UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL

“LISANDRO ALVARADO”

Decanato de Ciencias y TecnologıaLicenciatura en Ciencias Matematicas

Localizacion de Gravedad Sobre Paredes de Dominio

Trabajo Especial de Grado presentado por

Br. Juan C. La Cruz V.

como requisito finalpara obtener el tıtulo de Licenciado

en Ciencias Matematicas

Area de Conocimiento: Geometrıa Diferencial - Relatividad GeneralTutor: Dr. Rommel Guerrero

Barquisimeto - Venezuela

Mayo 2011

Resumen

En este trabajo se consideraron soluciones del tipo pared de dominio al acoplamiento Eins-tein campo escalar en 5-dimensiones; es decir, soluciones donde el campo escalar interpola entrelos mınimos del potencial de auto-interaccion del sistema. Se analizaron el espectro de las fluc-tuaciones gravitacionales en el sector transverso y sin traza, encontrando que en efecto siguenuna ecuacion de auto-valores, tal que, el modo cero de las excitaciones se encuentra localizadoen torno a la pared; mientras que los modos masivos se propagan libremente sobre toda laestructura 5-dimensional.

1

Indice general

Introduccion 4

1. Preliminares 51.1. Variedad Diferenciable y Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Simbolo de Christoffel y Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Tensor de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Invariancia de Calibre 112.1. Transformacion de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Condicion de Calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Paredes de Dominio 153.1. Sistema Einstein-Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Paredes de Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Simplificacion del Sistema Einstein-Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4. Curvatura de Bulk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5. Solucion Estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Espectro de las Fluctuaciones Gravitacionales 194.1. Perturbaciones Gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Conclusiones 22

Apendices 22

A. Perturbaciones Gravitacionales 23A.1. Rac en funcion de Rac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23A.2. Ecuacion de movimiento de la perturbacion hac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24A.3. Desarrollemos d

dλRac

∣∣λ=0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

A.4. Desarrollo de ddλTac

∣∣λ=0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A.5. Desarrollo de −13

ddλ

[gacT

bb

]

λ=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

A.6. Simplificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28A.7. Fluctuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28A.8. Calculemos 2hac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2

Bibliografıa 30

3

Introduccion

Las hipersuperficies sumergidas en un espacio de alta dimensionalidad, son soluciones alas ecuaciones de campo de Einstein fenomenologicamente interesantes, pues permiten obtenermodelos de nuestro Universo. En estas teorıas el Universo se concibe como una hipersuper-ficie 4-dimensional en un espaciotiempo 5-dimensional con constante cosmologica negativa oAnti de Siter (AdS) [1].

Las Paredes de Dominio son soluciones al sistema acoplado Einstein-Campo Escalar, dondeel campo escalar es un kink topologico que interpola entre los mınimos o vacıos consecutivos delpotencial de autointeraccion [2]. La teorıa Einstein-Campo Escalar predice como evoluciona elespaciotiempo dada una fuente definida por el campo escalar y el pontencial; y consiste en unsistema de ecuaciones acopladas en derivadas parciales de segundo orden, de tal manera quehallar soluciones exactas a este sistema es un problema altamente no trivial.

Dentro del conjunto de soluciones del tipo pared de dominio se tienen las paredes dobles [3];estas son soluciones asociadas a un doble kink y a una densidad de energıa con dos maximospronunciados, tal que el espaciotiempo es fraccionado en tres porciones. El espectro de lasfluctuaciones gravitacionales de estas configuraciones, en el sector transverso y sin traza, secaracteriza por un modo cero acotado alrededor de la pared o en el caso de las estructurasdobles entre las paredes; y por un conjunto de modos masivos que se propagan libremente portodo el espacio 5-dimensional.

Este trabajo se estructuro de la siguiente manera. En el primer Capıtulo se mostraron elconjunto de definiciones requeridas para construir las ecuaciones de Einstein [4, 5]. En el segundoCapıtulo; se hizo una breve revision de la invariancia de calibre en Relatividad General [6]. Enel tercer Capıtulo, se presento el sistema Einstein-Campo Escalar y la definicion de Pared deDominio; adicionalmente, se obtuvo una solucion estatica del tipo pared doble. En el cuartoCapıtulo, se realizo el analisis de las perturbaciones gravitacionales del espaciotiempo doble.Finalmente, en relacion a los dos ultimos Capıtulos se sugiere revisar [7]. Posterior a esto sedesarrollaron la Conclusiones respectivas.

4

Capıtulo 1

Preliminares

En este Capıtulo se muestra el conjunto de definiciones que fundamentan el trabajo. Paramas detalles sobre el mismo se sugiere revisar [4].

1.1. Variedad Diferenciable y Tensores

Definicion 1.1. (Variedad diferenciable). Una variedad diferenciable n-dimencional de

clase C∞ es un conjunto M y una familia de aplicaciones biyectivas Xα : Uα → Vα ⊂ Rn, con

α ∈ I, donde I es un conjunto de ındices, Uα es un subconjunto de M y Vα es un abierto de Rn

tal que

1.⋃

α Uα =M.

2. Para cualquier par α y β en I, el dominio de la aplicacion Xα◦X−1β , esto es, Xβ(Uα∩Uβ),

es un abierto de Rn y la aplicacion

Xα ◦X−1β : Xβ(Uα ∩ Uβ) −→ Xα(Uα ∩ Uβ)

es de clase C∞.

Definicion 1.2. (Espacio vectorial dual y vector dual). Sea V un espacio vectorial de

dimension finita sobre R. Considere la coleccion V∗ de las aplicaciones lineales f : V −→ R.Definiendo sobre V∗ la adicion y el producto por escalar de manera usual, entonces V∗ toma

estructura de espacio vectorial. Tal espacio es conocido como espacio vectorial dual a V y sus

elementos como vectores duales.

Definicion 1.3. (Tensor). Un tensor de tipo (k , l) sobre una variedad diferenciable M es una

aplicacion multilineal

T : T ∗pM × ...× T ∗

pM × TpM × ...× TpM → R,

de k vectores duales y l vectores tangentes a M en ese punto p ∈M.

5

Definicion 1.4. (Componentes de un tensor). Sea T un tensor del tipo (k, l), {ei} una

base del espacio tangente TpM y {wj} una base del espacio T ∗pM, entonces las componentes de

T vienen dadas por

T(wα1, ..., wαl, eλ1, ..., eλk

). (1.1)

Las componentes de T seran denotadas por T α1α2...αl

λ1λ2...λk.

Definicion 1.5. (Tensor simetrico y tensor antisimetrico). Un tensor T del tipo (0 , 2 )se dice que es

(i) Simetrico si para cada par de vectores−→A y

−→B se tiene que T(

−→B ,

−→A ) = T(

−→A,

−→B ).

(ii) Antisimetrico si para cada par de vectores−→A y

−→B se tiene que T(

−→B ,

−→A ) = −T(

−→B ,

−→A ).

La definicion se puede extender a tensores de mayor rango.

Observacion 1.1. La definicion anterior viene dada en notacion de componentes de la siguien-

te manera, para tensores simetricos Tαβ = Tβα y para tensores antisimetricos Tαβ = −Tβα.

Observacion 1.2. Todo tensor T del tipo (0 , 2 ) define un tensor simetrico dado por T(αβ) =12(Tαβ + Tβα) y un tensor antisimetrico dado por T[αβ] =

12(Tαβ − Tβα).

Definicion 1.6. (Tensor metrico). Sea M una variedad diferenciable un tensor metrico o

metrica riemanniana g sobre M es una aplicacion bilineal, simetrica y positiva g : TM×TM →R, tal que la restriccion

g |TpM×TpM : TpM × TpM → R,

es un producto interno de vectores sobre el espacio tangente TpM a cada punto p de la variedad

M.

Observacion 1.3. El tensor metrico o metrica riemanniana permite medir el desplazamiento

infinitesimal de vectores que yacen en el espacio tangente TpM a la variedad M debido a que

sus componentes gαβ permiten definir el arco de longitud diferencial ds2 = gαβdxαdxβ

Definicion 1.7. (Variedad Riemanniana). Una variedad diferencible M dotada de una

metrica riemanniana g es lo que se conoce como variedad riemanniana, y se denota por el par

(M , g).

1.2. Simbolo de Christoffel y Derivada Covariante

Definicion 1.8. Sea M una variedad diferenciable m-dimencional, {eα} una base del espacio

tangente TpM a M en el punto p, ademas sea−→V = V α−→e α ∈ TpM y consideremos el operador

diferencial de derivadas parciales ∂. La accion de ∂β sobre−→V viene dada por

∂β−→V = ∂βV

α−→e α = (∂βVα)−→e α + V α(∂β

−→e α).

6

La accion del operador ∂β sobre el vector base −→e α determina un vector en el espacio tangente

TpM de modo que este tiene su correspondiente representacion en terminos de la base {−→e α},esto es

∂β−→e α = Γλ

βα−→e λ,

donde

Γλβα−→e λ =

∑

λ

Γλβα−→e λ.

Los coeficientes Γλβα son conocidos como simbolos de Christoffel y representan la λ-esima com-

ponente del vector ∂β−→e α en la base {eα} que se obtiene de derivar el α-esimo vector base

respecto a la coordenada β.Ası

∂β−→V = (∂βV

α)−→e α + V α(Γλβα−→e λ),

tomando factor comun a −→e α

∂β−→V = (∂βV

α + V λΓαβλ)

−→e α,

= ∇βVα−→e α. (1.2)

Por tanto, ∇βVα ≡ ∂βV

α + V λΓαβλ son las componentes de un tensor del tipo (1 , 1 ) denotado

por ∂−→V y conocido como la derivada parcial del vector

−→V .

En general para un tensor T α1α2...αl

λ1λ2...λkdel tipo (k , l) se tiene

∇ρTα1α2...αl

λ1λ2...λk= ∂ρT

α1α2...αl

λ1λ2...λk+∑

j

ΓαjρβT

α1α2...αl

λ1λ2...λk

−∑

j

ΓβρλjT

α1α2...αl

λ1λ2...λk.

Definicion 1.9. (Metrica compatible con un operador diferencial). Sea g un tensor

metrico sobre una variedad diferenciable M, un operador ∇ se dice que es compatible con g si

∇g = 0.

Preposicion 1.1. Sea ∂ un operador diferencial, g un tensor metrico suave e invertible sobre

una variedad diferenciable M, y ∇ un operador diferencial compatible con g, entonces

Γλαβ =

1

2gλσ(∂βgασ + ∂αgσβ − ∂σgαβ). (1.3)

Demostracion. Puesto que ∇ es compatible con g se tiene que

0 = ∇αgσβ = ∂αgσβ − Γλασgλβ − Γλ

αβgλσ, (1.4)

0 = ∇βgασ = ∂βgασ − Γλβσgλα − Γλ

βαgλσ (1.5)

7

y0 = ∇σgαβ = ∂σgαβ − Γλ

σαgλβ − Γλσβgλα, (1.6)

sumando (1.4) y (1.5) y luego restando (1.6) se obtiene

0 = ∂αgσβ + ∂βgασ − ∂σgαβ − 2Γλβαgλσ. (1.7)

Luego

Γλβαgλσ =

1

2(∂αgσβ + ∂βgασ − ∂σgαβ), (1.8)

como g es invertible, y debido a la simetrıa Γλαβ en αβ

Γλαβ = Γλ

βα =1

2gλσ(∂αgσβ + ∂βgασ − ∂σgαβ). (1.9)

Definicion 1.10. (Transporte Paralelo.) Sea ∇ sobre M y un campo vectorial−→V . Entonces,

se dice que−→V es transportado paralelamente a lo largo de una curva γ

∇aVb = 0. (1.10)

1.3. Tensor de Curvatura

Se presentara una descripcion matematica de la curvatura de una variedad apoyados en lanocion geometrica del mismo, provista por el transporte paralelo de un vector alrededor de uncircuito cerrado [5]. Imaginemos sobre una variedad un circuito como el que se muestra en la(Fig. 1.1).

A

B

C

Dx2 = b

x2 = b+ δbx1 = a

x1 = a+ δa

Figura 1.1: Pequena seccion de una cuadricula

Un vector−→V definido en A es transportado paralelamente a B. De la ley de transporte

paralelo, ∇−→e1

−→V = 0; se concluye

∂V α

∂x1= −Γα

µ1Vµ. (1.11)

8

Tenemos que

∫ B

A

∂V α

∂x1dx1 = V α

∣∣BA

= V α(B) + V α(A), (1.12)

de aca que el vector−→V tiene componentes en B, dadas por

V α(B) = V α(A) +

∫ B

A

∂V α

∂x1dx1

= V α(A)−

∫

x2=b

Γαµ1V

µdx1, (1.13)

donde x2 = b denota el camino de A a B. De forma similar−→V es transportado de B a C, y

luego de C a D. Esto es

V α(C) = V α(B)−

∫

x1=a+δa

Γαµ2V

µdx2, (1.14)

V α(D) = V α(C) +

∫

x2=b+δb

Γαµ1V

µdx1. (1.15)

La integral en la ultima ecuacion tiene el signo negativo porque la direccion de transportedesde C a D es en la direccion negativa x1. Al finalizar el circuito

V α(Afinal) = V α(D) +

∫

x1=a

Γαµ2V

µdx2. (1.16)

El cambio neto en V α(A) es un vector δV α, que se obtiene restando (1.13) y (1.16):

δV α = V α(Afinal)− V α(Ainicial)

=

∫

x1=a

Γαµ2V

µdx2 −

∫

x1=a+δa

Γαµ2V

µdx2

+

∫

x2=b+δb

Γαµ1V

µdx1 −

∫

x2=b

Γαµ1V

µdx1; (1.17)

tal que a primer orden se tiene

δV α ≃ −

∫ b+δb

b

δa∂

∂x1(Γα

µ2Vµ)dx2

+

∫ a+δa

a

δb∂

∂x2(Γα

µ1Vµ)dx1

≃ δaδb

[−

∂

∂x1(Γα

µ2Vµ) +

∂

∂x2(Γα

µ1Vµ)

]. (1.18)

Las derivadas en (1.18) pueden ser sustituidas por (1.11). Entonces (1.18) se convierte en

δV α = δaδb[∂2Γαµ1 − ∂1Γ

αµ2 + Γα

ν2Γνµ1 − Γα

ν1Γνµ2]V

µ. (1.19)

9

Generalizando para xσ y xλ se encuentra que

δV α = δaδb[∂λΓαµσ − ∂σΓ

αµλ + Γα

νλΓνµσ − Γα

νσΓνµλ]V

µ. (1.20)

Si definimosRα

βµν ≡ ∂µΓαβν − ∂νΓ

αβµ + Γα

σµΓσβν − Γα

σνΓσβµ, (1.21)

entonces Rαβµν deben ser las componentes de un tensor (1, 3). Este tensor es llamado Tensor de

Curvatura de Riemman. Observe que el tensor (1.21) guarda la informacion de que tan curvadaesta la variedad. En particular, para un tensor de curvatura nulo se tiene de (1.20) que el vectorno cambia, en consistencia con lo esperado sobre un espacio plano o sin curvatura.

Definicion 1.11. (Tensor de curvatura de Ricci). Sea ∇ un operador diferencial y Rαβµν

y su tensor de curvatura asociado, se define el tensor de curvatura de Ricci asociado a ∇ como

el tensor dado por

Rαβαν = Rβν . (1.22)

Definicion 1.12. (Escalar de curvatura). Sea g un tensor metrico invertible, ∇ un operador

diferencial, se denomina escalar de curvatura asociado a ∇ al numero real R que resulta de la

contraccion del tensor metrico inverso gβν con el tensor de Ricci Rβν asociado al tensor metrico

g. Esto es

R = gβνRβν . (1.23)

Definicion 1.13. (Tensor de curvatura de Einstein). Sea g una metrica, el tensor de

curvatura de Einstein asociado a g viene dado por

Gαβ = Rαβ −1

2gαβR (1.24)

donde Rαβ y R son el tensor de Ricci y el escalar de curvatura, respectivamente, asociados a g.

10

Capıtulo 2

Invariancia de Calibre

Sea gµν la metrica dada por

gµν = ηµν + λhµν , λ≪ 1 (2.1)

donde ηµν es la metrica de Minkowski y hµν representa la perturbacion de la metrica ([6]).Las reglas para obtener la ecuacion de movimiento de la perturbacion hµν son las siguiente:

a) Se consideran perturbaciones a primer orden en λ.

b) Se empleara a ηµν para subir y bajar indices.

Considerando que gµν = ηµν − λhµν , a partir de (1.9) se obtiene

Γµνσ =

1

2gµβ(∂νgσβ + ∂σgνβ − ∂βgνσ)

=1

2(ηµβ − λhµβ)(λ∂νhσβ + λ∂σhνβ − λ∂βhνσ)

=1

2λ(∂νh

µσ + ∂σh

µν − ∂µhνσ). (2.2)

Por otra parte, de la regla a) se encuentra que el tensor de Ricci es

Rµν =1

2λ(∂µνh− ∂µαh

αν − ∂ναh

αµ + ∂ααhµν), (2.3)

donde h ≡ hµµ = ηµνhµν . En consecuencia el escalar de curvatura viene dado por

R = gµνRµν = ηµνRµν = λ(∂ααh− ∂αβhαβ). (2.4)

Ahora, se considera que el tensor metrico (2.1) corresponde a una solucion de la ecuacion decampo de Einstein, (1.24), en el vacio

Gµν = Rµν −1

2gµνR = 0, (2.5)

se tiene que a primer orden en λ se reduce

∂µνh− ∂µαhαν − ∂ναh

αµ + ∂ααhµν − ηµν(∂

ααh− ∂αβh

αβ) = 0, (2.6)

11

es la ecuacion de movimiento de la perturbacion hµν .Si tomamos

hµν ≡ hµν −1

2ηµνh, (2.7)

entonces (2.6) se reduce a

∂ααhµν + (ηµν∂αβhαβ

− ∂µαhα

ν − ∂ναhα

µ) = 0. (2.8)

2.1. Transformacion de calibre

Una transformacion de coordenada es un pequeno cambio de coordenadas definido por

x′µ = xµ + λξµ, (2.9)

verifiquemos que (2.9) deja invariante la ecuacion de movimiento (2.8). Notese que a primerorden en λ, hµν transforma de la siguiente manera

h′µν = hαβΛαµΛ

βν

= hµν − ∂νξµ − ∂µξν , (2.10)

donde Λαµ es la matriz de transformacion. Un campo que transforma como (2.10) se dice que

transforma bajo calibre. Ası se tiene que

h′µν = hµν − ∂νξµ − ∂µξν + ∂βξβηµν . (2.11)

Ahora se prueba que

∂ααh′µν + (ηµν∂

αβh′αβ − ∂αµh′αν − ∂αν h

′αµ) = 0, (2.12)

lo que satisface la ecuacion (2.8), esto es, invariante bajo transformacion de calibre. Veamos

∂′α∂′αh′µν = ∂ϕ∂′αh

′µνΛ

αϕ

= ∂α∂αhµν − ∂α∂α∂νξµ − ∂α∂α∂µξν + ηµν∂α∂α∂ρξ

ρ, (2.13)

ηµν∂′β∂′αh′αβ = ηµν(∂

ϕ∂′αh′αβΛβϕ)

= ηµν∂β∂αhαβ − ηµν∂

β∂α∂βξα − ηµν∂β∂α∂αξβ + ηµνηαβ∂

β∂α∂ρξρ (2.14)

∂′α∂′µh′αν = ∂β∂′µh

′ανΛ

αβ

= ∂α∂µhαν − ∂α∂µ∂νξα − ∂α∂µ∂αξν + ηαν∂α∂µ∂ρξ

ρ (2.15)

∂′α∂′νh′αµ = ∂α∂νhαµ − ∂α∂ν∂µξα − ∂α∂ν∂αξµ + ηαµ∂

α∂ν∂ρξρ, (2.16)

sumando (2.13),(2.14),(2.15) y (2.16), se tiene que

∂ααh′µν + (ηµν∂

αβh′αβ − ∂αµh′αν − ∂αν h

′αµ) = ∂ααhµν + (ηµν∂

αβhαβ − ∂αµhαν − ∂αν hαµ) = 0. (2.17)

Por lo tanto, (2.12) es invariante bajo una tranformacion de calibre.

12

2.2. Condicion de Calibre

Si se hace∂αh′αβ = 0, (2.18)

entonces la ecuacion (2.17) queda de la siguiente manera

∂α∂αh′µν = 0, (2.19)

la cual es una ecuacion de onda, cuya solucion viene dada por

h′µν = A′µνe

ikβxβ

, (2.20)

donde A′µν es la matriz de amplitud y kα es un 4-vector de norma nula, esto es kαkα = 0.

De (2.18) y (2.11), se obtiene∂µ∂µξν = 0, (2.21)

es decir, el calibre tambien sigue una ecuacion de onda. Dicho de forma inversa, utilizandola libertad de calibre dada por (2.11) es posible fijar el parametro ξ de forma arbitraria. Enparticular si se escoge (2.21) se obtiene el calibre (2.18) bajo el cual (2.17) se reduce a unaecuacion de onda.

Por otra parte, de (2.18) y (2.20) se tiene

iA′αβk

αeikθxθ

= 0, (2.22)

lo cual implica que la fluctuacion es perpendicular a la direccion de propagacion, es decir

A′αβk

α = 0. (2.23)

Por lo tanto, (2.18) se entiende como una condicion de transversalidad.Expandiendo

A′0βk

0 + A′1βk

1 + A′2βk

2 + A′3βk

3 = 0; (2.24)

y escogiendo a kα = (−k, 0, 0, k) y a kα = (k, 0, 0, k), se encuentra que

A′0β = A′

3β . (2.25)

Ası la matriz de amplitud viene dada por

A′αβ =

A′00 A′

01 A′02 A′

00

A′01 A′

11 A′12 A′

01

A′02 A′

12 A′22 A′

02

A′00 A′

01 A′02 A′

00

(2.26)

Ahora se considera una transformacion de calibre generada por la solucion de (2.21)

ξµ = −iεµeikθxθ

(2.27)

donde εµ es constante.

13

Ahora bien, a partir de (2.11), (2.20) y (2.27), se obtiene

A′µν = Aµν − εµkν − ενkµ + ηµνε

αkα. (2.28)

Desarrollando (2.28)

A′00 = A00 − k(ε0 + ε3) = A′

03 = A′30 = A′

33, (2.29)

A′01 = A01 − kε1 = A′

10 = A′13 = A′

31, (2.30)

A′02 = A02 − kε2 = A′

20 = A′23 = A′

32, (2.31)

A′11 = A11 − k(ε0 − ε3), (2.32)

A′22 = A22 − k(ε0 − ε3), (2.33)

A′12 = A12 = A′

21. (2.34)

Escogiendo la constante εµ como

ε0 = (2A00 + A11 + A22)/4k , ε1 = A01/k

ε3 = (2A00 − A11 − A22)/4k , ε2 = A02/k, (2.35)

se obtiene queA′

01 = A′02 = A′

00 = A′12 = 0 (2.36)

y

A′11 = −A′

22. (2.37)

Por lo tanto, en el calibre (2.27) la matriz de amplitud es

A′αβ =

0 0 0 00 A′

11 0 00 0 −A′

11 00 0 0 0

(2.38)

Como h′µν es proporcional a A′µν , se tiene que h′µν es de traza nula. Esta ultima condicion

en la que h′µν tiene traza nula y la condicion (2.23), donde el sector transverso es nulo, son degran importancia y seran utilizadas en el Capitulo [4].

14

Capıtulo 3

Paredes de Dominio

3.1. Sistema Einstein-Campo Escalar

El Sistema Einstein acloplado al Campo Escalar es un conjunto no lineal de ecuacionesdiferenciales acopladas en derivadas parciales, formado por

Gab = Rab −1

2gabR = Tab, a, b = 0, 1, 2, 3 (3.1)

Tab = ∇aφ∇bφ− gab

[1

2∇dφ∇

dφ+ V (φ)

], (3.2)

∇d∇dφ−

dV (φ)

dφ= 0, (3.3)

donde Gab es el Tensor de Einstein; Tab es el Tensor Energia-Impulso y representa la fuente delcampo gravitacional dado por el campo escalar φ con potencial de autointeracion V (φ); gab esel tensor metrico del sistema y representa la geometrıa del espaciotiempo; Rab es el Tensor deRicci y R es el escalar de curvatura o escalar de Ricci.

3.2. Paredes de Dominio

Una Pared de Dominio es una solucion al Sistema Einstein-Campo Escalar, donde el campoescalar es funcion unicamente de la dimension extra, φ = φ(ξ), e interpola asintoticamenteentre dos valores, ϕ±, que corresponden a los mınimos (o vacıos) consecutivos del potencial de

autointeracion, V (φ). Es decir, cuando lımξ→±∞ φ(ξ) = ϕ±, entonces lımφ→ϕ±dV (φ)dφ

= 0.

3.3. Simplificacion del Sistema Einstein-Campo Escalar

Se desea resolver el sistema (3.1), (3.2) y (3.3) cumpliendo con condiciones que definen auna pared de dominio:

15

El campo escalar solo depende de la coordenada adicional φ = φ(ξ).

El campo escalar interpola suavemente entre los mınimos del potencial, cumplıendose quecuando lımξ→±∞ φ(ξ) = ϕ±, entonces lımφ→ϕ±

dV (φ)dφ

= 0, ϕ± ∈ R.

Existe simetrıa plano paralela, es decir, la geometrıa del espaciotiempo puede ser descritaen coordenadas cartesianas.

Con estas condiciones, la forma general del tensor metrico del espaciotiempo 5-dimensionalesta dado por

gab = f 2(ξ)(−dtadtb + dxiadxib) + f 2(ξ)dξaξb (3.4)

donde a, b = 0, 1, 2, 3, 4; i = 1, 2, 3 y ξ es la coordenada adicional. En nuestro caso tenemos unapared estatica. Para esta metrica construyamos las componentes del Tensor de Einstein, estasson

Gtt =

3

f 2

(f ′′

f

), Gξ

ξ =6

f 2

(f ′2

f 2

),

G11 =

3

f 2

(f ′′

f

), G2

2 = G33 = G1

1; (3.5)

y las componentes del tensor Energıa-Impulso

T tt = −ρ = −

1

2

1

f 2φ′2 − V (φ), T 1

1 = −1

2

1

f 2φ′2 − V (φ),

T ξξ = −P =

1

2

1

f 2φ′2 − V (φ), T 2

2 = T 33 = T 1

1 , (3.6)

donde T tt y T ξ

ξ se interpretan como la densidad de energıa ρ, y la densidad de presion P consigno opuesto, respectivamente.

Tomando la suma Gtt +Gξ

ξ = T tt + T ξ

ξ , se obtiene

φ′2 = 3

[2f ′2

f 2−f ′′

f

], (3.7)

y haciendo la resta Gtt −Gξ

ξ = T tt − T ξ

ξ , se obtiene

V (φ) = −3

2f 2

[2f ′2

f 2+f ′′

f

]. (3.8)

Como consecuencia, se a logrado reducir el sistema Einstein-Campo Escalar a un par de ecua-ciones diferenciales ordinarias acopladas (3.7) y (3.8).

16

3.4. Curvatura de Bulk

Se estudian paredes de dominio de 4 dimensiones en un espaciotiempo 5-dimensinal, elcual es denominado bulk. La pared de dominio divide a este espaciotiempo en 2 subespacios,los cuales pueden ser planos (tipo Minkowski) o tener curvatura diferente. Si la curvatura espositiva, se dice que el espaciotiempo es de Sitter (dS), y si es negativa, el espaciotiempo esAnti de Sitter (AdS).

La curvatura asintotica del bulk se puede determinar evaluando el Tensor Energıa-Impulsocuando ξ → ±∞, donde los efectos gravitacionales de la pared son despreciados y solo queda lacontribucion de la energıa en el vacıo, asociada al espaciotiempo donde esta la pared. Al tomarel lımite cuando ξ → ±∞, los dos primeros terminos en (3.2) se anulan porque el campo escalartiende a una constante, φ→ ϕ±. De tal manera que

lımξ→±∞

Tab = −gab lımφ→ϕ±

V (φ) (3.9)

y (3.1) se reduce a las ecuaciones de Einstein en el vacıo con constante cosmologica Λ,

Gab + Λgab = 0, Λ = lımφ→ϕ±

V (φ). (3.10)

De esta ultima expresion se desprende que la curvatura del bulk tambien puede ser determinadaevaluando el potencial de autointeraccion V (φ) en sus mınimos, esto es, cuando φ → ϕ±.

3.5. Solucion Estatica

Se presenta ahora una familia de soluciones tipo pared de dominio estatica reportada en [3],que viene dada por

f(ξ) = [1 + (αξ)2s]−1

2s , (3.11)

donde α es una constante y s son dos parametros. La Fig. (3.1) muestra este factor metrico paradiferentes valores de s. En particular, para s = 1, se tiene el comportamiento convencional enforma de campana. Sin embargo, para s 6= 1, se presenta una region plana alrededor de ξ = 0.Esto sugiere que la geometrıa del espaciotiempo posee cierta estructura interna en la cercanıaa este punto.

Resolviendo (3.7) y (3.8), se obtienen el campo escalar y el potencial de autointeraccion

φ = φ0 arctan(αsξs), φ0 =

√3(2s− 1)

s, s = 1, 3, 5 (3.12)

V (φ) = 3α2 sin2−2/s(φ/φ0)

[(2s+ 3)

2cos2(φ/φ0)− 2

], (3.13)

y se grafican en la Fig. (3.2) para diferentes valores de s. Se verifica que el campo escalarinterpola entre los mınimos del potencial, tal que cuando ξ → ±∞, entonces φ→ ±π

2φ0, siempre

y cuando s sea un entero impar positivo. De (3.12) se desprende que s debe ser entero y s > 1/2para satisfacer φ ∈ R. Ademas s debe ser impar para interpolar entre mınimos consecutivos

17

del potencial. Para valores pares de s, el campo pierde la forma tipo kink, tendiendo a valoresiguales cuando ξ → ±∞.

En particular para s = 1, el campo presenta una forma tipo kink simple, interpolandosuavemente entre ±π

2φ0, los cuales corresponden precisamente a los mınimos del potencial.

Para otros valores impares (mayores que uno) de s, el campo tiene una forma de kink dobley se encuentra el potencial mınimo local entre dos mınimos globales. El campo toma valores enel mınimo local en una region cercana al origen; mientra que tiende a los mınimos globales delpotencial cuando la coordenada espacial adicional tiende a infinito.

-3 -2 -1 0 1 2 30.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f 2HΞL

-3 -2 -1 0 1 2 3

-5

0

5

10

Ξ

ΡHΞL

Figura 3.1: Factor Metrico, f 2(ξ) (izquierda) y Densidad de Energıa ρ(ξ) (derecha), ambas paras = 1 (rojo),s = 3 (azul) y s = 9 (verde).

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

-1

0

1

2

Ξ

ΦHΞL

-2 -1 0 1 2-6

-4

-2

0

2

4

Φ

VHΦL

Figura 3.2: Campo Escalar φ(ξ) (izquierda) y Potencial de Autointeraccion V (φ) (derecha),ambas para s = 1 (rojo),s = 3 (azul) y s = 9 (verde).

18

Capıtulo 4

Espectro de las FluctuacionesGravitacionales

4.1. Perturbaciones Gravitacionales

Sea gab y φ las soluciones exactas al sistema (3.1), (3.2) y (3.3). Ahora supongamos queexiste una familia uniparametrica de tensores metricos gab(λ) y una familia uniparametrica de

campos escalares φ(λ) tal que tambien sean solucion del sistema Einstein-Campo Escalar dadospor

gab = gab + λhab, φ = φ+ λϕ, λ≪ 1 (4.1)

donde hab y ϕ representan la perturbacion de la metrica y el campo escalar, respectivamente.De tal manera que a primer orden se tiene

d

dλgab

∣∣λ=0

= hab (4.2)

d

dλφ∣∣λ=0

= ϕ. (4.3)

Las ecuaciones de Einstein-Campo Escalar, en la forma Ricci, para gab se escriben como

Rac = Tac −1

3gacT ; Tac = ∇aφ∇cφ− gac

[1

2gbd∇bφ∇dφ+ V (φ)

], (4.4)

donde T = gabTab. Mientras que para el campo escalar perturbado φ, se tiene

gab∇aφ∇bφ−d

dφV (φ) = 0. (4.5)

Para hallar las ecuaciones que describen la dinamica de la perturbacion hac a primer orden, sediferencia (4.4) con respecto λ y se hace λ = 0,

d

dλRac

∣∣λ=0

=d

dλTac

∣∣λ=0

−1

3

d

dλ

[gacT

]λ=0

(4.6)

19

Se desarrolla cada uno de estos terminos, obteniendose

−1

22hac −

1

2∇a∇c(g

bdhbd) +∇(a∇dhc)d +Rd f

(ac) hfd +Rd f(ad hc)f =

+ 2∇(aϕ∇c)φ+D − 5

6hacg

bd∇bφ∇dφ−D − 5

6gach

bd∇bφ∇dφ

+D − 5

3gacg

bd∇bϕ∇dφ+D − 3

3hacV (φ) +

D − 3

3gac

dV

dφϕ, (4.7)

donde 2 es el D’Alambertiano definido por 2 ≡ gab∇a∇b.Ahora, imponiendo las condiciones

gachac = 0; ∇ahab = 0; ha4 = 0, (4.8)

y considerando que las fluctuaciones gravitacionales no son generadas por la perturbacion delcampo escalar, es decir ϕ = 0 en (4.7); y adicionalmente que φ = φ(ξ) y D = 5, se tiene

−1

22hac +Rb

(ac)dhbd +Rb

(a|b|dhc)d =

2

3hacV (φ). (4.9)

La expresion (4.9) representa las ecuaciones de Einstein-Campo Escalar para la perturbaciongravitacional, y en particular para la metrica dada por (3.4), se reduce a

1

f 2

[2(4) + ∂2ξ −

f ′

f∂ξ − 2

f ′′

f

]hac = 0, (4.10)

donde 2(4) = ∂µ∂µ.Para resolver (4.10), se propone la separacion de variables hac = χ(t, x, y, z)Ψac(ξ) donde

χ(t, x, y, z) representa una onda plana libre responsable de la gravitacion sobre la pared dedominio y cumple con

24χ(t, x, y, z) = m2χ(t, x, y, z), (4.11)

donde m es una constante. Al sustituir en (4.10) se tiene

m2Ψab(ξ) +

[∂2ξ −

f ′

f∂ξ −

f ′′

f

]Ψab(ξ) = 0 (4.12)

Adicionalmente se propone que Ψab(ξ) = f 1/2ψab(ξ) donde f es el factor metrico y sustituyendoen (4.12) se tiene

[−∂2ξ + VQM ]ψac = m2ψac(ξ), VQM =3

4

f ′2

f 2+

3

2

f ′′

f, (4.13)

donde VQM es el potencial mecanico cuantico. Para el factor metrico (3.11), se tiene que estepotencial viene dado por

VQM =3

4ξ25(αξ)4s + 2(1− 2s)(αξ)2s

(1 + (αξ)2s)2. (4.14)

20

La solucion de (4.13) esta compuesta por el modo cero (o no masivo) para m2 = 0 y losmodos masivos para m2 6= 0, siendo m2 la masa asociada a la onda gravitacional.

En la Fig.(4.2) se observa el modo cero y los modos masivos para algunos valores de s.Ocurre que el modo cero se encuentra localizado alrededor de la pared, para el caso s = 1;mientras que para s > 1, resulta confinado dentro de la estructura interna de la pared doble.Por otra parte, los modos masivos, en cualquier caso, siempre se propagan libremente por todala estructura 5-dimensional.

-4 -2 0 2 4

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Ξ

Ψ0HΞL , VQMHΞL

-4 -2 0 2 4

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Ξ

Ψ0HΞL , VQMHΞL

Figura 4.1: Modo cero ψ0(ξ) (rojo) y Potencial mecanico cuantico VQM(ξ) (negro), (izquierda)para s = 1, (derecha) para s = 3.

-10 -5 0 5 10

-6

-4

-2

0

2

Ξ

ΨmHΞL , VQMHΞL

-10 -5 0 5 10

-6

-4

-2

0

2

4

Ξ

ΨmHΞL , VQMHΞL

Figura 4.2: Modo masivos ψm(ξ) (rojo) y Potencial mecanico cuantico VQM(ξ) (negro), (izquier-da) para s = 1, (derecha) para s = 3.

21

Conclusiones

En este trabajo se consideraron soluciones del tipo pared de dominio al acoplamiento Eins-tein campo escalar en 5-dimensiones. Estas configuraciones consisten en un campo escalar queinterpola suavemente entre los mınimos del potencial de autointeraccion del sistema, que estanidentificados con la curvatura de la estructura 5-dimensional. Especıficamente, se obtuvieronsoluciones donde el campo escalar tiene el perfil de un doble kink.

Se analizo el espectro de las fluctuaciones gravitacionales en el sector transverso y sin traza,encontrando que las fluctuaciones siguen una ecuacion de auto-valores tipo Schrodinger, cuyassoluciones vienen dada por un modo cero y un continuo de modos masivos. Para el caso dondeel campo escalar es un kink, el modo cero de las fluctuaciones resulta localizado en torno a lapared; mientras que, cuando el campo es un doble kink, este permanece confinado dentro de laestructura interna de la pared. Por otra parte, en cualquiera de los casos, los modos masivos sepropagan libremente por toda la estructura 5-dimensional.

La importancia de estudiar el espectro de la fluctuaciones gravitacionales radica en, que si selogra localizar el modo cero sobre la pared de dominio, entonces existe la posibilidad de encontrarun potencial gravitacional Newtoniano asociado al modelo, toda vez que las correcciones alpotencial, dadas por los modos masivos, no sean significativas. Si por el contrario, no se lograconfinar la gravedad sobre la pared, entonces se sabe de antemano que no es posible reproducirel potencial de Newton conocido y obtener un modelo adecuado de nuestro universo.

22

Apendice A

Perturbaciones Gravitacionales

A.1. Rac en funcion de Rac

Se quiere encontrar una expresion que relacione el Tensor de Ricci de la metrica perturbadaRac con el tensor de Ricci de la metrica sin perturbar Rac. Consideremos la definicion del Tensorde Riemman

R fabc wf ≡ ∇a∇bwc − ∇b∇awc. (A.1)

La definicion general de derivada covariante es

∇bwc = ∇bwc − Cfbcwf , (A.2)

donde wc es una uno-forma y Cfbc es el simbolo de Christoffel.

De (A.1) y (A.2) se tiene

R fabc wf = ∇a(∇bwc − Cf

bcwf)− ∇b(∇awc − Cfacwf)

R fabc wf = ∇a∇bwc − ∇aC

fbcwf − Cf

bc∇awf − ∇b∇awc + ∇bCfacwf + Cf

acwf∇bwf ,

ahora sabiendo que

∇aTbc = ∇aTbc − CfabTfc − Cf

acTbf (A.3)

∇aTfbc = ∇aT

fbc + Cf

adTdbc − Cd

abTfdc − Cd

acTfbd, (A.4)

se tiene que

R fabc wf = (∇a∇bwc − Cf

ab∇fwc − Cfac∇bwf)

− (∇aCfbc + Cf

adCdbc − Cd

abCfbc − Cd

acCfbd)wf

− Cfbc(∇awf − Cg

afwg)

− (∇b∇awc − Cfba∇fwc − Cf

bc∇awf)

+ (∇bCfac + Cf

bdCdac − Cd

baCfdc − Cd

bcCfad)wf

+ Cfac(∇bwf − Cg

bfwg) (A.5)

23

ası,

R fabc wf = ∇a∇bwc −∇b∇awc −∇aC

fbcwf +∇bC

facwf + Cd

acCfbdwf − Cd

bcCfadwf

= (R fabc − 2∇[aC

fb]c + 2Cd

[acCfb]d)wf , (A.6)

dondeR f

abc wf ≡ ∇a∇bwc − ∇b∇awc

y2∇[aC

fb]c ≡ (∇aC

fbc −∇bC

fac), 2Cd

[acCfb]d ≡ (Cd

acCfbdwf − Cd

bcCfad).

De aca queR f

abc = R fabc − 2∇[aC

fb]c + 2Cd

[acCfb]d. (A.7)

haciendo una contraccion del tensor de Riemman, se obtiene el tensor de Ricci

Rac = R babc = Rac − 2∇[aC

bb]c + 2Cd

[acCbb]d. (A.8)

De esta manera se ha logrado hallar una expresion que relaciona el tensor de Ricci perturbadoRab con el tensor de Ricci sin perturbar Rab.

A.2. Ecuacion de movimiento de la perturbacion hac

d

dλRac

∣∣λ=0

=d

dλTac |λ=0 −

1

3

d

dλ

[gacT

]

λ=0. (A.9)

Cada uno de estos terminos seran desarrollados a continuacion.

A.3. Desarrollemos ddλRac

∣∣λ=0

Ya sabemos cual es la relacion entre el tensor de Ricci perturbado Rac y el tensor de Riccisin perturbar Rac (A.8). Derivando esta expresion con respecto a λ y evaluando en λ = 0,

d

dλRac

∣∣λ=0

=d

dλRac

∣∣λ=0

− 2d

dλ

[∇[aC

bb]c

]

λ=0+ 2

d

dλ

[Cd

[acCbb]d

]

λ=0, (A.10)

el primer termino del lado derecho es cero porque no depende de λ. Ahora bien, en relacion alsegundo termino tenemos

−2d

dλ

[∇[aC

bb]c

]

λ=0= −

d

dλ

[∇aC

bbc +∇bC

bac

]

λ=0(A.11)

y para el tercer termino,

Cdab =

1

2gdc(∇agcb +∇bgca −∇cgab)

Cdab =

1

2gdc(∇a(gcb + λhcb) +∇b(gca + λhca)−∇c(g

ab + λhab)), (A.12)

24

tal que evaluando en λ = 0 y sabiendo que ∇cgab = 0, se obtiene

Cdab

∣∣λ=0

= 0, (A.13)

entonces la ecuacion se reduce a

d

dλRac

∣∣λ=0

= −d

dλ

[∇aC

bbc +∇bC

bac

]

λ=0(A.14)

donde el primer termino del lado derecho de (A.14) es

d

dλ

[∇aC

bbc

]λ=0

=d

dλ

[∇a

[1

2gbd(∇bgdc +∇cgdb −∇dgbc)

]]

λ=0

=1

2∇a

[d

dλgbd(∇bgdc +∇cgdb −∇dgbc) + gbd

d

dλ(∇bgdc +∇cgdb −∇dgbc)

]

λ=0

=1

2∇a

[(gbd − λhbd)(∇bhdc +∇chdb −∇dhbc)

]λ=0

=1

2∇ag

bd(∇bhdc +∇chdb −∇dhbc)

=1

2∇a∇c(g

bdhbd) (A.15)

y el segundo termino del lado derecho de (A.14) es

d

dλ

[∇dC

bac

]λ=0

=d

dλ

[∇b

[1

2gbd(∇agdc +∇cgda −∇dgac)

]]

λ=0

=1

2∇bg

bd(∇ahdc +∇chda −∇dhac)

=1

2gbd(∇b∇ahcd +∇b∇chad −∇b∇dhac)

= −1

2gbd∇b∇dhac +

1

2gbd(∇b∇ahcd +∇b∇chad)

= −1

22hac + gbd∇b∇(ahc)d, (A.16)

donde 2hac ≡ gbd∇b∇dhac y ∇b∇(ahc)d ≡ 12(∇b∇ahcd + ∇b∇chad). Ahora de (A.15) y (A.16)

tenemos qued

dλRac

∣∣λ=0

= −1

22hac −

1

2∇a∇c(g

bdhbd) + gbd∇b∇(ahc)d. (A.17)

Es conveniente expresar el tercer termino de (A.17) en funcion del tensor de Riemman

gbd∇b∇(ahc)d ≡1

2gbd(∇b∇ahcd +∇b∇chad) (A.18)

Para ello notese que por induccion, a partir de (A.1),se conoce que

(∇e∇a +∇a∇e)hcd = R feac hfd +R f

ead hcf , (A.19)

25

entonces

gbe∇e∇ahcd = gbe∇a∇ehcd + gbeR feac hfd + gbeR f

ead hcf

∇b∇ahcd = ∇a∇bhcd +Rb f

ac hfd +Rb fad hcf . (A.20)

Haciendo b = d∇d∇ahcd = ∇a∇

dhcd +Rdac

fhfd +Rdad

fhcf (A.21)

Se tiene que,

gbd∇b∇(ahc)d ≡1

2gbd(∇b∇ahcd +∇b∇chad)

=1

2

[∇d∇ahcd +∇d∇chad

]

=1

2

[∇a∇

dhcd +Rd fac hfd +Rd f

ad hcf +∇c∇dhad +Rd f

ca hfd +Rd fcd haf

]

= ∇(a∇dhc)d +Rd f

(ac)hfd +Rd f(adhc)f . (A.22)

Finalmented

dλRac

∣∣λ=0

= −1

22hac −

1

2∇a∇c(g

dbhbd) +∇(a∇dhc)d +Rd f

(ac)hfd +Rd f(adhc)f . (A.23)

A.4. Desarrollo de ddλTac

∣∣λ=0

El Tensor Energıa-Impulso para la metrica perturbada gac esta dado por

Tac = ∇aφ∇cφ− gac

[1

2gbd∇bφ∇dφ+ V (φ)

], (A.24)

entonces diferenciando a primer orden en λ

d

dλTac

∣∣λ=0

=d

dλ

[∇aφ∇cφ

]

λ=0−

d

dλ

[gac

1

2gbd∇bφ∇dφ

]

λ=0

−d

dλ

[gacV (φ)

]

λ=0(A.25)

tal que el primero y segundo termino de (A.25) vienen dados por

d

dλ

[∇aφ∇cφ

]λ=0

= 2∇(aϕ∇c)φ (A.26)

y

d

dλ

[gac

1

2gbd∇bφ∇dφ)

]

λ=0

=1

2hacg

bd∇bφ∇dφ−1

2gach

bd∇bφ∇dφ+ gacgbd∇bϕ∇dφ. (A.27)

El tercer terminino del lado derecho de (A.25) es

d

dλ

[gacV (φ)

]λ=0

= hacV (φ) + gacd

dλV (φ)ϕ. (A.28)

Finalmente sustituyendo (A.26), (A.27) y (A.28) en (A.25), se obtiene que

d

dλTac

∣∣λ=0

= 2∇(aϕ∇c)φ−1

2hacg

bd∇bφ∇dφ+1

2gach

bd∇bφ∇dφ

− gacgbd∇bϕ∇dφ− hacV (φ)− gac

d

dλV (φ)ϕ (A.29)

26

A.5. Desarrollo de −13ddλ

[gacT

bb

]λ=0

Aplicando la regla de la cadena

−1

3

d

dλ

[gacT

bb

]

λ=0= −

1

3

[d

dλgacT

bb + gac

d

dλT bb

]

λ=0

= −1

3

[hacT

bb + gac

d

dλ

[gbdTbd

]]

λ=0

= −1

3

[hacT

bb − gach

bdTbd + gacgbd d

dλTbd

]

λ=0

. (A.30)

Desarrollando cada uno de estos terminos,el primer termino de (A.30) es

−1

3hacT

bb = −

1

3hacg

bd∇bφ∇dφ+1

6hacDg

fe∇fφ∇eφ+1

3hacDV (φ), (A.31)

el segundo termino de (A.30) es

1

3gach

bdTbd =1

3gach

bd∇bφ∇dφ−1

6gac(h

bdgbd)gfe∇fφ∇eφ

−1

3gac(h

bdgbd)V (φ) (A.32)

y el tercer termino de (A.30) es

−1

3gacg

bd d

dλTbd = −

1

3gacg

bd

[2∇(bϕ∇d)φ−

1

2hbdg

fe∇fφ∇eφ

+1

2gbdh

fe∇fφ∇eφ− gbdgfe∇fϕ∇eφ− hbdV (φ)

− gbddV

dφϕ

]. (A.33)

Ası

−1

3gacg

bd d

dλTbd = −

2

3gacg

bd∇(bϕ∇d)φ+1

6gac(g

bdhbd)gfe∇fφ∇eφ

−1

6gacDh

fe∇fφ∇eφ+1

3gacDg

fe∇fϕ∇eφ

+1

3gac(g

bdhbd)V (φ) +1

3gacD

dV

dφϕ. (A.34)

Por lo tanto (A.30) es igual a la suma de (A.31), (A.32) y (A.34).

27

A.6. Simplificaciones

Sustituyendo (A.23), (A.29) y (A.30) en (A.9)

−1

22hac −

1

2∇a∇c(g

bdhbd) +∇(a∇dhc)d +Rd f

(ac) hfd +Rd f(ad hc)f =

+ 2∇(aϕ∇c)φ+D − 5

6hacg

bd∇bφ∇dφ−D − 5

6gach

bd∇bφ∇dφ

+D − 5

3gacg

bd∇bϕ∇dφ+D − 3

3hacV (φ) +

D − 3

3gac

dV

dφϕ, (A.35)

donde 2 es el D’Alambertiano 5-dimensional definido por 2 ≡ gab∇a∇b. Ahora, imponiendolas condiciones de traza, sector transverso, y calibre axial nulo; respectivamente,

gachac = 0; ∇ahab = 0; ha4 = 0, (A.36)

y haciendo ϕ = 0, φ = φ(ξ), y D = 5 se tiene

−1

22hac +Rb

(ac)dhbd +Rb

(a|b|dhc)d =

2

3hacV (φ). (A.37)

A.7. Fluctuaciones

Consideremos la ecuacion de movimiento para las fluctuaciones hac

−1

22hac +Rb

(ac)dhbd +Rb

(a|b|dhc)d =

2

3hacV (φ).

y la metricagab = f 2(ξ)(−dtadtb + dxiadx

ib) + f 2(ξ)dξaξb. (A.38)

Probemos que

Rb d(ac)hbd +Rb d

(ab hc)d = −1

f 2

(f ′′

f+ 3

f ′2

f 2

)hac. (A.39)

Primero consideremos la definicion del tensor de Riemman en termino de los simbolos de Chris-toffel

Rabmn = Γa

bn,m − Γabm,n + Γa

dmΓdbn − Γa

dnΓdbm. (A.40)

para la metrica dada el Riemman es

Rabmn =

f ′′

f(δ4mδ

anδ

4b − δ4mη

a4ηbn)−f ′′

f(δ4nδ

amδ

4b − δ4nη

a4ηbm)

+f ′2

f 2(2δ4nδ

amδ

4b + 2ηa4δ4mηbn + δanηbm)

−f ′2

f 2(2δ4mδ

anδ

4b + 2ηa4δ4nηbm + δamηbn) (A.41)

28

Haciendo una contracion al tensor de Riemman

Ra dbm = gdnRa

bmn

=f ′′

f 3(δ4mη

adδ4b − δ4mηa4δdb )−

f ′′

f 3(ηd4δamδ

4b − ηd4ηa4ηbm)

+f ′2

f 4(2ηd4δamδ

4b + 2ηa4δ4mδ

db + ηdaηbm)

−f ′2

f 4(2δ4mη

daδ4b + 2ηa4ηd4ηbm + δamδdb ), (A.42)

luego

Ra dbm had =

f ′′

f 3(δ4mhδ

4b − δ4mhabη

a4)−f ′′

f 3(hmdη

d4δ4b − hadηd4ηa4ηbm)

+f ′2

f 4(2hmdη

d4δ4b + 2habηa4δ4m + hηbm)

−f ′2

f 4(2δ4mhδ

4b + 2hadη

d4ηa4ηbm + hmb). (A.43)

Ahora imponiendo las condiciones de traza, sector transverso y calibre axial nulo, se tiene

Ra dbm had = −

f ′2

f 4hmb (A.44)

ası

Rb d(ac)hbd =

1

2(Rb d

ac hbd +Rb dca hbd)

=1

2(−f ′2

f 4hca −

f ′2

f 4hac)

= −f ′2

f 4hac (A.45)

y

Rb d(ab hc)d =

1

2(Rb d

ab hcd +Rb dcb had)

=

(−2

f ′2

f 4−f ′′

f 3

)hac. (A.46)

Luego de (A.45) y (A.46) se obtiene que

Rb d(ac)hbd +Rb d

(ab hc)d = −1

f 2

(f ′′

f+ 3

f ′2

f 2

)hac. (A.47)

29

A.8. Calculemos 2hac

2hac = gbd[(∂b∂dhac − ∂bΓ

fdahfc − Γf

da∂bhfc − ∂bΓfdchaf − Γf

dc∂bhaf )

+ (−Γfbd∂fhac + Γf

bdΓefahec + Γf

bdΓefchae)

+ (−Γfba∂dhfc + Γf

baΓedfhec + Γf

baΓedchfe)

+ (−Γfbc∂dhaf + Γf

bcΓedahef + Γf

bcΓedfhae)

](A.48)

Desarrollando cada uno de estos terminos e imponiendo las condiciones de traza, sector trans-verso y calibre axial nulo, se tiene que

2hac =1

f 2(∂d∂dhac + ∂2ξhac)− 2

f ′2

f 4hac −

f ′

f 3∂ξhac − 2

f ′′

f 3hac, (A.49)

ahora sustituyendo (A.47) y (A.49) en (A.38) se tiene

1

f 2

[2(4) + ∂2ξ −

f ′

f∂ξ − 2

f ′′

f

]hac = 0, (A.50)

donde 2(4) es el D’Alambertiano 4-dimensional definido por 2(4) = ∂µ∂µ.

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Bibliografıa

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