Línea Recta

Analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables. Recíprocamente,

la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos

variables es una recta. Una recta queda determinada completamente si se conocen dos

condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o

coeficiente angular), etc.

Formas de Ecuaciones de Línea Recta

Punto – Pendiente

Se llama línea recta a los lugares geométricos de los puntos tales que tomados dos puntos

diferentes cualesquiera P1(x1, y1) y P2(x2, y2), el valor de la pendiente (m) es siempre la

misma y puede calcularse a partir de la siguiente expresión:

m= y 2− y 1x 2−x1

; x1≠ x2

Geométricamente es la distancia más corta entre dos puntos. Analíticamente es una

ecuación de primer grado con dos variables.

Si de una recta se conocen las coordenadas de un punto P1(x1, y1) y el valor de su pendiente

m, entonces la ecuación de la recta puede determinarse mediante la expresión:

y− y1=m¿)

Que se conoce como forma Punto-Pendiente de la ecuación de la recta.

Ejemplo:

Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (22, 5).

Solución:

Primero calculamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos.

m= 5−3−2−4

= 2−6

=−13

La ecuación punto-pendiente (3) da entonces:

y−3=−13

( x−4 ) o y=−13

x+ 133

Cartesiana

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es:

y− y1

x−x1

=y1− y2

x1−x2

Reducida o Abscisa y Ordenada en el Origen

La ecuación de la recta en su forma reducida es también conocida como ecuación de la

recta con abscisa y ordenada en el origen, la ventaja que presenta en escribir la ecuación de

la recta en su forma reducida es que a partir de la ecuación y sin necesidad de cálculos

podemos graficar la recta pues se conocen los puntos donde la recta corta al eje de las

abscisas y ordenadas. Esta ecuación se obtiene a partir de la ecuación de la recta en su

forma:

y = mx + b

y- mx=b

yb+ x

−bm

=1

Sí definimos las siguiente variable como x =−bm

se tiene

xa+ y

b=1con a ,b≠ 0

General

La ecuación general de la recta como su nombre lo dice es la ecuación más general y a

partir de ella se pueden reproducir todas las ya mencionadas de la recta, la ecuación general

de la recta es.

Ax + By + C = 0

Donde los coeficientes A, B y C pueden tomar cualquier valor.

Normal

Una recta queda determinada sí se conoce la recta perpendicular trazada a ella desde el

origen (0, 0) y el ángulo que dicha perpendicular forma con el eje x. Utilizando la

identidad:

cos2 φ + sin2 φ = 1

Obtenemos; la pendiente m de la recta AC es

m= −1tanθ

=−cosθsenθ

Familia de Líneas Rectas

La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia o

haz de rectas.

Para comprender mejor este nuevo concepto, consideremos primero todas las rectas que

tienen de pendiente 5.

La totalidad de estas rectas forma una familia de rectas paralelas, teniendo toda la

propiedad común de que su pendiente es igual a 5. Analíticamente esta familia de rectas

puede representarse por la ecuación.

y=5 x+k

En donde k es una constante arbitraria que puede tomar todos los valores reales. Así

podemos obtener la ecuación de cualquier recta de la familia asignando simplemente un

valor particular a k en la ecuación (1). Recordando la ecuación de la recta en función de la

pendiente y la ordenada en el origen es y = mx + b este valor de k representa el segmento

que la recta determina sobre el eje Y. Las rectas de la familia para:

k = 2

k = 0

k = - 1

Están representadas en la siguiente figura.

Aplicaciones de la Línea Recta

Este plano tiene coordenadas Y y X. 

Toda línea recta responde a la ecuación Y = mX + a. 

m es la pendiente, y es constante, igual que a, que es el punto de corte de la recta en Y. 

Así puede predecirse para todo X un punto Y correspondiente y lo contrario. 

Es una importante aplicación estadística, que se conoce regresión lineal, donde X y Y son variables

de magnitudes conocidas. 

Se usa por ejemplo en espectrofotometría, donde la ecuación de la recta equivale a la ley de

Lambert Beer (X son concentraciones de una solución y Y, el grado en que cada solución absorbe

la luz, para una solución de concentración desconocida, la absorción de luz nos dice la

concentración, haciendo uso de la ecuación de la recta). 

Circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal

manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.

El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio.

Formas de Ecuaciones de la Circunferencia

Ordinaria

La circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r,

tiene por ecuación:

r=√ (x−h ) 2+ ( y−k )2

r2=(x - h) 2+ (y - b) 2

Esta última ecuación es la ecuación de la circunferencia con centro en c (h, k) y radio r.

Como caso particular si la circunferencia esta en el origen la ecuación es h = 0 y k = 0

entonces: r2= x 2+ y 2

General

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación

ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la

circunferencia, así:

( x−h )2+( y−k ) 2=r 2 ; Desarrollando

x2+2xh+h2+ y2−2 yk+k 2=r 2 ;Ordenando

x2+ y2−2h x−2k y+h 2+k2=r 2; Agrupando

x2+ y2+(−2h ) x+(−2 k ) y+h 2+k 2−r 2=0; Renombrando

D= (−2h )

E=(−2k )

F=h 2+k 2−r2

x2+ y2+Dx+Dy+F=0

Teoremas

Radio y Tangente: Es el radio trazado al punto de  tangencia es perpendicular a

la recta tangente.

Cuerdas Paralelas: Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las

paralelas.

Radio Perpendicular  a la Cuerda: Divide en dos segmentos congruentes.

Cuerdas Congruentes: A las cuerdas congruentes en una misma circunferencia

les corresponden arcos congruentes.

Dos Rectas Tangentes: Desde un punto exterior a una circunferencia se puede

trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.

Tangentes Exteriores: Son congruentes. 

Tangentes Interiores: Son congruentes.

PONCELET: En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es

igual a la longitud de la hipotenusa más el doble del inradio.

PITOT: En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la

suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.

Ejemplo:

x2 + y 2 − 2x + 6y − 6 = 0

Solución

En la ecuación dada, por medio del método de completar los cuadrados en los términos en

“x” y en los de “y” se obtendrá la forma ordinaria que nos permitirá conocer con facilidad

y rapidez las coordenadas del centro y la magnitud del radio y con esto poder graficarla

como sigue:

x2+ y2−2x+6 y−6=0

x2−2x+ y 2+6 y−6=0 ;Ordenando terminos

x2−2x+(2 /2 ) 2+ y 2+6 y+(6 /2 ) 2=6+(2/2 ) 2+ (6/2 ) 2;Completandolos cuadrado s

Por lo tanto las coordenadas del centro son C (1, −3) y la magnitud del radio es r=√16=4.

Otra manera de obtener las coordenadas del centro y la magnitud del radio es la siguiente:

Familia de Circunferencias

El principio básico de las familias de curvas, consiste en que estas cumplan con ciertas

condiciones dadas. En el caso de las circunferencias se tienen familias de uno, dos y tres

parámetros, pudiendo obtener la ecuación de cualquier circunferencia de la familia

asignando simplemente un valor particular a cada parámetro según el caso.

Ejemplo

La ecuación en forma general x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 contiene 3 parámetros D, E y F y

representa la familia formada por todas las circunferencias del plano x, y, en donde D, E y F

pueden tomar cualquier valor real o sea D, E, F ∈R.

La ecuación x2 + y 2 + Dx + Ey = 0 contiene 2 parámetros D y E que pueden tomar

cualquier valor real y representa la familia formada por todas las circunferencias que pasan

por el origen de coordenadas (con todos los radios posibles).

La ecuación x2 + y 2 = r 2 contiene un parámetro r > 0 y representa una familia de

circunferencias concéntricas (con el mismo centro) que es el origen de coordenadas C (0,0)

y con todos los radios posibles.

La ecuación (x − h)2 + (y − h)2 = h2 contiene un parámetro h > 0 y representa una familia de

circunferencias tangentes a los ejes coordenados y que tienen su centro C (h, h) sobre la

recta y = x, a este tipo de circunferencias se les llama coaxiales ya que todos sus centros

son colineales.

La ecuación (x − 2)2 + (y − k)2 = 9 contiene un parámetro k ∈ Ry representa la familia de

circunferencias cuyos centros se localizan sobre la recta x = 2 y todas de radio r = 3.

Parábola

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera

que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un

punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama joco y la recta fija

directriz de la parabola. La definici6n excluye el caso en que el foco esta sobre la directriz.

Características

Vértice: Es el punto donde la parábola corta a su eje focal.

Foco: Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se

encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz.

Lado recto: La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a

dos puntos de la parábola.

Directriz: Línea recta donde la dist (P, F)= dist (P, D); PF=PD

Eje focal: Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz.

Parámetro p: Distancia del foco al vértice.

Formas de Ecuaciones de una Parábola

Estándar o Canoníca: la forma estándar o canoníca de una parábola con vértice

(h, k) y directriz y = k -p es:

( x−h )2=4 p ( y−k ) Eje Vert ical

Para la directriz x = k - p

( y−k ) 2=4 p ( x−h ) Eje Horizontal

El foco se encuentra en el eje a p unidades (distancias dirigidas) del vértice. Las

coordenadas del foco son las siguientes:

h , k+ p EjeVert ical

h+ p , k Eje Horizontal