Linealización de problemas por medio de valores propios
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Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizacion Metodos Multivariados
Linealizacion de problemas por medio de valorespropios
Pedro Fernando Morales
Departamento de MatematicasUniversidad de Baylor
pedro [email protected]
USAC, Guatemala, 20/11/2012
Pedro Fernando Morales Departamento de Matematicas
Linealizacion de problemas por medio de valores propios
Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizacion Metodos Multivariados
Outline
1 Fundamentos
2 Series de Fourier
3 Filtrado y Equalizacion
4 Metodos Multivariados
Pedro Fernando Morales Departamento de Matematicas
Linealizacion de problemas por medio de valores propios
Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizacion Metodos Multivariados
Outline
1 Fundamentos
2 Series de Fourier
3 Filtrado y Equalizacion
4 Metodos Multivariados
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1 Fundamentos
2 Series de Fourier
3 Filtrado y Equalizacion
4 Metodos Multivariados
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1 Fundamentos
2 Series de Fourier
3 Filtrado y Equalizacion
4 Metodos Multivariados
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Valor Propio
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Linealizacion de problemas por medio de valores propios
Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizacion Metodos Multivariados
Fundamentos teoricos
Definicion
Sea V un espacio vectorial y P un operador lineal de V ensı mismo. Si para un vector v existe un escalar λ tal que
P(v) = λv (1)
v se dice un vector propio y λ un valor propio de P.
En muchas aplicaciones P es una matriz y v es un vector de unespacio vectorial de dimension finita.
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Fundamentos teoricos
Definicion
Sea V un espacio vectorial y P un operador lineal de V ensı mismo. Si para un vector v existe un escalar λ tal que
P(v) = λv (1)
v se dice un vector propio y λ un valor propio de P.
En muchas aplicaciones P es una matriz y v es un vector de unespacio vectorial de dimension finita.
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Fundamentos teoricos
Definicion
Sea V un espacio vectorial y P un operador lineal de V ensı mismo. Si para un vector v existe un escalar λ tal que
P(v) = λv (1)
v se dice un vector propio y λ un valor propio de P.
En muchas aplicaciones P es una matriz y v es un vector de unespacio vectorial de dimension finita.
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Ejemplos
• Sea A =
(−7 43 −6
), entonces
λ1 = −10 v1 = (−4, 3)
λ2 = −3 v2 = (1, 1)
• Sea P =d
dx, entonces
λ = k , k ∈ C, vλ = eλx .
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Ejemplos
• Sea A =
(−7 43 −6
), entonces
λ1 = −10 v1 = (−4, 3)
λ2 = −3 v2 = (1, 1)
• Sea P =d
dx, entonces
λ = k , k ∈ C, vλ = eλx .
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Ejemplos
• Sea A =
(−7 43 −6
), entonces
λ1 = −10 v1 = (−4, 3)
λ2 = −3 v2 = (1, 1)
• Sea P =d
dx, entonces
λ = k , k ∈ C, vλ = eλx .
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Ejemplos
• Sea A =
(−7 43 −6
), entonces
λ1 = −10 v1 = (−4, 3)
λ2 = −3 v2 = (1, 1)
• Sea P =d
dx, entonces
λ = k , k ∈ C, vλ = eλx .
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Ejemplos
• Sea A =
(−7 43 −6
), entonces
λ1 = −10 v1 = (−4, 3)
λ2 = −3 v2 = (1, 1)
• Sea P =d
dx, entonces
λ = k , k ∈ C, vλ = eλx .
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Convenciones
• Al conjunto de valores propios de P se le conoce como elespectro de P, σ(P)
• El espectro de P puede contener otras cosas (espectropuntual, residual, continuo)
• Se trabaja sobre C• En dimension finita, n = dimV
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Convenciones
• Al conjunto de valores propios de P se le conoce como elespectro de P, σ(P)
• El espectro de P puede contener otras cosas (espectropuntual, residual, continuo)
• Se trabaja sobre C• En dimension finita, n = dimV
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Convenciones
• Al conjunto de valores propios de P se le conoce como elespectro de P, σ(P)
• El espectro de P puede contener otras cosas (espectropuntual, residual, continuo)
• Se trabaja sobre C• En dimension finita, n = dimV
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Convenciones
• Al conjunto de valores propios de P se le conoce como elespectro de P, σ(P)
• El espectro de P puede contener otras cosas (espectropuntual, residual, continuo)
• Se trabaja sobre C
• En dimension finita, n = dimV
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Convenciones
• Al conjunto de valores propios de P se le conoce como elespectro de P, σ(P)
• El espectro de P puede contener otras cosas (espectropuntual, residual, continuo)
• Se trabaja sobre C• En dimension finita, n = dimV
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Caracterizacion (Dimension Finita)
Pv = λv
P − λI = 0
det(P − λI ) = 0
Polinomio Caracterıstico
p(λ) = det(P − λI )
es el polinomio caracterıstico de P.
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Caracterizacion (Dimension Finita)
Pv = λv
P − λI = 0
det(P − λI ) = 0
Polinomio Caracterıstico
p(λ) = det(P − λI )
es el polinomio caracterıstico de P.
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Caracterizacion (Dimension Finita)
Pv = λv
P − λI = 0
det(P − λI ) = 0
Polinomio Caracterıstico
p(λ) = det(P − λI )
es el polinomio caracterıstico de P.
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Caracterizacion (Dimension Finita)
Pv = λv
P − λI = 0
det(P − λI ) = 0
Polinomio Caracterıstico
p(λ) = det(P − λI )
es el polinomio caracterıstico de P.
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Caracterizacion (Dimension Finita)
Pv = λv
P − λI = 0
det(P − λI ) = 0
Polinomio Caracterıstico
p(λ) = det(P − λI )
es el polinomio caracterıstico de P.
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Valores propios como raıces de p(λ)P tiene n valores propios!(Teorema fundamental del Algebra)
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Valores propios como raıces de p(λ)
P tiene n valores propios!(Teorema fundamental del Algebra)
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Valores propios como raıces de p(λ)P tiene n valores propios!(Teorema fundamental del Algebra)
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El ejemplo contraataca
A =
(−7 43 −6
)
A− λI =
(−7− λ 4
3 −6− λ
)p(λ) = det(A− λI ) = λ2 + 13λ+ 30 = (λ+ 10)(λ+ 3)
p(λ) = 0 provee una ecuacion caracterıstica para los valores propios
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El ejemplo contraataca
A =
(−7 43 −6
)
A− λI =
(−7− λ 4
3 −6− λ
)p(λ) = det(A− λI ) = λ2 + 13λ+ 30 = (λ+ 10)(λ+ 3)
p(λ) = 0 provee una ecuacion caracterıstica para los valores propios
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El ejemplo contraataca
A =
(−7 43 −6
)
A− λI =
(−7− λ 4
3 −6− λ
)
p(λ) = det(A− λI ) = λ2 + 13λ+ 30 = (λ+ 10)(λ+ 3)
p(λ) = 0 provee una ecuacion caracterıstica para los valores propios
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El ejemplo contraataca
A =
(−7 43 −6
)
A− λI =
(−7− λ 4
3 −6− λ
)p(λ) = det(A− λI ) = λ2 + 13λ+ 30 = (λ+ 10)(λ+ 3)
p(λ) = 0 provee una ecuacion caracterıstica para los valores propios
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El ejemplo contraataca
A =
(−7 43 −6
)
A− λI =
(−7− λ 4
3 −6− λ
)p(λ) = det(A− λI ) = λ2 + 13λ+ 30 = (λ+ 10)(λ+ 3)
p(λ) = 0 provee una ecuacion caracterıstica para los valores propios
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λ1 = −10, v1 =
(x1
y1
)vector propio
A− λ1v =
(3x1 + 4y1
3x1 + 4y1
)= 0
v = (−4t, 3t)
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λ1 = −10, v1 =
(x1
y1
)vector propio
A− λ1v =
(3x1 + 4y1
3x1 + 4y1
)= 0
v = (−4t, 3t)
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λ1 = −10, v1 =
(x1
y1
)vector propio
A− λ1v =
(3x1 + 4y1
3x1 + 4y1
)= 0
v = (−4t, 3t)
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λ1 = −10, v1 =
(x1
y1
)vector propio
A− λ1v =
(3x1 + 4y1
3x1 + 4y1
)= 0
v = (−4t, 3t)
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El ejemplo retorna
P =d
dx
Py = λy
y ′ − λy = 0
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El ejemplo retorna
P =d
dx
Py = λy
y ′ − λy = 0
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El ejemplo retorna
P =d
dx
Py = λy
y ′ − λy = 0
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El ejemplo retorna
P =d
dx
Py = λy
y ′ − λy = 0
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El ejemplo retorna
P =d
dx
Py = λy
y ′ − λy = 0
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Ecuacion auxiliar o caracterıstica:
s − λ = 0
y = eλx
todo λ ∈ C es valor propio
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Ecuacion auxiliar o caracterıstica:
s − λ = 0
y = eλx
todo λ ∈ C es valor propio
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Ecuacion auxiliar o caracterıstica:
s − λ = 0
y = eλx
todo λ ∈ C es valor propio
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Ecuacion auxiliar o caracterıstica:
s − λ = 0
y = eλx
todo λ ∈ C es valor propio
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Espacio Propio (Dimension Finita)
λ un valor propio de P
Espacio Propio
N1λ = ker(P − λI )
P|N1λ
= λ
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Espacio Propio (Dimension Finita)
λ un valor propio de P
Espacio Propio
N1λ = ker(P − λI )
P|N1λ
= λ
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Espacio Propio (Dimension Finita)
λ un valor propio de P
Espacio Propio
N1λ = ker(P − λI )
P|N1λ
= λ
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Espacio Propio (Dimension Finita)
λ un valor propio de P
Espacio Propio
N1λ = ker(P − λI )
P|N1λ
= λ
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Multiplicidad
Espacio propio generalizado
Sea k entero positivo,
Nkλ = ker(P − λI )k ,
se dice el k esimo espacio propio generalizado.
mkλ = dimNk
λ es la multiplicidad generalizada
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Multiplicidad
Espacio propio generalizado
Sea k entero positivo,
Nkλ = ker(P − λI )k ,
se dice el k esimo espacio propio generalizado.
mkλ = dimNk
λ es la multiplicidad generalizada
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Multiplicidad
Espacio propio generalizado
Sea k entero positivo,
Nkλ = ker(P − λI )k ,
se dice el k esimo espacio propio generalizado.
mkλ = dimNk
λ es la multiplicidad generalizada
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Multiplicidad
Espacio propio generalizado
Sea k entero positivo,
Nkλ = ker(P − λI )k ,
se dice el k esimo espacio propio generalizado.
mkλ = dimNk
λ es la multiplicidad generalizada
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Sea ν(λ) ∈ N tal que
mν(λ)−1λ < m
ν(λ)λ = m
ν(λ)+1λ
• mν(λ)λ es la multiplicidad algebraica de λ
• m1λ es la multiplicidad geometrica de λ
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Sea ν(λ) ∈ N tal que
mν(λ)−1λ < m
ν(λ)λ = m
ν(λ)+1λ
• mν(λ)λ es la multiplicidad algebraica de λ
• m1λ es la multiplicidad geometrica de λ
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Sea ν(λ) ∈ N tal que
mν(λ)−1λ < m
ν(λ)λ = m
ν(λ)+1λ
• mν(λ)λ es la multiplicidad algebraica de λ
• m1λ es la multiplicidad geometrica de λ
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Sea ν(λ) ∈ N tal que
mν(λ)−1λ < m
ν(λ)λ = m
ν(λ)+1λ
• mν(λ)λ es la multiplicidad algebraica de λ
• m1λ es la multiplicidad geometrica de λ
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Sea ν(λ) ∈ N tal que
mν(λ)−1λ < m
ν(λ)λ = m
ν(λ)+1λ
• mν(λ)λ es la multiplicidad algebraica de λ
• m1λ es la multiplicidad geometrica de λ
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Decomposicion
Decomposicion de Jordan
V =⊕
λ∈σ(P)
Nν(λ)λ
• Descompone al espacio en partes sencillas
• Descompone al operador en multiplos escalares
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Decomposicion
Decomposicion de Jordan
V =⊕
λ∈σ(P)
Nν(λ)λ
• Descompone al espacio en partes sencillas
• Descompone al operador en multiplos escalares
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Decomposicion
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V =⊕
λ∈σ(P)
Nν(λ)λ
• Descompone al espacio en partes sencillas
• Descompone al operador en multiplos escalares
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Decomposicion
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V =⊕
λ∈σ(P)
Nν(λ)λ
• Descompone al espacio en partes sencillas
• Descompone al operador en multiplos escalares
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El ejemplo recargado
A =
(−7 43 −6
), V = C2
C2 = 〈(−4, 3)〉 ⊕ 〈(1, 1)〉
A = −10 · ⊕ − 3·
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El ejemplo recargado
A =
(−7 43 −6
), V = C2
C2 = 〈(−4, 3)〉 ⊕ 〈(1, 1)〉
A = −10 · ⊕ − 3·
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El ejemplo recargado
A =
(−7 43 −6
), V = C2
C2 = 〈(−4, 3)〉 ⊕ 〈(1, 1)〉
A = −10 · ⊕ − 3·
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El ejemplo recargado
A =
(−7 43 −6
), V = C2
C2 = 〈(−4, 3)〉 ⊕ 〈(1, 1)〉
A = −10 · ⊕ − 3·
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Dimension Infinita
• Si λ 6= µ, Nλ ∩ Nµ = {0}• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ
• La decomposicion da una base ortogonal (espacio separable)
H =⊕
λ∈σ(P)
Eλ
P|Eλ= λ
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Dimension Infinita
• Si λ 6= µ, Nλ ∩ Nµ = {0}
• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ
• La decomposicion da una base ortogonal (espacio separable)
H =⊕
λ∈σ(P)
Eλ
P|Eλ= λ
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Dimension Infinita
• Si λ 6= µ, Nλ ∩ Nµ = {0}• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ
• La decomposicion da una base ortogonal (espacio separable)
H =⊕
λ∈σ(P)
Eλ
P|Eλ= λ
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Dimension Infinita
• Si λ 6= µ, Nλ ∩ Nµ = {0}• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ
• La decomposicion da una base ortogonal (espacio separable)
H =⊕
λ∈σ(P)
Eλ
P|Eλ= λ
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Dimension Infinita
• Si λ 6= µ, Nλ ∩ Nµ = {0}• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ
• La decomposicion da una base ortogonal (espacio separable)
H =⊕
λ∈σ(P)
Eλ
P|Eλ= λ
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Dimension Infinita
• Si λ 6= µ, Nλ ∩ Nµ = {0}• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ
• La decomposicion da una base ortogonal (espacio separable)
H =⊕
λ∈σ(P)
Eλ
P|Eλ= λ
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Sea P = − d2
dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0
− d2
dx2f (x) = λf (x)
f (x) = C sin(√λx) , λ = m2π2 ,m ∈ N
Serie de Fourier
L2[0, 1] =∞⊕
m=0
〈sin(√mπx)〉
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dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0
− d2
dx2f (x) = λf (x)
f (x) = C sin(√λx) , λ = m2π2 ,m ∈ N
Serie de Fourier
L2[0, 1] =∞⊕
m=0
〈sin(√mπx)〉
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dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0
− d2
dx2f (x) = λf (x)
f (x) = C sin(√λx) , λ = m2π2 ,m ∈ N
Serie de Fourier
L2[0, 1] =∞⊕
m=0
〈sin(√mπx)〉
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Sea P = − d2
dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0
− d2
dx2f (x) = λf (x)
f (x) = C sin(√λx) ,
λ = m2π2 ,m ∈ N
Serie de Fourier
L2[0, 1] =∞⊕
m=0
〈sin(√mπx)〉
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dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0
− d2
dx2f (x) = λf (x)
f (x) = C sin(√λx) , λ = m2π2 ,m ∈ N
Serie de Fourier
L2[0, 1] =∞⊕
m=0
〈sin(√mπx)〉
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Linealizacion de problemas por medio de valores propios
Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizacion Metodos Multivariados
Sea P = − d2
dx2en L2[0, 1] con f (0) = f (1) = 0
− d2
dx2f (x) = λf (x)
f (x) = C sin(√λx) , λ = m2π2 ,m ∈ N
Serie de Fourier
L2[0, 1] =∞⊕
m=0
〈sin(√mπx)〉
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Polinomios Ortogonales
• Polinomios de Hermite
− d2
dx2f (x) + x
d
dxf (x) = λf (x)
• Polinomios de Laguerre
−x d2
dx2f (x) + (x − 1)
d
dxf (x) = λf (x)
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Polinomios Ortogonales
• Polinomios de Hermite
− d2
dx2f (x) + x
d
dxf (x) = λf (x)
• Polinomios de Laguerre
−x d2
dx2f (x) + (x − 1)
d
dxf (x) = λf (x)
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Polinomios Ortogonales
• Polinomios de Hermite
− d2
dx2f (x) + x
d
dxf (x) = λf (x)
• Polinomios de Laguerre
−x d2
dx2f (x) + (x − 1)
d
dxf (x) = λf (x)
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Polinomios Ortogonales
• Polinomios de Hermite
− d2
dx2f (x) + x
d
dxf (x) = λf (x)
• Polinomios de Laguerre
−x d2
dx2f (x) + (x − 1)
d
dxf (x) = λf (x)
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Polinomios Ortogonales
• Polinomios de Hermite
− d2
dx2f (x) + x
d
dxf (x) = λf (x)
• Polinomios de Laguerre
−x d2
dx2f (x) + (x − 1)
d
dxf (x) = λf (x)
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Importancia
• La mayorıa de sistemas fısicos son modelados por ecuacionesdiferenciales
• Al descomponer el sistema en espacios propios se obtiene elprincipio de superposicion
• Se pueden analizar espectros distintos de forma separada
• Se puede la cantidad de informacion que aporta unacomponente
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Importancia
• La mayorıa de sistemas fısicos son modelados por ecuacionesdiferenciales
• Al descomponer el sistema en espacios propios se obtiene elprincipio de superposicion
• Se pueden analizar espectros distintos de forma separada
• Se puede la cantidad de informacion que aporta unacomponente
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Importancia
• La mayorıa de sistemas fısicos son modelados por ecuacionesdiferenciales
• Al descomponer el sistema en espacios propios se obtiene elprincipio de superposicion
• Se pueden analizar espectros distintos de forma separada
• Se puede la cantidad de informacion que aporta unacomponente
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Importancia
• La mayorıa de sistemas fısicos son modelados por ecuacionesdiferenciales
• Al descomponer el sistema en espacios propios se obtiene elprincipio de superposicion
• Se pueden analizar espectros distintos de forma separada
• Se puede la cantidad de informacion que aporta unacomponente
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Importancia
• La mayorıa de sistemas fısicos son modelados por ecuacionesdiferenciales
• Al descomponer el sistema en espacios propios se obtiene elprincipio de superposicion
• Se pueden analizar espectros distintos de forma separada
• Se puede la cantidad de informacion que aporta unacomponente
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Tratamiento de espectro
En espectrometrıa y filtrado se mide o se altera la cantidadpresente de cierta frecuencia
• Sonido
• Procesamiento de imagenes
• Espectroscopıa
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Tratamiento de espectro
En espectrometrıa y filtrado se mide o se altera la cantidadpresente de cierta frecuencia
• Sonido
• Procesamiento de imagenes
• Espectroscopıa
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Tratamiento de espectro
En espectrometrıa y filtrado se mide o se altera la cantidadpresente de cierta frecuencia
• Sonido
• Procesamiento de imagenes
• Espectroscopıa
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Tratamiento de espectro
En espectrometrıa y filtrado se mide o se altera la cantidadpresente de cierta frecuencia
• Sonido
• Procesamiento de imagenes
• Espectroscopıa
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Sonido
Filtrado, ecualizacion, procesamiento digital, efectos, distorsiones,formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: una bocinaModelado por un integrador (filtro pasa bajo)Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)
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Sonido
Filtrado, ecualizacion, procesamiento digital, efectos, distorsiones,formatos digitales, compresion, etc.
Sistema base: una bocinaModelado por un integrador (filtro pasa bajo)Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)
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Sonido
Filtrado, ecualizacion, procesamiento digital, efectos, distorsiones,formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: una bocina
Modelado por un integrador (filtro pasa bajo)Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)
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Sonido
Filtrado, ecualizacion, procesamiento digital, efectos, distorsiones,formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: una bocinaModelado por un integrador (filtro pasa bajo)
Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)
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Sonido
Filtrado, ecualizacion, procesamiento digital, efectos, distorsiones,formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: una bocinaModelado por un integrador (filtro pasa bajo)Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)
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Imagenes
Filtrado, espectro/histograma, procesamiento digital, efectos,distorsiones, formatos digitales, compresion, etc.Sistema base: M2 × Lk con transformaciones linealesVectores propios: Polinomios ortogonales, Vectores propios dematrices
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Imagenes
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Sistema base: M2 × Lk con transformaciones linealesVectores propios: Polinomios ortogonales, Vectores propios dematrices
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Vectores propios: Polinomios ortogonales, Vectores propios dematrices
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Espectroscopıa
Proceso inverso: Radiar con una frecuencia particular
Ver patrones de resonancia sensibles solo a determinadasfrecuencias (independencia lineal)
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Espectroscopıa
Proceso inverso: Radiar con una frecuencia particularVer patrones de resonancia sensibles solo a determinadasfrecuencias (independencia lineal)
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Metodos Multivariados
Analisis Factorial
Es un metodo multivariado para reducir el numero de variablesinfuyentes en un estudio
Utilizado con un numero grande de datos (muchas variables)Se desea reducir el numero de variables estudiadas (costo ylogıstica)
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Utilizado con un numero grande de datos (muchas variables)Se desea reducir el numero de variables estudiadas (costo ylogıstica)
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Utilizado con un numero grande de datos (muchas variables)
Se desea reducir el numero de variables estudiadas (costo ylogıstica)
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Utilizado con un numero grande de datos (muchas variables)Se desea reducir el numero de variables estudiadas (costo ylogıstica)
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• Se analiza la matriz de correlaciones Σ
• Se obtienen los valores propios de Σ
•∑
λ∈σ(Σ)
λ representa la cantidad total de informacion
• Se trunca la suma para perder parte de la informacion sin queafecte mayormente
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•∑
λ∈σ(Σ)
λ representa la cantidad total de informacion
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•∑
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• Se trunca la suma para perder parte de la informacion sin queafecte mayormente
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• Se obtienen los valores propios de Σ
•∑
λ∈σ(Σ)
λ representa la cantidad total de informacion
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λ∈σ(Σ)
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• Se trunca la suma para perder parte de la informacion sin queafecte mayormente
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Responde a la pregunta ¿que variables son importantes?Reduce el numero de variablesExplica el fenomeno con una menor cantidad de variables
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Responde a la pregunta ¿que variables son importantes?
Reduce el numero de variablesExplica el fenomeno con una menor cantidad de variables
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Explica el fenomeno con una menor cantidad de variables
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