Lineas de transmisiongecousb.com.ve/guias/GECO/Teoría de Ondas (EC-2322...De acuerdo con las...

EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES

Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela

31

3.1 DEFINICIÓN Y GEOMETRÍA DE UNA L ÍNEA DE TRANSMISIÓN UNIFORME

Una Línea de Transmisión Uniforme (LTU) es una estructura

constituida por dos conductores metálicos y un material dieléctrico, dispuestos

de manera que la sección transversal es invariante respecto a la dirección axial

z, que coincide con la dirección de propagación de las ondas

electromagnéticas. En la figura 3.1 se presentan cuatro ejemplos de LTU, en

los cuales los dieléctricos se muestran en verde y los conductores en gris.

Fig. 3.1: Cuatro ejemplos de LTU. (a) Cable coaxial, (b) Stripline, (c) Línea bifilar, (d) Microstrip o microcinta.

En la figura 3.1 se observa que todas las LTU mostradas tienen un

dieléctrico sólido, el cual se requiere para mantener los conductores separados

y para mantener constante la sección transversal de la estructura. El cable



32

coaxial y la Stripline son ejemplos de líneas blindadas en las que el campo

electromagnético queda confinado al espacio entre los conductores, mientras

que la línea bifilar y la microcinta son ejemplos de líneas abiertas, en las que

el campo electromagnético se esparce en todo el espacio, ocupando dos

dieléctricos: el dieléctrico sólido propio de la estructura y el aire circundante.

3.2 CAMPOS TEM EN UNA LTU.

3.2.1 Ecuaciones para los campos

Puede demostrarse que el modo TEM sólo puede propagarse en una

LTU cuyo dieléctrico sea homogéneo, como el cable coaxial y la Stripline. El

modo TEM no se propaga en dieléctricos heterogéneos como los de las líneas

abiertas porque las condiciones de frontera no pueden cumplirse en la interfaz

entre los dieléctricos con dos constantes de propagación distintas. Sin

embargo, en las microcintas se aplica con frecuencia una aproximación cuasi-

TEM para el cálculo de los campos.

Para calcular los campos TEM en una LTU se usa el sistema de

coordenadas axial generalizado ),,( 21 zuu , siendo z la dirección de

propagación de las ondas electromagnéticas. Se supone que el dieléctrico es

homogéneo y tiene parámetros ),,( ddd σµε , y que los conductores son

homogéneos y tienen parámetros )1,,( >>ccc σµε . Se supone en primera

instancia que los conductores son ideales )( ∞→cσ , con lo cual no hay

campos en el interior de los conductores. Más adelante se analiza el efecto de



33

tener conductores no ideales. Bajo estas premisas, la teoría general de los

modos TEM es válida, por lo cual los campos en el dieléctrico son:

zt

d ˆ eˆˆ γm±± = eE (3.1)

zt

d

d ˆ eˆˆ

ˆ ˆ γ

ηm±

±± =×±= hE1H z (3.2)

donde:

ttt e φ 0ˆˆ ∇−=±±e , con 02 =∇ tt φ (3.3)

d

dd ε

µηˆ

ˆ = (3.4a)

ddddd jj βαεµωγ +== ˆˆ (3.4b)

"')tan1(ˆ ddddd jj εεδεε −=−= (3.4c)

De acuerdo con las ecuaciones 3.1 a 3.4, para determinar los campos

TEM en una LTU es necesario en primer lugar calcular la función potencial

tφ , la cual satisface la ecuación de Laplace escalar transversal.

3.2.2 Determinación de la función potencial tφ

Dado que tφ satisface la ecuación de Laplace escalar, el Teorema de

Unicidad de las soluciones a dicha ecuación establece que se debe conocer tφ

ó nt ∂∂φ en los contornos que se obtienen al interceptar la interfaz conductor-

dieléctrico con cualquier plano z = cte. Las condiciones de frontera para los

campos electromagnéticos en dichos contornos son:

0E1n =×=

±ctez

tˆ (3.5a)



34

0ˆ =⋅=

±ctez

tH1n (3.5b)

Es fácil verificar con la ecuación 3.2 que la ecuación 3.5b se cumple

automáticamente al cumplirse la ecuación 3.5a. La condición de frontera

(3.5a), sin embargo, no es ninguna de las exigidas por el teorema de unicidad

para las soluciones a la ecuación de Laplace. La ecuación 3.5a implica, al

combinarla con la ecuación 3.1:

0e1n =× ±tˆ (3.5c)

Para cumplir simultáneamente con las exigencias del teorema de

unicidad y con la condición de frontera 3.5c, basta con analizar las

implicaciones de que el campo eléctrico sea nulo dentro de los conductores.

Suponiendo que aunque los campos son nulos en los conductores las ondas

son TEM, se cumple 0e =∇−= ±± (cond.)ˆ(cond.)ˆ 0 ttt e φ , por lo que

ctet =(cond.)φ . Como la función potencial tφ es continua en la interfaz

conductor-dieléctrico, entonces ctet =interfazφ . Dado que en el dieléctrico

ttt e φ 0ˆˆ ∇−=±±e y el gradiente de una función escalar es normal a las

superficies equipotenciales, entonces se cumple también la ecuación 3.5c.

En resumen, al hacer ctet =(cond.)φ en ambos conductores se cumplen

simultáneamente la ecuación 3.5c y el requerimiento del Teorema de Unicidad

de las soluciones a la ecuación de Laplace. La elección de las constantes es

arbitraria, ya que la función potencial tφ no tiene por sí misma significado



35

físico y además la constante compleja ±0ê puede usarse para ajustar la

amplitud y fase del campo eléctrico. La elección de constantes más sencilla es:

=

=

02) (conductor

11) (conductor

t

t

φ

φ (3.6)

Usualmente, en líneas blindadas se asigna el potencial 0 al conductor

que sirve de blindaje.

Con todo lo anterior, queda resuelto el problema de determinar la

función potencial tφ de manera que satisfaga la ecuación de Laplace y se

cumplan las condiciones de frontera en cada interfaz conductor-aislante.

Ejemplo 3.1: Campos electromagnéticos en un cable coaxial

Se tiene un cable coaxial con dieléctrico homogéneo en el cual el

conductor interno tiene radio a y el conductor externo o blindaje tiene radio

interno b (a



36

aplicar las condiciones de frontera para determinar las constantes A y B y

luego aplicar propiedades de los logaritmos, queda:

( )( )

( )( ) baabb

ba

bt



37

z=0

z=λ/6

z=λ/3

z=λ/2

z=2λ/3

z=5λ/6

z=λ

nulo en z=3λ/4

nulo en z=λ/4

(a) (b)

Fig. 3.2: Campos electromagnéticos en el interior de un cable coaxial sin pérdidas. (a) Patrones de campo transversal. (b) Variación longitudinal del

campo eléctrico

Es importante mencionar que como se supuso que los conductores son

ideales, el grosor de los mismos no es importante. Sin embargo, en una línea

de transmisión con conductores reales, el grosor de los mismos debe ser



38

mucho mayor que la profundidad de penetración a la frecuencia de operación,

como se verá más adelante.

3.3 VOLTAJE , CORRIENTE , IMPEDANCIA Y COEFICIENTE DE REFLEXIÓN EN UNA LTU CARGADA

3.3.1 Geometría y diagrama circuital de un sistema de LTU que alimenta a una carga.

En la figura 3.3 se muestra la sección longitudinal de un sistema de

LTU conectadas en cascada alimentando a una carga. En colores se muestran

los dieléctricos de las líneas, y como área rayada a los conductores. Todas las

LTU tienen la misma sección transversal, y el conjunto está alimentado desde

el extremo izquierdo por un generador. Se ha supuesto que la longitud de los

conectores que hay entre cada par de líneas consecutivas es despreciable.

Fig. 3.3: Sección longitudinal de un sistema de líneas de transmisión conectadas en cascada alimentando una carga.

Puede verse en la figura 3.3 la similitud entre el problema de líneas de

transmisión conectadas en cascada alimentando una carga con el problema de



39

incidencia normal sobre múltiples medios. La diferencia fundamental entre

ambos problemas es que en las líneas de transmisión las ondas son no

uniformes debido a la presencia de los conductores, mientras que son

uniformes en el problema de múltiples medios.

En ambos problemas se tiene una onda incidente y una onda reflejada

en cada medio, producto de las diferencias entre las impedancias intrínsecas,

con patrones de onda estacionaria para el caso de medios sin pérdidas. El

método recursivo que utiliza los conceptos de coeficiente de reflexión

generalizado e impedancia generalizada es entonces aplicable al problema de

líneas de transmisión conectadas en cascada.

En la figura 3.4 se muestra el diagrama circuital correspondiente al

sistema de líneas de transmisión de la figura 3.3.

(2) (1) ZL

l2 l1

z=0

Fig. 3.4: Diagrama circuital del sistema de líneas de transmisión alimentando a una carga mostrado en la figura 3.2

Nótese que el símbolo de cada línea de transmisión es simplemente dos

“cables” gruesos paralelos terminados en terminales, con indicación de la

longitud y otros parámetros de la línea. Sin embargo, debido a los fenómenos



40

de interacción entre ondas incidentes y reflejadas en el interior de cada línea

de transmisión, es un error interpretarlas como un par de cables paralelos. Lo

correcto es concebir a cada línea de transmisión como un cuadripolo.

Como todo cuadripolo, un segmento de línea de transmisión se puede

caracterizar mediante matrices de impedancia, admitancia, transmisión, etc.

Para hacer posible dicha caracterización es necesario definir voltajes,

corrientes e impedancias asociados a las líneas de transmisión. El hecho de

definir voltajes y corrientes además simplifica la solución recursiva, al no

tener que tratarse con campos vectoriales no uniformes que ameritan la

solución a la Ecuación de Laplace escalar.

Como se verá más adelante, también es posible calcular la potencia

transmitida en un segmento de línea de transmisión en función de los voltajes

y las corrientes, con lo cual se hace innecesario trabajar con los campos

electromagnéticos.

A continuación se definen los voltajes y corrientes en un segmento de

línea de transmisión en términos de sus campos electromagnéticos.

3.3.2 Voltajes incidentes y reflejados

El voltaje incidente o reflejado en la k-ésima línea de transmisión se

define en el dominio fasorial como:



41

ctez

c

ckkk

k

zV

=

±±∫ ⋅≡2

1

)(ˆ)(ˆ dlrE (3.7)

donde c1 y c2 son cualquier punto tomado sobre los contornos de los

conductores 1 y 2, respectivamente.

Al usar las ecuaciones 3.1 y 3.3 queda:

∫∫±

=

±± =⋅∇−=1

2

2

1

ˆ 0ˆ

0 eêˆ)(ˆc

c

tz

ctez

c

c

zttkk deezV

k

k

k φφ γγ mm dl

zzkk

kk VezV ˆ 0ˆ

0 eêˆ)(ˆγγ mm ±±± == (3.8)

Nótese que aunque la definición dada por la ecuación 3.7 es similar a la

utilizada en electrostática para definir diferencia de potencial, se diferencia

por la evaluación de la integral en zk=cte, la cual es necesaria porque el campo

eléctrico sólo es conservativo en los planos zk=cte.

La ecuación 3.8 establece que el voltaje incidente o reflejado en una

línea de transmisión es una onda plana uniforme escalar que se propaga en

sincronía con el campo eléctrico incidente o reflejado, según corresponda, y

además tiene su misma amplitud y fase.

Esto puede corroborarse obteniendo la expresión para el voltaje

incidente o reflejado instantáneo:

( ))ârg(coseˆ),( 0 0 ±±± += VztVtzv kkzkk kk βωα mm (3.9)



42

3.3.3 Voltaje total

El voltaje total en la k-ésima línea de transmisión se define en el

dominio fasorial como la suma del voltaje incidente más el voltaje reflejado:

)(ˆ)(ˆ)(ˆ kkkkkk zVzVzV−+ +≡ (3.10)

Al sustituir los voltajes incidentes y reflejados dados por la ecuación

3.8, se tiene:

zzkk

kk VVzV ˆ 0ˆ

0 eˆeˆ)(ˆγγ +−−+ += (3.11a)

o equivalentemente:

+= ++

−−+ zz

kkkk

V

VVzV ˆ2

0

0 ˆ

0 eˆ

ˆ1eˆ)(ˆ γγ (3.11b)

3.3.4 Corrientes incidentes y reflejadas

La corriente incidente o reflejada en la k-ésima línea de transmisión se

define en el dominio fasorial como:

ctezckkk

k

zI

=∂

±±∫ ⋅≡

1

)(ˆ)(ˆ dlrH (3.12)

donde 1c∂ es el contorno del conductor 1 (al cual se le asignó 1)( 1 =ctφ ) en el

plano zk=cte.

Al usar las ecuaciones 3.1 a 3.3, queda:



43

( )∫

∫

∂

±

=∂

±±

⋅×∇±=

⋅∇−

×±=

1

1

ˆ 0

ˆ 0

êˆ

êˆ

)(ˆ

c

ttk

z

ctezck

ztt

kk

k

k

k

e

ezI

dl1

dl1

z

z

φη

ηφ

γ

γ

m

m

zkk

kIzI ˆ 0 eˆ)(γm±± = (3.13)

donde:

( )∫∂

±± ⋅×∇±=

1

0

0ˆ

ˆˆ

c

ttk

eI dl1zφ

η (3.14)

Nótese que aunque la definición dada por la ecuación 3.12 es similar a

la Ley de Ampère en estática, se diferencia por la evaluación de la integral en

zk=cte, la cual es necesaria porque el campo eléctrico sólo es conservativo en

los planos zk=cte.

La ecuación 3.13 establece que la corriente incidente o reflejada en una

línea de transmisión es una onda plana uniforme escalar que se propaga en

sincronía con el campo magnético incidente o reflejado, según corresponda, y

además tiene fase igual y amplitud proporcional a la amplitud de dicho campo.

Lo anterior puede corroborarse obteniendo la expresión para la corriente

incidente o reflejada instantánea:

( ))ârg(cos eˆ),( 0 0 ±±± += IztItzi kkzkk kk βωα mm (3.15) donde:



44

( ) ( )∫∫∂

±

∂

±± ⋅×∇=⋅×∇=

11

0 0

0 ˆ ˆ

ˆˆ

c

tt

c

ttk

he

I dl1dl1 zz φφη

)ârg()ârg()ârg()ârg( 000 kehI η−==±±±

3.3.5 Corriente total

La corriente total en la k-ésima línea de transmisión se define en el

dominio fasorial como la suma de la corriente incidente más la corriente

reflejada:

)(ˆ)(ˆ)(ˆ kkkkkk zIzIzI−+ +≡ (3.16)

Al sustituir las corrientes incidentes y reflejadas dadas por la ecuación

3.13, se tiene:

kkkk zzkk IIzI

ˆ 0 ˆ 0 eêˆ)(ˆ

γγ +−−+ += (3.17a)

o equivalentemente:

+= ++

−−+ kkkk zz

kkI

IIzI ˆ2

0

0 ˆ

0 eˆ

ˆ1eˆ)(ˆ γγ (3.17b)

Partiendo de la ecuación 3.14 puede verse que:

+

−

+

−

+

−−=−=

0

0

0

0

0

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

V

V

e

e

I

I

3.3.6 Coeficiente de reflexión generalizado

Se define como coeficiente de reflexión generalizado en la k-ésima línea

de transmisión al cociente de su voltaje reflejado entre su voltaje incidente:



45

kkkk zkk

z

kk

kkkk ee

V

V

zV

zVz ˆ2 ˆ2

0

0 )0(ˆˆ

ˆ

)(ˆ

)(ˆ)(ˆ γγ +−++

−

+

−Γ==≡Γ (3.18)

En términos del coeficiente de reflexión generalizado, el voltaje total y

la corriente total resultan ser:

( )( )kkkk zkkz

kkkkkk

V

zzVzV

ˆ2 ˆ

0

e)0(ˆ1eˆ

)(ˆ1)(ˆ)(ˆ

γγ +−−+

+

Γ+=

Γ+= (3.19)

( )( )kkkk zkkz

kkkkkk

I

zzIzI

ˆ2 ˆ

0

e)0(ˆ1eˆ

)(ˆ1)(ˆ)(ˆ

γγ +−−+

+

Γ−=

=Γ−= (3.20)

Puede verse que el voltaje total y la corriente total en una línea de

transmisión, al tener expresiones similares a las de las componentes del campo

eléctrico y del campo magnético en un problema de incidencia normal con

múltiples medios, tienen el mismo comportamiento de éstos últimos. En

particular, para líneas de transmisión sin pérdidas el voltaje total y la corriente

total tienen un patrón de onda estacionaria con período espacial igual a λk/2,

de tal manera que los máximos adyacentes del voltaje y la corriente están

separados una distancia igual a λk/4.

3.3.7 Impedancia generalizada

Se define como impedancia generalizada en la k-ésima línea de

transmisión al cociente del voltaje total entre la corriente total:

)(ˆ1

)(ˆ1ˆ

)(ˆ1

)(ˆ1

ˆ

ˆ

)(ˆ

)(ˆ)(ˆ 0

0

0

kk

kkk

kk

kk

k

k

kk

kkkk

z

zZ

z

z

I

V

zI

zVzZ

Γ−

Γ+=

Γ−

Γ+=≡ +

+ (3.21)



46

donde el parámetro kZ0ˆ se denomina impedancia característica de la línea, y

viene dado por:

( )∫∂

+

+

⋅×∇==

1

0

00

ˆ

ˆ

ˆˆ

c

tt

k

k

kk

I

VZ

dl1zφη

(3.22)

De la ecuación 3.21 se obtiene que:

kkk

kkkkk

ZzZ

ZzZz

0

0

ˆ)(ˆ

ˆ)(ˆ)(ˆ

+

−=Γ (3.23)

Es importante destacar que la ecuación 3.21 para la impedancia

generalizada es idéntica a la de la impedancia generalizada en el problema de

incidencia normal sobre múltiples medios, salvo que la impedancia intrínseca

del medio es reemplazada por la impedancia intrínseca de la línea. De la

misma manera, la ecuación 3.23 que relaciona al coeficiente de reflexión

generalizado con la impedancia generalizada es idéntica a la del problema de

incidencia normal sobre múltiples medios, excepto en que la impedancia

intrínseca del medio es reemplazada por la impedancia intrínseca de la línea.

De acuerdo con la ecuación 3.22, la impedancia característica es

proporcional a la impedancia intrínseca, con un factor de proporcionalidad que

depende de la geometría de la línea, la cual determina la forma de tt φ ∇ . A

manera de ejemplo, a continuación se calcula la impedancia característica de

un cable coaxial.



47

Ejemplo 3.2: Impedancia característica de un cable coaxial

Para un cable coaxial de radios a y b se obtuvo en el ejemplo 3.1 que la

función tφ viene dada por:

( )( ) baabb

t



48

A fin de hacer posible a gran escala la interconexión en cascada de

líneas de transmisión con generadores y cargas, se ha recurrido a la

estandarización del tipo de conectores y de impedancias. Los tipos de

conectores más comunes son el BNC, como el del cable del osciloscopio, el F

utilizado para señales de televisión y el tipo N, usado fundamentalmente en

microondas. Cada tipo de conector está asociado a unas dimensiones

específicas de cable, de manera que los distintos cables reciben las mismas

denominaciones que sus conectores.

Por su parte, las impedancias características más empleadas son las de

50 ohm, 75 ohm y 300 ohm. La importancia de la normalización de

impedancias se hará más patente cuando se calcule la potencia transmitida en

un sistema de líneas de transmisión y se deduzca la condición para máxima

transferencia de potencia. Nótese que las impedancias características estándar

son reales, esto implica que se supone que a las frecuencias normales de

operación el dieléctrico es un buen aislante y puede despreciarse el ángulo de

su impedancia intrínseca.

3.3.8 Solución de problemas de redes con LTU

Las redes que incorporan LTU generalmente incluyen generadores de

señales y dispositivos pasivos lineales conectados mediante conductores. Los

tipos de interconexión más comunes son las conexiones en cascada y

conexiones en paralelo. Entre los tipos de problemas más comunes se



49

encuentran la determinación de impedancias desconocidas partiendo de datos

del patrón de onda estacionaria de voltaje o de corriente, y el cálculo de

voltajes y/o corrientes en algunos de los elementos de la red.

La solución de problemas de redes con LTU invariablemente conllevan

el cálculo de impedancias y coeficientes de reflexión en los extremos de cada

segmento de línea de transmisión (ecuaciones 3.18, 3.21 y 3.23). Con

frecuencia también se trabaja con las definiciones de voltaje y corriente total

en términos del coeficiente de reflexión (ecuaciones 3.19 y 3.20). Todos estos

conceptos se utilizan en conjunto con los fundamentos del análisis de circuitos

en corriente alterna (C.A.).

A continuación se presentan tres ejemplos de solución de problemas de

redes de C.A. con líneas de transmisión.

Ejemplo 3.3: Cálculo de impedancia de entrada

Calcular la impedancia de entrada en el circuito de la figura 3.5.

ZL=40+j80 Ω

Zin

λ2/4λ1/8

(Z01=75 Ω) (Z02=50 Ω)

Fig. 3.5: Circuito para el ejemplo 3.3

Solución

a) Se calcula el coeficiente de reflexión en la carga.



50

°∠=++−+=

+−

=Γ 4915,556695,0508040

508040ˆˆ

ˆˆˆ

02

02j

j

ZZ

ZZ

L

LL

b) Se calcula el coeficiente de reflexión y la impedancia a la entrada de la

línea 2.

( ) °∠−=Γ−=−Γ=−Γ 4915,556695,0ˆ4/2expˆ)4/(ˆ 2222 LL j λβλ

Según el resultado obtenido, un trozo de línea de transmisión sin pérdidas

de ¼ de longitud de onda tiene en su puerto de entrada el negativo del

coeficiente de reflexión que tiene en su puerto de salida. Este resultado

siempre puede utilizarse en situaciones similares.

Ω−=

=°∠+°∠−Ω=

−Γ−−Γ+=−

0012,255023,12

4915,556695,01

4915,556695,01 50

)4/(ˆ1

)4/(ˆ1ˆ)4/(ˆ22

220222

j

ZZλλλ

Como método alterno de solución, puede demostrarse (se dejan los detalles

como ejercicio para el estudiante) que la impedancia de entrada de

cualquier segmento de línea de transmisión sin pérdidas de ¼ de longitud

de onda es:

)0(ˆ)4/(ˆ

20

Z

ZZ =−λ

En este caso queda Ω−=− 255,12)4/(ˆ 22 jZ λ . La diferencia en los

decimales con el resultado anterior se debe a errores numéricos de

aproximación.



51

c) Se calcula el coeficiente de reflexión en el extremo derecho de la

primera línea.

°−∠=+−−−=

+−−−=Γ − 2532,1427397,0

75255,1275255,12

ˆ)4/(ˆ

ˆ)4/(ˆ)0(ˆ

012

01211 j

j

ZZ

ZZ

λλ

d) Se calcula el coeficiente de reflexión y la impedancia a la entrada de la

línea 1, que es la impedancia de entrada del circuito.

( ) ( ) ( )°∠=°−∠=

−Γ=−Γ=−Γ −−+

7468,1277397,02532,2327397,0

2/exp)0(ˆ8/2exp)0(ˆ)8/(ˆ 11221111 πλβλ jj

( )( )

Ω+=°∠Ω=

°∠−°∠+Ω=

−Γ−−Γ+=−= +

+

9391,360493,158336,67 8871,39

7468,1277397,01

7468,1277397,01 75

)8/(ˆ1

)8/(ˆ1ˆ)8/(ˆˆ11

110111

j

ZZinZλλλ

Lineas de transmisiongecousb.com.ve/guias/GECO/Teoría de Ondas (EC-2322...De acuerdo con las...

Documents

Transcript of Lineas de transmisiongecousb.com.ve/guias/GECO/Teoría de Ondas (EC-2322...De acuerdo con las...