FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL II

LINEAS DE INFLUENCIA

1.- GENERALIDADES:En el presente trabajo de investigación, se centra en la investigación y aplicación del

método de líneas de influencia ya que es muy útil para establecer las condiciones más

desfavorables en una estructura.

Se puntualizara en la aplicación de líneas de influencia para vigas isostáticas y

simplemente apoyadas, partiendo de ese punto aprenderemos a calcular las líneas de

influencia de diferentes estructuras isostáticas ya sea para reacciones, momentos y

cortante.

Si bien en el tratamiento del tema, por simplicidad nos referimos a casos de vigas, la

generalización a otros tipos de estructuras es casi inmediata y no requiere de nuevos

conceptos a los necesarios en nuestro tratamiento. La posibilidad de cargas móviles

implica la necesidad de obtener:

a) las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de

cargas) para distintos puntos de aplicación de la misma.

b) El estado más desfavorable de aplicación de la carga, que trae aparejada las

mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una

sección dada Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas la secciones

de la viga, o por lo menos, en varias secciones características según las circunstancias.

El trazado de diagramas o Líneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a

las dos necesidades y su utilización es casi imprescindible en el caso de estudios de

puentes, puentes grúa, etc., donde las cargas móviles (p) tienen una cierta importancia

con respecto a peso propio o carga permanentes (g).

2.-OBJETIVOS: Definir los conceptos básicos de líneas de influencia y el procedimiento para su

diagramación.

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Realizar el diagrama o líneas de influencia tomando como base los fundamentos

teóricos del método para de esa manera aplicarlos a vigas isostáticas simplemente

apoyadas.

Conocer la variación de de la magnitud de la reacción, fuerza cortante y momento

flector que se genera en la estructura permitiéndonos conocer el punto exacto donde

se genera su concentración máxima.

3.-JUSTIFICACION:

El estudio de las líneas de influencia es de gran importancia para las estructuras, ya

que con la aplicación de este método de cálculo podremos determinar las condiciones

más desfavorables de dicha estructura que generalmente presentan un

comportamiento lineal y soportan cargas móviles.

Gracias a la aplicación del método a la estructura nos permitirá conocer la variación

de las reacciones, momento flector y fuerza cortante que se genera en la estructura

permitiéndonos conocer el punto exacto donde se genera su concentración máxima.

4.-LIMITACIONES:

Nos limitaremos al estudio del cálculo de vigas isostáticas y simplemente apoyadas

por indicaciones precisas del catedrático del curso.

5.-GLOSARIO DE TERMINOS:Cargas móviles.

Son aquellas causas estáticas o cinemáticas que pueden ocupar distintas posiciones

sobre la estructura. El elemento distintivo de este tipo de cargas es de carácter

variable de su posición y no deben entonces ser confundidas con las cargas dinámicas,

cuya esencia es su dependencia de la variable tiempo.

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Tren de cargas.

Tren de cargas es un conjunto de cargas móviles que mantienen su posición,

frecuentemente los trenes de carga representan los vehículos.

Carga muerta.

Son aquellas que permanecen fijas o permanentes durante la vida útil de la estructura,

generalmente lo conforman el peso propio de la estructura, tabiques, acabados,

equipo y maquinaria, con el carácter de estacionarios. Esta carga se puede calcular con

una buena aproximación a partir de los planos del proyecto y de la densidad de los

materiales. Estas cargas se analizan para el cálculo, idealizándolos como cargas

distribuidas y como cargas puntuales.

Carga viva.

Llamado sobrecarga y son aquellas que no tiene el carácter de permanente, es decir

pueden estar o no, dentro de esto tenemos el peso propio de las personas, mobiliarios,

tabaquería móvil, equipo, maquinaria con carácter de no estacionario.

6.-DEFINICIÓN DE LÍNEAS DE INFLUENCIA:Definiremos como líneas de influencia de una solicitación (o deformación), en la

sección A-A, a un diagrama tal, que su ordenada en un punto i mida, en una

determinada escala, el valor de la solicitación en la sección A-A (o de la deformación),

cuando en el punto i de referencia actúa una carga de valor unitario.

Las líneas de influencia se utilizan primordialmente para calcular ciertas fuerzas y

determinar posiciones de cargas vivas que produzcan fuerzas críticas o máximas. El

procedimiento para dibujar los diagramas de la línea de influencia consiste

simplemente en la graficación de los valores de la función en estudio, como ordenadas

correspondientes a diversas posiciones de la carga unitaria a lo largo del claro y

finalmente en unir por líneas los extremos de dichas coordenadas.

Una línea de influencia representa la variación de la magnitud de la reacción, fuerza

cortante, del momento flector o de la deflexión de un punto especificado de un

miembro cuando una fuerza concentrada se mueve sobre el mismo. Una vez

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construida la línea de influencia, puede verse claramente donde puede colocarse una

carga viva sobre la estructura par que se genere la máxima influencia en el punto

especificado. Además la magnitud de la reacción, fuerza cortante, momento flector o

deflexión asociada en el punto puede entonces calcularse a partir de las ordenadas del

diagrama de la línea de influencia.

7.- PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS DE UNA ESTRUCTURA

MEDIANTE EL METODO DE LINEAS DE INFLUENCIA:

Paso 1: Líneas de influencia para estructuras estáticamente determinadas.

Paso 2 (INTRODUCCIÓN): Las líneas de influencia tienen importantes aplicaciones en

el diseño de estructuras que resisten grandes cargas vivas. Estudiaremos cómo trazar

la línea de influencia de una estructura estáticamente determinada. La teoría se aplica

a estructuras sometidas a una carga distribuida o a una serie de fuerzas concentradas

y se dan aplicaciones específicas a trabes de piso y armaduras de puentes.

Paso 3: LÍNEAS DE INFLUENCIA Hemos desarrollado procedimientos para analizar

las fuerzas en miembros estructurales debido a cargas muertas o fijas. Se ha mostrado

que los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante representan los métodos

más descriptivos para exhibir la variación de esas cargas en un miembro. Sin

embargo, si una estructura está sometida a una carga viva o móvil, la variación de la

fuerza cortante y del momento flexionante en el miembro se describe mejor usando la

línea de influencia.

Paso 4: Una línea de influencia representa la variación de la reacción, de la fuerza

cortante, del momento flexionante o de la deflexión en un punto específico de un

miembro cuando una fuerza concentrada se mueve sobre el miembro. Una vez

construida esta línea, puede verse claramente dónde debe colocarse una carga viva

sobre la estructura para que genere la máxima influencia en el punto especificado.

Además, la magnitud de la reacción, fuerza cortante, momento o deflexión asociados

en el punto puede, entonces, calcularse a partir de las ordenadas del diagrama de

influencia. Por estas razones, las líneas de influencia juegan una parte importante en

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el diseño de puentes, trabes, carriles de grúas industriales, bandas transportadoras y

otras estructuras donde las cargas se mueven a lo largo de su claro.

Paso 5: PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Cualquiera de los siguientes procedimientos

puede usarse para construir la línea de influencia en un punto P específico de un

miembro para cualquier función (reacción, fuerza cortante o momento). En estos

procedimientos escogeremos la fuerza móvil con una magnitud unitaria adimensional.

Paso 6: Valores tabulados. Colocar una carga ➲ unitaria en varias posiciones x a lo

largo del miembro y en cada posición usar la estática para determinar el valor de la

función (reacción, fuerza cortante o momento) en el punto especificado. Ecuaciones

de las líneas de influencia. La ➲ línea de influencia puede también construirse

colocando la carga unitaria en una posición x variable sobre el miembro y luego

calcular el valor de R, V o M en el punto como función de x.

Valores tabulados.Se coloca una carga unitaria en varias posiciones x a lo largo del miembro y en cada

posición se usara la estática para determinar el valor de la función (reacción, fuerza

cortante, momento flector), en el punto especifico. Si va dibujarse la línea de influencia

de la fuerza cortante y momento flector para un punto, se toma la cortante o el

momento como si positivo en el punto si actúa en el sentido convencional usado ´para

dibujar los diagramas de momento flector y fuerza cortante. Si se va a construir la

linea de influencia para una reacción de fuerza vertical en un punto sobre la viga,

considere la reacción como positiva cuando actúe hacia arriba.

Ecuaciones de las líneas de influencia.

La línea de influencia puede también construirse colocando l carga unitaria en una

posición x. De esta manera, pueden determinarse y trazarse las ecuaciones de los

varios segmentos de la línea que componen la línea de influencia.

I.- LINEAS DE INFLUENCIA DE LAS REACCIONES.

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Consideramos una viga simplemente apoyada, como la mostrada en la figura 1.A;

procedemos a indicar el proceso de construcción de la línea de influencia de la

reacción en el apoyo M. Dispongamos – con tal fin – una carga unitaria en el apoyo M

de dicha viga (figura 1.B), notaremos entonces que en dicho punto se obtendrá una

reacción de igual valor y dirección, pero de sentido opuesto. Por otro lado, de

aplicarse esta carga en el apoyo N, la reacción ocasionada en el apoyo M seria cero.

Con estos valores extremos, dispongamos una diagrama, tomando como base una

longitud L (igual al de la viga); coloquemos entonces los valores hallados y tracemos

una línea recta uniendo los dos valores extremos, tal como se muestra en la figura 1.C,

mediante la Línea CB.

Notemos que la línea de influencia para vigas estáticamente determinadas, se

compone de tramos rectos debido a que las reacciones son siempre lineales con

respecto a la posición de la carga concentrada. La interpretación del diagrama

obtenido, será como sigue:“Si colocamos una carga igual a la unidad en el punto E de la

viga mostrada, la reacción a obtenerse en el apoyo M de ella, será igual a la longitud y

medida sobre el diagrama de líneas de influencia mostrado “Consideramos ahora, que

sobre la viga actúa una carga P a una distancia x del apoyo N de la viga simplemente

apoyada de longitud L. (figura 2.A)Las líneas de influencia para las reacciones en los

apoyos M y N están indicadas por los diagramas mostradas en las figuras 2.B y 2.C

respectivamente.

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Cuando la fuerza P se halla a la izquierda de la sección 2, el esfuerzo de corte en dicha

sección es negativo y numéricamente igual a la reacción B que se produciría en el

apoyo derecho N.

En la figura 2.B podemos –por semejanza de triángulos- plantear:Y= X/LPor ello la

reacción en el apoyo M, debida a la carga P, estará dada como:RM = Py =P(X/L)De

manera similar, encontraremos para el otro apoyo que el valor de reacción es:RN = Py’

= P(L – X)/L

De aumentar la cantidad de cargas puntuales dispuestas sobre la viga simplemente

apoyada (figura 3.A) tendremos que la reacción en el apoyo M debida a tales cargas,

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estará indicada como:RM = PA + PB + SQExpresión en la cual A, B, C son coeficientes

numéricamente menores que la unidad, calculables por semejanza de triángulos o si

no directamente como:A = a/LB = b/LC = c/LA partir de todo lo expuesto, estamos en

condiciones de generalizar los resultados obtenidos como:R = Pi YiExpresión en la Σ

cual podemos indicar:R = Reacción en uno de los apoyos de la viga simplemente

apoyada.Pi = Carga aplicada sobre un punto cualquiera de la viga.Yi = Coeficiente

correspondiente a la carga dada, obtenido del diagrama de líneas de influencia

correspondiente. El valor numérico del coeficiente puede calcularse:·

GRAFICAMENTE: Realizando el diagrama de líneas de influencia a una escala

conveniente. De tal nodo que la lectura puede efectuarse por medición directa en el

gráfico.· ANALITICAMENTE: Se entiende como el cociente entre la distancia desde el

punto de aplicación de la fuerza puntual considerada al otro apoyo y la longitud de la

vida simplemente apoyada.Este coeficiente de influencia puede ser interpretado

numéricamente, como la reacción que ocasionaría en el apoyo considerado una carga

unitaria en lugar de la carga P.

II.- LINEAS DE INFLUENCIA DE MOMENTOS FLECTORES.

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METODO 1:

Notemos que a partir de esta sección y hacia los apoyos A y B, se han determinado dos

longitudes que denominaremos M y N. Rotemos entonces dichas longitudes –

apoyándonos en A y B- hasta que se encuentren en posición vertical; hecho esto;

unamos los extremos con los apoyos opuestos.El diagrama de influencia de los

momentos flectores en la sección 2, estará indicado por la zona determinada por la

intersección de las líneas mencionadas anteriormente (en la figura 8.B, esta indicada

por la región sombreada).

METODO 2:

Tracemos el diagrama de la línea de influencia para la reacción en uno de los apoyos

de la viga considerada; en la figura 9.B, mostramos la correspondiente al apoyo A.A

continuación, determinamos la reacción que ocasionaría en A, el colocar una carga

unitaria puntual en la sección a analizar; en la figura 9.A; considerando una sección 2,

obtendremos que la reacción mencionada esta indicada por el segmento de longitud

G.Conocido el valor de la reacción en el apoyo, calcularemos el máximo momento en la

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sección 2 multiplicando dicho valor G por la magnitud de palanca M. Con el valor

hallado, trazamos una vertical por la sección que se esta estudiando, midiendo sobre

ella el valor del momento calculado; y a partir del extremo, trazamos líneas rectas

hasta los extremos.El diagrama así obtenido (figura 9.C ), será la línea de influencia de

momentos flectores para la sección 2.Nota 1: Por ser una viga de un solo tramo,

simplemente apoyada, las cargas (hacia abajo) que se coloquen sobre ella,

ocasionaran en la sección momentos positivos (recordemos que la viga se flectuará

hacia abajo).Aceptaremos por ello, como convención, que los momentos positivos se

graficaran debajo de la línea horizontal de referencia; en caso contrario –de ser el

momento negativo- graficaremos sobre la línea horizontal de referencia.Nota 2:

Considerando la viga simplemente apoyada de la figura 10.A y su diagrama de líneas

de influencia para la sección 2 (figura 10.B) notaremos:

C = Momento en la sección 2, cuando se coloca una carga unitaria en la sección 1.

D = Momento en la sección 2, cuando se coloca una carga unitaria en la sección 2.

E = Momento en la sección 2, cuando la carga unitaria se coloca en la sección 3.

F = Momento en la sección 2, cuando la carga unitaria se encuentra en la sección 4.

III.- LINEAS DE INFLUENCIA DE ESFUERZO DE CORTE.

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Consideramos una viga simplemente apoyada MN, en la cual deseamos conocer los

esfuerzos de corte que se originarían en una sección tal como 2, bajo la accion de una

carga P.· Cuando la fuerza P se halla a la derecha de la sección 2, el esfuerzo de corte

en dicha sección es positivo y numéricamente igual a la reacción A que se producirá

en el apoyo izquierdo M.

Como notamos, el esfuerzo de corte dependerá en unos casos de la reacción en el

apoyo derecho y en otros del que se produzca en el izquierdo, estando ello en función

de la posición de la carga respecto a la sección sobre el cual se calcula el esfuerzo de

corte, se obtendrá tomando las zonas sombreadas de los diagramas de influencia de

las reacciones en sus apoyos, tal como se muestra en la figura (19.B).

Líneas de influencia

Considerando la forma en que actúan las cargas en una estructura vemos que se pueden clasificar en cargas permanentes (muertas), cargas no permanentes o vivas

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y/o cargas de construcción. La carga permanente, como su nombre lo dice, siempre estará presente en la vida útil de la estructura y producirá sobre esta efectos constantes; la carga viva o no permanente fluctúa tanto en posición sobre la estructura como en su duración produciendo efectos variables en ella. Podríamos concluir, de una manera apresurada, que colocando la carga viva sobre toda la estructura produciríamos los efectos máximos en ella, esta afirmación no es cierta y requiere de un estudio mas complejo.

Un ejemplo simple de este efecto es el de una viga simplemente apoyada con voladizo a un lado. Si la carga viva actúa sobre toda la viga, producirá un momento positivo en la luz menor que si actúa solo en el tramo apoyado; en este ejemplo sencillo nos percatamos de la importancia de saber colocar la carga para que produzca los efectos máximos y así cuando diseñemos no corramos el peligro de que nuestra estructura falle.

En este capítulo estudiaremos el método de las líneas de influencia para colocar la carga viva o variable de tal manera que produzca efectos máximos de corte, flexión, reacciones y deflexiones tanto para cargas puntuales como para cargas distribuidas.

La línea de influencia es un grafico que define la variación de un esfuerzo (corte, momento flector o torsor), reacción o deflexión en un punto fijo de la estructura a medida que se mueve una carga unitaria sobre ella.

La línea de influencia es diferente al diagrama de momento o cortante o a la elástica de la viga, estos representan la variación de la función a lo largo de la viga para una serie de cargas definidas y el otro define como varía V, M o en un punto específicoδ cuando se mueve una carga unitaria sobre la viga no dando el valor de la función en toda posición.

La línea de influencia utiliza una carga unitaria ya que por los conceptos de linealidad, proporcionalidad y superposición se puede determinar la función especifica simplemente multiplicando el valor de la línea de influencia por el valor de la carga real.

Este método se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes grúas, bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas móviles.

Determinación de la línea de influencia:

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La línea de influencia es una gráfica en la cual las ordenadas representan una fuerza interna o deflexión y la abscisa representa la posición de una carga unitaria. Para su construcción se define el punto de estudio sobre la estructura, se comienza a variar la posición de la carga puntual y se encuentra el valor del esfuerzo interno a medida que se mueve la carga, se puede construir una tabla del valor de la función vs la posición de la carga y después se grafica. Otro método es encontrando la ecuación de la línea de influencia y graficando.

Construyamos la línea de influencia para la reacción en A de la siguiente viga:

Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada distancia se calcula RA.

Otro método es encontrando la ecuación de la variación de la reacción en A a medida que se mueve una carga unitaria. Se parte de encontrar esa reacción en función de la posición x de la carga P=1,0. Aplicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reacción por proporciones tenemos:

Notemos que la ecuación tiene pendiente negativa y con una variación lineal para RA.

Para obtener el valor de la reacción en A para cualquier carga P, se multiplica la ordenada de la línea de influencia por el valor de la carga.

Si L=8m, P=5 ton localizada a 3m del punto A el valor de la reacción sería:

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Línea de influencia para el cortante en A: Se determina la variación del cortante en A por el método de las secciones:

En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las reacciones en función de la posición x y después se aplica el método de las secciones partiendo por el punto al cual se le quiere determinar la línea de influencia:

Haciendo equilibrio en la sección y localizando la carga en x>0 tenemos:

En este caso concluimos que la línea de influencia del cortante en A es igual a la de la reacción en A

Note que la línea de influencia se hacer para la convención positiva de los esfuerzos internos.

Línea de influencia para la reacción en B:

Línea de influencia para el momento en A:

Para cualquier posición de la carga unitaria el momento en A será cero.

Línea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2

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Siempre comenzamos encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos:

Para x<L/2 , se puede tomar la sección C-B y los cálculos se facilitan ya que en ella no está actuando la carga unitaria:

, de donde

Para x>L/2 se toma la sección A-C para equilibrio:

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Línea de influencia para el cortante en C:

Momento en C:

USO DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA:

1. Caso de cargas puntuales: Para cualquier carga puntual P se multiplica el valor de la ordenada en el punto x y ese es el valor del corte o del momento o la función graficada.

Para encontrar los valores máximos de V o M se debe colocar la carga puntual P en el punto de máxima ordenada.

Ejemplo

Construya la línea de influencia para el cortante y momento en el punto B y diga en que puntos debe colocar una carga puntual para producir los máximos efectos de cortante y momento en B.

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Encontremos las reacciones en función de x:

Líneas de influencia para corte y momento en B:

0 < x < 4m

Para 4<x<8m

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Líneas de influencia:

VB

MB

Se producen dos puntos donde puede actuar P y obtener el máximo momento en B, estos dos puntos son: x=0 y x=4m. Para el cortante se debe colocar la carga en x=4m para obtener el mayor cortante en B.

2. Caso de cargas distribuidas:

En realidad una línea de influencia para una carga distribuida no se podría encontrar como tal, pero la línea de influencia de la carga puntual se puede usar para determinar en que tramos colocar la carga distribuida para que produzca los valores máximos en un punto.

Si sabemos que el valor de la reacción, cortante o momento en un punto esta dado por la por la ordenada “y” de la línea de influencia multiplicada por el valor de la carga actuante P; entonces para una serie de cargas P, o sea una carga distribuida, el valor

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del cortante, momento o reacción se podría determinar por la suma de todos los cortantes o momentos de cada una de las cargas:

Para cargas distribuidas podemos considerar que cada carga P corresponde al valor de la carga distribuida por una longitud pequeña de viga x, dándonos la sumatoriaΔ como:

Notemos que el valor de la función conserva el signo de la grafica de la línea de influencia, así, si queremos obtener valores máximos debemos colocar la carga distribuida sobre áreas que sumen, con el signo correspondiente, a un valor existente.

Ejemplo

Determine donde debe colocar una carga distribuida para producir el mayor cortante negativo y momento en el punto C.

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Para producir el máximo cortante negativo debemos cargar la viga en la zona de la línea de influencia con área negativa y para el momento máximo cargamos toda la viga ya que toda el área es positiva.

Ejercicio

Encontrar el máximo momento y el cortante máximo que se puede desarrollar en el punto C de la viga mostrada cuando está sometida a una carga permanente de 5000N/m. una carga viva distribuida de 1800 N/m y una carga puntual de 5000N.

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Momento mínimo

Como hacer las líneas de influencia de una forma rápida?

Principio de Muller-Breslau

La de la línea de influencia en un punto dado para la cortante o momento esta dada por la deformada de la viga al aplicar ese momento o cortante en el punto determinado, retirando la capacidad de la viga para aguantar esa función.

Línea de influencia para reacción en A

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Rodillo interno

Articulación

Las ordenadas de la línea de influencia de un esfuerzo cualquiera de una estructura son proporcionales a las de la curva de deformación que se obtiene al suprimir la restricción correspondiente a ese esfuerzo y aplicando en ese lugar el esfuerzo especificado.

Ejercicios:

Determine la forma de la línea de influencia para:

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Lineas de influencia en armaduras y vigas en celosía

Para armaduras:

Se usa para determinar fuerzas axiales máximas en un miembro determinado.

La forma sería expresando la fuerza en un miembro determinado en función de la carga unitaria en cada uno de los nudos, otra es en función de la posición de x de la carga unitaria.

Pasos:

1. Expresar reacciones en función de la posición de carga unitaria. 2. Dividir la armadura en regiones antes y después del panel que contiene la

barra a analizar. 3. Expresar la fuerza del miembro en función de las reacciones por el método de

las secciones en las regiones no pertenecientes al panel. 4. Conectar las líneas de influencia en la región de la barra.

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