una posicinCualquiera z de la carga mvil es:zi q d

E=zi+dzi q(x) LI (x) dx

Es decir que el valor del esfuerzo E, para una posicin determinada de la carga mvil, es igual al rea situada bajo la curva que se obtiene al multiplicar la lnea de influencia bsica por la carga distribuida. Al igual que para el caso de fuerzas puntuales, lo habitual es utilizar este resultado para el clculo de los valores mximos de los esfuerzos, determinando por inspeccin la situacin psima de la carga mvil.

TEOREMA DE MLLER-BRESLAUSe considera una estructura elstica lineal cualquiera sobre la que acta una fuerza unitaria mvil Sea I un punto cualquiera de aplicacin de dicha fuerza mvil dentro de su trayectoria. Se quiere calcular la lnea de influencia de la reaccin en uno de los apoyos y en una determinada direccin, que se denomina RB 1

IB RB

Se aplica el mtodo de flexibilidad, de la forma siguiente: Se considera la reaccin RB como incgnita hiperesttica. Se elimina la restriccin originada por la reaccin RB. Se obtiene as una estructura que es hiperesttica de grado h-1, sobre la que acta la fuerza unitaria mvil. Esta estructura se denomina caso I .Se calcula la deformacin que aparece en este caso en la direccin de la reaccin:BI. IB 'B , 1Caso I

Se aplica sobre la estructura una fuerza unitaria en la direccin de la reaccin RB , con lo que se genera un caso denominado B en el que se calculan las siguientes deformaciones:

Deformacin en el punto B en la direccin de la reaccin, debida al valor unitario de la propia reaccin R :B BB Deformacin en el punto I en la direccin de la carga mvil, debida al valor unitario de R :BIB. I 'B B'IRB=1Caso B B

Se aplica la ecuacin de compatibilidad de deformaciones:B B B BI B +R =0

Que permite calcular la reaccin:RB= -BI/BB

Haciendo uso del teorema de reciprocidad de Maxwell, se cumple BI= BI, por loQue el valor de la reaccin buscada es:RB=-BI/BB(1)

El numerador de esta expresin representa la deformacin del punto I, donde est la carga mvil, en la direccin de dicha carga, al aplicarse una fuerza unitaria RB=1 denominador es la deformacin del propio punto B al aplicar la RB=1Esta expresin es vlida para cualquier punto I, por lo tanto, pensando que I es un punto cualquiera de la trayectoria, representa la lnea de influencia del esfuerzo buscado R.La ecuacin (1) representa el Teorema de Mller-Breslau, que puede enunciarse en la forma siguiente:La lnea de influencia de la reaccin en un apoyo de una estructura elstica lineal es igual al cociente, cambiado de signo, de la deformacin en la direccin de la fuerza mvil, dividida por la deformacin en el punto de aplicacin de la reaccin, ambas obtenidas para un valor unitario de la reaccin.

I 'BBR =BCaso Real _'IB 1 I 'B B'I1Caso B BFigura 10.6Es importante recordar que el numerador no es la deformacin absoluta del punto I, sino su deformacin medida (es decir proyectada) segn la direccin de la carga mvil.Normalmente ambas direcciones no coincidirn. Si la trayectoria de la carga mvil pasa por B, es decir que en alguna posicin el punto I coincide con el B, y la direccin de la carga mvil coincide con la de R , ocurre que:RB= -BB/ BB=-1(2)

Esto quiere decir que en este caso toda la fuerza mvil es absorbida por la reaccin, y el resto de la estructura est descargada.Si en la ecuacin (1) se sustituye BB=1 Se obtieneRB=-I B-1(3)

Lo cual permite enunciar el teorema de Mller-Breslau de otra forma distinta:

La lnea de influencia de una reaccin es igual a la deformacin, cambiada de signo, de los puntos de aplicacin de la carga mvil en la direccin de dicha carga mvil, cuando se impone una deformacin unidad en la direccin de la reaccin.

El teorema de Mller-Breslau es una manera muy elegante de plantear el clculo de lneas de influencia, pues transforma el clculo de un esfuerzo en un clculo de deformaciones.Resulta por lo tanto de gran inters cuando se dispone de un mtodo que facilita el clculo de deformaciones, como por ejemplo el mtodo de rigidez.

Aplicacin a momentos flectores

El teorema de Mller-Breslau est enunciado para reacciones, pero puede aplicarse a cualquier otro tipo de esfuerzo. Para el caso de un momento flector el proceso es el siguiente:

Se considera el momento flector M B como incgnita hiperesttica. Se elimina de la estructura introduciendo una articulacin en su lugar, y se obtiene as una estructura hiperesttica de grado h-1, sobre la que slo acta la fuerza unitaria mvil. Esta estructura se denomina caso I (figura 10.7).Se calculan los giros que aparecen en el caso I, en el punto B por la izquierda y por la derecha, en la direccin de las dos componentes del momento flector: BII IBD I TBi, 1Caso I TBd, Figura 10.7

Se aplica sobre la estructura un momento flector unitario en el punto B (figura 10.8), con lo que se genera un caso denominado B, en el que se calculan las deformaciones siguientes:

Giros en B por la izquierda y la derecha, en la direccin de las dos componentesdel momento flector:BiBBdB.

Deformacin en I en la direccin de la carga unitaria mvil:IB I B Caso B M =1BTBiBTBdB', Figura 10.8Se aplica la ecuacin de compatibilidad de deformaciones en el punto B,BI=-BD

IBD+MBIBB = -IBD-MBBBD

Que permite calcular el momento flector:

MB= -(IBI+IBD)/BBI+BBD

Haciendo uso del teorema de reciprocidad de Maxwell generalizado se cumple queiBI +DdiBi

El valor del momento flector buscado es:MB=-IB/BIB+BDBEl numerador de esta expresin representa la deformacin del punto I donde est la carga mvil, y el denominador es la suma de los dos giros en la direccin de las dos componentes del momento, todos ellos obtenidos al aplicarse un momento unitario MB=1

Se obtiene de esta manera una expresin muy similar a la obtenida para las reacciones, con la nica diferencia de que en el denominador aparece la suma de los dos giros en la direccin de las dos componentes del momento.

Aplicacin a esfuerzos cortantesSiguiendo un proceso similar al de los momentos flectores se llega a la siguiente expresin de la lnea de influencia para un esfuerzo cortante (figura 10.9):QBIBBiBBdB(10.17)

siendo:.Desplazamientos en B por la izquierda y la derecha, en la direccin de las dos componentes del esfuerzo cortante:B

IDeformacin en I en la direccin de la carga unitaria mvil:. I Caso BQ =1B'BdB', 'BiBBFigura 10.9

Aplicacin a esfuerzos axiales

Siguiendo un proceso similar al de los momentos flectores se llega a la siguiente expresin de la lnea de influencia para un esfuerzo axial (figura 10.10):BiBBdB

siendo:NBIBBiBBdB(10.18)Desplazamientos en B por la izquierda y la derecha, en la direccin de las dos componentes del esfuerzo axial:BiBBdB.Deformacin en I en la direccin de la carga unitaria mvil:IB.', I B Caso BNB=1'BdB 'BiB Figura 10.10

GeneralizacinEn ninguna de las deducciones anteriores se ha empleado la suposicin inicial de que la trayectoria es recta, ni que la carga mvil tiene direccin y sentido fijos, como se haba supuesto inicialmente. Por lo tanto todo lo deducido hasta ahora es vlido sea cual sea la trayectoria en la que se mueve la carga, y sea cual sea su direccin y sentido. Las expresiones de las lneas de influencia obtenidas son por lo tanto vlidas para cualquier trayectoria, incluso curva, as como para fuerzas de orientacin cambiante.Las expresiones anteriores son tambin vlidas cuando la carga mvil no es una fuerza sino un momento unitario. En este caso la deformacin BI se debe considerar como el giro segn la direccin del momento mvil BI Las expresiones del denominador son las mismas.

Todas las deducciones anteriores pueden englobarse en una descripcin ms general del teorema de Mller-Breslau: si se aplica en la direccin del esfuerzo cuya lnea de influencia se busca, una fuerza tal que la deformacin en dicha direccin valga la unidad(BBI+BBD), ocurre que:

La deformada B i de la estructura que se obtiene, cambiada de signo, representa todas las lneas de influencia de dicho esfuerzo para cargas aplicadas en cualquier punto y direccin.

Si se toma un punto cualquiera (el punto I), y se determina su posicin deformada, la proyeccin de esta deformacin sobre una direccin cualquiera es el valor de la lnea de influencia para una carga unitaria que acta segn dicha direccin.

DISCUSIN SOBRE EL TEOREMA DE MLLER-BRESLAU

Se considera una estructura con grado de hiperestaticidad h, sometida a la fuerza unitaria mvil y se plantea el clculo de la lnea de influencia de un esfuerzo interior cualquiera. Se

Emplea para ello el mtodo de flexibilidad en su forma general, considerando las energas de esfuerzo axial y de flexin. Se elige como nica incgnita hiperesttica el esfuerzo cuya lnea de influencia se busca: X . Se obtiene as una estructura de grado h-1, y en ella se plantean dos casos.

Caso IEn l slo acta la fuerza unitaria mvil(figura 10.11). Los esfuerzos que aparecenson funcin de la posicin de la carga z y sedenominan:Nz MzII(),( ) z1I Figura 10.11Se aplica un valor unitario del esfuerzobuscado (figura 10.12). Los esfuerzos queaparecen se denominan:NM, 1 Figura 10.12Por el principio de superposicin los esfuerzos reales son:NzNzN XIB()( )1MzMzM XIB()()1(10.19)La condicin de compatibilidad para la incgnita elegida es:NNM M dxBBI0(10.20)Sustituyendo los esfuerzos y despejando se obtieneXNNMMdxNNMMdxBIBIBBBB1II(10.21)

Caso II

Caso II

Que es la expresin de la lnea de influencia buscada. Ntese que slo el numerador es funcin de z (a travs de los esfuerzos del caso I) y que el denominador es constante.

Discusin del resultadoEl numerador de la expresin de la lnea de influencia corresponde a la deformacin delpunto I en el caso BPara demostrarlo, se considera que en el caso B, los esfuerzos reales son NM, luego ladeformacin del punto I es:IBBVBVNNMM dxI(10.22)En esta expresin los esfuerzos N y M son los esfuerzos que aparecen en el caso B cuandose carga con una fuerza virtual unitaria en el punto I (figura 10.13).

BBV

V

Anlisis estructural zI V=1Caso V IBFigura 10.13Pero este caso virtual es en realidad igual que el caso I (figura 10.11), pues ste slo tieneuna fuerza unitaria aplicada en I. Por lo tanto los esfuerzos en el caso V son:NNMMVIVI(10.23)y la deformacin buscada ibvale:IBBIBINNMM dxI(10.24)que coincide con el numerador de la expresin (10.21) de la lnea de influencia.El denominador de la lnea de influencia es la suma de las deformaciones en los dos puntos donde se ha eliminado la incgnita hiperesttica, en el caso B.Se definen las dos deformaciones por la izquierda y por la derecha en el punto de corte de la incgnita hiperesttica, en el caso B, comoBiByBdB.Para hallarBiBse aplica una fuerza virtual unitaria en su direccin, y se obtiene uncaso virtual, denominado Bi (figura 10.14), cuyos esfuerzos son NM,. ComoBiBilos esfuerzos reales en el caso B son NM, la deformacin es:BBBiBBBiBBiNNMMdxI(10.25)Para hallarBdBse aplica una fuerza virtual unitaria en su direccin, y se obtiene uncaso virtual denominado Bd (figura 10.15), cuyos esfuerzos son NM,.LaB dBddeformacin es:BdBBBdBBdNNMMdxI(10.26) V=1BiCaso Bi V=1BdCaso BdFigura 10.14Figura 10.15La suma de las dos deformaciones es:BiBBdBBBiBdBBiBdNN NMMMdxI()()(10.27)

Pero el caso Bi ms el caso Bd es igual al caso B, por lo que:NN NMMMBiBdBBiBdB(10.28)Por lo tanto la suma de las deformaciones queda:BiBBdBBBBBNNMMdxI(10.29)Que coincide con el denominador de la expresin (10.21) de la lnea de influencia.En consecuencia, la lnea de influencia se puede poner como:XIBBiBBdB1(10.30)Que coincide con la expresin obtenida para las lneas de influencia de los esfuerzos internos en la estructura (ecuaciones (10.16), (10.17) y (10.18)). La expresin anterior constituye una generalizacin del principio de Mller-Breslau para cualquier tipo de esfuerzo interno y cualquier grado de hiperestaticidad. La situacin se resume en la figura 10.16: ha desaparecido la fuerza unitaria mvil, que se sustituye por un valor unitario de la incgnita hiperesttica, en una estructura h-1. La expresin de la lnea de influencia requiere el clculo de la deformacin del punto de aplicacin de la carga mvil I, y de la deformacin relativa en la seccin de corte. 1(B)BdB BiB IB Figura 10.16

LNEAS DE INFLUENCIA DE DEFORMACIONES

La lnea de influencia de una deformacin en una estructura elstica lineal es aquella funcin que proporciona la variacin de dicha deformacin, cuando una carga unitaria mvil recorre una determinada trayectoria a lo largo de la estructura. El clculo de la lnea de influencia de una deformacin es inmediato empleando el teorema de reciprocidad de Maxwell. Sea la estructura cargada con la fuerza mvil en el punto I de la trayectoria, y supongamos que se desea calcular la lnea de influencia de la deformacin en el punto y la direccin B:IB

En virtud del teorema de reciprocidad de Maxwell se cumple que:BIIB(10.31)

Se deduce por lo tanto que la lnea de influencia de una deformacin es igual a la deformada de la trayectoria de la carga mvil, cuando la estructura se carga nicamente con

una carga unidad, en la direccin de la deformacin cuya lnea de influencia se busca, como se muestra en la figura 10.17.'I'B='I Caso B I'B IB1BICaso I 1 z Figura 10.17

LEYDA CUAYLA CATARE 18