UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

HPV/

LISTADO 1

527148

1. Considere la función f(x) =√x4 + 1 definida sobre el intervalo [0, 2].

Mediante el cálculo de sumas inferiores y superiores dé valores aproximadosde la integral

∫ 20f(x)dx , correspondientes a las representaciones siguientes:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

4y

Suma inf. con 10 subinterv. de igual longitud

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

4y

Suma sup. con 10 subinterv. de igual longitud

2. Evalue la integral∫ 20x2dx Encuentre el valor de c ∈ [0, 2] que satisface la

igualdad del teorema del valor medio para integrales∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a)

¿Cuál es el valor promedio de f en el intervalo [0, 2]?(

1b−a

∫ baf(x)dx

)

3. Use el Teorema fundamental del cálculo para encontrar la derivada de la fun-ción dada:

a) F (x) =

∫ x

0

t(1 + t3)29dt

b) F (x) =

∫ x2

0

t sin tdt

c) F (x) =

∫ x3

x2

√1 + t2dt

4. Calcule las integrales:

a)

∫ 3

1

(x2 − 1

x2

)2dx

b)

∫ π/2

0

(ddxsin5 x

)dx

c)

∫ −2

−1

(x− 5

x3

)dx

d)

∫ 8

4

|x− 5|dx

5. Un tren viaja en línea recta a 80 Kmhr

cuando súbitamente el maqui-nista nota una vaca en la línea frente al tren. El maquinista aplica los frenos,causando una desaceleración constante en el tren. Dos minutos más tardeel tren se detiene, rozando apenas a la vaca que se mueve espantada.¿A quédistancia estaba el tren cuando se le aplicaron los frenos?

6. Encontrar una función f y un valor de la constante c, tal que:∫ x

c

f(t)dt = cosx− 12

, para todo x real

7. En cada caso, calcular f(2) si f es continua y satisface la fórmula dada paratodo x ≥ 0.

a)

∫ x

0

f(t)dt = x2(1 + x) , b)

∫ f(x)

0

t2dt = x2(1 + x)

c)

∫ x2

0

f(t)dt = x2(1 + x) , d)

∫ x2(1+x)

0

f(t)dt = x

8. Una función f está definida para todo real x por la fórmula

f(x) = 3 +

∫ x

0

1 + sin t

2 + t2dt

Sin intentar el cálculo de esta integral, hallar un polinomio cuadráticop(x) = a+ bx+ cx2 tal que p(0) = f(0), p′(0) = f ′(0) y p′′(0) = f ′′(0).

2

9. Aplicar el método de sustitución o la fórmula del cambio de variables paracalcular las integrales siguientes:

a)

∫ 4

−1

x√1 + x2

dx , b)

∫ 3

2

x+ 1√x2 + 2x+ 3

dx

c)

∫ 1

0

x2√x+ 1dx , d)

∫ π

0

sin x

(3 + cosx)2dx

e)

∫ π/2

−π/2sin3 x dx , f)

∫ 1

0

x√2x+ 1

dx

g)

∫ 8

3

sin√x+ 1√x+ 1

dx , h)

∫ 0

−1(x2 + 1)−3/2dx

i)

∫ 1

0

xdx√1 + x2 +

√(1 + x2)3

, j)

∫ 1/3

−2/3

xdx√2− 3x

k)

∫ 1/2

0

√x

1− x√xdx , l)

∫ 2

0

x2 − 2x+ 1

dx

10. Aplicar el método de sustitución o la fórmula del cambio de variables paracalcular las integrales siguientes:

a)

∫ 1

0

3√x

( 3√x+ 1)5

dx , b)

∫ 4

1

√x

√1 +

√xdx

c)

∫ 2

1/2

1√x(1 +

√x)dx , d)

∫ −2

−3

1

1 + 3√xdx

e)

∫ π/4

0

x

1 + x tanxdx , f)

∫ 100

−100xex

2

dx

g)

∫ 1000

0

e(ex+x)dx , h)

∫ 2

1

e2t√e2t − 4

dt

i)

∫ π/4

π/6

tan2 x

x− tanxdx j)

∫ 1/7

1/26

1

x2(x+ 1

x)dx

11. Algunos psicólogos creen que una medida numérica de la habilidad del niñopara aprender durante los primeros cuatro años de vida se describe aproxi-madamente por la función

f(x) =5

3x lnx− 5x+ 10 para1

2≤ x ≤ 4

en que x es la edad en años. ¿A qué edad puede un niño aprender mejor?

3

12. Crecimiento y decaimiento exponencial.-Considere una función f(x) que tiene la propiedad

f ′(x) = k · f(x) para x ≥ 0

Muestre, usando la función g(x) = e−kxf(x) (calcule la derivada de g), que fsatisface la igualdad

f(x) = f(0) · ekx para x ≥ 0

Se dice que f crece exponencialmente si k > 0 y que f decrece exponencial-mente si k < 0.Problema.- Una pequeña cantidad de gas radón, el cual tiene una vida mediade 3.8 días, es accidentalmente liberado dentro de un laboratorio. Si el nivelde radiación resultante es de un 50% por sobre el nivel de seguridad, ¿cuántotiempo debería permanecer desocupado el laboratorio?

13. Resolver las siguientes integrales:

a)

∫ 1

0

1

(x2 + 1)3/2dx b)

∫ 2

√3

√x2 − 3x

dx

c)

∫ π/4

0

x sec2 xdx d)

∫ 1

−1

x3ex2

(x2 + 1)2dx

e)

∫ 1

0

1√x2 − 6x+ 10

dx f)

∫ 2

1

√4x2 + 9

x4dx

g)

∫ 0

−1e−2x cos 6xdx h)

∫ 1/10

0

arcsin 2xdx

i)

∫ 10

0

1

x4 + 1dx j)

∫ 1

0

x3 − 2x2 + 5x+ 1x2 − 4 dx

k)

∫ 1

0

3x+ 4

x3 − 2x− 4dx l)

∫ 2

0

1

sin x+ cosxdx

14. Un granero tiene una longitud de 100 pies y una anchura de 40 pies. Unasección transversal del techo tiene forma de una catenaria invertida

y = 31− 20 cosh( x20)

-20 -10 0 10 20

5

10

x

y

Hallar la capacidad de almacenamiento del granero en pies cúbicos.

4

15. Determinar si las siguientes integrales impropias convergen o divergen. Encaso de convergencia calcular el valor de la integral:

a)

∫ ∞

1

(1− x)e−xdx b)

∫ ∞

0

dx√x(x+ 1)

c)

∫ ∞

0

x3

(x2 + 1)2dx d)

∫ π/2

0

secxdx

e)

∫ 1

0

ln xdx f)

∫ 4

2

1√x2 − 4

dx

g)

∫ ∞

0

cosπxdx h)

∫ ∞

0

(x− 1)e−xdx

i)

∫ 2

0

13√x− 1dx j)

∫ 2

0

1

(x− 1)4/3dx

k)

∫ ∞

0

x

(x2 + 1)4dx l)

∫ ∞

0

x3

(x2 + 1)5dx

16. Usando un criterio de convergencia decida si las siguientes integrales impropiasconvergen o divergen:

a)

∫ ∞

1

1

x2 + 5dx b)

∫ ∞

1

1√x+ 1

dx

c)

∫ ∞

0

1

x3 + 1dx d)

∫ ∞

2

1

x2 − 1dx

e)

∫ ∞

2

13

√x(x− 1)

dx f)

∫ ∞

0

e−x2

dx

g)

∫ ∞

2

1√x lnx

dx h)

∫ ∞

0

x√x4 + 1

dx

17. Se llama función densidad de probabilidad a una función no negativa f tal

que

∫ ∞

−∞f(t)dt = 1.La probabilidad de que t esté entre a y b viene dada por

P (a ≤ t ≤ b) =

∫ b

a

f(t)dt. El valor esperado de t viene dado por E(t) =

∫ ∞

−∞tf(t)dt. Para la función

f(t) =

{17e−t/7 , t ≥ 00 , t < 0

a) Demostrar que es una función densidad de probabilidad.b) Hallar P (0 ≤ t ≤ 5)c) E(t).

5

18. Sea f : [0,∞) → R. La transformada de Laplace de f se define como lafunción F

F (s) =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt

para los valores de s tales que la integral converge. Calcule la transformadade Laplace de:

a) f(t) = 1 b) f(t) = t

c) f(t) = t2 d) f(t) = eat, con a constante

e) f(t) = sin at f) f(t) = cos at

19. En los siguientes ejercicios graficar la región acotada por las curvas dadas ycalcular su área:

a) y = x2 − 4x, y = 0 b) y = −x2 + 2x+ 1, y = x+ 2

c) y =1

x2, y = 0, x = 1, x = 5 d) y = x2 − 4x+ 3, y = 3 + 4x− x2

e) x = 2y − y2, y = −x f) y =1

x, y = −x2 + 4x− 2

g) y = x4 − 2x2 + 1, y = 1− x2 h) y = 3(x3 − x), y = 0

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